Complemente de buzatu C

8/6/2019 Complemente de buzatu C

1/234

Complemente de Fizica

Daniela Buzatu, Cristina Stan

18 noiembrie 2004


2/234

2


3/234

Cuprins

1 Vectori 7

1.1 Reprezentarea unui vector . . . . . . . . . . . 71.1.1 Reprezentarea geometric a . . . . . . . 81.1.2 Reprezentarea analitica . . . . . . . . . 91.1.3 Reprezentarea matriciala . . . . . . . . 10

1.2 Operat ii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Adunarea si scaderea vectorilor . . . . 111.2.2 Inmult irea vectorilor . . . . . . . . . . 141.2.3 Derivarea vectorilor . . . . . . . . . . . 221.2.4 Integrarea vectorilor . . . . . . . . . . . 23

1.3 Operatori vectoriali diferent iali . . . . . . . . 25

1.3.1 Operatorul gradient . . . . . . . . . . . 261.3.2 Divergent a . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Mecanica clasica 512.1 Cinematica punctului material . . . . . . . . 512.2 Transformarile Galilei . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Principiile dinamicii newtoniene . . . . . . . 592.4 Interact iile fundamentale . . . . . . . . . . . . 65

3


4/234

2.5 Teoremele generale ale Mecanicii pentru un

punct material . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.1 Teorema impulsului . . . . . . . . . . . 682.5.2 Teorema momentului cinetic . . . . . 692.5.3 Teorema energiei cinetice . . . . . . . 712.5.4 Energia potent iala. Energia mecanica.

Teorema de conservare a energiei me-canice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Teoremele generale ale Mecanicii pentru unsistem de puncte materiale . . . . . . . . . . . 782.6.1 Teorema impulsului pentru un sistem

de puncte materiale . . . . . . . . . . . 802.6.2 Teorema momentului cinetic total pen-tru un sistem de puncte materiale . . 84

2.6.3 Teorema energiei cinetice pentru unsistem de puncte materiale. Conser-varea energiei mecanice . . . . . . . . . 86

2.6.4 Teoremele lui K onig . . . . . . . . . . . 902.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Mecanica analitic a 1173.1

M arimi caracteristice. . . . . . . . . . . . . . 117

3.2 Formalismul Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.1 Principiul lucrului mecanic virtual . . 1233.2.2 Fortele generalizate . . . . . . . . . . . 1253.2.3 Ecuatiile Lagrange . . . . . . . . . . . . 126

3.3 Formalismul Hamilton . . . . . . . . . . . . . 1283.3.1 Principiul lui Hamilton . . . . . . . . . 1283.3.2 Ecuatiile canonice . . . . . . . . . . . . 1333.3.3 Semnicat ia funct iei hamiltoniana . . 1363.3.4 Parantezele lui Poisson . . . . . . . . . 137

4


5/234

3.3.5 Transformarile canonice . . . . . . . . 139

3.3.6 Ecuatia lui Hamilton-Jacobi . . . . . . 1413.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Mecanica cuantic a 1634.1 Aparatul matematic al Mecanicii cuantice . 163

4.1.1 Spatii liniar complexe . . . . . . . . . . 1634.1.2 Spatii unitare si spat ii Hilbert . . . . 1674.1.3 Operatori liniari. Operat ii cu opera-

tori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.1.4 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . 1764.1.5 Problema cu valori proprii asociat a unui

operator hermitic . . . . . . . . . . . . 1774.1.6 Observabile . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.1.7 Reprezentarea matriciala a vectorilor

si operatorilor . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2 Principiile mecanicii cuantice . . . . . . . . . 188

4.2.1 Principiul I (principiul starilor) . . . . 1884.2.2 Principiul II . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2.3 Principiul III (principiul interpret arii

statistice) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2.4 Principiul IV (principiul evolut iei tem-

porale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.2.5 Principiul V . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.3 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A Elemente de calcul variat ional 225

B Funct ia 229

C Integrale Poisson 231

5


6/234

6


7/234

Capitolul 1

Vectori

Unele marimi zice sunt complet determinate printr-o singur aproprietate, care este chiar valoarea lor numeric a . Acestemarimi, cum ar : temperatura, volumul, timpul, energia, frec-venta, se numesc scalari . Operat iile matematice cu scalari suntoperat ii aritmetice obisnuite.Exist a ns a marimi zice a caror descriere complet a necesita speci-carea directiei , sensului si respectiv a punctului de aplica-tie . Aceste marimi se numesc vectori , iar exemple n acest senssunt: viteza, accelerat ia, forta, impulsul, momentul unghiular,momentul fort ei, etc.

1.1 Reprezentarea unui vectorExist a mai multe posibilitat i de exprimare a unui vector: geome-tric a , analitic a , matricial a . Fiecare dintre ele prezinta avantaje silimite, de aceea reprezent arile sunt alese si folosite n funct ie deproblema concret a care se doreste a rezolvat a.

7


8/234

1.1.1 Reprezentarea geometricaUn vector este reprezentat ca un segment orientat, care pornestedintr-un punct numit origine sau punct de aplicat ie . Segmen-tul este asezat pe dreapta suport AA si are sensul indicat devarful sagetii (Fig.1).

Fig. 1

Ca urmare, un vector este caracterizat de urm atoarele patru ma-rimi:

origine (punct de aplicatie) - punctul de unde porneste directie - dreapta suport pe care este asezat sens - indica ncotro se ndreapt a modul (marime) - valoarea numeric a

8


9/234

Modulul sau marimea vectorului este proportional a cu lungimea

segmentului orientat. Modulul vectorului se noteaz a A sau A.

Sa consideram un vector de m arime egala cu unitatea, notat eA ,orientat pe direct ia si n sensul vectorului A. Acesta se numesteversor 1. In aceste condit ii, se poate scrie:

A = AeA (1.1)

1.1.2 Reprezentarea analitica

In reprezentarea analitica, un vector se exprim a prin proiect i-ile sale pe un sistem de axe ortogonale, de exemplu, sistemulcartezian (Fig. 2).Sa not am cu Ax , Ay , Az proiectiile lui A de-a lungul axelor Ox,Oy ,Oz. Atunci:

A = Ax i + Ay j + Az k (1.2)

unde i, j, k sunt versorii direct iilor Ox, Oy, Oz .Marimea vectorului se a a folosind teorema lui Pitagora:

A = A2x + A2y + A2z (1.3)De exemplu daca: v = 7 i 3 j + 2 k(m/s), atunci vx = 7m/s,vy = 3m/s, si vz = 2m/s; prin urmarev = 49 + 9 + 4 m/s= 62m/s=7.87m/s.

1 In literatura de specialitate se folosesc si alte notat ii pentru versori.

9


10/234

Fig. 2

1.1.3 Reprezentarea matricialaOrice vector poate exprimat ca o matrice cu o singura liniesau cu o singura coloana, ecare element al acesteia reprezentandcomponenta (proiect ia vectorului) pe o anumita directie. De e-xemplu, dac a vectorul este reprezentat analitic prin relat ia (1.2),atunci :

A = ( Ax Ay Az ) (1.4)

sau

A =AxAyAz

(1.5)

10


11/234

1.2 Operat ii cu vectori

1.2.1 Adunarea si scaderea vectorilorFie A si B doi vectori oarecare. Suma A + B este, de asemenea,un vector:

A + B = C (1.6)

Fig. 3: (a) metoda poligonului; (b) metodaparalelogramului

Marimea vectorului rezultant se poate determina prin oricare dinmodalitatile de reprezentare ale vectorilor discutate anterior.

11


12/234

In Fig. 3 sunt reprezentate doua metode geometrice de aare ale

vectorului sum a.

Prin regula poligonului (Fig. 3a) vectorul rezultant a doi (saumai mult i) vectori se aa tras and segmentul ce nchide conturulpoligonal construit din vectorii asezat i varf-origine. Originea vec-torului rezultant se aa n originea primului vector iar varful - nvarful ultimului vector al sumei.

In Fig. 3b este ilustrata adunarea a doi vectori prin metodaparalelogramului. Conform regulii paralelogramului , vectorul

rezultant este diagonala mare a paralelogramului construit de ceidoi vectori concurent i A si B .

Din Fig. 3 se observa ca adunarea este comutativ a . Aceast aconstruct ie geometric a permite calculul m arimii vectorului sum acu ajutorul teoremei lui Pitagora generalizate:

C = A2 + B 2 + 2 AB cos (1.7)Daca suma a doi vectori este egal a cu zero, atunci vectorii suntegali ca marime si au sensuri opuse.

A + B = 0 B = A (1.8)Aceasta relatie deneste vectorul opus si permite denirea ope-rat iei de scadere a doi vectori ca adunarea dintre un vector, A,cu vectorul opus, ( B ).

D = A B = A + ( B ) (1.9)Sa exemplicam, n continuare, adunarea vectorilor, plec and dela reprezentarea lor analitica. In coordonate carteziene:

A = Ax i + Ay j + Az k (1.10)

12


13/234

Fig. 4: Determinarea vectorului diferent a, D ; (a) prinadunarea lui A cu vectorul opus B ; (b) vectorul

diferent a, D , uneste varfurile celor doi vectori A si B siare sensul nspre vectorul desc azut

B = Bx i + By j + Bz k (1.11)

Componentele vectorului suma se aa prin adunarea algebrica acomponentelor (proiect iilor) corespunz atoare, pe direct iile Ox,Oysi Oz.

C = ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By) j + ( Az + Bz) k (1.12) D = ( Ax Bx ) i + ( Ay By) j + ( Az Bz) k (1.13)

Aceast a procedur a analitic a poate generalizat a pentru adunarea

13


14/234

a n vectori R i , i = 1 , 2, 3..., n .

Daca se cunosc proiectiile acestor vectori pe axele sistemului decoordonate carteziene, R ix , R iy , R iz , atunci, vectorul suma este:

R =n

i=1

R i (1.14)

R = R2x + R2y + R2z (1.15)unde

Rx =n

i=1

R ix , Ry =n

i=1

R iy , Rz =n

i=1

R iz (1.16)

1.2.2 Inmult irea vectorilorExist a mai multe posibilitati de nmultire a vectorilor. Acesteadepind de contextul problemei, rezultatul nmult irii vectoriale -ind - n unele cazuri - marimi vectoriale sau scalare.

Inmult irea unui vector cu un scalar

Dinnmultirea unui vector, A cu un scalar , rezult a un alt vector, A , de marime A.

A = A = A (1.17)Directia vectorului A este aceeasi cu a vectorului A, iar marimeasi sensul sau depind de valoarea scalarului :

daca > 0 sensul lui A este sensul lui A; daca < 0 sensul lui A este contrar sensului lui A.

14


15/234

Un exemplu de nmultire a unui vector cu un scalar a fost deja

ilustrat n relat ia (1.1) si n Fig. 1.

Propietat ile adunarii si nmult irii vector-scalar .

