CMO P L A N T E A R Y R E S O L V E R P R O B L E M A S

Investigacin d e l p r o b l e m a Planteamient lgico d e l p r o b l e m a Exploracin d e altrnativas lgicas Seleccin d e l a solucin ptima Evaluacin d e l a solucin

V G : P b i y a

t r i l l a s C|

1

U I W E J Q B S O L U C I N

D E MATEMTICS

Catalogacin e n l a f u e n t e

Polya, (jeorge Cmo plantear y resolver problemas. - Mxico : Trillas,

1965 (reimp. 2011). 215 p. ; 23 cm. - (Matemticas) Traduccin de: How To 5olve It l5Bn 978-968-24-0064-3

1. Matemticas - Problemas, ejercidos, etc. I. t. II. Ser.

D-511'P646c LC-QA43'P6.2 111

Traduccin: Prof. Julin Zagazagoltia

Ttulo de esta obra en Ingls: How To Solve It

Princeton Unlversity Press, U.S. A.

G . Polya

Wersin autorizada en espaol de la segunda edicin

publicada por Achor Books

La presentacin y disposicin en conjunto de

CMO PLAHTEAB Y BESOLWEf PB0BLEMA5

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Derechos reservados en lengua espaola 1 9 6 5 , Editorial Triias, 5. A. de C. [/.,

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w w w . t r i l i a s . c o m . n n x

^ T i e n d a e n lnea w w w . e t r i l l a s . c o m . m x

Miembro de la Cmara'Hacionai de la Industria Editorial, feg. nm. 138

Primera edicin en espaol, M A 5BH 978-968-24-0064-5 ^ ( M O , E 5 , E R , E L , E A , E M , E R , E O , R R , X I , X L , X A , X M , X E , X O , 0 5 , G R , O L , O A , O M , G E , G X , O G , 5 5 , 5 T , 5 R , 5 A , 5 X , T 5 )

Reimpresin, 2 0 1 1

impreso en Mxico Prnted n Mxico

u n

I O o m p r e n d e r e l p r o b l e m e

I I O o n c e b r u n p l a n

D e t e r m i n a r l a r e l a c i n e n t r e l o s d a t o s y l a i n c g n i t a -

D e n o e n c o n t r a r s e u n a r e l a c i n i n m e d i a t a ^

p u e d e c o n s i d e r a r p r o b l e m a s a u x i l i a r e s -

O b t e n e r f i n a l m e n t e u n p l a n d e s o l u c i n .

I I I E j e o u o l o n d e l p i a n

I V E x a m i n a r l a s o l u o i n o b t e n i d a

C o m p r e n d e r e l p r o b l e m a

Cul e s l a incgnita? Cules s o n l o s d a t o s ?

Cul e s l a condicin? Es l a condicin s u f i c i e n t e p a r a d e t e r m i n a r l a i n -cgnita? Es i n s u f i c i e n t e ? Redundante? Contradiccoria?

C o n c e b i r u n p i a n

Se h a e n c o n t r a d o c o n u n p r o b l e m a s e m e j a n t e ? O h a v i s t o e l m i s m o p r o b l e m a p l a n t e a d o e n f o r m a l i g e r a m e n t e d i f e r e n t e ?

Conoce u n p r o b l e m a r e l a c i o n a d o c o n ste? Conoce algn t e o r e m a q u e l e p u e d a s e r til? M i r e a t e n t a m e n t e l a incgnita y t r a t e d e r e c o r d a r u n p r o b l e m a q u e l e s e a f a m i l i a r y q u e t e n g a l a m i s m a incgnita o u n a incgnita s i m i l a r .

H e aqu u n p r o b l e m a r e l a c i o n a d o a l s u y o y q u e s e b a r e s u e l t o y a . Po-dra u s t e d u t i l i z a r l o ? Podra u t i l i z a r s u r e s u l t a d o ? Podra e m p l e a r s u mtodo? Le b a r i a a u s t e d f a l t a i n t r o d u c i r algn e l e m e n t o a u x i l i a r a f i n d e p o d e r u t i l i z a r l o ?

Podra e n u n c i a r e l p r o b l e m a e n o t r a f o r m a ? Podra p l a n t e a r l o e n f o r -m a d i f e r e n t e n u e v a m e n t e ? Refirase a l a s d e f i n i c i o n e s .

S i n o p u e d e r e s o l v e r e l p r o b l e m a p r o p u e s t o , t r a t e d e r e s o l v e r p r i m e r o algn p r o b l e m a s i m i l a r . Podra i m a g i n a r s e u n p r o b l e m a anlogo u n t a n t o ms a c c e s i b l e ? Un p r o b l e m a ms g e n e r a l ? Un p r o b l e m a ms p a r t i c u l a r ? Un p r o b l e m a anlogo? Puede r e s o l v e r u n a p a r t e d e l p r o -b l e m a ? C o n s i d e r e slo u n a p a r t e d e l a condicin; d e s c a r t e l a o t r a p a r t e ; en qu m e d i d a l a incgnita q u e d a a h o r a d e t e r m i n a d a ? En qu f o r m a p u e d e v a r i a r ? Puede u s t e d d e d u c i r lgn e l e m e n t o til d e l o s d a t o s ? Puede p e n s a r e n a l g u n a s o t r o s d a t o s a p r o p i a d o s p a r a d e t e r m i n a r l a incgnita? Puede c a m b i a r l a incgnita? Puede c a m b i a r l a incgnita o l o s d a t o s , o a m b o s s i e s n e c e s a r i o , d e t a l f o r m a q u e l a n u e v a incgnita y l o s n u e v o s d a t o s estn ms c e r c a n o s e n t r e s?

Ha e m p l e a d o t o d o s l o s d a t o s ? Ha e m p l e a d o , t o d a l a condicin? Ha c o n s i d e r a d o u s t e d t o d a s l a s n o c i o n e s e s e n c i a l e s c o n c e r n i e n t e s a l p r o b l e m a ?

E j e o u o i n d e l p i a n A l e j e c u t a r s u p l a n d e l a solucin, c o m p r u e b e c a d a u n o d e l o s p a s o s . Puede u s t e d v e r c l a r a m e n t e q u e e l p a s o e s c o r r e c t o ? Puede u s t e d d e -m o s t r a r l o ?

V i s i n r e t r o s p e c t i v a Puede u s t e d v e r i f i c a r , e l r e s u l t a d o ? Puede v e r i f i c a r e l r a z o n a m i e n t o ?

Puede o b t e n e r e l r e s u l t a d o e n f o r m a d i f e r e n t e ? Puede v e r l o d e g o l p e ? Puede u s t e d e m p l e a r e l r e s u l t a d o o e l mtodo e n algn o t r o p r o b l e m a ?

Heirstica 1 0 1

natodo ( c o m o s e h a e x p l i c a d o e n P R O B L E M A A U X I L I A R , 3 ) o i n c l u s o , c o n p o c o d e s u e r t e , p o d e m o s e m p l e a r l o s d o s a l a v e z . E n l a situacin c o n s i -

J e r a d a aqu , c o n o c e m o s l a solucin d e B , p e r o s i n s a b e r todava cmo g j - Q p l e a r l a . As p u e s , n o s p l a n t e a m o s l a s s i g u i e n t e s p r e g u n t a s : Puede usted u t i l i z a r l o ? ; puede e m p l e a } ' - su r e s u l t a d o ? ; puede u t i l i z a r su mtodo?

L a intencin d e u t i l i z a r u n c i e r t o p r o b l e m a y a r e s u e l t o i n f l u y e s o b r e n u e s t r a concepcin d e l p r o b l e m a a c t u a l . B u s c a n d o e s t a b l e c e r u n l a z o d e unin e n t r e e l l o s , i n t r o d u c i m o s e n e l n u e v o p r o b l e m a e l e m e n t o s c o r r e s p o n -d i e n t e s a c i e r t o s e l e m e n t o s i m p o r t a n t e s d e l a n t i g u o p r o b l e m a . P o r e j e m p l o , s i n u e s t r o p r o b l e m a c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r l a e s f e r a c i r c u n s c r i t a a l r e d e d o r d e u n t e t r a e d r o d a d o l o q u e c o n s t i t u y e u n p r o b l e m a d e geometr a d e l e s p a c i o p o d e m o s v a l e m o s d e u n p r o b l e m a anlogo, y a r e s u e l t o , d e g e o -metra p l a n a , q u e c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r e l crculo' c i r c u n s c r i t o a l r e d e d o r d e u n tr ingulo d a d o . R e c o r d a m o s a h o r a q u e , p a r a e s t e l t imo p r o b l e m a , n o s v a l i m o s d e l a s m e d i a t r i c e s d e l o s l a d o s d e l t r ingulo . P a r e c e , p u e s , i n d i c a d o t r a t a r d e i n t r o d u c i r aqu algn e l e m e n t o anlogo. E l l o n o s l l e v a as a l a eleccin, c o m o e l e m e n t o s a u x i l i a r e s c o r r e s p o n d i e n t e s , d e l o s p l a n o s p e r p e n d i c u l a r e s e n l o s p u n t o s m e d i o s d e l a s a r i s t a s d e l t e t r a e d r o . G r a c i a s a e s t a i d e a , n o s e s e n t o n c e s fcil e n c o n t r a r l a solucin d e l p r o b l e m a d e g e o -metra e n e l e s p a c i o , s i g u i e n d o ' l a analoga q u e p r e s e n t a c o n l a d e l p r o b l e m a d e geometra p l a n a d e l q u e n o s h e m o s a c o r d a d o .

