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Concetti introduttivi Scalari, Vettori, Calcolo Vettoriale Momento di una forza

Concetti introduttivi Scalari, Vettori, Calcolo Vettoriale ... · Prodotto vettoriale Si definisce prodotto vettoriale dei vettori a e b il vettore avente ... l’angolo θ che forma

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Concetti introduttiviScalari, Vettori, Calcolo Vettoriale

Momento di una forza

Introduzione

W = peso corporeo

M = forza muscolare generata dagli abduttori

HJC = centro di rotazione dell’articolazione

Tutte le parti del corpo umano chehanno funzioni «strutturali» sopportanoforze di diversa natura ed entità

Queste concorrono a definire i carichi«di progetto» dei dispositivi protesici coni quali sostituiamo le componenti«malfunzionanti»

Introduzione

Nei vasi sanguigni la pressione generasollecitazioni radiali e circonferenziali,nonchè sforzi di taglio

Introduzione

La forza applicata sull’arto d’appoggionel golfista condiziona la velocità dellamazza all’impatto con la pallina

Introduzione

La ripartizione delle forze al contattopiede-terreno è altamente correlatacon la velocità di lancio nel pitcher

Grandezze vettoriali

Si definiscono SCALARI le grandezze fisiche che sono completamentecaratterizzate dal loro valore numerico, rispetto ad un’unità di misura.

Si definiscono VETTORI le grandezze fisiche che, per essere pienamentedescritte, necessitano di un:

• Modulo (valore numerico della grandezza)

• Punto di applicazione• Direzione (disposizione della grandezza)

• Verso (orientamento della grandezza)

Grandezze vettoriali

retta su cui giace il segmento

lunghezza del segmento orientato

indicato dalla punta

Dal punto di vista analitico i vettori sono rappresentati da letteresovrastate da una freccia, da un trattino, oppure espresse ingrassetto

Grandezze vettoriali

Vettori fissi(dipendono dal punto diapplicazione)

Vettori scorrevoli (cursori)(non dipendono dal punto di applicazione peruna data direzione)

Vettori liberi(si prescinde dal punto diapplicazione)

Il punto di applicazione è importante?

F F

Le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale non cambiano......tuttavia l’effetto fisico è ben diverso nei due casi

Somma di vettori

La somma di vettori si può effettuare essenzialmente in 2 modi:

Metodo punta-codaDati due o più vettori, posizionaticonsecutivamente, la somma èdata congiungendo la coda delprimo con la punta dell’ultimo.

"⃗ # $⃗ %⃗

Somma di vettori

La somma di vettori si può effettuare essenzialmente in 2 modi:

Regola del ParallelogrammaDati due vettori, applicati nellostesso punto, la somma è data dalladiagonale del parallelogramma cheha per lati i due vettori.

"⃗

#

Componenti di un vettore

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare nella statica per identificare le componenti di una forzalungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari alledirezioni corrispondenti alla posizione dei vincoli).

"⃗

Componenti di un vettore

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare nella statica per identificare le componenti di una forzalungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari alledirezioni corrispondenti alla posizione dei vincoli).

!"

!#

La componente verticale è sopportata dell’appoggio….lacomponente orizzontale no

Componenti di un vettore

z

x

y

yA

zA

A

xAi

jk

oppure

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare nella statica per identificare le componenti di una forzalungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari alledirezioni corrispondenti alla posizione dei vincoli).

i, j e k sono particolari vettori di modulounitario diretti secondo i tre assicartesiani, chiamati versori

Componenti cartesiane di un vettore

Ogni vettore può essere scomposto in vettori componenti secondodirezioni fra loro ortogonali. Tipicamente i vettori si scompongono nelledirezioni degli assi cartesiani dei sistemi di riferimento comodi per lo studio dellestrutture

Nel piano si ha:

22yx AAA

AA

AA

+=

×=

×=

a

a

sen

cos

y

x

yx AAA +=

yx AAA +=

yx AAA +=

yx AAA +=

x

y

A

Aarctan=a

Somma di vettori

Regola del ParallelogrammaDati due vettori, applicati nellostesso punto, la somma è data dalladiagonale del parallelogramma cheha per lati i due vettori.

