Concepción didáctica del cálculo aritmético

Tesis de doctorado de la MSc. Matilde Bernabeu Plous. Instituto Central de Ciencias Pedaggicas. Ao 2005.

REPBLICA DE CUBA MINISTERIO DE EDUCACIN INSTITUTO CENTRAL DE CIENCIAS PEDAGGICAS

UNA CONCEPCIN DIDCTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL CLCULO ARITMTICO EN EL PRIMER CICLO

TESIS PRESENTADA EN OPCIN AL GRADO CIENTFICO DE DOCTORA EN CIENCIAS PEDAGGICAS.

Autora: MSc. Matilde Bernabeu Plous.

Tutora: Dra. Celia Rizo Cabrera. Consultante: Dr. Sergio Ballester Pedroso.

CIUDAD DE LA HABANA 2005

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Agradecimientos:El fruto de esta investigacin ha retoado porque han sido muchas las personas e instituciones que lo han regado constantemente, con su sabidura. Estoy agradecida a todo aquel que con su amor ha aportado algo de s para que hoy podamos presentar este humilde trabajo. Por todo lo anterior agradecemos especialmente: Al ISP Enrique Jos Varona por la formacin que poseo y la ayuda profesional recibida, y en especial, a la Dra. Maria Teresa Ferrer Madraso, y a la Dra. Julia Aorga. A mi tutora la Dra. Celia Rizo Cabrera, por el amor, dedicacin y comprensin brindada. Al Dr. Luis Campistrous Prez por contribuir en mi formacin. A el Dr. Sergio Ballester Pedroso, mi profesor, de quin aprendo todos los das y es para mi un ejemplo de MAESTRO. Al Dr. Orlando Valera por su comprensin y dedicacin. A mis compaeros de trabajo del ICCP y en especial a la Dra. Edith Miriam Santos Palma, el Dr. Ariel Ruiz, el Dr. Justo Chvez y al Consejo de Direccin. A mis primas Juana Vallin Plous, Barbara Tapia Plous y sus compaeros de trabajo, gracias por dedicarme parte de tu tiempo libre y hacer posible este sueo. A mis oponentes del acto de predefensa la Dra. Marta lvarez y Dr. Hctor Jmenez. Y a la familia Bernabeu Plous por todo el apoyo, comprensin y ayuda brindada.

Gracias

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Matilde Bernabeu Plous.

Dedicatoria:A la REVOLUCIN, por existir, resistir y sobrevivir. A quin me dio vida, amor e hizo de mi una persona de bien, quin me acompa desde que abr los ojos al mundo, vel por cada sueo mo y hubiera querido SONREIR al ver este informe concluido. A quin hizo posible que sea quin soy. Una maestra entregada a la humanidad. Para ti MIMA, es tan poco pero es tu sueo hecho realidad, desde lo alto que mires HE CUMPLIDO CONTIGO, COMO SIEMPRE.

A MIS HIJAS mis amigas sinceras, por utilizar parte del tiempo que por ley de la vida tena que dedicarles. A todos los NIOS del pas, que, por ley de la profesin son mis hijos tambin. A la Dra. Balbina Pita Cspedes una pedagoga que se distingue por sus cualidades humanas. El amor, la solidaridad y la sinceridad con que comparte cada intercambio profesional expresan la belleza de su alma.

A Rafael Bell Rodrguez, una persona excepcional. Matilde Bernabeu Plous.

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SNTESISEn el trabajo se presenta una Concepcin Didctica para el aprendizaje del clculo aritmtico en el primer ciclo. Uno de sus fundamentos esenciales lo constituye el Modelo Proyectivo de la Escuela Primaria Cubana propuesto por el ICCP. Se analiza una concepcin didctica para el tratamiento del clculo aritmtico en el primer ciclo de la educacin primaria que entre otros aspectos propone un reordenamiento de las etapas del clculo, una nueva clasificacin de los niveles del clculo aritmtico teniendo en cuenta la transferencia y la introduccin de la calculadora con fines heursticos y la introduccin del clculo instrumental.

El trabajo sistematiza aspectos histricos que han servido como base al tratamiento de la aritmtica en Cuba; ofrece una fundamentacin filosfica, psicolgica, pedaggica y didctica del tratamiento del clculo en el primer ciclo. En esta concepcin didctica por primera vez se sistematizan y generalizan los aspectos esenciales del tratamiento del clculo, a partir del estudio detenido de cada categora pedaggica. Hasta hoy este es un anlisis que se hace desde lo particular a partir de cada unidad. Aqu se aportan elementos esenciales comunes que no pueden dejar de tenerse en cuenta en cada una de estas categoras en el tratamiento del clculo. En la concepcin se insiste en la necesidad de que el alumno se implique tanto en lo intelectual como en lo emocional, que se tengan en cuenta sus vivencias, que se forme con un enfoque humanista, que en el proceso de desarrollo de habilidades de clculo se considere la necesaria unin de los aspectos, cognitivos, afectivos y volitivos.

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TABLA DE CONTENIDOS:INTRODUCCIN. Pg. 1 CAPTULO I CONSIDERACIONES HISTRICAS Y TERICAS DE LA ENSEANZA DE LOS NMEROS NATURALES Y EL CLCULO EN LA ESCUELA PRIMARIA CUBANA. Pg. 11

I. La enseanza de los nmeros naturales y el clculo en cuba. Consideraciones histricas. ..Pg. 12 I.1 Etapa de la Colonia. ..Pg. 13 I.2 Etapa de la Repblica. ..Pg. 16 I.3 Etapa de la Revolucin. Pg. 21 i.4 Algunos fundamentos tericos generales que son tiles para la enseanza del clculo aritmtico. .Pg. 31 I.4.1 Fundamentos Filosficos. ..Pg. 31 I.4.2 Fundamentos Psicolgicos. ..Pg. 33 I.4.3 Fundamentos Pedaggicos y Didcticos. ..Pg. 39 CAPTULO II UNA CONCEPCIN DIDCTICA PARA EL TRATAMIENTO DEL CLCULO ARITMTICO EN EL PRIMER CICLO DE LA EDUCACIN Y SU DIDCTICA. II.1 Consideraciones iniciales acerca de la numeracin y el clculo desde el punto de vista matemtico y su didctica. Pg. 50 II.2 Aspectos generales sobre la Concepcin Didctica que se propone. ..Pg. 54 II.2.1 Precisin de algunos trminos del contenido matemtico que sern utilizados en el anlisis posteriorPg. 55 II.2.2 Las categoras del proceso enseanza aprendizaje en la Concepcin Didctica. ...Pg. 56 II.2.3 Principios de la Concepcin Didctica Pg. 62 II.2.4 Exigencias de la Concepcin Didctica...Pg. 63 II.3. Aspectos especficos del contenido matemtico y de su tratamiento didctico de la concepcin didctica que se propone. ..Pg. 65 II.3.1 Sobre el papel de la transferencia. ..Pg.65 II.3.2 Sobre la ordenacin y extensin de las dificultades del clculo oral. .Pg. 69 II.3.3 Sobre la extensin del intervalo numrico de 100 a 1 000 en esos grados.Pg. 72 II.3.4 Sobre el papel del conteo en la enseanza y el aprendizaje del clculo. .Pg. 74 II.3.5 Sobre la introduccin de la calculadora en el primer ciclo. .Pg.78

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II.4 Algunos puntos de vista metodolgicos en el tratamiento del clculo aritmtico en la Concepcin Didctica. Pg. 80

CAPTULO III VALIDACIN DE LA FACTIBILIDAD DE ALGUNOS ASPECTOS ESENCIALES DE LA CONCEPCIN DIDCTICA III.1 Etapa referida al clculo en los primeros grados. Pg. 96 III.1.1 Etapa preliminar de obtencin de ideas. Primera intervencin en la prctica: estudio exploratorio.. Pg. 96 III.1.2 Etapa de validacin de aspectos esenciales del tratamiento del clculo. Segunda intervencin en la prctica. Validacin emprica. ..Pg. 99 III.2 Etapa referida a la introduccin de la calculadora en la escuela primaria. Tercera intervencin en la prctica: validacin emprica. Pg. 105 III.2.1 Desarrollo de la etapa preliminar de la experiencia en el curso 2 000 2 001... Pg. 105 III. 2.2 Desarrollo de la experiencia en el curso 2 001 2 002. .Pg. 107 III.3 Anlisis de los resultados de los instrumentos aplicados. Pg. 108 III.3.1 Encuesta sobre la introduccin de la calculadora en la escuela.. Pg. 108 III.3.2 Test sobre el desarrollo de las habilidades de clculo de los alumnos antes y despus de la experiencia... Pg. 115

CONCLUSIONES... Pg. 117 RECOMENDACIONES. Pg. 118 ANEXOS

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Sin pretender dirigir a los maestros, espero que no llevarn a mal una insinuacin que es fruto de la experiencia de algunos aos que consagr a la carrera de la enseanza y redcese a hacerlos observar que mientras ms hablen, menos ensearn, y que por tanto, un maestro debe hablar muy poco, pero muy bien, sin la vanidad de ostentar elocuencia, y sin el descuido que sacrifica la precisin. Esto es indispensable para que el discpulo pueda observarlo todo, y no sea un mero elogiador de los brillantes discursos de su maestro, sin dar razn de ellos. La gloria de un maestro es hablar por boca de sus discpulos. Flix Valera.

