concentratori de tensuni

7/28/2019 concentratori de tensuni

1/50

PROIECT MECANIC:

DETERMINAREA NUMERIC A FACTORULUI DEINTENSITATE A TENSIUNII

5


2/50

CUPRINS

CAPITOLUL I : CONCENTRATORI DE TENSIUNE ..................................................................... 3

1.1.a Coeficientul teoretic de concentrare .................................................................................... 3

1.1.b Coeficientul efectiv de concentrare ...................................................................................... 7

1.2 Infuena factorilor constructivi ................................................................................................ 9CAPITOLUL II : TENSIUNI I DEFORMAII NTR-UN MEDIU CARE CONINE

FISURI. FACTORUL DE INTENSITATE A TENSIUNILOR........................... 12

2.1. Starea de tensiune n jurul unei guri realizat ntr-o plac dreptunghiular solicitat la

ntindere sau compresiune .....................................................................................................12

2.2. Cmpul tensiunilor elastice din vecintatea unui concentrator ascuit, cu profil la vrf de

form eliptic .......................................................................................................................... 19

2.3. Factorul de intensitate a tensiunii pentru piese cu diferite frecvene i condiii de

ncrcare ................................................................................................................................... 22

2.3.1. Placa de presiune unitar i de dimensiuni infinite n plan .............................................. 22

2.3.2. Plci cu lime finit i grosime unitar, solicitate n plan median .................................. 22

2.4. Zona plastic de la vrful fisurii .................................................................................................. 29

CAPITOLUL III: PROPAGAREA FISURII SUB ACIUNEA SOLICITRILOR VARIABILE.......30

3.1. Viteza de propagare a fisurii ..........................................................................................................30

3.2. Ruperea final. Tenacitatea la rupere ............................................................................................ 33

3.3. ntrzierea propagrii. nchiderea fisurii ....................................................................................... 34

3.4. Estimarea duratei de propagare a fisurii .......................................................................................35

CAPITOLUL IV: REZULTATE NUMERICE ........................................................................................36

6


3/50

INTRODUCERE

Starea de tensiune din vrful unei fisuri este perfect caracterizat de ctre factorul de intensitate atensiunii.

n lucrare sunt tratate aspecte teoretice privind modul de calcul a factorului de intensitate a tensiunii

pentru diverse tipuri de corpuri supuse la solicitri variabile.

Lucrarea este structurat n urmtoarele capitole:

n capitolul I sunt tratate problemele legate de concentratori de tensiune, cu urmtoarele

subcapitole:

Coeficientul teoretic de concentrare;

Coeficientul efectiv de concentrare;

Infuena factorilor constructivi.

n capitolul II am prezentat tensiunile i deformaiile ntr-un mediu care conine fisuri i factorul

de intensitate a tensiunilor.Aici putem vorbi despre :.Aici putem vorbi despre :

Starea de tensiune n jurul unei guri realizat ntr-o plac dreptunghiular solicitat la

ntindere sau compresiune;

Cmpul tensiunilor elastice din vecintatea unui concentrator ascuit, cu profil la vrfform eliptic;

Factorul de intensitate a tensiunii pentru piese cu diferite frecvene i condiii de

ncrcare;

Zona plastic de la vrful fisurii.

n capitolul III am vorbit despre propagarea fisurii sub aciunea solicitrilor variabile, unde ne-am referit la viteza de propagare a fisurii, ruperea final, nchiderea fisurii i estimarea duratei de

propagare a fisurii

n ultimul capitol, capitolul IV am obinut rezultate numerice pentru factorul de intensitate a

tensiunii

7


4/50

CAP 1. CONCENTRATORII DE TENSIUNI

1.1.a COEFICIENTUL TEORETIC DE CONCENTRARE

Fenomenul de concentrare a tensiunilor se intlnete la solicitrile la ncovoiere sau rsucire ale

pieselor cu concentratori. n toate cazurile exist local tensiunea maxim, a crei valoare este mult mai

mare dect tensiunea nominal determinat cu ajutorut formulelor clasice.

Experiena arat c variaiunile brute de seciune ce intervin n piese datorit : gurilor, crestturilor

laterale, anurilor de pan, filetelor etc., influeneaz puternic repartiia tensiunilor n jurul acestor

schimbri de seciune. n cazul solicitrilor axiale, de exemplu, repartiia tensiunilor nu mai este uniform

pe seciune i tensiunile maxime au valori mult mai mari dect ar rezulta considernd distribuia uniform

(fig.1.1). Acest fenomen de modificare a modurilor de distribuie a tensiunilor fa de cele

corespunztoare pieselor cu seciune constant, insoite de sporirea maximelor de tensiune, poart numelede concentrri de tensiune.

N

n max

A n=N/A

N Fig.1.1

Concentrrile de tensiune au loc nu numai n cazul solicitrilor axiale (ntindere sau compresiune) ci i n

cazul solicitrii de ncovoiere (fig. 1.2,a) i a solicitrii de rsucire (fig. 1.2, b).