E s t e e j e m p l o e s t pico. L a consideracin d e u n p r o b l e m a r e l a t i v o a l n u e s t r o y y a r e s u e l t o , n o s l l e v a a i n t r o d u c i r e l e m e n t o s a u x i l i a r e s , y e s t a

^5 introduccin d e e l e m e n t o s a p r o p i a d o s n o s p e r m i t e d e d u c i r d e l p r o b l e m a ^ r e l a t i v o e l m x i m o p r o v e c h o p a r a l a solucin d e l p r o b l e m a i n i c i a l . T a l e s

e l r e s u l t a d o q u e buscbamos c u a n d o , p e n s a n d o e n l a u t i l i d a d p o s i b l e d e u n p r o b l e m a y a r e s u e l t o , n o s preguntbamos: Debe i n t r o d u c i r c i e r t o s e l e m e 7 2 -t o s a u x i l i a r e s que l e p e r ^ n i t a n hacer uso de l?

^ D e aqu m i t e o r e m a y a d e j n o s t r a d o r e l a t i v o a l s u y o . E s t a versin d e l a observacin q u e t r a t a m o s aqu s e i l u s t r a e n l a seccin 1 9 -

^ -2> H e u r s t i c a o heurtica, o " a r s i n v e n i e n d i " , t a l e r a e l n o m b r e d e u n a c i e n c i a b a s t a n t e m a l d e f i n i d a y q u e s e r e l a c i o n a b a t a n p r o n t o a l a lgica, c o m o a l a filosofa o a l a psicologa. S e exponan c o n f r e c u e n c i a l a s l neas g e n e r a l e s , p e r o r a r a v e z s u s d e t a l l e s . E n n u e s t r o s das est prct icamente o l v i d a d a . T e n a p n r o b j e t o e l e s t u d i o d e l a s r e g l a s y d e l o s mtodos d e l d e s c u b r i m i e n t o y d e l a invencin. S e p u e d e n e n c o n t r a r a l g u n a s t r a z a s d e e s t e e s t u d i o e n t r e l o s c o m e n t a d o r e s d e E u c l i d e s ; u n prra fo d e P A P P U S e s p a r t i c u l a r m e n t e i n t e r e s a n t e s o b r e e s t e t e m a . L o s e n s a y o s ms c o n o c i d o s s o b r e l a construccin d e u n s i s t e m a heurstico s o n d e b i d o s a D E S C A R T E S y L E I B K T I Z , a m b o s filsofos y matemticos clebres. I g u a l m e n t e d e b e m o s a B e r n a r d B O L Z A L T O u n a exposicin s o b r e heurstica d e t a l l a d a y n o t a b l e . L a

1 0 2 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica

p r e s e n t e o b r a t r a t a d e r e v i v i r l a heurst ica b a j o u n a , f o r m a m o d e r n a y d e s d e l u e g o m o d e s t a . V a s e H E U R S T I C A M O D E R N A .

Heurst ica , c o m o a d j e t i v o , s i g n i f i c a " s e r v i c i o a l i n v e s t i g a d o r " . H e u r s t i c a m o d e r n a . L a heurst ica m o d e r n a t r a t a d e c o m p r e n d e r e l

mtodo q u e c o n d u c e a l a solucin d e p r o b l e m a s , e n p a r t i c u l a r l a s o p e r a c i o -72es 7 n e n t a l e s tzpica7ne7a.te tiles e n e s t e p r o c e s o . S o n d i v e r s a s s u s f u e n t e s d e in formacin y n o - s e d e b e d e s c u i d a r n i n g u n a . U n e s t u d i o s e r i o d e l a heurs-t i c a d e b e t e n e r e n c u e n t a e l t r a s f o n d o t a n t o lgico, c o m o psicolgico; n o d e b e n d e s c u i d a r s e l a s a p o r t a c i o n e s a l t e m a h e c h a s p o r a u t o r e s t a l e s c o m o P a p p u s , D e s c a r t e s , L e i b n i z y B o l z a n o , p e r o d e b e a p e g a r s e ms a l a e x p e -r i e n c i a o b j e t i v a . U n a e x p e r i e n c i a q u e r e s u l t a a l a v e z d e l a solucin d e p r o b l e m a s y d e l a observacin d e l o s mtodos d e l p r j i m o , c o n s t i t u y e l a b a s e s o b r e l a c u a l s e c o n s t r u y e l a heurst ica. E n e s t e e s t u d i o b u s c a r e -m o s , s i n d e s c u i d a r n ingn t i p o d e p r o b l e m a , l o s p u n t o s c o m u n e s d e l a s d i v e r s a s f o r m a s d e t r a t a r c a d a u n o d e e l l o s y despus t r a t a r e m o s d e d e t e r r n i n a r l a s caractersticas g e n e r a l e s i n d e p e n d i e n t e s d e l t e m a d e l p r o -b l e m a . U n t a l e s t u d i o t i e n e o b j e t i v o s " p r c t i c o s " ; u n a m e j o r c o m p r e n -sin d e l a s o p e r a c i o n e s m e n t a l e s t p icamente tiles e n l a solucin d e u n p r o b l e m a p u e d e e n e f e c t o i n f l u i r f a v o r a b l e m e n t e e n l o s mtodos d e l a enseanza, e n p a r t i c u l a r e n l o q u e s e r e f i e r e a l a s matemticas.

L a p r e s e n t e o b r a p r e s e n t a e l p r i m e r i n t e n t o d e r e a l i z a r e s t e p r o g r a m a . E x a m i n e m o s , p u e s , cmo l o s d i v e r s o s artculos d e n u e s t r o - d i c c i o n a r i o p u e -d e n c o n t r i b u i r a t a l r e s u l t a d o .

1 . N u e s t r a l i s t a c o n s t i t u y e e n s u m a u n a enumerac in d e l a s o p e r a c i o -n e s m e n t a l e s t picamente tiles p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s ; a d i c h a s o p e r a -c i o n e s s e h a c e alusin p o r m e d i o d e l a s p r e g u n t a s y s u g e r e n c i a s q u e s e p r e s e n t a n . A l g u n a s d e e l l a s s e d e s c r i b e n d e n u e v o e n l a S e g u n d a P a r t e , o t r a s , i l u s t r a d a s m e d i a n t e e j e m p l o s , s e c o n s i d e r a n ms a f o n d o e n l a P r i m e r a P a r t e .

S i s e d e s e a u n a in formacin ms c o m p l e t a s o b r e a l g u n a d e l a s p r e g u n t a s o s u g e r e n c i a s , e l l e c t o r deber r e m i t i r s e a l o s artculos d e l D i c c i o n a r i o q u e l l e v a n p o r t tulos l a s p r i m e r a s f r a s e s d e l o s q u i n c e prrafos d e d i c h a . l i s t a : C U L E S L A I N C G N I T A ? E S P O S I B L E S A T I S F A C E R L A C O N D I C I N ? D I B U J E

U N A F I G U R A . . . P U E D E U T I L I Z A R E L R E S U L T A D O ? P a r a d e t a l l e s p a r t i c u -l a r e s s o b r e l o s q u e s e q u i e r a p r o f u n d i z a r , e l l e c t o r podr r e f e r i r s e a l a s p r i m e r a s p a l a b r a s d e l prra fo d o n d e a p a r e c e e s t e d e t a l l e y despus e n c o n -t r a r e l art culo d e l D i c c i o n a r i o c u y o t tulo l o c o n s t i t u y e n e s a s p a l a b r a s . P o r e j e m p l o , l a s u g e r e n c i a Refirase a l a s d e f i n i c i o n e s f i g u r a e n e l prrafo d e l a l i s t a c u y a p r i m e r a f r a s e e s : P O D R A E N U N C I A R E L P R O B L E M A E N F O R -M A D I F E R E N T E ? B a j o e s t e t tulo s e e n c u e n t r a u n a r e f e r e n c i a a l artculo

D E F I N I C I N q u e e x p l i c a e i l u s t r a l a s u g e r e n c i a e n cuestin.

Heurstica m o d e r n a 1 0 3

i ,^ i intodo q u e c o n d u c e a l a solucin d e p r o b l e m a s e s c o m p l e j o y I ' ' V j , ^ d i f e r e n t e s a s p e c t o s . L o s d o c e artculos p r i n c i p a l e s d e l D i c c i o n a r i o ^ ^ ^ r d i a n a m p l i a m e n t e a l g u n o s ; m e n c i o n a r e m o s l o s t tulos e n l o s prrafos ' jg s i g L i e n .

