Complementi di Analisi Matematica

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI

“ Federico II ”

Facolta di Ingegneria

Complementi diAnalisi Matematica

Luigi Greco

Anno Accademico 2009-2010

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E APPLICAZIONI“ R. Caccioppoli ”

PIAZZALE TECCHIO - 80125 NAPOLI

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di IngegneriaUniversita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universitadegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli 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di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universitadegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di IngegneriaUniversita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2009-2010 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2009-2010 Luigi


Indice

Capitolo I. Le funzioni euleriane 21. La funzione gamma 22. La funzione beta 7

Capitolo II. Problemi ai limiti 101. Introduzione 102. Equazioni autoaggiunte 143. La funzione di Green. Il teorema dell’alternativa 154. Il problema di Sturm-Liouville 215. Formulazione mediante equazione integrale 25

Capitolo III. Le funzioni di Bessel 271. Cenni sulle equazioni differenziali in campo complesso 272. L’equazione di Bessel 283. Proprieta delle funzioni di Bessel 313.1. Funzione generatrice delle funzioni di Bessel 323.2. Zeri delle funzioni di Bessel 36

Capitolo IV. Equazioni differenziali alle derivate parziali 381. Generalita 382. Equazioni di Laplace e Poisson 392.1. Funzioni armoniche 402.2. Esistenza per il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace

in un cerchio 462.3. Esistenza per il problema di Neumann per l’equazione di Laplace

in un cerchio 532.4. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson 543. L’equazione del calore 583.1. Problema misto nella semistriscia 593.2. Il problema di Cauchy nel semipiano 644. L’equazione delle onde 664.1. Il problema di Cauchy nel semipiano 674.2. Problema misto nella semistriscia 69

1


CAPITOLO I

Le funzioni euleriane

1. La funzione gamma

La funzione gamma e definita mediante l’integrale euleriano di secondaspecie

(1.1) Γ(z) =∫ +∞

0

e−ttz−1 dt ,

dove z e un numero complesso.E opportuno richiamare la definizione di esponenziale e potenza nel campo complesso.

Scritto ζ = x+ jy ∈ C in forma algebrica, risulta

(1.2) eζ = exp(ζ) = exp(x+ jy)def= ex(cos y + j sin y) ,

dove ex e un esponenziale reale. In altri termini, Re eζ = ex cos y e Im eζ = ex sin y.Inoltre | eζ | = ex = eRe ζ , in particolare eζ 6= 0, ∀ζ ∈ C. La potenza nel campo complessoe una funzione ad infinite determinazioni; se non specificato diversamente considereremo lacosiddetta determinazione principale

(1.3) tζdef= = exp(ζ Log t) .

(Log e il logaritmo principale nel campo complesso, che per i numeri positivi si riduce allogaritmo aritmetico.) Pertanto, per t > 0,

(1.4) |tζ | = | exp(ζ Log t)| = exp(Re ζ Log t) = tRe ζ .

La sommabilita della funzione integranda t 7→ e−ttz−1 per z = x+ jy fis-sato dipende da Re z. L’integrando e continuo, quindi localmente sommabile,in ]0,+∞[, mentre per alcuni valori di z non risulta continuo in 0, dunquela sommabilita va studiata intorno a 0 e a +∞. Intorno a 0 il fattore e−t

e ininfluente, essendo continuo e positivo; in altri termini, l’integrando hale stesse proprieta di sommabilita della potenza tRe z−1 = tx−1 ed e dunquesommabile se e solo se x > 0. Intorno a +∞, per la presenza dell’esponenzialel’integrando e sommabile per ogni x = Re z. In definitiva, la (1.1) consente didefinire Γ(z) nel semipiano Re z > 0.

Re z > 0

2


1. LA FUNZIONE GAMMA 3

Si mostra che Γ e olomorfa in tale semipiano.

TEOREMA 1.1. La funzione Γ e olomorfa nel semipiano Re z > 0 e sipuo derivare indefinitamente sotto il segno di integrale:

(1.5) Γ(k)(z) =∫ +∞

0

e−ttz−1(log t)k dt , ∀k ∈ N .

E evidente l’analogia tra l’integrale (1.1) e quello che definisce la trasfor-mata unilatera di Laplace

L [f(t)] =∫ +∞

0

e−stf(t) dt .

Invero, per Re z > 0 e Re s > 0 risulta

(1.6) L [tz−1] =Γ(z)sz

.

Per ricavare (1.6), essendo per z fissato ambo i membri funzioni olomorfedella variabile complessa s, e sufficiente considerare il caso s reale positivo,s > 0, l’estensione al caso generale potendosi ottenere mediante il II principiodi identita. Per tali valori di s l’uguaglianza segue semplicemente effettuandoun cambio di variabile nell’integrale

L [tz−1] =∫ +∞

0

e−sttz−1 dt =1s

∫ +∞

0

e−τ(τs

)z−1

dτ =Γ(z)sz

.

Calcoliamo qualche valore della funzione Γ. Evidentemente Γ(1) = 1.E facile mostrare una fondamentale relazione per la Γ, detta relazione diricorrenza:

(1.7) Γ(z + 1) = z Γ(z) , Re z > 0 .

Basta infatti supporre inizialmente z > 0 ed integrare per parti. Ne segue,∀k ∈ N,

(1.8) Γ(z + k + 1) = (z + k) (z + k − 1) · · · z Γ(z) .

In particolare,Γ(n+ 1) = n! , ∀n ∈ N0 .

In questo senso, Γ generalizza il fattoriale. Un altro valore notevole e

Γ(

12

)=∫ +∞

0

e−tt−12 dt = 2

∫ +∞

0

e−τ2dτ =

√π .

Usando la (1.8), troviamo

Γ(

32

)= Γ

(12

+ 1)

=12

Γ(

12

)=√π

2, Γ

(52

)=

32

12

Γ(

12

)=

34√π


4 I. LE FUNZIONI EULERIANE

e in generale

(1.9) Γ(k + 1 +

12

)=(k +

12

) (k − 1

2

)· · · 1

2√π .

ESERCIZIO 1.2. Verificare, ∀k ∈ N0, l’uguaglianza

(1.10) 22k+1 k! Γ(k + 1 +

12

)= (2k + 1)!

√π .

Mediante la relazione di ricorrenza e possibile prolungare la funzione Γ.In effetti, scritta la relazione di ricorrenza nel modo seguente

(1.11) Γ(z) =Γ(z + 1)

z,

osserviamo che il secondo membro ha significato per Re(z+1) > 0, vale a direRe z > −1, e z 6= 0. Dunque l’uguaglianza (1.11) consente di definite Γ(z) pertali valori. Geometricamente, al semipiano Re z > 0 viene aggiunta la striscia−1 < Re z ≤ 0, privata del punto 0.

0−1

A questo punto, il secondo membro della (1.11) ha significato per z 6= 0verificante Re(z + 1) > −1, cioe Re z > −2, e z + 1 6= 0, cioe z 6= −1; geome-tricamente, all’insieme cui eravamo arrivati al passo precedente aggiungiamola striscia −2 < Re z ≤ −1 privata del punto −1.

0−1−2

E chiaro ora che iterando il procedimento si estende Γ a C− 0,−1,−2, . . ..E chiaro pure che il prolungamento risulta olomorfo in tale insieme, quindigli interi non-positivi sono singolarita isolate della funzione Γ. Essi risultanopoli semplici; ad esempio, risulta

limz→0

z Γ(z) = limz→0

Γ(z + 1) = Γ(1) = 1 .


1. LA FUNZIONE GAMMA 5

0−1−2−3

Nella figura seguente e tracciato il diagramma della funzione y = Γ(x), restri-zione di Γ all’asse reale (privato dei punti 0,−1,−2, . . .).

20

−20

−1−2−3

y = Γ(x)

E interessante mostrare un altro modo di studiare la Γ e giungere al suoprolungamento. Per Re z > 0, decomponiamo l’integrale (1.1) che definisceΓ(z) nella somma di due termini, uno “cattivo” ed uno “buono”:

(1.12) Γ(z) =∫ 1

0

e−ttz−1 dt+∫ +∞

1

e−ttz−1 dt = P (z) +Q(z) .

L’integrale

(1.13) Q(z) =∫ +∞

1

e−ttz−1 dt

e assolutamente convergente, senza alcuna limitazione su z, per la presen-za dell’esponenziale nell’integrando. E possibile mostrare che Q e olomorfa,quindi e una funzione intera.

Per P (z), come detto, la sommabilita dell’integrando va studiata intornoa 0 e sussiste per Re z > 0; P risulta olomorfa in questo semipiano. Ne seguel’olomorfia della Γ. Essendo Q intera, la regolarita di Γ dipende da quella diP : esaminiamola in maggiore dettaglio. Usando lo sviluppo di Mac Laurin,scriviamo

e−t =+∞∑n=0

(−t)n

n!



e quindi

e−ttz−1 = tz−1 ++∞∑n=1

(−1)n

n!tz+n−1 .

La serie nell’ultimo membro, per z fissato con Re z > 0, e totalmente conver-gente per t ∈ [0, 1]. In effetti,

|tz+n−1| = tRe z+n−1 ≤ 1 ,

in quanto Re z + n− 1 > 0, quindi la serie e maggiorata dalla serie numericaconvergente

∑+∞1

1n! . E dunque possibile integrare termine a termine (cioe

l’integrale della somma e la somma degli integrali):

P (z) =∫ 1

0

e−ttz−1 dt =∫ 1

0

+∞∑n=0

(−1)n

n!tz+n−1 dt =

+∞∑n=0

(−1)n

n!

∫ 1

0

tz+n−1 dt ,

ovvero

P (z) =+∞∑n=0

(−1)n

(z + n)n!.

Pertanto, per Re z > 0,

(1.14) Γ(z) =+∞∑n=0

(−1)n

(z + n)n!+Q(z) .

Il secondo membro di tale uguaglianza ha significato anche per z fuori dalsemipiano Re z > 0. L’espressione

(−1)n

(z + n)n!,

che al variare di n costituisce il termine generale della serie, e olomorfa inC−−n e in −n ha un polo semplice. La serie converge (totalmente in ogniE ⊂ C che ha distanza positiva da 0,−1,−2, . . ., cioe per il quale esistaδ > 0 tale che risulti |z + n| ≥ δ, ∀z ∈ E, ∀n ∈ N0) e la somma e olomorfa inC− 0,−1,−2, . . .. Calcoliamo il residuo di Γ in −n, n ∈ N0:

RΓ[−n] = limz→−n

(z + n) Γ(z) =(−1)n

n!.

Si prova che Γ e priva di zeri, quindi il reciproco 1Γ e una funzione intera,

presentando nei punti 0,−1,−2, . . . singolarita eliminabili, che risultano zerisemplici per il prolungamento.


2. LA FUNZIONE BETA 7

2. La funzione beta

E definita mediante l’integrale euleriano di I specie

(2.1) B(α, β) =∫ 1

0

tα−1(1− t)β−1 dt

per α, β ∈ C tali che Reα > 0 e Reβ > 0; noi ci limiteremo a considerarevalori reali delle variabili. E evidente la proprieta di simmetria, cioe

B(α, β) = B(β, α) ,

che si ottiene semplicemente con la sostituzione τ = 1− t nell’integrale (2.1).Sussiste un notevole legame con la Γ:

(2.2) B(α, β) =Γ(α) Γ(β)Γ(α+ β)

.

Per mostrare la (2.2), consideriamo le funzioni

tα−1+ =

tα−1 , per t > 00 , per t ≤ 0

e tβ−1+ , definita analogamente, e calcoliamone il prodotto di convoluzione;

evidentemente risulta tα−1+ ∗ tβ−1

+ = 0 in ]−∞, 0], mentre su ]0,+∞[ abbiamo

tα−1+ ∗ tβ−1

+ =∫ t

0

τα−1(t− τ)β−1 dτ = tα+β−2

∫ t

0

(τt

)α−1 (1− τ

t

)β−1

dτ

= tα+β−1

∫ 1

0

σα−1(1− σ)β−1 dσ = B(α, β) tα+β−1

e dunquetα−1+ ∗ tβ−1

+ = B(α, β) tα+β−1+ .

Applichiamo ad ambo i membri la L -trasformazione, ricordando la (1.6) e chela trasformata della convoluzione e il prodotto delle trasformate; per s ∈ Ccon Re s > 0, abbiamo

Γ(α)sα

Γ(β)sβ

= B(α, β)Γ(α+ β)sα+β

,

da cui la (2.2) segue subito.

ESERCIZIO 2.1. Verificare l’uguaglianza (n ∈ N0)∫ 1

−1

(1− t2)n dt = B(1/2, n+ 1)

e dedurne ∫ 1

−1

(1− t2)n dt = 2(2n)!!

(2n+ 1)!!.



Usando la (2.2) per 0 < α < 1 e β = 1− α, poiche Γ(1) = 1, troviamo

Γ(α) Γ(1− α) = B(α, 1− α) =∫ 1

0

tα−1(1− t)1−α−1 dt =∫ 1

0

(t

1− t

)αdt

t

ed effettuando la sostituzione τ = t1−t nell’ultimo integrale, con semplici

passaggi otteniamo

(2.3) Γ(α) Γ(1− α) =∫ +∞

0

τα−1

1 + τdτ .

L’integrale a secondo membro si valuta mediante la teoria dei residui.Ci limitiamo a segnalare un caso in cui il calcolo e molto semplice: supponiamo α =

1/n, con n ∈ N, n ≥ 2. Ponendo σ = τα, l’integrale si riscriveZ +∞

0

τα−1

1 + τdτ = n

Z +∞

0

dσ

1 + σn.

L’ultimo integrale valeπ/n

sinπ/n. In generale,Z +∞

0

τα−1

1 + τdτ =

π

sinαπ.

Perveniamo cosı all’uguaglianza

(2.4) Γ(z) Γ(1− z) =π

sinπzche si dice relazione dei complementi ; essa e stata ricavata per z = α realetra 0 e 1, ma si estende ad ogni z ∈ C non intero, mediante il principio diidentita. Riscritta la (2.4) come segue

Γ(z) =π

sinπz1

Γ(1− z),

essa permette di ricavare i valori di Γ nella striscia 0 < Re z < 12 , se sono noti

quelli nella striscia 12 < Re z < 1, e viceversa. Un’altra semplice osservazione

si ottiene ponendo z = 12 nella (2.4):

Γ(

12

)2

=π

sin π2

= π ,

da cui ritroviamo Γ( 12 ) =

√π.

ESERCIZIO 2.2. Per z > 0, verificare l’uguaglianza

(2.5) B(1/2, z) = 22z−1B(z, z) .

(Suggerimento:

B(1/2, z) = 2∫ 1

0

(1− t2)z−1dt , B(z, z) =∫ 1

0

(t− t2)z−1dt;

effettuare nell’ultimo integrale la sostituzione s = 1− 2t.)


2. LA FUNZIONE BETA 9

Usando il legame tra Γ e B, per z > 0 abbiamo

B(z, z) =Γ(z)2

Γ(2z), B(1/2, z) =

Γ(1/2) Γ(z)Γ(z + 1/2)

e quindiΓ(1/2)B(z, z) Γ(2z) = B(1/2, z) Γ(z) Γ(z + 1/2) ,

il valore comune dei due membri essendo Γ(1/2) Γ(z)2. Unendo alla (2.5),otteniamo

(2.6)√π Γ(2z) = 22z−1 Γ(z) Γ(z + 1/2) .

La (2.6), ricavata per z > 0, si estende a C privato degli z tali che 2z sia interonon-positivo; l’uguaglianza e nota come formula di duplicazione di Legendre.


CAPITOLO II

Problemi ai limiti

1. Introduzione

Consideriamo l’equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine

(1.1) y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = f(x) ,

dove i coefficienti a1 e a2 e il termine noto f sono funzioni reali continuenell’intervallo [a, b]. E noto che tale equazione ammette infinite soluzioni. Inparticolare, l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea associata

y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = 0

e un sottospazio vettoriale di dimensione 2 di C2[a, b]; se y1 e y2 sono integraliindipendenti, l’integrale generale si scrive y = c1y1 + c2y2, con c1 e c2 costantiarbitrarie. L’integrale generale dell’equazione completa (1.1) si scrive

(1.2) y = c1y1 + c2y2 + z ,

essendo z una soluzione di (1.1).Ricordiamo che il problema di Cauchy relativo all’equazione (1.1) consiste

nell’assegnare i valori di y e di y′ in uno stesso punto dell’intervallo [a, b].Vale il seguente risultato di esistenza e unicita: per ogni x0 ∈ [a, b] e perogni y0, y

′0 ∈ R, esiste un’unica y ∈ C2[a, b] che soddisfa (1.1) in tutti i punti

dell’intervallo [a, b] e verifica le condizioni iniziali y(x0) = y0, y′(x0) = y′0.In questo capitolo esamineremo un problema diverso relativo all’equazio-

ne (1.1), consistente nel ricercare soluzioni dell’equazione soddisfacenti unacondizione in a e una in b. Un problema di questo tipo, essendo le condizioniaggiuntive assegnate negli estremi dell’intervallo, si dice problema ai limiti.Ad esempio, costituisce un problema ai limiti la ricerca di integrali y di (1.1)con valori assegnati y(a) e y(b) negli estremi. Gli esempi seguenti mostranoche per i problemi ai limiti la situazione e notevolmente diversa rispetto alproblema di Cauchy.

ESEMPIO 1.1. Consideriamo il problema

(1.3)y′′ + y = 0 in [0, π]y(0) = α , y(π) = β ,

10


1. INTRODUZIONE 11

essendo α e β costanti assegnate. L’integrale generale dell’equazione e

y = c1 cosx+ c2 sinx ,

con c1 e c2 costanti arbitrarie. Evidentemente, per ogni scelta delle costanti,risulta y(0) = −y(π), quindi se il problema (1.3) ha soluzione, risulta necessa-riamente α = −β. E chiaro inoltre che, se tale condizione e soddisfatta, sonosoluzioni del problema tutte e sole le funzioni

y = α cosx+ c2 sinx ,

con c2 costante arbitraria; in particolare, il problema ha infinite soluzioni.

ESEMPIO 1.2. E subito visto che il problema

(1.4)y′′ + y = 0 in [0, π/2]y(0) = α , y(π/2) = β ,

ammette, per ogni α e β costanti assegnate, l’unica soluzione

y = α cosx+ β sinx .

Piu in generale, invece di assegnare i valori y(a) e y(b) per un integraledell’equazione (1.1), si assegnano i valori delle espressioni

α1y(a) + β1y′(a) , α2y(b) + β2y

′(b) ,

essendo (α1, β1) 6= (0, 0) e (α2, β2) 6= (0, 0) coppie assegnate. Dati due numerireali γ1 e γ2, consideriamo dunque il seguente problema

(1.5)y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = f(x) in [a, b]α1y(a) + β1y

′(a) = γ1 , α2y(b) + β2y′(b) = γ2 .

