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HAL Id: tel-01015252 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01015252 Submitted on 26 Jun 2014 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Commande et observation d’une classe de systèmes linéaires à commutations : Application aux convertisseurs de puissance DC-DC Ahmed Rédha Meghnous To cite this version: Ahmed Rédha Meghnous. Commande et observation d’une classe de systèmes linéaires à commu- tations : Application aux convertisseurs de puissance DC-DC. Electronique. INSA de Lyon, 2013. Français. <NNT : 2013ISAL0137>. <tel-01015252>

Commande et observation d'une classe de systèmes linéaires à

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    Submitted on 26 Jun 2014

    HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

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    Commande et observation dune classe de systmeslinaires commutations : Application aux

    convertisseurs de puissance DC-DCAhmed Rdha Meghnous

    To cite this version:Ahmed Rdha Meghnous. Commande et observation dune classe de systmes linaires commu-tations : Application aux convertisseurs de puissance DC-DC. Electronique. INSA de Lyon, 2013.Franais. .

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01015252https://hal.archives-ouvertes.fr

  • Numro dordre : Anne 2013

    THSE

    prsente devant

    LInstitut National des Sciences Appliques de Lyon

    pour obtenir le grade de

    DOCTEUR DE LUNIVERSIT DE LYON

    Ecole doctorale : Electronique, Electrotechnique, AutomatiqueSpcialit : Energie et systmes

    par

    Ahmed Rdha Meghnous

    Commande et observation dune classe de systmes

    linaires commutations. Application aux

    convertisseurs de puissance DC-DC

    Soutenue le 02 dcembre 2013 devant la Commission dexamen

    Jury :

    Jean-Pierre Barbot Professeur, ENSEA, Cergy-Pontoise RapporteurPierre Riedinger Professeur, ENSEM, Nancy RapporteurMaurice Fadel Professeur, INPT-ENSEEIHT, Toulouse ExaminateurDiego Patio Professeur associ, PUJ, Bogot, Colombie ExaminateurXuefang Lin-Shi Professeur, INSA, Lyon Directrice de ThseMinh Tu Pham Matre de Confrences, INSA, Lyon Co-directeur de Thse

    Cette thse est accessible l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2013ISAL0137/these.pdf

    [A.R. Meghnous], [2013], INSA de Lyon, tous droits rservs

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  • Rsum

    Rsum

    Cette thse sintresse la commande et lobservation dune classe de systmes linaires com-mutations (SLC). La classe considre regroupe les systmes pouvant tre reprsents par unmodle Hamiltonien ports. Rcemment, plusieurs travaux ont utilis la thorie des systmesdynamiques hybrides pour traiter les problmes de stabilit, de commandabilit et dobservabi-lit des systmes linaires commutations. Cependant, certains verrous scientifiques demeurentet ncessitent dtre levs tels que la synthse dobservateurs pour des SLC prsentant des modesde fonctionnement inobservables ou la commande hybride de systmes possdant un nombrerduit dentres de commutations et un nombre lev de variables dtat contrler.Dans ce travail, nous nous intressons la synthse dobservateurs sappuyant sur la modli-sation moyenne et la modlisation hybride de SLC ayant une topologie Hamiltonienne portsparticulire. Ce formalisme possde les outils ncessaires pour tablir des preuves de stabilitdes erreurs dobservation. Dans un premier temps, nous proposons un observateur non linairereposant sur le modle moyen de la classe des SLC considre. Ensuite, nous traitons le problmede synthse dun observateur hybride o nous proposons un observateur commut prenant encompte les modes de fonctionnement inobservables.Le problme de la commande des SLC est abord par la suite. Au dpart, la thorie de Lya-punov est utilise pour proposer deux lois de commandes : La premire est synthtise partirdu modle moyen et la deuxime exploite le modle hybride. Une commande optimale hybrideest labore en utilisant le principe du maximum de Pontryagin et une approche utilisant larecherche darcs singuliers. Finalement, une commande prdictive hybride est tablie partirdun modle discrtis du systme.Des rsultats de simulation et une mise en uvre exprimentale sur un convertisseur DC-DCSEPIC sont donns pour montrer lefficacit des mthodes proposes. Ltude dun tel circuitest motive par sa topologie particulire qui contient la fois un mode de fonctionnement ob-servable et un mode de fonctionnement inobservable. En outre, il possde une seule entre decommutations et quatre variables dtat ce qui lui vaut la rputation tre difficile commander.

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  • Rsum

    Abstract

    This thesis is dedicated to the control and the observation of a class of switched linear systems(SLS). This class contains the systems that can be represented by a port-Hamiltonian model.A lot of works have been studied SLS for several years using an average modeling approach.Recently, various works have shown that hybrid system theory allows to cope with stabilization,controllability, and observability problems of switched linear systems. However, several problemsare still open and need more development such as the design of hybrid observers for SLS thathave unobservable modes or the control of systems with reduced number of switching inputsand numerous variable states to control.In this work, we are interested in the design of state observers for a particular class of SLS usingboth the average and the hybrid port-Hamiltonian models. This formalism has the necessarytools to study and establish the stability of the observation errors. At the beginning, a nonlinearobserver based on the average modeling is proposed. Next, a hybrid observer is designed forswitched linear systems. This observer takes into account the unobservable operating modes ofthe system.The second point of our work concerns the design of control laws for the considered class of SLS.At first, two Lyapunov-based control laws have been established using either an average modelor a hybrid model of the system. A hybrid optimal control based on the maximum principleof Pontryagin and the computation of singular arcs has been also proposed. Finally, a hybridpredictive control based on a discrete model of the system is synthesized.Simulation results and an experimental implementation on a SEPIC converter are given toshow the efficiency of the proposed methods. Our motivation to study such a converter ismainly due to its particular topology that includes observable and unobservable subsystems. Itis also known to be difficult to be controlled because only one switching input is used to controlfour state variables.