A + ( B + C ) = ( A + B) + C A + 0 = 0 + A = A () A = A = A = A

( + ) A = A + A

A + B = A + B

0 A = A 0 = 0Produsul scalar

Produsul scalar a doi vectori se noteaz a cu . Rezultatuloperatiei de nmult ire scalar a a doi vectori este un scalar : A B = AB cos (1.18)

unde reprezint a unghiul dintre vectorii A si B (Fig. 5).Daca vectorii A si B sunt perpendiculari, produsul scalar este nul,ntrucat cos900 = 1.Din denit ia produsului scalar se observa ca acesta este comu-tativ :

A B = B A (1.19)Cu ajutorul Fig. 5 se poate da o interpretare geometric a a pro-dusului scalar a doi vectori. Asa cum rezulta din gura, proiectiavectorului A pe dreapta suport a lui B este:

15


16/234


17/234

Cosinusii unghiurilor dintre vectorul A si axele Ox,Oy,Oz se

numesc cosinusi directori .

cos( A, i) =AxA

= 1 (1.27)

cos( A, j ) =AyA

= 1 (1.28)

cos( A, k) =AzA

= 1 (1.29)

unde 1, 1 si 1 sunt cosinusii directori ai lui A. Ca urmare:

A = A (1 i + 1 j + 1

k) = A eA (1.30)

unde:eA = 1 i + 1 j + 1 k (1.31)

este versorul direct iei lui A. Intr-adevar:

eA eA = 1 (1.32)deoarece:

21 + 21 +

21 = 1 . (1.33)

Intruc at versorii au componentele i(1, 0, 0), j (0, 1, 0), k(0, 0, 1) sisunt reciproc perpendiculari, atunci produsul lor scalar va :

i j = j k = k i = 0 (1.34) i i = j j = k k = 1 (1.35)

iar produsul scalar al vectorilor A(Ax , Ay , Az) si B (Bx , By , B z) seexprima ca:

A B = AxBx + AyBy + Az Bz (1.36)17


18/234

Exemple de marimi denite ca produs scalar sunt: lucrul mecanic,

uxul campului gravitational, al c ampului electric sau al c ampuluimagnetic etc.

Produsul vectorial

Produsul vectorial a doi vectori A si B , notat cu areca rezultat un vector , C . A B = C (1.37)

Fig. 6: Ilustrarea regulii burghiului

Prin convent ie, produsul vectorial este un vector perpendicularpe planul format de A si B (Fig. 6 ). Sensul lui C este stabilitde regula burghiului drept : se aseaza burghiul perpendicular

18


19/234

pe planul format de cei doi vectori si se roteste n sensul

suprapunerii primului vector al produsului peste cel de-al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de naintare alburghiului este sensul vectorului rezultant .O astfel de regula de nmultire ne atent ioneaza asupra faptului caprodusul vectorial este anticomutativ :

A B = B A (1.38)Marimea vectorului rezultant este dat a de relatia:

C = AB sin (1.39)

Cu ajutorul Fig. 6 se poate da interpretarea geometric a aprodusului vectorial . Se constat a ca modulul lui C reprezint ao jumatate din aria paralelogramului construit de cei doi vectori.

Sa calculam produsul vectorial folosind acum reprezentarea ana-litica:

A B = ( Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)= AxBx ( i i) + AxBy( i j ) + AxBz( i k)+ AyBx ( j i) + AyBy( j j ) + AyBz( j k)+ AzBx( k i) + Az By( k j ) + AzBz( k k) (1.40)

Deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este zero, iar:

i j = k (1.41) j k = i (1.42) k i = j, (1.43)

19


20/234

se obtine:

A B = i(AyBz AzBy) + j (Az Bx AxBz) + k(AxBy AyBx )= i Ay AzBy Bz

+ j Ax AzBx Bz+ k Ax AyBx By

= i j k

Ax Ay AzBx By Bz

(1.44)

Produsul mixt

Produsul mixt include ambele tipuri de nmult iri dintre vec-tori. Rezultatul produsului scalar dintre vectorii C si produsulvectorial al altor doi vectori A si B este un scalar, D:

A B C = D (1.45)Daca vectorii sunt cunoscut i pe componente, atunci produsul mixtse poate calcula sub forma unui determinant caracteristic:

D =Ax Ay AzBx By BzC x C y C z

(1.46)

Tin and cont de semnicat ia geometric a a produsului vectorial A B , precum si a produsului scalar A B , din Fig. 7, rezult a camarimea lui D este egala cu volumul paralelipipedului construitcu cei trei vectori (necoplanari).

V = aria bazei n altimea (1.47)20


21/234

Fig.7: Interpretarea geometric a a produsului mixt

= A B C cos( A B, C ) (1.48)= A B C (1.49)

Din (1.46) se observa ca produsul mixt nu-si schimba valoareadaca cei trei vectori sunt comutati ciclic:

A B C = B C A = C A B (1.50)

Triplul produs vectorial

21


22/234

Rezultatul aplicarii produsului vectorial ntre trei vectori este un

vector. Deoarece efectuarea repetat a a produsului vectorial ntrevectori este un lucru destul de dicil, acesta se calculeaz a cu aju-torul unor produse scalare 2 si anume:

A B C = B A C C A B (1.51)

1.2.3 Derivarea vectorilorSa consideram un vector, A, exprimat n functie de o marimescalar a, de exemplu, s. Aceasta dependent a poate scrisa (n

coordonate carteziene) sub forma: A = Ax (s) i + Ay(s) j + Az(s) k (1.52)

Derivata unui vectorn raport cu un scalar poate scris a n acelasimod ca si derivata unei funct ii scalare, adic a:

d Ads

= lim s0

A(s + s) A(s) s

(1.53)

In cazul n care funct ia scalar a s este, de exemplu, timpul t,derivata vectorului A devine:

d Adt

=dAxdt

i +dAydt

j +dAzdt

k (1.54)

Aceasta relatie deneste viteza instantanee a vectorului A.

Procedura matematic a de diferentiere a unei funct ii vectoriale estesimilar a, asadar, cu cea pentru funct ii scalare.

2 Aceasta regula este usor de ret inut sub numele bac minus cab .

22


23/234

De exemplu:

dds

( A B ) =d Ads

d Bds

(1.55)

dds

(f (s) A(s)) =df ds

A + f d Ads

(1.56)

dds

( A B ) =d Ads B + A

d Bds

(1.57)

dds

( A B ) =d Ads B + A

d Bds

(1.58)

Toate aceste reguli vor folosite n cadrul cinematicii si dinamiciipunctului material si ale sistemelor de puncte materiale.

1.2.4 Integrarea vectorilorTrebuie s a facem, mai ntai, distinct ia net a dintre o functie sca-lara 3 de variabila vectoriala , de exemplu:

u( r) = u(x,y,z ) (1.59)si o functie vectorial a 4 de variabila vectoriala , de exemplu:

a( r) = a(x,y,z ) = ax(x,y,z ) i + ay(x,y,z ) j + az (x,y,z ) k (1.60)

Ambele functii sunt denite n orice punct descris de vectorulde pozitie r si sunt exprimate n sistemul de referint a cartezian(Ox,Oy,Oz ).

3 Exemple de funct ii scalare: densitatea, temperatura, energia potent iala,etc.

4 Exemple de funct ii vectoriale: viteza, intensitatea c ampuluigravitat ional, electric, etc.

23


24/234

Sa consideram o curba , n spatiul pe care este denit a n orice

punct funct ia vectorial a. Integrala funct iei vectoriale a, de-a lun-gul curbei , se deneste ca:

a dr =

(axdx + aydy + azdz), (1.61)

unde dr reprezint a variat ia vectorului de pozit ie n coordonatecarteziene:

dr = dx i + dy j + dz k (1.62)

drds

a

( )

Fig. 8: Ilustrarea procesului de integrare a vectorului ade-a lungul conturului

O alternativa de exprimare a expresiei (1.61) este n funct ie dedistant a s masurata de-a lungul curbei fat a de un punct x (Fig.

24


25/234

8). Daca not am cu unghiul dintre direct ia lui a si tangenta la

curb a n orice punct, atunci:

a dr =

a cos ds (1.63)

1.3 Operatori vectoriali diferent ialiOperatorii diferent iali ce vor deniti n cele ce urmeaz a permitexprimarea local a (punctuala) a legilor zicii. Acesti operatorivectoriali (gradient, divergent a si rotor) pot exprimat i cuajutorul operatorului diferent ial notat

5, numit nabla .

In coordonate carteziene, operatorul nabla are expresia 6:

=

x

i +

y j +

z

k (1.64)

Operatorul

= 2 =

x

i +

y j +

z

k

x i +

y

j + z

k

= 2

x 2+

2

y2+

2

z 2

se numeste operatorul Laplace sau laplaceian .

In functie de modul prin care acest operator se aplica uneimarimi zice scalare sau vectoriale se obt in trei situatii distincte:

5 De cele mai multe ori se omite scrierea lui

cu vector deasupra.6 Expresia operatorului

depinde de sistemul de coordonate ales

25


26/234

gradient - daca se aplica unei functii scalare divergent a - daca se aplica prin produs scalar unei funct ii vec-toriale rotor - daca se aplica prin produs vectorial unei functii vecto-rialeExpresiile operatorilor vectoriali depind de sistemul de coordo-nate n care se denesc. Pentru simplitate, vom considera n celece urmeaza doar sistemul cartezian.

1.3.1 Operatorul gradient

DenitieOperatorul gradient se aplica unor funct ii scalare, transformandu-le n marimi vectoriale. Dac a not am functia scalar a cu =(x,y,z ) atunci, n coordonate carteziene, expresia gradientului 7marimii scalare este:

=

grad x

i +y

j +z

k (1.65)

Semnicat ia zicaSa consideram ca valorile functiei scalare nu depind, n primaaproximat ie, decat de coordonatele punctului n care aceasta seevalueaza.Se deneste not iunea de suprafat a de nivel constant sau(suprafat a echipotent iala n cazul n care functia reprezint a

7 Operatorul gradient este un vector, de aceea, pentru sublinierea cestuilucru, am marcat semnul vector deasupra. In cele ce urmeaz a, pentru simpli-carea scrierii vom omite acest semn, f ar a a uita ns a caracteristicile vectorialeale operatorului.

26


27/234

un potent ial), locul geometric al punctelor pentru care funct ia

are aceeasi valoare (Fig. 9):

= (x,y,z ) = const. (1.66)

(x,y,z)= 2=const.

(x,y,z)= 1=const.

s

Fig. 9: Suprafet e echipotent iale

Variat ia funct iei ntre doua suprafet e de nivel constant este:

= 2(x,y,z ) 1(x,y,z ) (1.67)Din Fig. 9 se observa ca valoarea s a variat iei functiei, rapor-tat a la distant a dintre cele dou a suprafet e, depinde de orientareasegmentului s.Se deneste derivata dupa o directie a functiei scalare , prinrelat ia:

dds

= lim s0

s

(1.68)

27


28/234

x

y

z

xy

z

Fig. 10: Orientarea segmentului s n raport cu unsistem de axe carteziene.