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INTRODUCCIN Hoy en da, la sociedad cubana se plantea la importante necesidad de enriquecer la formacin cultural del hombre, cuya preparacin le ponga a la altura del desarrollo del mundo actual. (MINED, 2001) En este proceso de transformacin en que se est gestando una reformulacin de la cultura escolar, las investigaciones realizadas nos muestran que hay problemas centrales en el proceso de enseanza aprendizaje, entre otros, acumulacin de insuficiencias en el resultado del aprendizaje, que se incrementan de grado en grado y que se manifiestan en el limitado desempeo de los alumnos en la asimilacin y uso de los conocimientos, que en general son dbiles y no rebasan el plano reproductivo. La estimulacin al desarrollo intelectual y la formacin de habilidades para aprender a aprender se trabajan de forma limitada, en ocasiones de manera espontnea y las acciones educativas para la formacin de cualidades y valores en los alumnos, no se asocian suficientemente al proceso de enseanza aprendizaje, desde la propia clase. (MINED, 2001, p.4) En el V Seminario Nacional para Educadores celebrado en noviembre 2004, se concretan las anteriores insuficiencias, al introducir algunos elementos de las investigaciones realizadas en este sentido, en particular, se ha trabajado en el llamado diagnstico fino de los conocimientos y habilidades de los alumnos, sobre cuya base se han determinado sus principales dificultades: La falta de una comprensin conceptual, lo que se refleja al operar con entes cuyo significado se desconoce o con algoritmos que se aplican sin saber de donde provienen. La incapacidad para aplicar conceptos y modelos a situaciones dadas, de traducir un problema de la realidad a uno matemtico, en definitiva, de poner los conocimientos y habilidades en accin. Las limitaciones para aplicar procedimientos lgicos y comunicar ideas matemticas de forma oral o escrita. El desconocimiento de la utilidad y el carcter instrumental de los conocimientos matemticos. No obstante, el modo en que estas dificultades se han pretendido resolver ha sido muchas veces infructuoso, agotador y ha provocado un

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sentimiento de frustracin en los docentes, que no ven correspondidos sus esfuerzos. Con respecto al trabajo en la direccin de la elevacin del nivel cultural de nuestro pueblo, y en especial de los escolares que se encuentran en el nivel primario, se han desarrollado acciones de transformacin y de control de la situacin que existe, que datan de varios aos atrs. Estas acciones han sido muy notorias en lo que se refiere a la enseanza y el aprendizaje de la matemtica. Por ejemplo, en la etapa de inicio del Perfeccionamiento Continuo del Sistema Nacional de Educacin (1975), se establece una concepcin metodolgica, avalada cientficamente, del tratamiento de la numeracin y el clculo con nmeros naturales. Esta concepcin fundamenta las ventajas del desarrollo de habilidades de clculo en los 100 primeros nmeros naturales y la posibilidad de ampliar la numeracin a partir de las condiciones previas que sobre clculo poseen los escolares. El xito de esta concepcin es avalada por la prctica educativa de todos estos aos y por el reconocimiento a nivel mundial de sus bondades. Sin embargo, los estudios durante la dcada del 90 del siglo XX han revelado algunas insuficiencias en el aprendizaje del clculo aritmtico por los escolares menores, problemtica que no es privativa del sistema educativo cubano. De igual modo, resultados de investigaciones realizadas por el ICCP durante la dcada del 90 y a inicios de este siglo, plantean que los conocimientos y las habilidades de los escolares disminuyen en la medida que transitan por los diferentes niveles de educacin. En este sentido, se revel como uno de los posibles factores que estaban incidiendo en estos problemas, la insuficiente atencin a las formas de orientacin y control de la actividad de aprendizaje que no propician eliminar la tendencia poco reflexiva de los estudiantes a ejecutar, sin que medien los procesos de anlisis y razonamientos requeridos, y que en la literatura se le reconoce con el nombre de tendencia a la ejecucin. De igual modo, .se analizaron las dificultades en el desarrollo de procedimientos lgicos del pensamiento asociados a la formacin de conceptos, juicios y razonamientos en los alumnos, (MINED,2001, p.11)

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En el caso particular de la Matemtica, el Operativo de Evaluacin de la Calidad de la Educacin realizado en Marzo 2001, constat que existen dificultades en el dominio de la aritmtica por los escolares primarios. Las dificultades esenciales fueron: Numeracin. Estructura del sistema de numeracin decimal en ejercicios formales y en mayor medida en ejercicios de carcter problmico (cuarto y sexto grado) Reconocimiento de sucesiones de nmeros. (cuarto grado) Reconocimiento del orden en situaciones complejas ( todos los grados) Operatoria y significado de las operaciones: Adiciones con varios sumandos, combinacin de la adicin con la estructura del sistema, sustraccin con sobrepaso.(cuarto grado) Operaciones con nmeros fraccionarios (a partir de sexto grado) Operaciones combinadas con nmeros naturales, fraccionarios y racionales (todos los grados segn el dominio numrico

correspondiente) Reconocer significados de las operaciones con nmeros naturales, de las fracciones del tanto por ciento . Realizar ejercicios con texto que combinen ms de una operacin. Encontrar regularidades en una sucesin de operaciones. Reconocer significados en situaciones problmicas. En la actualidad, los operativos efectuados en secundaria bsica en noviembre del 2 003 y abril del 2004, probaron que permanecen en estos escolares dificultades en las habilidades de clculo aritmtico con nmeros naturales, lo que se expresa en el comportamiento de las provincias cuyos datos se encuentran entre el 30% y el 40% de respuestas correctas. Estos datos evidencian la actualidad del tema y la necesidad de profundizar en el proceso de formacin y desarrollo de estas habilidades, que inician en la primaria, a fin de garantizar una solidez en el conocimiento y la formacin de estas habilidades, que le permita a los escolares transitar de manera eficiente por los diferentes niveles de educacin.

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Un anlisis de esta situacin, tal como se refiere en el seminario del 2002, apunta a tres razones fundamentales: Las exigencias de los programas se han reducido a un mnimo, ejercitando el clculo una y otra vez e insistiendo en la fijacin de conceptos elementales, sin trabajar para producir el trnsito gradual desde niveles inferiores a superiores de desarrollo. De este modo los objetivos se adecuan al nivel de los alumnos con ms dificultades y no se aspira a que realicen tareas que exijan la aplicacin de los conocimientos matemticos, aunque sea en problemas rutinarios, en los que se conoce de antemano el modelo a utilizar. An es insuficiente la preparacin para la identificacin de errores en los procedimientos relacionados con el clculo en los escolares del primer ciclo.No siempre dominan el proceder metodolgico adecuado para atender la formacin y desarrollo de las diferentes estrategias de aprendizaje de clculo teniendo en cuenta las caractersticas de las edades con las que trabajan y las diferencias individuales de cada escolar.(MINED 2004, pg 4).

Para profundizar en los aspectos antes planteados, se consult la Enciclopedia Cientfica (Monroe, 1935) de Educacin Cientfica (Tomo 1 y 2), el texto de Didctica o Direccin del aprendizaje de Diego Gonzlez (1939), el curso complemento de Metodologa de Patriascoui (1926) y el texto de Metodologa Especial de la Enseanza Primaria (Primera y Segunda Parte, 1912), permitieron reconocer que en el mbito internacional el aprendizaje del clculo en la escuela primaria fue investigado durante todo el siglo pasado destacndose los trabajos de Thorndike (1924), Clap (1924), Knignt (1928), Brownel (1930), Brownel (1935), Brownel y

Chazal (1935 1958), MC Connell (1934 1958), Wheler (1939), Swenson (1949 1958), Miller (1956), Supper, Jermany y Brian (1968), Crain, Lockhart y Lanford (1972), Anderson (1973), Jacobson (1975), Lauren B. Resnick y Wendy Wford (1990), entre otros. En el anlisis de estos trabajos se identifican dos posiciones tericas que se asocian en dos grandes grupos de investigaciones:

Aquellos que analizan la necesidad de retomar las formas tradicionales de ensear el clculo aritmtico, proponiendo el empleo del baco.

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Aquellos que consideran que el enfoque tradicional del clculo aritmtico, se debe modificar e introducir la calculadora en edades tempranas.

En Cuba, las investigaciones realizadas el siglo pasado centran sus esfuerzos en retomar las formas tradicionales de enseanza de la aritmtica y como medio el baco, por lo que se ubican en el primer grupo. (Edelmira Rodriguez y otros (1997), J. Albarrn (1997, 1999, 2001, 2003), F. Casonova (2002), M. Fonseca (1995, 1997, 2001), Germn Mora (1995, 2001), Jos E. Bermdez (1995, 1997, 1999), Guillermo Soler (1995), Jos J Garca Muoz (2004). La autora considera que los enfoques en los que se agrupan los investigadores en el mbito internacional se pueden complementar si se realiza un anlisis dialctico de la problemtica, retomando del enfoque tradicional los aspectos positivos que tienen vigencia en la actualidad, e incorporando las nuevas tecnologas y las nuevas formas de trabajo. En el tratamiento del clculo, es importante prestarle atencin a las

estrategias de aprendizaje que debe formar el nio para calcular, porque estas deben contribuir al desarrollo de las formas de pensamiento matemtico. El trabajo en este sentido debe iniciarse desde edades tempranas. Por otra parte, es importante destacar que la introduccin de la calculadora desde edades tempranas en el currculo, exige un dominio de los docentes de las diferentes formas de estructurar el clculo y las diferentes estrategias para su formacin. Sin este anlisis no se podr comprender que la calculadora le plantea a las nuevas generaciones retos superiores, en lo que al clculo se refiere, especialmente, un mayor desarrollo de las habilidades de clculo mental en un menor tiempo y la necesidad de la formacin de un pensamiento lgico y reflexivo. Las transformaciones realizadas al modelo de Educacin Primaria, llevadas a cabo en la dcada del noventa e introducidas desde estos primeros aos de este siglo, elevan las exigencias de los objetivos en correspondencia con las demandas sociales en la actualidad y, a su vez, generan la necesidad de estudiar, por va cientfica, cmo perfeccionar las relaciones establecidas actualmente entre los componentes objetivocontenido mtodo medios y de qu manera se pueden incorporar los avances logrados en el empleo de nuevas tecnologas.

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Precisamente estas exigencias son las que generan el problema que esta investigacin se propone contribuir a resolver: Problema cientfico: Cmo perfeccionar el proceso de enseanza aprendizaje de la aritmtica en el primer ciclo de la educacin primaria? Objeto de estudio: El proceso de enseanza aprendizaje de la aritmtica en el primer ciclo de la educacin primaria. Campo de investigacin: El proceso de enseanza aprendizaje del clculo aritmtico en el primer ciclo de la educacin primaria cubana. Este campo de investigacin incluye, como condicin previa necesaria, el tratamiento de la numeracin, aunque no se declare explcitamente en este diseo metodolgico. Objetivo: Proponer una concepcin didctica que propicie el perfeccionamiento del clculo aritmtico en el primer ciclo de la educacin primaria en Cuba, que incluya elementos relevantes de la concepcin anterior y los que aporta la utilizacin de la calculadora. Preguntas Cientficas: 1. Cules son los antecedentes histricos del proceso de enseanza aprendizaje del clculo aritmtico en el primer ciclo? 2. Cmo se ha concebido el tratamiento del clculo en el primer ciclo en Cuba y cules son sus principales insuficiencias? 3. Qu papel puede jugar la calculadora en el proceso de enseanza aprendizaje del clculo en el primer ciclo en las actuales condiciones del desarrollo cientfico tcnico? 4. Cmo concebir una concepcin didctica que propicie el perfeccionamiento del proceso de enseanza aprendizaje del clculo aritmtico en el primer ciclo y en la que se integre coherentemente la calculadora? 5.- Cmo validar las posibilidades de realizacin de aspectos esenciales de la concepcin didctica?