C u a n d o t r a b a j a m o s c o n a h i n c o s o m o s m u y s e n s i b l e s a l p r o g r e s o d e f r o - t r a b a j o : e s t a m o s c o n t e n t o s c u a n d o e s rpido, d e p r i m i d o s c u a n d o

^lls

1 0 4 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica v

H e m o s s u b r a y a d o e l h e c h o d e q u e l o s p r o b l e m a s d e t o d o t i p o ^ t i c u l a r l o s P R O B L E M A S P R C T I C O S , e i n c l u s o l o s E N I G M A S , pertrL(4(Ts

I n d i c i o s d e p r o g r e s o i 0 5

y I / a heurstica t i e n d e a l a g e n e r a l i d a d , a l e s t u d i o d e mtodos, i n d e - g n d i e i i t e s d e . l a cuestin t r a t a d a y s e a p l i c a a p r o b l e m a s d e t o d o t i p o . L a

^ g e n t e exposicin, s i n e m b a r g o , p r e s e n t a c o m o e j e m p l o s p r o b l e m a s d e aileciticas e l e m e n t a l e s , l o q u e i m p o n e c i e r t o s l mites a n u e s t r o e s t u d i o .

i . ^ g p g - t - a m o s q u e d i c h o s l mites n o desviarn s e r i a m e n t e s u orientacin g e n e -4 r a i E n e f e c t o , l o s p r o b l e m a s d e matemticas e l e m e n t a l e s p r e s e n t a n t o d a l a friedad d e s e a b l e y l a s i n v e s t i g a c i o n e s s o b r e e l m o d o d e r e s o l v e r l o s s o n - ^ ^ p a r t i c u l a r m e n t e a c c e s i b l e s e i n t e r e s a n t e s . Adems , l o s p r o b l e m a s n o m a t e -; i^ticos, p e s e a l o p o c o c i t a d o s , n o s e h a n d e s c a r t a d o p o r c o m p l e t o . L n

t g i i a n t o a l o s p r o b l e m a s matemticos ms a v a n z a d o s , s i n c i t a r s e n u n c a d e u h m o d o d i r e c t o , c o n s t i t u y e n e l v e r d a d e r o f o n d o d e l a p r e s e n t e o b r a . L l

.matemtico e x p e r t o q u e s e i n t e r e s e e n e s t e t i p o d e e s t u d i o p u e d e fcil-H a e n t e c o m p l e t a r n u e s t r o t r a b a j o p o r m e d i o d e e j e m p l o s o b t e n i d o s d e s u

- . p r o p i a e x p e r i e n c i a s i q u i e r e e s t u d i a r ms d e c e r c a l o s p u n t o s i l u s t r a d o s aqi p o r m e d i o d e e j e m p l o s e l e m e n t a l e s .

' 7 . L l a u t o r d e s e a a s e n t a r aqu l a d e u d a contrada c o n a l g u n o s a u t o r e s m o d e r n o s d e l o s q u e n o s e h a c e menc in e n e l artculo p r e s e n t e y e x p r e s a r s u a g r a d e c i m i e n t o . L l l o s s o n e l f s ico y f i lsofo L r n s t M a c h , e l matemtico Jcques H a d a m a r d , l o s psiclogos W i l l i a m J a m e s y W o l f g a n g K o h l e r . N o s

- e o m p l a c e i g u a l m e n t e e l c i t a r l o s n o m b r e s d e l psiclogo K . D u n c k e r y d e l matemtico . L . K r a u s s , c u y a o b r a ( p u b l i c a d a c u a n d o - l a n u e s t r a e s t a b a y a a v a n z a d a y e n p a r t e p u b l i c a d a ) p r e s e n t a c i e r t a s o b s e r v a c i o n e s p a r a l e l a s a l a s - n u e s t r a s .

I n d i c i o s d e p r o g r e s o . C u a n d o Coln y s u s compaeros n a v e g a b a n h a c i a e l o e s t e s o b r e u n ocano d e s c o n o c i d o , s e sentan r e c o n f o r t a d o s a l d i -v i s a r pjaros. L n e f e c t o , stos l e s r e p r e s e n t a b a n u n i n d i c i o f a v o r a b l e d e l a p r o x i m i d a d d e t i e r r a . L l l o f u e c a u s a d e r e p e t i d a s d e c e p c i o n e s . V i g i l a b a n tambin o t r a s seales. Crean q u e c i e r t a s c o r r i e n t e s d e a g u a , a l g u n a s c o n -d e n s a c i o n e s d e n u b e s b a j a s seran i n d i c i o s d e t i e r r a , , p e r o n u e v a m e n t e s e desengaaron. U n da, s i n e m b a r g o , l o s i n d i c i o s s e m u l t i p l i c a r o n . L l j u e -v e s 1 1 d e o c t u b r e d e 1 4 9 2 , l o s d e L a P i n t a r e c o g i e r o n d e l m a r " u n a caa y u n p a l o y t o m a r o n o t r o p a l i l l o l a b r a d o , a l o q u e pareca, c o n h i e r r o , y u n p e d a z o d e caa y o t r a y e r b a q u e n a c e e n t i e r r a y u n a t a b l i l l a . L a t r i p u -lacin d e L a Nia tambin-perc ib i t i e r r a c e r c a n a a l r e c o g e r u n a r a m a d e b a y a , c o n s u s f r u t o s . C o n e s t a s seales r e s p i r a r o n y alegrronse t o d o s . " * Y d e h e c h o , a l da s i g u i e n t e , t u v i e r o n t i e r r a a l a v i s t a , e r a l a p r i m e r a i s l a d e l N u e v o M u n d o .

S e a c u a l s e a l a i m p o r t a n c i a d e n u e s t r a e m p r e s a , s e a c u a l s e a e l t i p o d e p r o b l e m a q u e s e n o s p r o p o n e , c u a n d o t r a b a j a m o s c o n e l d e s e o d e l o g r o .

* h T a v a r r e t e , v o l . I , pg. 1 9 - ( U . del T . )

1 0 6 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica "

e s p e r a m o s a n s i o s a m e n t e l o s i n d i c i o s d e p r o g r e s o c o m o Coln y s u s c o r ^ ' g . eros e s p e r a b a n l o s q u e i n d i c a s e n l a p r o x i m i d a d d e t i e r r a . E x a m i n a r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s q u e ayudarn a c o m p r e n d e r l o q u e p o d e m o s c o n s i d - ^ a r c o n razn, c o m o u n i n d i c i o d e l a c e r c a m i e n t o a l a solucin. -

1 . E j e m p l o s . H e aqu u n p r o b l e m a d e a j e d r e z . D e b o d a r , e n dosJu-g a d a s , j a q u e m a t e a i r e y n e g r o . S o b r e e l t a b l e r o - s e v e u n c a b a l l o b l a n G o , . b ) a s -t a n t e a l e j a d o d e l r e y n e g r o y q u e p a r e c e intil . Cul p u e d e s e r s u u t i l i d a d ? E n p r i n c i p i o e s t o y o b l i g a d o a d e j a r e s t a p r e g u n t a s i n r e s p u e s t a . S i n e r a -b a r g o , t r a s d i v e r s o s i n t e n t o s . I m a g i n o u n a n u e v a j u g a d a y o b s e r v o v q u e hara e n t r a r e n j u e g o d i c h o c a b a l l o b l a n c o a p a r e n t e m e n t e intil . E s t a o b s e r -vacin r e n u e v a m i s e s p e r a n z a s y l a m i r o c o m o u n i n d i c i o f a v o r a b l e : e s t a j u g a d a p u e d e s e r b u e n a . Por qu.^

E n u n p r o b l e m a d e a j e d r e z b i e n p l a n t e a d o n o a p a r e c e n p i e z a s intiles. D e b e m o s , p u e s , t e n e r e n c u e n t a t o d a s l a s p i e z a s d e l j u e g o , e m p l e a r i o d o s l o s d a t o s . L a c o r r e c t a solucin d e b e c o n t o d a s e g u r i d a d e m p l e a r t o d a s l a s p i e z a s , i n c l u s o e s e c a b a l l o b l a n c o . L n e s t e l t imo a s p e c t o l a n u e v a j u g a d a q u e e s t o y e s t u d i a n d o c o n c u e r d a c o n l a j u g a d a c o r r e c t a q u e t e n g o q u e e n -c o n t r a r . P a r e c e s e r l a j u g a d a c o r r e c t a ; podra s e r e s t a j u g a d a .

L s i n t e r e s a n t e c o n s i d e r a r u n a situacin s i m i l a r e n u n p r o b l e m a d e matemticas. S u p o n g a m o s q u e t e n e m o s q u e e x p r e s a r e l rea d e u n trin-g u l o e n funcin d e s u s t r e s l a d o s a , b y c . H e m o s c o n c e b i d o u n a e s p e c i e d e p l a n . S a b e m o s , ms o m e n o s , l a s r e l a c i o n e s geomtricas q u e t e n e m o s q u e t e n e r e n c u e n t a y qu t i p o d e clculos t e n e m o s q u e h a c e r . S i n e m b a r g o , n o e s t a m o s d e l t o d o s e g u r o s e n c u a n t o a l a c o n v e n i e n c i a d e l p l a n . S i e n e s t e m o m e n t o , a l s e g u i r l a l nea d e c o n d u c t a i n d i c a d a p o r e l p l a n , o b s e r v a m o s q u e l a c a n t i d a d

y b -y c a f o r m a p a r t e d e l a expresin d e l rea b u s c a d a , t e n e m o s ta.zn a.1 s e n t i r n o s a l e n t a d o s . Por qu?