Daca xam orientarea segmentului s n raport cu un sistemde axe carteziene (Fig.10) si t inem cont de faptul c a functia depinde de variabila s prin intermediul coordonatelor x,y,z , seobtine:

dds

= lim s0

x, y, z0

x

x s

+ y

y s

+ z

z s

(1.69)

Relat ia devine:

dds

=x

cos +y

cos +z

cos (1.70)

28


29/234


30/234

s2

P

s1

Fig. 11: Orientarea vectorului gradient

dds1

= grad es 1 = 0 (1.79)dds2

= grad es 2 = 0 (1.80)Ca urmare, grad este orientat perpendicular pe oricare dou adirect ii din planul ( ). Conform teoremei celor trei perpendicu-

lare, este perpendicular pe planul format de direct ia ei. Deci,direct ia gradientului este perpendicular a pe suprafet ele de nivelconstant, n lungul normalei n punctul respectiv. Prin convent ie,se considera ca sensul vectorului este acela n care estecrescator. Deci, cu alte cuvinte, vectorul gradient t inteste ndirectia celei mai rapide cresteri, n spat iu, a lui .

In concluzie, principalele proprietatile ale gradientului unei functiiscalare ( grad ) sunt:

30


31/234

este o functie vectorial a denit a n orice punct ( funct ie depunct ) indica directia si sensul celei mai rapide cresteri a functiei scalare are marimea dat a de derivata dupa direct ia celei mai rapidecresteri a funct ieieste orientat perpendicular pe suprafet ele echipotent iale =const. , oricare ar marimea zica , careia i se aplicaVom discuta mai amanunt it semnicat ia zica a acestui opera-tor, n cazul denirii functiei potent ial scalar.

1.3.2 Divergent aDenitieOperatorul divergent a se aplica functiilor vectoriale prin opera-tia de nmultire scalar a.Daca not am functia vectorial a cu a, atunci, n coordonate carte-ziene a = a(x,y,z ) si expresia divergent ei este:

a = div a =

a xx

+a yy

+a zz

(1.81)

Semnicat ia zicaPentru a ilustra semnicat ia zica a operatorului divergenta, nevom folosi de un exemplu din mecanica uidelor. Se deneste nacest caz, intensitatea curentului masic , I , cantitatea de uid caretrece printr-o suprafata dS n unitatea de timp:

I =dmdt

(1.82)

Masa dm poate scrisa n funct ie de valoarea vitezei unei par-ticule de uid n regiunea suprafet ei innitezimale ds. Suprafat a

31


32/234

Fig. 12: Ilustrarea interpretarii zice a divergent ei

vazut a efectiv de uidul n curgere este dS n = dScos . Canti-tatea de uid ce trece ntr-un timp dt prin suprafat a dS sau (dS n )este cuprins a ntr-un cilindru de arie a bazei dS n si de n altimev dt. Ca urmare:

dm = dS n vdt = dSvdtcos (1.83)

unde este densitatea volumica a uidului. Ca urmare:

I =dmdt

= dSvcos (1.84)

Se deneste, de asemenea, densitatea curentului masic, j prinrelat ia:

j =dm

dS n dt= v (1.85)

32


33/234


34/234

Daca, eventual, dm(y) este diferit de dm(y + dy), atunci putem

vorbi de o masa net a de uid care izvoraste sau dispare, ex-primata ca:

dmy = dm(y + dy) dm(y) = dxdzdt [vy(y + dy) vy(y)] (1.92)

Observat ii :

am considerat mai sus c a uidul este incompresibil, deci (y) =

(y + dy) =

daca dm(y + dy) > dm (y) se spune ca dV se comport a (dup aaceast a directie y) ca un izvor . In caz contrar, dV se comport aca un put sau dren

Putem exprima pe vy(y + dy) sub forma unei dezvolt ari n se-rie Taylor:

vy(y + dy) = vy(y) +1

1!

vy

ydy +

1

2!

2vy

y2 (dy)

2 + ... (1.93)

Daca viteza de variat ie a lui vy cu y nu este foarte mare, atunci,ntr-o prima aproximat ie, putem considera c a:

vy(y + dy) = vy(y) +vyy

dy (1.94)

astfel nc at:

dmy = dxdzdtvyy

dy (1.95)

34


35/234

Relat ii similare vor putea scrise cu usurinta si pentru direct iile

Ox si Oz, astfel nc at:

dm = dmx + dmy + dmz (1.96)

= dxdydzdt (vxx

+vyy

+vzz

) (1.97)

= [ (vx )

x+

(vy)y

+ (vz )

z]dV dt (1.98)

= (j xx

+j yy

+j zz

)dV dt (1.99)

Asadarj xx

+j yy

+j zz

=dm

dV dt(1.100)

Intruc at termenul I din relat ia (1.100) se poate scrie ca un pro-dus scalar ntre operatorul (

x i,

y j,

z k) si vectorul j ( jx , j y , j z),

rezulta ca:

j = div j =dm

dV dt(1.101)

Cu alte cuvinte, div j reprezint a masa de uid izvor at a dintr-unvolum elementar dV n unitatea de timp, raportat a la valoarealui dV . Se spune ca div j reprezint a productivitatea specica deuid a izvorului elementar dV . Evident, cu c at izvorul va maiputernic, cu atat div j care l caracterizeaza va mai mare. Dealtfel, termenul divergent a provine de la cuvantul latin diverg-ere , care nseamna a izvor . Av and n vedere ca dm = j dS ,n care dS este suprafat a care nconjoara volumul elementar dV ,prin integrare pe ntreg volumul unei surse macroscopice de uidvom putea scrie:

35


36/234

S j dS = V div j dV (1.102)care reprezint a teorema lui Green-Gauss-Ostrogradski . A-ceast a ultim a relatie stabileste o leg atur a ntre o integrala desuprafat a a lui j si una de volum a unei funct ii de j .

1.3.3 RotorDenitieOperatorul rotor se aplica functiilor vectoriale prin operatia de

produs vectorial. Dac a aplicam rotorul funct iei vectoriale a =a(x,y,z ) se obtine:

a = rot a = i j k

x

y

zax ay az

(1.103)

=a zy

a yz

i +a zz

a zx

j +a yx

a xy

k

Interpretarea zic a

Fie un vector A caracterizat prin componentele Ax , Ay , Az n ra-port cu un sistem de referint a cartezian. S a consideram o directieoarecare descris a de versorul n.In planul perpendicular pe versorul n, alegem un contur innitez-imal nchis dl ,care margineste o suprafata mica S. De obicei,sensul de parcurgere al conturului se stabileste astfel nc at sensulpozitiv al versorului n sa coincida cu cel determinat prin regulaburghiului drept.Operatorul diferential rot este un vector a c arui proiect ie pe di-rectia lui n este denit a prin relat ia:

36


37/234

rot n A = lim S 0 A dl S (1.104)Sa consideram n cele ce urmeaz a ca vectorul A este viteza v a

unui punct (element de masa) dintr-un corp rigid care se rotestecu viteza unghiular a n jurul unei axe de rotatie coliniare cu ver-sorul n . In mod evident c a traiectoria punctului considerat este uncerc de raza r cu centrul pe axa de rotat ie iar viteza v = r esteorientata tangent la traiectorie. Conturul ce nchide elementul desuprafat a S = r 2 este

dl = 2 r .

x (x+ x,y+ y,z)

(x,y+ y,z)(x,y,z)

(x+ x,y,z)

z

yO

Fig. 13: Denirea operatorului rot n termeni decoordonate

Conform denit iei 1.104 se obtine:

37


38/234

rot n v = limr 0 v dlr 2 = limr 0 2rr 2 = 2 (1.105)Astfel, rotorul vitezei liniare a punctelor unui solid rigid aat nmiscare de rotatie este dublul vitezei unghiulare.Din punct de vedere al calculului matematic este mult mai con-venabil a denirea operatorului rot n termeni de coordonate.Sa gasim proiectiile vectorului rot ntr-un sistem de coordonatecartezian, de exemplu de-a lungul axei Oz.Conturul pe care se integreaz a este un dreptunghi cu laturile x, y indicat n Fig. 13. Se obt ine:

A dl =(x+ x,y,z )

(x,y,z )

Ax (x,y,z )dx +

(x+ x,y + y,z )

(x+ x,y,z )

Ay(x + x,y,z )dy

(x,y + y,z )

(x+ x,y + y,z )

Ax (x, y + y, z )dx +

(x,y,z )

(x,y + y,z )

Ay(x,y,z )dy (1.106)

Consider and ca x, y pot oricat de mici dorim, putem dezvol-ta termenii Ax , Ay n serii Taylor:

Ax (x, y + y, z ) = Ax (x,y,z ) +Ax (x,y,z )

y y... (1.107)

38


39/234

Ay(x + x,y,z ) = Ay(x,y,z ) +Ay(x,y,z )

x x + ...(1.108)

Sa revenim n relatia (1.106) n care, pentru claritate, s a calculamsuma ntre prima si a treia ntegral a, respectiv suma ntre a douasi a patra integrala. Dup a inversarea limitelor unei integrale siaparit ia semnului minus, se obt ine:

I 1 =

(x+ x,y,z )

(x,y,z )

Ax (x,y,z )dx

(x+ x,y,z )

(x,y,z )

Ax (x,y,z ) +Ax (x,y,z )

y y dx

= Ax (x,y,z )

y y x (1.109)

In mod similar se obtine:

I 2 =

Ay(x,y,z )

x x y (1.110)

Ca urmare, conform denit iei (1.104), proiect ia vectorului rot A peaxa Oz este:

rot Az

=Ayx

Axy

(1.111)

In mod similar se obtin si celelalte proiect ii (consider and drep-tunghiuri cu laturile y, z respectiv z, x si repet and proce-dura matematica):

39


40/234

rot Ax

= Azy A

y

z(1.112)

rot Ay

=Axz

Azx

(1.113)

Din aceste relat ii rezult a denitia vectorului rotor n coordonatecarteziene:

rot A =Azy

Ayz

i +Axz

A zx

j +Ayx

Axy

k

(1.114)

Fig. 14: Ilustrarea teoremei lui Stokes-Ampere

Sa calculam uxul vectorului rot A printr-o suprafata oarecare mar-ginit a de un contur nchis, divizand suprafat a considerata n micielemente de suprafat a S i .

S

rot A d S =(i) S i rot A d S (1.115)

Cum S i este foarte mic se obtine n prima aproximat ie, folosindrelat ia de denit ie (1.104), urm atoarele expresii pentru ecareelement de suprafat a:

40


41/234

S i rot A d S = S i rot A n dS rot A n S i i A d l(1.116)

Ca urmare:

S

rot A d S (i) i A d l (1.117)

Conform Fig. 14 se observa ca integralele de pe contururile cemarginesc doua suprafet e vecine sunt opuse ca semn (deoarecesunt parcurse n ambele sensuri) si ca urmare se anuleaz a reciproc.Singurii termeni ce r aman necompensat i sunt cei de pe contu-rul exterior ce m argineste suprafata considerata. Considerandsuprafet ele S i din ce n ce mai mici se obtine relat ia:

S

rot A d S A d l (1.118)Aceast a relat ie este cunoscut a ca teorema lui Stokes-Ampere .