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Para alcanzar el objetivo y dar respuesta a cada pregunta cientfica, se realizaron las siguientes tareas de investigacin: 1. Estudio de los antecedentes histricos de la enseanza del clculo en los primeros grados de la Educacin Primaria. Determinacin de los aspectos ms relevantes que pueden ser retomados en la actualidad. 2. Estudio terico de la concepcin actual de la enseanza del clculo en el primer ciclo y su relacin con la numeracin. 3. Estudio comparativo del estado actual de la problemtica de la introduccin de la calculadora en la escuela primaria en distintos pases del mundo. 4. Diseo de una Concepcin Didctica para el perfeccionamiento del clculo aritmtico en el primer ciclo de la educacin primaria. En dicho estudio se debe precisar: Los fundamentos que desde el punto de vista filosfico, psicolgico, pedaggico y didctico, sirven como fundamento a la concepcin didctica. Cules son los componentes esenciales que forman parte de la concepcin didctica desde el punto de vista matemtico y de su didctica y que incluya el aprendizaje del clculo con el apoyo de la calculadora. 5. Validacin de la factibilidad de realizar en la prctica algunos componentes de la concepcin didctica. El enfoque general es histrico dialctico materialista. La estrategia investigativa desarrollada ha transitado, como se puede apreciar, desde un planteamiento descriptivo explicativo hacia un acercamiento en la bsqueda de las soluciones de los diferentes problemas planteados, dndole un carcter proyectivo a la investigacin. Este trnsito cientfico investigativo exigi de un conjunto de mtodos tanto del nivel terico, emprico y matemtico tales como: Mtodos Tericos: Mtodo histrico lgico: es empleado en el estudio de, las caractersticas de la enseanza del clculo en los primeros grados en Cuba a lo largo de la historia de la

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educacin en nuestro pas, as como, en el empleo de

la calculadora en el

aprendizaje de la matemtica de la educacin primaria en el mbito internacional y nacional. Mtodo de anlisis y sntesis: para lograr la sistematizacin de la informacin sobre el tema y de los diferentes criterios al respecto, precisar tendencias y concepciones que permitieron la elaboracin de la concepcin didctica. Mtodo de modelacin y sistmico: es empleado para disear la concepcin didctica. Mtodo de induccin y de deduccin: en el estudio de los elementos particulares para lograr la elaboracin de conclusiones generales y viceversa, durante el proceso de estructuracin de la concepcin didctica. Dentro de los empricos, en el contexto del estudio de casos que se utiliz para la validacin de algunos aspectos de la propuesta, se utilizan los siguientes: Mtodo de observacin: Se aplica para la recogida de informacin, el monitoreo y el control en la aplicacin de la concepcin; en particular, en la observacin a clases para valorar y controlar como el maestro introduce en la prctica escolar aspectos bsicos de la concepcin. Entrevistas dirigidas a: Familiares: Se aplica para conocer sus opiniones acerca del trabajo con calculadoras en las clases de matemticas, las posibilidades econmicas de los ncleos familiares que tienen acceso al recurso. Docentes y Directivos: Se aplica para conocer sus opiniones acerca de la introduccin de las calculadoras en las clases de matemtica y la preparacin de los maestros para enfrentar el reto. Estudiantes: Se aplica para saber si conocen la calculadora y que uso le han dado. Pruebas pedaggicas: Para valorar la situacin inicial, intermedia y final de estos estudiantes en la solucin de tareas docentes con calculadora y diagnosticar las habilidades de clculo que tenan antes de iniciar el trabajo de ejercicios con calculadora.

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Dentro de los mtodos estadsticos: La estadstica descriptiva: Para el procesamiento de los datos obtenidos en las etapas de intervencin en la prctica educativa, tales como: tabulacin, clculo porcentual, ndice porcentual. La estadstica no paramtrica: Se utiliza la dcima de MacNemar, la cual es apropiada para experimentos antes y despus en los que cada persona es usada como su propio control y la escala de medicin es nominal dicotmica. Se emplea para verificar si hay o no cambios despus. Se trabaj con los percentiles con el objetivo de comparar los resultados que se iban logrando en cada escolar en momentos diferentes de su desarrollo. La NOVEDAD CIENTFICA de este trabajo se manifiesta en los siguientes aspectos: La propuesta de una concepcin didctica para el tratamiento del clculo aritmtico en el primer ciclo de la educacin primaria, que establece fases metodolgicas para su tratamiento y entre otros aspectos, propone la introduccin del clculo instrumental y, de manera ms general, la integracin del uso de la calculadora con fines heursticos en una concepcin perfeccionada del tratamiento del clculo en ese nivel. El trabajo brinda su APORTE TERICO a la Didctica de la Matemtica para el primer ciclo al sistematizar los aspectos histricos que han servido como base al tratamiento de la Aritmtica en Cuba. Adems ofrece una fundamentacin filosfica, psicolgica, pedaggica y didctica del tratamiento del clculo en el primer ciclo. La SIGNIFICACIN PRCTICA del presente trabajo est dada por el hecho de que se ofrece: Un reordenamiento de las etapas de introduccin de los lmites de clculo. Una nueva clasificacin de los niveles del clculo aritmtico teniendo en cuenta la transferencia de procedimientos. Una propuesta de introduccin de un grupo de ejercicios novedosos para el empleo de la calculadora que enriquecen la variedad de los propuestos en los libros de textos.

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Esta investigacin se inserta en el Programa Ramal 4, dentro del proyecto el aprendizaje en la escuela primaria del Instituto Central de Ciencias Pedaggicas que dirige la Dra. Pilar Rico. La tesis tiene una sntesis, introduccin, tres captulos, conclusiones,

recomendaciones, bibliografa y anexos. Los postulados esenciales de este trabajo han sido presentados en: Evento Internacional Pedagoga 95. Encuentro de educadores por un mundo mejor. La Habana 1995. Taller Internacional. Facultad de Pedagoga de la Educacin, Preescolar y Especial. La Habana 1995. Evento Nacional. Atenas 95 de los ISP. Matanzas 1995. Evento Nacional Encuentro sobre la enseanza de la Matemtica. Abril 1995. La Habana. IX y X Reunin Cientfica de profesores del ISP Enrique Jos Varona, donde recibi el premio de la comisin y el premio especial Dulce Mara Escalona. VIII Reunin Cientfica de profesores de la Facultad Pedagoga de la Educacin Primaria, Preescolar y Especial. 1993. Evento Provincial Pedagoga 97. Evento Nacional Compumat. 1996. Holguin. Evento Provincial de Ciudad Habana. Pedagoga 1999. Evento Pedagoga 1 999 en el ISP Rubn Martnez Villena Evento Provincial de La Habana. Pedagoga 2001. Evento Pedagoga 2001 en el ISP Rubn Martnez Villena Evento Provincial de Ciudad Habana. Pedagoga 2003. XI Conferencia Internacional de Aprendizaje y Redes de Investigacin Learning Conference 2004.

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CAPTULO

I:

CONSIDERACIONES HISTRICAS Y TERICAS DE LA ENSEANZA DE LOS NMEROS NATURALES Y EL CLCULO EN LA ESCUELA PRIMARIA CUBANA.

En este captulo se realiza un anlisis histrico de la enseanza de la aritmtica en Cuba y se hacen consideraciones sobre algunos fundamentos tericos que pueden servir de base a una concepcin didctica que propicie un perfeccionamiento de la enseanza de la numeracin y el clculo en los primeros grados de la escuela primaria cubana. I. La enseanza de los nmeros naturales y el clculo en Cuba. Consideraciones histricas. El anlisis que se recoge en esta parte del captulo es parte de un trabajo referativo elaborado por la autora, acerca de la enseanza de la Aritmtica en los primeros grados de las escuelas en Cuba. Este se centra en los aspectos didcticos que estn relacionados con el aprendizaje de los nmeros naturales y el clculo en este dominio numrico. El objetivo esencial es analizar aspectos fundamentales del contenido, los medios, as como algunas consideraciones de carcter metodolgico, que pueden ser tiles en el trabajo de investigacin. Para la realizacin de este anlisis es necesario establecer aproximaciones de

momentos o etapas que permitan comprender las relaciones que constituyen las premisas que sustentan los actuales fundamentos de la didctica de la Aritmtica

de la escuela primaria cubana. Se ha escogido como rasgo para la divisin en etapas, los perodos histricos ms relevantes en el pas, en los que se manifiestan las siguientes etapas: colonial, republicana y revolucionaria. En cada una de esas etapas se han considerado subetapas segn se resume a continuacin: ColoniaLa enseanza de los nmeros naturales desde el siglo XVI hasta fines del siglo XVIII. Fines del siglo XVIII hasta las ltimas dcadas del siglo XIX.

Repblica

La enseanza de los nmeros naturales en los primeros 30 aos del siglo XX Dcada del 40 hasta el triunfo de la Revolucin.