La soluzione generale dell’equazione si scrive come in (1.2); il problema sitraduce in questo modo nella questione puramente algebrica di ricercare lecostanti c1 e c2 in modo che siano soddisfatte le condizioni ai limiti, le qualisi riscrivono(1.6)

c1[α1y1(a) + β1y′1(a)] + c2[α1y2(a) + β1y

′2(a)] = γ1 − α1z(a)− β1z

′(a)c1[α2y1(b) + β2y

′1(b)] + c2[α2y2(b) + β2y

′2(b)] = γ2 − α2z(b)− β2z

′(b)

e possono essere interpretate come un sistema lineare di due equazioni nelledue incognite c1 e c2. Per studiare questo sistema, consideriamo la matricedei coefficienti

(1.7) A =(α1y1(a) + β1y

′1(a) α1y2(a) + β1y

′2(a)

α2y1(b) + β2y′1(b) α2y2(b) + β2y

′2(b)

)e la matrice dei coefficienti e dei termini noti(1.8)

B =(α1y1(a) + β1y

′1(a) α1y2(a) + β1y

′2(a) γ1 − α1z(a)− β1z

′(a)α2y1(b) + β2y

′1(b) α2y2(b) + β2y

′2(b) γ2 − α2z(b)− β2z

′(b)

)


12 II. PROBLEMI AI LIMITI

E facile rendersi conto che si possono presentare le due seguenti eventualitaalternative.

1) Risulta detA 6= 0. In tal caso, per ogni γ1 e γ2, il sistema (1.6) ammetteun’unica soluzione e il problema ai limiti (1.5) ha pertanto un’unica soluzione.

2) Risulta detA = 0. In tal caso, la matrice A ha rango 1 e il sistema(1.6) ha soluzione se e solo se γ1 e γ2 sono tali che anche la matrice B abbiarango 1; se questo accade, il sistema ha infinite soluzioni. Dunque, per ogniscelta dei valori γ1 e γ2, o il problema (1.5) e privo di soluzioni (se B ha rango2), o ha infinite soluzioni.

Osservazione 1.3. Quale tra le circostanze prospettate si verifichi nondipende da y1, y2, z. Precisamente, se (η1, η2) e un’altra coppia di integraliindipendenti dell’equazione omogenea associata, indicata con A la matriceanaloga alla A definita a partire da η1 e η2, risulta

detA = 0 ⇐⇒ det A = 0 ;

inoltre, nel caso detA = 0, il rango di B non cambia, se si sostituisce z conun’altro integrale dell’equazione completa.

Invero, si passa da (η1, η2) a (y1, y2) mediante una matrice D (costante) quadrata di

ordine 2 non singolare: (y1, y2) = (η1, η2)D. Inoltre osserviamo che la prima riga di A si

scrive

(a1,1, a1,2) = (α1, β1)W(a) ,

essendo

W(x) =

„y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

«la matrice wronskiana di y1 e y2, mentre la seconda riga di A si scrive

(a2,1, a2,2) = (α2, β2)W(b) .

Analogmente, posto fW(x) =

„η1(x) η2(x)

η′1(x) η′2(x)

«le righe di eA si scrivono

(a1,1, a1,2) = (α1, β1) fW(a) , (a2,1, a2,2) = (α2, β2) fW(b) .

D’altra parte, per ogni t ∈ [a, b] risulta W(x) = fW(x)D e quindi A = eAD. Pertanto A e

singolare se e solo se tale e eA.La matrice B si scrive

B =

„a1,1 a1,2 γ1 − α1z(a)− β1z′(a)a2,1 a2,2 γ2 − α2z(b)− β2z′(b)

«Sia w un’altra soluzione dell’equazione completa; dunque w = z + d1 y1 + d2 y2, per op-

portune costanti d1 e d2. La matrice eB, analoga di B, ma costruita a partire da w,e eB =

„a1,1 a1,2 γ1 − α1z(a)− β1z′(a)− d1 a1,1 − d2 a1,2

a2,1 a2,2 γ2 − α2z(b)− β2z′(b)− d1 a2,1 − d2 a2,2

«quindi si ottiene da B aggiungendo alla terza colonna una combinazione lineare delle prime

due. Se detA = 0, le colonne di A, cioe le prime due di B, sono linearmente dipendenti ed

e chiaro che in tal caso B e eB hanno lo stesso rango.


1. INTRODUZIONE 13

ESERCIZIO 1.4. Perche la matrice A non puo avere rango 0?

Osservazione 1.5. E sufficiente considerare i problemi con valori asse-gnati negli estremi nulli. Invero, se w ∈ C2[a, b] soddisfa le condizioni

α1 w(a) + β1 w′(a) = γ1 , α2 w(b) + β2 w

′(b) = γ2 ,

e y0 ∈ C2[a, b] risolvey′′0 + a1(x) y0 + a2(x) y0 = f(x)− [w′′ + a1(x)w + a2(x)w]α1y0(a) + β1y

′0(a) = 0 , α2y0(b) + β2y

′0(b) = 0 ,

la somma y = y0 + w risolve il problemay′′ + a1(x) y + a2(x) y = f(x)α1y(a) + β1y

′(a) = γ1 , α2y(b) + β2y′(b) = γ2 ,

ESERCIZIO 1.6. Mostrare che, comunque assegnati w(a), w′(a), w(b),w′(b), e possibile trovare w polinomio di grado non superiore a 3. (Sugge-rimento: w(x) = w(a) + w′(a) (x − a) + h (x − a)2 + k (x − a)3 verifica lecondizioni in a, per ogni h e k; mostrare che esistono h e k (univocamentedeterminati) tali che w verifichi anche le condizioni in b.)

Un risultato che useremo spesso e il seguente.

LEMMA 1.7. Se y1 e y2 sono derivabili e verificano le condizioni

(1.9)

α1y1(a) + β1y

′1(a) = 0

α1y2(a) + β1y′2(a) = 0

con (α1, β1) 6= (0, 0), il loro wronskiano si annulla in a:

W (a) =∣∣∣∣y1(a) y2(a)y′1(a) y′2(a)

∣∣∣∣ = 0 .

Dim. Le (1.9) costituiscono un sistema lineare onogeneo, il cui determinante dei coefficientie il wronskiano di y1 e y2, calcolato in a. Poiche il sistema ammette una soluzione (α1, β1) 6=(0, 0), risulta W (a) = 0.

Osservazione 1.8. Consideriamo il problema

(1.10)y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = 0 in [a, b]α1y(a) + β1y

′(a) = 0 , α2y(b) + β2y′(b) = 0 ,

relativo all’equazione omogenea, con valori assegnati negli estremi nulli. L’in-sieme delle soluzioni di (1.10) e uno spazio vettoriale; se non e banale, hadimensione 1. Invero, siano y1 e y2 soluzioni del problema

(1.11)y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = 0 in [a, b]α1y(a) + β1y

′(a) = 0 ,

ottenuto considerando solo la condizione in a. (Alle stesse conclusioni arrivia-mo considerando solo la condizione in b.) Per il lemma 1.7, risulta W (a) = 0,



quindi y1 e y2, essendo integrali di una stessa equazione differenziale, sonolinearmente dipendenti. La soluzione del problema di Cauchy

(1.12)y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = 0 in [a, b]y(a) = −β1 , y

′(a) = α1 ,

e non banale e verifica la condizione in a. Pertanto, l’insieme delle soluzionidi (1.11) e uno spazio di dimensione 1. Il problema (1.10) ha solo la soluzionenulla, se le soluzioni non banali di (1.11) non verificano la condizione in b,altrimenti tutte le soluzioni di (1.11) risolvono (1.10).

Osservazione 1.9. Se y1 e y2 sono soluzioni di (1.5), la differenza y0 =y1 − y2 risolve (1.10). Viceversa, se y risolve (1.5) e y0 risolve (1.10), lafunzione y = y1 + y0 risolve (1.5). Pertanto, la soluzione generale di (1.5) siscrive

y = y1 + c y0 ,

dove y1 risolve (1.5), y0 risolve (1.10) e c e una costante arbitraria.

2. Equazioni autoaggiunte

La funzionep(x) = e

R xaa1(τ) dτ

appartiene a C1[a, b] ed e positiva in ogni punto, quindi l’equazione (1.1) eequivalente alla seguente

(2.1) −p(x) y′′ − p(x) a1(x) y′ − p(x) a2(x) y = −p(x) f(x) ,

ottenuta moltiplicando ambo i membri per −p(x). Osservando che p′ = p a1

e ponendo q = −p a2, F = −p f , la (2.1) si riscrive

(2.2) −(p(x) y′)′ + q(x) y = F (x) .

La (2.2) si chiama equazione in forma autoaggiunta. Nel seguito considerere-mo sempre equazioni in forma autoaggiunta. Introdotto l’operatore differen-ziale lineare (in forma autoaggiunta)

(2.3) L : y ∈ C2[a, b] → −(p(x) y′)′ + q(x) y ∈ C[a, b] ,

l’equazione si scrive semplicemente

Ly = F .

L’operatore L verifica la seguente identita di Lagrange, per ogni y, z ∈ C2[a, b]:

(2.4) z Ly − yLz = (p (yz′ − y′z))′ .

La (2.4) e di facile verifica diretta. D’altra parte, si riscrive

(2.5)∣∣∣∣Ly Lzy z

∣∣∣∣ =ddx

(p

∣∣∣∣y zy′ z′

∣∣∣∣) = (pW )′ ,


3. LA FUNZIONE DI GREEN. IL TEOREMA DELL’ALTERNATIVA 15

essendo W il wronskiano di y e z. Usando le proprieta dei determinanti, laverifica e molto semplice:∣∣∣∣Ly Lz

y z

∣∣∣∣ =∣∣∣∣−(py′)′ + qy −(pz′)′ + qz

y z

∣∣∣∣ =∣∣∣∣−(py′)′ −(pz′)′

y z

∣∣∣∣=∣∣∣∣ y z(py′)′ (pz′)′

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ y z(py′)′ (pz′)′

∣∣∣∣+∣∣∣∣ y′ z′

py′ pz′

∣∣∣∣ =ddx

∣∣∣∣ y zpy′ pz′

∣∣∣∣Mettiamo in luce una proprieta dell’operatore L che giustifica l’appellativoautoaggiunto. Consideriamo il sottospazio dello spazio reale L2(a, b)

(2.6) X = y ∈ C2[a, b] : α1y(a) + β1y′(a) = α2y(b) + β2y

′(b) = 0 .

LEMMA 2.1. Per ogni y, z ∈ X, risulta

(2.7) (Ly, z) = (y,Lz) .

Dim. Per il lemma 1.7, il wronskiano di y e z si annulla in a e b, W (a) = W (b) = 0, quindi,per l’identita di Lagrange (nella forma (2.5)),

(Ly, z)− (y,Lz) =

Z b

a(zLy − yLz) dt = [pW ]ba = 0 .

3. La funzione di Green. Il teorema dell’alternativa

Osserviamo che l’introduzione dello spazio in (2.6) consente di scriveresinteticamente le condizioni ai limiti: y ∈ X.

Consideriamo il problema ai limiti

(3.1)Ly = f in [a, b]y ∈ X ,

e il corrispondente problema relativo all’equazione omogenea associata

(3.2)Ly = 0 in [a, b]y ∈ X ,

dove p ∈ C1[a, b], p > 0, q, f ∈ C[a, b].

PROPOSIZIONE 3.1. Se il problema (3.2) ammette solo la soluzionebanale, il problema (3.1) ammette, per ogni f ∈ C[a, b], un’unica soluzione.

L’unicita e chiara. Per costruire una soluzione del problema (3.1), consi-deriamo soluzioni non-nulle y1 e y2 dell’equazione omogenea associata Ly = 0,verificanti rispettivamente le condizioni

(3.3) α1y1(a) + β1y′1(a) = 0 , α2y2(b) + β2y

′2(b) = 0 .

Come detto nell’osservazione 1.8, possiamo determinare y1 risolvendo il pro-blema di Cauchy

Ly = 0y(a) = −β1 , y

′(a) = α1



e similmente y2 risolvendo il problema di CauchyLy = 0y(b) = −β2 , y

′(b) = α2

E chiaro che risulta

(3.4) α2y1(b) + β2y′1(b) 6= 0 , α1y2(a) + β1y

′2(a) 6= 0 .

Ad esempio, se fosse α2y1(b) + β2y′1(b) = 0, la funzione y1 sarebbe soluzione

di (3.2) e quindi, per l’ipotesi, sarebbe la soluzione banale, che e falso. Analo-gamente, si verifica la seconda condizione di (3.4). Le (3.4) implicano che y1 ey2 sono indipendenti: se fossero dipendenti, sarebbero proporzionali e quindile (3.4) sarebbero in contrasto con le (3.3).

Determiniamo la soluzione di (3.1) mediante il metodo di Lagrange dellavariazione delle costanti, che consiste nel cercare y sotto la forma

(3.5) y(x) = c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) ,

con c1 e c2 funzioni da determinare. L’equazione Ly = f e una condizione dasoddisfare, mentre abbiamo due funzioni da determinare: possiamo pensaredi imporre una condizione aggiuntiva su c1 e c2. Essendo

Ly = L[c1 y1 + c2 y2] = −(p (c1 y1 + c2 y2)′

)′ + q (c1 y1 + c2 y2) ,

dobbiamo calcolare y′ = (c1 y1 + c2 y2)′; imponiamo la condizione

c′1 y1 + c′2 y2 = 0 ,

che garantisce che la derivata di y si calcoli come se c1 e c2 fossero costanti:

(3.6) (c1 y1 + c2 y2)′ = c1 y′1 + c2 y

′2 .

A questo punto

−(p (c1 y1 + c2 y2)′

)′ = −((p y′1) c1

)′ − ((p y′2) c2)′

= −(p y′1)′ c1 − p y′1 c′1 − (p y′2)′ c2 − p y′2 c′2e

L[c1 y1 + c2 y2] = c1 L[y1] + c2 L[y2]− p (y′1 c′1 + y′2 c

′2) = −p (y′1 c

′1 + y′2 c

′2) .

Pertanto la condizione Ly = f si scrive y′1 c′1 + y′2 c

′2 = −f/p e giungiamo al

sistema c′1 y1 + c′2 y2 = 0c′1 y′1 + c′2 y

′2 = −f/p

nelle incognite c′1 e c′2. Il determinante dei coefficienti e il wronskiano W cherisulta diverso da zero in ogni punto, essendo y1 e y2 indipendenti. Ricaviamopertanto

c′1 =1W

∣∣∣∣ 0 y2

−f/p y′2

∣∣∣∣ =fy2

pW, c′2 =

1W

∣∣∣∣y1 0y′1 −f/p

∣∣∣∣ = −fy1

pW.



Osserviamo che la funzione pW e costante in [a, b], poiche per l’identitadi Lagrange

(pW )′ = y2Ly1 − y1Ly2 = 0 ,

essendo Ly1 = Ly2 = 0.Ricordando che y′ si calcola come se c1 e c2 fossero costanti, la condizione

α1y(a) + β1y′(a) = 0 diviene

0 = c1(a) (α1y1(a) + β1y′1(a)) + c2(a) (α1y2(a) + β1y

′2(a)) ,

e quindi, per (3.3) e (3.4) equivale a c2(a) = 0. Analogamente, la condizioney(b) = 0 significa c1(b) = 0. Pertanto

c2(x) = − 1pW

∫ x

a

f(ξ) y1(ξ) dξ , c1(x) = − 1pW

∫ b

x

f(ξ) y2(ξ) dξ

ed in definitiva

(3.7) y(x) = − 1pW

[y2(x)

∫ x

a

f(ξ) y1(ξ) dξ + y1(x)∫ b

x

f(ξ) y2(ξ) dξ

].

Se poniamo

(3.8) G(x, ξ) def=

−y1(x) y2(ξ)

pW, a ≤ x ≤ ξ ≤ b

−y1(ξ) y2(x)pW

, a ≤ ξ ≤ x ≤ b

possiamo riscrivere (3.7) come segue

(3.9) y(x) =∫ b

a

G(x, ξ) f(ξ) dξ .

La funzione G = G(x, ξ) si dice funzione di Green relativa al problema (3.1).Essa e reale, continua in [a, b]2 e simmetrica, cioe verifica G(x, ξ) = G(ξ, x).

xa b

ξ

a

b

G(x, ξ) = −y1(ξ) y2(x)pW

G(x, ξ) = −y1(x) y2(ξ)pW

x=

ξ

ESEMPIO 3.2. Troviamo la funzione di Green relativa al problema−y′′ = f in [0, 1]y(0) = y(1) = 0



L’equazione omogenea associata e −y′′ = 0, il cui integrale generale e y =c0 +c1x, con c0 e c1 costanti arbitrarie; possiamo scegliere y1(x) = x e y2(x) =1− x. Il wronsikiano e

W =∣∣∣∣x 1− x1 −1

∣∣∣∣ = −x− 1 + x = −1

e poiche p ≡ 1, risulta pW = −1. Pertanto

G(x, ξ) =

x (1− ξ) , 0 ≤ x ≤ ξ ≤ 1

(1− x) ξ , 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1

ESEMPIO 3.3. Troviamo la funzione di Green relativa al problema−y′′ − y = f in [0, π/2]y(0) = y(π/2) = 0

L’equazione omogenea associata e y′′+y = 0 e possiamo scegliere y1(x) = sinxe y2(x) = cosx. Il wronsikiano e

W =∣∣∣∣sinx cosxcosx − sinx

∣∣∣∣ = −1

e risulta pW = −1. Pertanto

G(x, ξ) =

sinx cos ξ , 0 ≤ t ≤ ξ ≤ π

2

sin ξ cosx , 0 ≤ ξ ≤ t ≤ π2

Elenchiamo ulteriori proprieta della funzione di Green. Per ogni ξ ∈ ]a, b[fissato, risulta:

• G(·, ξ) ∈ C[a, b]∩C2([a, b]−ξ), con ξ discontinuita di I specie perle derivate Gx(·, ξ) e Gxx(·, ξ);

• risulta LG(·, ξ) = 0 in [a, b]− ξ e valgono le condizioni ai limiti

α1G(a, ξ) + β1Gx(a, ξ) = 0 , α2G(b, ξ) + β2Gx(b, ξ) = 0 ;

• p(·)Gx(·, ξ) ha in x = ξ il salto di discontinuita pari a −1.Le prime due si verificano immediatamente, osservando che su [a, ξ[ la funzioneG(·, ξ) e proporzionale a y1, mentre su ]ξ, b] e proporzionale a y2. Calcoliamoil salto di discontinuita. La derivata e

(3.10) Gx(x, ξ) =

−y′1(x) y2(ξ)pW

, a ≤ x < ξ ≤ b

−y1(ξ) y′2(x)pW

, a ≤ ξ < x ≤ b



e quindi

p(ξ)[Gx(ξ+, ξ)−Gx(ξ−, ξ)] = − 1W (ξ)

[y1(ξ) y′2(ξ)− y′1(ξ) y2(ξ)] = −1 .

