CONDUCTIA TERMICA IN CAZUL GENERARII DE CALDURA IN MEDIUL DE PROPAGARE

~orpuri cu izvoare interioare de căldură

1.PROCESUL DE GENERARE SI CONDUCTIE SIMULTANA a. Prezentarea procesului

In cazul conductiei simple corpul solid a re n uma i rolu l de perete de separare intre doua medii ; mediul care cedeaza caldura (sursa de caldura) si mediul care o primeste .

Izvoarele interioare de căldură pot fi generate de reacţ i i

chimice (ca de exemplu reacţia exotermă din timpul prizei betoanelor de ciment) , de efectul Joule - Lentz sau de reacţii nucleare .

In tehnica reactorilor nuclear, se inta l nes t e un caz mai important : sursa de caldura este insusi corpul solid cons i derat. Caldura se genereaza in toata masa corpului si se propaga , pr i n conduct ie -corpul fiind solid - spre granitele sale cu exteriorul cat re un mediu , de cale mai multe ori f!Jid , de unde este preluata si e vacua t a.

Desfasurarea si~ultana a celor doua procese, d e generare a calciurii si de propagare prin conductie , modifi c a expre sile de legat ura dintre diferitele marimi f izice care intervin (f lux , distr i b0tie e t c.), obtinute entru cazul conjuctiei simple.

Corpurile conside rate pot fi, ca si in cazu l precedent, de forma unor pereti p l an i , cili .drici , sferici - configuratii geometrice cu doua fete (granit e) sau de fJrma unor cilindri plini (ba r e) sau sfe r e pl i ne . Modu l in care se realize3za evacuarea calduri influenteaza, i mpreu na c u configuratia geometric~, forma expresilor de ca l c u l .

b . Marimi fizice

Marimi l e fizic•: care intervin in descrierea procesului de propagare a ca l ciurii sunt , in general , aceleasi, ca in cazul precedent :

Marimi ca caracterizeaza corpul : ~ . dimens i uni ;

Marimi ce caracterizeaza distributia temperat uri l or : t=f (coordinat e) , grad t ;

Marimi priv ind cantitatile de caldura : flux , cantitate de caldura ce se propaga in unitatea de t i mp e t c .

Intensitatea generarii calciurii este exprimata prin intensitatea volumetrica de geneL2re , q . ce reprezinta canti t atea de ca l dura generate in unitatea de timp , in unitatea de vo lum.

Din definitie rezulta si dimensiunea aceste i marimi spec i f i ce:

curs 4a.doc

cal kcal w q V = J ' J ' J f et C .

cm · s m ·s cm Cu ajutorul intensitatii volumice de generare qv (numita si

densitatea de putera sau putere specifica) se poate determina cantitatea de caldura Q, generate in intreg corpul , de volum V, in unitatea de timp (puterea termica) :

.„

Precum si cantitatea totala de caldura , generate in volumul c orpului , intr-un interval de timp dat , 61 :

Pentru simplificarea problemelor , se considera , de obicei , ca densitatea de putere , qv, este o marime constanta in tim~ (generare stationara) si are aceasi valoare in intreg corpul, indiferent de coordonatele volumului elementar considerat (generare uniforma) .

în cadrul transferului de căldură prin conducţie se urmăre şte determinarea câmpului de temperaturi (a modului de variaţie a temperaturii) şi a fluxului termic transferat în interiorul corpului studiat . Distribuţia temperaturii poate fi determinată din legea de conservare a energiei (căldurii) pe baza Principiului I al termodina~icii, care precizează că fluxul termic generat în interiorul unui sistem (corp) serveşte la variaţia în timp a energiei interne a sistemul u i şi a căldurii cedate prin graniţă către mediul înconjurător .

d [.- â () d [ - . Qgen = -- - _.:::.._ = -- - O

d r d r d r

unde Q~Mreprezintă fluxul termic generat în interiorul corpului în W, U

energia internă în J , 1 timpul în s şi Q f luxul termic ce străbate

graniţa sistemului (corpului ) în W.