8


5/50

M

maz n W

n=Mi/W

M Fig.1.2,a

Mt

max n Wp

n=Mt/Wp

Mt Fig 1.2.b

Se numete concentrator orice fel de schimbare de seciune ce intervine n lungul unei piesei i, ngeneral, orice cauz capabil s provoace o concentrare de tensiuni. Raportul dintre tensiunea maxim

max i tensiunea nominal n calculat cu formulele cunoscute din rezistena materialelor (indicate n

fig. 1.1) se numete coeficient de concentrare a tensiunilor. Acesta se noteaz cu k i are expresia:

., maxmax

n

k

n

krespectiv ==

(1.1)

Valorile acestor coeficieni se determin pentru diverse tipuri de concentratori, n funcie de geometria

piesei i forma concentratorului respectiv, i se gsesc n lucrrile de specialitate. Acest fenomen de

concentrare a tensiunilor este periculos mai ales pentru piesele realizate din materiale fragile, deoarece n

prezena tensiunilor locale mari, ce iau natere n asemenea mprejurri, piesa se va rupe sau va cpta

fisuri periculoase. Fenomenul de concentrare a tensiunilor se ntlnete i la solicitrile la ncovoiere sau

9


6/50

rsucire ale pieselor cu concentratori. n toate cazurile exist local tensiunea maxim, a crei valoare

este mult mai mare dect tensiunea nominal determinat cu ajutorul formulelor clasice.

n calculul tensiunilor nominale n i n mrimile A, W i Wp se refer la seciunea minim, unde

efectul de concentrare este maxim. Valoarea coeficientului kdepinde numai de elementele geometrice

ale concentratorului i, ndeosebi, de raza de racordare, din care cauz k este denumit coeficient teoretic

de concentrare.

n figurile 1.1 i 1.2 s-au trasat cu linie ntrerupt distribuia teoretic a tensiunilor i cu linie plin

variaia real care ine seama de efectul concentratorului.

Coeficientul kdefinete vrfurile de solicitare n domeniul valabilitii legii lui Hooke.

n cazul metalelor tenace, la trecerea din domeniul elastic la cel plastic, fenomenul de concentrare a

tensiunilor se modific n mod simitor (fig. 1.3) n sensul c vrful de solicitare, datorit deformaiilor

plastice se reduce, deci se reduce i efectul concentratorului, din care cauz, n cazul solicitrilor statice

pentru metalele tenace efectul de concentrare, de regul, nu este luat n considerare

Un concentratornu influeneaz numai repartiia tensiunilor pe seciune, ci are efect i asupra strii de

solicitare a materialului din regiunea concentratorului. Astfel, n cazul unei bare drepte, prevzut cu

cresttur periferic, solicitat la ntindere ntr-o stare de solicitare monoaxial, la baza crestturii, se

obine o stare de solicitare biaxial, iar n interiorul barei, chiar o stare triaxial de solicitare .

N

n ( k+1)

k n n(k-1)

k n kn

N Fig.1.3

10


7/50

N

1

max

n max=kn 3 1

2 n=N/A 2=3

N

a) fig 1.4 b)

n cazul barelor cu seciune dreptunghiular, subiri, se poate considera 3= 0. n fig. 1.4, b se prezint

cercul lui Mohr pentru un element de volum cuprins n seciunea transversal, din dreptul

concentratorului, a barei din fig. 1.5, a.

Studiul distribuiei tensiunilor n dreptul concentratoriloreste, n general complicat. Problemele plane

simple de concentrare a tensiunilor au fost rezolvate cu ajutorul metodelor teoriei elasticitii. Pentru

cazurile mai complexe studiul analitic este dificil. Asemenea probleme pot fi rezolvate prin metode

experimentale, cum sunt : metoda fotoelectric i metodele interferometrice .Pe baza studiilor analiticei experimentale s-au ntocmit pentru coeficientul k grafice (ca cel din fig. 1.3 ) i tabele ce se gsesc n

literatura de specialitate, pentru toate tipurile de concentratori ntlnii curent n practica inginereasc.

In figura 1.5, a, b, c sunt prezentate cteva exemple de concentratori.

a) b) c)

fig 1.5 Exemple de bare cu diverse tipuri de concentratori

a) Efect de concentrare pronunat

11


8/50

b) , c) Efecte de concentrare atenuate prin racordri

1.1. b COEFICIENTUL EFECT1V DE CONCENTRARE

Practica arat c tensiunea max produs de concentrator nu crete n raportul k, ci numai n raportul k

fa de aceea obinut n cazul absenei concentratorului (fig. 1.4).Coeficientul k este denumi

coeficient efectiv de concentrare spre deosebire de coeficientul k denumit, aa cum s-a menionat

coeficientteoretic de concentrare. Legtura dintre cei doi coeficieni poate fi scris sub forma

k = 1 + k ( k - 1) (1.2)

unde k este coeficientul de sensibilitate la concentrarea tensiunilor a materialului, care reduce vrful de

solicitare teoretic, rezultat din relaia (1.1), aa cum se arat n fig. 1.4

Valorile lui k sunt cuprinse ntre 0 - insensibilitate la concentrare i 1 - sensibilitate maxim, cnd k =

k. Materialele casante, cum sunt fonta i oelurile de nalt rezisten au k = 1, deci pentru aceste

materiale k = k. n tabelul 1.1 sunt date valori orientative pentru k n cazul oelurilor utilizate

frecvent n construcii de maini. De menionat c utilizarea practic a relaiei (1.2) este limitat,

deoarece coeficientul de sensibilitate k nu depinde numai de material; el este influenat i de starea

triaxial de solicitare care exist n regiunea concentratorului, aa cum s-a artat la paragraful precedent

(fig. 1.5).