La enseanza de la Aritmtica en los aos 1959 1975. Revolucin La enseanza de la Aritmtica en los finales del siglo XX. La enseanza de la Aritmtica a inicios del siglo XXI. 18


En cada momento histrico se destacan los avances que se evidencian en el plano de la Didctica particular para el tratamiento de estos contenidos. Esto permite analizar de manera general la evolucin histrica que ha tenido en Cuba el tratamiento de los nmeros naturales y el clculo como condicin previa esencial para la elaboracin de la concepcin didctica que se presenta en este trabajo. En el caso de la situacin actual, se especifican algunos aspectos que pueden ser limitaciones para el tratamiento del clculo en los primeros grados. I .1 Etapa de la Colonia I.1.1. Del siglo XVI hasta finales del siglo XVIII. En el siglo XVI, surge en Cuba la escuela primaria como institucin y con ella la necesidad de ensear Aritmtica, la cual se inicia de un modo objetivo por medio del baco, con los dedos, piedras u otros objetos, as se desarrolla la habilidad de

calcular asociada a la habilidad de contar y de igual forma a la numeracin. Es decir la base o principio para la obtencin de los nmeros y el clculo, es el conteo, donde el concepto bsico de nmero se origina de la relacin de los hombres con la realidad y la prctica de contar antecede al surgimiento de dicho concepto. En esta etapa, la enseanza tiene un carcter mecnico, donde lo que preocupa es, la rapidez en la ejecucin de habilidades tales como contar, leer, escribir cantidades y ejecutar las operaciones de componer, descomponer y comparar expresiones numricas an cuando el nio no sepa lo que significa cada nmero. Durante estos siglos se fueron produciendo cambios hasta lograr una idea ms generalizada que consisti en estructurar la enseanza de la Aritmtica comenzando por el trabajo con el nmero. Siguiendo el orden lgico, se trataba la numeracin hablada y la escrita, el clculo con las cuatro reglas fundamentales, relacionando las operaciones de multiplicacin y divisin con la adicin y la sustraccin, la multiplicacin como una suma abreviada y la divisin como una sustraccin de sustraendos iguales. Despus se presentaban los quebrados y las reglas fundadas en la proporcin. El mtodo era esencialmente dogmtico, se operaba con conceptos y frmulas invariables, sin tomar en consideracin las condiciones concretas del lugar y

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el tiempo, este tipo de instruccin constitua un ejercicio mecnico que resultaba agotador para los estudiantes. Durante esta etapa se ensean los nmeros y el clculo utilizando como medio el baco; aparece el desarrollo de la habilidad calcular unido al de la habilidad de contar, es decir, se cuenta para calcular. I.1.2. Fines del siglo XVIII hasta las ltimas dcadas del siglo XIX. En los finales del siglo XVIII y en el siglo XIX algunos pedagogos trataron de mejorar esta Didctica haciendo un uso razonable del mtodo objetivo. A. M. Aguayo, en su obra Pedagoga (1924) refiere: es interesante cmo el propio Pestalozzi en este momento reconoce el valor de la intuicin en la enseanza de la Aritmtica, la necesidad o idea de que el nmero debe adquirirse por medio de objetos, que el nio ha de contar, componer y descomponer. Aparece en la Didctica de la Aritmtica, como una idea importante que establece diferencias con las formas de enseanza anteriores, que el estudio de los nmeros y de las operaciones deba preceder a los smbolos o cifras, y en la misma forma haba de hacerse la enseanza de los quebrados, o sea, primero el concepto, luego los ejercicios de composicin de los mismos, y por ltimo la notacin escrita o simblica. Al revisar los trabajos de Aguayo (1924) y documentos oficiales del Ministerio de Educacin, se constat la presencia de las ideas de Pestalozzi en la que se le daba mucha importancia al clculo mental, hasta el punto de hacer del mismo la caracterstica esencial de su sistema de enseanza, el cual se sustent en tres principios: intuicin, racionalidad y disciplina mental. En estos documentos se refiere que l logra dar una coherencia y solidez a los principios en su Didctica para la enseanza de la Aritmtica, pero que al exagerar tanto el aspecto formal, abusa del clculo abstracto que aparece desvinculado de la prctica social, convirtiendo la Aritmtica en un entrenamiento o prctica mental de clculo desvinculado de la vida. A pesar de esta limitacin, hasta aproximadamente las dcadas de 1850 y 1860, se reconoce un salto cualitativo en la enseanza de la aritmtica en relacin con la etapa anterior, al identificarse de forma explcita la necesidad de las habilidades de forma

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composicin y descomposicin para la formacin de los nmeros. Estas habilidades en la etapa anterior fueron asociadas a la ejecucin de las operaciones. Otro aspecto importante es que se reconoce que ya en este momento primeramente se estudian los nmeros y la comprensin del significado de las operaciones, antes de ejecutar matemticamente las reglas. Segn Aguayo (1924), en esta pocael mtodo de Grube constituye el primer ensayo de metodizacin cientfica de la enseanza de la Aritmtica. En la valoracin que Aguayo realiza de este mtodo, reconoce su carcter emprico al emplear el baco para ensear a calcular y con ello admitir que lo concreto debe ensearse antes de lo abstracto, que es un principio que aparece en la Didctica de la Aritmtica desde su inicio, y tambin retoma de Pestalozzi que las nociones claras de las

operaciones fundamentales deben adquirirse de un modo intuitivo. Sin embargo, no retoma en su concepcin una idea de avanzada que se gesta en esta etapa relativa a la graduacin de la materia, lo cual constituye su mayor limitacin dado el momento histrico y propone que en los primeros grados se lleve a cabo simultneamente la enseanza de las operaciones fundamentales con los nmeros enteros. Este mtodo considera al nmero como una agregacin de unidades. Grube comienza por ensear el nmero uno con el auxilio de objetos, hasta formar la nocin clara de la unidad. Despus presenta el nmero dos, tambin por medio de ejercicios intuitivos y descomponiendo este nmero de varias maneras, ensea a sumar, restar, multiplicar y dividir las unidades que lo componen, primero con los mismos objetos a la vista y despus por medio de problemas que han de resolverse mentalmente o por escrito. Despus de formada la nocin concreta del nmero dos, se ejecutan las mismas operaciones mentalmente y por escrito. Como se puede apreciar, esta etapa, a diferencia de la anterior, se caracteriza por: La introduccin del concepto nmero como agregacin lo que permite la formacin intuitiva del concepto sucesor y el carcter infinito de la sucesin de los nmeros enteros. Por primera vez se inicia la construccin de dos dominios numricos en forma paralela (enteros y los nmeros fraccionarios).

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Es una etapa donde se revela de forma explcita la necesidad de la resolucin de problemas y una necesidad de vnculo con la realidad; aparece la resolucin de

problemas como un ejercicio precedente al ejercicio del clculo mental abstracto. Se enuncia la necesidad de graduar los contenidos y las operaciones fundamentales de clculo. Se introducen en la escuela las tablas de los nmeros y las operaciones para memorizar. Se separan las habilidades de contar y de calcular. No es necesario contar para calcular. Se establecen relaciones entre el concepto nmero y la habilidad calcular. El clculo se convierte en la habilidad fundamental para la enseanza de la aritmtica, se exagera el papel del clculo mental abstracto. El baco se comienza a utilizar en la enseanza de la numeracin. Se refuerza la idea de la necesidad de la formacin de los nmeros en el trabajo con material concreto. El baco se emplea como tablero numrico o poli dgito. I.2 Etapa de la Repblica I.2.1. Las ltimas dcadas del siglo XIX hasta los aos 30 del siglo XX. En las tres ltimas dcadas del siglo XIX, los pedagogos sienten la necesidad de concebir una didctica de la aritmtica que se fundamente en un estudio de la formacin de la idea de nmero y del proceso psicolgico mediante el cual se realizan las operaciones del clculo. Los metodologistas de la poca, como se les llamaba en aquel entonces, coinciden en la idea de que el nmero no se forma por intuicin, sino que es el producto de una relacin entre un todo contado o medido y la unidad que sirve de medida. La operacin de contar es el fundamento de esta relacin, y consideran que al principio se reduce a un simple acto repetitivo pero se convierte gradualmente en un proceso racional. En ella, se estudia detalladamente la formacin de la idea de nmero, las aptitudes necesarias para el clculo aritmtico, la medicin del desarrollo de dichas aptitudes, la formacin de hbitos de razonamiento y de manipulacin de los nmeros.

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Este

mtodo,

conocido

por

mtodo

psicolgico,

originado

con

las

ideas

representadas por Spencer, Mc.Lellan, Dewey, y otros en Estados Unidos, se introduce en la prctica escolar de Cuba, con modificaciones que van realizando las investigaciones psico - pedaggicas que afloran en estos momentos. (Monroe, Enciclopedia Cientfica 1935) Aguayo afirma que existe un criterio generalizado en esta etapa referido a que la idea de nmero no es fruto de la percepcin sensorial, sino producto de la reflexin, de una actividad de la mente. Nadie ve el nmero nueve, se ven nueve caballos, nueve peces, lo vemos cuando lo tenemos presente, se refuerza la idea de que es necesario contar para determinar la cantidad. (Aguayo, 1924) Esta etapa, a diferencia de las anteriores, se caracteriza por una marcada influencia de la psicologa en la labor pedaggica y la introduccin en la prctica escolar de los resultados de las investigaciones psicolgicas de la poca. Las investigaciones evidencian que los nios aprenden los primeros nmeros por imitacin, una vez que tienen aprendida la serie auditiva de los smbolos numricos, el nio comienza a aplicarla a las cosas concretas que percibe. Tambin se sustituye la operacin de contar (fundamento y raz del clculo aritmtico desde inicios de la enseanza hasta finales del siglo XIX) por el uso de las tablas de sumas que se aprenden mediante la asociacin de una respuesta auditivo- motriz a un estmulo ptico y con ello el desarrollo de la didctica de la Aritmtica asume que es posible formar la habilidad calcular sin contar, si se logra la memorizacin de un grupo de ejercicios. Esta idea nace en estos momentos con las tablas hasta 12 de las cuatro operaciones. Las tablas para restar, se iniciaron con el mtodo austriaco, muy usado en aquel entonces por los comerciantes, en el que se reduce la sustraccin a encontrar el nmero que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo. Ejemplo 8 + = 15; en vez de decir 15 - 8 = 7.

