CONCEPTO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ José Miguel Dávila Martín. Profesor Asociado

CONCEPTO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES

CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

José Miguel Dávila Martín. Profesor Asociado

CONCEPTOS DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

Sea un muelle sometido en su extremo inferior a una carga P. Por efecto de esta carga el muelle sufrirá una alargamiento L proporcional a la carga. De igual forma, si el muelle sufre una alargamiento L, aparecerá una carga P proporcional al alargamiento y a la constante K del muelle.

L

P

P= K·L; L= (1/K)·P= F·P

(K= P, si L= 1) (F= L, si P= 1)

M M·FM·K1

LI·E·4

KKM

(K= M, si = 1) (F= , si M= 1)

K·F= 1

Consideremos ahora el caso de una barra elemental con un extremo empotrado y el otro articulado. Si sometemos el extremo articulado a un desplazamiento angular , aparecerá un momento M de igual sentido de giro y proporcional al mismo.


RIGIDEZ: es la fuerza (P, Mf, Mt) que aparece ante un movimiento unidad.

FLEXIBILIDAD: es el movimiento (u, v, , f) que produce una fuerza unitaria.

Se dice que un material es muy rígido (k grande) cuando hace falta una gran fuerza para deformarlo (la unidad).

Se dice que una material es muy flexible cuando una pequeña fuerza (unidad) lo deforma mucho( F grande).

COMPRESIÓN

FLEXIÓN

RÍGIDO FLEXIBLE

RÍGIDO FLEXIBLE


RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES

BARRA DE CELOSÍA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS)

Aplicando la ley de Hooke, el alargamiento producido por una esfuerzo normal es L= (L·N)/(A·E); si por el contrario obtenemos el esfuerzo a partir de la deformación, N= ((A·E)/L)· L= K· L

Sea una barra elemental de longitud L y nudos extremos 1 y 2

L1 2

Si en el nudo 1 se aplica un movimiento unitario, como respuesta aparecerá una fuerza en el nudo 1 y otra de reacción en el nudo 2.

u1=1

u2=0

L

EAK

11 L

EAK

21

Si el movimiento se aplica ahora en el nudo 2, aparecerá una fuerza en el nudo 2 y la reacción en el 1.

u1=0

u2=1

L

EAK

12

L

EAK

22


Si aplicamos los dos movimientos de forma sucesiva y sumamos los términos de cada fuerza en los extremos de la barra:

2121111 uKuKF

2221212 uKuKF

2

1

2

1

··

··

u

u

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

F

F

esa misma ecuación se puede escribir en forma matricial como sigue


v1

V1

M2 V3

M4

BARRA DE PÓRTICO, ESTRUCTURA PLANA (BARRA INEXTENSIBLE). (No se considera tracción – compresión)

Imaginemos una barra del tipo indicado; al despreciarse la tracción – compresión (y con ello deformaciones axiales, alargamientos – acortamientos) los movimientos posibles de los nudos serán el perpendicular a la barra y el giro, cuatro movimientos en total por barra.

12

34

L

Si aplicamos sucesivamente movimientos unitarios en los nudos 1 y 2, obtendremos las fuerzas y momentos en el propio nudo y en el opuesto.

Empecemos pués aplicando un movimiento vertical unitario en el nudo 1 (manteniendo el resto de desplazamientos nulos). Como consecuencia de él aparecerán dos fuerzas verticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

V1= v1·k11; M2= v1·k21

V3= v1·k31; M4= v1·k41


V1

M2

V3

M4

En el siguiente estado se somete a la barra a un giro unitario en el nudo 1 (2= 1, v1= 0, 4= 0, v3= 0). Como consecuencia de él aparecerán dos fuerzas verticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

V1= 2 ·k12; M2= 2 ·k22

V3= 2 · k32; M4= 2 ·k42

2= 1

v3

V1

M2 V3

M4

Seguimos con el proceso, aplicando los movimientos restantes

(primero v3= 1 y después 2= 1).

V1= v3·k13; M2= v3·k23

V3= v3·k33; M4= v3·k43

V1

M2

V3

M44= 1

V1= 4 ·k14; M2= 4 ·k24

V3= 4 · k34; M4= 4 ·k44

Como 2 es un movimiento unitario, se deduce que V1= k12, M2= k22, V3= k32, M4= k42


Una vez obtenidos los diferentes términos de rigidez en cada uno de los estados, se pueden representar los mismos de forma matricial tal como sigue.

En esta matriz se pueden agrupar los términos por nudos quedando de forma esquemática de la siguiente manera:

2221

1211

KK

KK

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

K

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

44434241

34333231

24232221

14131211

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

K


BARRA DE PÓRTICO PLANO EXTENSIBLE

Supongamos una barra similar a la del caso anterior en la que ahora no se desprecien las deformaciones axiales. Las cargas verticales y momentos las obtendríamos de forma idéntica a las del apartado anterior, y los términos correspondientes a las deformaciones axiales seguirían el procedimiento a las obtenidas de las barras de celosía, aplicando la ley de Hooke: K= EA/L

23

56

L

1 4

Operando de esta manera obtendríamos la matriz de rigidez de este tipo de barra, que relacionaría fuerzas y momentos en los nudos con los movimientos correspondientes en los mismos.