A

B!"

C!"

Somma di vettori

Operando graficamente si ottiene:

Dati i vettori:

Differenza di vettori

La differenza di vettori si effettua sommando al primol’opposto del secondo.

C!"

Dati i vettori:

A

−B!"

C!"A

B!"

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nelmodo seguente

Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori è nullo, oppure se essi sono tra loro perpendicolari (θ=90�)

qcos××=• vuvu

Prodotto vettoriale

Si definisce prodotto vettoriale dei vettori a e b il vettore avente

• direzione della retta perpendicolare al piano individuato da a e b• verso definito dalla regola della mano destra• modulo definito dalla formula:

Il prodotto vettoriale è nullo quando i due vettori sono paralleli

Si punta il pollice nella direzione del primo vettore e l'indice in quella delsecondo. Il medio fornisce la direzione del prodotto vettoriale.

q senbaba ××=´

Momento di una forza F rispetto ad un polo O

Il momento meccanico (momento della forza) esprime l'attitudine di una forzaa imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad unasse (nello spazio).

Il momento è un vettore avente direzione normale al piano costituito da F e PO e verso definito dalla regola della mano destra

In pratica si va a considerare la componente del vettore distanza (dal polo) perpendicolare alla linea d’azione della forza

Unità di misura: N m

Momento di una forza F rispetto ad un polo O

Momento flettente o torcente?

Il momento meccanico (momento della forza) esprime l'attitudine di una forzaa imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad unasse (nello spazio).

In generale l’effetto della flessione è quello di allungare alcune fibre dellastruttura e di accorciarne altre (vedi esempio gomma).

Nella torsione, l’effetto è quello di produrre delle rotazioni di entitàdipendente dalla distanza dal centro (nel caso di sezione circolare)

Le fibre siallunganoLe fibre si

accorciano

Momento flettente o torcente?

Il momento meccanico (momento della forza) esprime l'attitudine di una forzaa imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad unasse (nello spazio).

Frattura Spiroide(torsione)

Frattura Butterfly(flessione)

Flessione nelle endoprotesi

b1 b2

b2 < b1 quindi M2 < M1

F

Un differente disegno protesico può variare in modo significativo il momento flettente agente sul collo dello stelo

Esercizisul calcolo del momenti

Si calcoli il momento della forza da 600 N rispetto al punto O

Il concetto di vincolo

Analisi cinematica dei vincoli

Strutture isostatiche, ipostatiche e iperstatiche

LabilitàObiettivi della lezione: comprendere il concetto di vincolo strutturale e le sue implicazioni dicarattere cinematico, saper computare il numero di gradi di libertà e di gradi di vincolo di unastruttura formata da una o più aste, definire se questa è isostatica, iperstatica o ipostatica eanalizzare alcuni semplici casi di labilità

Il punto materiale

• Il punto materiale è un particolare modo dirappresentazione di un corpo quando non si tiene inconsiderazione la sua estensione nello spazio.

• La legittimità di tale astrazione è funzione della scalaalla quale si studia il moto del corpo stesso

Cinematica del punto materiale

• Descrivere il movimento di un punto materiale nello spazio, significaassegnarne la posizione in funzione del tempo rispetto ad un sistema diriferimento ritenuto fisso

• In un sistema cartesiano ortogonale, ciò equivale ad assegnare istante peristante i valori di tre parametri, ossia le coordinate x, y, z del punto chene definiscono la posizione durante il movimento.

z

x

y

P (x,y,z)

Dal punto materiale al corpo rigido• Il punto materiale è l’elemento astratto più semplice che si può introdurre per studiare

l’equilibrio dei corpi

• Si può adottare tale schema in una prima fase di analisi, semplificando notevolmentelo schema risolutivo Nei problemi astronomici o astronautici questo approccio èsicuramente spesso plausibile

• Invece, rappresentare un oggetto come corpo rigido, consente di considerarnel’estensione spaziale.