Usando le proprieta di G, e possibile anche verificare a posteriori che, perogni f ∈ C[a, b], la funzione y data dalla (3.9) e di classe C2[a, b] e risolve ilproblema (3.1). Infatti, scrivendo

y(x) =∫ x

a

G(x, ξ) f(ξ) dξ +∫ b

x

G(x, ξ) f(ξ) dξ ,

le derivate si calcolano facilmente:

y′(x) = G(x, x) f(x) +∫ x

a

Gx(x, ξ) f(ξ) dξ

−G(x, x) f(x) +∫ b

x

Gx(x, ξ) f(ξ) dξ

=∫ x

a

Gx(x, ξ) f(ξ) dξ +∫ b

x

Gx(x, ξ) f(ξ) dξ .

Analogamente

y′′(x) = Gx(x, x−) f(x) +∫ x

a

Gxx(x, ξ) f(ξ) dξ

−Gx(x, x+) f(x) +∫ b

x

Gxx(x, ξ) f(ξ) dξ .

Per la simmetria Gx(x, x−) = Gx(x+, x) e Gx(x, x+) = Gx(x−, x). Dunque

y′(x) =∫ b

a

Gx(x, ξ) f(ξ) dξ , y′′(x) =∫ b

a

Gxx(x, ξ) f(ξ) dξ − f(x)p(x)

.

Pertanto

(3.11) Ly(x) =∫ b

a

LG(x, ξ) f(ξ) dξ + f(x) = f(x) .

Le proprieta evidenziate caratterizzano la funzione di Green. Infatti, se G0

ha le stesse prioprieta, per ogni f ∈ C[a, b] la funzione

y0(x) =∫ b

a

G0(x, ξ) f(ξ) dξ ,

risolve il problema (3.1), quindi coincide con y. In definitiva, risulta∫ b

a

[G(x, ξ)−G0(x, ξ)] f(ξ) dξ = 0 , ∀t ∈ [a, b] ,

per ogni f ; pertanto G0 = G.



Osservazione 3.4. Nell’uguaglianza (3.11) l’espressione LG(x, ξ) e intesain senso puntuale, per x 6= ξ. In effetti, per ogni ξ ∈ ]a, b[ fissato, la funzioneG(·, ξ) soddisfa l’equazione

(3.12) LG(·, ξ) = δ(· − ξ)

nel senso delle distribuzioni. Per questo motivo, G(·, ξ) si dice soluzionefondamentale dell’operatore problema (3.1).

Per la verifica, osserviamo che la derivata distribuzionale di G(·, ξ) coin-cide con quella ordinaria, che e data dalla (3.10). La derivata distribuzionaledi pGx(·, ξ) risulta somma della derivata ordinaria (che esiste in [a, b]− ξ)ed un impulso concentrato in ξ, di area pari al salto di discontinuita in talepunto, che come osservato vale −1.

Vediamo ora un complemento alla proposizione 3.1.

TEOREMA 3.5. Si verifica una delle due eventualita:

(1) il problema (3.2) ha solo la soluzione banale e, per ogni f ∈ C[a, b],il problema (3.1) ha un’unica soluzione;

(2) il problema (3.2) ammette soluzioni non banali e il problema (3.1)ha soluzione se e solo se f e ortogonale a tutte le soluzioni di (3.2).

In altri termini, unicita e risolubilita per ogni f o valgono entrambe ofalliscono entrambe.Dim. Se (3.2) ha solo la soluzione banale, esistenza e unicita di soluzione per (3.1) sonoprovate nella proposizione 3.1, quindi vale l’eventualita (1) del teorema.

Supponiamo ora che (3.2) ammetta soluzioni non banali. Mostriamo innanzitutto che,se (3.1) ha soluzione, f e ortogonale ad ogni soluzione di (3.2). Se y0 e soluzione di (3.2)e y di (3.1), essendo entrambe elementi dello spazio X definito in (2.6), per il lemma 2.1abbiamo

(y0, f) = (y0,Ly) = (Ly0, y) = 0 .

Supponiamo adesso che f sia ortogonale ad ogni soluzione di (3.2) e verifichiamo che(3.1) ammette soluzione. Scegliamo y1 soluzione di (3.2) e y2 integrale dell’equazione omo-

genea associata Ly = 0, che siano linearmente indipendenti. (E chiaro che la scelta epossibile, poiche (3.2) ha per ipotesi soluzioni non banali e l’insieme delle soluzioni dell’o-mogenea associata e uno spazio di dimensione 2.) Una soluzione dell’equazione completaLy = f si puo allora costruire mediante il metodo di Lagrange, come nel paragrafo 3: ysi trova espressa dalla (3.7). Si verificano anche facilmente le condizioni ai limiti. Infatti,risulta

(3.13) y′(x) = −1

pW

»y′2(x)

Z x

af(ξ) y1(ξ) dξ + y′1(x)

Z b

xf(ξ) y2(ξ) dξ

–e quindi

α1y(a) + β1y′(a) = −

α1y1(a) + β1y′1(a)

pW

Z b

af(ξ) y2(ξ) dξ = 0 ,

essendo α1y1(a) + β1y′1(a) = 0. Inoltre

α2y(b) + β2y′(b) = −

α2y2(b) + β2y′2(b)

pW

Z b

af(ξ) y1(ξ) dξ = 0 ,

per l’ipotesi di ortogonalita. Questo conclude la verifica dell’eventualita (2).


4. IL PROBLEMA DI STURM-LIOUVILLE 21

Osservazione 3.6. Non e stata usata esplicitamente la condizione nel-l’estremo b per y1, vale a dire α2y1(b) + β2y

′1(b) = 0. D’altra parte, come

notato nell’osservazione 1.8, la condizione in b segue da quella in a (e vice-versa) per ogni integrale dell’equazione omogenea, nell’ipotesi che il problema(3.2) ammetta soluzioni non banali.

4. Il problema di Sturm-Liouville

Assegnate le funzioni continue p, q, r sull’intervallo [a, b], con p derivabilee p′ continua, consideriamo l’equazione omogenea

(4.1) −(p(x) y′

)′ + q(x) y = λr(x) y ,

dove λ e un parametro numerico. Dati (α1, β1) 6= (0, 0) e (α2, β2) 6= (0, 0),consideriamo il problema di Sturm–Liouville

(4.2)−(p(x) y′

)′ + q(x) y = λr(x) yα1y(a) + β1y

′(a) = 0 , α2y(b) + β2y′(b) = 0

consistente nella ricerca di integrali dell’equazione verificanti le condizioninegli estremi. Occasionalmente considereremo altre condizioni ai limiti. Lafunzione identicamente nulla banalmente risolve (4.2), per ogni valore delparametro λ. Un valore di λ per cui esistono soluzioni non banali si diceautovalore del problema; ogni soluzione non banale corrispondente si diceautofunzione, o autosoluzione, associata all’autovalore λ. Per l’omogeneitadel problema, le autofunzioni relative ad un fissato autovalore, (aggiungendola soluzione banale) formano uno spazio vettoriale, che si dice autospazio. Unautovalore si dice semplice se il relativo autospazio ha dimensione 1.

Come osservato, le condizioni ai limiti si esprimono mediante la relazioney ∈ X, essendo X definito in (2.6), e il problema (4.2) si riscrive

(4.3)Ly = λ r(x) yy ∈ X

ESEMPIO 4.1. Consideriamo il problema di Sturm–Liouville

(4.4)y′′ + λ y = 0 in [0, π]y(0) = y(π) = 0

Per λ = 0 il problema ha solo la soluzione banale. Infatti, l’equazione divieney′′ = 0, il cui integrale generale e y(x) = c0 + c1x, con c0 e c1 costantiarbitrarie. Imponendo le condizioni ai limiti, troviamo y ≡ 0.

Anche per λ < 0 c’e solo la soluzione banale. In effetti, l’integrale gene-rale dell’equazione differenziale e y(x) = c1 e

√−λx + c2 e−

√−λx, con c1 e c2

arbitrarie. Imponendo le condizioni ai limiti, perveniamo al sistemay(0) = c1 + c2 = 0y(π) = c1 e

√−λπ + c2 e−

√−λπ = 0



nelle incognite c1 e c2. Essendo il determinante dei coefficienti∣∣∣∣ 1 1e√−λπ e−

√−λπ

∣∣∣∣ = e−√−λπ − e

√−λπ 6= 0 ,

deve essere c1 = c2 = 0, cioe come detto y ≡ 0.Consideriamo il caso λ > 0. L’integrale generale dell’equazione si scrive

y(x) = c1 cos√λx + c2 sin

√λx, con c1 e c2 arbitrarie. Esaminiamo le condi-

zioni ai limiti. Chiaramente y(0) = c1 = 0. Inoltre y(π) = c2 sin√λπ = 0

e poiche stiamo cercando di soddisfare tale condizione con c2 6= 0, dobbiamoavere sin

√λπ = 0, vale a dire

√λπ = kπ , k ∈ N .

Pertanto il problema ammette soluzioni non banali in corrispondenza dei valori

λk = k2, k ∈ N .

Questi sono dunque gli autovalori del problema e, per ogni k ∈ N fissato, leautofunzioni associate a λk sono y(x) = c sin kx, al variare di c 6= 0.

Facciamo qualche altra osservazione relativa al caso λ < 0. Nella teoriadelle equazioni differenziali e una situazione particolare quella in cui l’equa-zione considerata sia integrabile esplicitamente, come accade per quella delproblema (4.4); molto piu spesso, ci si limita a ricavare dall’equazione (e dallealtre condizioni del problema) informazioni sulle soluzioni. Vogliamo discutereora un approccio in questo ordine di idee, per mostrare l’implicazione

y′′ + λ y = 0 in [0, π] , con λ < 0y(0) = y(π) = 0 ⇒ y ≡ 0 .

Ogni soluzione y e continua sull’intervallo compatto [0, π], quindi dotata diminimo e massimo. Mostriamo che risulta min y = max y = 0. E chiaro chemax y = 0, se e assunto in 0 e in π. Supponiamo allora max y assunto in unpunto interno x0 ∈ ]0, π[. Dunque, come e noto, y′(x0) = 0 e y′′(x0) ≤ 0 (ildiagramma volge in P = (x0, y(x0)) la concavita verso il basso). Pertanto0 ≥ y′′(x0) = −λy(x0) ed essendo λ < 0 risulta y(x0) = max y ≤ 0. (D’altraparte e max y ≥ y(0) = 0.) Analogamente si mostra min y ≥ 0 e quindil’asserto.

Il ragionamento esposto si generalizza al caso di un’equazione

y′′ + λ(x) y = 0 ,

con λ < 0 funzione. Inoltre permette di trattare “disequazioni differenziali” y′′ + λ y ≥ 0 oy′′ + λ y ≤ 0, separando il caso del massimo da quello del minimo. Ad esempio,

y′′ + λ y ≥ 0 in [0, π] , con λ < 0

y(0) = y(π) = 0⇒ max y = 0 .

Nell’esempio discusso il problema ammette una successione di autovalori:questo, come vedremo, accade in generale. Un’altra proprieta che si riscontranell’esempio e che vale in generale e l’ortogonalita di autosoluzioni corrispon-denti ad autovalori distinti. In effetti, troviamo le autosoluzioni sin kx, che


4. IL PROBLEMA DI STURM-LIOUVILLE 23

sono a due a due ortogonali: se k 6= h, risulta∫ π

0

sin kx sinhx dx =12

∫ π

−πsin kx sinhx dx = 0 .

Precisamente, vale il seguente risultato

PROPOSIZIONE 4.2. Supponiamo p, p′, q, r funzioni reali continuein [a, b]. Se ym e yn sono autofunzioni del problema (4.2) associate agliautovalori λm e λn distinti, esse sono ortogonali rispetto al peso r, cioe risulta

(4.5)∫ b

a

ym(x) yn(x) r(x) dx = 0 .

Dim. La proprieta di ortogonalita segue subito dal fatto che L e autoaggiunto. Invero,risultando ym, yn ∈ X, abbiamo

λm (r ym, yn) = (Lym, yn) = (ym,Lyn) = λn (ym, r yn)

e quindi la tesi, essendo λm 6= λn.

Osservazione 4.3. In casi particolari, possiamo concludere con l’ortogo-nalita anche indebolendo o modificando le condizioni ai limiti. Ripercorrendola dimostrazione del lemma 2.1, vediamo quanto segue:

se p(a) = 0, possiamo rinunciare alla condizione nell’estremo a;se p(b) = 0, possiamo rinunciare alla condizione in b;se p(a) = p(b), l’ortogonalita vale se W (a) = W (b), che certamentee soddisfatta nel caso delle condizioni y(a) = y(b) e y′(a) = y′(b).

ESEMPIO 4.4. Ricordiamo che, a meno di una costante moltiplicativa,i polinomi di Legendre sono

pn(x) =dn

dxn(x2 − 1)n .

Per ogni n ∈ N, inoltre, pn e un polinomio di grado n ortogonale in L2(−1, 1)ai polinomi di grado minore di n. Esso verifica l’equazione di Legendre

(4.6)((1− x2) y′

)′ + λ y = 0 in [−1, 1]

con λ = λn = n(n+ 1). Notiamo che, per n e m in N0, risulta λn = λm ⇐⇒n = m.

Con le notazioni usate, abbiamo p(x) = 1−x2, q ≡ 0 e r(x) = 1. Essendoinoltre p(−1) = p(1) = 0, non abbiamo bisogno delle condizioni ai limiti eritroviamo che i pn sono a due a due ortogonali:∫ 1

−1

pm(x) pn(x) dx = 0 , se m 6= n .

(Questo e chiaro in base a quanto ricordato, poiche, se ad esempio m < n, ilpolinomio pm ha grado minore di n.)



ESEMPIO 4.5. Consideriamo il problema

(4.7)y′′ + λ y = 0 in [−π, π]y(−π) = y(π) , y′(−π) = y′(π)

Le condizioni ai limiti non sono del tipo del problema (4.2), ma, poiche con lenotazioni solite risulta p(−π) = p(π), possiamo concludere che autofunzionirelative ad autovalori distinti sono ortogonali.

ESERCIZIO 4.6. Verificare che gli autovalori del problema (4.7) sono iquadrati degli interi non negativi e sono autofunzioni gli elementi del sistematrigonometrico.

Consideriamo adesso l’esistenza di autovalori. Consideriamo il particolareproblema di Sturm–Liouville

(4.8)−(p y′)′ + q y = λ r yy(a) = y(b) = 0

che si chiama problema di Picard.

TEOREMA 4.7. Se p > 0, r > 0 e q ≥ 0, il problema (4.8) ammette unasuccessione di autovalori, che sono positivi e semplici; possono essere ordinatiin una successione crescente

0 < λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·e risulta limn λn = +∞. Le relative autofunzioni yn, n ∈ N, formano unsistema ortonormale completo. Inoltre, per ogni n > 1, la autofunzione yn haesattamente n− 1 zeri in ]a, b[.

Dim. Ci limitiamo a verificare alcune delle affermazioni contenute nell’enunciato.• Gli autovalori sono positivi. Se λ e un autovalore e y una autofunzione associata, mol-

tiplicando scalarmente ambo i membri dell’equazione per y, troviamo (Ly, y) = λ (r y, y).Inoltre

(Ly, y) =

Z b

a[−(py′)′ + qy]y dx = −[py′y]ba +

Z b

a[p(y′)2 + qy2] dx

=

Z b

a[p(y′)2 + qy2] dx > 0

e

λ (r y, y) = λ

Z b

ar|y|2 dx > 0 ,

dunque λ > 0.• Gli autovalori sono semplici. Siano y1 e y2 autovettori relativi ad uno stesso auto-

valore λ; dunque essi sono soluzioni di una medesima equazione omogenea. Il wronskiano

W (x) =

˛y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

˛si annulla in a e in b, quindi, come e noto, e identicamente nullo sull’intervallo, W ≡ 0, e idue integrali sono linearmente dipendenti.

Il teorema 4.7 si applica al problema (4.4). Risulta λn = n, ∀n ∈ N, eyn(x) = sinnx; in particolare, e facile verificare che yn ha n− 1 zeri in ]0, π[.


5. FORMULAZIONE MEDIANTE EQUAZIONE INTEGRALE 25

Osservazione 4.8. La tesi del teorema 4.7 non vale per il problema (4.7),in quanto (cfr. esercizio 4.6) esso ammette l’autovalore λ = 0 e gli autovaloripositivi sono doppi (cioe gli autospazi hanno dimensione 2).

ESEMPIO 4.9. Il problema di Sturm-Liouvilley′′ + λ y = 0 in [0, T ]y(0) + y′(0) = 0 , y(T ) = 0

ha per T > 1 un autovalore negativo. (Non e un problema di Picard.) Invero,se λ < 0, l’integrale generale dell’equazione e

y = a e√−λx + b e−

√−λx ,

con a e b costanti arbitrarie. Le condizioni ai limiti divengono

(4.9)

y(0) + y′(0) = a(1 +

√−λ) + b(1−

√−λ) = 0

y(T ) = a e√−λT + b e−

√−λT = 0 .

Se λ verifica

(4.10)∣∣∣∣1 +

√−λ 1−

√−λ

e√−λT e−

√−λT

∣∣∣∣ = 0

il sistema (4.9) ha una soluzione (a, b) non banale. Posto σ =√−λ, la (4.10)

diviene

(4.11)1 + σ

1− σ= e2σ T .

Per T > 1, tale equazione ha una soluzione in ]0, 1[. Infatti, la funzione

f(σ) =1 + σ

1− σ− e2σ T

verifica

f(0) = 0 , f ′(0) = 2− 2T < 0 , limσ→1−

f(σ) = +∞ .

Da (4.11) si ricava facilmente T > 1 in funzione dell’autovalore λ ∈ ]− 1, 0[:

T =1

2√−λ

log1 +√−λ

1−√−λ

.

5. Formulazione mediante equazione integrale

Come visto nella dimostrazione del teorema 4.7, se p > 0, q ≥ 0 e y 6≡ 0,risulta (Ly, y) > 0. Pertanto, il problema

(5.1)−(p y′)′ + q y = 0y(a) = y(b) = 0



ha solo la soluzione banale e siamo nelle ipotesi della proposizione 3.1 (relati-vamente al problema di Picard). Introducendo la funzione di Green come nelparagrafo 3, riformuliamo il problema (4.8) mediante una equazione integrale

(5.2) y(x) = λ

∫ b

a

G(x, ξ) r(ξ) y(ξ) dξ .

Una soluzione di tale equazione e una funzione y continua in [a, b] che soddisfal’equazione in ogni punto. Se y risolve il problema (4.8), essa e ovviamenteuna soluzione dell’equazione integrale. Dalla verifica a posteriori svolta nelparagrafo 3, segue chiaramente il viceversa: se y e soluzione di (5.2), essa inrealta e una funzione di classe C2[a, b] e risolve (4.8).