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

6

5

4

3

2

1

v

u

v

u

LEI4

LEI6

0LEI2

LEI6

0

LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

0

00L

EA00

LEA

LEI2

LEI6

0LEI4

LEI6

0

LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

0

00L

EA00

LEA

M

V

N

M

V

N

Esta matriz se puede escribir de forma condensada:

2

1

2221

1211

2

1

U

U

KK

KK

F

F


ELEMENTO DE EMPARRILLADO

Se considera como elemento de emparrillado aquel que tiene las cargas perpendiculares al plano de la estructura. En este tipo de elementos pueden aparecer desplazamientos verticales y giros en dos planos perpendiculares al de la estructura; es el tipo de elemento que suele utilizarse para discretizar las estructuras tipo placa.

En esas condiciones los vectores de fuerzas y desplazamientos quedarían así:

Z

X

Y

X

Z

Y

T

M

F

F;

u

U

Y

Mx

Tz

X

Z

Criterio de signos

Aislando uno de los elementos nos quedarían seis movimientos o fuerzas, tres por nudo.

132

465

Nótese que los giros 2 y 5 son de flexión, mientras que los 3 y 6 serían de torsión.


Si recordamos el término correspondiente a la barra de celosía, que obtuvimos por aplicación de la ley de Hooke, podríamos así mismo determinar el término correspondiente a la rigidez a torsión.

L

GI

LEA p

En esta ecuación G es el módulo de elasticidad transversal, Ip el momento de inercial polar y L la longitud de la barra.

Con este término de rigidez y los ya determinados en los casos de barras elementales sometidas a flexión obtenemos la matriz de rigidez del elemento de emparrillado.

6

5

4

3

2

1

pp

22

2323

pp

22

2323

6

5

4

3

2

1

v

v

L

GI00

L

GI00

0LEI4

LEI6

0LEI2

LEI6

0LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

L

GI00

L

GI00

0LEI2

LEI6

0LEI4

LEI6

0LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

T

M

V

T

M

V


8

7

12

2

1

6

1

35

9

7

11

4 10

BARRA DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL

Se trata del caso más completo de elementos tipo barra. En él cada nudo tiene seis posibles movimientos, tres desplazamientos y tres giros

Para entender este elemento estudiemos las fuerzas y movimientos que aparecen en cada uno de los planos coordenados.

Como se observa, los momentos del plano xy son de flexión (6 y 12), al igual que los del plano xz (5 y11), mientras que los del planos yz serían momentos torsores (4 y 10).

X

Y

Z

8

10

11

7710

12

9

1

2

6 4

3

5


Entendidos los distintos movimientos y fuerzas que aparecen en este tipo de barra, pasemos a escribir la matriz de rigidez de la misma, y la ecuación que relaciona fuerzas y desplazamientos.

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

T

M

M

V

V

N

T

M

M

V

V

N

LEI4

000LEI6

0LEI2

000LEI6

0

LEI4

0LEI6

000LEI2

0LEI6

00

LGI

00000L

GI000

LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI12

0LEI6

000LEI12

0

LEA

00000L

EA

LEI4

000LEI6

0

LEI4

0LEI6

00

LGI

000

LEI12

00

LEI12

0

LEA

Z

2

ZZ

2

Z

Y

2

YY

2

Y

PP

3

Y

2

Y

3

Y

3

Z

2

Z

3

Z

Z

2

Z

Y

2

Y

P

3

Y

3

Z

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

v

v

u

v

v

u

SIMETRÍASIMETRÍA

SIMETRÍA


CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

1. UN ELEMENTO kij REPRESENTA LA FUERZA QUE APARECE EN LA COORDENADA i CUANDO SE APLICA UN MOVIMIENTO UNIDAD EN LA COORDENADA j (MANTENIENDO NULOS TODOS LOS DEMÁS).

2. LA COLUMNA k SE GENERA ANALIZANDO LAS FUERZAS QUE VAN APARECIENDO EN TODAS LAS COORDENADAS AL COMUNICAR UN MOVIMIENTO UNIDAD EN k (MANTENIENDO NULOS TODOS LOS DEMÁS).

3. SEGÚN EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD, LA MATRIZ K ES SIMÉTRICA (kij= kji).

4. LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL NO PUEDEN SER NEGATIVOS, PUÉS REPRESENTAN LAS FUERZAS QUE APARECEN EN CADA COORDENADA AL DAR JUSTAMENTE MOVIMIENTOS UNIDAD EN ELLOS MISMOS.

5. LA FILA k SE GENERA ANALIZANDO LAS FUERZAS QUE VAN APARECIENDO EN UNA MISMA COORDENADA AL COMUNICAR SUCESIVAMENTE MOVIMIENTOS UNIDAD EN TODAS LAS COORDENADAS (INCLUSIVE LA k), Por ejemplo, un momento flector en el nudo puede ser la suma de los efectos producidos por los movimientos perpendiculares a la barra y giros en el propio nudo o en el nudo opuesto.


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