Tabelul 1.1

Valorile lui k pentru cteva oeluri

MATERIALUL I STAREA REZISTENA DE RUPERE,daN/mm k

OL 37 42 0,50OL 37 recopt 40 0,30OL 50 55 0,60OL 50 recopt 53 0,35OL 60 65 0,62OL 60 recopt 62 0,43OL 70 77 0,65OL 70 recopt 72 0,55OLC 60 normalizat 75 0,85OLC 60 mbuntit 92 0,88Oel de arcuri cu Si 80 0,20Oel mbuntit 110 0,90

12


9/50


10/50

b) Influenta mrimii piesei

Experiena arat c rezistena la oboseal a pieselor de un diametru d este mai mic dect a

epruvetelor, dac d>do, sau n cazul utilizrii unor modele reduse ca mrime fa de piesa real.

Se numete coeficient dimensionalk , raportul

01

1

d

d

k

=

unde,

d0este diametrul epruvetelor utilizate la ncercrile efectuate pentru determinarea lui -1

ddiametrul piesei reale a crei suprafa este prelucrat n aceleai condiii ca

epruveta.

c)Influena formei seciunii

Pentru anumite materiale, cum este, de exemplu, fonta, influena formei geometrice a seciunii

asupra rezistenei R depete influena calitii materialului. Este demonstrat dependena dintre

forma geometric a seciunii i rezistena la ncovoiere Ri respectiv a raportului dintre rezistena la

ncovoiere i cea de ntindere Ri/ Rt. Ca urmare, n unele cazuri se introduce n calcule un coeficient s

care exprim influena formei geometrice a seciunii piesei, cnd aceasta este deosebit de cea circular.

14


11/50


12/50

Din ecuaiile de fore scrise dup direciile r i ra, rezult :

dy ( ) 0coscos

=

y

rrr d

0 r r ( ) 0sincos

=+

y

y

rr

dd

x

Rezult: ( )

2cos12

cos2 +==r (1)

2sin2cossin ==r (2)

n mod similar :

r dy ( ) 0sinsin =

yy dd

0 x( ) 0cos

sin=

y

y

rr dd

Rezult : ( )

2cos12sin 2 == (3)

2sin2cossin ==r (4)

Starea de tensiune cutat este :

( )

2cos12

+=r (5)

( )

2cos12= (6)

2

2sincossin

==r (7)

Rezult c, pe conturul exterior al coroanei la r=b, acioneaz forele:

( ) 2cos12

1+=r

16


13/50

2sin21=r

Acestea pot fi descompuse n dou pri:

presiune radial egal cu 2

(presiunea 1);

tensiunile : 2cos2

1=

r (presiunea 2).

2sin21

=r

Prima problem a fost studiat la tuburi cu perei groi supui numai la presiunea exterioar.Tensiunile pe care le produc n interiorul coroanei sunt:

( )

=

=2

2

22

2

222

222

12

1

2 r

a

ab

b

rab

arbr

( )

+

=

+

=2

2

22

2

222

222

12

1

2 r

a

ab

b

rab

arb

(8)

0=r

Problema a doua poate fi rezolvat utiliznd o funcie a tensiunilor (funcia Airy) de forma:

( ) ( ) 2cos, = rfrF

Se pune condiia ca funcia Airy s satisfac ecuaia de continuitate:

+

rr

F 24

4

23

31

rr

F+

32

21

rr

F+

4

4

rr

F

32

22

r

F

+

22

32

2 rr

F

+

422

41

rr

F

0

4

4

=

F

Rezult:

2cos)( =

rfr

F ( )

2sin2 rf

F =

17


14/50

2cos)(2

2

=

rfr

F ( )

2cos4

2

2

rfF

=

2cos)(3

3

=

rfr

F ( )

2sin8

3

3

rfF

+=

2cos)(4

4

=

rfr

F iv ( )

2cos164

4

rfF

=

( )

2sin22

3

rfr

F =

( )

2cos422

4

rfr

F =

( ) 2cos42

3

rfr

F =

Deci :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 02cos16

2cos2

2cos8

2cos16

2cos1

2cos1

2cos2

2cos

423

432

=++

+++

rfr

rfr

rfr

rfr

rfr

rfr

rfr

rf iv

sau :

( ) ( ) ( ) ( ) 099232

=++ rfr

rfr

rfr

rfiv

Se face schimbarea de variabil:

ter= sau rt ln=

Efectund calculele, se obine: 016442

2

4

3

4

4

=+dt

dt

dt

fd

dt

fd

dt

fd

Ecuaia caracteristic este: 01644 234 =+ ssss

cu soluiile: 01 =s ; 42 =s ; 23 =s ; 24 =s .