Essendo r > 0, posto

v(x) =√r(x) y(x) , K(x, ξ) =

√r(x)G(x, ξ)

√r(ξ) ,

possiamo riscrivere la (5.2) come segue

(5.3) v(x) = λ

∫ b

a

K(x, ξ) v(ξ) dξ .

Notiamo che il nucleo K = K(x, ξ) e reale, continuo, simmetrico su [a, b]2.E facile verificare che, se v ∈ L2(a, b) soddisfa (5.3) per q.o. x ∈ (a, b), essacoincide q.o. con una funzione continua (il secondo membro di (5.3) dipendecon continuita da x) in [a, b], quindi y = v/

√r e soluzione di (5.2), ovvero di

(4.8). Lavorare in L2(a, b) permette di usare la teoria degli spazi di Hilbert.Tutti i risultati esposti per i problemi ai limiti possono essere ottenuti e

notevolmente generalizzati applicando la teoria delle equazioni integrali alla(5.2).


CAPITOLO III

Le funzioni di Bessel

1. Cenni sulle equazioni differenziali in campo complesso

Consideriamo il problema di Cauchy

(1.1)y′ = f(x, y)y(x0) = y0

dove f = f(x, y) e una funzione complessa di due variabili complesse, olomorfain ciascuna delle variabili in un intorno Ix0×Jy0 di (x0, y0). Si prova che esisteun unico integrale dell’equazione, olomorfo in un intorno di x0, che verifica lacondizione iniziale, cioe vale un risultato di esistenza e unicita locale.

Osservazione 1.1. In generale, non vale un risultato globale, come mo-stra l’esempio

y′ = −y2

y(1) = 1

Rinunciando a dimostrare il risultato precedente, ci limitiamo ad illustrarebrevemente come si determina la soluzione del problema, costruendone losviluppo di Taylor intorno a x0:

(1.2) y(x) =+∞∑k=0

y(k)(x0)k!

(x− x0)k .

La condizione iniziale chiaramente fornisce il termine costante y(x0) = y0.Usando l’equazione, si trovano ricorsivamente gli altri coefficienti dello svilup-po. Infatti y′(x0) = f(x0, y0). Inoltre, derivando l’identita y′(x) = f(x, y(x))abbiamo

y′′ = fx(x, y(x)) + fy(x, y(x)) y′(x)

da cui ricaviamo y′′(x0) in funzione dei coefficienti gia trovati

y′′(x0) = fx(x0, y0) + fy(x0, y0) y′(x0) .

A questo punto, e facile convincersi che si possono determinare tutti i coeffi-cienti. Rimane poi il problema di verificare che la serie ottenuta ha raggio diconvergenza positivo e che la somma risolve il problema (1.1).

27


28 III. LE FUNZIONI DI BESSEL

Il procedimento risolutivo indicato si chiama di integrazione per serie e siestende alle equazioni di ordine superiore, ad esempio lineari

y′′ + a1(x) y′ + a2(x) y = f(x) ,

con a1, a2, f olomorfe in un cerchio del piano complesso; ogni integrale eolomorfo in tale cerchio. In alcuni casi, si puo usare il metodo di integrazioneper serie anche intorno ad una singolarita isolata dei coefficienti, come adesempio per l’equazione di Eulero

y(n) +a1

xy(n−1) +

a2

x2y(n−2) + · · ·+ an−1

xn−1y′ +

anxn

y = 0 ,

con a1, . . . , an costanti.

2. L’equazione di Bessel

Un altro esempio fondamentale di equazione, con coefficienti che presen-tano singolarita isolate, che si integra per serie e l’equazione di Bessel

(2.1) y′′ +1xy′ +

(1− ν2

x2

)y = 0 ,

dove ν e un parametro, in generale complesso. I coefficienti sono singolari in0; a1(x) = 1/x ha un polo semplice, a2(x) = 1 − ν2/x2 ha un polo doppio(se ν 6= 0). Gli integrali di (2.1) si dicono funzioni di Bessel di parametro (oordine) ν.

E possibile trovare un integrale del tipo

(2.2) y(x) = xν+∞∑k=0

ak x2k =

+∞∑k=0

ak x2k+ν .

Non ci soffermiamo sulla effettiva esistenza di una soluzione di questo ti-po; piuttosto, calcoliamo i coefficienti. Derivando termine a termine la serie,troviamo

y′ =+∞∑k=0

(2k + ν) ak x2k+ν−1

y′′ =+∞∑k=0

(2k + ν) (2k + ν − 1) ak x2k+ν−2

e quindi, sostituendo nel primo membro dell’equazione (2.1)+∞∑k=0

ak[(2k + ν) (2k + ν − 1) + (2k + ν)− ν2

]x2k+ν−2 +

+∞∑k=0

ak x2k+ν

=+∞∑k=0

ak[(2k + ν)2 − ν2

]x2k+ν−2 +

+∞∑k=0

ak x2k+ν

= 4+∞∑k=1

ak k (k + ν)x2k+ν−2 ++∞∑k=1

ak−1 x2k+ν−2 .


2. L’EQUAZIONE DI BESSEL 29

Riscriviamo dunque l’equazione (2.1)

(2.3)+∞∑k=1

[4 ak k (k + ν) + ak−1

]x2k+ν−2 = 0 .

Uguagliando a zero i coefficienti della serie a primo membro, otteniamo leequazioni 4 ak k (k + ν) + ak−1 = 0, vale a dire (se k + ν 6= 0)

(2.4) ak =−1

4 k (k + ν)ak−1 , k ∈ N ,

e quindi, ragionando per ricorrenza,

(2.5)

ak =−1

4 k (k + ν)−1

4 (k − 1) (k − 1 + ν)ak−2 = · · ·

=(−1)k a0

4k k(k − 1) · · · 1 (k + ν)(k − 1 + ν) · · · (1 + ν)

=(−1)k a0

22k k! (k + ν)(k − 1 + ν) · · · (1 + ν).

Ricordando le proprieta della funzione Γ di Eulero, cfr. (I.1.8), possiamoscrivere

Γ(k + 1 + ν) = (k + ν) (k − 1 + ν) · · · (1 + ν) Γ(1 + ν) ,

dunque

(k + ν)(k − 1 + ν) · · · (1 + ν) =Γ(k + 1 + ν)

Γ(1 + ν).

Usando questa uguaglianza in (2.5), abbiamo

(2.6) ak =(−1)k Γ(1 + ν)

22k k! Γ(k + 1 + ν)a0 .

Il coefficiente a0 e arbitrario; scegliendo

a0 =1

2ν Γ(1 + ν),

abbiamo infine

(2.7) ak =(−1)k

k! Γ(k + 1 + ν)1

22k+ν.

Da (2.2) troviamo allora l’integrale

(2.8) Jν(x) =+∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(k + 1 + ν)

(x2

)2k+ν

,

che si chiama funzione di Bessel di prima specie. La serie converge per ognix e definisce Jν(x) come prodotto di xν per una funzione trascendente intera.



Abbiamo ricavato (2.4) supponendo k+ ν 6= 0; d’altra parte, le (2.7) hanno significato

senza alcuna restrizione, essendo 1/Γ funzione intera, e rendono nulli tutti i coefficienti

della serie a primo membro della (2.3). Pertanto Jν e definita dalla (2.8), ∀ν, e risolve

l’equazione.

Per scrivere l’integrale generale, abbiamo bisogno di due integrali linear-mente indipendenti. Osserviamo che l’equazione (2.1) non cambia mutando νin −ν e quindi sara integrale anche J−ν :

(2.9) J−ν(x) =+∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(k + 1− ν)

(x2

)2k−ν.

Come detto ν e in generale complesso; noi ci limiteremo a ν reale, ν ≥ 0. Se νnon e intero, Jν e J−ν sono linearmente indipendenti; ad esempio (per ν > 0),risulta

limx→0

Jν(x) = 0 , limx→0|J−ν(x)| = +∞ .

ESEMPIO 2.1. In base alla definizione

J0(x) =+∞∑k=0

(−1)k

(k!)2

(x2

)2k

= 1− x2

4+x4

64− x6

2304+ · · ·

J1(x) =+∞∑k=0

(−1)k

k! (k + 1)!

(x2

)2k+1

=x

2

1− x2

8+

x4

192− x6

9216+ · · ·

.

Calcoliamo J 12

e J− 12. Immediatamente dalla definizione abbiamo

J 12(x) =

(x2

)− 12

+∞∑k=0

(−1)k

22k+1 k! Γ(k + 1 + 1/2)x2k+1 .

Pertanto, ricordando (I.1.10),

J 12(x) =

√2x

1√π

+∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 =

√2πx

sinx .

Analogamente

J− 12(x) =

√2x

+∞∑k=0

(−1)k

22k k! Γ(k + 1/2)x2k

=

√2πx

+∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k =

√2πx

cosx .

ESERCIZIO 2.2. Sia ν = 12 . Verificare che effettuando il cambiamento

di funzione incognitay =

u√x


3. PROPRIETA DELLE FUNZIONI DI BESSEL 31

nella (2.1), si trova per u l’equazione

u′′ + u = 0 .

Quindi l’integrale generale della (2.1) si scrive

y = c1cosx√x

+ c2sinx√x,

in accordo con quanto visto nell’esempio 2.1.

Nel caso che ν sia intero, i due integrali definiti da (2.8) e (2.9) risultanolinearmente dipendenti. Sia ν = n ∈ N0; essendo Γ(k + 1 + n) = (k + n)!, la(2.8) diviene

(2.10) Jn(x) =+∞∑k=0

(−1)k

k! (k + n)!

(x2

)2k+n

.

Nella (2.9) che definisce J−n, troviamo1

Γ(k + 1− n)= 0

per k + 1− n ≤ 0, cioe per k ≤ n− 1, quindi

(2.11) J−n(x) =+∞∑k=n

(−1)k

k! (k − n)!

(x2

)2k−n.

Ponendo h = k − n nella sommatoria, la (2.11) si riscrive

(2.12) J−n(x) =+∞∑h=0

(−1)h+n

(h+ n)!h!

(x2

)2h+n

= (−1)n Jn(x) .

3. Proprieta delle funzioni di Bessel

Mettiamo in luce ulteriori proprieta delle funzioni di Bessel.Derivando termine a termine in (2.8), otteniamo

(3.1)

xJ ′ν(x) =+∞∑k=0

(−1)k (2k + ν)k! Γ(k + 1 + ν)

(x2

)2k+ν

= ν Jν(x) + x

+∞∑k=1

(−1)k

(k − 1)! Γ(k + 1 + ν)

(x2

)2k+ν−1

.

Col cambiamento di indice h = k − 1, l’ultimo termine nella (3.1) si riscrive

x

+∞∑h=0

(−1)h+1

h! Γ(h+ 1 + (ν + 1)

) (x2

)2h+ν+1

= −xJν+1(x) .

In definitiva, abbiamo

(3.2) xJ ′ν(x) = ν Jν(x)− xJν+1(x) .



Similmente troviamo

(3.3)

xJ ′ν(x) =+∞∑k=0

(−1)k [2(k + ν)− ν]k! Γ(k + 1 + ν)

(x2

)2k+ν

= −ν Jν(x) + x

+∞∑k=0

(−1)k (k + ν)k! Γ(k + 1 + ν)

(x2

)2k+ν−1

.

Essendo Γ(k + 1 + ν) = (k + ν) Γ(k + ν), l’ultimo termine nella (3.3) diviene

x

+∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(k + ν)

(x2

)2k+ν−1

= xJν−1(x)

e giungiamo all’uguaglianza

(3.4) xJ ′ν(x) = −ν Jν(x) + xJν−1(x) .

Le (3.2) e (3.4) si chiamano relazioni di ricorrenza.

ESERCIZIO 3.1. Mostrare che le relazioni di ricorrenza si possono ri-scrivere come segue:

(x−ν Jν(x))′ = −x−ν Jν+1(x) , (xν Jν(x))′ = xν Jν−1(x) .

Sottraendo membro a membro (3.2) da (3.4), troviamo

(3.5) xJν−1(x) + xJν+1(x) = 2ν Jν(x) .

3.1. Funzione generatrice delle funzioni di Bessel. Facciamo qual-che premessa relativa alle serie bilatere di potenze.

Se

(3.6)+∞∑

k=−∞

ak zk ,

+∞∑k=−∞

bk zk ,

convergono in una stessa corona circolare di centro 0, dette f(z) e g(z) lerispettive somme, per il prodotto f(z) g(z) vale lo sviluppo (di Laurent)

(3.7) f(z) g(z) =+∞∑

k=−∞

ck zk ,

dove ∀k ∈ Z

(3.8) ck =+∞∑

n=−∞an bk−n .

Questo risultato puo essere enunciato con varie terminologie. La serie a secondo mem-bro di (3.7), nella quale i coefficienti sono dati dalle (3.8), si dice prodotto secondo Cauchydelle due serie (3.6).



Nella teoria della Z-trasformazione, la successione (ck)k∈Z si dice convoluzione dellesuccessioni (ak)k∈Z e (bk)k∈Z e si indica con (ak ∗ bk)k∈Z: l’operazione e analoga a quelladi convoluzione tra due segnali

x ∗ y(t) =

Z +∞

−∞x(τ) y(t− τ) dτ ;

inoltre (cambiando leggermente notazioni, mutiamo k in −k, ak in a−k . . .) f = Z[ak],g = Z[bk], mentre la serie in (3.7) da Z[ak ∗ bk], e vale la formula

Z[ak ∗ bk] = Z[ak] · Z[bk] .

Se le serie di partenza sono unilatere (serie di Taylor), cioe ak = bk = 0per k < 0, la (3.8) fornisce ck = 0 per k < 0 e

ck =k∑

n=0

an bk−n ,

per k ≥ 0.Il caso che ci interessa qui e quello in cui ak = 0 per k < 0 e bk = 0 per

k > 0. La (3.8) fornisce, ∀k ∈ Z,

(3.9) ck =+∞∑n=0

an bk−n .

Nel caso k > 0, procediamo ulteriormente; se k−n > 0, cioe n < k, e bk−n = 0e quindi risulta

(3.10) ck =+∞∑n=k

an bk−n =+∞∑h=0

ah+k b−h .

La situazione descritta si presenta per le funzioni

f(z) = ex2 z =

+∞∑k=0

(x2 z)

k!, g(z) = e−

x2z =

+∞∑k=0

(− x

2z

)k!

dove x ∈ R e un parametro fissato e z varia in C − 0. Con le notazioniprecedenti, possiamo scrivere

ak =

(x

2

)k 1k!, k ≥ 0

0 , k < 0b−k =

(−x

2

)k 1k!, k ≥ 0

0 , k < 0

e le serie convergono ∀z ∈ C− 0. Quindi per k ≥ 0

ck =+∞∑h=0

(x2

)h+k 1(h+ k)!

(x2

)h (−1)h

h!=

+∞∑h=0

(−1)h

h! (h+ k)!

(x2

)2h+k

= Jk(x)

I coefficienti ck con k < 0 si calcolano in maniera analoga. Alternativamente,osserviamo che il prodotto

F (z) = F (z;x) = ex2 (z− 1

z ) = f(z) g(z)



non cambia mutando z in −1/z: F (−1/z) = F (z). Passando agli sviluppi diLaurent, abbiamo

∑k

ck

(−1z

)k= F

(−1z

)= F (z) =

∑k

ck zk ,

ovvero ∑k

c−k (−1)k zk =∑k

ck zk .

Tale uguaglianza sussiste se e solo se valgono le relazioni

c−k (−1)k = ck , ∀k ∈ Z ,

che, unite a quanto visto, forniscono per k < 0

ck = (−1)k c−k = (−1)k J−k(x) = Jk(x) .

In definitiva, ck = Jk(x), ∀k ∈ Z, cioe Jk(x) sono i coefficienti di Laurent diF :

(3.11) F (z) = ex2 (z− 1

z ) =+∞∑

k=−∞

Jk(x) zk .

In virtu di tale uguaglianza, F si dice funzione generatrice delle funzioni diBessel.

Mostriamo ulteriori identita riguardanti le funzioni di Bessel; in particola-re, una formula di rappresentazione integrale. A tale scopo, riscriviamo (3.11)nel modo seguente:

ex2 (z− 1

z ) = J0(x) ++∞∑k=1

Jk(x)[zk + (−1)k z−k

]e poniamo z = ejϑ, ϑ ∈ R. Essendo

zk + (−1)k z−k =

e2jnϑ + e−2jnϑ = 2 cos 2nϑ ,

per k = 2n pari,

ej(2n−1)ϑ − e−j(2n−1)ϑ = 2j sin(2n− 1)ϑ ,per k = 2n− 1 dispari,

dove n ∈ N, troviamo

(3.12) ejx sinϑ = J0(x) + 2+∞∑n=1

J2n(x) cos 2nϑ+ 2j+∞∑n=1

J2n−1(x) sin(2n− 1)ϑ



Separando il reale dall’immaginario in questa uguaglianza (Jk(x) e reale, ∀x ∈R, ∀k ∈ Z), otteniamo

(3.13)cos(x sinϑ) = J0(x) + 2

+∞∑n=1

J2n(x) cos 2nϑ ,

sin(x sinϑ) = 2+∞∑n=1

J2n−1(x) sin(2n− 1)ϑ .

In particolare, per ϑ = π2 , abbiamo

cosx = J0(x) + 2+∞∑n=1

(−1)n J2n(x) ,

sinx = 2+∞∑n=1

(−1)n−1J2n−1(x) .

L’uguaglianza (3.11) si riscrive

(3.14) ej x sinϑ =+∞∑

k=−∞

Jk(x) ej k ϑ

e consiste nello sviluppo in serie esponenziale di Fourier della funzione ϑ 7→ej x sinϑ, periodica di periodo 2π, i cui coefficienti sono

(3.15) Jk(x) =1

2π

∫ π

−πej x sinϑ e−j k ϑ dϑ =

12π

∫ π

−πej (x sinϑ−k ϑ) dϑ

Inoltre

ej (x sinϑ−k ϑ) = cos(x sinϑ− k ϑ) + j sin(x sinϑ− k ϑ) ;

a secondo membro, il primo addendo e una funzione pari di ϑ, mentre ilsecondo e dispari. Pertanto arriviamo alla formula di rappresentazione

(3.16) Jk(x) =1π

∫ π

0

cos(x sinϑ− k ϑ) dϑ .

Alternativamente, essendo come osservato i Jk(x) i coefficienti dello sviluppo di Laurent diF , si calcolano mediante le formule

Jk(x) =1

2πj

Z|z|=1

ex2 (z− 1

z )

zk+1dz

e, con facili calcoli mediante la sostituzione z = ejϑ, ritroviamo la (3.16).

L’uguaglianza di Parseval fornisce

(3.17)+∞∑

k=−∞

|Jk(x)|2 =1

2π

∫ π

−π| ej x sinϑ|2 dϑ = 1 .



Questa uguaglianza segue pure effettuando il prodotto

F (z)F (1/z) =

Xk

Jk(x) zk

! Xk

Jk(x) z−k

!

