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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán

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Objetivos de aprendizaje 1. Determinar la probabilidad en

situaciones donde hay resultados igualmente probables

2. Aplicar los conceptos a sencillos ejemplos de juegos de cartas y dados.

3. Determinar la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes

4. Determinar la probabilidad de que uno de dos eventos independientes ocurra

5. Resolver problemas que involucren probabilidad condicional 6. Determinar la probabilidad de que en un salón con N personas, al

menos dos cumplan años el mismo día. 7. Describir la falacia del apostador 8. Probabilidad de un evento aislado Si tiras un dado de seis caras, hay seis posibles resultados y cada uno de esos resultados es igualmente probable. Que resulte un seis es tan probable como que el resultado sea un tres, y lo mismo sucede con las otras cuatro caras del dado. Entonces ¿cuál es la probabilidad de que resulte un uno? Debido a que hay seis posibles resultados, la probabilidad es de 1/6. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un uno o un seis? Los dos resultados que nos interesan (uno o seis) son llamados resultados favorables. Dado que todos los resultados son igualmente, podemos determinar la probabilidad de un uno o un seis usando la fórmula:

numerode resultados favorablesprobabilidadnumerode resultados posibles igualmente probables

=

CONCEPTOS BÁSICOS



En nuestro caso hay dos resultados favorables y seis posibles resultados. Entonces la probabilidad de que resulte un uno o un seis es de 1/3. A propósito, no te confundas por el uso del término “favorable”. Debes entenderlo en el sentido de “favorable para que suceda el evento en cuestión.” Ese evento puede no ser favorable para tu propio fin, por ejemplo, en el caso de que estés apostando que va a caer un tres.

La fórmula anterior puede aplicarse a muchos otros juegos de azar. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una carta tomada al azar de una baraja sea un as? Como la baraja tiene cuatro ases, hay cuatro resultados favorables; y como la baraja tiene 52 cartas, hay 52 posibles

resultados. La probabilidad es entonces 4/52 = 1/13. ¿Y qué pasa con la probabilidad de que la carta sea de diamantes? Como hay 13 cartas de diamantes en la baraja, la probabilidad es 13/52 = ¼. Digamos que tienes una bolsa con 20 caramelos, de los cuales 14 son dulces y 6 son ácidos. Si tomas un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea dulce? Hay veinte caramelos que se pueden tomar, así que el número de posibles resultados es 20. De esos 20 posibles resultados, 14 son favorables (dulces), por lo que la probabilidad de que el caramelo sea dulce es de 14/20 = 7/10. Sin embargo, hay una complicación potencial en este ejemplo: debemos asumir que la probabilidad de tomar cualquier caramelo es la misma que la de tomar cualquier otro. Pero esto no sería cierto (vamos a imaginar) si los caramelos cerezas dulces son más pequeños que los ácidos. (Los caramelos ácidos llegarían más fácilmente a tu mano cuando la metieras en la bolsa.)



Por lo tanto, tengamos siempre en mente que cuando calculamos probabilidades en términos de la proporción de los casos que son favorables con todos los casos potenciales, estamos confiando en el supuesto de que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Aquí tenemos un ejemplo más complejo. Si lanzas 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 6? Para resolver este problema, haz una lista con todos los posibles resultados. Son 36 porque cada dado puede caer de seis maneras diferentes. Las 36 posibilidades se muestran a continuación: Como puedes ver, 5 de las 36 posibilidades dan como resultado 6. Por lo tanto, la probabilidad es de 5/36. Si conoces la probabilidad de que un evento ocurra, es fácil determinar la probabilidad de que no ocurra. Si P(A) es la probabilidad de que suceda el evento A, entonces 1 – P(A) es la probabilidad de que el evento A no ocurra. Hagamos un último ejemplo: la probabilidad de que la suma total de los dos dados sea 6 es de 5/36. Por lo tanto, la probabilidad de que la suma no sea 6 es 1 – 5/36 = 31/36.