• Un corpo rigido è un oggetto costituito da infiniti punti materiali che noncambiano la loro posizioni relative. Quindi la distanza tra una qualunque coppia dipunti ad esso appartenenti resta invariata nel tempo. Si tratta di un’astrazionepoiché tutti i corpi reali sono soggetti ad una certa deformazione

Cinematica del corpo rigido

In modo analogo a quanto osservato in precedenzaper il punto materiale, per descrivere completamenteil movimento di un corpo rigido nello spazio sidovrebbe definire, istante per istante, la posizione diogni suo punto rispetto al sistema di riferimento

Tuttavia, ricordando che i punti che costituiscono ilcorpo rigido mantengono inalterata la distanzarelativa, tale condizione equivale di fatto adassegnare i valori di sei parametri (nel caso dicorpo libero) che ne definiscono la posizione duranteil movimento

Ad esempio è possibile fornire le coordinate di duepunti P1 e P2 del corpo (6 parametri) più l’angolo dirotazione del corpo attorno all’asse formato dallacongiungente i due punti (+1 parametro), ericordando che si ha una relazione che lega ladistanza tra i due punti (-1 parametro).

z

x

y

P1 (x1,y1,z1)

P2 (x2,y2,z2)

Un corpo si dice rigido quando ladistanza di due punti qualsiasi delcorpo si mantiene indefinitamentecostante nel tempo

Gradi di libertà e di vincolo del corpo rigido

• I “gradi di libertà” di un corpo rigido corrispondono ai parametri che occorreassegnare per determinare la sua posizione nello spazio.

• Un corpo complessivamente libero possiede 6 gradi di libertà

• Infatti si possono considerare 3 punti non allineati fornendo le tre coordinate diessi (9 parametri), ma ricordando che le loro mutue distanza non possonovariare (- 3 parametri)

Un corpo rigido non completamente libero di muoversi nellospazio (e quindi impossibilitato a raggiungere tutte lepossibili posizioni) è detto “vincolato”.

La trottola in figura è un corpo rigido che perde 3 gradi dilibertà se il suo punto di contatto con la superficie èfisso. Ne restano 3 (due angoli per la posizione dell’asse el’angolo di rotazione intorno all’asse)

Perde un solo grado di libertà se il punto di contattopuò muoversi sulla superficie (restano 5 gradi di libertà: i 3angoli definiti in precedenza e le due coordinate sul pianodel punto di contatto)

Movimento di un corpo rigido nel piano

Per le nostre trattazioni rivestono particolare interesse imovimenti dei corpi rigidi nel piano, che richiedono laconoscenza di solo tre parametri di posizione.

In particolare, le coordinate necessarie a definire la posizione delcorpo rigido sono: 2 coordinate dell’origine degli assi localirispetto agli assi fissi; 1 parametro angolare che definiscel’orientamento degli assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempiol’angolo θ che forma l’asse x con l’asse X).

Le tipologie di movimento di un corpo rigido nel piano si possonoclassificare come segue:

1. Traslazione: il corpo si muove in modo tale che tutte ledirezioni rettilinee, individuabili sul corpo, restano parallele ase stesse durante il moto (es. cabina di ascensore)

2. Rotazione: il corpo si muove in modo tale che un puntodenominato centro della rotazione ha spostamento nullo(es. trottola con punto P0 fisso).

3. Rototraslazione: il corpo si muove con movimento generico,ottenuto per sovrapposizione di traslazione e rotazione P0

Centro di istantanea rotazione (CIR)

• DEF. 1: Ogni atto di moto rigido di un corpo nel piano puòessere rappresentato mediante la rotazione del corpo attornoad un punto detto “Centro di Istantanea Rotazione” (CIR)

• DEF 2: Nel moto di un corpo rigido su un piano esiste in ogniistante del moto un punto del piano (ovvero equivalentementeun punto del corpo rigido) la cui velocità è nulla. Tale puntoviene definito centro di istantanea rotazione.