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  • Table des matires

    Introduction 1

    1 Notions introductives 71 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Stabilit des systmes linaires commutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.1 Modle commut dun SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Stabilit au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.2.1 Fonction de Lyapunov commune . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Fonctions de Lyapunov multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Pseudo-fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3 Stabilisation par temps de sjour minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Observabilit des systmes linaires commutations . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3.1 Modle moyen et observabilit des systmes bilinaires . . . . . . . . . . 133.2 Observabilit au sens hybride des SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.2.1 Observabilit par la dtermination du sous-espace observable . . 163.2.2 Z(TN)-observabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.3 Observabilit par la dtermination du sous-espace inobservable . 183.2.4 Observabilit hybride dun SLC temps discret . . . . . . . . . 20

    4 Synthse dobservateurs pour les SLC sans saut sur ltat . . . . . . . . . . . . . 214.1 Observateur du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Observateur commut : modes de fonctionnement observables . . . . . . 214.3 Observateur hybride : modes de fonctionnement inobservables . . . . . . 22

    5 Commande des systmes linaires commutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1 Commandabilit des SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Commande partir du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Commande par retour dtat commut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Commande par optimisation des instants de commutations . . . . . . . . 25

    6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2 Observateurs pour une classe de systmes linaires commutations 271 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Modle Hamiltonien ports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Observateur non linaire partir du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.1 Modlisation et analyse dobservabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4 Observateur hybride pour SLC deux modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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  • Table des matires

    4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Convergence de lobservateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5 Application : Convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Observateur non linaire partir du modle moyen . . . . . . . . . . . . 44

    5.2.1 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Estimation de la rsistance de charge . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.3 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.4 Rsultats Exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    5.3 Observateur hybride pour le convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . 525.3.1 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3.2 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.3 Rsultats exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 Commande dune classe des systmes linaires commutations 611 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Commandes non linaires avec les mthodes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 62

    2.1 Commande partir du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.1 Loi de commande propose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 Cas des convertisseurs de puissance DC-DC . . . . . . . . . . . 652.1.3 Application au convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.2 Commande partir du modle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.1 Synthse de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.2 Application au convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3 Commande optimale hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Formulation du problme de la commande optimale . . . . . . . . . . . . 753.2 Application du principe du maximum de Pontryagin . . . . . . . . . . . . 773.3 Types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Cas de p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5 Dtermination des arcs singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Exemples dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.6.1 Convertisseur buck-boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6.2 Convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4 Commande prdictive hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1 Synthse de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Application au convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.2.1 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Rsultats exprimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    Conclusion 99

    Annexe 103

    Bibliographie 112

    iv

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  • Table des figures

    1.1 Fonctions de Lyapunov multiples : Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.1 Evolution des tats et erreurs dobservation en simulation . . . . . . . . . . . . . 402.2 Convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Observateur du modle moyen : Variation de rfrence en simulation . . . . . . . 472.4 Estimation dtat par lobservateur non linaire en simulation . . . . . . . . . . 482.5 Convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6 Observateur partir du modle moyen : Variation de rfrence . . . . . . . . . . 502.7 Estimation dtat avec lobservateur moyen en exprimentation . . . . . . . . . . 512.8 Evolution de lestimation dtat avec lobservateur hybride en simulation . . . . 542.9 Erreur dobservation sur les tats avec lobservateur hybride en simulation . . . 552.10 Evolution de lestimation dtat avec lobservateur hybride en exprimentation . 572.11 Evolution de lestimation dtat avec lobservateur hybride en exprimentation :

    Zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.1 Commande du modle moyen partir dune fonction de Lyapunov : Simulation . 683.2 Commande du modle moyen partir dune fonction de Lyapunov : Exprimen-

    tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Commande hybride partir dune fonction de Lyapunov : Simulation . . . . . . 743.4 Convertisseur buck-boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Commande optimale du buck-boost : Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6 Commande optimale du SEPIC : Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7 Commande optimale du SEPIC : Exprimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.8 Tension de sortie : variation de la rfrence de 15V 20V . . . . . . . . . . . . . 893.9 Tension de sortie : variation de la rfrence de 20V 15V . . . . . . . . . . . . . 893.10 Priode surchantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.11 Commande prdictive du SEPIC : Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.12 Commande prdictive du SEPIC : Exprimentation . . . . . . . . . . . . . . . . 953.13 Commande prdictive du SEPIC : Rsolution v = 20 . . . . . . . . . . . . . . . 963.14 Banc dessai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.15 Convertisseur SEPIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.16 Carte dacquisition dSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    v

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  • Table des figures

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  • Notations

    N Nombre de modes

    x, xa Estim du vecteur dtat et du vecteur dtat moyen

    TN Liste ordonne de commutations

    Entre de commutation

    q Temps de sjour

    Sous-espace observable (dterminable)

    q Vecteur de correction de ltat

    Ai Matrice dtat

    Bi Matrice dentre

    Ci Matrice de sortie

    d Rapport cyclique

    Ei, Fi Matrices de la dynamique des sauts

    ex Erreur dobservation

    Fz, Fw Matrices de gains

    g Matrice dentre pour les systmes Hamiltoniens

    Gq Matrice dobservabilit au sens de Kalman

    H Fonction Hamiltonienne

    Id Matrice identit

    Im Image dun ensemble

    Jq Matrice de structure

    ker Noyau dun ensemble

    Lq Gain dobservateur

    Nmq Sous-espace inobservable

    O Matrice dobservabilit

    P Matrice paramtrique

    qi Mode actif de commutation

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    [A.R. Meghnous], [2013], INSA de Lyon, tous droits rservs