18


15/50

Soluia ecuaiei este: ( ) tttt DeCeBeAetf 2024 +++=

Revenind la variabila r, cu t = ln r, avem: ( )2

24

r

DCBrArrf +++=

astfel c:

( ) 2cos, 224

+++=

r

DCBrArrF

Tensiunile se determin din relaiile:

2

2

2

11

+

=F

rr

F

rr

2

2

r

F

=

=

F

rrr

1

Efectund derivatele:

2cos2

243

3

+=

r

DBrAr

r

F

2cos6

212 422

2

++= rDBArrF

2sin22

24

+++=

r

DCBrAr

F

2cos42

24

2

2

+++=

r

DCBrAr

F

2sin22423

32

+=

r

DBrAr

r

F

Rezult:

2cos64

242

++=

r

D

r

CBr (9)

19


16/50

2cos6

2124

2

++=

r

DBAr (10)

2sin62

2642

2

+=

r

D

r

CBArr (11)

Constantele A, B, C i D se determin din condiia la limit:

pentru 064

20;42

=++==a

D

a

CBar

r (12)

2

642

2;

42

=++==

b

D

b

CBbr r (13)

062

260;42

2 =+==a

D

a

CBAaar ra (14)

2

6226

2;

42

2 =+==

b

D

b

CBAbbr ra (15)

Dac se presupune c b este foarte mare, rezult:

din ecuaia (15) : 0=A

din ecuaia (13) :4

=B

din ecuaiile (12) i (14) : 4

2

4

2

aD

aC

=

=

Cu acestea, soluiile 9, 10 i 11 sunt:

2cos34

12 4

4

2

2

+=

r

a

r

ar (16)

2cos3

12 4

4

+=

r

aa (17)

2sin32

12 4

4

2

2

+=

r

a

r

ara (18)

Pentru b foarte mare, ecuaiile (8) (soluia problemei devine):

20


17/50


18/50

Y x y x

B 0 y x

2

fig.2.2

-raza la vrf a concentratorului

ntr-un punct oarecare din vecintatea concentratorului definit prin coordonatele polare r, , tensiunile x

y i xy, care definesc starea de tensiune, sunt date de relaiile :

( )

=

2

3cos

22

3sin

2sin1

2cos2 2

1

rrKIx

( )

+

+=

2

3cos

22

3sin

2sin1

2cos2 2

1

rrKIy (1)

( )

=

2

3sin

22

3cos

2cos

2sin2 2

1

rrKIxy

La vrful concentratorului pentru2=x , valoarea tensiunii normale maxime este:

= IK2max

n relaiile de mai sus, mrimea K poart numele de factor de intensitate al tensiunii i este o mrime

important n mecanica ruperii. Indicele I indic modul de deplasare relativ a celor dou pri prin planul

22


19/50

de propagare a fisurii. Modurile de deplasare pot fi definite izolnd un element foarte mic din frontul unei

fisuri:

23


20/50

Din expresiile (1) se constat c la marginea fisurii tensiunile sunt determinate de un simplu factor numit

factor de intensivitate a tensiunii. Analiza dimensional a expresiilor (1) arat c factorul de

intensitate tensiunii, KI, poate fi definit printr-o relaie de forma:

aCKI = (2)

n care C este un parametru dependent de domeniu i de geometria fisurii iar (a) este lungimea fisurii.

n cazul relaiilor (1), valoarea factorului KI este:

a

KI = (3)

Factorul de intensitate al tensiunii poate fi determinat analitic sau prin metode experimentale

(fotoelasticitate, metoda Moire-urilor, etc.).Din punct de vedere practic prezint interes starea de

solicitare corespunztoare modului I de deplasare.

24


21/50

2.3. FACTORUL DE INTENSITATE A TENSIUNII PENTRU PIESE CU DIFERITE

FRECVENE I CONDIII DE NCRCARE

2.3.1. Plac de presiune unitar i dimensiuni infinite n plan

Se consider o plac de presiune unitar, cu dimensiuni infinite n plan, supus unei stri uniforme de

tensiune , cu o fisur strpuns pe toat presiunea cu lungimea (2a), orientat normal fa de tensiunea

Factorul de intensitate a tensiunii este dat de relaia;

aKI = (4)

2a Cu aceasta, starea de tensiune la vrful fisurii este dat de

relaia (1).