• Negli istanti in cui il moto ha carattere traslatorio il CIR si trovaall'infinito nella direzione normale a quella della velocitàdel moto traslatorio

• Nel caso di ruota rotolante e non strisciante, la rotazioneinfinitesima attorno al punto di contatto ruota-piano provoca inogni punto del corpo rigido uno spostamento diretto lungo lanormale al segmento congiungente il CIR con i punticonsiderati, con grandezza proporzionale alla distanza deipunti dal centro stesso.

• Il CIR è utilizzato anche per definire un movimentoinfinitesimo virtuale (consentito dai vincoli).

Il concetto di vincoloGli spostamenti rigidi di un corpo possono essere impediti vengono imponendodelle condizioni cosiddette «di vincolo»

Si definisce «vincolo» una qualunque condizione imposta ad un sistemamateriale che impedisce di assumere una generica posizione

e/o atto di moto.

Quindi il vincolo, in sostanza, è un’entità il cui fine è la limitazione del movimentodi un corpo.

Libera Vincolata(perde alcune possibilità di movimento)

Il concetto di vincoloNella pratica dell’analisi strutturale, i vincoli si classificano in esterni ed interni.

I vincoli esterni collegano i tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto(mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti della struttura tra diloro.

Vincoli esterni

Vincoli interni

Il concetto di vincoloNelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolaridispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni.

I vincoli esterni collegano i tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto(mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti della struttura tra diloro.

Vincolo interno

Vincolo esterno

Il concetto di vincoloNelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolaridispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni.

I vincoli esterni collegano i tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto(mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti della struttura tra diloro.

Ai fini delle successive trattazioni, si assumeranno alcune ipotesi sulla natura deivincoli che sono considerati perfetti, puntiformi, fissi, bilateri e privi d'attrito.

• Un vincolo si dice perfetto cioè non cedevole, quando è in grado di bloccarecompletamente lo spostamento a cui si oppone. La sua azione, quindi, nondipende dall’entità̀ delle forze agenti

• Puntiforme, se privo di estensione (esplica la sua azione in un punto)• Fisso se la sua posizione non dipende dal tempo• Bilatero quando agisce in una prefissata direzione e impedisce gli spostamenti

in entrambi i versi.

L’azione che il vincolo esplica è inoltre considerata indipendente dalle forzed’attrito, quindi si dice anche che il vincolo è «liscio»

Il concetto di vincolo

Vincolo

Carico

Vincolo

Carico

Possiamo considerare questo vincolo come puntiforme?

Il concetto di vincolo

Quindi, in definitiva, un vincolo rappresenta di fatto una condizione chelimita il moto di un corpo.

I vincoli si possono caratterizzare:

1) dal punto di vista cinematico, ossia in relazione agli spostamentiimpediti e permessi

2) dal punto di vista statico definendo le forze reattive (reazionivincolari) con le quali vengono annullati determinati gradi di libertà.

Dal punto di vista cinematico, ricordiamo che nel piano, il corporigido ha tre gradi di libertà (GdL) ossia:

• due traslazioni secondo i due assi di riferimento• una rotazione intorno ad un asse ortogonale al piano, e passante per

il polo di riferimento

La classificazione cinematica dei vincoli, dipende quindi dal fatto che essisopprimano uno, due o tre gradi di libertà al corpo rigido.

Noi ci occuperemo sempre di corpi rigidi nel piano (3 GdL) o disistemi di corpi rigidi nel piano (n corpi, 3n GdL).

Simbologia

Il nostro corpo rigido di riferimento è l’asta (o trave). Essa si simboleggia conun segmento rettilineo (caso più semplice) o di geometria più complessa eorientato in modo opportuno.

Il vincolo tipicamente è posizionato suuna delle estremità dell’asta o suentrambe.

Ogni vincolo ha una sua simbologiapeculiare riconosciuta a livellointernazionale

Incastro

Si schematizza il corpo considerato conun elemento lineare (trave, asta).