Dado 1 Dado 2 Total Dado 1 Dado 2 Total Dado 1 Dado 2 Total

1 1 2 3 1 4 5 1 6

1 2 3 3 2 5 5 2 7

1 3 4 3 3 6 5 3 8

1 4 5 3 4 7 5 4 9

1 5 6 3 5 8 5 5 10

1 6 7 3 6 9 5 6 11

2 1 3 4 1 5 6 1 7

2 2 4 4 2 6 6 2 8

2 3 5 4 3 7 6 3 9

2 4 6 4 4 8 6 4 10

2 5 7 4 5 9 6 5 11

2 6 8 4 6 10 6 6 12



Probabilidad de dos (o más) eventos independientes Los eventos A y B son eventos independientes si la probabilidad de que ocurra el Evento B es la misma sin importar que el Evento A ocurra también o no lo haga.

Tomemos un ejemplo sencillo. Una moneda se lanza al aire dos veces. La probabilidad de que caiga águila en el segundo lanzamiento es de 1/2, sin que importe si en el primero también cayó águila. Los dos eventos son: 1) en el primer lanzamiento cae un

águila y 2) en el segundo lanzamiento cae un águila. Estos eventos son independientes. Ahora considera estos dos eventos: 1) “mañana va a llover en Ciudad Satélite” y 2) “mañana va a llover en Tlalnepantla (una ciudad cercana a Ciudad Satélite)”. Estos eventos no son independientes porque es más probable que llueva en Satélite los mismos días que llueva también en Tlalnepantla, y es menos probable que lo haga cuando en Tlalnepantla no llueva. Probabilidad de A y B Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es el producto de las probabilidades de cada evento por separado. Más formalmente, si los eventos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que tanto A como B ocurran es:

( ) ( ) ( )P A y B P A x P B= donde P(A y B) es la probabilidad de que los dos eventos, A y B, ocurran; P(A) es la probabilidad de que el evento A ocurra, y P(B) es la probabilidad de que el evento B ocurra.



Si lanzas una moneda al aire dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que las dos veces caiga águila? El evento A es que en el primer volado resulte un águila y el evento B es que en el segundo volado el resultado también sea águila. Tanto P(A) como P(B) tienen una probabilidad de 1/2; por lo tanto, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es:

1/2 x 1/2 = 1/4 Tomemos otro ejemplo. Si lanzas una moneda y un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que el lanzamiento de la moneda de cómo resultado un águila y el dado caiga en 1? Como los dos eventos son independientes, la probabilidad es simplemente la probabilidad del águila (que es 1/2), multiplicada por la probabilidad de que el dado caiga en 1 (que es 1/6). Por lo tanto, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es 1/2 x 1/6 = 1/12.

Un ejemplo más para terminar: si seleccionas una carta de la baraja, la devuelves y luego sacas otra carta, ¿cuál es la probabilidad de que el palo de la primera carta sea corazones y la segunda carta sea de un palo negro? Como hay 52 cartas en la baraja y 13 de ellas son de corazones, la probabilidad de que la primera carta

sea de corazones es 13/52=1/4. Como hay 26 cartas de un palo negro (picas y tréboles) en la baraja, la probabilidad de que la segunda carta sea de un palo negro es 26/52 = 1/2. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es, entonces, 1/4 x 1/2 = 1/8. Más adelante presentaremos la sección sobre probabilidad condicional donde veremos cómo se determina P(A y B) cuando A y B no son independientes.



Probabilidad de A ó B Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad de que cualquiera de ellos ocurra es:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) En esta discusión, cuando decimos “que A o B ocurra”, estamos incluyendo tres posibilidades:

Que A ocurra y B no ocurra Que B ocurra y A no ocurra Que ambos, A y B, ocurran

Este uso de la palabra “o” es llamado de manera técnica “o” inclusiva porque incluye el caso de que tanto A como B ocurran. Si incluyéramos solamente los primeros dos casos, estaríamos usando una “o” exclusiva. Podemos derivar la ley para P(A o B) de nuestra ley sobre P(A y B). El evento “A o B” puede suceder de cualquiera de las siguientes maneras:

Que sucedan “A y B” Que suceda “A si y B no” Que suceda “A no y B sí”

El evento simple A puede suceder, tanto si ocurren “A y B”, como si sucede “A si y B no”. De manera similar, el evento simple B sucede tanto si suceden “A y B”, como si sucede “A no y B sí”. P(A) + P(B) es entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A P B P A y B P A si y B no P A y BP A no y B sí