2.3.2. Plci cu lime finit (b) i grosimea unitar, solicitate n planul median:

fisur n mijlocul plcii:

b 2a 2

1

sec

=

b

aaKI

relaie dat de Fedderson

sau

2

1

=

b

atg

a

baKI

relaie dat de Irwin (5,6)

25


22/50

fisur lateral:

b a

+

+

=

432

85,5348,387,1841,099,1b

a

b

a

b

a

b

aaKI (7)

fisuri laterale simetrice:

a

b a

+

+=

32

242,3212,2236,099,1b

a

b

a

b

aaK

I (8)

fisur lateral n placa solicitat la ncovoiere: P

grosimea t

b a

l

+

+

=432

80,2417,2397,1247,299,1b

a

b

a

b

a

b

aaK

I

(9)

n care : 22

3

tb

Pl=

26


23/50

Dac raportulb

aeste neglijabil, atunci relaiile 5, 6, 7 devin:

aaKI 12,199,1 ==

Fisura de form eliptic aproximeaz cu suficient precizie numeroase fisuri care apar n elementelestructurii lor, motiv pentru care a fost studiat mai detaliat.

Astfel, Irwin a propus urmtoarea expresie pentru un corp solicitat la ntindere omogen, cu fisur

eliptic:

+

=

22

22 cossin

c

aaKI

(10)

2c 2a n care este o integral eliptic de spea a II-a:

( )

= 20

21

2

22

sin1

c

ac

care, dezvoltat n serie, se calculeaz din relaia:

= ...........643

41

12

2

2

22

2

22

c

ac

c

ac

Din relaia de mai sus, care exprim factorul de intensitate a tensiunii, KI, rezult c aceasta variaz de-alungul conturului fisurii (o eclips):

y

27


24/50

C A

a contur fisur (elips)

B x

2c

la extremitatea axei mici, punctual A:

2

= :

aK ax =Im

la extremitatea axei mari, punctual B:

0= :c

aaK in =

Im

Rezult c fisura tinde s se dezvolte mai mult pe direcia axei mici i s devin o fisur cu conturcircular, avnd factorul KI constant n toate punctele conturului.

Expresiile au fost deduse pentru o fisur existent ntr-un corp nelimitat. Pentru piese cu dimensiuni finite

prin analogie cu expresia:

aKI 12,1=

pentru o fisur eliptic situat n faa piesei, se poate aplica un factor de corecie de valoare (1,12):

4

1

2

2

22 cossin12,1

+

=

c

aaKI

(11)

a

28


25/50

2c

n cazul fisurilor de col, factorul de suprafa liber cu valoarea (1,12) intervine de dou ori, astfel cexpresia lui KI devine:

( )

aKI =

212,1

(12)

a

c

Dac a=c: fisura eliptic de col devine fisur circular de col i 571,12 == deci:

aKI 8,0=

FISURI CARE PROVIN DIN GURI:

a. Pentru o gaur nencrcat local, situat ntr-o plac supus unei tensiuni uniforme , factorul de

intensitate a tensiunii are forma:

=D

afaKI

n care: a - lungimea fisurii msurate de la marginea gurii;

D - diametrul gurii;

f=

D

a- o funcie care este prezentat grafic sau tabelar n literatura de specialitate.

Atunci cnd fisura se apropie ca ordin de mrime de diametrul gurii, n calculele inginereti se consider

c combinaia gaur-fisur se comport ca o fisur n a crei lungime este inclus i diametrul gurii. De

exemplu, n cazurile urmtoare:

fisur pe o singur parte:

29


26/50

2,1

2

+==a

DaaK efI

(13)

D a

2aef

fisur pe ambele pri:

a a

2aef 12

+==a

DaaK efI

(14)

b. Pentru o gaur ncrcat local:

P= b D

b 2a 2,12

+==a

DaaK efI

(15)

30


27/50

Toate relaiile stabilite mai sus au fost determinate n cazul solicitrilor statice (=constant).

Pentru solicitri variabile periodice, factorul de intensitate al tensiunii va avea o variaie corespunztoare:

aCK ax maxIm = ;

aCK in minIm = .

deci:

( )minmaxImIm == aCKKK inaxI

Deoarece fisura se nchide i se deschide periodic, funcie de variaia tensiunii (), valoarea minim a

factorului de intensitate se consider zero:

0Im =inK

2.4. ZONA PLASTIC DE LA VRFUL FISURII

Tensiunile la vrful fisurii, exprimate prin valori principale, sunt:

( )

+=

2sin1

2cos2 2

1

1

rKI

( )

=

2sin1

2cos2 2

1

2

rKI

31


28/50

03 = (pentru starea plan a tensiunii)

Aa cum s-a artat, la vrful fisurii =0, se poate scrie :

( ) 21

12

= rKI

( ) 21

22

= rKI

03 =

Se constat c, pentru r0 (la vrful fisurii) 1, fapt care nu poate avea loc n realitate. n realitate ele

rmn finite, deoarece peste limita de curgere se produc deformaii plastice. n acest fel, n zona dinvecintatea fisurii se dezvolt o zon plastic. Punnd condiia de plasticitate:

cp

I

r

K

=

2

rezult raza care definete zona plastic:

2

2

1

=

c

Ip

Kr

32


29/50


30/50

Se constat c viteza de propagare crete o dat cu creterea lungimii fisurii. ntr-un punct oarecare al

curbei, ea este proporional cu panta tangentei la curb n punctul respectiv:

N

atg

=

De regul, modul de propagare poate fi studiat mai bine utiliznd un sistem de axe logaritmice, avnd

drept coordonate DK i da/dN:

dN

dalog [m/ciclu]

10-5

10-6 I II III

10-7

10-8

10-9

10-10 Kt Ka lg(K)[MPa m ]

Se constat c, pentru o pies dat, indiferent de valoarea tensiunii maxime, curba de mai sus este unic.