L n e f e c t o , h a y q u e t e n e r e n c u e n t a q u e l a s u m a d e d o s l a d o s c u a l e s -q u i e r a d e u n tr ingulo e s m a y o r q u e e l t e r c e r l a d o , l o q u e i m p l i c a u n a c i e r t a restriccin. L a s l o n g i t u d e s d a d a s a , b y c n o p u e d e n s e r p o r l o t a n t o a r b i -t r a r i a s ; p o r e j e m p l o , b + c d e b e s e r m a y o r q u e a . E s t o c o n s t i t u y e u n a p a r t e e s e n c i a l d e l a condicin y d e b e m o s u t i l i z a r l a condicin c o m p l e t a . S b + c n o e s m a y o r q u e a , l a frmula q u e b u s c a m o s ser e n t o n c e s f o r z o s a m e n t e i l u s o r i a . P o r o t r a p a r t e , l a raz c u a d r a d a a n t e s i n d i c a d a r e s u l t a i m a g i n a r i a s b -\- c a & s n e g a t i v o , e s d e c i r , s i ^ + c e s m e n o r q u e a , y Z L S , l a raz c u a d r a d a n o r e p r e s e n t a u n a c a n t i d a d r e a l b a j o l a s c i r c u n s t a n c i a s m i s m a s e n q u e l a expresin d e s e a d a s e t o r n a i l u s o r i a . A s p u e s , u n a frmula e n l a c u a l e n t r a d i c h a raz c u a d r a d a t i e n e u n a p r o p i e d a d i m p o r t a n t e e n comn c o n l a frmula r e a l d e l rea; podr a s e r l a p r o p i a frmula .

I n d i c i o s d e p r o g r e s o l O T

lfa o t r o e j e m p l o . H a c e algn t i e m p o quera d e m o s t r a r u n t e o r e m a '^-LSuetra d e l e s p a c i o . S i n m a y o r d i f i c u l t a d encontr u n a p r i m e r a o b s e r -" ^ : L , : q u e m e pareci p e r t i n e n t e ; t r a s e l l o m e estanqu. M e f a l t a b a a l g o '^^ d l e v a r a l c a b o l a demostracin. E s e da, c u a n d o abandon e l t r a b a j o ,

u n a nocin m u c h o ms c l a r a q u e a l p r i n c i p i o d e l o q u e deba s e r l a demostracin, e l m o d o e n q u e deba l l e n a r s e l a l a g u n a ; p e r o n o e s t a b a e n c o a d - u i o n e s d e l o g r a r l o . A l da s i g u i e n t e , t r a s u n b u e n d e s c a n s o p o r l a ^ o c h e abord d e n u e v o - l a cuestin y n o tard e n c a e r s o b r e u n p r o b l e m a anlogo d e geometra p l a n a . D e p r o n t o t u v e l a conviccin d e t e n e r l a s o l u -cin y tena, c r e o , u n a b u e n a razn p a r a e s t a r c o n v e n c i d o d e e l l o - . Por qu?

E n e f e c t o , l a analoga e s u n a gua d e g r a n d e s r e c u r s o s . L a solucin d e u n p r o b l e m a d e geometr a d e l e s p a c i o d e p e n d e c o n f r e c u e n c i a d e l a d e u n n r o b l e m a anlogo d e geometr a p l a n a (Vase A N A L O G A , 3 - 7 ) . As , e n m i caso haba d e s d e e l p r i n c i p i o u n a o p o r t u n i d a d p a r a q u e l a demostracin d e s e a d a u t i l i z a s e c o m o l e m a a lgn t e o r e m a d e geometr a p l a n a s e m e j a n t e a l q u e v i n o a m i m e n t e . " E s t e t e o r e m a s e p a r e c e a l l e m a q u e n e c e s i t o , quiz es e l l e m a m i s m o . " T a l f u e m i r a z o n a m i e n t o .

S i Coln y s u s h o m b r e s s e h u b i e s e n t o m a d o e l t r a b a j o d e r e f l e x i o n a r , h u b i e s e n r a z o n a d o d e u n m o d o anlogo. Saban, e n e f e c t o , e l c a r i z q u e t o m a e l m a r c e r c a d e l a s c o s t a s ; saban q u e , c o n ms f r e c u e n c i a q u e e n a l t a m a r , s e v e n v o l a r pjaros, q u e h a y o - b j e t o s f l o t a n d o e n l a s a g u a s q u e p r o v i e -n e n d e l a s c o s t a s . M u c h o s d e e n t r e e l l o s deban h a b e r h e c h o e s t a s o b s e r v a -d o n e s - e n e l t r a n s c u r s o d e v i a j e s p r e c e d e n t e s a l a c e r c a r s e a t i e r r a . L a vspera d e l da m e m o r a b l e e n q u e d i v i s a r o n l a i s l a d e S a n S a l v a d o r , d a d o q u e l o s o b j e t o s q u e f l o t a b a n e r a n c a d a v e z ms n u m e r o s o s , p e n s a r o n : " S e dira q u e n o s a c e r c a m o s a t i e r r a ; e s p o s i b l e q u e n o s e s t e m o s a p r o x i m a n d o a t i e r r a " y " c o n e s t a s seales r e s p i r a r o n y alegrronse t o d o s " .

2 . Carcter heurstico de l o s i n d i c i o s de p r o g r e s o . V a m o s a i n s i s t i r s o b r e u n p u n t o quiz c l a r o p a r a t o d o s , p e r o s u i m p o r t a n c i a e s t a l q u e d e b e c o n o c e r s e p e r f e c t a m e n t e .

E l t i p o d e r a z o n a m i e n t o i l u s t r a d o p o r l o s e j e m p l o s p r e c e d e n t e s m e r e c e ser a b o r d a d o , p e s e a q u e n o s u m i n i s t r e ms q u e u n a indicacin p l a u s i b l e y n o u n a c e r t e z a . V a m o s a f o r m u l a r d e n u e v o u n o d e e s t o s r a z o n a m i e n t o s , i n s i s t i e n d o c o n g r a n l u j o - d e d e t a l l e s q u e l o harn u n t a n t o p e d a n t e .

C u a n d o n o s a c e r c a m o s a t i e r r a , v e m o s c o n f r e c u e n c i a pjaros. A h o r a v e m o s pjaros. P o r l o t a n t o , p r o b a b l e m e n t e n o s a c e r c a m o s a t i e r r a . S i n l a p a l a b r a " p r o b a b l e m e n t e " l a conclusin sera c o m p l e t a m e n t e

f a l s a . D e h e c h o . Coln y s u s compaeros v i e r o n c o n f r e c u e n c i a pjaros s i n q u e e l l o i n d i c a s e l a p r o x i m i d a d d e t i e r r a . S e d e c e p c i o n a r o n . Slo u n a v e z sus e s p e r a n z a s f u e r o n j u s t i f i c a d a s .

1 0 8 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica

C o n l a p a l a b r a " p r o b a b l e r a e n t e " l a conclusin e s r a z o n a b l e s i n s e r demostracin c o n c l u y e n t e ; e s slo u n a indicacin, u n a s u g e r e n c i a heurs^ t i c a . Ser a u n g r a v e e r r o r o l v i d a r e s t a r e s e r v a y v e r l a conclusin c o r n o c e r t e z a , p e r o sera ms g r a v e an e l n o c o n s i d e r a r l a e n l o a b s o l u t o . S i c o n s i d e r a c o m o c i e r t a u n a conclusin heurstica, s e c o r r e e l r i e s g o d e en. arse y d e c e p c i o n a r s e ; p e r o s i s e d e s c u i d a n t o t a l m e n t e t a l e s c o n c l u s i o n e s n ingn p r o g r e s o e s p o s i b l e . L o s ms i m p o r t a n t e s i n d i c i o s d e p r o g r e s o son d e carcter heurst ico. Hay q u e f i a r s e d e e l l o s ? ; hay q u e s e g u i r l o s ? p e r o b i e n a b i e r t o s l o s o j o s , s i n d i s t r a e r l a atencin, s i n d e j a r d e j u z g a r

3 . I n d i c i o s p r o p i a m e n t e s i g j i i j i c a t i v o s . P o d e m o s e x a m i n a r l o s e j e m . pos p r e c e d e n t e s d e s d e o t r o p u n t o d e v i s t a .

L n u n o d e e l l o s considerbamos c o m o u n i n d i c i o f a v o r a b l e e l hecho d e h a b e r l o g r a d o e m p l e a r u n d a t o d e l q u e n o n o s habamos v a l i d o todava ( e l c a b a l l o b l a n c o ) . Estbamos e n l o j u s t o . D e h e c h o , r e s o l v e r u n p r o b l e -

m a , e s e n c i a l m e n t e e s e ^ z c o n t r a r l a relaci?z e n t r e l o s d a t o s y l a mcgnita Adems s e d e b e , a l m e n o s e n l o s p r o b l e m a s b i e n p l a n t e a d o s , u t i l i z a r t o d o s l o s d a t o s y e s t a b l e c e r l a relacin e x i s t e n t e e n t r e c a d a u n o d e e l l o s y l a i n -cgnita. P o r c o n s i g u i e n t e , i n t r o d u c i r e n e l p r o b l e m a u n d a t o ms e s p r o p i a -m e n t e u n p r o g r e s o , u n p a s o a d e l a n t e .

L n o t r o e j e m p l o considerbamos c o m o u n i n d i c i o f a v o r a b l e e l h e c h o d e q u e l a frmula tena e n c u e n t a u n a clusula e s e n c i a l d e l a condicin: ah tambin estbamos e n l o j u s t o . L n e f e c t o , d e b e m o s u t i l i z a r l a c o n d i -cin c o m p l e t a . As p u e s , t e n e r e n c u e n t a o t r a clusula d e l a condicin es tambin u j u s t o t t u l o c o n s i d e r a d o c o m o u n p r o g r e s o , u n p a s o e n i a b u e n a direccin.