  • Notations

    Qqm Sous-espace indterminable

    R Matrice de dissipation

    TN Squence dintervalles de temps

    tq Instant de commutation

    tq Instant prcdent la commutation

    u Signal de commande

    uin Vecteur dentre

    V Fonction de Lyapunov

    x Vecteur dtat

    xa Vecteur dtat moyen

    y Vecteur de sortie

    ya Vecteur de sortie moyen

    yp Port de sortie

    Zq, Wq Matrices orthogonales dobservabilit et dinobservabilit

    zq, wq Etats observables et inobservables du mode q

    viii

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  • Introduction

    Contexte et Problmatique

    Les systmes dynamiques hybrides ont attir lattention de nombreux chercheurs durant lesdernires annes en raison de leur capacit dcrire les dynamiques la fois continues et dis-crtes de plusieurs processus rels. Leurs proprits thoriques telles que lobservabilit et lacommandabilit font lobjet dintenses travaux de recherche de nombreuses quipes issues dediffrentes cultures (systmes vnements discrets, systmes non linaires, systmes linaires,. . . ). Cependant, en dpit de leffervescence du nombre dtudes une approche gnrale dana-lyse ou de commande nest pas disponible encore en raison de la complexit du problme. Ainsi,plusieurs auteurs ont pris le parti de ne sintresser qu une classe ou sous-classe de systmeshybrides en regardant uniquement les problmes de stabilit, dautres ne sintressent qu lacommande ou lobservation. Dans le cadre de cette thse, nos efforts se porteront sur les sys-tmes linaires commutations (SLC) qui sont dcrits par une reprsentation Hamiltonienne ports particulire. Par dfinition, un SLC est caractris par un ensemble de dynamiqueslinaires qui commutent entre elles selon une loi de commutation reprsentant ltat discon-tinu et pouvant tre contrle ou pas. Dans le cas o la loi de commutation est commande,elle constitue une entre de commande supplmentaire pour le systme. Traditionnellement,un observateur construit sur la base dun modle moyen dun SLC reste une approche efficacepour estimer les tats du systme lorsque celui-ci prsente des configurations inobservables lies des squences de commutations particulires [Gensior et al., 2006, Spinu et al., 2012]. Mal-heureusement, cette technique nest valable que dans une plage de frquences pour laquellele modle moyen approxime raisonnablement le comportement du SLC. En dehors de ce do-maine, lutilisation dun modle hybride et les mthodes dAutomatique associes simposent.Par ailleurs, une autre difficult concerne la prsence de modes de fonctionnement inobservablesau cours des cycles de commutations du SLC. Contrairement aux systmes linaires invariantsdans le temps, la synthse dun observateur hybride demeure possible sous certaines conditions.Plusieurs travaux se sont intresss lobservabilit hybride de ce cas de figure [Babaali, 2004,Riedinger et al., 2008, Shim and Tanwani, 2011, Sun et al., 2001, Zhao and Su, 2010] mais peudtudes abordent rellement le problme de la synthse dun observateur hybride.Les proprits de passivit des systmes port-Hamiltonien permettent de synthtiser des com-mandes hybrides reposant sur lanalyse dune fonction de Lyapunov. Cependant, comme certainsSLC sont des systmes contraints, en raison par exemple de limitations physiques, des strat-gies de commande envisages doivent aussi conduire une commande calcule appartenant un domaine physique admissible. De ce fait, une recherche darcs singuliers est ncessaire lors-quon envisage de mettre en uvre par exemple une commande optimale [Patino et al., 2009].Dans le travail de recherche prsent dans ce mmoire, les convertisseurs de puissance DC-DCsont pris comme exemples dapplication avec les difficults lies ces systmes. Certains de

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  • Introduction

    ces convertisseurs possdent des modes de fonctionnement qui ne sont pas observables par latension de sortie. De plus, la commande de ces convertisseurs est par nature hybride puisquellefait appel des composants de commutation. Lobjectif de la commande pour ce type de sys-tmes consiste en gnral maintenir la tension de sortie autour dune rfrence et garder lesautres grandeurs de ltat dans un domaine admissible. Bien que la thorie de lobservation deltat ait atteint une certaine maturit dans les domaines des systmes continus et des systmesdiscrets, beaucoup de points mritent dtre approfondis sur le concept de lobservabilit et dela synthse dobservateurs pour les systmes hybrides. En effet, lobservabilit dun systmehybride nimplique pas ncessairement lexistence dune procdure de reconstruction de ltat(observateurs), notamment, dans le cas o le processus passe par un mode de fonctionnementinobservable. Il est par exemple possible de prouver quun systme commut possdant desmodes de fonctionnement inobservables est observable dun point de vue hybride. Cependant,la synthse dun observateur hybride pour un tel cas constitue encore un verrou scientifiqueet trs peu de rsultats existent dans la littrature. La prise en compte des modes inobser-vables dans la synthse dun observateur hybride a t propose dans une premire tude dans[Ghanes et al., 2009]. Nanmoins, le travail a t effectu pour un cas particulier de systmes commutations dont les tats inobservables sont constants pendant les modes de fonction-nement inobservables. Cette condition particulire est valide pour certains convertisseurs depuissance tel que le convertisseur multicellulaire srie. Les auteurs de [Tanwani et al., 2011] et[Tanwani et al., 2013] traitent, quant eux, de la synthse dun observateur hybride en prsencede modes pouvant tre individuellement observables ou inobservables dans un cas gnral o lestats inobservables varient durant le mode de fonctionnement inobservable. Linconvnient decet observateur est que sa synthse et sa mise en uvre dans la pratique demeurent un travailfastidieux mme pour des systmes simples de taille rduite.La premire problmatique de cette thse concerne la synthse dun observateur hybride pre-nant en compte les modes de fonctionnement inobservables pour les SLC avec une seule entrede commutation. Lun des objectifs souhaits est de dvelopper un observateur qui doit tresimple mettre en uvre pour une application sur des systmes rels tels que les convertisseursde puissance DC-DC.