Rezult c aceast curb este caracteristic pentru un material dat

Se observ existena a trei domenii caracteristice de propagare:

domeniul I, care corespunde unor viteze de propagare da/dN de pn la 10-8 m/ciclu.

n acest domeniu se definete o valoare minim kt numit valoare de prag, a variaiei factorului de

intensitate a tensiunii, sub care o fisur existent de oboseal nu se propag. O dat cu creterea

amplitudinii solicitrii kt, viteza de propagare crete lent, ctre o valoare stabilizat. Curba de variaie a

vitezei de propagare a fisurii n acest domeniu a fost estimat prin relaii de forma:

( )1

1

m

tKKCdN

da

=

n care C1 i m1 sunt coeficieni de material.

domeniul II, n care viteza de propagare a fisurii este de ordinul 10-8-10-6 m/ciclu.

34


31/50

n acest domeniu, fenomenul de propagare este stabilizat, curba fiind liniar. Ecuaia pentru acest

domeniu a fost propus de Davis, sub forma: mKCdN

da=

n care C i m sunt coeficieni de material.

domeniul III, care corespunde vitezelor de propagare mari, de peste 10-6 m/ciclu.

n acest domeniu, propagarea este instabil, fisura crescnd cu fiecare ciclu de solicitare din ce n ce mai

repede, pn la o lungime critic, corespunztoare ruperii finale. Curba n acest domeniu poate fi

descris printr-o ecuaie de forma: ( ) ( ) KKRKC

dN

da

c

m

=

11

propus de Forman, n care:

C`, m` sunt factori de material;

Kc este valoarea critic a intensitii tensiunii la care propagarea devine instabil, numit

tenacitate la rupere

max

min

max

min

==

K

KR coeficient de asimetrie a ciclului de solicitare

O influen deosebit asupra vitezei de propagare a fisurii, o are valoarea tensiunii mediei de ntindere,

aa cum rezult din figura de mai jos:

log(da/N) [m/ciclu]

10-4 - R=0

10-5 - R=0,2

10-6 - R=0,4

10-7 - R=0,6

10

-8

- R=0,810-9 -

0 10 100 log(k) [MPa ]

35


32/50

Din analiza fisurii, rezult:

dac R, care este direct proporional cu tensiunea medie, crete, curba ( )KfCdN

da = se

deplaseaz spre stnga;

se constat c, pentru curbele dinspre stnga, viteza de propagare crete accentuat pentru toate

cele trei domenii;

poriunea dreapt (domeniul II) reprezentnd propagarea strilor devine mai mic pentru curbele

cu R mai mare;

odat cu creterea lui R, viteza de propagare n domeniul III crete accentuat;

valoarea de prag Kt scade odat cu creterea lui R (a tensiunii medii). Pentru creterea lui R de

la 0 la 0,8, reducerea valorii de prag este de 1,5 pn la 2,5 ori.

3.2. RUPEREA FINAL. TENACITATEA LA RUPERE

Faza final de rupere a unei piese corespunde propagrii instabile (domeniul III) a unei fisuri.

Propagarea instabil a fisurii se produce atunci cnd factorul de intensitate a tensiunii n zona vrfului

fisurii atinge valoarea critic Kc, numit tenacitate la rupere. Aceasta reprezint o caracteristic de

material.

Tenacitatea la rupere a metalelor este influenat de temperatura i de viteza de solicitare dar i factori

tehnologici i de mediu. Un element de care trebuie inut seama este grosimea piesei:la grosimi mari,

tenaticitatea la rupere scade, tinznd ctre o valoare care reprezint o caracteristic de material, K1c:

Kc[MPa ]

K1c

36


33/50

grosimea t[mm]

Pentru piese cu solicitri cunoscute, executate din metale la care a fost determinat tenacitatea la rupere

se poate determina lungimea fisurii, numit lungime critic, la care propagarea devine instabil.

De exemplu, pentru piese de dimensiuni mari, cu fisur central circular, dac tensiunea nominal este

= 0,6c, din relaia :

aKI =

rezult:

2

7,8

=

C

ICcr

Ka

Se observ c (acr) este proporional cu ptratul tanacitii de rupere (a factorului de intensitate a

tensiunii pentru propagarea instabil).