L n u n t e r c e r c a s o veamos c o m o i n d i c i o f a v o r a b l e e l d e s c u b r i m i e n t o de u n p r o b l e m a anlogo ms s i m p l e . L l l o s e j u s t i f i c a i g u a l m e n t e . C o n t o d a s e g u r i d a d l a analoga e s u n a d e l a s p r i n c i p a l e s f u e n t e s d e l a invencin. E n c a s o d e f r a c a s o p o r o t r o s m e d i o s , d e b e m o s d e t r a t a r d e i m a g i r i a r u n p r o -b l e m a arzlogo. S i e s t e t i p o d e p r o b l e m a s e p r e s e n t a espontneamente, p o -d e m o s a l e g r a r n o s : s e n t i m o s q u e l a solucin est c e r c a .

Despus d e e s t o s e j e m p l o s , ser fcil a h o r a e l c o n c e b i r l a i d e a g e n e r a l . E x i s t e n c i e r t a s o p e r a c i o n e s m e n t a l e s t p icamente tiles p a r a r e s o l v e r p r o -b l e m a s . N u e s t r a l i s t a c o n t i e n e l a s ms tiles. S i t a l operacin tpica l o l o g r a , y a s e a q u e o t r o d a t o s e h a r e l a c i o n a d o a l a incgnita , y a s e a q u e o t r a clusula d e l a condicin s e h a c o n s i d e r a d o , y a s e a q u e s e t e n g a e l r e c u r s o d e u n p r o b l e m a anlogo ms s i m p l e , s u xi to d e b e c o n s i d e r a r s e c o m o u n i n d i c i o d e p r o g r e s o . U n a v e z c o m p r e n d i d o e s t e p u n t o e s e n c i a l , p o d e m o s e x p r e s a r ms c l a r a m e n t e l a n a t u r a l e z a d e o t r o s i n d i c i o s ; n o s b a s t a r e f e r i r -n o s a l a l i s t a y e x a m i n a r l a s d i v e r s a s p r e g u n t a s y s u g e r e n c i a s d e s d e e l n u e v o p u n t o d e v i s t a a d o p t a d o .

I n d i c i o s d e p r o g r e s o 1 0 9

y^ c o m p r e n d e r c l a r a m e n t e l a n a t u r a l e z a d e l a incgni ta c o n s t i -pg^reso. D i s p o n e r j u i c i o s a m e n t e l o s d i v e r s o s d a t o s d e m o d o d e

ferdarse fci lmente d e t o d o s e l l o s , p u e d e s e r o t r o . V i s u a l i z a r c o n S^ib:-&z l a condicin e n s u c o n j u n t o i n d i c a t ambin u n a d e l a n t o i m -

o r t a n t e ; y s e p a r a r l a condicin e n e l e m e n t o s a p r o p i a d o s p u e d e r e p r e s e n t a r P - d e c i s i v o . C a d a v e z q u e l o g r e m o s e n c o n t r a r u n f i g u r a fci l d e i m a -^ Jx o u n a notacin fcil d e r e t e n e r , p o d e m o s e s t i m a r c o n t o d a vsizxi q u e

p r o g r e s o . E l r e c u e r d o d e u z z p r o b l e m a que se r e l a c i o n a a l r i u e s t r o y ue y d hemos r e s u e l t o p u e d e s e r u n d e s c u b r i m i e n t o e s e n c i a l q u e n o s har

p r o g r e s a r e n l a direccin c o r r e c t a . Y as p o r e l e s t i l o . A c a d a operacin m e n t a l c l a r a m e n t e c o n c e b i d a l e

c o r r e s p o n d e u n c i e r t o i n d i c i o a l t a m e n t e s i g n i f i c a t i v a . C o n s u l t a d a c o n c u i -d a d o , n u e s t r a l i s t a n o s indicar i g u a l m e n t e l o s i n d i c i o s d e p r o g r e s o .

A h o r a b i e n , c o m o l o h e m o s d i c h o e n r e p e t i d a s o c a s i o n e s , l a s p r e g u n t a s y s u g e r e n c i a s d e d i c h a l i s t a s o n s e n c i l l a s , e v i d e n t e s y p r o v i e n e n d e l ms U a n o s e n t i d o comn. L o m i s m o s e p u e d e d e c i r d e l o s i n d i c i o s d e p r o g r e s o de l o s q u e a c a b a m o s d e h a b l a r . P a r a d e s c i f r a r d i c h o s i n d i c i o s n o s e r e q u i e -i m c i e n c i a s o c u l t a s , b a s t a s i m p l e m e n t e u n p o c o d e s e n t i d o comn y , c l a r o est, c i e r t a e x p e r i e n c i a .

4 . I n d i c i o s menos e v i d e z z t e s . C u a n d o t r a b a j a m o s i n t e n s a m e n t e s e n t i -m o s e l r i t m o d e n u e s t r o a d e l a n t o : s i e s rpido n o s a l e g r a m o s , s i l e n t o n o s d e p r i m i m o s . R e s e n t i m o s c l a r a m e n t e e s t a s d i f e r e n c i a s p e s e a n o p o d e r d i s -t i n g u i r e l m e n o r i n d i c i o . H u m o r e s , s e n s a c i o n e s , a s p e c t o s g e n e r a l e s d e l a situacin n o s i n d i c a n l o s p o s i b l e s p r o g r e s o s . S i n e m b a r g o , d i c h a s i m p r e s i o -nes n o s o n fciles d e e x p r e s a r . " E s t o m e p a r e c e b i e n " o " e s t o m e p a r e c e m a l " d i c e l a g e n t e s e n c i l l a . L a s p e r s o n a s ms c u l t i v a d a s s e e x p r e s a n d e m o d o ms m a t i z a d o : " E s t e e s u n p l a n b i e n e q u i l i b r a d o " o " n o , f a l t a a l -gn e l e m e n t o y e l l o d e s t r u y e l a a r m o n a . " S i n e m b a r g o , detrs d e e s t a s e x p r e s i o n e s s i m p l e s o a l a m b i c a d a s s e d i s i m u l a u n s e n t i m i e n t o e v i d e n t e q u e s e g u i m o s c o n c o n f i a n z a y q u e n o s c o n d u c e c o n f r e c u e n c i a e n l a direccin c o r r e c t a . S i e s t a sensacin e s v i o l e n t a y s u r g e d e p r o n t o , h a b l a m o s d e i n s -piracin. L n g e n e r a l n o s e d u d a d e e s t a s i n s p i r a c i o n e s , p e r o s u c e d e a v e c e s q u e r e s u l t a n engaosas. D e h e c h o , deberamos t r a t a r e s t a s s e n s a c i o n e s , e s -tas i n s p i r a c i o n e s q u e n o s guan, e x a c t a m e n t e c o m o l o s i n d i c i o s ms s i g n i -f i c a t i v o s c o n s i d e r a d o s a n t e s : f i a r s e - d e e l l o s , p e r o c o n l o s o j o s a b i e r t o s .

S e g u i r s i e m p r e l a s i n s p i r a c i o n e s ^ p e r o d u d a n d o u n p o c o . Cul e s l a n a t u r a l e z a d e e s t o s s e n t i m i e n t o s q u e n o s guan.? ^ ^ 7

gu s e n t i d o p r e c i s o t r a s l a s p a l a b r a s d e m a t i z esttico, t a l e s c o m o " b i e n e q u i l i b r a d o " o " a r m o n i o s o " ? E s t a s p r e g u n t a s p u e d e n s e r ms e s p e c u l a t i v a s q u e prcticas, p e r o h a c e n u n l l a m a d o a r e s p u e s t a s q u e a m e r i t a n , quiz, u n l u g a r e n e s t a o b r a : d a d o q u e l o s i n d i c i o s d e p r o g r e s o p r o p i a m e n t e s i g n i -

1 1 0 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica

f i c a t i v o s , estn l i g a d o s a l xito o a l f r a c a s o d e c i e r t a s op^t2.ciones|.i^^{.j^^ b a s t a n t e d e f i n i d a s , p o d e m o s s o s p e c h a r q u e l o s s e n t i m i e n t o s q u e l : ^ ^ ^ ' m e n o s fciles d e e x p r e s a r , p u e d e n e s t a r r e l a c i o n a d o s d e l m i s r a ^ ^ h ^ Q " o t r a s a c t i v i d a d e s m e n t a l e s , ms o s c u r a s , c u y a n a t u r a l e z a e s quiz ^ ^ o i ' " 3 c o l o g i c a y m e n o s lgica . } - ^

5 . Cmo a y z / d a z z l o s i n d i c i o s . T e n g o u n p l a n . V e o claramt n dnde d e b o e m p e z a r y cules sern l a s p r i m e r a s e t a p a s . S i n ernbrgo Q v e o m u y b i e n l a continuacin d e l i t i n e r a r i o , n o e s t o y d e l t o d o segir'q m p l a n s e a b u e n o y , p o r l o dems, m e q u e d a u n l a r g o c a m i n o p o r reco-r r e r . E m p i e z o , p u e s , c o n precaucin e n l a direccin i n d i c a d a p o r : e l plag^ mantenindome a l a e s p e c t a t i v a d e c u a l q u i e r i n d i c i o d e p r o g r e s o . S i estos i n d i c i o s s o n r a r o s o estn m a l d e f i n i d o s , e m p i e z o a d u d a r . Y s p d u r a n t e l a r g o s i n t e r v a l o s , n o d i s t i n g o n i n g u n o , p u e d o p e r d e r e n t u s i a s m o , d a r me-d i a v u e l t a y e n s a y a r o t r o c a m i n o . P o r e l c o n t r a r i o , s i l o s i n d i c i o s s o n m^ i f r e c u e n t e s a m e d i d a q u e a d e l a n t o , s i s e m u l t i p l i c a n , m i d u d a d e s a p a r e c e , ! m i c o n f i a n z a s e a c r e c i e n t a y a v a n z o c o n s e g u r i d a d c a d a v e z m a y o r , t a l ' c o m o Coln y s u s compaferos p o c o a n t e s d e d i v i s a r l a i s l a d e S a n S a l v a d o r .