1.4 Probleme1.1 Fie vectorii:

A = 3 i + 4 j + 5 k B = i + 4 j 2 k C = 2 i j + k

Determinat i:

41


42/234

a). m arimile celor trei vectori;

b). reprezentati grac vectorii;

c). valoarea numeric a a vectorului A + B C ;d). versorii celor trei vectori;

e). produsele scalare: A B, A C, B C ;f). produsele vectoriale A B, A C, B C ; marimea lor sicosinusul unghiurilor dintre aceste perechi;g). Vectorii A, B, C sunt coplanari?h). produsul A B C.

Rezolvare:

a . Marimile celor trei vectori sunt:

A = 9 + 16 + 25 = 7 . 0711 B = 1 + 16 + 4 = 4 . 5826 C = 4 + 1 + 1 = 2 . 4495

b . Reprezentarea grac a este dat a n Fig. 1.1.c. Vectorul:

A + B C = (3 1 2) i + (4 + 4 + 1) j + (5 2 1) k = 9 j + 2 kare valoarea numeric a:

A + B C = 81 + 4 = 9 . 219542


43/234

x

y

z

A

B

C

Fig. 1.1

d . Versorii direct iilor celor trei vectori sunt:

a = A

A=

37. 07

i +4

7. 07 j +

57. 07

k = 0 . 42 i + 0 . 56 j + 0 . 71 k

b = B

B = 1

4. 58 i +4

4. 58 j 2

4. 58 k = 0 . 22 i + 0 . 87 j + . 443 k

c = C

C =

22. 45

i 1

2. 45 j +

12. 45

k = 0 . 82 i + 0 . 41 j + 0 . 41 k

e.

A B = 3 + 16 10 = 3 A C = 6 4 + 5 = 7 B C = 2 4 2 = 843


44/234

f .

A B = i j k

3 4 5

1 4 2= 28 i + j + 16 k

A C = i j k

3 4 52 1 1

= 9 i + 7 j 11 k

B C = i j k

1 4 22

1 1= 2 i 3 j 7 k

Marimea vectorilor este:

A B = 282 + 1 + 16 2 = 32 . 265 A C = 92 + 7 2 + 11 2 = 15 . 843 B C = 22 + 3 2 + 7 2 = 7 . 874

iar unghiurile corespunz atoare dintre ecare pereche de vectoriastfel denit i:

cos( A B, A C ) =( A B ) ( A C )

A B A C = 28 9 + 1 7 16 11

32. 265 15. 843= 0. 82

cos( A B, B C ) =( A B ) ( B C )

A B B C = 28 2 1 3 16 7

32. 265

7. 874

= 0. 6744


45/234

cos( A

C, B

C ) =

( A C ) ( B C ) A C B C

=9 2 7 3 + 11 7

15. 843 7. 874= 0 . 59

g. Pentru a vedea dac a vectorii A, B, C sunt copanari, se cal-culeaza produsul mixt:

A ( B C ) = 3 2 4 3 5 7 = 41Deoarece valoarea acestui produs este diferita de zero nseamn a

ca vectorii nu sunt coplanari.h . Pentru produsul dublu vectorial se foloseste regula bac minuscab

A B C = B ( A C ) C ( A B ) = 7( i + 4 j 2 k) 3(2 i j + k)= 13 i 31 j 17 k

1.2 Fie vectorii Asi B denit i de urm atoarele expresii:

A = ae kt i + bt j + k B = ( c sin t) i + ( d cos t) j

unde a,b,c,k,constante iar t-timpul. Calculati:a). d Adt ;

d Bdt ;

d Adt ;

d Bdt ;

45


46/234

b). A ; B ; ddt A ;ddt

B ;

c). ddt A B ;d). ddt A B .

Rezolvare:

a . Folosim regulile de derivare ale vectorilor:

d A

dt=

d

dt(ae kt ) i +

d

dt(bt) j =

kae kt i + b j

d Bdt

=ddt

(c sin t) i +ddt

(d cos t) j = c cos t i d sin t jd Adt

= (kae kt )2 + b2d Bdt

= (c cos t)2 + ( d sin t)2b .

A = (ae kt )2 + ( bt)2 + 1 B = (c sin t)2 + ( d cos t)2ddt

A =ddt (ae kt )2 + ( bt)2 + 1 = a

2e2( kt )k + b2ta2e2( kt ) + b2t2 + 1

ddt

B =ddt (c sin t)2 + ( d cos t)2 = 2 c

2 d2c2 sin2 t + d2 cos2 tDup a cum se constat a:

46


47/234

d Adt

=ddt

A

d Bdt

=ddt

B

c.

ddt

A B =ddt

(ae kt c sin t + btd cos t)

= ( ake kt

c + btd)sin t + ( ae kt

c + bd)cos td .

ddt

A B =ddt

i j kae kt bt 1c sin t d cos t 0

= d (sin t) i + c (cos t) j (ake kt d cos t + ae kt d sin t+ ccos tbt + cbsin t) k

1.3 Calculat i marimea gradientul functiei:

f (x,y,z ) = xy2 + yx2 + xyz

Rezolvare:

Conform denit iei operatorului gradient, se obtine:

grad f = f =f x

i +f y

j +f z

k

47


48/234

Derivatele part iale ale funct iei scalare f n raport cu cele trei

coordonate sunt:

f x

=

x(xy2 + yx2 + xyz) = y2 + 2 yx + yz

f y

=

y(xy2 + yx2 + xyz) = 2yx + x2 + xz

f z

= z

(xy2 + yx2 + xyz ) = yx

Ca urmare m arimea vectorului gradient este:

|f | = (y2 + 2 yx + yz)2 + (2 yx + x2 + xz)2 + ( yx)2

1.4 Calculat i divergent a vectorului:

A = 4 x i + 2 j + 4 y k

Rezolvare:

Conform denit iei operatorului divergenta, se obt ine:

div r = r =

xAx +

y

Ay +

zAz

=

x(4x) +

y

(2) +

z(4y)

= 4

Rezultatul aplicarii operatorului divergenta unei marimi vectori-ale este un scalar.

1.5 Determinati rotorul funct iei vectoriale:

F = (4 abyz2 10bx2y2) i + (9 abxz2 6bx3y) j + 8 abxyz k48


49/234

unde a,b,cconstante.Rezolvare:

Conform denit iei operatorului divergenta, se obtine:

rot F = F = i j k

x

y

z4abyz2 10bx2y2 9abxz2 6bx3y 8abxyz

= i

y(8abxyz)

z

(9abxz 2 6bx3y)

j x (8abxyz) z (4abyz2 10bx2y2)

+ k

x(9abxz2 6bx3y)

y

(4abyz2 10bx2y2)= 10abxz i + (5 abz2 + 2 bx2y) k

49


50/234

50


51/234

Capitolul 2

Mecanica clasica

2.1 Cinematica punctului material

Cinematica studiaz a deplas arile corpurilor n funct ie de timp,far a a tine cont de cauza care produce miscarea. Deplasarea unuicorp fat a de alte corpuri se raporteaza la un sistem de referint asolidar legat de corpurile alese drept repere.

Un principiu fundamental al Mecanicii newtoniene este principiul

caracterului absolut al m asurii timpului , adica masura timpuluieste independenta de sistemul de referint a ales, fat a de care sestudiaz a miscarea corpului. Cu alte cuvinte, dac a avem douafenomene care sunt simultane fata de un sistem de referint a, elevor simultane fat a de orice alt sistem de referint a; deci, simul-taneitatea a doua fenomene are un caracter absolut n Menanicanewtonian a.

In Mecanica, un corp ale carui dimensiuni pot neglijate n tim-pul misc arii sale, se numeste punct material sau particul a si

51


52/234

se reprezint a grac printr-un punct geometric.

Fie un punct material care se deplaseaza n timp; alegem ca sis-tem de referint a sistemul cartezian ( Oxyz). Coordonatele x, ysi z ale punctului material si respectiv vectorul de pozit ie r suntfunctii de timp:

r(t) : x(t) y(t) z(t) (2.1)

Funct ia r(t) se numeste legea de miscare a punctului mate-rial. Totalitatea pozit iilor succesive ale punctului material n timpformeaza o curba numit a tratectoria particulei si este caracter-izat a prin ecuatiile parametrice :

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (2.2)

Marimile cinematice care caracterizeaz a miscarea unui punctmaterial sunt viteza si accelerat ia. Se deneste viteza medie caind variat ia vectorului deplasare raportat a la intervalul de timpcat are loc deplasarea:

vm =r rt

t

=r(t ) r(t)

t

t

(2.3)

si respectiv viteza momentana :

v =drdt

= limt t

r(t ) r(t)t t

(2.4)

Observat ie : vom folosi n continuare notatia Leibnitz pentruderivatan raport cu timpul a unei m arimi, adic a cu un punct dea-supra pentru derivata de ordin nt ai si respectiv cu dou a punctepentru derivata de ordin doi.

52


53/234

Deci, viteza particulei este derivata n raport cu timpul a vec-

torului de pozit ie:v = r (2.5)

si are componentele:

r : x(t) y(t) z(t) (2.6)

iar accelerat ia este derivata vitezei n raport cu timpul:

a = v = r (2.7)

si are componentele:r : x(t) y(t) z(t) (2.8)

Fie doua sisteme de referint a S si S (Fig.1), care se misc a arbitrar unul fat a de celalalt. Fie un punct material P aat n miscare fat ade cele doua sisteme de referint a. Marimile cinematice similarefat a de cele doua sisteme vor notate cu aceleasi litere, f ar a sirespectiv cu accent. Intre vectorii de pozit ie ai particulei, r (fat ade S ) si r (fat a de S ) este vericat a relatia evident a:

r = ro + r (2.9)unde

r = x ex + y ey + z ez (2.10)

iar ex , ey si ez reprezint a versorii axelor de coordonate ale sistemu-lui S , dependent i de timp . Vom deriva relat ia (2.1.9) n raport cutimpul:

r = ro + x ex + y ey + z ez + x ex + y ey + z ez (2.11)

53


54/234

x

y

z

xy

z

S S

r r

r0

Fig.1

In membrul st ang al identit at ii (2.11) vectorul r reprezint a vitezaparticulei fat a de sistemul de referint a x S , si este numit a conven-tional viteza absolut a . In membrul drept, suma primilor patrutermeni reprezinta viteza particulei daca ea ar imobila fat a desistemul S , se numete viteza de transport a particulei si eaeste nul a daca sistemul S nu se misa fat a de S . Suma ultimilortrei termeni din membrul drept reprezint a viteza particulei fat a desistemul mobil S si se numeste viteza relativ a . Asadar, relatia(2.11) se poate scrie sub forma:

vabs = vtransp + vrel (2.12)

54


55/234

unde

vabs = r (2.13)vtransp = ro + x ex + y ey + z ez (2.14)

vrel = x ex + y ey + z ez (2.15)

Observat ie : viteza de transport a particulei se compune dinviteza ro a originii sistemului mobil S si din viteza de rotat ie

r = x ex + y ey + z ez a particulei solidar legate de S , n jurulpunctului O , presupus x. Relat ia (2.12) se numeste formulade compunere a vitezelor n Cinematica newtonian a .