3.3. NTRZIEREA PROPAGRII. NCHIDEREA FISURII

Aplicarea unor suprasolicitri de ntindere ntr-o solicitare cu amplitudine constant are drept efect o

diminuare a vitezei de propagare nregistrat la solicitarea cu amplitudine constant:

[a]

Propagare fr suprasolicitare

Propagare cu suprasolicitare

N[cicluri]

Din diagram, se constat c, n cazul n care nu s-ar aplica suprasolicitarea, viteza de propagare ar

crete mai mult. Fenomenul a fost numit ntrzierea propagrii fisurii. Acest fenomen poate produce o

37


34/50

multiplicare de cteva ori a duratei de propagare a fisurii i mrirea duratei de via a piesei. Dac

solicitarea de ntindere este suficient de mare (intensitatea tensiunii produs de aceasta este de 2,2-2,7

ori mai mare ca cea a ciclului de tensiune constant) se poate produce chiar oprirea fisurii. Din contr,

dac se suprapune o solicitare de compresiune, se produce o accelerare a propagrii fisurii.

Efectul de nchidere al fisurii poate fi explicat pe un exemplu, al unei plci plane cu fisur central

strpuns, solicitat de o for pulsatorie:

y

fisur c B A (2) (1) x

O c

Curba (1) reprezint modul teoretic de variaie a tensiunii la vrful fisurii, iar curba (2), modul real,

pentru semiciclul de deschidere a fisurii. Se constant c tensiunea este mai mare ca limita de curgere

pe poriunea OA. Pentru urmtorul semiciclu, datorit revenirii elastice, zona plastic de la vrful fisurii

este supus de materialul nvecinat la o solicitare de compresiune. n acest fel, rezult o redistribuire a

tensiunilor, reprezentat prin curba (3), tensiunea fiind mai mare ca limita de curgere pe poriunea OB.

Prin urmare, dup un ciclu complet, datorit revenirii elastice, zona plastic este supus la o solicitare de

compresiune. Efectul acestei solicitri poate duce la nchiderea fisurii.

3.4. ESTIMAREA DURATEI DE PROPAGARE A FISURII

Presupunnd c creterea fisurii se face cu vitez constant, calculul duratei de propagare a fisurii se

poate face integrnd relaia de forma:

38


35/50

( )mKCdN

da=

sau:

( ) +=f

i

a

a m NKC

daN 0

relaie care exprim numrul de cicluri necesare pentru ca fisura s se propage de la lungimea iniial, ai

la lungimea final, af.

Lungimea iniial ai corespunde unui numr iniial de cicli, N0. Dup integrarea relaiei rezult:

( ) ( )

=

12

01

2

2

m

f

im

i

i

aa

KCnaNN ; m2

39


36/50


37/50

Variaia factorului de intensitate Kmax n funcie de numrul de cicli N este prezentat n diagrama 1,

i n funcie de lungimea fisurii este prezentat n diagrama 2.

Diagrama 1. Variaia factorului de intensitate maxim Kmax n funcie de numrul de ciclii, N

41


38/50

Diagrama 2. Variaia factorului de intensitate maxim Kmax n funcie de lungimea fisurii, a

b. Placa este solicitat la ntindere, cu valorile extreme ale tensiunii normale S0:

Valoarea minim: S0 = 30 N/mm2;

Valoarea maxim: S0 = 220 N/mm2

Se va constata c valoarea maxim a factorului de intensitate a fisurii se produce n momentul

ruperii prin oboseal a plcii, la un numr de 194 506 ciclii sau la lungimea critic a fisurii de 4,43 mm.



42


39/50



43


40/50

2. Fisura strpuns, pe mijlocul plcii, cu urmtoarele caracteristici:

- Laimea plcii: w=100mm;

- Grosimea plcii: t = 1.27 mm;

- Lungimea iniial a fisurii: a=1.27 mm.

a. Placa este solicitat la ncovoiere, cu valorile extreme ale tensiunii normale S1:


Valoarea maxim: S1 = 190 N/mm2

Se va constata c valoarea maxim a factorului de intensitate a fisurii se produce n momentul ruperi

prin oboseal a plcii, la un numr de 9 268 463 ciclii sau la lungimea critic a fisurii de 10,65 mm.

Variaia factorului de intensitate Kmax n funcie de numrul de cicli N este prezentat n diagrama 5, i n

funcie de lungimea fisurii este prezentat n diagrama 6.

44


41/50


45


42/50


b.Placa este solicitat la ncovoiere, cu valorile extreme ale tensiunii normale S1:


Valoarea maxim: S1 = 230N/mm2

Se va constata c valoarea maxim a factorului de intensitate a fisurii se produce n momentul ruperi

prin oboseal a plcii, la un numr de 1 802 611 ciclii sau la lungimea critic a fisurii de 2,36 mm.




46


43/50


44/50

Pentru tensiunea de ncovoiere:

- Valoarea minim: S1 = 20 N/mm2;

- Valoarea maxim: S1 = 110N/mm2

Se constat c valoarea maxim a factorului de intensitate a fisurii se produce n

momentul ruperii prin oboseal a plcii, la un numr de 302 224 ciclii sau la lungimea

critic a fisurii de 2,36 mm.

Variaia factorului de intensitate Kmax n funcie de numrul de cicli N este prezentat n diagrama 9,i n funcie de lungimea fisurii este prezentat n diagrama 10.