+ = + + +



mientras que P(A o B) es igual a :

P(A o B) = P(A y B) + P(A si y B no) + P(A no y B sí). de donde:

P(A o B) - P(A si y B no) - P(A no y B sí) = P(A y B) si le restamos a la primera una ocurrencia de P(A y B), tenemos:

( ) ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A o B P A si y B no P A no y B sí

P A si y B no P A y B P A no y B sí+ = +

+ + Y entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B). Veamos ahora algunos ejemplos. Si lanzas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila en el primer volado o águila en el segundo volado (o ambas cosas)? Aceptando que el evento A sea águila en el primer volado y que el evento B sea águila en el segundo volado, entonces P(A) = 1/2, P(B) = 1/2, y P(A y B) = 1/4. Por lo tanto,

P(A o B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4. Si lanzas un dado de seis caras y luego lanzas una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 6 en el dado o un águila en la moneda (o ambas cosas)? Usando la misma fórmula,

P(6 o águila) = P(6) + P(águila) – P(6 y águila) = (1/6) + (1/2) – (1/6)(1/2) =7/12 Una manera alternativa de determinar este valor consiste en empezar por determinar la probabilidad de que no obtengamos ni un 6 ni un águila. Entonces restamos este valor a 1 para determinar la probabilidad de obtener un 6 o un águila.



Aunque éste es un método complicado, tiene la ventaja de ser aplicable a problemas con más de dos eventos. Aquí está el cálculo con nuestro ejemplo: la probabilidad de no obtener un 6 o un águila puede ser reformulado como la probabilidad de [(no obtener un 6) y (no obtener un águila)]. Esto porque si no obtuviste un 6 y no obtuviste un águila, entonces no obtuviste un 6 o un águila. La probabilidad de no obtener un 6 es 1 – 1/6 = 5/6. La probabilidad de no obtener un águila es 1 – 1/2 = 1/2. La probabilidad de no obtener un seis y no obtener un águila es 5/6 x 1/2 = 5/12. Ésta es la probabilidad de no obtener un 6 o un águila; por lo tanto, la probabilidad de obtener un seis o un águila es (una vez más) 1 – 5/12 = 7/12.

Si tiras un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que en una o más de tus tiradas caiga un 1? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada o un 1 en la segunda tirada o un 1 en la tercera tirada? La forma más fácil de abordar este problema consiste en determinar la probabilidad de:

no obtener un 1 en la primera tirada y no obtener un 1 en la segunda tirada y no obtener un 1 en la tercera tirada.

La solución sería 1 menos esta probabilidad. La probabilidad de no obtener un 1 en ninguna de las tres tiradas es 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 1 en al menos una de las tres tiradas es 1 – 125/216 = 91/216. Probabilidades condicionales A menudo se necesita determinar la probabilidad de un evento, dado que otro evento ha ocurrido. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que dos cartas tomadas al azar de una baraja sean dos ases? A primera vista parecería que puedes usar la fórmula para la



probabilidad de dos eventos independientes y que basta con multiplicar 4/52 x 4/52 = 1/169. Sin embargo, esto sería incorrecto porque los dos eventos no son independientes. Si la primera carta tomada es un as, entonces la probabilidad de que la segunda también lo sea, resultará menor porque ya solo quedarían tres ases más en la baraja. Una vez que la primera carta elegida resultó ser un as, la probabilidad de que la segunda carta elegida también lo sea es llamada probabilidad condicional de obtener un as. En este caso la “condición” es que la primera carta sea un as. Simbólicamente podemos escribir esto como: P (seleccionar un As en la segunda carta / seleccionar un As en la primera carta) La barra diagonal “/” debe entenderse como “dado que” o “dada la condición”, así que la anterior expresión es la manera corta de decir “La probabilidad de seleccionar un as en la segunda carta dado que al seleccionar la primera carta salió un as.” ¿Cuál es ésta probabilidad? Después de seleccionar un as, sólo quedan otros 3 ases entre las 51 cartas que restan en la baraja. Esto significa que la probabilidad de que uno de esos ases aparezca es de 3/51 = 1/17. Si los eventos A y B no son independientes, entonces:

P(A y B) = P(A) x P(B/A). Al aplicar esto al problema de los dos ases, la probabilidad de obtener dos ases de la baraja es 4/52 x 3/51 = 1/221. Un ejemplo más: Si tomas dos cartas de la baraja, ¿cuál es la probabilidad de que extraigas el as de Diamantes y una carta de palo negro? Hay dos formas de cumplir con esta condición:



1. puede salir primero el as de diamantes y luego una carta de palo negro, o

2. puede salir primero una carta de palo negro y luego el as de diamantes.