Con ello, la resta inicia su aparicin en la enseanza con el procedimiento hoy conocido como aditivo. Hasta este momento la regla para restar era nica, el procedimiento sustractivo, quitando, separando objetos. 23


La multiplicacin se estudia como un modo de abreviar la suma de varios sumandos iguales. Sin embargo aunque la divisin inicia sus estudios partiendo de su relacin con la resta, prcticamente de manera intuitiva el trabajo con las tablas de divisin conduce a que se relacione con la multiplicacin y aparece el trabajo con la divisin como operacin inversa de la multiplicacin. En Cuba en el anlisis anterior se refleja que las teoras psicolgicas se tienen en cuenta para modificar las teoras pedaggicas y las ideas esenciales que se abordaban en la Didctica de la Aritmtica. Las tres primeras dcadas del siglo XX en Cuba para la Didctica de la aritmtica de los grados inferiores tienen una connotacin especial porque se perfeccionan las nuevas concepciones didcticas iniciadas a finales del siglo pasado. En la enseanza de la aritmtica se recomend el mtodo intuitivo para facilitar que el nio pasara de lo concreto a lo abstracto, el maestro debe tener en cuenta la combinacin del anlisis y la sntesis, la variedad y la repeticin de los ejercicios, la alternativa del clculo mental y escrito y la aplicacin sistemtica de los nmeros a las necesidades de la vida. (Bernabeu Plous, 2001) Lo que caracteriza a esta etapa que la hace acreedora de una significacin especial para la Didctica de la Aritmtica de los grados inferiores, son los estudios realizados en la poca para el perfeccionamiento de la enseanza de la aritmtica por un grupo de pedagogos cubanos en los que podemos destacar la obra Didctica de la

Aritmtica (1933) del destacado pedagogo de Pinar del Ro, Elpidio Prez Somosa, reconocida como una de las grandes obras de la poca por el propio Aguayo en el prlogo del texto antes mencionado. Los resultados de las investigaciones de la poca evidencian la necesidad de cambiar los mtodos de enseanza de la aritmtica por mtodos que enseen a razonar y ocuparse de la resolucin de los problemas, as como la preocupacin por la formacin de conceptos. Las posiciones tericas de Aguayo en esta poca son de avanzada, estructura la enseanza de la aritmtica basada en una instruccin heurstica y con el

empleo del mtodo heurstico. Sus reflexiones acerca de la preparacin del docente para enfrentar este mtodo y estas formas de trabajo heurstico son valiosas porque

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evidentemente solo con un docente bien preparado podremos desarrollar con xito este tipo de enseanza. La presencia de la heurstica como una necesidad para la enseanza de la aritmtica de la poca, nos permite inferir la presencia de un pensamiento dialctico, la necesidad de ver a la dialctica en el proceso del conocimiento. I.2.2. La dcada del 40 hasta el triunfo de la Revolucin. En las dcadas del 40 y del 50 del siglo XX la resolucin de problemas surgi en la enseanza de la Aritmtica como expresin de una transformacin cualitativa superior de lo que significaba calcular hasta aquel momento, donde el clculo estaba asociado a una repeticin mecnica de resultados. Tener habilidades de clculo signific entonces, adems de expresar el resultado con rapidez, comprender el significado de las operaciones y resolver problemas vinculados con la vida. En la dcada del 50 se le presta atencin a la resolucin de problemas aritmticos y en los documentos se recogen indicaciones didcticas para el tratamiento de los mismos. Se considera el trabajo con los significados de las operaciones, una condicin previa importante a tener en cuenta en la resolucin de problemas aritmticos. En el tratamiento del clculo aritmtico se insiste en la memorizacin de los ejercicios bsicos con una condicin previa importante en la formacin de las habilidades de clculo Durante esta etapa en Cuba, la obra de la Dra. Dulce Mara Escalona logra su aplicacin en los programas escolares de la educacin primaria, en sus trabajos son significativos el papel de la numeracin y la sistematizacin que se realiza de los contenidos anteriores para introducir lo nuevo. La necesidad de ensear a pensar y contribuir al desarrollo del pensamiento aritmtico constituye una idea metodolgica esencial que se aprecia en toda su obra. La necesidad de ensear a razonar los problemas aritmticos desde edades tempranas es preocupacin y ocupacin de la Dra. Escalona.

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Son relevantes en este momento histrico: La aparicin de la formacin de los nmeros como agregacin que hoy es conocida como la va de elaboracin de los nmeros por la va del sucesor. Necesidad de la formacin de los conceptos de las operaciones para la formacin de la habilidad calcular. Necesidad de procesos de bsqueda para la formacin de los conceptos y los procedimientos. La utilizacin del mtodo heurstico. El clculo es la habilidad fundamental, pero aparece la resolucin de problemas como una necesidad para el desarrollo de habilidades de clculo y con ello se refuerza el clculo mental concreto como un clculo tan importante como el abstracto, es el clculo dentro de la resolucin de problemas aritmticos. Necesidad de que a travs de la formacin de la habilidad calcular se ensee a pensar a los nios. Presencia de la relacin nter - materia para lograr una mayor motivacin en la enseanza de la asignatura. El estudio que se realiza de la sustraccin como una operacin compleja en su enseanza porque se pueden utilizar diferentes procedimientos para su solucin, ya sea de forma aditiva o sustractiva. Otra idea importante que reflejan los trabajos de Aguayo es cmo el tratamiento inadecuado de la sustraccin incide en la formacin de las habilidades de clculo de la divisin, por cuanto la divisin se deriva lgicamente de la sustraccin. El ordenamiento de los contenidos para el tratamiento de los nmeros naturales es similar a la etapa anterior, los objetivos de los programas son los que se modifican teniendo en cuenta la importancia del desarrollo de habilidades de clculo y la resolucin de problemas aritmticos en los escolares. El trabajo con los medios para la enseanza de la aritmtica se enriquece, las formas pictricas para trabajar con los nios son diseadas con colorido e imaginacin, se le presta gran atencin a la belleza de las representaciones y los medios que se deben emplear en la escuela para la enseanza de la Aritmtica.

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I.3 Etapa de la Revolucin I.3.1 El periodo de 1959 1975. Al triunfar la Revolucin se dan cambios significativos en la Educacin en Cuba, sin embargo en la enseanza de la aritmtica las diferencias no son notables, pues en su enseanza continuaba teniendo impacto la obra de la Dra. Escalona a travs de la Dra. Gloria Ruiz. En esta etapa se le presta especial atencin al significado de las operaciones y a la resolucin de problemas aritmticos, teniendo en cuenta principios psicolgicos, pedaggicos y metodolgicos. Principio psicolgico: La comprensin es uno de los aspectos ms importantes de la actividad racional y

es bsica en todo aprendizaje. Comprender algo equivale a conocer su significado. Principio pedaggico: Todo aprendizaje debe basarse en la comprensin del significado de lo que se

aprende. La comprensin debe preceder al uso de todo conocimiento. Aplicacin metodolgica: La ms importante de las premisas que ofrecen las nuevas tcnicas ... es la que

sustenta este principio: La comprensin de los significados debe preceder al uso de los smbolos. (Ruiz de Ugarrio Gloria, 1965) El ordenamiento de los contenidos aritmticos en edades tempranas durante esta etapa mantiene, en esta concepcin, el trabajo con la numeracin como condicin previa para el clculo; se trata hasta el nmero 1 000 la numeracin en segundo grado, como una condicin previa importante para el desarrollo con las habilidades de clculo. El uso de los medios de enseanza tiene una significacin especial y se contina utilizando el baco, el tablero numrico, los bloques y/o cubos para

comprender los conceptos decena, centena, entre otros, tambin se trabaja con el material pictrico para comprender el concepto nmero.

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Aunque esta concepcin no se sustenta en la teora de conjuntos, s reconoce que en edades tempranas el trabajo con los medios es importante para visualizar y formar conceptos aritmticos, por lo que existe gran variedad de medios para la enseanza de la Aritmtica en los primeros grados. En el tratamiento del clculo se le presta atencin a la memorizacin de un grupo de ejercicios, que eran considerados bsicos pero con una clasificacin muy diferente a la actual; se estableci el logro de una memorizacin mecnica de estos ejercicios a travs de la repeticin. En la dcada del 60 se gesta un movimiento a nivel mundial conocido con el nombre de Matemtica Moderna. La enseanza de la Matemtica no estuvo ajena a ese vertiginoso proceso de transformaciones donde los primeros esfuerzos fueron encaminados al perfeccionamiento curricular. Para ello se promovi la participacin de delegaciones oficiales en diversos eventos convocados por la Comisin Internacional de la Enseanza de la Matemtica (ICMI) y la Comisin Internacional para el Estudio y Mejoramiento de la enseanza de la Matemtica (CIEAM). En Cuba, ... el estudio crtico de los programas, libro de textos y manuales didcticos realizados a tenor del Primer Seminario de Unidad del Sistema de Educacin (1965), haba arrojado que el pas se encontraba atrasado en relacin con los cambios producidos a escala internacional en el campo de la enseanza de la Matemtica. El entonces ministro de Educacin, Dr. Armando Hart encomend a la Dra. Mara del Carmen Nez Berro, miembro de la Comisin de Control Tcnico del Ministerio, el estudio comparado del plan de estudio de Matemtica del nivel primario del pas en relacin con otros pases desarrollados,(Torres Fernndez, 2000). Se inicia ah la primera gran transformacin de la enseanza de la Matemtica, en la etapa de la Revolucin. I.3.2 Fines del siglo XX La adaptacin de los planes alemanes para los primeros grados en Cuba en la enseanza de la Aritmtica revoluciona las concepciones didcticas que existan en Cuba en la poca: es una concepcin que le asigna un nuevo papel al clculo dentro de la enseanza de la aritmtica y avala cientficamente su proceder metodolgico.