    La commande des SLC dpend fortement de la nature et de la disponibilit des entres decommande. Dans cette thse, la classe des SLC avec une topologie Hamiltonienne ports estconsidre [Valentin et al., 2007] et seule lentre de commutations est utilise pour raliser lacommande. Dans cette configuration, la difficult principale est la commande de plusieurs tatsdu systme partir dune seule entre de commande. Une premire solution consiste utiliserun modle moyen ce qui permet dtendre le domaine de la commande initialement discret undomaine admissible continu. Le modle moyen tant bilinaire, il offre la possibilit dappliquerles techniques dveloppes pour les systmes non linaires. Malheureusement cause des limitesde la modlisation moyenne il est judicieux dappliquer une commande hybride dans le cas ole modle moyen nest pas valide.Ainsi, la deuxime problmatique de ce travail de thse consiste proposer des lois de com-mande classiques et hybrides pour les SLC possdant une reprsentation port-Hamiltonienneet une seule entre de commutation.

    Les travaux de cette thse sappuient fortement sur le formalisme Hamiltonienne qui proposenon seulement un cadre gnral systmatique pour lanalyse structurelle des proprits dun

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  • Introduction

    SLC mais offre aussi des outils gomtriques pour la synthse dun observateur et dune com-mande hybrides [van der Schaft and Maschke, 2004, van der Schaft, 2000]. Ce formalisme estcaractris par une fonction appele fonction Hamiltonienne qui reprsente lnergie stockedans le systme. Dans notre travail, cette fonction est utilise comme une fonction de Lyapu-nov pour le systme ou comme un point de dpart pour dduire dautres fonctions de Lyapunovcandidates. Les problmes de stabilit, de synthse dobservateurs et de lois de commande sonttraits par une analyse des fonctions de Lyapunov trouves.

    Les convertisseurs de puissance sont pris comme applications dans ce travail. Leur modle com-mut fournit une reprsentation plus proche du comportement rel du convertisseur quunemodlisation classique. Contrairement la modlisation classiquement adopte qui utilisentun modle moyen, une modlisation hybride du convertisseur permet davoir une descriptionplus fine du systme avec toutes ses dynamiques continues et discrtes. Les convertisseurs depuissance tudis appartiennent la classe des systmes linaires commutations envisagsdans cette thse. De plus, ils possdent une structure inter-connecte qui permet de dcrireleur comportement par le formalisme Hamiltonien. Un intrt particulier est port au conver-tisseur SEPIC (Single Ended Primary Inductor Converter) rput tre difficile commander etpossdant une configuration inobservable par la tension de sortie.

    Contributions

    Les contributions de cette thse portent essentiellement sur les points suivants :

    Proposition dun observateur non linaire pour le modle moyen des SLC avec une topologieHamiltonienne ports particulire. Une fonction de Lyapunov est utilise pour tablir lastabilit asymptotique de lerreur dobservation indpendamment du rapport cyclique.

    Proposition dun observateur hybride pour le modle hybride de la classe des SLC considrepossdant une seule entre de commutations. Lobservateur prend en compte les modes defonctionnement inobservables. La convergence asymptotique de lerreur dobservation est ga-rantie par lanalyse dune fonction de Lyapunov. Lobservateur propos est facile concevoiret implmenter.

    Proposition de deux lois de commande en utilisant la thorie de Lyapunov. La premire estlabore partir du modle moyen et la deuxime est une commande hybride. Ces deuxcommandes possdent la proprit dtre indpendantes des paramtres du systme.

    Proposition dune commande hybride optimale tablie partir de la dtermination darcssinguliers. Bien que llaboration thorique de cette commande est un peu complexe, sonimplmentation pratique nest pas diccicile mettre en oeuvre.

    Proposition dune commande hybride prdictive. Validation exprimentale de la plupart des techniques dveloppes sur un banc dessai dun

    circuit SEPIC.

    Organisation du mmoire

    Ce mmoire comporte trois chapitres qui se dclinent de la manire suivante

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  • Introduction

    Chapitre 1

    Le premier chapitre prsente les systmes linaires commutations dans leur contexte hybride.Diffrentes techniques danalyse base de fonctions de Lyapunov ncessaires ltude de la sta-bilit de ces systmes sont prsentes. Une introduction lobservabilit des systmes linaires commutations est faite en prsentant les thormes utiliss pour deux types de modlisation :la modlisation moyenne et la modlisation hybride. Par la suite, le problme de la synthsedobservateurs pour les modles moyen et hybride est formul. Concernant le modle hybride,nous marquons la diffrence entre les systmes possdant des modes de fonctionnement tousobservables et ceux qui ont des modes inobservables au sens classique de Kalman. Aprs lobser-vabilit, la problmatique de la commande des systmes linaires commutations est prsente.Nous donnons un aperu de diffrents types de commandes gnralement utilises pour ce genrede systmes.