Hagamos el cálculo para el caso 1. La probabilidad de que la primera carta sea el as de diamantes es de 1/52. La probabilidad de que la segunda carta sea de picas o tréboles (palo negro), dado que la primera fue el as de diamantes, es de 26/51, porque 26 de las 51 cartas restantes son de palo negro. La probabilidad es entonces de 1/52 x 26/51 = 1/102. Ahora veamos el caso 2: la probabilidad de que la primera carta sea de palo negro es 26/52 = 1/2. La probabilidad de que la segunda carta sea el as de diamantes, dado que la primera fue de palo negro, es de 1/51. La probabilidad del caso 2 es entonces 1/2 x 1/51 = 1/102, la misma probabilidad del caso 1. Recuerda que la probabilidad de A o B es P(A) + P(B) – P(A y B). En este problema, P(A y B) = 0, porque una carta no puede ser as de diamantes y de palo negro a la vez. Por lo tanto, la probabilidad [del caso 1 o del caso 2] es 1/101 + 1/101 = 2/101. Así, 2/101 es la probabilidad de que salga un as de diamantes y una carta de palo negro cuando tomes dos cartas de la baraja. Problema del cumpleaños

Si hay 25 personas en un salón, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día? Si lo primero que se te ocurre es pensar que la respuesta es 25/365=0.068, te sorprenderá saber que la probabilidad es mucho más alta. Este problema requiere la

aplicación de los conocimientos adquiridos en las secciones de P(A y B) y de probabilidad condicional.



La mejor forma de atacar este problema es preguntarse ¿cuál es la probabilidad de que dos personas no compartan el mismo día de cumpleaños? Una vez que conozcamos esta probabilidad, podemos sencillamente restarla a 1 para encontrar la probabilidad de que dos personas compartan el día de cumpleaños. Si seleccionamos dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no compartan cumpleaños? De los 365 días en los que la segunda persona puede cumplir años, 364 de ellos son diferentes al día en que cumple años la primera persona. Por lo tanto, la probabilidad es de 364/365. Definamos P2 como la probabilidad de que la segunda persona seleccionada no comparta el día de cumpleaños con la persona seleccionada en primer lugar. P2 es entonces 364/365. Ahora definamos P3 como la probabilidad de que una tercera persona seleccionada al azar no comparta el día de cumpleaños con ninguna de las seleccionadas previamente dado que no hay coincidencias previas de cumpleaños. P3 es entonces una probabilidad condicional. Si no hay coincidencias previas de cumpleaños (es decir, entre la primera y la segunda personas seleccionadas), entonces dos de los 365 días del año han sido “desechados”, dejando 363 días con la posibilidad de no coincidir. Por lo tanto P3 = 363/365, P4 = 362/365, y así en adelante hasta P25 = 341/365. Para que no haya coincidencias, la segunda persona debe no coincidir con ninguna persona previa y la tercera persona debe no coincidir con ninguna persona previa, y la cuarta persona debe no coincidir con ninguna persona previa, y así sucesivamente. Como P(A y B) = P(A) P(B), lo único que tenemos que hacer es multiplicar P2 por P3 por P4... por P25. El resultado es 0.431. Por lo tanto la probabilidad de que haya al menos una coincidencia es 1-0.431 =0.561.



La falacia del apostador Una moneda es lanzada al aire cinco veces y cada vez cae un águila. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un águila en el sexto volado? La respuesta correcta es, desde luego, 1/2. Pero muchas personas creen que es más factible que caiga un sol después de que salieron cinco águilas. Su razonamiento equivocado debe ser más o menos así: “A la larga, el número de águilas y soles será el mismo, así que los soles tienen que empezar a salir.” Las fallas de esta lógica están expuestas en la simulación correspondiente a esta sección.

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