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En el estudio de esta compleja etapa donde los cambios que se dan en la enseanza de la Aritmtica tienen perodos ms cortos con relacin a las etapas anteriores, se necesit establecer dentro de ella diferentes momentos para la bsqueda de las regularidades y acontecimientos que transcurren en la Didctica de la Aritmtica en la escuela primaria cubana. En esta tesis se proponen los siguientes momentos: De 1975 a 1985 Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educacin. De 1986 a 1991 Continuacin del Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educacin. De 1991 a 2 000 Perodo de modificaciones en los programas. De 1975 a 1985, esta etapa corresponde al Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educacin, se producen cambios transcendentales y marca una etapa superior en la construccin y sistematizacin de la didctica de la Matemtica en Cuba, y en especial para la Aritmtica en la escuela primaria. En el caso de la enseanza de la Matemtica, en realidad estos cambios se inician en la escuela primaria, a nivel experimental en el ao 1968 y se implantan en todo el pas en los aos sucesivos. En esta nueva concepcin, se asimila una teora que sistematiza toda la enseanza de la Matemtica en el primer ciclo de la escuela primaria cubana que es la base de la teora de la didctica de la Matemtica del quinto al duodcimo grado. La preparacin y capacitacin de los docentes en esta concepcin propicia que su introduccin en la prctica educativa se realice con los requerimientos necesarios. Sin embargo, una limitacin de este momento en el tratamiento de la Aritmtica de la escuela primaria es la no capacitacin de los maestros en su formacin con la misma intensidad en el segundo ciclo de la escuela primaria, ya que la teora que

fundamentaba el proceder didctico de este ciclo aparece en los textos diseados en Cuba para la formacin de los profesores de enseanza media. Sin embargo, la formacin de maestros como Licenciados en Educacin Primaria que inicia en esta etapa supera esta limitacin al formar maestros preparados en ambos ciclos. Es una etapa que marca un tratamiento de la Aritmtica para el primer ciclo de la escuela primaria cubana y otra para su segundo ciclo al considerarse el primer ciclo 29


un ciclo propedutico y el segundo ciclo un ciclo sistemtico o de sistematizacin. No obstante, es una etapa en la que se aprecian muchas bondades y mritos para el enriquecimiento de la teora de la didctica de la aritmtica de la escuela primaria cubana. La concepcin alemana asumida propici un sistema coherente de fundamentos tericos que avalan el carcter de ciencia de la didctica de la Matemtica. En el caso particular de la enseanza de la Aritmtica en los primeros grados aparecen ideas nuevas en relacin con etapas anteriores tales como: Se logra una adecuada coherencia y articulacin entre los contenidos matemticos en cada grado, nivel y subsistema de enseanza. Una nueva forma de ordenar los contenidos aritmticos en los primeros grados con una concepcin diferente de las relaciones que se pueden establecer entre el clculo y la numeracin. Una nueva clasificacin para la introduccin de los niveles de dificultad del clculo para la formacin de la habilidad calcular. Se establece una estructuracin metodolgica para la clase de Matemtica y los diferentes tipos de clases de acuerdo con las formas de fijacin. El clculo oral tiene una significacin especial dentro de esta concepcin por su contribucin al desarrollo del pensamiento lgico. Se introducen procedimientos de solucin para el tratamiento de los ejercicios no bsicos en el clculo oral. Se trata el clculo oral muy estrechamente vinculado al concepto de variable y a las unidades de magnitud los conocimientos esenciales se aplican en la ejercitacin del clculo. Se introducen todos los productos y cocientes en un grado. Se introducen todas las adiciones y sustracciones bsicas en primer grado. Se introduce una clasificacin de problemas simples y compuestos con una concepcin didctica para su tratamiento.

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Se enriquece el proceder didctico para la fijacin de los contenidos aritmticos. Se introduce un sistema de medios de enseanza diferentes como soporte material de las nuevas formas de trabajo que se introducen. Esta concepcin propicia un salto cualitativo superior que impuls el carcter cientfico de esta disciplina del conocimiento. En esta etapa se realiza la investigacin Ramal del MINED de 1981 a 1985 que valida la aplicacin en la prctica educativa de los programas; como resultado de estos estudios se llevan a cabo cambios en la concepcin, bsicamente en los grados de tercero a sexto. De 1986 a 1991, dentro de lo que se denomin, continuacin del

Perfeccionamiento Nacional de Educacin, se comienza la remodelacin de los nuevos planes de estudio de la escuela primaria y se elaboran nuevos libros de texto en todos los grados que forman parte de la investigacin ramal dirigida por la subcomisin de matemtica y en la que jugaron un papel esencial un nutrido grupo de maestros de la escuela. Los textos que se introducen a partir de 1988, superan a los anteriores por su belleza y cercana a las caractersticas e intereses de la edad de los nios y de nuestras tradiciones sociales y culturales. Se logra una articulacin mejor y coherencia didctica entre los grados de tercero a sexto. Se retoman de nuestras concepciones didcticas aspectos tradicionales para el tratamiento de la numeracin y se actualiza el currculo con la introduccin de contenidos que tienen fundamentos en la teora combinatoria, estadstica y otros. En el sexto grado se introduce el tratamiento del clculo aproximado por el valor social que tiene este contenido en la poca en que se vive como una unidad de aprendizaje. Adems en el contexto de la didctica de la Matemtica para el nivel primario se llevan a cabo cambios que enriquecen la didctica particular para el tratamiento de estos contenidos, tales como: Se logra una Concepcin General de la asignatura Matemtica para todo el subsistema. La estructuracin de la geometra teniendo en cuenta los resultados de la tesis doctoral de la Dra. Celia Rizo Cabrera, con una concepcin diferente que modifica la concepcin anterior al colocar como centro el concepto Igualdad 31


Geomtrica y disear todo un trabajo intuitivo perceptivo- operativo en la enseanza de la Geometra. A partir de tercer grado se introducen cambios significativos en la enseanza de la numeracin, retomando los conceptos tradicionales decenas, centenas, unidades, entre otros. En el tratamiento de los ejercicios con textos y problemas, se incrementa el nmero de actividades para este tipo de ejercicio y su variedad. Aumenta la variedad de ejercicios y la presentacin de los contenidos en los textos es ms agradable a la edad de los escolares pequeos con ms colorido y belleza. En los nuevos textos elaborados se retoman formas de trabajo, ejercicios tradicionales y se logra actualizar los textos teniendo en cuenta el momento histrico, fundamentalmente a partir de tercero a sexto grado.. Las adiciones y sustracciones bsicas se dividen en dos grupos, sin sobrepaso y con sobrepaso, se trabajan las adiciones y sustracciones bsicas sin sobrepaso en primer grado y las con sobrepaso pasan a segundo grado. En segundo grado aumentan los niveles de dificultad de clculo, como resultado del reordenamiento del contenido, para lograr un primer grado ms fluido que permitiera la fijacin real de las dificultades que all aparecen. Este anlisis se basa, entre otros aspectos en el hecho de que en el primer grado el nio aprende a leer y a escribir; la experiencia demostr que en la prctica los nios, la escuela y la familia le otorgan a ello una mayor importancia que al aprendizaje del clculo. El segundo ciclo logra una sistematizacin del tratamiento de los nmeros naturales con una unidad de sistematizacin de los contenidos recibidos en el primer ciclo de la escuela primaria cubana. En esta etapa este ciclo es considerado como un ciclo de trnsito entre el ciclo propedutico y el ciclo sistemtico. Los docentes se gradan como Licenciados en Educacin Primaria y se

capacitan en la didctica para la enseanza de la Matemtica de ambos ciclos.

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Se establece una nueva concepcin para el tratamiento de los nmeros fraccionarios al establecer en esta etapa el concepto fraccin como concepto rector.

Se introducen contenidos en el segundo ciclo referidos al clculo aproximado y el trabajo con las cifras significativas.

De 1991 al 2000, se produce una adecuacin o modificacin de los programas que se pusieron en vigor en 1988. En la misma, desaparecen las comisiones de asignaturas que monitoreaban el Perfeccionamiento Continuo del Sistema de Educacin. La decisin de eliminar contenidos y declarar como opcionales otros que constituyen condiciones previas de conceptos y procedimientos, afect el sistema de conocimientos y habilidades que se debe garantizar desde edades tempranas para contribuir al desarrollo del pensamiento lgico. Las simplificaciones didcticas asumidas limitaron el tratamiento del clculo oral se prest mayor atencin al procedimiento escrito; disminuyeron las exigencias de los niveles de dificultades que los escolares deben vencer con el clculo oral y este se redujo a la memorizacin de los ejercicios bsicos, siendo en esta etapa la memorizacin de los ejercicios bsicos el centro de atencin. Se limit el clculo oral con los ejercicios no bsicos y las posibilidades de entrenarlos en la transferencia como una accin necesaria para calcular. A pesar de ser una etapa en que la prctica educativa asume decisiones que afectan la coherencia y la sistematizacin didctica alcanzada en las etapas anteriores, presenta bondades para la didctica de la matemtica de la educacin primaria, como resultado de todas las investigaciones que se realizan en ella; es un momento que se presta gran atencin a la resolucin de problemas aritmticos. Para la educacin primaria se dan dos resultados importantes: 1) El Modelo de Escuela Primaria que integra todos los resultados de las investigaciones y precisa la teora que le faltaba a esta educacin como sustento. Esta concepcin didctica tiene como centro el nio y declara el fin y los objetivos de la educacin primaria en la etapa actual.

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2)

En el caso particular de la didctica de la matemtica de la escuela primaria cubana los resultados de las investigaciones de los Dres. Celia Rizo y Luis Campistrous, referidos a la resolucin de problemas aritmticos y el tratamiento novedoso que realizan de los significados de las operaciones retomando nuestras tradiciones enriquecen la didctica de la Matemtica de la educacin primaria en la etapa.

3) Para el perfeccionamiento del tratamiento del clculo se realizan numerosas investigaciones en todas las instancias (escuela, territorios, municipios, provincia) que fundamentalmente retoman formas de trabajo tradicionales. I.3.3 Inicios del siglo XXI. Situacin actual. En la actualidad, de manera general se puede decir que la Educacin Primaria cuenta con un modelo de escuela que establece los presupuestos tericos necesarios que sustentan la formacin de una personalidad integral, teniendo en cuenta las exigencias sociales actuales. Las escuelas son, adems, dotadas de nuevos equipamientos y un sistema de influencias diferente con relacin a etapas anteriores. Se produce la introduccin de nuevas tecnologas a travs de televisin educativa, el empleo de videos y de otros recursos propios de la computacin. En relacin con lo antes planteado, hay que tener en cuenta que en estos aos la tecnologa ha avanzado vertiginosamente y ha ido impactando a la enseanza de la Matemtica en el mundo, en particular a la de la aritmtica, todo lo cual hasta el momento no ha sido suficientemente aprovechado en la concepcin de los programas de Matemtica en nuestro pas. Esto, obviamente, no ha permitido aprovechar las potencialidades de estos medios para el desarrollo del pensamiento ni para el perfeccionamiento de la enseanza del clculo aritmtico, situacin en la que es necesario reflexionar si se tiene en cuenta que existen problemas en la aplicacin prctica de esos programas, en general, y en especial en la escuela primaria cubana, dificultad esta que es de mucho inters en esta investigacin.

