3
1 Duminică, 20 noiembrie 2005, Constanta lui Euler Definiţie Limita şirului de numere reale 1 1 ln n k n n k N se numeşte constanta lui Euler. Constanta lui Euler o vom nota cu C. În unele lucrări ea mai este notată şi cu . C 0,57721566490C 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772 67776646709369470632917467495Definiţia de mai sus este întemeiată pe următoarea: Teoremă Şirul de numere reale 1 1 ln n k n n k N este un şir strict monoton şi mărginit. Demonstraţie Vom demonstra mai întâi o dublă inegalitate. 1 1 1 1 1 1 , (fiindcă funcţia "ln" este o funcţie strict crescătoare) 1 1 ln 1 ln ln 1 , 1 1 ln 1 ln ( 1)ln 1 , 1 1 ln 1 1 ( 1)ln 1 k k k k e k k k e k k k k e k k k k k k k k N N N , 1 1 1 1 ln 1 , şi ln 1 , 1 1 1 1 1 ln , şi ln , 1 1 1 ln( 1) ln , şi ln( 1) ln , . 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k N N N N N N N Acum suntem pregătiţi să demonstrăm mărginirea şirului de numere reale 1 1 ln n k n n k N .

Constanta Lui Euler

  • Upload
    gudovan

  • View
    294

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Conţine definiţia şi explicaţia corespunzătoare.

Citation preview

Page 1: Constanta Lui Euler

1

D u m i n i c ă , 2 0 n o i e m b r i e 2 0 0 5 ,

Constanta lui Euler

Definiţie

Limita şirului de numere reale

1

1ln

n

k n

nk

N

se numeşte constanta lui Euler.

Constanta lui Euler o vom nota cu C. În unele lucrări ea mai este notată şi cu .

C 0,57721566490…

C 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772

67776646709369470632917467495…

Definiţia de mai sus este întemeiată pe următoarea:

Teoremă

Şirul de numere reale

1

1ln

n

k n

nk

N

este un şir strict monoton şi mărginit.

Demonstraţie

Vom demonstra mai întâi o dublă inegalitate. 1

1

1 11 1 ,

(fiindcă funcţia "ln" este o funcţie strict crescătoare)

1 1ln 1 ln ln 1 ,

1 1ln 1 ln ( 1) ln 1 ,

1 1ln 1 1 ( 1) ln 1

k k

k k

e kk k

e kk k

k e k kk k

k kk k

N

N

N

,

1 1 1 1ln 1 , şi ln 1 ,

1

1 1 1 1ln , şi ln ,

1

1 1ln( 1) ln , şi ln( 1) ln , .

1

k

k kk k k k

k kk k

k k k k

k k k k k kk k

N

N N

N N

N N

Acum suntem pregătiţi să demonstrăm mărginirea şirului de numere reale

1

1ln

n

k n

nk

N

.

Page 2: Constanta Lui Euler

2

Fie , 2.n nN

Avem:

ln 20

ln1 1

ln 3

ln 21

2

ln 4

ln 31

3

.......

................. .......

ln n ln( 1)n 1

1

ln( 1) ln

n

n n

1

1

relaţii de inegalitate

1

(prin adunare)

1ln( 1) 0

1ln( 1) .

n

k

n

k

n

n

nk

nk

1 1

1 ln 2

2

0

ln1

1 ln 3

3

ln 2

................ ...........

1ln( 1)

1n

n

ln 2n

1

ln ln 1n nn

1

relaţii de inegalitate

(prin adunare)

11 ln .

k

n

k

n

n

Deci

1

1, 2 : ln( 1) 1 ln

n

k

n n n nk

N .

1 1

1 1, 2 : ln( 1) 1 ln , 2 : ln( 1) ln ln 1

n n

k k

n n n n n n n n nk k

N N

1 1

1 1 1, 2 : ln 1 ln 1 , 2 : 0 ln 1.

n n

k k

n n n n n nn k k

N N

Deci

1

1: 0 ln 1

n

k

n nk

N , ceea ce ne arată că şirul de numere reale

1

1ln

n

k n

nk

N

este mărginit.

Vom studia acum monotonia şirului

1

1ln

n

k n

nk

N

.

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1: ln 1 ln ln 1 ln

n n n n

k k k k

n n n n nk k k k

N

1

1n

kk

1

1 1

1

n

kn k

1 1 1ln ln 1 0

1

n

n n n

, ceea ce ne arată că

1

1ln

n

k n

nk

N

este un şir strict descrescător.

1

1ln

n

k n

nk

N

este un şir convergent deoarece este un şir monoton şi mărginit.

Page 3: Constanta Lui Euler

3

Aplicaţie

Calculaţi

1

1lim

n

nk

n k

.

Rezolvare

2 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1lim lim lim ln(2 ) ln ln 2

n n n n n

n n nk k k k k

n nn k k k k k

2

1 1

1 1lim ln(2 ) lim ln lim ln 2

n n

n n nk k

n n Ck k

C ln 2 ln 2 .