Vom deriva nca o dat a, n raport cu timpul, identitatea (2.11):r = ro + x ex + y ey + z ez +

x ex + y ey + z ez + (2.16)

2(x ex + y ey + z ez)

In membrul st ang al identit at ii (2.16) vectorul r reprezint a ac-celerat ia particulei fat a de sistemul de referint a x S , numit aaccelerat ie absoluta . In membrul drept, suma primilor patrutermeni reprezinta acceleratia particulei daca aceasta ar soli-dar legat a de sistemul mobil S si se numeste accelerat ie detransport . Suma urm atorilor trei termeni reprezint a acceleratiaparticulei fat a de sistemul mobil S si se numeste accelerat ierelativ a , iar suma ultimilor trei termeni se numeste accelerat iecomplementar a sau accelerat ie Coriolis . Cu notat iile:

aabs = r (2.17)

atransp = ro + x ex + y ey + z ez (2.18)arel = x ex + y ey + z ez (2.19)

acompl = 2( x ex + y ey + z ez) (2.20)

55


56/234

relat ia (2.16) se poate scrie sub forma:

aabs = atransp + arel + acompl (2.21)

ceea ce reprezinta formula de compunere a accelerat iilor nCinematica newtonian a .

2.2 Transformarile GalileiIn continuare, vom numi particula libera o particul a asupracareia nu act ioneaz a nici un alt corp. Experient a arata ca e-xist a sisteme de referint a privilegiate pentru care este adevarat aurm atoarea armatie: orice particul a libera se misca cu vitezaconstanta fat a de aceste sisteme, adic a se deplaseaza rectiliniu siuniform (principiul inertiei). Sistemele de referint a pentru careeste valabil a aceast a armat ie se numesc sisteme inert iale .

Sa studiem n continuare miscarea unei particule libere fat a dedoua sisteme de referint a inertiale S (x) si S (mobil), deci carese misc a cu viteza constant a at at fat a de S cat si fat a de S , adica:

aabs = 0 ; arel = 0 (2.22)

Conform legii de compunere a accelerat iilor pentru o particula(2.21), va rezulta:

atransp + acompl = 0 (2.23)

ceea ce va conduce la:

ro = 0 ; ex = 0 ; ey = 0 ; ez = 0 (2.24)

Cerint ele relat iei (2.24) exprim a faptul c a originea O se deplaseazarectiliniu si uniform fat a de S , iar axele sistemului S nu se rotesc

56


57/234

n jurul originii O . Miscarea sistemului de referinta, n decursul

careia axele raman paralele cu ele nsele se numeste miscare detranslat ie . Deci, sistemul inert ial S are o miscare de translatierectilinie si uniform a fat a de sistemul inert ial S .

Observat ie : pentru a ment ine starea de miscare rectilinie si uni-forma sau de repaus relativ a unei particule libere, fata de unsistem de referint a inert ial, spat iul si timpul n sistemul inert ialtrebuie s a satisfac a anumite caracteristici:

spat iul s a e omogen , adica toate punctele din spatiu s a eechivalente

spat iul sa eizotrop

, adica traiectoriile particulelor libere aaten miscare sa e rectilinii indiferent de direct iile n care are locmiscarea

timpul s a e uniform , adica particulele libere s a parcurg a spatiiegale n intervale egale de timpVom introduce notiunea de eveniment , prin care se nt elege unfenomen produs ntr-un anumit punct geometric, la un anumitmoment de timp. Un eveniment este caracterizat prin patru co-ordonate spat io-temporale: trei coordonate spat iale x, y si z alepunctului unde are loc fenomenul si o coordonata temporal a t,desemnand momentul producerii lui. Notiunea de eveniment va frecvent folosita mai ales n Cinematica relativist a.

Coordonatele spat io-temporale ( r, t ) caracterizeaz a miscarea ab-solut a, coordonatele spat io-temporale ( r , t ) caracterizeaz a misca-rea relativ a, iar ro caracterizeaz a miscarea de transport a sistemu-lui S fat a de S , S aandu-se n miscare rectilinie si uniform a cuviteza v fat a de S .

57


58/234

Intre coordonatele spatio-temporale ale unui eveniment fata de

cele doua sisteme de referint a exista relat ia evident a:r = ro + r (2.25)

unde ro = vt reprezint a ecuatia ce caracterizeaz a miscarea uni-forma a sistemului S fat a de S . Conform principiului funda-mental al Mecanicii newtoniene al caracterului absolut al m asuriitimpului, timpul se scurge la fel n ambele sisteme de referinta,adica:

t = t (2.26)

Relat iile (2.25) si (2.26) reprezinta transform arile Galilei careexprim a coordonatele spat io-temporale ale unui eveniment fata deun sistem de referint a inertial n funct ie de coordonatele spat io-temporale ale aceluiasi eveniment fata de un alt sistem de referint ainert ial aat n miscare rectilinie si uniform a fat a de primul, nMecanica newtonian a. Pentru cazul particular n care v||Ox vomobtine transformarile Galilei speciale directe :

x = x v ty = y

(2.27)

z = zt = t

si respectiv transformarile Galilei speciale inverse :

x = x + v ty = y

(2.28)z = zt = t

58


59/234

Consecint ele transformarilor Galilei (speciale) se refera la:

legea de compunere a vitezelor n Mecanica newtoniana, adica:vrel = vabs v (2.29)

invariant a lungimilor n orice sistem de referinta inertial, adic a:l = l (2.30)

unde l reprezint a lungimea unei bare m asurata n sistemul S iar

l reprezint a lungimea aceleasi bare m asurata n sistemul S .Observat ie : Transform arile Galilei speciale au avantajul ca auo forma foarte simpl a si cont in caracteristica esential a a relatieidintre sistemele de referint a inertiale S si S , anume ca ele au unulfat a de celalalt o miscare de translat ie rectilinie si uniform a.

2.3 Principiile dinamicii newtonieneDinamica studiaza miscarea corpurilor plecand de la cauza care o

produce. Principiile Dinamicii sunt propozit ii cu caracter general,obtinute pe baza a numeroase date experimentale.

Principiul inert iei (legea nt ai a lui Newton) arma ca oriceparticul a, n absenta act iunii altor corpuri, se misca rectiliniu siuniform; deci, o particul a libera se deplaseaza cu viteza constant a.Principiul inert iei este vericat prin contrazicere, adica nu s-a ob-servat experimental ca, dac a este ndeplinita conditia din prin-cipiu miscarea s a nu tind a la una rectilinie.

59


60/234

Observat ie : apare not iunea de inertie care reprezint a tendint a

unui corp de a nu-si modica viteza n cazul cand nu exist a actiuniexterioare.

Principiul manifest arii actiunii (legea a doua a lui New-ton) arma ca, n condit ii exterioare date, produsul dintre masasi accelerat ia unei particule este o funct ie vectorial a ce depindede pozitia particulei, viteza sa si de timp:

m r = F ( r, r, t ) (2.31)

Observat ii :

Apare not iunea de masa ; prin experient e de ciocnire se demon-streaz a ca ecare particul a este caracterizata de o marime scalar apozitiva, specica si invarianta (n Mecanica newtoniana) carereprezint a masa particulei.

Funct ia vectorial a F reprezint a forta cu care corpurile act ionea-za asupra particulei, iar dependent a F ( r, r, t ) se numeste legeafort ei sau expresia fort ei . Forta F este o marime vectorial a

masurabil a al carui modul exprim a intensitatea actiunii asupraparticulei, iar direct ia si sensul ei redau orientarea actiunii

Principiul doi stabileste dependent a general a a fortei de vari-abilele cinematice r, r si t, dar nu d a o prescript ie pentru formaconcret a a acestei dependent e.

Relat ia (2.31) reprezinta ecuatia fundamental a a DinamiciiPrincipiul independent ei actiunilor arma ca exercitarea si-multan a a mai multor act iuni asupra unei particule nu modic alegile fortelor; efectul asupra particulei este exprimat prin suma

60


61/234

fortelor individuale:

F ( r, r, t ) =n

F n ( r, r, t ) (2.32)

Principiul act iunii si react iunii (legea a treia a lui New-ton) arma ca doua corpuri act ioneaz a unul asupra celuilalt nasa fel nc at fortele corespunz atoare sunt egale ca m arime si desens contrar:

F 12 = F 21 (2.33)unde F 12 reprezint a act iunea corpului 1 asupra corpului 2, iar

F 21 reprezint a reactiunea corpului 2 asupra corpului 1.

Principiul relativitat ii a lui Galilei arma ca, pornind dela situat ii init iale similare, evolut ia unui ansamblu de particuleizolat (nu act ioneaz a nici o forta din exterior asupra ansamblu-lui) este aceeasi n orice sistem de referinta inertial.

O consecint a deosebit de importanta a acestui principiu se ob-tine exprim and legea a doua a lui Newton pentru o particula careface parte dintr-un ansamblu izolat, fat a de sistemele inert iale S si S :

m r = F ( r, r, t ) fat a de S(2.34)

m r = F ( r , r , t ) fat a de S

Se observa ca legea fortei este aceeasi n ambele sisteme de referin-t a, conform principiului relativitat ii a lui Galilei. Legatura dintre

61


62/234

sistemele inertiale este dat a de transformarea Galilei (2.25), care

derivat a de doua ori conduce la relatia:

r = r (2.35)

adica acceleratiile particulei n sistemul S si S sunt identice. Con-form relatiei (2.34) rezult a:

F ( r , r , t ) = F ( r, r, t ) (2.36)

Folosind relat iile de transformare Galilei, egalitatea (2.36) devine:

F ( r v t, r v, t) F ( r, r, t ) (2.37)identitate ce exprima invariant a expresiei fort ei exercitateasupra unei particule dintr-un ansamblu izolat, la schimbareasistemului de referint a inert ial. Cu alte cuvinte, daca avem ladispozitie o multime innit a de sisteme de referint a inert iale, con-form principiului relativitat ii a lui Galilei nici unul din aceste sis-teme nu este privilegiat n descrierea misc arii unei particule liberesi toate principiile Mecanicii au aceeasi forma fat a de orice sistemde referint a inertial.

In concluzie, Dinamica studiaza miscarea corpurilor pornind dela expresiile, presupuse cunoscute, ale fort elor exercitate asupralor. Baz andu-ne pe principii, s a vedem cum se formuleaza concretproblemele Dinamicii.

Fie un punct material de masa m solicitat de fort a F ( r, r, t ) cereprezint a o actiune exterioara cunoscut a. Problema de dinamicaconst a n determinarea misc arii particulei, iar rezolvarea ei se facecu ajutorul ecuat iei diferent iale vectoriale (2.31) pentru vectorul

62


63/234

de pozitie r al particulei, ca funct ie de timp. Aceast a ecuatie vec-

torial a, scrisa pe componente revine la un sistem de trei ecuatiidiferent iale de ordin doi, n form a normal a, pentru funct iile x(t),y(t) si z(t):

mx = F x (x,y,z, x, y, z, t )my = F y(x,y,z, x, y, z, t ) (2.38)mz = F z (x,y,z, x, y, z, t )

Acestui sistem de ecuat ii diferent iale i se asociaza conditiileinit iale :

x(to) = xo x(to) = voxy(to) = yo y(to) = voy (2.39)z(to) = zo z(to) = voz

Sistemul de ecuat ii diferent iale (2.38) impreun a cu conditiile initi-ale (2.39) formeaza o problem a Cauchy care ne ofera, conformmatematicii, o solut ie unic a de forma:

x = x(t)y = y(t) (2.40)

z = z(t)obtin andu-se legea de miscare a particulei:

r = r(t) (2.41)

determinata de conditiile initiale:

r(to) = ro(2.42)

r(to) = vo

63


64/234

Numim stare mecanica la momentul t a unui punct material,

ansamblul {r(t), r(t)}format din vectorul s au de pozitie si vitezasa n acel moment. Conditiile init iale (2.42) denesc starea me-canica a particulei la momentul to.

