Cones e CilindrosGeometria Espacial

Dr. Marcos Aurélio Basso

29 de Setembro de 2016

Cones

I Considere uma região plana limitada por uma curva suave(sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

I Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos ossegmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P(vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do Cone

Classi�cação dos ConesI A classi�cação do cone se diz respeito a posição relativa do

eixo em relação a base;I deste modo o cone pode ser classi�cado como reto ou

oblíquo;I um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao o

plano da base;I e o cone oblíquo é quando um cone não é reto;

Observação

I Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são oscones retos;

I Em função das bases, os cones recebem nomes especiais;

I Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo eé dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Cone Circular RetoI É denominado como cone de revolução ;I recebe este nome em razão da rotação de um triângulo

retângulo em torno de um de seus catetos;

I A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do conecom um plano que contem o eixo do cone.

I Na �gura observa-se, a seção meridiana é a região triangularlimitada pelo triângulo isósceles VAB.

I

Cone Circular Reto

I Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentesentre si.

I Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras,temos uma relação notável no cone: g2 = h2 + r2, que podeser "vista"na �gura abaixo:

Área do Cone

I A área total é:AT = AL + AB

I A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida emfunção de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

AL = π.g2.2.π.r2.π.g

= π.r .g

I Como a base do cone é uma circunferência de raio r, sua áreaé dada por:

AB = π.r2

Área do Cone

I Deste modo, podemos obter uma expressão para a área totaldo cone em função da medida do raio (r) da base e do valorda geratriz.

AT = π.r2 + π.r .g

I Colocando π, r em evidência, a fórmula pode ser reescrita daseguinte forma:

AT = π.r .(g + r)

Onde:AT : é a área totalr : é a medida do raio da baseg : é a medida da geratriz

Volume do Cone

I Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da áreada base pela altura, então:

V =13.π.r3

Tronco do Cone

I Se um cone sofrer a intersecção (corte) de um plano paralelo àsua base circular, a uma determinada altura, teremos aconstituição de uma nova �gura geométrica espacialdenominada Tronco de Cone

Tronco do Cone

I Conforme apresentado na �gura, o tronco possui duas basescirculares em que uma delas é maior que a outra;

I desta forma, os cálculos envolvendo a área da superfícieincluirá a medida dos dois raios;

I A geratriz, que e a medida da altura lateral do cone, tambémesta presente na composição do tronco do cone;

I devemos confundir a altura do tronco com o comprimento dageratriz;

As fórmular referentes ao cálculo da área super�cial e do volumesão as seguintes:

I Área Super�cial:AS = π.g .(R + r)

I Volume:

V =π.h

3.(r2 + r .R + R2)

Onde:R : raio da base maiorr : raio da base menorh : altura do tronco do coneg : geratriz