=

Xk

Jk(x) zk

! Xk

J−k(x) zk

!tra le due serie di Laurent usando la (3.8).

Notiamo che le (3.13) sono gli sviluppi in serie trigonometrica di Fourierdelle funzioni a primo membro, quindi abbiamo

(3.18)J2n(x) =

12π

∫ π

−πcos(x sinϑ) cos 2nϑdϑ ,

J2n−1(x) =1

2π

∫ π

−πsin(x sinϑ) sin(2n− 1)ϑ dϑ .

Le (3.18) si ricavano facilmente da (3.16) poiche

cos(x sinϑ− k ϑ) = cos(x sinϑ) cos k ϑ− sin(x sinϑ) sin k ϑ

e

(3.19)

Z π

0sin(x sinϑ) sin 2nϑdϑ = 0 =

Z π

0cos(x sinϑ) cos(2n− 1)ϑ dϑ .

Le (3.19) si verificano effettuando il cambiamento di variabile ϑ = π−t, essendo i diagrammidelle funzioni integrande simmetrici rispetto al punto (π

2, 0); ad esempio:

sin(x sinϑ) sin 2nϑ = sin(x sin t) sin(2nπ − 2nt) = − sin(x sin t) sin 2nt

La funzione generatrice F (z;x) = ex2 (z− 1

z ) verifica l’uguaglianza

F (z; a+ b) = F (z; a)F (z; b)

e quindi da (3.11), effettuando il prodotto tra serie bilatere come visto, otte-niamo la formula di addizione

(3.20) Jk(a+ b) =+∞∑

n=−∞Jn(a) Jk−n(b) .

3.2. Zeri delle funzioni di Bessel. Supporremo in questo paragrafo νreale e ν > −1. La funzione Jν ha in ]0,+∞[ una successione di zeri

ξν,1 < ξν,2 < · · · < ξν,k < · · ·Le funzioni

(3.21) x ∈ [0, 1] 7→ Jν(ξν,kx) , k = 1, 2, . . .

posseggono una proprieta di ortogonalita che e contenuta nell’uguaglianza

(3.22)∫ 1

0

xJν(ξν,hx) Jν(ξν,kx) dx =

0 , se h 6= k12[J ′ν(ξν,h)

]2, se h = k

Tale proprieta si puo ricondurre al risultato di ortogonalita tra autofunzionidi problemi ai limiti, relativi ad autovalori distinti. Diamo una dimostrazionediretta.



Per ogni ξ > 0, la funzione y(x) = Jν(ξ x) risolve la seguente equazione

(3.23) y′′ +1xy′ +

(ξ2 − ν2

x2

)y = 0 .

Invero y′(x) = J ′ν(ξ x) ξ, y′′(x) = J ′′ν (ξ x) ξ2 e quindi, essendo Jν soluzionedell’equazione di Bessel (2.1), riscritta con ξ x in luogo di x,

1ξ2y′′(x) +

1ξx

1ξy′(x) +

(1− ν2

(ξx)2

)y(x) = 0

da cui (3.23) segue subito. Essendo ξ zero di Jν , y soddisfa anche la condizioney(1) = 0.

Fissati ξ1, ξ2 > 0, consideriamo y1(x) = Jν(ξ1x) e y2(x) = Jν(ξ2x), che,come visto, verificano le equazioni

y′′1 +1xy′1 +

(ξ21 −

ν2

x2

)y1 = 0 , y′′2 +

1xy′2 +

(ξ22 −

ν2

x2

)y2 = 0 .

Moltiplichiamo la prima per xy2, la seconda per xy1 e sottraiamo

(3.24) x(y2y′′1 − y1y

′′2 ) + y2y

′1 − y1y

′2 = (ξ2

2 − ξ21)xy1y2 .

Il primo membro e

y2y′1 − y1y

′2 + x(y′2y

′1 + y2y

′′1 − y′2y′1 − y1y

′′2 ) =

(x(y2y

′1 − y1y

′2))′.

Essendo ν > −1, l’espressione x(y2y′1 − y1y

′2) e infinitesima per x → 0 e i

due membri di (3.24) sono sommabili su [0, 1]. Pertanto, integrando ambo imembri otteniamo

(3.25)∣∣∣∣y2(1) y1(1)y′2(1) y′1(1)

∣∣∣∣ = (ξ22 − ξ2

1)∫ 1

0

x y1(x) y2(x) dx

ed essendo il primo membro nullo, poiche y2(1) = 0 = y1(1), se ξ1 e ξ2 sonozeri distinti, troviamo ∫ 1

0

x y1(x) y2(x) dx = 0 ,

cioe la prima delle (3.22).Mostriamo la seconda delle (3.22). Sia ξ1 uno zero di Jν e ξ2 = ξ 6= ξ1;

riscriviamo la (3.25) in termini di Jν :

(3.26)

∫ 1

0

xJν(ξ1x) Jν(ξx) dx =y2(1) y′1(1)ξ2 − ξ2

1

=Jν(ξ) J ′ν(ξ1)ξ1

ξ2 − ξ21

=Jν(ξ)− Jν(ξ1)

ξ − ξ1· J′ν(ξ1)ξ1ξ + ξ1

Passiamo al limite nella (3.26) per ξ → ξ1. Essendo lecito il passaggio al limitesotto il segno di integrale nel primo membro, si ottiene la tesi.


CAPITOLO IV

Equazioni differenziali alle derivate parziali

1. Generalita

Un’equazione differenziale alle derivate parziali e un’equazione del tipo

(1.1) F

(x1, . . . , xn, u,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn, . . . ,

∂mu

∂xm1, . . . ,

∂mu

∂xmn

)= 0 ,

che esprime un legame (mediante la funzione F ) tra la funzione di piu varia-bili u, le variabili indipendenti x1, . . . , xn, ed alcune derivate di u. L’ordinemassimo m di derivazione che compare nella (1.1) si chiama ordine dell’equa-zione. Una soluzione classica dell’equazione e una funzione u di classe Cm inun aperto di Rn che verifichi l’equazione in ogni punto.

L’equazione (1.1) si dice semilineare se F dipende linarmente dalle deri-vate di u di ordine massimo. Ad esempio, un’equazione semilineare del primoordine in n variabili indipendenti si scrive

(1.2) f1∂u

∂x1+ · · ·+ fn

∂u

∂xn+fn+1 = 0 ,

con fk = fk(x1, . . . , xn, u), k = 1, . . . , n+ 1.L’equazione si dice lineare se F dipende linearmente da u e da tutte le

sue derivate. Un’equazione lineare del secondo ordine in due variabili si scrive

(1.3) a11∂2u

∂x2+2 a12

∂2u

∂x ∂y+a22

∂2u

∂y2+b1

∂u

∂x+b2

∂u

∂y+c u = f ,

con i coefficienti aij , bi, c e il termine noto f funzioni di x e y. Piu in generale,l’equazione in n variabili si scrive

(1.4)n∑

i,j=1

aij∂2u

∂xi ∂xj+

n∑i=1

bi∂u

∂xi+c u = f .

Supposti i coefficienti e il termine noto definiti e continui in un aperto Ω ⊆Rn, una soluzione classica della (1.4) e dunque una u ∈ C2(Ω) che rendel’equazione un’identita in Ω. Notiamo che le derivate miste di u non dipendonodall’ordine di derivazione; pertanto possiamo supporre che la matrice (aij) deicoefficienti sia simmetrica, aij = aji.

38


2. EQUAZIONI DI LAPLACE E POISSON 39

Le piu importanti equazioni a derivate parziali della fisica matematicasono di questo tipo. Pertanto e su di queste che ci concentreremo. Prevalen-temente, considereremo equazioni in due variabili (1.3).

ESEMPIO 1.1. Le equazioni di Laplace e di Poisson sono

(1.5) ∆u = 0 , ∆u = f ,

dove

∆ =∂2

∂x21

+ · · ·+ ∂2

∂x2n

e l’operatore Laplaciano, spesso indicato anche con ∇2.L’equazione delle onde (in due variabili) e

(1.6)∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2= 0 .

L’equazione del calore (in una variabile spaziale) e

(1.7)∂2u

∂x2− ∂u

∂t= 0 .

Nelle applicazioni, una questione fondamentale consiste nel ricercare unasoluzione di un’equazione differenziale in un dominio D, soddisfacente ulte-riori condizioni sulla frontiera di D. Tale questione si chiama problema alcontorno per un’equazione alle derivate parziali ed e di essa che ci occupe-remo prevalentemente, per l’equazione (1.3). Il tipo di condizioni aggiuntivedipende dal segno del determinante

(1.8) A =∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣Su di esso si basa la classificazione delle equazioni differenziali del tipo (1.3).A > 0 in D: l’equazione si dice ellittica;A < 0 in D: l’equazione si dice iperbolica;A = 0 in D: l’equazione si dice parabolica;

L’equazione si dice di tipo misto se in D si verificano almento due delle con-dizioni precedenti. L’equazione di Laplace e ellittica; l’equazione delle onde eiperbolica; l’equazione del calore e parabolica.

2. Equazioni di Laplace e Poisson

Sia Ω un aperto di Rn; le soluzioni dell’equazione di Laplace

∆u =∂2u

∂x21

+ · · ·+ ∂2u

∂x2n

= 0 in Ω

si dicono funzioni armoniche in Ω. Piu generale e l’equazione di Poisson

∆u = f in Ω ,


40 IV. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

essendo f continua in Ω. Per tale equazione consideriamo due problemi alcontorno. Sia D un dominio regolare connesso.

Problema di Dirichlet. Cerchiamo u ∈ C2(D) ∩ C0(D) tale che

(2.1)

∆u = f in D

u = g su FD

dove f continua in D e g continua su FD sono funzioni assegnate.

Problema di Neumann. Cerchiamo u ∈ C2(D) ∩ C1(D) tale che

(2.2)

∆u = f in D∂u∂ν = g su FD

dove f continua in D e g continua su FD sono funzioni assegnate. ν e ilversore normale a FD orientato verso l’esterno e ∂u

∂ν e la derivata normale.Le questioni che affronteremo sono: esistenza e unicita di soluzioni, di-

pendenza della soluzione dai dati f e g. Fondamentali per affrontare questiproblemi e lo studio delle proprieta delle funzioni armoniche.

2.1. Funzioni armoniche. Sia Ω un aperto di Rn. Una funzione u ∈C2(Ω) si dice armonica in Ω se il suo laplaciano e identicamente nullo nell’a-perto, ∆u ≡ 0. E chiaro che sono funzioni armoniche i polinomi di grado nonsuperiore ad uno. In seguito daremo altri esempi.

Elenchiamo alcune proprieta fondamentali delle funzioni armoniche, dellequali ci occuperemo.

TEOREMA 2.1 (Indefinita derivabilita). Ogni funzione armonica in Ωe di classe C∞(Ω).

TEOREMA 2.2 (Proprieta di media). Sia u armonica in Ω. Per ognisfera chiusa B = B(P0, r) contenuta in Ω, risulta

(2.3) u(P0) =1

misFB

∫FB

u(P ) dσ .

Ad esempio, in due variabili B e il cerchio di raggio r e centro P0 =(x0, y0), γ = FD e la circonferenza che lo delimita, di lunghezza 2πr; l’ugua-glianza (2.3) diventa

(2.4) u(x0, y0) =1

2πr

∫γ

u(x, y) ds .

Osservazione 2.3. (a) La proprieta di media sulle superfici sfericheespressa dalla (2.3) e equivalente alla versione sulle sfere piene

(2.5) u(P0) =1

misB

∫B

u(P ) dP .



In effetti, la (2.5) segue dalla (2.3) integrando in coordinate sferiche; la (2.5)implica la (2.3) derivando rispetto al raggio r di B.

(b) La proprieta di media caratterizza le funzioni armoniche, nel senso che,se u ∈ C0(Ω) verifica la (2.3) per ogni sfera chiusa B ⊂ Ω, essa e armonica inΩ, cioe u ∈ C2(Ω) e ∆u ≡ 0.

TEOREMA 2.4 (Principio del massimo). (a) Ogni funzione non costantearmonica in un aperto connesso e priva di estremi relativi. (b) Sia D undominio limitato; una funzione u ∈ C2(D) ∩ C0(D) armonica in D assumemassimo e minimo sulla frontiera:

minFD

u ≤ u(P ) ≤ maxFD

u , ∀P ∈ D .

Dimostreremo queste proprieta in dimensione 2, poiche esse si ricavanoda noti risultati per le funzioni olomorfe, in virtu del seguente fondamentalelegame con le funzioni armoniche:

PROPOSIZIONE 2.5. Parte reale e coefficiente dell’immaginario di unafunzione olomorfa sono armoniche; ogni funzione armonica e localmente laparte reale di una funzione olomorfa.

Vale a dire, se f = u + jv e olomorfa in Ω, u = Re f e v = Im f sonoarmoniche in Ω. Se u e armonica in Ω e Ω e semplicemente connesso, esiste v,anch’essa armonica in Ω, tale che f = u+jv sia olomorfa nell’aperto; v e dettauna funzione armonica coniugata a u. Se Ω non e semplicemente connesso, sipuo ragionare localmente, sui cerchi in esso contenuti: questo sara comunquesufficiente per ricavare le proprieta in questione.

ESEMPIO 2.6. Considerando la funzione intera

f(z) = exp(z) = ex(cos y + j sin y) ,

troviamo le funzioni armoniche in R2

u(x, y) = ex cos y e v(x, y) = ex sin y .

Analogamente, considerando f(z) = z2, z ∈ C, troviamo

u(x, y) = x2 − y2 e v(x, y) = 2xy .

Piu in generale, possiamo considerare f(z) = zm, m ∈ N.La funzione log

√x2 + y2 e la parte reale di log z ed e armonica in R2 −

(0, 0).

ESEMPIO 2.7. Facciamo un esempio di funzione armonica in n variabili;cerchiamo i numeri α ∈ R per i quali la funzione

u(P ) = OPα



risulta armonica in Rn − 0. Dunque, posto ρ = OP =√x2

1 + · · ·+ x2n,

abbiamo u = ρα. Osserviamo che per, k = 1, . . . , n, risulta∂

∂xkρ =

xkρ

e quindi

∂

∂xkρα = αρα−2 xk ,

∂2

∂x2k

ρα = α(α− 2) ρα−4 x2k + αρα−2 .

Pertanto

(2.6) ∆ρα = α

[(α− 2)ρα−4

n∑k=1

x2k + nρα−2

]= α(α+ n− 2) ρα−2 .

Dunque u = ρα e armonica per α = 0 (banalmente, poiche in questo caso u ecostante) e, se n ≥ 3, per α = 2− n, cioe abbiamo la funzione

(2.7) u(P ) = OP2−n

.

A questa, in dimensione n = 2 aggiungiamo (come funzione di OP ) la funzione

(2.8) u(P ) = logOP ,

indicata nell’esempio 2.6. Le funzioni in (2.7) e (2.8) saranno importanti nelseguito.

ESERCIZIO 2.8. Mostrare che, se g ∈ C2(]0,+∞[) e u(P ) = g(ρ),risulta

∆u = ρ

(g′(ρ)ρ

)′+ n

g′(ρ)ρ

e quindi (essenzialmente) le (2.7) e (2.8) sono le uniche funzioni armonicheradiali.

L’indefinita derivabilita e immediata, poiche com’e noto (teorema di Gour-sat) ogni funzione olomorfa e di classe C∞.

ESERCIZIO 2.9. Mostrare che tutte le derivate di una funzione armo-nica sono armoniche.

Ricordiamo la proprieta di media per le funzioni olomorfe. Sia f olomorfain Ω; per ogni cerchio chiuso B(z0, r) ⊂ Ω, detta γ(r) la frontiera, risulta

f(z0) =1

2πr

∫γ(r)

f(z) ds .

Scrivendo f = u+ j v in forma algebrica, otteniamo

u(x0, y0) + j v(x0, y0) =1

2πr

∫γ(r)

[u(x, y) + j v(x, y)] ds

e la (2.4) si ottiene separando reale dall’immaginario. La proprieta di media

si mostra (con metodi di analisi reale) provando che la funzione r 7→ r1−nRFB u(P ) dσ



e costante (misFB e proporzionale a rn−1); la (2.3) segue quindi passando al limite perr → 0, per la continuita di u.

Anche per questa verifica, ci limitiamo a n = 2:

r−1

ZFB

u(P ) ds =

Z 2π

0u(r cosϑ, r sinϑ) dϑ

e quindi, derivando sotto il segno di inegrale e usando il teorema della divergenza

d

dr

„r−1

ZFB

u(P ) ds

«=

Z 2π

0(ux cosϑ+ uy sinϑ) dϑ

= r−1

ZFB

∂u

∂νds = r−1

ZB

∆u dP = 0 .

ESERCIZIO 2.10. Posto z = x + jy = ρ ejϑ, considerare per ρ < 1 lafunzione armonica

u(x, y) = log |1− z| = log(1− 2ρ cosϑ+ ρ2) = Re[log(1− z)] .Osservare che u(0, 0) = u(O) = 0. Dedurre dalla proprieta di media (2.4)l’uguaglianza

(2.9)∫ 2π

0

log(1− 2ρ cosϑ+ ρ2) dϑ = 0 , ∀ρ ∈ ]0, 1[ .

Osservazione 2.11. Come complemento alla (2.9), notiamo che risultaZ 2π

0log(1− 2ρ cosϑ+ ρ2) dϑ = 4π log ρ , ∀ρ ≥ 1 .

Invero, il caso ρ > 1 si riconduce al precedente:

log(1− 2ρ cosϑ+ ρ2) = 2 log ρ+ log(1− 2ρ−1 cosϑ+ ρ−2) .

Il caso ρ = 1 si deduce da (2.9) passando al limite per ρ → 1−, mediante il teorema diLebesgue della convergenza dominata, poiche

(2.10) | log(1− 2ρ cosϑ+ ρ2)| ≤ log 2 + | log(1− | cosϑ|)| ,∀ϑ ∈ [0, 2π], ∀ρ ∈ ]0, 1[, e la funzione a secondo membro e sommabile. La (2.10) si puoricavare osservando che risulta

1− | cosϑ|2

≤ 1− cos2 ϑ ≤ 1− 2ρ cosϑ+ ρ2 ≤ 2 + 2| cosϑ| ≤2

1− | cosϑ|.

Mediante la proprieta di media, si dimostra il seguente

TEOREMA 2.12 (di Liouville). Una funzione armonica in tutto lo spazioRn, che sia limitata superiormente o inferiormante, e costante.Dim. Ad esempio, supponiamo u ≥ 0 armonica in Rn e mostriamo che u e costante. SceltoP0 ∈ Rn arbitrariamente, per la proprieta di media abbiamo, ∀r > 0, (per comodita dinotazioni, cosideriamo il caso n = 2)

u(P0) =1

πr2

ZP0P≤r

u(P ) dP ≤1

πr2

ZOP≤r+OP0

u(P ) dP =π(r +OP0)2

πr2u(O) .