Deci, n ipoteza c a expresia fortei este cunoscut a, starea mecanic aa unei particule la un moment dat determin a univoc legea ei dede miscare. Principial este sucient sa cunoastem starea mecanic ala un moment to pentru a deduce, f ar a nici o ambiguitate, stareamecanica a particulei la orice alt moment. Legea de miscare poate gasit a efectiv prin integrarea ecuatiei diferent iale (2.31), care se

numeste ecuatia de miscare a particulei.Observat ie : pana acum s-a discutat modul n care legile luiNewton guverneaz a miscarea punctelor materiale n sistemele dereferint a inert iale. Este necesar s a facem cateva considerat ii dedinamic a privind sistemele de referint a neinert iale (sistemepentru care nu mai este valabil principiul inert iei). Fat a de sis-temele neinert iale, legea a doua a lui Newton are un enunt similaraceluia fat a de sistemele inert iale, cu deosebirea major a ca forteicare descrie actiunea zic a a altor corpuri asupra particulei tre-buie sa i se adauge fort ele de inert ie , anume forta de transportsi forta Coriolis. Celelalte legi ale lui Newton (principiul inertiei,independent ei act iunilor, act iunii si react iunii) r aman neschim-bate n ce priveste traducerea propriet at ilor act iunilor zice prinnsusiri ale legilor fort elor.Remarc am ca, n general, ecuatia de miscare a unei particule ntr-un sistem de referint a neinert ial este considerabil mai complicatadecat ecuat ia de miscare scris a fat a de un sistem inert ial. Inconsecint a, legea de miscare a particulei este mai greu de calculat.Desi aceste considerat ii arat a ca sistemele inert iale sunt privile-

64


65/234

giate, totusi n multe cazuri sunt folosite sistemele de referint a

neinert iale.

2.4 Interact iile fundamentaleCele cinci principii ale Dinamicii, mpreuna cu principiul carac-terului absolut al masurii timpului alc atuiesc sistemul de principiizice fundamentale, pornind de la care se dezvolt a logic ntreagaMecanica newtoniana. Principiile Mecanicii newtoniene sunt con-forme cu realitatea pentru un domeniu foarte intins de misc ari alecorpurilor. Domeniile n care ele nceteaz a sa e valabile sunt:

misc arile corpurilor cu viteze apropiate de viteza luminii, caresunt descrise corect pe baza principiilor Teoriei relativit atii misc arile particulelor la scar a atomic a si nuclear a a caror de-scriere este guvernat a de principiile Mecanicii cuanticeIn afar a de informat ia zica generala continuta n principii, nMecanica newtonian a se mai introduce informat ia zica sub formalegilor de forta ale interact iilor care apar n diferite probleme con-crete. Fort ele din Mecanica corespund unor interactii zice com-

plexe, dar oricat de complexe ar exist a o anumit a suprapunerede interact iuni fundamentale .In prezent, se cunosc patru clase de interactiuni fundamentale pecare le vom enumera n ordinea intensit at ii crescande.

Interactiunile gravitat ionale sunt cele mai slabe, dar cele maigenerale: orice pereche de corpuri care au mase interact ioneaz agravitat ional. Legea de fort a a acestei interact iuni a fost de-dusa de Newton (1687). Forta gravitational a dintre dou a par-ticule este atractiva, proport ional a cu produsul maselor si invers

65


66/234

proport ional a cu patratul distant ei dintre particule:

F grav = m1m2

r 12r12r 12

(2.43)

cunoscut a sub numele de legea gravitat iei universale . esteconstanta gravitat ionala universal a si a fost determinata ex-perimental, cu precizie, de c atre Cavendish (1798): = 6 .67 10 11 Nm 2kg 2.

Observat ii :

miscarea corpurilor ceresti este determinat a n principal de in-teract iunea lor gravitational a si deci este guvernat a de legea gra-vitat ional a universal a (2.43)

la scara terestr a, prezint a important a atract ia gravitational aa Pam antului asupra oricarui alt corp; fort a corespunz atoare, nvecinatatea suprafetei terestre se numeste greutatea corpurilor;interact iunea gravitatinal a a corpurilor la suprafat a P amantuluieste complet neglijabil a fat a de celelalte interact iuni ale lor.

Interact iunile electromagnetice sunt mult mai puternice de-cat cele gravitat ionale , dar se manifest a numai ntre particulelecare poseda sarcina electric a . Legea de forta a interact iuniielectromagnetice dintre doua corpuri ncarcate nemiscate a foststabilita de Coulomb (1785). Forta coulombiana dintre dou aparticule ncarcate este proportional a cu produsul sarcinilor q1 siq2 ale particulelor, invers proportional a cu patratul distant ei din-tre ele si este atractiva sau repulsiv a, dup a cum sarcinile au semnecontrare sau au acelasi semn:

F Coulomb = kq1q2r 212

r12r 12

(2.44)

66


67/234

Factorul de proportionalitate k este pozitiv, iar valoarea lui rezulta

din alegerea unit at ilor de masur a:

k 1

4 o= 8 .99 109 Nm 2C 2 (2.45)

O particul a cu sarcina q aat a n miscare cu viteza vntr-un campelectromagnetic extern, este supusa fort ei Lorentz :

F = q( E + v B) (2.46)unde E este intensitatea campului electric iar B este induct iacampului magnetic la un moment dat si n punctul n care segaseste particula n acel moment.

Observat ie : majoritatea fenomenelor din natur a sunt datorateinteract iunilor electromagnetice; astfel, structura stabil a a atomi-lor si moleculelor, coeziunea corpurilor, frec arile, react iile chimice,procese biologice constituie exemple ale suprapunerii tot mai com-plexe a interact iilor electromagnetice.

Teoria sistematica a interact iunilor electromagnetice si a efectelor

lor macroscopice este studiat a de Electrodinamica clasic a, iarstudiul aprofundat al interact iunilor electromagnetice pure dintreparticulele elementare formeaza obiectul Electrodinamicii cuan-tice.

Interact iunile slabe si tari se manifest a numai la scar a nu-cleara, la distant e cel mult de ordinul 10 15 m. Interact iunileslabe sunt cele care produc react ii de tipul emisiei a unor nucleeradioactive; aceste interactii au o intensitate de 10 9 ori mai micadecat aceea a celor electromagnetice. Interactiunile tari leag a

67


68/234

str ans protonii si neutronii n nucleele atomice, asigur and sta-

bilitatea nucleelor. Interact iunile tari sunt de circa 103

ori maiintense dec at cele electromagnetice.

2.5 Teoremele generale ale Mecaniciipentru un punct material

Teoremele generale ale Mecanicii sunt consecint ele principiilor Di-namicii, care nlesnesc abordarea problemei misc arii unei particulesau sistem de particule. Vom considera n continuare un punct

material de mas a m si solicitat de fort a

F ( r,r, t ), dat a ntr-unsistem de referint a inertial S .

2.5.1 Teorema impulsuluiSe numeste impuls al unei particule, produsul dintre masa m siviteza v = r a particulei. Impulsul se noteaza cu p iar unitatea demasur a n sistemul internat ional de unit at i este [ p]SI = kg m/ssau N s:

p = mv (2.47)

Daca vom deriva n raport cu timpul relat ia de denit ie (2.47)vom obtine:

d pdt

= mdvdt

= m r = F (2.48)

Aceasta formula ne arat a ca derivata n raport cu timpul a im-pulsului este egal a cu forta totala exercitat a asupra particulei sireprezint a teorema impulsului pentru un punct material. Acest

68


69/234

rezultat nu este decat o denitie alternativa a fortei, care foloseste

notiunea de impuls, cele dou a denitii: F = ma

(2.49)

F =d pdt

ind echivalente atunci c and masa este constanta.

O consecint a imediat a a formulei (2.48) se refera la cazul candforta totala care actioneaz a asupra particulei este nula; atunci sinumai atunci, impulsul total al particulei se conserv a n timp:

F 0 p(t) p(to) (2.50)Aceast a concluzie este numit a legea de conservare a impulsu-lui . Din punct de vedere matematic, componentele constante px , py si pz ale impulsului particulei libere sunt integrale prime aleecuatiei de miscare (2.31), adic a integrale prime ale sistemului deecuat ii diferent iale (2.38).

2.5.2 Teorema momentului cinetic

Momentul impulsului sau momentul cinetic (orbital) alunei particule este denit ca produsul vectorial dintre vectorul depozitie r si impulsul p al particulei:

l = r p [l]SI = J s (2.51)69


70/234

Vom calcula n continuare derivata n raport cu timpul a momen-

tului cinetic folosindu-ne si de formula (2.48):d ldt

=ddt

( r p) = r p + r p = r F + m r r = M

d ldt

= M (2.52)

unde M = r F reprezint a momentul fort ei . Relatia (2.52)exprim a teorema momentului cinetic : derivata n raport cutimpul a momentului cinetic al unei particule este egal a cu mo-mentul fort ei exercitate asupra particulei.

O consecint a a teoremei momentului cinetic se refer a la cazulcand momentul fort ei totale care act ioneaz a asupra particulei estenul; atunci si numai atunci, momentul cinetic al particulei se con-serva n timp:

M 0 l(t) l(to) (2.53)Acest rezultat se numeste teorema de conservare a momen-tului cinetic . Componentele constante lx , ly si lz ale momentuluicinetic sunt integrale prime ele ecuatiei de miscare (2.31) si sunt

complet determinate de starea mecanic a a particulei la momentulto.

Observat ie : momentul fort ei totale ce act ioneaz a asupra uneiparticule poate nul n urm atoarele cazuri:

F = 0 M = 0 l = const. F = 0; acest lucru se nt ampl a atunci c and fort a este o fortacentrala , adica direct ia fort ei ce actioneaz a asupra particuleitrece printr-un punct x dat numit centru de fort a ( Fig. 2).