Se defineşte fluxul izvoarelor interioare de căldură şi se notează cu qv , densitatea volumică a fluxului termic generat în interiorul corpului :

curs_ 4a.doc 2

Fluxul izvoarelor interioare de -căldură poate avea va l ori pozitive sau negative . .:,, Fluxul termic uni tar rezultă din legea lui local de temperatură.

conductiv într-un punct d i n interiorul corpului Fourier şi este direct proporţional cu gradientul

q = -/„ ·grad t

Ecuatia generală a conductiei căldurii --·-- ·-------Se consideră un corp omogen şi izotrop având surse (izvoare ) inter i oare de căldură şi care schimbă căldură cu mediul înconjurător.

m,V

Ch (1. Cr, I

q ·.;.

Q:?Yi l = .Î<i1· -dr V

f ct 1· r~ •) ·C . ·--·( ' . t- L) ~

Ti '. „ c î' '

0= ;rj -dS s

::- „ Î â . · d r = f 1) · c · !:__!_ · d T ~ + f il · d S . „ 1 .c V .... .1

V V i c : S

Se aplică teorema lui Gauss-Ostrogradski, pentru cazul part i cu l ar

Js <p · il · d S = J,7 dh · cp · d T ~ )

în care fluxul termic străbate graniţa sistemului pe direcţia normalei la suprafaţă:

Substituind fluxul termic unitar din legea lui Fourier , rezult ă:

curs 4a.doc 3

ct df1· (fiw ·grad f) + I]„

În cazul în care conductuvitatea termică este constantă (Â =const . ) , obţinem :

·"'\ t (.

ct . . / „ qy ... q,.

--dir (grad t), -- = a ·\- t +--p ·Cp p ·Cp p ·C'p

unde a este difuzivitatea termică în m2/s şi V2 este operatorul Laplace .

Î. a=--- Şl

În funcţie de numărul şi tipul sistemului de coordonatelot , Laplace­ianul temperaturii are următoarele expresii: a) după cele trei direcţii carteziene

.., . ..., ..,

c:-t c:- t -. „ c - r

\ -r = T + .... ..., -. .... .... ,.- .... --( x- ( ( -b) numai după direcţia razei cilindrice:

c) numai după direcţia razei sferice:

1 d i - -·--„ rl „

curs_ 4a.doc 4

.I

~. / ,

I I I I I I 0..--- ­

.I

z

r

b) cilinch'ice

Si.~ tt:ine de i.:0 01 c101i.1t ~ $patiale

c.Conditia de proces stationar

r

c) ~frticc

In cazul conductiei simple , conditia ca procesul de propagare sa fie stationar a fost formulate prin constanta (invariabilitatea) in timp a temperaturilor punctuale (independenta de timp a distributiei) . Pornind de la

- . ( t I . (jy .,, q r 7 = o ·\- t -(i iY ( g;« I O f I + ... c -: p ·Cp I)· c 1) ~ • c i )

r }:-

•

= ct ._„

Ecuaţia diferenţială a conducţiei căldurii în regim staţionar cu izvoare interioare de căldură (ecuaţia lui Poisson) are forma :

~ (/ . \- t+_.::.2_ = 0

! .

unde qv este fluxul izvoarelor interioare de căldură care p ot fi 3

pozitive sau negative, şi se măsoară în W/m .

curs 4a.doc 5

In cazul conductiei si generarii simultane, aceasta conditie se exprima sub forma: caldura generate in intreg corpul in unitştea de

timp, trebuie sa fie egala cu caldura evacuate, in unitatea de timp , prin suprafata ce - l desparte de mediu de racire.

Deci fluxul termic prin suprafata exterioara (de racire), de arie A, trebuie sa fie dat de expresia:

Daca aceasta egalitate nu este satisfacuta , procesul este nestationar : da ca qv ·V > qA , corpul se va incal zi, iar da ca q-- ·V < q ·A, corpul se va raci , deci temperature va depinde in ambele cazuri si de timp .