L o s i n d i c i o s p u e d e n g u i a r n u e s t r o s a c t o s . L a a u s e n c i a d e e l l o s puede a d v e r t i r n c - ) s q u e e s t a m o s e n u n cal le jn s i n s a l i d a y e v i t a r n o s u n a pr-d i d a d e t i e m p o y u n e s f u e r z o v a n o , e n t a n t o q u e s u p r e s e n c i a n o s p e r m i t e c o n c e n t r a r n u e s t r o s e s f u e r z o s s o b r e e l p u n t o e s e n c i a l .

N o o b s t a n t e , l o s i n d i c i o s p u e d e n s e r engaosos. L n c i e r t a ocasin aban-don e l c a m i n o q u e haba t o m a d o p o r f a l t a d e i n d i c i o s , p e r o a l g u i e n des-pus d e m l lev l a c o s a u n p o c o ms l e j o s y descubri a l g o i m p o r t a n t e -a m i g r a n p e s a r y ms v i v o e n f a d o ; n o s o l a m e n t e persever ms q u e yo, s i n o q u e descifr c o r r e c t a m e n t e u n i n d i c i o q u e y o n o h a b a o b s e r v a d o . Sin c m b a r g r ) , p u e d e s u c e d e r tambin e l s e g u i r c o n t o d o o p t i m i s m o u n c a m i n o t a p i z a d o d e i n d i c i o s f a v o r a b l e s y d e p r o n t o c a e r e n . u n obstculo i n s o s p e -c h a d o e i n s u p e r a b l e .

S , l o s i n d i c i o s p u e d e n a v e c e s i n d u c i r n o s e n e r r o r , p ? e r o l a s ms d e las v e c e s n o s l l e v a n a l c a m i n o c o r r e c t o . U n c a z a d o r p r o f e s i o n a l p u e d e , d e vez e n c u a n d o , m a l interpretar l a s h u e l l a s d e l a p r e s a q u e p e r s i g u e , p^ero en: g e n e r a l n o s e e c p u i v o c a ; d e o t r o m o d o n o p-)odra v i v i r d e l a c a z a .

S e r e q u i e r e e x p e r i e n c i a p a r a i n t e r p r e t a r c o r r e c t a m e n t e l o s i n d i c i o s . A l - ? g u n o s d e l o s compvaero.s d e Coln saban c o n t o d a s e g u r i d a d , p-)or e x p e r i e n c i a , e l a s p - > e c t o q u e t o m a e l m a r e n l a p r o x i m i d a d d e t i e r r a y podan, p o r c o n s i g u i e n t e , d i s t i n g u i r l o s i n d i c i o s q u e ap-^arecan a l a c e r c a r s e a e l l a . U n e x p - ) e r t o s a b e p v o r e x p e r i e n c i a cmo s e p r e s e n t a l a s i t u a c i t i n c u a n d o la solucin est c e r c a y poodr, p o r c o n s i g u i e n t e , d i s t i n g u i r l o s i n d i c i o s c o r r c s - i p o n d i e n t e s . C o n o c e , e s c i e r t o , m a y o r nmero d e i n d i c i o s q u e u n p r o f a n o ; y l o s c o n o c e m e j o r ; s u p r i n c i p a l v e n t a j a r e s i d e p r e c i s a m e n t e e n e s t e c o n o c i -

'mi

q I n d i c i o s d e p r o g r e s o 1 3 . 1

fhento. U n c a z a d o r e x p e r i m e n t a d o d e t e c t a l a s h u e l l a s d e i a p r e s a y p u e d e d e c i r s i s o n r e c i e n t e s o n o , e n t a n t o q u e u n i n d i v i d u o s i n e x p e r i e n c i a e s i n c a p a z d e v e r a l g o e n e l l o .

' d L a v e n t a j a e s e n c i a l d e l h o m b r e e x c e p c i o n a l m e n t e d o t a d o p u e d e r e s i d i r e n u n a e s p e c i e d e s e n s i b i l i d a d m e n t a l e x t r a o r d i n a r i a . E s e s t a s e n s i b i l i d a d i a q u e l e permitir d e t e c t a r l o s i n d i c i o s ms s u t i l e s d e l p r o g r e s o y o b s e r v a r l a a u s e n c i a d e e l l o s , ah d o n d e o t r a p e r s o n a m e n o s d o t a d a sera i n c a p a z d e v e r l a m e n o r d i f e r e n c i a .

1 ) 6 . S i l o g i s m o heurstico. E n l a seccin 2 h e m o s d e s c u b i e r t o u n m o d o d e r a z o n a m i e n t o heurstico q u e a m e r i t a s e r e x a m i n a d o ms a f o n d o y r e c i b i r u n a denominacin tcnica. C o m e n c e m o s p o r f o r m u l a r d e n u e v o d i c h o r a z o -n a m i e n t o b a j o l a f o r m a s i g u i e n t e :

C u a n d o n o s a c e r c a m o s a t i e r r a , c o n f r e c u e n c i a v e m o s p jaros . A h o r a v e m o s p jaros .

P o r c o n s i g u i e n t e , s e t o r n a ms f a c t i b l e q u e n o s a p - ^ r o x i m e m o s a t i e r r a . L a s d o s p r i m e r a s p r o p o s i c i o n e s ( a r r i b a d e l a h o r i z o n t a l ) p u e d e n l l a -

m a r s e p r e m i s a s , l a t e r c e r a ( b a j o l a h o r i z o n t a l ) , conclusi-n. A l c o n j u n t o d e l r a z o n a m i e n t o l o p o d e m o s l l a m a r s i l o g i s m o h e z c r i s t i c o .

L a s p r e m i s a s s e f o r m u l a n aqu b a j o l a m i s m a f o r m a q u e e n l a s e c -cin 2 , p e r o l a conclusin s e e n u n c i a d e m o d o ms c u i d a d o s o : s e d e s t a c a m e j o r u n a c i r c u n s t a n c i a e s e n c i a l . Coln y s u s h o m b r e s suponan d e s d e e l p r i n c i p i o q u e n a v e g a n d o h a c i a e l o e s t e encontraran f i n a l m e n t e t i e r r a ; deban h a b e r a t r i b u i d o c i e r t a s e g u r i d a d ,a e s t a h ip5tesis , s i n l a c u a l n o h u -b i e s e n e m p r e n d i d o e l v i a j e . L n e l t r a n s c u r s o d e ste, establecan u n a r e l a -cin e n t r e c a d a i n c i d e n t e , m a y o r o m e n o r , y l a p r e g u n t a p r i m o r d i a l : " N o s a c e r c a m o s a t i e r r a ? " L a c o n f i a n z a creca o decreca, segn l o s a c o n t e c i m i e n -t o s , y l a conviccin d e c a d a u n o v a r i a b a e n f o r m a ms o m e n o s d i f e r e n t e , segn s u m e d i o y s u p e r s o n a l i d a d . T o d a l a tensin dramtica d e l v i a j e s e d e b e a t a l e s f l u c t u a c i o n e s d e l a c o n f i a n z a .

L l s i l o g i s m o heurst ico q u e h e m o s p - ^ r e s e n t a d o s u m i n i s t r a u n a b a s e r a -z o n a b l e a d i c h a variacin d e g r a d o d e c o n f i a n z a . L l p a p - ^ e l f u n d a m e n t a l d e e s e t i p o d e r a z o n a m i e n t o e s p e r m i t i r d i c h a s v a r i a c i o n e s y d i c h o a s p e c t o s e e x p - ? r e s a m e j o r p o r m e d i o d e l a a c t u a l terminologa q u e e n l a seccin 2 .

L l r a z o n a m i e n t o s u g e r i d o p o s e l e j e m p l o s e p u e d e e x p r e s a r a s :

S i A e s c i e r t o , B e s i g u a l m e n t e c i e r t o , e x a n o s a b e m o s . A h o r a b i e n , r e s u l t a q u e B e s c i e r t o .

P o r c o n s i g u i e n t e , A r e s u l t a ms f a c t i b l e . E n f o r m a ms b r e v e :

1 1 2 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica

S i A , e n t o n c e s B . B c i e r t o - :

A ms f a c t i b l e . j , E n e s t e e n u n c i a d o esquemtico, l a l nea h o r i z o n t a l s u s t i t u y e a l a s ; p a l a -

b r a s " p o r c o n s i g u i e n t e " y e x p r e s a l a implicacin, l a relacin e s e n c i a l e n t r e l a s p r e m i s a s y l a conclusin."

