¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?

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2. Probabilidad Dominar la fortuna. ¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell. - PowerPoint PPT Presentation

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  • *Cmo osamos hablar de leyes del azar? No es, acaso, el azar la anttesis de cualquier ley?Bertrand Rusell2. Probabilidad Dominar la fortunaLa probabilidad de tener un accidente de trfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rpido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

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  • *EJEMPLOS:S={A, E, I, O}S={L, T, R}

  • *EJEMPLOS:

  • *Experimento aleatorio

    Por ejemplo:* Lanzar un dado.* Extraer una carta de una baraja.* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composicin de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composicin de bolas de colores, una bola. Entenderemos por experimento aleatorio cualquier situacin que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori.

  • *Sucesos o eventosCuando se realiza un experimento aleatorio, diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).Experimento aleatorio: lanzar un dado.Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Por ejemplo: el suceso A = que el resultado sea par: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no estn en A.Ac ser: que el resultado sea impar, Ac = {1, 3, 5}.

  • *Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. Cul es el espacio muestral E de dicho experimento aleatorio? E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

  • *Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente:Dado: Cul es la probabilidad P(A) de A = un nmero mayor o igual a 5?Y la probabilidad de B = nmero impar?Solucin: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6.P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables.P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables Probabilidad clsica

  • *Diagramas de VennVeamos un ejemplo de dados:Sucesos A= Un nmero impar, B= Un nmero mayor que 4. A={1,3,5} Ac ={2, 4, 6} B={5,6} Bc ={1, 2, 3, 4} A B ={1, 3, 5, 6} A B = {5} (A B)c ={2, 4} (A B)c = {1, 2, 3, 4, 6}

  • *Se llama suceso unin de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que estn en A o en B (incluyendo los que estn en ambos).Se llama suceso interseccin de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que estn simultneamente en A y B. Dos sucesos son mutuamente excluyentes si A B = , donde es el conjunto vaco.Observemos que un suceso y su complementario son siempre mutuamente excluyentes y su unin es todo el espacio E. A Ac = , A Ac = E

  • *Cul ser la probabilidad de dos sucesos mutuamente excluyentes?

  • *Definicin axiomtica de probabilidadSe llama probabilidad a cualquier funcin P que asigna a cada suceso A del espacio muestral E un valor numrico P(A), verificando los siguientes axiomas:

    (1) No negatividad: 0 P(A)

    (2) Normalizacin: P(E) = 1

    (3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = (donde es el conjunto vaco). Kolmogorov, 1933

  • *Si la probabilidad de que el parking de la escuela tenga 100-209, 210-309, 310-400 y > 400 coches es 0.20, 0.35, 0.25, 0.12 respectivamente. Qu probabilidad hay de que el parking tenga al menos 100 coches, pero menos de 401?Solucin Puesto que los sucesos favorables 100-209, 210-309 y 310-400 son mutuamente excluyentes:

    0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80Veamos un ejemplo de aplicacin del axioma (3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = (donde es el conjunto vaco).

  • *Sabiendo la probabilidad P(A) de un suceso A, cul ser la de su complementario Ac?Teorema de la probabilidad complementariaPara un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral E:P(Ac) = 1 - P(A)Demostracin: Por definicin de complementario E = A Ac y A Ac = . A partir de los axiomas 2 y 3

    1 = P(E) = P(A Ac)= P(A) + P(Ac) de modo que P(Ac) = 1 - P(A)

  • *El suceso Ac (ninguna cara) tiene solo una posibilidad. Entonces P(Ac) = 1/32 y la respuesta es: P(A) = 1 - P(Ac) = 31/32.Lanzamiento de monedasCinco monedas se lanzan simultneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A: Al menos sale una cara. Asumimos que las monedas no est cargadas.Solucin: Puesto que cada moneda puede aparecer como cara o cruz, el espacio muestral consiste en 25 = 32 posibilidades. Como las monedas no estn cargadas cada posibilidad tiene la misma probabilidad de 1/32.

  • *Solucin ms elegante: La probabilidad de que una moneda salga cara es 1/2 y de que salga cruz 1/2. Puesto que cada lanzamiento es independiente, la probabilidad de que salgan 5 cruces (ninguna cara) ser:Probabilidad de que salga cruz

  • *Spotck, la gata de Data en Start Treck, ha tenido un camada de 4 cachorros. El capitn Piccard le pregunta cuntos son macho y cuntos hembra. Data le responde que, basndose en el clculo de probabilidades, lo ms probable es que sean dos gatitos y dos gatitas. Piccard llama inmediatamente a seguridad para que detengan a Data. Qu ocurre?

  • *Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos, tenemos 24 = 16 posibilidades:

    HHHH MMMMProbabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8

    HHHM HHMH HMHH MHHHMMMH MMHM MHMM HMMMProbabilidad descomposicin (3-1) = 8/16 = 1/2

    HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHHDescomposicin (2-2) = 6/16 = 3/8

    Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.

    A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo.

  • *Regla de la suma:Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral:P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)Demostracin: En la imagen podemos ver que A = C D y B = D E. As que C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E)Sumando:P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E)Restando P(D) a ambos lados:P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir:P(A) + P(B) - P(A B) = P(A B)

  • *EJEMPLO

  • *EJEMPLO

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