Pentru ilustrarea procesului deschis se considera un conductor electric (de lungime 1 , raza r 0 , rezistivitate p), prin care circula

' curentul I . "'

Datorita rezistentei pe care conductorul o opune trecerii curentului

e lectric (R=(p · l)/rrri) in conductor de degaja caldura (effect Joule). In

unitatea de timp , in intreg volumul conductorului (V=rrriil) se va degaja

cantitatea de caldura:

Conform conditiei , intensitatea volumetrica ca fi ;

Q =s.= V A

p p-_-4 ~- '.'"':>

Simultan cu generarea de caldura apare procesul de propagare, prin conductie , spre mediul exterior, de care conductorul este separate prin suprafata sa lateral (A=2rrr01) .

Conform conductiei regimului stationar, va trebui ca f l uxul termic prin aceasta fata , q , sa satisfaca egalitatea;

- 2 P_ r : ·I . : _g__ ,., o - .,; .

q-. .,,_""' r - „_z . :s A -· · . 0 ·• - • ·le>

Realizarea acestui flux este posibila daca se realizeaza anumite conditii la suprafata de separare (temperature, coefficient de transfer catre mediul de racire etc.) care insa depasesc , de~camdata ,

cadrul prezentului capitol .

2. Relatii de calcul pentru diferite configuratii geometrice si scheme de racire

In majoritatea problemelor, o serie de marimi fizice care intervin , se considera cunoscute; cel mai des sunt date caracteristicile corpului: forma , dimensiuni , Â. Pentru simplificare se va considera cunoscuta si temperature la supraf ata de separa~e cu

curs_ 4a.doc 6

mediul de racire . Prop agarea se considera, ca si in cazul precedent , unidimensionala ; rezulta astfel ca si distributia temperaturilor este de asemenea , unidimensionala (dependenta de o singura c oordonata) .

Distributia care se stabileste este o f unctie de diferite marimi , in special de qv . De obicei , prezinta interes valoarea maxima pe care o capata temperature in interiorul corpului , pentru anumite conditii date . Aceasta valoa r e poate depasi limitele admise si , pentru micsorarea ei , de cele mai multe ori , se recurge la micsorarea densitatii de putere , qv .

a.Configuratia plana.Placa plană

Se consideră o placă plană , omogenă şi izotropă, cu gro simea mult mai mică decât celelalte două dimensiuni , având conductivitatea termică constantă şi izvoare interioare de căldură pozitive, uniform distribuite în tot volumul plăcii . Fluxul termic se propagă unidirecţional , perpendicular pe feţele plăcii .

8 >I Ipor~ze : ... . - I y )

... lt

î 0 '

/ . · Î.( r) „ ,_ r ,... -. (/

\- r= d y-

;..; (."I ta tii: s = i . i1 >

X

Determinarea soluţiei generale a câmpului de temperaturi :

curs 4a.doc 7

l) . c-t q.

--+-'- =O ) " dx- I .

-+ J l' ·· d t 1- (Jr 1 • o · -- --- ·n .\

d X I Î ..

d t ij,. -. -=--A- ·\-( ] d X I~

l fJr · d · -, i · (i t = - -.- .. '\ . .'\ - ( 1 . (Î .\

/ w

q"< ' I r I · ~ -· c ··+(-' = - --:::-::- .. '\. - 1 . . '\ - (0C] •

- I .

Remarcă : Temperatura are o variaţie parabolică .

In corpul considerat (fig . 9) se genereaza ca l dura c~ intensitatea volumetrica qv. In functie de modul in care se ~~alizeaza evacuarea calciurii (racirea) se pot deosebi, doua situatii :

racirea are loc prin ambele fete , mentinute de aceeasi temperature; t 1 (t2=t 1 ) , cazul racirii simetr i ce;

racirea are loc numai prin una din fete (de exemplu, prin cea din stanga) , cealalta fiind considerata supra fata adiabatica (ce nu permite schimb de caldura). . ...