Immaginiamo di «bloccare» una delledue estremità

Il vincolo così ottenuto impediscequalunque traslazione e la rotazionedell’asta.

Incastro

L’incastro è, quindi, un vincolo triplo

GdL = 3

GdV = 3

GdL residui = 0

Incastro: esempi pratici

• Nella pratica ingegneristica gli incastrisi ottengono mediante saldature o altri collegamenti rigidi tipo viti e bulloni, come le mensole fissate nelmuro, i travi degli edifici etc.

• L’incastro viene talvolta realizzato non in un solo punto ma in una zona del corpo, la reazione allora vieneconsiderata in un solo puntoattraverso un sistema equivalente.

Incastro: esempi pratici

Cerniera

Si schematizza il corpo considerato conun elemento lineare (trave, asta).

Una delle due estremità è libera diruotare

Il vincolo così ottenuto impediscequalunque traslazione dell’asta (manon la rotazione).

La cerniera è quindi un vincolo doppio

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Cerniera a terra

Cerniera: esempi pratici

Carrello (cerniera con carrello)

Questo vincolo toglie la traslazione al corpo sulla direzione normale alla sua retta di scorrimento, consentendo contemporaneamente:

• traslazione lungo la retta di scorrimento (rotazione attorno al punto all’infinito della normale alla retta di scorrimento);

• rotazione attorno al perno della propria cerniera.

Il vincolo così ottenuto impedisce solo la traslazione verticale dell’asta

Il carrello è quindi un vincolo semplice

GdL = 3

GdV = 1

GdL residui = 2

Carrello

Pattino e manicotto

Questi vincoli permettono la traslazione in una direzione ma non la rotazione.

Il pattino si rappresenta come in figura con una linea parallela al piano di scorrimento ed un'asta, che può avere inclinazione libera, ma fissa.

Il manicotto rappresenta il caso in cui l'inclinazione dell'asta è parallela a quella del piano di scorrimento: si usa infatti disegnare una semplice linea che attraversa due superfici vicine e parallele (la cui area è tratteggiata se rappresentano la terra).

Entrambi i vincoli permettono la sola traslazione in una sola direzione e bloccano sia la traslazione in direzione ortogonale al vincolo, che la rotazione dell'asta sul pattino o attorno al manicotto.

Il pattino è quindi un vincolo doppio

GdL = 3

GdV = 2

GdL residui = 1

Pattino

Manicotto

Pattino e manicotto

Manicotto

Vincoli su più corpi

Esistono casi in cui il vincolo esplica la sua azione su più corpi uniti tra loro

Se uniamo due aste con un vincolo rigido (incastro interno) ad esempio con una saldatura o un incollaggio, otteniamo un sistema che da due corpi rigidi (6 GdL) si è ridotto ad un solo corpo rigido (3 GdL), quindi è stato introdotto un vincolo triplo.

NB non viene usata una rappresentazione grafica specifica

La cerniera sopprime due gradi di libertà

Il pattino sopprime due gradi di libertà

Il carrello sopprime un grado di libertà

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Parlando di singolo corpo rigido, e avendo definito i vincoli semplici che permettono il collegamento con l’esterno, l’analisi cinematica prevede i seguenti passi:

• bilancio tra GdL e GdV (verifica della isostaticità della struttura);

• valutazione eventuale labilità del corpo (spostamenti virtuali infinitesimi permessi).

Un corpo rigido o un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e al mondo esterno può contenere vincoli:

• in numero insufficiente a togliere ogni libertà di movimento (sistema ipostatico);

• in numero strettamente necessario all’obiettivo precedente (sistema isostatico);

• in numero sovrabbondante all’obiettivo precedente (sistema iperstatico).

Il sistema più semplice per effettuare tale valutazione è il conteggio di GdL e GdV e il successivo confronto

In particolare potremo avere: - GdL > GdV (sistema ipostatico); - GdL = GdV (sistema isostatico); - GdL < GdV (sistema iperstatico).