70


71/234

F SL

m

r

O

Fig. 2

Expresia unei fort e centrale este: F = f ( r, t )

rr

(2.54)

deci are directia vectorului de pozit ie. Momentul acestei fort ecentrale va :

M = r F = r f ( r, t )rr

= 0

l = const. (2.55)

2.5.3 Teorema energiei cineticeEnergia cinetica este o marime scalar a nenegativ a denit a prinsemiprodusul dintre masa si patratul vitezei particulei:

E cin =12

mv2 =12

mv v (2.56)

Fie o portiune din traiectoria unei particule cuprins antre puncteleA1 si A2 (Fig.3) n care particula se gaseste la momentele t1 si re-spectiv t2. In intervalul de timp elementar dt, particula parcurge

71


72/234

x

y

z(C)

S P

rr

O

A1

r1

r2

A2

AA

Fig.3

arcul AA avand vectorul deplasare:

AA = dr = vdt (2.57)

Fie F ( r, v, t) forta ce actioneaz a asupra particulei n punctul A.Produsul scalar:

dL = F dr = F xdx + F ydy + F zdz = F |r|cos (2.58)se numeste lucrul mecanic elementar al fortei F corespunz atordeplas arii elementare dr a particulei. Unghiul este unghiul din-tre fort a si direct ia deplas arii. Semnicat ia liniut ei transversale

72


73/234

de pe litera d n ecuat ia (2.58) este c a expresia diferent ial a dL

nu este n general diferent ial a total a a vreunei funct ii de pozitiaparticulei.

Observat ii :

daca forta este perpendiculara pe directia deplas arii ( F dr)atunci lucrul mecanic elementar este nul daca forta nu este perpendiculara pe directia deplas arii, atuncilucrul mecanic elementar poate pozitiv si se numeste lucrulmecanic primit de particul a sau lucrul mecanic motor , sau

poate negativ si atunci se numeste lucrul mecanic cedat departicul a sau lucrul mecanic rezistent

lucrul mecanic efectuat de fort a F n unitatea de timp este numitputerea fortei F care se exercita asupra particulei, la momentult:

dLdt

= P = F v (2.59)Puterea poate pozitiva (putere primita ), negativ a (puterecedat a ) sau nul a.

Lucrul mecanic total corespunzator deplas arii particulei n inter-valul de timp [t1, t2] se numeste lucrul mecanic integral si estedenit prin relat ia:

L[t1, t2] A2A 1 F ( r, v, t) dr (2.60)Daca vom utiliza n continuare legea de miscare a particulei r =r(t) vom putea transforma integrala (2.60) ntr-o integral a dup a

73


74/234

timp (integrala Riemann):

L[t1, t2] = t 2t 1 F [r(t), v(t), t ]v(t)dt (2.61)Vom deriva n continuare energia cinetic a a particulei n raportcu timpul:

dE cdt

=ddt

(12

mv v) =12

m[vv+ v v] = mvv = v F =dLdt

dE cdt = dLdt dE c = dL (2.62)

Relat ia (2.62) arata ca derivata n raport cu timpul a energieicinetice a unei particule este egal a cu puterea fort ei exercitateasupra particulei, sau variat ia energiei cinetice a particulei ntr-un interval innitezimal dt este egala cu lucrul mecanic elemen-tar efectuat n acest interval de timp de fort a exercitata asupraparticulei. Armatiile de mai sus sunt enunt uri echivalente aleteoremei energiei cinetice , n forma diferent iala . Forma

integrala a acestei teoreme se exprim a prin relat ia:

E cin (t2) E cin (t1) = t 2t 1 F [r(t), v(t), t ]v(t)dtE cin (t2) E cin (t1) = L[t1, t2] (2.63)

Deci, variat ia energiei cinetice a unei particule n intervalul detimp [t1, t2] este egala cu lucrul integral al fort ei exercitate asupraparticulei.

74


75/234

2.5.4 Energia potent iala. Energia mecanica.

Teorema de conservare a energiei meca-nice

Fie cazul particular c and forta ce actioneaz a asupra particulei nudepinde decat de pozit ia particulei (nu si explicit de timp), deciparticula se misca sub actiunea unui camp de fort e static :

F = F ( r) = F (x,y,z ) (2.64)

Vom considera de asemenea c a lucrul mecanic al acestei fort e nu

depinde de drumul urmat de particul a (campuri speciale de fort e).Din punct de vedere al Analizei matematice, condit ia necesar a sisucient a ca integrala curbilinie a unei funct ii vectoriale F = F ( r)(lucrul mecanic) s a e independent a de curba care uneste dou apuncte date si sa depind a numai de aceste puncte, se poate ex-prima prin urmatoarele dou a armat ii echivalente:

exist a o functie U = U ( r), determinata pana la o constant aaditiv a, care satisface identic egalit atile:

F x = U x

F y = U y

(2.65)

F z = U z

Totodata este adevarat a relatia:

A 2A1 F dr = [U ( r2) U ( r1)] (2.66)75


76/234

unde integrala curbilinie se ia pe un drum arbitrar

Funct iile F x (x,y,z ), F y(x,y,z ) si F z(x,y,z ) verica identit at ile:F yx

=F xy

;F zy

=F yz

;F xz

=F zx

(2.67)

Proprietatile (2.65) si (2.67) scrise sub forma vectorial a devin: F ( r) = U ( r) (2.68)

F ( r) = 0 (2.69)

Daca functia vectorial a F ( r), cu proprietatea (2.68) este un campde forte, atunci m arimea U (x,y,z ) se numeste energia potent iala

a particulei n punctul de coordonate x,y,z si este un camp scalar.Daca campul de forte F ( r) deriva dintr-o energie potential a U ( r),atunci lucrul mecanic elementar al fortei este diferent iala totalaa unei functii de coordonate:

dL = F dr = F xdx + F ydy + F zdz

= U x

U y

U z

= dU (x,y,z )dL = dU (2.70)

Deoarece particula se misc a, energia ei potent ial a depinde de timpprin intermediul coordonatelor particulei. Prin mp art irea iden-tit at ii (2.70) la intervalul de timp dt, corespunzator deplas arii d r,se obtine expresia puterii fort ei:

F v = dU dt

(2.71)

Daca vom tine cont acum de expresia matematic a a teoremei en-ergiei cinetice, vom obtine urm atorul rezultat:

ddt

(E cin + U ) = 0 (2.72)

76


77/234

d(E cin + U ) = 0 (2.73)

Suma dintre energia cinetica si energia potent ial a a particulei:

E E cin + U (2.74)se numeste energia mecanica a particulei. Relat iile (2.72) si(2.73) reprezint a forma diferent iala a legii conserv arii en-ergiei mecanice , care se enunt a astfel: n cursul miscarii uneiparticule ntr-un c amp de forte static al c arui lucru mecanic nu de-pinde de drumul urmat, energia mecanic a a particulei nu variz a ntimp. Forma integral a a legii conservarii energiei se obtinedin relat ia (2.66) si forma (2.63) a teoremei energiei cinetice:

E cin (t2) E cin (t1) = U ( r1) U ( r2)(E cin + U )t 2 = ( E cin + U )t 1 (2.75)

In consecint a, atunci c and o particul a se misca ntr-un camp deforte static, derivat dintr-o energie potent ial a se denete energiamecanica a particulei cu proprietatea esent ial a ca se conserva ntimp. M arimea conservat a E este complet determinata de stareainitial a a particulei:

E [r(t), v(t)]

E ( ro, vo) =

1

2mv2o + U ( ro) (2.76)

Observat ii

din punct de vedere matematic, energia este o integral a prim aa ecuatiei de miscare (2.31) se disting doua feluri de forte: forte pentru care se poate formulalegea conservarii energiei, numite fort e conservative si forte carenu au aceast a proprietate, numite fort e neconservative

77


78/234

2.6 Teoremele generale ale Mecaniciipentru un sistem de puncte mate-riale

Fie un sistem de N puncte materiale ( N > 1) de mase m i(i =1, N ) ecare. Presupunem cunoscute toate fort ele, exterioare siinterioare, exercitate asupra particulelor din ansamblul consid-erat.

Vom deni centrul de masa al sistemului de puncte materi-

ale, ca ind punctul geometric caracterizat de vectorul de pozit ie(Fig. 4):

R =

N

i=1m i ri

N

i=1m i

=1

M

N

i=1

m i ri

R =N

i=1

m iM

ri (2.77)

unde M =N

i=1m i reprezint a masa total a a sistemului de puncte

materiale.Observat ie : vectorul de pozitie R al centrului de mas a este sumaponderat a a vectorilor de pozitie ai tuturor particulelor din sistem,cu ponderi egale cu rapoartele dintre masele particulelor individ-uale si masa totala a sistemului, m iM .

Vom deni viteza centrului de mas a privit ca un punct c-

78


79/234

O

x

y

z

m2

m1

m3

mi

1r

2r

ir

CM

Fig. 4

tiv, ca ind:

V = R =

N

i=1m

iri

M = 1

M

N

i=1

m i ri (2.78)

iar accelerat ia centrului de masa :

V = R =

N

i=1m i ri

N

i=1m i

=1

M

N

i=1

m i ri (2.79)

79


80/234

2.6.1 Teorema impulsului pentru un sistem de

puncte materialePrin denit ie, impulsul P al sistemului de particule este egalcu suma impulsurilor particulelor constituente:

P =N

i=1

pi (2.80)

Vom nota n continuare prin F ext ca ind forta totala exterioar ace actioneaz a asupra sistemului de particule si care este egala cu

suma fortelor exterioare F ext,i ce actioneaz a asupra ec arei par-ticule, iar prin F int - forta totala interioar a ce actioneaz a asuprasistemului de particule si care este egal a cu suma fortelor inte-rioare F int,i ce actioneaz a asupra ecarei particule (Fig. 5):

mim j

Fext,i

Fint,iF j,i

Fi,j

Fig. 5

80


81/234

F ext N

i=1

F ext,i (2.81)

F int N

i=1

F int,i (2.82)

Fort a care act ioneaz a asupra ecarei particule i a sistemului va :

F i = F ext,i + F int,i (2.83)

iar ecuat ia de miscare va , conform principiului doi al Mecanicii:m i ri = F i( r1, r2, ..... r N ; r1, r2.... rN ; t) (i = 1 , N ) (2.84)

Scrise pe componente, cele N ecuat ii diferent iale vectoriale (2.84)revin la un sistem de 3N ecuat ii diferent iale de ordinul doi, pentrucomponentele vectorilor de pozit ie ai tuturor particulelor ri , cafunctii de timp. Acestui sistem i asociem urm atoarele 6N conditiiinitiale:

ri(to) = roi(2.85)

ri(to) = voi

Sistemul de ecuat ii diferent iale (2.84) si condit iile init iale (2.85)alcatuiesc o problem a Cauchy care ne ofera o solutie unic a:

ri = ri(t) i = 1 , N (2.86)

Aceast a solutie reprezint a legea de miscare a sistemului departicule determinata de conditiile init iale (2.85). Ansamblul

81


82/234

vectorilor de pozit ie ai tuturor particulelor la un moment dat t

{r1(t), r2(t), .... r N (t)}, deneste congurat ia sistemului n mo-mentul respectiv. Numarul parametrilor care determin a completcongurat ia unui sistem de particule se numeste numarul grade-lor de libertate ale sistemului. In cazul sistemului analizat panaacum, num arul gradelor de libertate este 3 N . Ansamblul vecto-rilor de pozitie si vitezelor tuturor particulelor la momentul t,

{r1(t), r2(t), .. rN (t); r1, r2.. rN }deneste starea mecanica a sis-temului de puncte materiale la momentul t. Prin urmare,condit iile init iale (2.85) xeaza starea mecanic a la momentul to asistemului, iar legea de miscare (2.86) va reprezenta evolutia n

timp a congurat iei sistemului de particule.In continuare vom deriva, n raport cu timpul, relat ia (2.80):

d P dt

P =N

i=1

pi =N

i=1

F i =N

i=1

F ext,i +N

i=1

F int,i

= F ext + F int (2.87)

Dar, n virtutea principiului independent ei actiunilor si a prin-cipiului actiunii si react iunii, rezultanta fort elor interioare este

ntotdeauna nul a, pentru un sistem de particule (fort ele interioareactioneaz a asupra ec arei perechi de particule si sunt egale si desens contrar). Ca urmare, relat ia (2.87) devine:

d P dt

= F ext (2.88)

ceea ce exprima teorema impulsului pentru un sistem depuncte materiale : derivata n raport cu timpul a impulsuluitotal al unui sistem de particule este egala cu rezultanta tuturorfortelor exterioare exercitate asupra particulelor.