Procesul de propagare se considera unidirectiona l (in directia x); in consecinta , temperatura va fi , de asemenea, o functie numai de X.

1 !

q=ll

....

X

X d d.

a b curs 4a.doc 8

Fig.9. Proces simultan de generare de caldura si conductie într-un perete plan. Distributii de temperatura:

racire simetrica; b - racire printr-o fata.

Cazul ~

racirii simetrice (ambele fete cu temperature t 1 ) .

Distributia temperaturilor (fig. 9 , a) este data de expresia :

t ( ) t ~r ii C'r -~· ­

X = 1 +- · - · X - -'- · -). : : :

care este ecuatia unei parabole . Val oarea max ima a temperaturii este data de expresia :

Cantitatea de caldura generata in intreg v olumul corpului (V=d · A) , in unitatea de timp , este :

Q=q .. · d · A Din condit i a de proces stationar se poate determina valoarea

fluxului prin fetele de racire : Q c.

q=- = q .. ·-.:,„ . : egal pri n ambele fete.

Cazul racirii printr-o singura fat a. Izoland termic ~na din '""' fete(de exemplu , pe cea din dreapta) caldura se va evacua printr- o

singura fata (fig . 9 , b) . In acest caz distributia temperaturilor va fi data de relatia :

-~ C u - -t (X) =t1 +~ d ·· -, - -':"- '-;:-

"· . -care reprezinta , de asemenea , ecuatia unei parabo l e .

Valoarea maxima a temperaturii se obtine pe fata neracita (x=d)

mai mare decat in cazul racir11 prin ambele fete . Intreaga caldura generata in corp , Q = q~ ·d · A , se evacueaza prin

aria A, determinand un flux :

Q ' q = A = q~ . . a..

de doua ori mai mare decat in cazul racirii simetrice .

b.Configuratia cilindrica ~ Corp sub forma de cilindru plin (bara) .,/Fie un cilindru de

caracteristici : A. , r 0 , l , cunoscu~ (fig . 10 ) _.ra;a r 0 este mult mai mica in comparative cu lungimea 1 , ~e~ ce permite sa se considere propagarea ca unidimensionala (nam~ dupa raza ) .

Caldura , generate cu intens~ ~tea volumetrica ~- , este condusa spre suprafata e x terioara (de arie A·'=-2 0 1) si evacuata in mediul exterior cu o intensitate (flux) _q . //,,.

In acest caz prezinta inte~es atat istributia t(r) , car s i valoarea maxima pe care o cap_a--(~,..-'tempe rature entru condi tii date (supra fata prin care se evac:.ir~aza caldura est la temperature ti ) . „

Distributia temperaturi l or este data de reI tia : ,ţ,

curs 4a.doc 9

( ~ 2) G' · „o r . t(r) = t --:- --- . . 1 I . .; .;

(12)

r

FffJ. 10. Proces simultan de generare de c•t"iltiură şi l•Onducţic într-o bară. Distribuţia

tempP.ratnrllor.

curs 4a.doc

care repre zinta ecuatia unei parabole . Valoarea max ima a tempera~urii se

obtine la r = O (in xa cilindrului)

Cantitatea de ca tea e timp , in intreg

volumul corpulu · ( V = ;r • r0= · l ) este: =q .. · i[ · T. ~ · l (14)

• L\ ~ p 'n suprafatq laterâla

necesita pent~u un proce s \

stationar , flux ul : \ Q Cfr·;r ·rJ ·l \ r 0 q=-= =\.qv ·- ( 1 5) A 2·:r· r 0 ·l) \ ::::

Peretele cilindric (t~?va) . Pentru corpurile cilindrice in car~ se genereaza caldura , forma de t eava prezln~a avantaje mai mari in comparatie cu for\~p de baza : se evita temperat ura maxima din axa si se poate aplica o racire mai intensa, pri n ambele fet e.

10