Analisi cinematica dei corpi rigidi

L = gradi di libertà (GdL)V = gradi di vincolo (GdV)

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Nei sistemi ipostatici

La determinazione delle reazioni vincolari (ossia dell’effetto del vincolo in terminidi forze in conseguenza dell’applicazione di carichi esterni) e quindi ladeterminazione della configurazione di equilibrio sono possibili solo perdeterminate configurazioni di forze applicate.

Nei sistemi isostatici (caso di maggior interesse)

L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari perqualunque sistema di forze applicate

Nei sistemi iperstaticiL’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari perqualunque sistema di forze applicate a patto che si considerino anche ledeformazioni della struttura e non solo le equazioni cardinali della statica. Inseguito si vedrà che la risoluzione delle strutture iperstatiche si basa su undoppio studio: equilibrio e deformazione

Esempio 1

Esempio 1

Consideriamo il singolo corpo rigido (asta semplice) in figura.

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 · (1 vincolo) = 2GdV

3 > 2, GdL > GdV

Il sistema è ipostatico

Analisi cinematica dei corpi rigidi

Nei sistemi ipostatici

La determinazione delle reazioni vincolari (ossia dell’effetto del vincolo in terminidi forze in conseguenza dell’applicazione di carichi esterni) e quindi ladeterminazione della configurazione di equilibrio sono possibili solo perdeterminate configurazioni di forze applicate.

F

La struttura resta equilibrata anche se i gradi di libertà sono maggiori dei gradi di vincolo

Esempio 2

Esempio 2

3 = 3, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

In questo caso l’asta è vincolata alle due estremità con:

Carrello (sinistra) = 1 GdV

Cerniera (destra) = 2 GdV

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: 1 (carrello) + 2 (cerniera) = 3 GdV

Esempio 3

Esempio 3

3 = 3, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

Trave incastrata ad una delle estremità. L’altro estremo è libero

Incastro = 3 GdV

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: incastro = 3 GdV

Esempio 4

Esempio 4

3 < 4, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è presente un incastro e a destra un carrello

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Carrello (destra) = 1 GdV

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: incastro + carrello = 3 +1 = 4 GdV

Esempio 5

Esempio 5

3 < 5, GdL < GdV

Il sistema è 2 volte iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è presente un incastro e a destra una cerniera

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Cerniera (destra) = 2 GdV

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: incastro + cerniera = 3 + 2 = 5 GdV

Esempio 6

Esempio 6

3 < 6, GdL < GdV

Il sistema è 3 volte iperstatico

In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambe le estremità con un incastro (trave doppiamente incastrata)

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Incastro (sinistra) = 3 GdV

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3 GdL

GdV: incastro + incastro = 3 + 3 = 6 GdV

Vincoli efficaci e non efficaci

Lo studio dell’efficacia dei vincoli nell’impedire rototraslazioni rigide congruenti della trave è di fondamentale importanza.

Esso consiste sia nel valutare se sono presenti un numero sufficiente di vincoli semplici (condizione necessaria) sia nell’appurare che i vincoli non siano mal posti, ovvero nell’esaminare la loro configurazione.

• Dunque la valutazione del rapporto tra gradi di libertà e gradi di vincolo di una struttura deve tenere conto anche della reale efficacia dei vincoli.

Si parla di vincolo “non efficace” o “inefficace” riferendosi ad un vincolo che, se aggiunto ad una situazione esistente, non è in grado di alterare la stabilità della struttura

Da ciò discende che per valutare l’efficacia dei vincoli nell’impedire rototraslazioni rigide congruenti è necessario esaminare sia la molteplicità (numero di vincoli semplici) sia la lorocollocazione/orientamento.

Ciò può essere fatto sia per via diretta sia da un punto di vista analitico.

Vincoli efficaci e non efficaci

Esempio: Consideriamo il singolo corpo rigido (asta semplice) in figura.