Passando al limite per r → +∞, troviamo u(P0) ≤ u(O). Scambiando il ruolo di P0 e O,otteniamo l’altra disuguaglianza u(O) ≤ u(P0) e quindi u(P0) = u(O). La tesi segue perl’arbitrarieta di P0.

ESERCIZIO 2.13. Sia u armonica in R2. Il teorema di Liouville assicurache valga l’implicazione u ∈ L∞(R2)⇒ u costante. Mostrare l’implicazione

u ∈ L1(R2) ⇒ u ≡ 0 .



Piu in generale, usando la disuguaglianza (di Jensen)∣∣∣∣ 1misB

∫B

u dP

∣∣∣∣p ≤ 1misB

∫B

|u|p dP ,

mostrare l’implicazione, per 1 ≤ p <∞,

u ∈ Lp(R2) ⇒ u ≡ 0 .

Il principio del massimo segue dalla proprieta di media. Ci limitiamo persemplicita ai punti di estremo assoluto: supponiamo P0 punto di massimoassoluto di u in Ω e mostriamo che la funzione e costante. Cominciamo mo-strando che u e costante su un qualsiasi cerchio chiuso B = B(P0, r) contenutoin Ω. Per la proprieta di media (2.5), abbiamo

u(P0) =1πr2

∫B

u(P ) dP

e quindi ∫B

[u(P0)− u(P )] dP = 0 .

L’integrando e non-negativo, quindi esso e identicamente nullo, cioe u ≡ u(P0)su B. Il ragionamento precedente mostra che l’insieme

E = P ∈ Ω : u(P ) = maxu

e aperto. Per la continuita di u, e aperto anche il complementare Ω − E equindi, essendo Ω connesso e E 6= ∅ poiche P0 ∈ E, risulta E = Ω, cioe u ecostante in Ω. Nel caso di un punto di minimo, si ragiona allo stesso modo.

L’altro enunciato segue poi da questo. Notiamo che per il teorema diWeierstrass, u e dotata di minimo e di massimo in D. Se uno di essi fosseassunto in un punto interno, u sarebbe costante (almeno se D e connesso)e il risultato sarebbe banale. Si mostra che l’ipotesi di connessione non enecessaria.

Osservazione 2.14. L’ipotesi di limitatezza di D e essenziale. Ad esem-pio, la funzione u(x, y) = ex sin y e armonica nella striscia D = R × [0, 2π],identicamente nulla sulla frontiera, ma

infDu = −∞ , sup

Du = +∞ .

Dal principio del massimo, segue subito un risultato di unicita per ilproblema (2.1) di Dirichlet relativo all’equazione di Poisson.

COROLLARIO 2.15. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poissonha al piu una soluzione.

Dim. Se u1 e u2 sono soluzioni, la differenza u = u1−u2 verifica ∆u = 0, cioe e armonica,

in D e u ≡ 0 su FD. Pertanto u ≡ 0 in D, cioe u1 ≡ u2.



Dell’esistenza ci occuperemo in seguito.Veniamo al problema di Neumann. Ricaviamo alcune identita integra-

li che vanno sotto il nome di formule di Green. Cominciamo con alcuneuguaglianze ovvie; se u ∈ C2(D) e v ∈ C1(D), risulta

∆u = div∇u , div(v∇u) = ∇u · ∇v + v∆u .

Applichiamo il teorema della divergenza al campo vettoriale v∇u:

(2.11)∫D

(∇u · ∇v + v∆u) dP =∫FD

v∂u

∂νdσ .

Questa e la prima formula di Green. Invertendo il ruolo di u e v (suppostaanch’essa di classe C2(D)), abbiamo pure∫

D

(∇u · ∇v + u∆v) dP =∫FD

u∂v

∂νdσ

e sottraendo

(2.12)∫D

(v∆u− u∆v) dP =∫FD

(v∂u

∂ν− u ∂v

∂ν

)dσ .

Questa e la seconda formula di Green. Consideriamo alcuni casi particolaridelle formule precedenti. Poniamo v ≡ 1 in (2.11):

(2.13)∫D

∆u dP =∫FD

∂u

∂νdσ .

Questa uguaglianza implica immediatamente la seguente condizione di com-patibilita per il problema di Neumann:

COROLLARIO 2.16. Siano f ∈ C(D) e g ∈ C(FD). Se il problema(2.2) ammette soluzione, vale l’uguaglianza

(2.14)∫D

f dP =∫FD

g dσ .

ESERCIZIO 2.17. Verificare che u(x, y) = 12 (x2 + y2) risolve nel cerchio

D di centro O e raggio 1 il problema di Neumann∆u = 2 in D∂u∂ν = 1 su FD

Osservare che vale la condizione di compatibilita (2.14).

Prendiamo ora v = u armonica in (2.11):

(2.15)∫D

|∇u|2 dP =∫FD

u∂u

∂νdσ .

Se inoltre ∂u∂ν = 0 su FD, risulta∫

D

|∇u|2 dP = 0



e quindi ∇u ≡ 0 in D. E chiaro che, se u e soluzione del problema di Neumann(2.2), lo e pure u + c per ogni costante c, essendo le condizioni del problemaimposte sulle derivate, dunque non c’e unicita di soluzione. Le considerazioniprecedenti forniscono subito un risultato di unicita a meno di una costante:

COROLLARIO 2.18. Due soluzioni del problema di Neumann (2.2)differiscono per una costante.

Dim. Ricordiamo che D e connesso. Se u1 e u2 risolvono entrambe il problema (2.2), la

differenza u = u1 − u2 e armonica in D e soddisfa ∂u∂ν = 0 su FD. Pertanto e costante.

2.2. Esistenza per il problema di Dirichlet per l’equazione diLaplace in un cerchio. Sia D il cerchio di centro l’origine O e raggio R.Consideriamo il problema di Dirichlet su D relativo all’equazione di Laplace:

(2.16)

∆u = 0 in D

u = g su γ(R) = FD

dove g continua su γ(R) = FD e una funzione assegnata. Costruiremo lasoluzione mediante il metodo di separazione delle variabili. Adoperiamo lecoordinate polari

x = ρ cosϑ , y = ρ sinϑe definiamo

U(ρ, ϑ) = u(ρ cosϑ, ρ sinϑ) .Con abuso di notazioni, confonderemo u e U , cioe considereremo u funzionedi ρ e ϑ. Vogliamo riscrivere il laplaciano ∆u = uxx + uyy in termini dellederivate di u rispetto a ρ e ϑ; evidentemente

xρ = cosϑ , yρ = sinϑ , xϑ = −ρ sinϑ , yϑ = ρ cosϑ .

Ne ricaviamo

uρ = uxxρ + uyyρ = ux cosϑ+ uy sinϑ ,

uρρ = (uxx cosϑ+ uxy sinϑ) cosϑ+ (uyx cosϑ+ uyy sinϑ) sinϑ

= uxx cos2 ϑ+ 2uxy sinϑ cosϑ+ uyy sin2 ϑ ,

uϑ = −uxρ sinϑ+ uyρ cosϑ ,

uϑϑ = −[−uxxρ sinϑ+ uxyρ cosϑ]ρ sinϑ− uxρ cosϑ

+ [−uyxρ sinϑ+ uyyρ cosϑ]ρ cosϑ− uyρ sinϑ

= uxxρ2 sin2 ϑ− 2uxyρ2 cosϑ sinϑ+ uyyρ

2 cos2 ϑ

− uxρ cosϑ− uyρ sinϑ .

Pertanto

(2.17)1ρ2uϑϑ + uρρ +

1ρuρ = uxx + uyy .



Osservazione 2.19. Nei casi u = ρα e piu in generale u = g(ρ), conside-rati nell’esempio 2.7 e nell’esercizio 2.8, ritroviamo (in dimensione n = 2) peril laplaciano le espressioni indicate.

L’equazione di Laplace si riscrive dunque come segue

(2.18) uρρ +1ρuρ +

1ρ2uϑϑ = 0 , ρ < R , 0 ≤ ϑ ≤ 2π .

Cerchiamo soluzioni del tipo

(2.19) u(ρ, ϑ) = v(ρ)w(ϑ) .

Una soluzione di questo tipo sara detta soluzione elementare. L’equazionediviene

v′′(ρ)w(ϑ) +1ρv′(ρ)w(ϑ) +

1ρ2v(ρ)w′′(ϑ) = 0 ,

ovvero

(2.20)ρ2 v′′(ρ) + ρ v′(ρ)

v(ρ)= −w

′′(ϑ)w(ϑ)

.

In questa uguaglianza, il primo membro dipende esclusivamente da ρ, il se-condo membro dipende da ϑ. L’uguaglianza e possibile solo se i due membrisono uguali ad una stessa costante, che indichiamo con λ. Pertanto

(2.21)

−w

′′(ϑ)w(ϑ)

= λ

ρ2 v′′(ρ) + ρ v′(ρ)v(ρ)

= λ

La prima equazione si riscrive w′′ + λw = 0. Cerchiamo soluzioni non iden-ticamente nulle periodiche di periodo 2π (cfr. esercizio II.4.6). Per λ < 0 l’e-quazione non ne possiede. Per λ = 0, le soluzioni periodiche sono le costanti.Per λ > 0, l’integrale generale e

w = a cos√λϑ+ b sin

√λϑ

ed e periodico di periodo 2π se e solo se√λ e intero. Dunque λ = n2, con

n ∈ N0. In corrispondenza di tali valori di λ, troviamo le soluzioni

w = a cosnϑ+ b sinnϑ .

Consideriamo ora la seconda equazione del sistema (2.21) per i valori di λtrovati:

(2.22) ρ2 v′′ + ρ v′ − n2 v = 0 .

Si tratta di un’equazione di Eulero. Per n = 0, l’integrale generale e

v = a+ b log ρ .



Per n > 0, ponendo v = ρα nell’equazione, scriviamo l’equazione caratteristica

α (α− 1) + α− n2 = 0 ,

che ha le soluzioni α = ∓n. Pertanto l’integrale generale e

v = a ρn + b ρ−n .

Dunque, v e continua in 0 se e solo se b = 0. In definitiva, troviamo le soluzionielementari

(2.23) un(ρ, ϑ) = ρn (an cosnϑ+ bn sinnϑ) .

Notiamo che

ρn cosnϑ = Re zn = Re(x+ jy)n , ρn sinnϑ = Im zn = Im(x+ jy)n .

Dobbiamo soddisfare la condizione al contorno, che si riscrive

u(R,ϑ) = g(ϑ) , 0 ≤ ϑ ≤ 2π .

(Con abuso di notazioni, consideriamo g dipendente da ϑ.) La condizione alcontorno e verificata da una soluzione elementare solo per dati g particolari.Per g continua generica, possiamo pensare di soddisfarla con una somma finitao una serie di soluzioni elementari

(2.24) u(ρ, ϑ) =+∞∑n=0

ρn (an cosnϑ+ bn sinnϑ) .

Se la serie converge in maniera opportuna, si puo dimostrare che la somma earmonica per ρ < R e continua per ρ ≤ R. La condizione al contorno diventa

(2.25) g(ϑ) =+∞∑n=0

Rn (an cosnϑ+ bn sinnϑ) .

Tale uguaglianza e possibile se e solo se la serie a secondo membro e la seriedi Fourier di g, cioe

(2.26)

a0 =1

2π

∫ 2π

0

g(t) dt ,

Rnan =1π

∫ 2π

0

g(t) cosnt dt , Rnbn =1π

∫ 2π

0

g(t) sinnt dt ,

per ogni n ∈ N. Sotto l’ipotesi che g sia continua, e possibile giustificareil procedimento esposto e mostrare che esso fornisce la soluzione (unica) delproblema. Notiamo che, inserendo nella (2.24) i coefficienti dati dalle (2.26),essendo

cosnt cosnϑ+ sinnt sinnϑ = cosn(ϑ− t) ,



troviamo

(2.27) u(ρ, ϑ) = a0 +1π

+∞∑n=1

( ρR

)n∫ 2π

0

g(t) cosn(ϑ− t) dt .

E possibile invertire sommatoria e integrale e scrivere

(2.28) u(ρ, ϑ) =1

2π

∫ 2π

0

g(t)

[1 + 2

+∞∑n=1

( ρR

)ncosn(ϑ− t)

]dt .

In effetti, la serie in (2.28) e totalmente convergente al variare di t ∈ [0, 2π],∀ϑ, ∀ρ < R fissato, e quindi puo essere integrata ternine a termine.

Calcoliamo la somma della serie nell’integrando in (2.28). A tal fine,osserviamo che il termine generale e la parte reale di

((ρ/R) ej(ϑ−t)

)n. Lasomma cercata e dunque la parte reale della somma della serie geometrica diragione (ρ/R) ej(ϑ−t), privata del primo termine:

(2.29)

+∞∑n=1

( ρR

ej(ϑ−t))n

=R

R− ρ ej(ϑ−t)− 1 =

ρ ej(ϑ−t)

R− ρ ej(ϑ−t)

=ρ ej(ϑ−t)

[R− ρ e−j(ϑ−t)

]|R− ρ ej(ϑ−t)|2

=Rρ ej(ϑ−t) − ρ2

[R− ρ cos(ϑ− t)]2 + ρ2 sin2(ϑ− t)Uguagliando la parte reale di primo e secondo membro, abbiamo

(2.30)+∞∑n=1

( ρR

)ncosn(ϑ− t) =

Rρ cos(ϑ− t)− ρ2

R2 − 2Rρ cos(ϑ− t) + ρ2,

quindi, da (2.28) ricaviamo

(2.31) u(ρ, ϑ) =1

2π

∫ 2π

0

g(t)R2 − ρ2

R2 − 2Rρ cos(ϑ− t) + ρ2dt

L’integrale a secondo membro della (2.31) si chiama integrale di Poisson.Detti P ∈ D il punto di coordinate polari (ρ, ϑ) e Q ∈ γ(R) = FD il puntodi coordinate polari (R, t), risulta OQ

2= R2, OP

2= ρ2,

PQ2

= |R ejt − ρ ejϑ|2 = |R− ρ ej(ϑ−t)|2 = R2 − 2Rρ cos(ϑ− t) + ρ2 ,

quindi la (2.31) si riscrive

(2.32) u(P ) =1

2πR

∫γ(R)

R2 −OP 2

PQ2 g(Q) ds(Q) .



La funzione

(2.33) u(P ) =

R2 −OP 2

2πR

∫γ

g(Q)

PQ2 ds(Q) , P ∈ D

g(P ) , P ∈ γ = FD

verifica u ∈ C2(D) ∩ C0(D) e ∆u ≡ 0 in D, cioe e soluzione del problema.La funzione

(2.34) K(P,Q) =1

2πRR2 −OP 2

PQ2 , P ∈ D , Q ∈ FD ,

si chiama nucleo di Poisson.

Osservazione 2.20. Ponendo P = O nella (2.32), troviamo

u(O) =1

2πR

∫γ(R)

u(Q) ds ,

che e la proprieta di media.Per quanto visto, vale esistenza e unicita per il problema di Dirichlet

relativo all’equazione di Laplace su un cerchio, con dato al bordo continuo.Questo consente di mostrare la (b) dell’osservazione 2.3. Sia u ∈ C0(Ω) unafunzione con la proprieta di media. Scelto un cerchio B tale che B ⊂ Ω, sia vla soluzione del problema

∆v = 0 in B

v = u su FB

Dunque u−v ha la proprieta di media, quindi verifica il principio del massimoe pertanto u − v ≡ 0 in B. In definitiva, u = v e armonica in B; datal’arbitrarieta di questo, u e armonica in Ω.

Si puo allora dimostrare il seguente

TEOREMA 2.21. Se la successione (un)n di funzioni armoniche in un aperto Ωconverge uniformemente sui compatti, il limite e anch’esso armonico.

In effetti, valendo la proprieta di media per tutte le un, che sono armoniche, taleproprieta vale anche per il limite (per la convergenza uniforme, si puo passare al limitesotto il segno di integrale), che quindi e una funzione armonica.

Il principio del massimo implica anche la dipendenza continua della soluzione dal datoal bordo.

COROLLARIO 2.22. Siano un ∈ C2(D) ∩ C0(D), n ∈ N, armoniche in D. Se (un)converge uniformemente su FD, la successione converge uniformemente in D e il limite e

armonico in D.

Osservazione 2.23. Possiamo usare il metodo di separazione delle va-riabili anche per risolvere l’equazione

(2.35) ∆u+ k2 u = 0 , k > 0 ,



in un cerchio. In tal modo, in luogo della equazione (2.22), giungiamo all’e-quazione di Bessel. Notiamo pero che per il problema di Dirichlet relativo alla(2.35) non c’e unicita di soluzione, poiche non vale il principio del massimo.

ESERCIZIO 2.24. Verificare quanto segue. Per ogni n ∈ Z, le funzioni

cosnϑJn(kρ) , sinnϑJn(kρ) ,

(ρ e ϑ sono come al solito le coordinate polari, Jn sono le funzioni di Bessel,k > 0) si scrivono come

Re[(x+ jy)|n|] f(x2 + y2) , Im[(x+ jy)|n|] f(x2 + y2) ,

con f funzione intera, quindi sono di classe C∞(R2). Inoltre esse soddisfanol’equazione (2.35). Se k e uno zero di Jn, le due funzioni sono identicamentenulle sulla circonferenza ρ = 1, quindi (escluso il caso n = 0 per la seconda)sono soluzioni non banali sul cerchio unitario D = (x, y) : x2 + y2 ≤ 1 delproblema

∆u+ k2 u = 0 in D

u = 0 su FD

ESERCIZIO 2.25. Sia D il cerchio chiuso di centro O e raggio 1. Risol-vere il problema di Dirichlet

∆u = 0 in D

u(x, y) = x2 su FD

La possibilita di risolvere il problema di Dirichlet per l’equazione di La-place nei cerchi permette di dimostrare il seguente principio di riflessione diSchwarz, che enunciamo in un caso particolare. Siano

D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ r2

il cerchio di centro O e raggio r, D+ il semicerchio formato dai punti di ascissax ≥ 0 e Γ il diametro formato dai punti di ascissa x = 0.

PROPOSIZIONE 2.26. Sia u continua su D+, armonica nei punti in-terni e nulla su Γ. La funzione U ottenuta prolungando u a D per riflessioneattraverso Γ, cioe ponendo

(2.36) U(x, y) =

u(x, y) , se x ≥ 0 ,−u(−x, y) , se x < 0 ,

e continua in D e armonica nei punti interni.

Dim. Consideriamo la seguente funzione su FD

g(x, y) =

(u(x, y) , se x ≥ 0 ,

−u(−x, y) , se x < 0 ,



Evidentemente g risulta continua, quindi possiamo risolvere il problema di Dirichlet relativoall’equazione di Laplace su D con dato al bordo g; detta U la soluzione, e subito visto chepure U ′(x, y) = −U(−x, y) risolve lo stesso problema, quindi per l’unicita risulta

U(x, y) = −U(−x, y) .