82


83/234

O consecint a a acestei teoreme se refera la cazul n care rezul-tanta fort elor exterioare este nula; atunci si numai atunci, impul-sul total al sistemului de particule se conserva:

F ext 0 P (t) P (to) (2.89)Aceast a ultim a relatie exprim a legea de conservare a impulsu-lui total . Din punct de vedere matematic, componentele P x , P ysi P z sunt integrale prime ale ecuatiilor diferent iale (2.84) si suntcomplet determinate de starea mecanic a la momentul to, (2.85) aansamblului de puncte materiale. In particular, impulsul total alunui sistem de puncte materiale izolat este constant.

Din denitiile (2.80) si respectiv (2.78) rezulta:

P N

i=1

pi =N

i=1

m i ri = M R

M R = P (2.90)

Derivand n raport cu timpul relat ia (2.90) si folosind teoremaimpulsului (2.88), obt inem:

M

R = F ext (2.91)Relat iile (2.90) si (2.91) arata ca impulsul centrului de masa alunui sistem de particule este impulsul total al sistemului, iarforta asupra centrului de masa este rezultanta tuturor fort elorexterioare exercitate asupra particulelor din sistem. Dac a se pre-supune cunoscut a forta exterioar a F ext , atunci ecuat ia (2.91) re-prezint a ecuatia de miscare a centrului de masa si poate inte-grat a, specicandu-se starea mecanica la momentul init ial to:

R(to) = Ro

83


84/234

(2.92)

R(to) = V o

2.6.2 Teorema momentului cinetic total pen-tru un sistem de puncte materiale

Momentul cinetic total L al sistemului de particule este sumamomentelor cinetice individuale ale particulelor:

L N

i=1

li (2.93)

Vom deni momentul rezultant al fort elor exterioare :

M ext N

i=1

M ext,i =N

i=1

ri F ext,i (2.94)si momentul rezultant al fort elor interioare :

M int N

i=1

M int,i =N

i=1

ri F int,i (2.95)Derivam n raport cu timpul relat ia (2.93):

L =N

i=1

M i =N

i=1

ri F i =N

i=1

ri ( F ext,i + F int,i )

=N

i=1

ri F ext,i +N

i=1

ri F int,i

=N

i=1

M ext,i +N

i=1

M int,i = M ext + M int

d Ldt

= M ext + M int (2.96)

84


85/234

Formula (2.96) reprezinta teorema momentului cinetic : deri-

vatan raport cu timpul a momentului cinetic total al unui sistemde puncte materiale este egala cu suma celor doua momente rezul-tante, al fort elor exterioare ai al fortelor interioare.

O consecint a a acestei teoreme se refera la cazul n care sumamomentelor rezultante este nula; atunci si numai atunci, momen-tul cinetic total se conserv a:

M ext + M int 0 L(t) L(to) (2.97)

Observat ie

Denim un sistem de particule ca ind un sistem conservativatunci c and fortele de interact iune ntre toate perechile de parti-cule nu depind de vitezele relative ale acestora, adica au forma:

F i,j ( ri,j ) = f i,j (r i,j )ri,jr i,j

(2.98)

unde ri,j = ri

r j este vectorul pozit iei relative a particulelor i

si j . Deci, pentru un sistem conservativ de particule este valabil aegalitatea:

ri,j F i.j = 0 (2.99)Vom calcula acum momentul fortelor interioare pentru un sistemconservativ de particule:

M int =N

i

M int,i =N

i

ri F int,i =N

i

ri j,j = i

F i,j

85


86/234

=i,j

ri,j F i,j =i,j

( ri F i,j + r j F j,i )

=i,j

( ri r j ) F i,j =i,j

ri,j F i,j = 0

M int = 0 (2.100)Astfel, pentru un sistem conservativ de particule, mometul rezul-tant al fort elor interioare este ntotdeauna nul. Ca urmare, legeamomentului cinetic pentru un sistem conservativ este:

d Ldt

= M ext (2.101)

iar legea de conservare a momentului cinetic total va avea forma: M ext 0 L(t) L(to) (2.102)

Componentele constante Lx , Ly si Lz ale momentului cinetic totalsunt integrale prime ale sistemului de ecuatii de miscare (2.84)si sunt complet determinate de starea mecanic a la mometul to(2.85).

2.6.3 Teorema energiei cinetice pentru un sis-tem de puncte materiale. Conservareaenergiei mecanice

Energia cinetic a total a pentru un sistem de puncte materialeeste dent a ca suma energiilor cinetice individuale ale tuturorparticulelor:

E cin N

i=1

E cin,i =12

N

i=1

m i ri2

(2.103)

86


87/234

Lucrul mecanic elementar al fort elor exterioare este egal

cu suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fort elor exte-rioare:

dLext N

i=1

F ext,i dri (2.104)

iar lucrul mecanic elementar al fort elor interioare este egalcu suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fort elor inte-rioare:

dL int

N

i=1

F int,i dri (2.105)

Diferentiala energiei cinetice totale, plecand de la denit ia (2.103),va :

dE cin =N

i=1

dE cin,i =N

i=1

F idri =N

i=1

( F ext,i + F int,i dri

=N

i=1

F ext,i dri +N

i=1

F int,i dri = dLext + dLint

dE

cin= dL

ext+ dL

int(2.106)

ceea ce reprezinta teorema energiei cinetice pentru un sistemde particule, sub forma diferent iala adica, variat ia energiei ci-netice totale a unui sistem de particule ntr-un interval de timpinnitezimal dt este egala cu suma lucrurilor mecanice elementareefectuate de fortele exterioare si de fort ele interioare. Dac a se inte-greaza expresia (2.106) se va obtine forma integrala a teoremeienergiei cinetice :

E cin (t2) E cin (t1) = Lext [t1, t2] + L int [t1, t2] (2.107)87


88/234

unde Lext [t1, t2] si respectiv L int [t1, t2] reprezint a lucrul mecanic

integral al fort elor exterioare, respectiv interioare.

Vom considera n continuare un sistem de particule conservativ.Tin and cont de expresia (2.98) a fort elor interioare, atunci lucrulmecanic elementar al fort elor interioare:

dLint =N

i=1

F int,i dri = di,j

U ij (2.108)

unde

U int =i,j

U ij (r i,j ) (2.109)

reprezint a energia potent iala a fort elor interioare . Astfel,lucrul mecanic elementar al fort elor interioare va :

dLint = dU int (2.110)iar lucrul mecanic integral al fort elor interioare nu depinde decatde congurat iile initial a si nal a ale sistemului:

L int [t1, t2] =

[U int (t2)

U int (t1)] (2.111)

Daca vomnlocui acest rezultat n expresia matematic a a teoremeienergiei cinetice (2.106) vom obtine:

d(E cin + U int ) = dLext (2.112)

Suma dintre energia cinetica total a si energia potent ial a a fortelorinterioare se numeste energia mecanica interna a sistemuluiconservativ:

E int = E cin + U int (2.113)

88


89/234

In orice interval de timp n care lucrul mecanic al fortelor exte-

rioare este identic nul si numai atunci, energia intern a a sistemuluise conserva n timp:

Lext [t1, t2] 0 E int (to) E int (t1) (2.114)ceea ce reprezinta teorema de conservare a energiei mecaniceinterne .

Analog, daca se analizeaza cazul n care asupra sistemului conser-vativ act ioneaz a numai forte exterioare conservative:

F ext,i ( ri) =

U ext,i ( ri) (2.115)

atunci suma:

U ext ( r1, r2, .... r N ) =N

i=1

U ext,i ( ri) (2.116)

reprezint a energia potent iala a fort elor exterioare . Lucrulmecanic elementar al fort elor exterioare conservative este egalcu diferentiala totala a energiei potent iale a fortelor exterioare

dU ext :

dLext = dU ext (2.117)Deci, lucrul mecanic integral al fort elor exterioare n intervalulde timp [t1, t2] depinde doar de congurat iile initial a si nal a alesistemului conservativ:

Lext [t1, t2] = [U ext (t2) U ext (t1)] (2.118)Pornind de la expresia (2.117), si daca vom tine cont si de teoremaenergiei mecanice interne (2.112) atunci vom obtine identitatea:

d(E cin + U int + U ext ) = 0 (2.119)

89


90/234

Vom deni energia potent iala total a a sistemului suma din-

tre energia potent ial a a fortelor exterioare si energia potent ial a afortelor interioare:

U U int + U ext (2.120)iar suma dintre energia potent ial a total a si energia cinetic a total ase numeste energia mecanica total a a sistemului de punctemateriale:

E E cin + U = E cin + U int + U ext = E int + U ext (2.121)Relat ia (2.119) exprim a sub forma diferential a legea de conser-vare a energiei totale pentru un sistem de particule conservativ,aat ntr-un c amp de forte exterioare conservative, adica:

E (t) E (to) (2.122)Energia totala este o integral a prim a a sistemului ecuat iilor demiscare (2.84) si este complet determinat a de starea mecanic ainitial a, la momentul to.

2.6.4 Teoremele lui K onigSa analiz am n continuare cum se descompune miscarea unui sis-tem de particule fat a de doua sisteme de referint a S si S . Fie unsistem de referint a S cu originea plasat a n centrul de masa C alunui ansamblu de particule si avand o miscare de translatie fat ade sistemul de referint a inertial S (Fig.6).Miscarea ansamblului de particule n sistemul S se numeste miscareabsolut a , iar n sistemul S se numeste miscare relativa fat ade centrul de masa . Pentru un punct material P (Fig.6) al

90


91/234

x

y

z

x

y

zS P

r r

RO

CM

Fig.6

sistemului de particule sunt adev arate relat iile:

ri = R + ri (2.123)vi = V + vi (2.124)

Deoarece centrul de mas a al sistemului de particule are fata desistemul de referint a S vectorul de pozit ie R = 0, din relat iile(2.77) si (2.78) rezult a:

N

i=1

m i ri = 0 (2.125)

N

i=1

m i vi = 0 (2.126)

91


92/234

Vom deni momentul cinetic total L si energia cinetica to-

tala E cin ale sistemului de particule n miscarea relativ a fat a decentrul de mas a prin relat iile:

L N

Documents

Complemente de buzatu C