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: asta semplice = 3GdL

GdV: due carrelli = 2 · (1 vincolo) = 2GdV

Il sistema è ipostatico

Aggiungiamo un terzo vincolo semplice

Il bilancio ora lascerebbe pensare ad una struttura isostatica….ma è realmente così?

Quali possibilità di movimento ha l’asta?

Vincoli efficaci e non efficaci

C Se i vincoli consentono rototraslazioni rigide queste possono essere viste come rotazioni rigide attorno al centro di istantanea rotazione

In questo caso, nonostante siano presenti tre vincolisemplici, la loro configurazione dà luogo ad un centro dirotazione compatibile con tutti e tre, ovvero individuatodall’intersezione delle tre rette di azione: i vincoli sono malposti e dunque inefficaci.

Sistemi complessi (o articolati)

Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolatiche sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio: telaio

1

2

3

Esempio: fissatore

Sistemi complessi (o articolati)

Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolatiche sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio1

2

34

Sistemi complessi (o articolati)

I sistemi articolati sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni

Esempio1

2

34

Le aste 1 e 2, pur non essendo rettilinee, sono da considerarsi come un unico corpo perché, presi due punti qualsiasi, essi non possono mutare la loro distanza

Sistemi complessi (o articolati)

GdL degli n corpi liberi (aste) = 3·n

GdL residui = n (1 rotazione per ogni asta)

GdV = 3·n – n = 2·n

GdL degli n corpi liberi (aste) = 3·n

GdL residui = n +1 (1 rotazione per ogni asta + la traslazione del carrello)

GdV = 3·n – (n+1) = 3·n-n-1 = 2n -1

Nei sistemi articolati, il computo dei gradi di vincolo deve tenere conto delle aste concorrenti sul vincolo e delle residue possibilità di movimento

Sistemi complessi

Il calcolo è differente a seconda che si abbia a che fare con vincoli “a terra” o vincoli “interni”

Vincoli a terra

Vincoli interni

Esempio 7

Esempio 7

9 < 10, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 3 aste = 3 · 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+2+2+2 = 10 GdV

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terraGdV = 2·n = 2·1 = 2

Cerniera a terraGdV = 2·n = 2·1 = 2

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·1 -2 = 4-2 = 2

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Esempio 8

Esempio 8

9 = 9, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 3 aste = 3 · 3 = 9 GdL

GdV: 2+4+1+2 = 9 GdV

Cerniera a terraGdV = 2

Pattino a terraGdV = 2

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·3 -2 = 6-2 = 4

Carrello a terraGdV = 1

Esempio 9

Esempio 9

9 = 9, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 3 aste = 3 · 3 = 9 GdL

GdV: 2+2+3+2 = 9 GdV

Pattino a terraGdV = 2

Carrello a terraGdV = 2·n -1 = 2·2 -1 = 4-1 = 3

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Esempio 10

Esempio 10

15 = 15, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 5 aste = 5 · 3 = 15 GdL

GdV: 4+5+2+4 = 15 GdV

12

3

4

5

Cerniera a terraGdV = 2·n = 2·2 = 4

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·3 -2 = 6-2 = 4

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Carrello a terraGdV = 2·n -1 = 2·3 -1 = 6-1 = 5

Esempio 11

Esempio 11

6 > 4, GdL > GdV

Il sistema è ipostatico

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 2 aste = 2 · 3 = 6 GdL

GdV: 2+2 = 4 GdV

In particolare rimangono due libertà di movimento possibili:

1. la rotazione di tutto il sistema attorno alla cerniera fissa2. la rotazione relativa dell’asta 2 rispetto alla cerniera interna.

1

2Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terraGdV = 2•n = 2•1 = 2

Esempio 15

Esempio 15

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 7 aste = 3 · 7 = 21 GdL

GdV: 4+4+4+4+6 = 22 GdV

21 < 22, GdL < GdV

Il sistema è 1 volta iperstatico

31

2

45

6 7

Cerniera a terraGdV = 2·n = 2·2 = 4

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·3 -2 = 6-2 = 4 Cerniera interna

GdV = 2·n -2 = 2·3 -2 = 6-2 = 4

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·4 -2 = 8-2 = 6

Cerniera a terraGdV = 2·n = 2·2 = 4

Esempio 16

Esempio 16

IncastroGdV = 3

IncastroGdV = 3

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 1 asta = 3 GdL

GdV: 3+3 = 6 GdV

3 < 6, GdL < GdV

Il sistema è 3 volte iperstatico

Esempio 17

Esempio 17

Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.