    Chapitre 2

    Dans ce second chapitre, nous proposons, pour une classe particulire de SLC, un observateurnon linaire utilisant un modle moyen. La classe concerne les systmes qui peuvent tre dcritspar une reprsentation Hamiltonienne ports. Nous proposons aussi un observateur hybridepour les systmes linaires commutations qui peuvent possder des modes de fonctionne-ment inobservables. Le formalisme Hamiltonien ports est exploit pour tablir la convergenceasymptotique de lerreur dobservation pour les deux observateurs proposs. Un exemple dap-plication sur le convertisseur SEPIC est prsent. Enfin, les rsultats de validation en simulationet exprimentation de lobservateur construit partir du modle moyen et de lobservateur hy-bride sur le circuit SEPIC sont prsents.

    Chapitre 3

    Le dernier chapitre concerne le dveloppement de lois de commande classiques et hybrides pourla classe de SLC considre. Dans une premire partie, nous proposons deux lois de commandesreposant sur la thorie de Lyapunov. La premire commande est synthtise partir du modlemoyen de la reprsentation port-Hamiltonienne du systme. La deuxime loi est une commandehybride dveloppe partir du modle hybride. Par la suite, nous proposons une commandehybride optimale utilisant les arcs singuliers et ddie la commande des SLC de dimensionsuprieure 2. Finalement, une commande prdictive hybride labore partir dun modlediscrtis du systme est propose. Les rsultats de validation en simulation et exprimentationdes commandes proposes sur le convertisseur SEPIC sont prsents.

    Enfin, un rsum des techniques proposes et rsultats obtenus est donn dans une conclusionainsi que les perspectives futur de ce travail de thse.

    Rfrences Personnelles

    Revues Internationales avec Comit de Lecture

    A.R. Meghnous, M.T. Pham and X. Lin-Shi, Hybrid observer for switched linear systems withunobservable operating modes, Automatica. (en prparation)

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  • Introduction

    A.R. Meghnous, M.T. Pham, X. Lin-Shi and D. Patino, Hybrid optimal control with singulararcs for a class of switched linear systems, International Journal of Robust and NonlinearControl. (en rvision)

    A.R. Meghnous, M.T. Pham and X. Lin-Shi, Observer-based Lyapunov control for Single EndedPrimary Inductor Converter (SEPIC), IEEE Power Electronic Letters. (soumis)

    Confrences Internationales avec Comit de Lecture

    A.R. Meghnous, M.T. Pham and X. Lin-Shi, Averaged port-Hamiltonian modeling based ob-server for DC-DC power converters, In Proc. of the IFAC Joint conference : 5th Symposium onSystem Structure and Control, 11th Workshop on Time-Delay Systems, and 6th Workshop onFractional Differentiation and Its Applications, 2013, Grenoble, France, pages 827-832.

    A.R. Meghnous, M.T. Pham and X. Lin-Shi, A hybrid observer for a class of DC-DC powerconverter, In Proceedings of the American Control Conference (ACC13), 2013, WashingtonDC, USA, pages 6240-6245.

    A.R. Meghnous, M.T. Pham and X. Lin-Shi, Nonlinear observer and Lyapunov-based controlfor SEPIC converter : Design and experimental results, In Proceedings of the American ControlConference (ACC13), 2013, Washington DC, USA, pages 5853-5858

    A.R. Meghnous, D. Patino, M.T. Pham and X. Lin-Shi, Hybrid optimal control with singu-lar arcs for DC-DC power converters, Conference on Decision and Control (CDC13), 2013,Florence, Italy. (accept)

    Confrences Nationales avec Comit de Lecture

    A.R. Meghnous, M.T. Pham et X. Lin-Shi, Commande et observateur hybrides pour les conver-tisseurs de puissance DC-DC, 5 me Journes Doctorales / Journes Nationales MACS, Stras-bourg, 2013.

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  • Introduction

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    [A.R. Meghnous], [2013], INSA de Lyon, tous droits rservs

  • Chapitre 1

    Notions introductives

    1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Stabilit des systmes linaires commutations . . . . . . . . . . . 9

    2.1 Modle commut dun SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2 Stabilit au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.3 Stabilisation par temps de sjour minimum . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3 Observabilit des systmes linaires commutations . . . . . . . . 13

    3.1 Modle moyen et observabilit des systmes bilinaires . . . . . . . . . 13

    3.2 Observabilit au sens hybride des SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4 Synthse dobservateurs pour les SLC sans saut sur ltat . . . . . 21

    4.1 Observateur du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4.2 Observateur commut : modes de fonctionnement observables . . . . . 21

    4.3 Observateur hybride : modes de fonctionnement inobservables . . . . . 22

    5 Commande des systmes linaires commutations . . . . . . . . . 22

    5.1 Commandabilit des SLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5.2 Commande partir du modle moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.3 Commande par retour dtat commut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.4 Commande par optimisation des instants de commutations . . . . . . 25

    6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1 Introduction

    Les systmes linaires commutations sont une classe des systmes dynamiques hybrides com-pose de dynamiques linaires qui commutent entre elles suivant une dynamique discrte repr-sente par une entre de commutations exogne. Cette entre peut tre commande ou auto-nome. Les trajectoires dtat peuvent prsenter des sauts durant leur volution [Babaali, 2004].