48


45/50



49


46/50

b. Placa este solicitat la ntindere i ncovoiere, cu valorile extreme ale tensiunii normale S 0 i S1:

Pentru tensiunea de ntindere:



Pentru tensiunea de ncovoiere:



Se va constata c valoarea maxim a factorului de intensitate a fisurii se produce n momentul ruperiiprin oboseal a plcii, la un numr de 508 779 ciclii sau la lungimea critic a fisurii de 2,36 mm.



50


47/50



51


48/50

CONCLUZII

Studiul rezistenei la oboseal a organelor de maini prezintp o important practic deosebit, deoarece

permite determinarea teoretic i numeric a fiabilitii de exploatare. n cazul unor structuri mecanice

complexe calculul teoretic nu mai poate fi de o precizie corespunztoare datorit aproximaiilor fcute n

modelarea matematic.

Din acest motiv calculul numeric bazat pe metodele moderne de calcul (calcul cu elemente finite,

calcul cu diferene finite, etc.) completeaz posibilitile de studiu.

Metoda numeric de calcul a factorului de intensitate a tensiunii permite obinerea unor rezultate

numerice care pot sta la baza activitii de proiectare a unor structuri mecanice complexe.

Avantajele metodei numerice dezvoltate n cadrul programului NASGRO sunt:

52


49/50

Se pot realiza simulri numerice pentru solicitri simple;

Se pot realiza simulri numerice pentru solicitri complexe;

Se pot realiza simulri numerice pentru alte tipuri de solicitri dect solicitrile periodice.

n acest sens programul permite stabilirea modului de variaie n timp a sarcinii att pentru solicitrisimple ct i pentru solicitri complexe.

Dup cum rezult din literatura de specialitate se constat c rezultatul numeric obinut prin utilizarea

programului NASGRO sunt relativ apropiate de reultatele experimentale efectuate de diveri cercettori.

Bibliografie

1. Cernaianu, Emil Ilincioiu, Dan Negru, Mihai ,elemente de teoria elasticitii i rezistena

materialelor, Craiova: Editura Universitatii din Craiova, 2000

2.Tocaci Emil, fenomene discontinue in mecanica i rezistena materialelor, Bucuresti: Editura

Academiei Romane, 1974

3. Broek, D.,Elementary Engineering Fracture Mechanics, 4th edition, Nijhoff, 1985.

4. Broek, D., The Practical Uses of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, 1989

5. Barsom, J. M. and Rolfe, S. T., Fracture and Fatigue Control in Structures: Applications of Fracture

Mechanics, 2nd edition, Prentice-Hall, Inc., 1987.

6. Anderson, T. L.,Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications, CRC Press, 1991.

53


50/50

7. Newman, Jr., J. C., A Crack Opening Stress Equation for Fatigue Crack Growth, International

Journal of Fracture, Vol. 24, No. 3, March 1984, pp. R131-R135.

8. Newman, Jr., J. C. and Raju, I. S., Prediction of Fatigue Crack-Growth Patterns and Lives in Three-

Dimensional Cracked Bodies, Advances in Fracture Research (Fracture 84), Sixth Internationa

Conference on Fracture, Vol. 3, 1984, pp. 1597-1608.

9. ASTM standard test method E 647, American Society for Testing and Materials, West

Conshohocken, PA,

10.Schmidt, R. A. and Paris, P. C., Threshold for Fatigue Crack Propagation and Effects of Load Ratio

and Frequency, Progress in Flaw Growth and Fracture Toughness Testing, ASTM STP 536, American

Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1973, pp. 79-94.

11.Vroman, G. A., Material Thickness Effect on Critical Stress Intensity, Monograph #106, TRW

Space & Technology Group, February 1983.

12. Willenborg, J., Engle, R. M. and Wood, H. A., A Crack Growth Retardation Model Using anEffective Stress Concept, AFFDL-TM-71-1-FBR, Wright Patterson Air Force Laboratory, January

1971.

[20] Gallagher, J. P., A Generalized Development of Yield Zone Models, AFFDL-TM-74-28-FBR,

Wright Patterson Air Force Laboratory, January 1974.

13.Gallagher, J. P., Hughes, T.F., Influence of Yield Strength on Overload Affected Fatigue Crack

Growth Behavior in 4340 Steel, AFFDL-TR-74-27-FBR, Wright Patterson Air Force Laboratory,

February 1974.

14. Elber, W., The Significance of Fatigue Crack Closure, Damage Tolerance of Aircraft Structures,

ASTM STP-486, 1971, pp. 230-242.

15.Dugdale, D.S., Yielding of Steel Sheets Containing Slits, Journal of Mechanics and Physics of

Solids, Vol. 8, 1960, pp. 100-104.

16.Ball, D., Private communication, March 2001.

17. Henkener, J. A. and Forman, R. G., Fatigue Crack Growth and Fracture Toughness Data for

Selected Space Systems Structural Alloys, JSC 24976, NASA Lyndon B. Johnson Space Center,

Houston, Texas, March 1991.18. Chungchu Chang, A Boundary Element Method for Two Dimensional Linear Elastic Fracture

Analysis, Ph.D. Dissertation, The University of Texas at Austin, December 1993.

Documents

concentratori de tensuni