GdL: 2 aste = 6 GdL

GdV: 2+2+2 = 6 GdV

6 = 6, GdL = GdV

Il sistema è isostatico

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terraGdV = 2·1 = 2·1 = 2

Cerniera a terraGdV = 2·1 = 2·1 = 2

Esempio 16

Infine va ricordato che il caso di un anello chiuso

• L’anello chiuso può essere immaginato come un’asta ripiegata su sè stessa e i cui lembi vengono saldati tra loro

• L’asta chiusa si definisce «internamente ipervincolata» e il grado di vincolo in eccesso è pari a 3

• I tre vincoli interni aggiuntivi possono essere rimossi (ad esempio con un taglio nella struttura), senza modificarne l’ equilibrio.

Strutture labili

L’analisi cinematica di una struttura fa riferimento a due condizioni specifiche

1. La molteplicità dei vincoli deve essere pari al numero dei gradi di libertà della struttura (condizioni necessaria);

2. I vincoli devono essere ben disposti, ossia cinematicamente efficaci (condizione sufficiente).

Quindi la condizione di uguaglianza tra GdL e GdV è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la struttura sia in equilibrio

Infatti deve essere impedita ogni sua possibile mobilità, anche solo virtuale

La prima condizione è di immediata verifica, essendo legata al computo e al confronto tra GdL e GdV

La seconda condizione, che richiede un’analisi più approfondita (soprattutto per strutture composte da più tratti e variamente articolate) si può verificare tramite due metodi:

• Metodo algebrico (approccio analitico, poco usato);• Metodo dei centri assoluti e relativi di rotazione (approccio geometrico)

Strutture labili

Carrello a terraGdV = 1

ManicottoGdV = 2

IncastroGdV = 3

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Carrello a terraGdV = 1

GdL = GdV = 6ma può RUOTARE

GdL = GdV = 3ma può TRASLARE

Strutture labili

• Il caso più frequente di labilità riguarda però la possibilità di eseguire movimenti virtuali infinitesimi consentiti dai vincoli

• Una tipica esemplificazione di questa condizione è riscontrabile nella struttura in figura (trave con vincolo cerniera – carrello mal disposto).

• Il CIR si trova nella cerniera a terra

GdL = GdV = 3

Arco a tre cerniere

• Un caso molto frequente di struttura semplice isostatica è l’arco a tre cerniere

Cerniera interna GdV = 2·n -2 = 2·2 -2 = 4-2 = 2

Cerniera a terraGdV = 2

Cerniera a terraGdV = 2

GdL: 2 aste = 3 · 2 = 6 GdL

GdV: 2+2+2 = 6 GdVIl sistema è isostatico

Arco a tre cerniere labile

• L’asta AB può ruotare rispetto all’asta BC attorno ad un punto qualsiasi che sta sulla retta congiungente i punti B e C

• In particolare l’asta AB può ruotare attorno al punto A, che è anche il movimento permesso dal vincolo a terra della stessa asta.

• Si ha labilità ogniqualvolta tre articolazioni (cerniere) sono allineate

Cerniera a terraGdV = 2

Cerniera a terraGdV = 2

A CB

Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste. Prendiamo in esame la struttura in figura

Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste. Prendiamo in esame la struttura in figura

2

2 2

24

2 4

6

GdL = 24GdV = 24

Il sistema è isostatico

Altri casi di labilità

• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una errata disposizione dei vincoli

• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste. Prendiamo in esame la struttura in figura

Parallelogramma articolato

2

2 2

2

2 2

6 6

GdL = 24GdV = 24

Il sistema è isostatico