    Diffrents types de commande ont t labors pour les systmes dynamiques hybrides pourrsoudre un nombre important de problmes [Montagner et al., 2006, Wulff et al., 2009][Chen et al., 2012]. Cependant, les algorithmes de commande hybride utilisent lintgralit duvecteur dtat, alors que dans la pratique, il arrive souvent quune seule partie des tats dusystme soit mesure. Par ailleurs, la connaissance de ltat discret est indispensable pour la

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    commande. Comme pour les systmes dynamiques continus, la ncessit de la connaissancede tous les tats a motiv le dveloppement de techniques sur lobservation des systmes dy-namiques hybrides [Tian et al., 2009, Babaali, 2004, Babaali and Egerstedt, 2004]. Par contre,ltude de lobservabilit de ce genre de systmes prsente plusieurs difficults thoriques ma-jeurs telles que :

    la complexit intrinsque des dynamiques hybrides. Cet aspect rend ltude de lobserva-bilit plus difficile car il faut prendre en compte ltat discret (configuration ou mode defonctionnement) en plus des tats continus de chaque mode ;

    la dfinition dune notion dobservabilit unifie ; la convergence asymptotique des observateurs de systmes hybrides ; le passage entre des modes de fonctionnement observables et dautres inobservables ; lobservation des SDH avec le phnomne de Znon (commutations infinies dans un temps

    fini [Yu et al., 2011]) ;

    Dans le domaine de lobservation dtat, un nombre important de travaux et thories ont t la-bors pour les systmes continus et des systmes discrets. Nanmoins, les notions dobservationet synthse dobservateurs pour les systmes commuts et hybrides ncessitent encore dtreapprofondies et dveloppes. Sagissant de lobservabilit de sous-classes de systmes hybrides,ce problme a t trait dans plusieurs travaux comme dans [Yu et al., 2011, Yu et al., 2009,Chaib et al., 2005, Babaali, 2004, Balluchi et al., 2003, Vidal et al., 2003].Dans le cas o un systme possde un mode de fonctionnement inobservable, son observabilitau sens hybride nimplique pas ncessairement quil est possible de synthtiser un observateurpour ce systme. Lorsquil est possible de mettre en uvre un observateur hybride, on saperoitque celui-ci doit non seulement assurer lestimation des variables dtat continues non mesuresmais aussi les modes de commutations dans le cas o ces derniers ne sont pas disponibles. No-tons que les auteurs de [Tanwani et al., 2011, Daafouz et al., 2004, Vecchio and Murray, 2004,Gennaro, 2003, Santis et al., 2003, Balluchi et al., 2002] ont propos diffrents types dobser-vateurs hybrides pour certains classes de SDH.Malgr labondance des travaux sur la synthse dobservateurs hybrides, peu dentre eux abordentle cas de la prsence dun mode de fonctionnement inobservable [Tanwani et al., 2011]. Ce casest caractris par un systme observable au sens hybride mais contient un ou plusieurs modesde fonctionnement inobservables au sens classique. Par consquent, les techniques classiquesdobservateurs commuts ne sappliquent pas ce cas puisque pour ces dernires, les modes defonctionnement sont supposs toujours observables au sens classique de Kalman. Ce problmeprsente un vritable dfi pour la synthse gnrique dun observateur hybride.La commande dun SLC dpend des natures de lentre de commutations et lentre continuedu systme. Ainsi, trois cas de figures se prsentent : commande par lentre de commutationset lentre continue, commande par lentre continue, commande par lentre de commutations.Dans ce mmoire, nous nous intressons au dernier cas o la commande du systme se fait travers lentre de commutations. Lentre continue est considre comme nulle (systmesautonomes) o constante. La difficult principale rside dans le fait que pour certains SLC, lenombre dentres de commutations est faible par rapport au nombre des tats commander,ce qui rend le problme difficile.Dans ce chapitre, nous aborderons dans un premier temps deux aspects sur les SLC : la mo-dlisation et lanalyse de stabilit. Puis nous donnerons un aperu des approches utilises pourlobservation des systmes linaires commutations (SLC) : lapproche moyenne et lapprochehybride. Nous prsenterons alors quelques notions et techniques sur lobservabilit et la synthse

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  • 2 Stabilit des systmes linaires commutations

    dobservateurs hybrides existant dans la littrature. Finalement, le problme de la commandedes systmes commuts sera abord travers la prsentation dun tat de lart sur les techniquesles plus intressantes pour notre travail.

    2 Stabilit des systmes linaires commutations

    La stabilit des systmes linaires commutation dpend la fois de la stabilit des sous-systmes et de la loi de commutation. Il est bien connu que mme avec des sous-systmesasymptotiquement stables, le comportement dun systme commut peut devenir stable ouinstable selon la squence de commutations. Dans le cas des sous-systmes instables, il estpossible de stabiliser le systme commut grce une loi de commutations particulire. De cefait, ltude de la stabilit des SLC est un problme intressant ayant fait lobjet dun grandnombre de travaux de recherche o plusieurs thormes ont t labors. Nous prsentons iciquelques notions et rsultats importants pour la suite de notre tude.