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Esta nueva situacin relativa a la tecnologa, tiene adems la dificultad de que se produce de manera aislada pues no se perfeccionan las relaciones entre los

diferentes componentes del proceso de enseanza aprendizaje. Los dos primeros grados conservan bsicamente la estructura y concepcin iniciada en 1975, especialmente en el tratamiento de la numeracin, desde una concepcin que se sustenta en el clculo como elemento rector en el tratamiento de los 100 primeros nmeros naturales y no en el reforzamiento de la estructura clsica del tratamiento de las unidades, decenas y centenas que han sido parte de nuestras tradiciones, y que s se han retomado a partir del tercer grado. Con respecto a los lmites de numeracin en segundo grado, estos se mantienen en el nmero 100 por lo que continan por debajo de la media histrica que en Cuba siempre fue 1 000, y por debajo de la media internacional, que es 1 000. Estas limitaciones antes destacadas, no propician que se produzcan en la prctica educativa los cambios necesarios para lograr la transformacin esperada en el aprendizaje. Al comparar esta concepcin actual con respecto al mbito internacional, un aspecto esencial es que en el mundo aparece un nuevo tipo de clculo como resultado de los avances de la ciencia y la tcnica, el clculo instrumental, que tiene como soporte material la calculadora. Este tipo de clculo propicia economizar tiempo para ser dedicado a actividades intelectuales de mayor complejidad, que requieren de formas de pensamiento reflexivo y creativo. En Cuba se ha trabajado muy limitadamente a nivel de investigacin. (En el anexo 1 aparece un anlisis detallado realizado por la autora donde se compara el estado actual de la problemtica de la introduccin de la calculadora en la escuela primaria en distintos pases y se concluyen las formas esenciales para su introduccin.) A modo de conclusin de esta etapa para la enseanza de la matemtica han existido logros importantes como son: Se logra una adecuada coherencia y articulacin entre los contenidos matemticos de cada grado, nivel y subsistema de enseanza. 35


Se establece una estructuracin metodolgica para la clase de matemtica y los diferentes tipos de clases de acuerdo con las formas de fijacin.

Se introduce un sistema de medios para la enseanza como soporte material de las nuevas formas de trabajo ( televisin, video, computadora, entre otros.

La elaboracin de una concepcin pedaggica avalada cientficamente para el trabajo con la matemtica, que analiza el clculo en su relacin con otros complejos de materia.

En el caso particular del clculo: El papel que juega el clculo oral como base y componente del procedimiento escrito. La introduccin de nuevos procedimientos de solucin para el clculo oral que promueven el desarrollo del pensamiento reflexivo. El desarrollo de habilidades en el clculo basado no solo en la memorizacin sino tambin en el domino del significado de las operaciones, las propiedades en el dominio de los nmeros naturales y las leyes matemticas. Estos aspectos esenciales han sido enriquecidos durante estos aos y se ha ido aproximando nuestra concepcin didctica, cada vez ms, a nuestras tradiciones pedaggicas aqu referidas, y a las condiciones actuales de nuestro desarrollo de la enseanza de la matemtica a nivel internacional. No obstante, se han analizado algunas insuficiencias o limitaciones de esta concepcin actual, que son las que en esta investigacin se tendrn en cuenta a los efectos de su perfeccionamiento. I.4 Fundamentos tericos generales para la enseanza del clculo aritmtico y para la matemtica en general. En este epgrafe se plantean algunos fundamentos filosficos, psicolgicos y pedaggicos que en este trabajo se consideran esenciales para el tratamiento de la aritmtica en el primer ciclo. La mayora de ellos estn presentes en la concepcin actual, pero en este trabajo se precisan con mayor detalle en cuanto a su impacto en la enseanza del clculo. Desde el punto de vista filosfico se aborda esencialmente

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el importante concepto de actividad humana, se analiza su influencia en la enseanza y el aprendizaje. Por ello, en el anlisis psicolgico se profundiza en la teora de aprendizaje basada en la actividad, en el concepto aprendizaje y de manera especial en la teora de formacin por etapas de la accin mental, esta ltima de gran valor en la enseanza de procedimientos algortmicos como lo es, en esencia, el clculo. En el caso de los fundamentos pedaggicos y didcticos, se sistematizan los aspectos del modelo Proyectivo de la Escuela Primaria Cubana y se analizan las categoras pedaggicas que rigen el proceso de enseanza en la actualidad y su impacto en la enseanza del clculo, que en este caso se ampliar en el prximo captulo al sistematizar los elementos esenciales de la concepcin que se propone para su tratamiento. Se incluyen dentro de estos fundamentos, algunos especficos de la didctica de la matemtica, en el contexto de la didctica general. I.4.1 Fundamentos Filosficos El estudio de la categora actividad desde el punto de vista filosfico, es base esencial para el anlisis que en epgrafes posteriores se realizar de los conceptos, actividad pedaggica, actividad de aprendizaje, la teora de la formacin por etapas de la accin mental, todas ellas como condiciones previas importantes para el perfeccionamiento del tratamiento del clculo. Es necesario comenzar por el anlisis de las categoras filosficas bsicas para comprender en toda su dimensin la categora de actividad humana, como lo son las categoras de sujeto y objeto. Sobre ello, Rigoberto Pupo (1990) considera la categora filosfica de actividad como: "...modo de existencia, cambio,

transformacin y desarrollo de la realidad socialque deviene como relacin sujeto-objeto y est determinada por leyes objetivas(...)Toda actividad est adecuada a fines, se dirige a un objeto y cumple determinadas funciones" (Pupo; p.27). Una definicin muy completa de la categora actividad, y que se relaciona tambin con las de sujeto y objeto, aparece en el Diccionario Enciclopdico de Filosofa: () forma especficamente humana de relacin activa con el mundo circundante cuyo contenido estriba en la transformacin del mundo en concordancia con un objetivo. La actividad del hombre presupone determinada contraposicin del sujeto y el objeto de

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la actividad. El hombre pone al objeto de la actividad en contraposicin consigo mismo, como el material que debe recibir una nueva forma y nuevas propiedades, es decir convertirse de material en producto de la actividad. Toda actividad incluye en s un objetivo, determinados medios, el resultado y el propio proceso de la actividad y por consiguiente una caracterstica inalienable de la actividad es su carcter consciente. La actividad es la fuerza motriz real del progreso social y es condicin de la existencia misma de la sociedad. Por su parte, Marta Martnez (1985) coincide con aspectos esenciales antes planteados al expresar: Entendida como una interaccin del hombre con el mundo como la forma de su existencia social, la actividad permite al hombre modificar el objeto de acuerdo con los objetivos planteados ya que se unen fines, aspiraciones, conocimientos. Se desarrolla el pensamiento del hombre; el objeto se subjetiviza y se transforma de acuerdo con los fines trazados y los conocimientos se objetivan materializndose en la actividad y en los resultados de la misma. De lo antes planteado se puede comprender que la actividad se caracteriza por su carcter consciente e incluye en s un objetivo, determinados medios, el resultado y el propio proceso de la actividad. Ella constituye una relacin del sujeto con el objeto y del sujeto con otros sujetos. En las formas en que puede expresarse socialmente la relacin sujeto objeto integra elementos que permite comprender la posibilidad de transformacin del mundo. Hay que considerar tambin que la actividad humana se manifiesta como un proceso de comunicacin y de socializacin con respecto a ello, MS Kagan (1989) considera que: la actividad humana, desde el punto de vista filosfico, no es otra cosa que la actividad del sujeto que est dirigida hacia el objeto y hacia otros sujetos. Por lo tanto en el proceso de transformacin del objeto, el hombre, como sujeto, se relaciona con los dems hombres como otros tantos sujetos, de ello se puede concluir que adems de ser una relacin del sujeto con el objeto es una relacin del sujeto con otros sujetos por lo que la comunicacin adquiere un significado especial.

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En el contexto de la actividad prctico material se encuentra la actividad cognoscitiva, la valorativa como formas de interrelacin del sujeto y el objeto, y la comunicativa como forma de interaccin sujeto sujeto. El dominio del contenido filosfico de la categora actividad humana posee un gran valor metodolgico para la direccin del proceso de apropiacin por el alumno de la experiencia histrico social y dentro de ello para la adquisicin de conocimientos y habilidades de clculo matemticos. En este sentido, esta categora orienta a que es en la actividad en que el alumno desarrolla sus habilidades y no en cualquier actividad, sino precisamente en aquella que se estructure para propiciar ese desarrollo. Como ha podido observarse esta categora permite conocer que en el caso de la actividad que despliega el maestro para dirigir el proceso de asimilacin, el objeto se transforma en sujeto, lo que obliga a ver al alumno no como un simple receptor de influencias, sino como sujeto de su propio aprendizaje. Posibilita adems conocer a los maestros que tanto la actividad pedaggica profesional como la actividad del alumno tienen carcter transformador. En el proceso de desarrollo de habilidades de clculo, maestros y alumnos se transforman en la realizacin de la actividad y en ella ocupa un papel decisivo no slo la relacin sujeto - objeto, sino la relacin sujetosujeto en la que ocupa un papel esencial como ya se ha dicho, la comunicacin. Es imprescindible tener en cuenta que la categora actividad en el aprendizaje y en especial en el proceso de desarrollo de habilidades de clculo sea considerada en toda la dimensin humana que incluye esta categora. I.4.2 Fundamentos Psicolgicos Los fundamentos de este trabajo se encuentran en la psicologa pedaggica, como una rama de la ciencia psicolgica. Sobre ella en este trabajo se parte de asumir que el proceso de enseanza aprendizaje en una unidad dialctica en la que si importante es conocer como aprende el alumno, tambin hay que saber cmo hay que proceder para dirigir la enseanza que este requiere. Es por esto que se considera que en el proceso de enseanza ocupa un lugar esencial la categora actividad pedaggica del maestro la que ha sido estudiada por pedagogos y psiclogos en los ltimos aos y posee un gran valor metodolgico al estructurar y dirigir el proceso de enseanza.