In particolare, U e nulla su Γ. Pertanto u e U risolvono lo stesso problema di Dirichletsu D+ e, usando nuovamente l’unicita, esse coincidono. Ne segue chiaramente che U eesattamente la funzione definita in (2.36), la quale ha dunque le proprieta richieste.

ESERCIZIO 2.27. Il prolungamento effettuato in (2.36) e dispari rispet-to a x. Non e armonico, in generale, il prolungamento pari

(2.37) U(x, y) = u(|x|, y) .

Ad esempio, |x| non e armonica, pur essendolo la restrizione a x ≥ 0. Dove ladimostrazione della proposizione 2.26 fallisce con (2.37) invece di (2.36)?

Il risultato della proposizione 2.26 vale in maggiore generalita. Ad esem-pio, mandando il raggio del cerchio a +∞, otteniamo una versione del principiodi riflessione per funzioni definite in un semipiano.

COROLLARIO 2.28. Sia u = u(x, y) continua nel semipiano x ≥ 0,armonica per x > 0 e nulla per x = 0. In tali ipotesi, la funzione

U(x, y) =

u(x, y) , se x ≥ 0 ,−u(−x, y) , se x < 0 ,

e armonica in tutto il piano.

Possiamo ottenere la seguente generalizzazione del teorema di Liouville.

COROLLARIO 2.29. Sia u = u(x, y) continua nel semipiano x ≥ 0,armonica per x > 0 e nulla per x = 0. Se u e limitata, essa e identicamentenulla.

Dim. Detta U la funzione del corollario 2.28, essa e armonica nell’intero piano e limitata,quindi e nulla per il teorema 2.12.

L’ipotesi di limitatezza di u e essenziale: ad esempio, la funzione u(x, y) =x verifica tutte le ipotesi del corollario 2.29 tranne questa, essendo solo limitatainferiormente.

E possibile ottenere un risultato di unicita per il problema di Dirichletrelativo all’equazione di Poisson in un semipiano (che e non limitato, cfr.corollario 2.15).

COROLLARIO 2.30. Siano u e v sono funzioni limitate, continue nelsemipiano x ≥ 0, di classe C2 e verificanti ∆u = ∆v per x > 0. Se essecoincidono per x = 0, cioe risulta u(0, y) = v(0, y), ∀y ∈ R, esse coincidonoin tutto il semipiano.

Dim. E sufficiente allora applicare il corollario 2.29 alla differenza u− v.



2.3. Esistenza per il problema di Neumann per l’equazione diLaplace in un cerchio. Sia D il cerchio di centro l’origine O e raggio R.Consideriamo il problema di Neumann su D relativo all’equazione di Laplace:

(2.38)

∆u = 0 in D∂u∂ν = g su γ(R) = FD

dove g continua su γ(R) = FD e una funzione assegnata, verificante lacondizione di compatibilita ∫

γ(R)

g ds = 0 .

Procedendo come prima per risolvere l’equazione di Laplace, giungiamo alla(2.24). Cerchiamo di soddisfare la condizione al contorno:

(2.39) g(ϑ) =∂u

∂ν= uρ =

+∞∑n=1

nRn−1 (an cosnϑ+ bn sinnϑ) ,

quindi la serie rappresenta lo sviluppo trigonometrico di Fourier di g (notiamoche il termine costante e nullo, in accordo con la condizione di compatibilita),vale a dire, ∀n ∈ N, risulta(2.40)

nRn−1an =1π

∫ 2π

0

g(t) cosnt dt , nRn−1bn =1π

∫ 2π

0

g(t) sinnt dt .

Inserendo nella (2.24), troviamo

(2.41) u(ρ, ϑ) = a0 +R

π

∫ 2π

0

g(t)

[+∞∑n=1

1n

( ρR

)ncosn(ϑ− t)

]dt ,

dove a0 e una costante arbitraria. Calcoliamo la somma della serie nell’inte-grando. Il termine generale e la parte reale di zn/n, dove

z =ρ

Rej(ϑ−t) ,

quindi

(2.42)+∞∑n=1

1n

( ρR

)ncosn(ϑ− t) = Re

+∞∑n=1

zn

n.

Essendo per |z| < 1

11− z

=+∞∑n=1

zn−1 ,

integrando otteniamo

−Log(1− z) =+∞∑n=1

zn

n.



Dunque

(2.43)

+∞∑n=1

1n

( ρR

)ncosn(ϑ− t) = − log |1− z|

= −12

log[1− 2

ρ

Rcos(ϑ− t) +

ρ2

R2

]

= −12

log[R2 − 2Rρ cos(ϑ− t) + ρ2

]+ logR .

Pertanto, definendo come prima P ∈ D e Q ∈ γ(R) = FD, risulta

(2.44) u(P ) = costante− 1π

∫γ(R)

g(Q) logPQ ds(Q) .

La (2.44) prende il nome di formula del Dini.

2.4. Il problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson. Consi-deriamo il problema di Dirichlet in un dominio regolare D

(2.45)

∆u = f in D

u = g su FD

dove f continua inD e g continua su FD sono funzioni assegnate. Supponiamoche il problema di Dirichlet su D relativo all’equazione di Laplace sia risolubileper ogni dato al bordo continuo. E allora sufficiente risolvere il problema perl’equazione di Poisson con dato nullo al bordo:

(2.46)

∆v = f in D

v = 0 su FD

In effetti, se w risolve

(2.47)

∆w = 0 in D

w = g su FD

la funzione u = v + w e soluzione di (2.45).Ricaviamo una identita integrale che va sotto il nome di formula di rap-

presentazione di Green. La formula e analoga alla formula di Cauchy per lefunzioni analitiche. Fissiamo Q ∈ D e consideriamo la funzione

H(P,Q) =1

2πlogPQ .

Ricordiamo che P 7→ H(P,Q) e armonica in R2 − Q, cfr. (2.8). Non pos-siamo usare la seconda formula di Green (2.12) con v(P ) = H(P,Q) per lasingolarita P = Q. Per superare l’ostacolo, scegliamo ρ > 0 piccolo in modoche il cerchio chiuso di centro Q e raggio ρ sia interno a D e poniamo

Dρ = P ∈ D : PQ ≥ ρ .



Su Dρ possiamo usare la formula di Green. Essendo FDρ = FD ∪ γρ, doveγρ e la circonferenza di centro Q e raggio ρ, otteniamo

(2.48)∫Dρ

H∆u dP =∫FD

(H

∂u

∂ν−u ∂H

∂ν

)ds+

∫γρ

(H

∂u

∂ν−u ∂H

∂ν

)ds .

Vogliamo passare al limite per ρ→ 0 nella (2.48). E chiaro che

(2.49)∫Dρ

H∆u dPρ→0

−−−−−−→∫D

H∆u dP ,

poiche l’integrando e sommabile.Su γρ e H(P,Q) = 1

2π log ρ, quindi

(2.50)

∣∣∣∣∣∫γρ

H∂u

∂νds

∣∣∣∣∣ ≤ 12π| log ρ| sup

BR

|∇u| 2πρρ→0

−−−−−−→ 0 .

(R e un qualsiasi numero fissato tale che il cerchio chiuso BR = B(Q,R) siacontenuto internamente a D.) Inoltre

(2.51)∂H

∂ν= − ∂H

∂ρ= − 1

2πρ.

(Il segno dipende dal fatto che ν e il versore normale esterno a Dρ e quindiinterno al cerchio B(Q, ρ).) Pertanto

(2.52) −∫γρ

u∂H

∂νds =

12πρ

∫γρ

u dsρ→0

−−−−−−→ u(Q)

per la continuita di u.Mettendo insieme (2.48), (2.49), (2.50) e (2.52), abbiamo dunque la for-

mula di rappresentazione

(2.53) u(Q) =∫FD

(u∂H

∂ν−H ∂u

∂ν

)ds+

∫D

H∆u dP , Q ∈ D ,

che lega i valori di u assunti in punti interni a D a ∆u su D e u e ∂u∂ν su FD.

Ad esempio, se u ∈ C20 (R2) ha supporto compatto possiamo applicare la

formula di rappresentazione con D cerchio di raggio abbastanza grande dacontenere internamente suppu, quindi∫

FD

(u∂H

∂ν−H ∂u

∂ν

)ds = 0

e dunque

(2.54) u(Q) =∫

R2H∆u dP .



La funzione H(P,Q) = 12π logPQ si dice soluzione fondamentale dell’e-

quazione di Laplace, poiche risolve

∆H(P,Q) = δ(P −Q) in D ′(R2) .

Infatti, se u ∈ D(R2) e una funzione test, il laplaciano ∆ si “scarica” su diessa:

〈∆H,u〉 = 〈H,∆u〉 =∫

R2H∆u dP = u(Q) = 〈δ(P −Q), u(P )〉

per la (2.54).Per f ∈ L1(D), l’espressione

(2.55) w(Q) = N f =∫D

H(P,Q) f(P ) dP = f ∗H(·, O)

(dove nell’ultimo membro f si intende prolungata a 0 fuori di D) si chiamapotenziale newtoniano in R2 (si generalizza a piu dimensioni) o potenzialelogaritmico con densita f .

Nella formula di rappresentazione (2.53) sono richiesti troppi dati sulla u.Ad esempio, se u e armonica, cioe ∆u = 0, la formula si riduce a

(2.56) u(Q) =∫FD

(u∂H

∂ν−H ∂u

∂ν

)ds ,

che rappresenta u mediante u|FD e ∂u∂ν su FD. D’altra parte, e noto che

basta fissare u|FD per determinare univocamente la funzione armonica u inD (principio del massimo). Vogliamo liberarci del termine contenente ∂u

∂ν .Immaginiamo di poter trovare h ∈ C2(D) armonica in D, ∆h ≡ 0. Per laseconda formula di Green (2.12)∫

D

h∆u dP =∫FD

(h∂u

∂ν−u ∂h

∂ν

)ds

ovvero

(2.57) 0 =∫FD

(u∂h

∂ν−h ∂u

∂ν

)ds+

∫D

h∆u dP .

Sottraendo dalla (2.53) membro a membro e ponendo G(P,Q) = H(P,Q) −h(P ), otteniamo

(2.58) u(Q) =∫FD

(u∂G

∂ν−G ∂u

∂ν

)ds+

∫D

G∆u dP , Q ∈ D ,

che e una formula di rappresentazione piu generale della (2.53). Se possiamofare in modo che G(P,Q) = 0 per P ∈ FD, cioe h(P ) = H(P,Q) con P ∈ FD,vale a dire che h risolve il problema di Dirichlet

(2.59)

∆h = 0 in D

h(P ) = H(P,Q) per P ∈ FD



la formula di rappresentazione si riduce a

(2.60) u(Q) =∫FD

u∂G

∂νds+

∫D

G∆u dP , Q ∈ D .

In particolare, se u e armonica,

(2.61) u(Q) =∫FD

u∂G

∂νds , Q ∈ D ,

oppure, se u|FD ≡ 0,

(2.62) u(Q) =∫D

G∆u dP , Q ∈ D .

G(P,Q) si dice funzione di Green per il problema di Dirichlet relativo all’o-peratore di Laplace.

Osservazione 2.31. Sia u una funzione armonica in un aperto Ω. Sce-gliamo come dominio D nella (2.61) un cerchio chiuso contenuto in Ω, D =B(P0, R) ⊂ Ω; scegliamo Q = P0:

H(P,Q) = H(P, P0) =1

2πlogPP0 =

12π

log ρ

e su FD

H =1

2πlogR costante.

Abbiamo quindi h = 12π logR e

G(P, P0) = H(P, P0)− h =1

2πlog

ρ

R.

Pertanto

u(P0) =∫γ(R)

u(P )∂G

∂νds .

Inoltre su γ(R) (cioe ρ = R)

∂G

∂ν=∂

∂ρ

12π

log ρ =1

2πρ=

12πR

.

Pertanto

u(P0) =1

2πR

∫γ(R)

u(P ) ds

e ritroviamo la proprieta di media delle funzioni armoniche.

Consideriamo dunque il problema di Dirichlet con dato nullo al bordo

(2.63)

∆u = f in D

u = 0 su FD



Se u e soluzione, conoscendo la funzione di Green, possiamo rappresentare umediante la formula (2.62)

(2.64) u(Q) =∫D

G(P,Q) f(P ) dP , Q ∈ D .

Tale formula e stata ricavata supponendo che u sia soluzione, mentre vo-gliamo affrontare il problema dell’esistenza della soluzione; non e chiaro sela formula permette di trovare effettivamente una soluzione. Per risolvereil problema di Dirichlet, possiamo pensare di procedere mediante l’uso delpotenziale newtoniano, per trovare w = N f ∈ C0(D) ∩ C2(D) verificante∆w = f . Successivamente, troviamo v ∈ C0(D) ∩ C2(D) tale che

(2.65)

∆v = 0 in D

v = w su FD

(ricordiamo che per ipotesi possiamo risolvere il problema di Dirichlet relativoall’equazione di Laplace, per ogni dato al bordo continuo). Allora u = w−v esoluzione del problema iniziale (2.63). In generale, pero, f continua in D none sufficiente per assicurare N f ∈ C2(D). Mettiamo in luce alcune proprietadel potenziale.

PROPOSIZIONE 2.32.• Se f e limitata in D, risulta N f ∈ C1(R2).• Se f e limitata e localmente holderiana in D, risulta w = N f ∈C2(D) e ∆w = f in D.

Una funzione f e localmente holderiana in un aperto Ω, e si scrive f ∈C0,α(Ω), se esiste α ∈ ]0, 1] con la seguente proprieta: per ogni K compattocontenuto in Ω, esiste C = C(K) > 0 costante tale che

|f(P )− f(Q)| ≤ C PQα , ∀P , Q ∈ K .

Per α = 1 la funzione e lipschitziana. E chiaro che, se 0 < α < β ≤ 1, risultaC0,α(Ω) ⊃ C0,β(Ω) e C0,1(Ω) ⊃ C1(Ω).

3. L’equazione del calore

L’equazione del calore e

(3.1)∂u

∂t= C

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

Si tratta di un’equazione di tipo parabolico. Essa regge il fenomeno dellaconduzione del calore attraverso un mezzo isotropo omogeneo, in assenza disorgente; il punto (x, y, z) varia in un dominio dello spazio R3, mentre t ≥ 0 euna variabile temporale. La funzione incognita u = u(x, y, z, t) rappresenta latemperatura nel punto (x, y, z) all’istante t. C > 0 e una costante che dipendedal mezzo.


3. L’EQUAZIONE DEL CALORE 59

3.1. Problema misto nella semistriscia. Noi considereremo una sem-plificazione unidimensionale della (3.1) di un filo sottile disposto lungo l’assex. Le altre due dimensioni si immaginano trascurabili. L’equazione diviene

∂u

∂t= C

∂2u

∂x2.

Per semplicita, supponiamo che il filo occupi il segmento [0, π] e sia C = 1. Ilcaso generale si tratta analogamente, o si riconduce al caso in esame con uncambiamento di variabili. Dunque l’equazione e

(3.2)∂u

∂t=∂2u

∂x2.

ESERCIZIO 3.1. Mostrare che, se u = u(x, t) verifica (3.2), la funzionev(x, t) = u(x,Ct) verifica

∂v

∂t= C

∂2v

∂x2.

Dal punto di vista fisico, il problema e quello di studiare l’evoluzione dellatemperatura. La temperatura degli estremi e tenuta costante, pari a 0; questosignifica aggiungere alla (3.2) le condizioni al contorno

u(0, t) = u(π, t) = 0 , ∀t ≥ 0 .

E pure assegnata la temperatura iniziale (all’istante t = 0):

u(x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ [0, π] .

Dunque, studiamo il seguente problema misto di Cauchy-Dirichlet

(3.3)

∂u

∂t=∂2u

∂x2

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ≥ 0u(x, 0) = u0(x) , 0 ≤ x ≤ π

nella semistriscia [0, π]× [0,+∞[.

πu = u0

u = 0u = 0

t

x



Occupiamoci dell’unicita della soluzione. Se u1 e u2 sono soluzioni di(3.3), la differenza u = u1 − u2 soddisfa

(3.4)

ut = uxx

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ≥ 0u(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ π

Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per u e integriamo su [0, π]rispetto a x; poiche∫ π

0

uuxx dx =[uux

]x=π

x=0−∫ π

0

(ux)2 dx = −∫ π

0

(ux)2 dx

e ∫ π

0

uut dx =12

ddt

∫ π

0

u2 dx ,

otteniamo

(3.5)ddt

∫ π

0

u2 dx = −2∫ π

0

(ux)2 dx ≤ 0 .

La funzionev(t) =

∫ π

0

u(x, t)2 dx , t ≥ 0 ,

verifica dunque v ≥ 0, v′ ≤ 0,

v(0) =∫ π

0

u(x, 0)2 dx = 0

e quindi v ≡ 0, vale a dire, u(x, t) = 0, ∀x, ∀t, ovvero u1 ≡ u2.Per mostrare l’esistenza della soluzione, usiamo il metodo di separazione

delle variabili, che consiste nel cercare u prodotto di funzioni di una variabile:

u(x, t) = X(x)T (t) .

L’equazione si scriveX(x)T ′(t) = X ′′(x)T (t)

e quindi, separando le variabili

(3.6)X ′′(x)X(x)

=T ′(t)T (t)

.

Poiche il primo membro della (3.6) dipende solo da x, mentre il secondodipende solo da t, l’uguaglianza sussiste solo se entrambi i membri sono ugualiad una stessa costante di separazione, che indichiamo con λ. Arriviamo cosıal sistema

(3.7)

X ′′(x)X(x)

= λ

T ′(t)T (t)

= λ



Le condizioni al contorno u(0, t) = u(π, t) = 0, ∀t ≥ 0, divengono X(0) =X(π) = 0 e quindi X risolve il seguente problema di Sturm-Liouville

(3.8)X ′′ − λX = 0X(0) = X(π) = 0

considerato nell’esempio II.4.1. E noto che gli autovalori sono negativi deltipo λ = −n2, n ∈ N, cui corrispondono le autofunzioni

Xn(x) = b sinnx ,

con b costante arbitraria.Per λ = −n2, la seconda equazione di (3.7) diviene

T ′ = −n2 T ,

il cui integrale generale eTn(t) = c e−n

2 t .

Dunque troviamo le soluzioni elementari (n ∈ N)

(3.9) un(x, t) = b e−n2 t sinnx .

Resta da soddisfare la condizione iniziale

u(x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ [0, π] .

Con una soluzione elementare, questo sara possibile solo in casi particolari.Procediamo per sovrapposizione delle soluzioni elementari, cioe cerchiamo udel tipo

(3.10) u(x, t) =+∞∑n=1

bn e−n2 t sinnx .