    2.1 Modle commut dun SLC

    Pour les SLC, les trajectoires dtat peuvent prsenter des sauts durant leur volution[Tanwani et al., 2011]. Leur modle est donn par

    x(t) = A(t)x(t) + B(t)uin(t), t 6= {tq}x(tq) = E(tq )x(t

    q ) + F(tq )vq(t

    q )y(t) = C(t)x(t) + D(t)uin(t)

    (1.1)

    o x IRn est le vecteur dtat, uin IRm est le vecteur dentre et y IRp est la sortie dusystme.A(t), B(t), C(t) et D(t) sont respectivement les matrices dtat, dentre, de sortie et dactiondirecte du systme. Les matrices E(tq ) et F(tq ) caractrisent la dynamique de saut sur ltatet vq est une perturbation extrieure.Les instants tq et tq correspondent respectivement linstant de commutation et linstantjuste avant la commutation.Le signal de commutation : IR IN est une fonction constante par morceaux et continue droite. Elle change de valeur chaque instant de commutation {tq}, q IN.Pour carter le problme du phnomne de Znon [Yu et al., 2011], on suppose par la suitequil existe un nombre fini de commutations dans chaque intervalle de temps fini. Les modeset les instants de commutations sont dtermins par une loi de commande, par les dynamiquesinternes du systme, ou par des entres extrieures. Dans ce travail, les modes et les instantsde commutations sont supposs connus.Dans ce qui suit, nous admettons les hypothses suivantes : seuls les systmes commutations sans saut sur ltat (E(t) = Id, F(t) = 0) sont considrs ; la trajectoire des modes discrets est suppose disponible ; le phnomne de Znon nest pas pris en compte ;Nous adoptons donc le modle linaire commutations suivant par la suite :

    x(t) = Aqx(t) + Bquin(t), q {q1, . . . , qN}, N INx(tq) = x(tq )y(t) = Cqx(t)

    (1.2)

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    o qi reprsente le mode actif de fonctionnement.

    2.2 Stabilit au sens de Lyapunov

    Dans cette partie, nous nous intressons la stabilit au sens de Lyapunov des SLC modlisspar (1.2) avec (uin = 0) et donns par

    x(t) = Aqx(t), q {q1, . . . , qN}, N IN (1.3)

    Nous rappelons le thorme de stabilit au sens de Lyapunov pour le systmes commut (1.3).Nous prsentons par la suite les conditions dexistence des diffrents types de fonctions de Lya-punov. Nous nous intressons aux fonctions de Lyapunov communes, multiples et les pseudo-fonctions de Lyapunov avec une loi de commutation arbitraire.Une proprit importante recherche dans les systmes dynamiques est la stabilit asympto-tique. La notion de la stabilit asymptotique uniforme globale est donc donne ci-dessous :

    Dfinition 1 (Stabilit asymptotique uniforme globale[Hespanha and Morse, 1999])Soit le systme linaire commutations (1.3). Lorigine x = 0 est dite globalement uniform-ment asymptotiquement stable (GUAS) si

    x(t) (x() , t ), t 0, q {q1, . . . , qN}

    avec (., .) fonction de classe KL.

    Remarque 1 Une fonction (r, s) est dite de classe KL si : En fixant s, (., s) est strictement croissante et (0, s) = 0. En fixant r, (r, .) est strictement dcroissante et (r, s) 0 quand s .

    2.2.1 Fonction de Lyapunov commune

    La thorie de Lyapunov joue un rle important dans lanalyse de stabilit des systmes linaireset non linaires. Il nest donc pas surprenant quelle ait un rle similaire pour les systmescommuts o plusieurs rsultats ont t obtenus partir de cette thorie. Un concept trsimportant de la stabilit au sens de Lyapunov est celui des fonctions de Lyapunov communespour les sous-systmes dun SLC. Lexistence dune telle fonction facilite lanalyse de stabilitpour un SLC. Par contre, la recherche de cette fonction savre souvent tre une tche difficileet fastidieuse [Liberzon, 2003][Hauroigne et al., 2011].

    Dfinition 2 (Fonction de Lyapunov commune [Liberzon, 2003])Le systme (1.3) possde une fonction de Lyapunov commune lorigine x = 0 sil existe unefonction V continuement diffrentiable telle que V (x) > 0 x 6= 0, V (x0) = 0 x(t) V (x)

    V

    xAqx(t) < 0, x 6= 0, q

    A partir de cette dernire dfinition, un thorme de stabilit snonce comme suit

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  • 2 Stabilit des systmes linaires commutations

    Thorme 1 Si les sous-systmes du systme commut (1.3) possdent une fonction de Lya-punov commune au point x = 0, alors ce point dquilibre est GUAS.

    Le thorme suivant concerne le cas o le systme commut possde une fonction de Lyapunovcommune quadratique. Ce cas est trs intressant pour des applications pratiques o la fonctionde Lyapunov a un sens physique (fonction dnergie pour certains systmes passifs par exemple).

    Thorme 2 [Liberzon and Morse, 1999] Si les sous-systmes du systme commut (1.3) pos-sdent une fonction de Lyapunov commune au point x = 0 de la forme V (x) = xT Px telle queP est une matrice symtrique dfinie positive et vrifie la condition

    PAq + AqP T < 0, q

    alors, le point dquilibre x = 0 est GUAS.

    La fonction de Lyapunov V (x) = xT Px vrifie les conditions de la dfinition 2. Daprs lethorme 2, le point dquilibre x = 0 est donc GUAS.

    Remarque 2 Si la drive de la fonction de Lyapunov prend des valeurs ngatives ou nulles, lastabilit asymptotique nest plus garantie et on est dans le cas dune fonction de Lyapunov faible.Il est alors possible davoir recours au principe dinvariance de LaSalle pour tirer une conclusionsur la stabilit asymptotique. Le principe consiste vrifier que le plus grand ensemble invariantcontenu dans le noyau de la drive de la fonction de Lyapunov ne contient que lorigine.[Hespanha, 2004, Cheng et al., 2007].

    2.2.2 Fonctions de Lyapunov multiples

    Lintrt dune fonction de Lyapunov commune est que son existence fournit une conditionsuffisante de stabilit. Comme son existence nest pas toujours garantie, il est possible de cher-cher des fonctions de Lyapunov individuelles pour chaque sous-systme et dimposer ensuitedes conditions sur la loi de commutations pour assurer la stabilit du systme commut commele propose [Branicky, 1998].