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La psicloga sovitica Kusmina (1971) concluye que la actividad pedaggica incluye entre otras, las actividades siguientes; La actividad constructiva La actividad organizativa La actividad comunicativa. La actividad constructiva consiste esencialmente en tener en cuenta aspectos esenciales como: la seleccin y ordenamiento de los contenidos de enseanza, las exigencias educativas y la planificacin del proceso de enseanza - aprendizaje. En la actividad organizativa el maestro tiene que considerar la organizacin de lo que va a tratar; de su conducta pedaggica, la actividad del alumno y la organizacin de la clase como eslabn esencial. La actividad comunicativa es vital en este proceso. Su xito depende de las relaciones maestro alumno; en las relaciones recprocas entre los distintos alumnos, as como de los colectivos de alumnos y de maestros. Como se aprecia, en la actividad pedaggica es que el maestro desarrolla sus conocimientos, capacidades y habilidades pedaggicas que le permiten estructurar y dirigir acertadamente el proceso de aprendizaje. Aspecto esencial a analizar en la actividad de enseanza, es el aprendizaje. En este sentido, la psicloga y pedagoga N.Talzina (2002) expresa que la psicologa pedaggica en la actualidad considera tres tipos de teora del aprendizaje: la teora conductista, la teora cognitiva y la teora de la actividad. En el presente trabajo analizaremos el aprendizaje basado en la teora de la actividad, que es consecuente con las posturas filosficas asumidas y que desde el punto de vista psicolgico ha ocupado un lugar significativo en la escuela histrico-cultural de L.S Vigotsky. Sobre el aprendizaje basado en la actividad, N. Talizina (2002) destaca que tiene sus fundamentos en los trabajos de P.Ya Galperin, en los inicios de los aos 50 del siglo XX y sus seguidores. La teora de aprendizaje basada en la actividad considera tres principios esenciales: La aproximacin de la actividad hacia la psiquis. La naturaleza social del desarrollo psquico del hombre.

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La unidad de la psiquis y de la actividad externa. Este enfoque psicolgico concibe al individuo como un ser social cuyo desarrollo va a estar determinado por la apropiacin de la cultura material y espiritual creada por las generaciones precedentes. En el enfoque Histrico Cultural la enseanza se considera como una de las vas de apropiacin de dicha cultura, que precede al desarrollo y debe conducirlo. Considera el aprendizaje como trnsito de lo externo a lo interno, de la regulacin externa a la autorregulacin, de la dependencia a la independencia cognoscitiva. En la escuela primaria cubana actual, se ha precisado esta concepcin de aprendizaje con la postura de P. Rico (2004) que expresa que: el aprendizaje es el proceso de apropiacin por el nio, de la cultura, bajo condiciones de orientacin e interaccin social. Hacer suya esa cultura, requiere de un proceso activo, reflexivo, regulado, mediante el cual aprende, de forma gradual, acerca de los objetos, procedimientos, las formas de actuar, las formas de interaccin social, de pensar, del contexto histrico social en el que se desarrolla y de cuyo proceso depender su propio desarrollo. La investigadora cubana D.Castellanos (2000) por su parte refiere queen su sentido amplio, el aprendizaje puede ser entendido como un proceso dialctico en el que, como resultado de la prctica, se producen cambios relativamente duraderos y generalizables, y a travs del cual el individuo se apropia de los contenidos y las formas de pensar, sentir y actuar construidas en la experiencia socio histrica con el fin de adaptarse a la realidad y/o transformarla. En este trabajo se asumen estos criterios y se considera que entender el aprendizaje como un proceso dialctico que le permite al individuo adaptarse y/o transformar, es una idea esencial que hay que tener en cuenta. Es importante tambin analizar que por su naturaleza el aprendizaje es multidimensional, social, individual y tiene lugar a lo largo de toda la vida. En este sentido se tiene en cuenta tambin que los aprendizajes se expresan a nivel de tres dimensiones particulares: su contenido (el qu), los procesos a travs de los cules las personas se apropian de estos

contenidos (el cmo), y las condiciones que es necesario estructurar y organizar para que los educandos puedan activar esos procesos al apropiarse de aquellos contenidos

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(el cundo, dnde, en qu situaciones, con quin, etc.) que conforman el contexto y la situacin de aprendizaje. La combinacin de estos tres elementos definen una variedad inmensa de contextos, situaciones, tipos y prcticas de aprendizaje, y consecuentemente, de habilidades, capacidades y actividades necesarias para desplegarlos, que deben ser enmarcados en la formacin de un ser humano integral, que le permita avances exitosos en el aprendizaje y el fortalecimiento de los valores humanos que harn posible que contine la obra de la humanidad. Al analizar el concepto aprendizaje tambin hay que considerar que este es un proceso activo, constructivo, significativo, motivado, orientado a metas. El aprendizaje significativo para el centro de estudios del Instituto Superior Pedaggico Enrique Jos Varona es aquel que partiendo de los conocimientos, actitudes, motivaciones, intereses y experiencia previa del estudiante hace que el nuevo contenido cobre para l un determinado sentido. El aprendizaje significativo es aquel que potencia el establecimiento de relaciones: relaciones entre aprendizajes, relaciones entre nuevos contenidos y el mundo afectivo y motivacional de los estudiantes, relaciones entre los conceptos ya adquiridos y los nuevos que se forman, relaciones entre el conocimiento y la vida, entre la teora y la prctica. Desde el punto de vista de este trabajo, esta postura de un aprendizaje realmente significativo para el sujeto, hace que el contenido de los nuevos aprendizajes cobre un verdadero valor para la persona y aumente las posibilidades de que dicho aprendizaje sea duradero, recuperable, generalizable, transferible a nuevas situaciones. Estas consideraciones resultan esenciales para el aprendizaje del clculo aritmtico que es abordado en este trabajo, y para ello se debe tener en cuenta el planteamiento de J. Lpez Hurtado (2000) cuando asume que de las formas en que se estructure, organice y dirija la enseanza, del papel que se asigne al escolar, del sistema de actividades que realice, depende en mucho que se logren la formacin de motivos, de intereses por conocer, el desarrollo de su esfera intelectual y de cualidades personales como la responsabilidad, la persistencia, la independencia, por solo mencionar algunas.

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Este anlisis del aprendizaje y las caractersticas psicopedaggicas de su tratamiento en la educacin primaria fundamentan el perfeccionamiento del tratamiento que se propone para el clculo aritmtico en estas edades, en el que hay que atender tambin el proceso de formacin de las acciones generales y especficas que caracterizan tambin al clculo. Al estudiar las caractersticas de la accin se declara por Galperin, referido por N. Talizina (2002), las siguientes: la forma de la accin, su carcter generalizado, desplegado y asimilado que son las llamadas anteriormente las caractersticas primarias. La forma de la accin expresa la medida de interiorizacin de la accin, el nivel de apropiacin de la accin por el sujeto. En este proceso se distinguen tres formas fundamentales de la accin: la material, la verbal externa y la mental. Las formas material y materializada de la accin permiten descubrir el contenido de la accin. Ellas constituyen la forma de partida de la accin, su peculiaridad consiste en que el objeto de la accin se da al estudiante en forma de objetos reales o en forma de modelos, esquemas, dibujos lineales. La forma verbal externa de la accin se expresa en el hecho de que el objeto de la accin est representado en forma verbal externa que puede ser oral o escrita. El proceso de transformacin de este objeto transcurre tambin en esa misma forma. La accin verbal es el reflejo de la accin material o materializada. Su contenido de objeto sigue siendo el mismo, pero la forma cambia cualitativamente. En su proceso de formacin se presupone una determinada medida de generalizacin de su forma material expresada en que del contenido concreto de los objetos se separan los rasgos y las propiedades sustanciales para la accin y que son su objeto especfico. La forma mental de la accin expresa la transformacin de la accin externa en interna, significa que la accin se realiza para s, sus elementos estructurales son las representaciones, los conceptos, las operaciones que se ejecutan para s. La accin, al convertirse en mental, no perdi su objeto, sigue siendo de objeto; pero si antes el sujeto cumpla la accin como prctica, transformando los objetos exteriores, ahora la realiza en la mente; transformando las imgenes de estos objetos. (N. Talzina, 1988)

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El carcter generalizado de la accin expresa la medida de separacin de las propiedades del objeto, las esenciales para el cumplimiento de la accin, de las no esenciales. Con respecto a la generalizacin como caracterstica primaria de la accin, hay que tener en cuenta que la esencia es encontrar lo general, y mostrar cmo esto general determina el surgimiento y la interrelacin de los fenmenos, es decir, la existencia de lo concreto. El escolar por si solo no encuentra lo general (lo universal, la esencia) sino que lo obtiene como la base orientadora de la accin de la persona que le ensea, segn expresa Talzina (2000). S. Rubinshtein (1958), mostr la importancia para el proceso de generalizacin de las operaciones tales como el anlisis, la abstraccin, la sntesis. La generalizacin en sus trabajos se entiende como uno de los principales procesos del pensamiento. En la teora de la formacin por etapas de las acciones mentales que constituye uno de los sustentos tericos de la concepcin didctica, la generalizacin se considera como una de las caractersticas fundamentales de cualquier accin, la generalizacin no se limita al pensamiento y en este sentido es entendida en este trabajo. Segn los estudios de la destacada psicloga N. Talzina las investigaciones muestran que el proceso de generalizacin depende del carcter de las acciones orientadoras dirigidas a los objetos generalizados la generalizacin se realiza no simplemente sobre la base de lo comn que hay en los objetos, que es una condicin necesaria, pero insuficiente: la generalizacin se realiza siempre segn las propiedades de los objetos que entraron en la composicin de la base orientadora de las acciones dirigidas al anlisis de estos objetos. La medida de generalizacin de la accin segn los estudios de Galperin y N.Talzina se establece por medio de tareas para la transferencia. La posibilidad de la transferencia se verifica tanto respecto de la accin en su conjunto, como respecto de sus partes aisladas. La accin del reconocimiento en su conjunto tiene a la generalizacin dentro de los lmites del concepto que se form durante el trabajo con sus caractersticas. Se transfiere a otros conceptos con la misma estructura lgica de las caractersticas.

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Esta postura fundamenta el nfasis que se hace de la transferencia como herramienta importante del perfeccionamiento de las habilidades de clculo aritmtico. El carcter desplegado de la accin analiza la reduccin de las acciones mentales, en l se muestra si todas las operaciones que formaban parte de la accin originalmente, se cumplen por el hombre. En la medida

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Concepción didáctica del cálculo aritmético