' 7 . N a t u r a l e z a d e l r a z o n a m i e z z t o p l a u s i b l e . E n e s t a pequea o b r a t r a -t a m o s u n a cuestin f i losfica, p e r o d e l m o d o ms prct ico y m e n o s f o r m a l p o s i b l e , e v i t a n d o a l m x i m o l a s e x p r e s i o n e s tcnicas y r e b u s c a d a s ; s i n e m -b a r g o , e l t e m a e s y s i g u e s i e n d o f i losf ico . C o n c i e r n e a l a n a t u r a l e z a d e l r a z o n a m i e n t o heurstico y , p o r extensin, a u n t i p o d e r a z o n a m i e n t o q u e , p e s e a s u i m p o r t a n c i a , n o c o n s t i t u y e u n a demostracin; l o l l a m a r e m o s , a f a l t a d e u n m e j o r trmino, r a z o n a m i e n t o p l a u s i b l e .

L o s i n d i c i o s q u e c o n v e n c e n a l i n v e n t o r d e l a b o n d a d d e s u i d e a , l a s i n d i c a c i o n e s q u e n o s guan e n l o s q u e h a c e r e s c o t i d i a n o s , l a e v i d e n c i a c i r -c u n s t a n c i a l d e l a b o g a d o , l a e v i d e n c i a i n d u c t i v a d e l c ient f ico , l a e v i d e n c i a estadstica i n v o c a d a e n l o s a s p e c t o s ms d i v e r s o s - t o d o s e s t o s t i p o s d e e v i d e n c i a s c o n c u e r d a n e n d o s p u n t o s e s e n c i a l e s . P r i m e r o , n o o f r e c e n l a c e r t e z a d e u n a demostracin r i g u r o s a . S e g u n d o , s o n tiles e n l a adquisicin d e n u e v o s c o n o c i m i e n t o s , e i n c l u s o i n d i s p e n s a b l e s p a r a t o d o s a q u e l l o s c o n o -c i m i e n t o s q u e n o s e a n p u r a m e n t e matemticos n i lgicos y q u e U Q p e r t e -n e z c a n a l m u n d o f s ico. Podr amos e l e g i r , p a r a d e n o m i n a r e l r a z o n a m i e n t o q u e s u b r a y a e s t e t i p o d e e v i d e n c i a , e n t r e " r a z o n a m i e n t o heurst ico' , " r a z o -n a m i e n t o i n d u c t i v o " o ( s i q u e r e m o s e v i t a r s i g n i f i c a d o s y a e x i s t e n t e s ) " r a -z o n a m i e n t o p l a u s i b l e " . E s e s t e l t imo t r m i n o e l q u e a d o p t a r e m o s .

L l s i l o g i s m o heurst ico q u e h e m o s e n u n c i a d o a n t e r i o r m e n t e p u e d e c o n s i -d e r a r s e c o m o e l m o d e l o ms s i m p l e y ms c o r r i e n t e d e u n r a z o n a m i e n t o p l a u s i b l e . N o s r e c u e r d a u n m o d e l o clsico d e r a z o n a m i e n t o d e m o s t r a t i v o q u e r e c i b e e l n o m b r e d e " m o d u s t o l l e n s d e s i l o g i s m o h ipot t i co" . M o s -t r a m o s aqu l o s d o s m o d e l o s u n o e n f r e n t e d e l o t r o :

D e m o s t r a t i v o D e u r i s t i c o S i A p u e s B SI A p u e s B

B f a l s o B c i e r t o A f a l s o A ms f a c t i b l e

L a comparacin d e e s t o s d o s t i p o s p u e d e s e r i n s t r u c t i v a a l p e r m i t i r n o s p e r c i b i r , l o q u e n o e s fci l d e o t r o m o d o , l a n a t u r a l e z a d e l r a z o n a m i e n t o p l a u s i b l e (heurst ico o i n d u c t i v o ) .

L o s d o s m o d e l o s t i e n e n l a p r i m e r a p r e m i s a i g u a l : S i A p u e s B

Y -

I n d i c i o s d e p r o g r e s o 1 X 3

p i f i e r e n e n l a s e g u n d a . L a s a f i r m a c i o n e s :

L f a l s o A c i e r t o

s e r o p u e s t a s t i e n e n u n a " n a t u r a l e z a lgica s i m i l a r " , estn a l m i s m o Y i v e l lg ico" . L a d i f e r e n c i a m a y o r e n t r e e l l o s a p a r e c e despus d e l a s p r e -^ a g , . L a s c o n c l u s i o n e s

A f a l s o A ms f a c t i b l e

se- sitan a d i f e r e n t e s n i v e l e s lgicos y s u s r e l a c i o n e s c o n s u s p r e m i s a s r e s -p e c t i v a s s o n d e u n a n a t u r a l e z a lgica d i f e r e n t e .

L a conclusin d e l s i l o g i s m o d e m o s t r a t i v o , d e i g u a l n a t u r a l e z a lgica qu-Ls p r e m i s a s , s e e x p r e s a p o r c o m p l e t o y est t o t a l m e n t e b a s a d a e n e l l a s . S i tr, v e c i n o y y o e s t a m o s d e a c u e r d o e n a c e p t a r l a s p r e m i s a s , n u e s t r a s o p i -fiioas s o b r e l a conclusin n o p u e d e n r a z o n a b l e m e n t e d i f e r i r , p o r m u y d i f e -r e n t e s q t i e s e a n n u e s t r o s g u s t o s o- n u e s t r a dems c o n v i c c i o n e s .

P o r e l c o n t r a r i o , l a conclusin d e l s i l o g i s m o heurst ico d i f i e r e d e l a s p r e m i s a s e n s u n a t u r a l e z a lgica; e s ms v a g a , m e n o s d e c i s i v a , e x p r e s a d a d e rodo n o d e l t o d o c o m p l e t o . L s t a conclusin e s c o m p a r a b l e a u n a f u e r z a , t i e n e direccin y m a g n i t u d . N o s e m p u j a e n c i e r t a direccin: A r e s u l t a ms f a t t i b l e ; y t i e n e c i e r t a m a g n i t u d : A p u e d e r e s u l t a r z n u c h o zns o slo l i g e -r a m e n t e ms f a c t i b l e . L a conclusin n o s e e x p r e s a d e m o d o c o m p l e t o y n o se b a s a t o t a l m e n t e e n l a s p r e m i s a s . L a direccin est e x p r e s a d a e i m p l i c a d a e n i a s p r e m i s a s , l a z n a g n i t u d n o . P a r a t o d a p e r s o n a r a z o n a b l e , l a s p r e m i s a s i m p l i c a n q u e A r e s u l t a 77zs f a c t i b l e ( y n o m e n o s , c o n t o d a s e g u r i d a d ) . S i n e m b a r g o , m i v e c i n o y y o p o d e m o s c o n t o d a h o n e s t i d a d n o e s t a r d e a c u e r d o s o b r e e l g r a d o d e p r o b a b i l i d a d a t r i b u i b l e a A , d a d o q u e n u e s t r o s t e m p e r a -m e n t o s , n u e s t r a formacin, n u e s t r a s r a z o n e s tcitas p u e d e n s e r d i f e r e n t e s .

E n e l s i l o g i s m o d e m o s t r a t i v o , l a s p r e m i s a s c o n s t i t u y e n u n a base c o m -p l e t a , s o b r e l a c u a l d e s c a n s a l a conclusin. S i l a s d o s p r e m i s a s s o n e x a c t a s ^ l a conclusin l o e s i g u a l m e n t e . S i o b t e n e m o s a l g u n a n u e v a in formac in q u e n o a l t e r e n u e s t r a f e e n l a s p r e m i s a s , n o podr t a m p o c o a l t e r a r l a e n l a conclusin.

E n e l s i l o g i s m o heurst ico, l a s p r e m i s a s n o c o n s t i t u y e n ms q u e u n a p a r t e de l a base s o b r e l a c u a l d e s c a n s a l a conclusin, l a p a r t e c o m p l e t a m e n -t e e x p r e s a d a , l a p a r t e " v i s i b l e " ; q u e d a u n a p a r t e n o e x p r e s a d a , i n v i s i b l e , q u e l a c o n s t i t u y e o t r a c o s a , s e n t i m i e n t o s i n a r t i c u l a d o s quiz o r a z o n e s s i n f o r m u l a r .