(Supponendo che la serie converga e che sia possibile derivarla termine a termi-ne due volte rispetto a x e una rispetto a t, u e ancora soluzione dell’equazionein (3.3).) La condizione iniziale diviene

(3.11) u0(x) =+∞∑n=1

bn sinnx ,

quindi a secondo membro compare uno sviluppo in serie trigonometrica di u0.Possiamo prolungare u0 a [−π, π] come funzione dispari e, successivamente, aR come funzione periodica di periodo 2π. In questo caso, la serie di Fourierdi u0 e formata da soli seni. Dunque, vale la (3.11) con

(3.12) bn =1π

∫ π

−πu0(x) sinnx dx =

2π

∫ π

0

u0(x) sinnx dx .

Poiche (bn) e limitata, la serie puo essere derivata termine a termine rispettoa t in ]0,+∞[, per x ∈ [0, π] fissato, e rispetto a x ∈ [0, π], per t > 0 fissato.



ESEMPIO 3.2. Consideriamo il problema (3.4) con u0(x) = π x − x2.Risulta

(3.13) bn =

8

π n3, per n dispari

0 , per n pari

Scrivendo n ∈ N dispari come n = 2k − 1, con k ∈ N, la (3.10) fornisce lasoluzione

u(x, t) =8π

+∞∑k=1

1(2k − 1)3

e−(2k−1)2 t sin(2k − 1)x .

Osservazione 3.3. E facile ricondurre al problema (3.3) altri piu generalicon un cambiamento di funzione incognita. Ad esempio, v soddisfa il problema

(3.14)

vt = vxx

v(0, t) = α , v(π, t) = β , t ≥ 0v(x, 0) = v0(x) , 0 ≤ x ≤ π

dove α, β ∈ R, se e solo se

u(x, t) = v(x, t)−(α+

β − απ

x

)soddisfa (3.3), con u0 = v0 − [α+ (β − α)x/π].

Ancora, w soddisfa

(3.15)

wt = wxx + αw

w(0, t) = w(π, t) = 0 , t ≥ 0w(x, 0) = u0(x) , 0 ≤ x ≤ π

se e solo seu(x, t) = e−αtw(x, t)

soddisfa (3.3).

3.1.1. L’equazione non omogenea. Studiamo il seguente problema mistodi Cauchy-Dirichlet nella semistriscia, relativo all’equazione non omogenea

(3.16)

∂u

∂t=∂2u

∂x2+f

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ≥ 0u(x, 0) = u0(x) , 0 ≤ x ≤ π

dove f = f(x, t) e una funzione assegnata. Modifichiamo il ragionamentoprecedente. Sviluppiamo in serie di seni oltre al dato iniziale u0 come in



(3.11)-(3.12), anche il termine noto f :

(3.17) f(x, t) =+∞∑n=1

fn(t) sinnx ,

con

(3.18) fn(t) =2π

∫ π

0

f(x, t) sinnx dx ,

e consideriamo, ∀n ∈ N, i problemi

(3.19)

∂un∂t

=∂2un∂x2

+fn(t) sinnx

un(0, t) = un(π, t) = 0 , t ≥ 0un(x, 0) = bn sinnx , 0 ≤ x ≤ π

La funzione

(3.20) un(x, t) = Tn(t) sinnx

risolve (3.19) se e solo se Tn soddisfa

(3.21)

T ′n(t) = −n2 Tn(t) + fn(t)Tn(0) = bn

Dunque

Tn(t) = bn e−n2t +

∫ t

0

en2(τ−t)fn(τ) dτ

e troviamo le soluzioni elementari

un(x, t) = bn e−n2t sinnx+ sinnx

∫ t

0

en2(τ−t)fn(τ) dτ .

La soluzione del problema (3.16) si ottiene allora mediante sovrapposizionedelle soluzioni elementari:

(3.22)u(x, t) =

+∞∑n=1

un(x, t) =+∞∑n=1

bn e−n2t sinnx

++∞∑n=1

sinnx

∫ t

0

en2(τ−t)fn(τ) dτ

.

ESEMPIO 3.4. Risolviamo il problema

(3.23)

∂u

∂t=∂2u

∂x2+ sin 3x

u(0, t) = u(π, t) = 0 , t ≥ 0u(x, 0) = sinx , 0 ≤ x ≤ π



E chiaro che b1 = 1, bn = 0 per n 6= 1, f3 = 1 e fn = 0 per n 6= 3, quindi

T1(t) = e−t , T3(t) =19

(1− e−9t)

eu(x, t) = e−t sinx+

19

(1− e−9t) sin 3x .

3.2. Il problema di Cauchy nel semipiano. Immaginiamo una sbar-ra illimitata, che occupa interamente l’asse x, e descriviamo come evolve latemperatura quando e assegnata in ogni punto all’istante iniziale. Dunqueconsideriamo il seguente problema di Cauchy

(3.24)

∂u

∂t=∂2u

∂x2, ∀x ∈ R , ∀t ≥ 0

u(x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ R

nel semipiano R× [0,+∞[.

u = u0

t

x

Supponiamo u(·, t), ux(·, t) e uxx(·, t) sommabili su R, ∀t ≥ 0. Inoltre,per ogni T > 0, esista f = fT (x) sommabile su R tale che

|ut(x, t)| ≤ f(x) , ∀x ∈ R , ∀t ∈ [0, T ] .

Quest’ultima ipotesi permettera di derivare sotto il segno di integrale la fun-zione

t 7→∫ +∞

−∞u(x, t) dx

e altre espressioni simili.L’unicita puo essere mostrata in modo analogo al caso della semistriscia,

nel paragrafo 3.1. Invero, basta mostrare che, se u risolve il problema (3.24)con u0 ≡ 0, risulta u ≡ 0. A tale scopo, notiamo che risulta

(3.25) limx→∓∞

u(·, t) = 0 = limx→∓∞

ux(·, t) ,

quindi u(·, t) e limitata, con

supx∈R|u(x, t)| ≤

∫ +∞

−∞|ux(ξ, t)| dξ .



Ne segue che u(·, t) ∈ L2(R) e possiamo considerare la funzione

v(t) =∫ +∞

−∞u(x, t)2 dx , t ≥ 0 .

Tale funzione e derivabile e la derivazione puo essere effettuata sotto il segnodi integrale; usando anche l’equazione in (3.24), abbiamo

v′(t) = 2∫ +∞

−∞u(x, t)ut(x, t) dx = 2

∫ +∞

−∞u(x, t)uxx(x, t) dx .

Nell’ultimo termine integriamo per parti, usando (3.25):

v′(t) = −2∫ +∞

−∞ux(x, t)2 dx

e concludiamo come prima.Per risolvere il problema (3.24), usiamo la trasformazione di Fourier ri-

spetto alla variabile x:

F [f ] =∫ +∞

−∞e−jωx f(x) dx , ω ∈ R .

Applicando la trasformazione ad ambo i membri dell’equazione uxx = ut,otteniamo

F [uxx] = F [ut] .Indichiamo con u = u(ω, t) la trasformata di u(·, t). Notiamo che

F [ut] =∫ +∞

−∞e−jωx ut(x, t) dx =

ddt

∫ +∞

−∞e−jωx u(x, t) dx

per l’ipotesi fatta. Consideriamo la variabile ω come parametro. Per laseconda formula fondamentale, arriviamo all’uguaglianza

ddt

u(ω, t) = −ω2 u(ω, t)

e quindiu(ω, t) = c(ω) e−ω

2 t .

La condizione iniziale implica u(ω, 0) = u0(ω), dunque

(3.26) u(ω, t) = u0(ω) e−ω2 t .

Per ricavare u, dobbiamo antitrasformare. Tenendo presente che

(3.27) e−ω2 t = F

[1

2√πt

e−x24t

]e ricordando che la trasformata della convoluzione e il prodotto delle trasfor-mate, riconosciamo nel secondo membro della (3.26) la trasformata di

(3.28) u(x, t) =1

2√πt

[e−

x24t ∗ u0(x)

],



che fornisce la soluzione del problema.La funzione

(3.29) K(x, t) =1

2√πt

e−x24t

si chiama soluzione fondamentale dell’equazione del calore. La soluzione datadalla (3.28) si scrive

(3.30) u(x, t) = K(x, t) ∗ u0(x) .

Osservazione 3.5. Risulta

(3.31)∫ +∞

−∞K(x, t) dx = 1 , ∀t > 0 .

Questa uguaglianza e il caso ω = 0 di (3.27). Inoltre

K(x, t) =1√tK

(x√t, 1).

Ne segue, per il teorema sulle δ-successioni

limt→0+

K(x, t) = δ(x)

e ancora

limt→0+

u(x, t) = limt→0+

K(x, t) ∗ u0(x) = δ(x) ∗ u0(x) = u0(x) .

4. L’equazione delle onde

L’equazione delle onde in tre variabili spaziali e

(4.1)∂2u

∂t2−C

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)= 0 ,

dove C > 0 e una costante.

ESERCIZIO 4.1. Verificare che la funzione (J0 e la funzione di Bessel,cfr. capitolo III)

u(t, x, y) = J0(√x2 + y2) cos t

soddisfa l’equazione delle onde in 2 variabili spaziali

utt − (uxx + uyy) = 0 .

Per semplicita, nel seguito ci limiteremo all’equazione delle onde in unavariabile spaziale

(4.2) utt − uxx = 0 .

Si tratta di un’equazione iperbolica. L’operatore differenziale lineare che aprimo membro della (4.3) e applicato a u si chiama operatore delle onde, od’Alembertiano, e si denota con . Notiamo per esso la “fattorizzazione”

(4.3) =∂2

∂t2− ∂2

∂x2=(∂

∂t+∂

∂x

)(∂

∂t− ∂

∂x

).


4. L’EQUAZIONE DELLE ONDE 67

In effetti, per u ∈ C2, risulta

(ut − ux)t + (ut − ux)x = utt − uxx .

Con il cambiamento di variabili

(4.4) ξ = x+ t , η = x− t ,

abbiamo

x =ξ + η

2, t =

ξ − η2

,

quindi∂

∂ξ=

12

(∂

∂x+∂

∂t

),

∂

∂η=

12

(∂

∂x− ∂

∂t

),

e (4.3) fornisce∂2

∂x2− ∂2

∂t2= 4

∂2

∂ξ ∂η.

4.1. Il problema di Cauchy nel semipiano. Consideriamo il seguenteproblema

(4.5)

∂2u

∂t2=∂2u

∂x2, ∀x ∈ R , ∀t ≥ 0

u(x, 0) = f(x) , ∀x ∈ Rut(x, 0) = g(x) , ∀x ∈ R

nel semipiano

(4.6) (x, t) : x ∈ R , t ≥ 0 .

u = f , ut = g

t

x

Le funzioni f e g definite in R sono assegnate. Esso si dice problema di Cauchy,poiche sono imposte le due condizioni iniziali. Usando il cambiamento divariabili (4.4), l’equazione si riscrive

(4.7)∂2u

∂ξ ∂η=∂

∂ξ

∂

∂ηu = 0 .



(Con abuso di notazioni, consideriamo u funzione di ξ e η.) Notiamo che ilsemipiano (4.6) si trasforma nel semipiano del piano ξ, η

(ξ, η) ∈ R2 : ξ ≥ η .

Dalla (4.7) segue che ∂∂η u e costante rispetto a ξ, ∂

∂η u = h(η) per un’oppor-tuna funzione h. Integrando rispetto a η, otteniamo che u si esprime comesomma di una funzione di ξ e una di η:

u(ξ, η) = Φ(ξ) + Ψ(η) .

Tornando alle variabili x e t,

(4.8) u(x, t) = Φ(x+ t) + Ψ(x− t) .

Questa e la soluzione generale dell’equazione in (4.5). Le condizioni inizialidivengono allora

(4.9) u(x, 0) = Φ(x) + Ψ(x) = f(x) , ut(x, 0) = Φ′(x)−Ψ′(x) = g(x) .

Ricaviamo Φ e Ψ in termini di f e g da queste uguaglianze. Sia (x0, t0) unpunto del semipiano (4.6), cioe t0 ≥ 0. Dalla seconda uguaglianza, integrandoabbiamo∫ x0+t0

x0−t0g(x) dx = Φ(x0 + t0)−Ψ(x0 + t0)− Φ(x0 − t0) + Ψ(x0 − t0) ,

mentre dalla prima otteniamo

f(x0 + t0) + f(x0 − t0) = Φ(x0 + t0) + Ψ(x0 + t0) + Φ(x0 − t0) + Ψ(x0 − t0) ,

quindi, sommando e dividendo per 2, ricaviamo

(4.10)u(x0, t0) = Φ(x0 + t0) + Ψ(x0 − t0)

=12[f(x0 + t0) + f(x0 − t0)

]+

12

∫ x0+t0

x0−t0g(x) dx .

Da questa formula si evince che u(x0, t0) dipende solo da f e g sull’intervallo[x0 − t0, x0 + t0] (non su tutto R).

x0x0 − t0 x0 + t0

t0(x0, t0)

Mostriamo un altro modo di arrivare alla soluzione (4.10). Sia T il trian-golo di vertici P = (x0, t0), A = (x0 − t0, 0), B = (x0 + t0, 0), isoscele sullabase AB che appartiene all’asse x.



x0A B

t0

x− t = x0 − t0 x + t = x0 + t0

T

P

Mediante le formule di Gauss, se u soddisfa l’equazione uxx−utt = 0, possiamoscrivere

(4.11) 0 =∫∫

T

(uxx − utt) dx dt =∫

+FT

ux dt+ ut dx .

Usando la condizione iniziale ut(x, 0) = g(x), chiaramente abbiamo

(4.12)∫ B

A

ux dt+ ut dx =∫ B

A

ut dx =∫ x0+t0

x0−t0g(x) dx .

Sul lato BP , scegliendo t come parametro, abbiamo x = x0+t0−t, 0 ≤ t ≤ t0,e quindi, tenendo conto anche dell’altra condizione iniziale u(x, 0) = f(x)

(4.13)

∫ P

B

ux dt+ ut dx =∫ t0

0

[ux(x0 + t0 − t, t)− ut(x0 + t0 − t, t)] dt

= −∫ t0

0

[ddt

u(x0 + t0 − t, t)]dt

= −u(x0, t0) + f(x0 + t0) .

Similmente calcoliamo l’integrale sul lato PA, trovando

(4.14)

∫ P

B

ux dt+ ut dx =∫ 0

t0

[ux(x0 − t0 + t, t) + ut(x0 − t0 + t, t)] dt

= f(x0 − t0)− u(x0, t0) .

Usando (4.12), (4.13) e (4.14) in (4.11), ritroviamo (4.10).

4.2. Problema misto nella semistriscia. Consideriamo il problema

(4.15)

∂2u

∂x2− ∂2u

∂t2= 0 , 0 ≤ x ≤ π , ∀t ≥ 0

u(0, t) = u(π, t) = 0 , ∀t ≥ 0

u(x, 0) = f(x) , 0 ≤ x ≤ πut(x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ π

Le ultime due condizioni al contorno si interpretano come condizioni iniziali(all’istante t = 0), quindi (4.15) si dice problema misto di Cauchy–Dirichlet.La soluzione u e definita nella semistriscia

S = (x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π , t ≥ 0 .



πu = f , ut = g

u = 0u = 0

t

x

Moltiplichiamo per ut ambo i membri dell’equazione:

(4.16) 0 = −uxx ut + utt ut =12∂

∂t(ut)2 +

12∂

∂t(ux)2 − ∂

∂x(ux ut) .

Integriamo sul rettangolo [0, π]× [0, T ], per un certo T > 0:

(4.17)

0 =12

∫ π

0

dx

∫ T

0

∂

∂t

(u2t + u2

x

)dt−

∫ T

0

dt

∫ π

0

∂

∂x(ux ut) dx

=12

∫ π

0

[|∇u(x, T )|2 − |∇u(x, 0)|2

]dx

−∫ T

0

[ux(π, t)ut(π, t)− ux(0, t)ut(0, t)

]dt ,

dove ∇u = (ux, ut) e il gradiente. Dalle condizioni al contorno u(0, t) =u(π, t) = 0, ∀t ≥ 0 derivando rispetto a t, abbiamo ut(0, t) = ut(π, t) = 0,∀t ≥ 0, quindi l’ultimo integrale in (4.17) e nullo. Inoltre, tenendo presenti lecondizioni iniziali, abbiamo ut(x, 0) = g(x), ux(x, 0) = f ′(x), e riscriviamo la(4.17) come segue:

(4.18)∫ π

0

[|ux(x, T )|2 + |ut(x, T )|2

]dx =

∫ π

0

[|f ′(x)|2 + |g(x)|2

]dx .

Questa e detta equazione dell’energia e, data l’arbitrarieta di T , mostra chela quantita a primo membro e costante.

La (4.18) permette di mostrare l’unicita della soluzione. In effetti, se u1

e u2 risolvono (4.15), la differenza u = u1−u2 soddisfa un problema analogo,con dati iniziali nulli; in tal caso, il secondo membro in (4.18) e nullo, cioe

(4.19)∫ π

0

[|ux(x, T )|2 + |ut(x, T )|2

]dx = 0 .

Per l’arbitrarieta di T > 0, (4.19) implica che u ha le derivate nulle nellasemistriscia ed quindi e costante; annullandosi nei punti (0, t) e (π, t), ∀t > 0,essa e identicamente nulla.



Per risolvere il problema (4.15), usiamo la trasformazione (unilatera) diLaplace rispetto alla variabile t; poniamo

(4.20) ϕ(x, s) = L [u(x, ·)] =∫ +∞

0

e−stu(x, t) dt

(supponendo la trasformabilita), dove s e complesso. Supponendo di poterderivare sotto il segno di integrale, abbiamo L [uxx] = ϕxx e per la secondaformula fondamentale,

L [utt] = s2 ϕ− s u(x, 0)− ut(x, 0) = s2 ϕ− s f(x)− g(x) .

Pertanto, trasformando ambo i membri dell’equazione in (4.15), arriviamoall’equazione differenziale ordinaria per ϕ:

ϕxx = s2 ϕ− s f(x)− g(x) .

D’altra parte, dalle condizioni al contorno deduciamo

ϕ(0, s) = ϕ(π, s) = 0 .

Pertanto ϕ risolve il seguente problema ai limiti

(4.21)−ϕxx + s2 ϕ = s f(x) + g(x)ϕ(0, s) = ϕ(π, s) = 0

Tale problema e risolubile per ogni f e g se e solo se il problema relativoall’equazione omogenea associata

(4.22)−ϕxx + s2 ϕ = 0ϕ(0, s) = ϕ(π, s) = 0

ha solo la soluzione banale, cioe s 6= jn, per un numero n ∈ Z − 0. Unavolta risolto (4.21), per ricavare u bisogna antitrasformare, u = L −1[ϕ].

ESERCIZIO 4.2. Verificare che, nel caso f(x) = sinx e g(x) = 0, ∀x ∈[0, π], il procedimento esposto fornisce la soluzione

u(x, t) = sinx cos t =12

[sin(x+ t) + sin(x− t)] .

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