U n n u e v o c o n o c i m i e n t o , s i n a l t e r a r n u e s t r a f e e n l a s p r e m i s a s , p u e d e i n f l u i r e n n u e s t r a opinin r e s p e c t o a A e n e l s e n t i d o i n v e r s o d e l r e s u l t a d o a l q u e n o s hab a l l e v a d o l a conclusin. P u e d e p a r e c e r r a z o n a b l e e l e n c o n -t r a r A b a s t a n t e p l a u s i b l e , basndose e n l a s p r e m i s a s d e u n s i l o g i s m o h e u -

1 1 4 B r e v e d i c c i o n a r i o d e heurstica

rstico. Maana , s i n e m b a r g o , quiz e n c o n t r e m o s r a z o n e s q u e , . s i i i q ^ q . . s o b r e l a s p r e m i s a s , h a c e n a A m e n o s p l a u s i b l e o quiz i n c l u s o l a f e f i -L a conclusin p u e d e c a m b i a r o t r a n s f o r m a r s e t o t a l m e n t e , p o r m e d i o d e l * alteracin d e e l e m e n t o s i n v i s i b l e s d e l a b a s e , e n t a n t o q u e l a s p r e m i s a s ele^ m e n t o s v i s i b l e s , p e r m a n e c e n i n a l t e r a b l e s . ^ ^ - '

L s t a s o b s e r v a c i o n e s t i e n e n p o r f i n a l i d a d e l h a c e r ms c o m p r e n s i b l e q r a z o n a m i e n t o heurstico i n d u c t i v o , e n u n a p a l a b r a e l razonamintb s i b l e , e l c u a l n o t r a t a d e d e m o s t r a r y c u y a n a t u r a l e z a p a r e c e d e s c o n c e r t a n t e y d i f c i l d e d e f i n i r c u a n d o s e l e m i r a b a j o e l ngulo d e l a demostracla lgica p u r a . Har an f a l t a ms e j e m p l o s c o n c r e t o s , ser a n e c e s a r i o - c o n s i d e r a r s i l o g i s m o s heursticos d e o t r o t i p o , e x a m i n a r e l c o n c e p t o d e p r o b a b i l i -d a d y o t r o s c o n c e p t o s d e l m i s m o , o r d e n p a r a c o m p l e t a r e s t e pequeo es-t u d i o . ( D e l m i s m o a u t o r Zvathematics and Plausible Peasoning.flf

L a s r a z o n e s heursticas s o n i m p o r t a n t e s , p e s e a q u e n a d a d e m u e s t r a n I m p o r t a t e n e r u n a concepcin c l a r a y , s i n e m b a r g o , detrs d e c a d a razn q u e h a y a m o s e s c l a r e c i d o s e e s c o n d e n m u c h a s o t r a s q u e p e r m a n e c e n oscuras y q u e t i e n e n quiz m a y o r i m p o - r t a n c i a .

I n d u c c i n e i n d u c c i n m a t e m t i c a . L a inducc in e s r m m o d o de r a z o n a r q u e c o n d u c e a l d e s c u b r i m i e n t o d e l e y e s g e n e r a l e s a p a r t i r d e la observacin d e e j e m p l o s p a r t i c u l a r e s y d e s u s c o m b i n a c i o n e s . S e e m p l e a e n t o d a s l a s c i e n c i a s , a u n e n matemticas. L n c u a n t o a l a induccin m a t e mtica n o s e e m p l e a ms q u e e n matemticas a f i n d e d e m o s t r a r u n c i e r t o t i p o d e t e o r e m a s . L s b a s t a n t e m o l e s t o q u e l a s d o s e x p r e s i o n e s estn l i g a d a s y a q u e e n t r e l o s d o s p r o c e d i m i e n t o s n o e x i s t e m s q u e u n l a z o lgico, ex-' t r e m a d a m e n t e ' s u t i h L x i s t e , s i n e m b . a r g o , u n c i e r t o l a z o prctico, p u e s t o q u e a m e n u d o s e e m p l e a n l o s d o s mtodos a l m i s m o t i ^ e m p o . I l u s t r a r e m o s a m b o s a l a v e z , m e d i a n t e e l m i s m o e j e m p l o .

1 . C a s u a l m e n t e p o d e m o s o b s e r v a r q u e 1 + 8 -+- 2 7 - L 6 4 = l a o

y , c o n s t a t a n d o q u e d i c h o s nmeros s o n c u b o s y s u s ' u m a u n c u a d r a d o , p o d e -m o s p r e s e n t a r e s t a observacin b a j o l a s i g u i e n t e f o r m a :

1 ^ -+- 2= + 3 ^ + 4 ^ = 1 0 =

P o d e m o s e n t o n c e s p r e g u n t a r n o s s i s u c e d e c o n f r e c u e n c i a q u e l a s u m a de l o s c u b o s d e nmeros c o n s e c u t i v o s s e a u n c u a d r a d o -

P l a n t e a n d o e s t a p r e g u n t a n o s p a r e c e m o s a l n a t u r a l i s t a q u e , h a b i e n d o o b s e r v a d o u n a p l a n t a o u n a formacin geolgica c u r i o s a , c o n c i b e u n a " c u e s -t in g e n e r a l " . N u e s t r a cuestin g e n e r a l s e r e f i e r e a l a s u m a d e c u b o s s u -c e s i v o s :

1 3 4 _ 2 + 3 + . . . - + - 72=

A e l l o n o s h a g u i a d o e l " e j e m p l o p a r t i c u l a r " d o n d e z? = 4 .

Induccin e induccin matemtica 1 1 5

Qu h a c e r p a r a c o n t e s t a r ? L o q u e har a e l n a t u r a l i s t a . L s d e c i r , b u s c a r o t r o s c a s o s p a r t i c u l a r e s . S i 7z = 2 3 , e l c a s o e s ms s e n c i l l o todava ; s ^j, = 5 , l l e g a m o s a l c a s o s i g u i e n t e . Aadamos , p a r a h a c e r u n t r a b a j o c o m -n l e t o y u n i f o r m e , e l c a s o d o n d e 77 = 1. P r e s e n t a n d o j u i c i o s a m e n t e e s t o s d i v e r s o s c a s o s , c o m o u n ge logo expondra l o s especmenes d e u n m i n e r a l c u a l q u i e r a , o b t e n e m o s l a s i g u i e n t e l i s t a :

1 = 1 = 1 =

1 + 8 = 9 = 3 = 1 + 8 + 2 7 = 3 6 = 6 = 1 + 8 + 2 7 + 6 4 = 1 0 0 = 1 0 = 1 + 8 + 2 7 + 6 4 + 1 2 5 = 2 2 5 = 1'5=

E l h e c h o d e q u e e s t a s d i v e r s a s s u m a s d e c u b o s c o n s e c u t i v o s s e a n c u a d r a d o s , difcilmnte p u e d e a t r i b u i r s e a l a z a r . L n u n c a s o s i m i l a r e l n a t u r a l i s t a n o tendra d u d a a l g u n a s o b r e l a e x a c t i t u d d e l a l e y g e n e r a l q u e l e h a n s u g e -r i d o l o s c a s o s p a r t i c u l a r e s o b s e r v a d o s p o r l ; d i c h a l e y g e n e r a l est c a s i p r o b a d a p o r inducci7'z. L l matemtico s e e x p r e s a c o n ms r e s e r v a , a u n q u e e n e l f o n d o p i e n s e l o m i s m o . S e l imitar a d e c i r q u e l a induccin s u g i e r e t e n a z m e n t e e l s i g u i e n t e t e o r e m a : "La. s u 7 7 2 a d e l o s 72 pidyjzei-os c u b o s es U72 cuadrado."

2 . H e m o s s i d o l l e v a d o s a s u p o n e r l a e x i s t e n c i a d e u n a l e y n o t a b l e y u n p o c o m i s t e r i o s a . Por qu e s a s s u m a s d e c u b o s s u c e s i v o s r e s u l t a n s e r c u a d r a d o s ? P o r q u e d e h e c h o s o n c u a d r a d o s .

Qu hara e l n a t u r a l i s t a e n u n a situacin s e m e j a n t e ? Seguir a e x a m i -n a n d o s u hiptesis y tendra e n t o n c e s l a p o s i b i l i d a d d e e l e g i r e n t r e d i v e r s a s lneas d e c o n d u c t a , b u s c a r y a c u m u l a r , p o r e j e m p l o , n u e v a s p r u e b a s e x p e -rimentales. S i q u e r e m o s o b r a r i g u a l , t e n e m o s q u e e x a m i n a r l o s c a s o s s i -g u i e n t e s , d o n d e zz = 6 , 7 . . . L l n a t u r a l i s t a p u e d e tambin r e e x a m i n a r l o s h e c h o s q u e l e h a n l l e v a d o a f o r m u l a r s u hiptesis ; l o s comparar c o n c u i -d a d o , tratar d e e n t r e s a c a r u n a r e g u l a r i d a d ms p r o f u n d a , u n a n u e v a a n a -loga. L s e l c a m i n o q u e v a m o s a s e g u i r .

E x a m i n e m o s d e n u e v o l o s c a s o s , p a r a zz = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , q u e h e m o s d i s -p u e s t o e n l a l i s t a . Por qu t o d a s l a s s u m a s r e s u l t a n s e r c u a d r a d o s ? ; qu p o d e m o s d e c i r d e d i c h o s c u a d r a d o s ? S u s races ( c u a d r a d a s ) s o n 1 , 3 , 6 , 1 0 , 1 5 . Qu p o d e m o s d e c i r d e d i c h a s races?; existe e n t r e e l l a s u n a r e g u -l a r i d a d ms h o n d a , u n a analoga ms h o n d a ? L n t o d o c a s o n o p a r e c e n a u m e n t a r e n f o r m a m u y i r r e g u l a r . C m o a u m e n t a n ? L a d i f e r e n c i a e n t r e d o s trminos s u c e s i v o s d e e s t a s e r i e a u m e n t a tambin :

3 1 = 2 , 6 - 3 = 3 , 1 0 6 = 4 , 1 5 1 0 = 5 E s t a s d i f e r e n c i a s s o n d e u n a r e g u l a r i d a d n o t a b l e . C o n s t a t a m o s e n t o n c e s u n a