    Thorme 3 Soient les fonctions de Lyapunov Vq avec q {q1, . . . , qN}, N IN. Ces fonc-tions correspondent aux sous-systmes de (1.3) dcrits par les matrices Aq. Considrons lecouple des instants de commutation (ti, tj)ql pour le mode ql, l = 1, . . . , N avec i < j tel queqi = qj = ql et qk 6= ql pour ti < tk < tj. Le systme commut (1.3) est asymptotiquement stablesil existe > 0 tel que

    Vq(x(tj)) Vq(x(ti)) x(ti)2 , (ti, tj)ql , q {q1, . . . , qN}

    Un exemple de fonctions de Lyapunov multiples pour un systme asymptotiquement stable deux modes de commutations est illustr sur la figure 1.1. La valeur de la fonction Vq2 uninstant de commutation ti donn pour un mode q2 est suprieure sa valeur linstant decommutation suivant tj pour ce mme mode. Dans le cas o le q2 est inactif (q1 actif), cest--dire entre les instants ti+1 et tj dans notre exemple, la fonction de Lyapunov de ce mode peutcrotre pendant la dure de son inactivit. Si une fonction de Lyapunov commune est difficile laborer ou nexiste pas, il est toujours possible danalyser la stabilit dun systme commut laide des fonctions de Lyapunov multiples. Cependant, cette analyse ncessite la connaissancedes valeurs des fonctions de Lyapunov aux instants de commutations ce qui implique uneconnaissance de ltat ces instants. Or les techniques classiques de Lyapunov ne ncessitentpas de dterminer explicitement les solutions du systme [Wulff, 2004].

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    Vq

    1

    Vq

    2

    ti

    tj

    ti+1

    tj+1

    Figure 1.1 Fonctions de Lyapunov multiples : Exemple

    2.2.3 Pseudo-fonctions de Lyapunov

    Pour certains systmes commuts o la loi de commutations dpend de ltat, il est judicieux decaractriser les commutations par des partitions de lespace dtat. La stabilit de ce genre desystme se fait travers la dtermination dune fonction appele pseudo-fonction de Lyapunov(en anglais : Lyapunov-like function) o sa drive le long des solutions des sous-systmes Aq de(1.3) est ngative seulement dans les rgions q o ses sous-systmes sont actifs [Hu et al., 2002].

    Dfinition 3 (Pseudo-fonction de Lyapunov [Liberzon, 2003])Dfinissons une famille de fonctions Vq : IRn IR o chaque fonction correspond un modede q. Une pseudo-fonction de Lyapunov pour le sous-systme Aq avec un point dquilibrex0 q IRn est une fonction qui satisfait les conditions dune fonction de Lyapunov pour lesystme Aq dans q Vq(x) > 0 x 6= 0, V (x0) = 0 x(t) Vq(x) , x q

    Vqx

    Aqx(t) < 0, x 6= 0, q, x q

    Dans le cas de pseudo-fonctions de Lyapunov quadratiques, le problme de la dtermination defonctions qui satisfont les conditions de la dfinition 3 peut tre formul comme un problmeLMI (Linear Matrix Inqualities). Considrons le cas dune pseudo-fonction de Lyapunov com-mune pour toutes les rgions q de la forme Vq(x) = xT Px o P est une matrice symtriquedfinie positive. Pour chaque rgion, la condition que la valeur de xT (ATq P + PAq)x soit nga-tive pour x q doit tre satisfaite. Pour garantir cette condition, il est possible dutiliser uneprocdure, appele S-procdure, o des matrices Sq sont construites telles que xT Sqx 0 pourx q [Feron et al., 1995]. Alors, nous obtenons une condition de stabilit relaxe comme suit

    ATq P + PAq + Sq < 0 , q (1.4)

    12

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  • 3 Observabilit des systmes linaires commutations

    Comme xT Sqx 0 pour x q, alors xT (ATq P + PAq)x < 0 est satisfaite pour x q. Lacondition (1.4) dfinit un problme LMI dont les matrices P sont les variables [Wulff, 2004].Le thorme suivant permet dtudier la stabilit des systmes commuts avec les pseudo-fonctions de Lyapunov :

    Thorme 4 [Branicky, 1995]Supposons quil existe une pseudo-fonction de Lyapunov candidate Vq pour q {q1, . . . , qN}.Appelons S lensemble de toutes les squences associes au systme (1.3).Si pour chaque squence de commutations, Vq est une pseudo-fonction de Lyapunov de Aq , qpour x q le long de la squence alors le systme est stable au sens de Lyapunov.

    On peut remarquer que la diffrence entre les fonctions de Lyapunov multiples et les pseudo-fonctions de Lyapunov rside dans le fait que ces dernires ont des conditions moins fortes queles premires. Pour les pseudo-fonctions, les conditions sont satisfaites seulement dans certainesrgions alors que les fonctions multiples doivent tre valides pour tout lespace dtat.

    2.3 Stabilisation par temps de sjour minimum

    Lide de base de la stabilisation par temps de sjour minimum est simple. Si le temps desjour dans un mode est suffisamment long pour que ltat sapproche de zro, il est alorspossible dobtenir un systme commutations stable. Le principe consiste calculer le tempsde sjour minimum D entre deux commutations successives pour que le systme soit stable[Serres et al., 2011] [Cheng et al., 2005][Liberzon, 2003]. Considrons le systme commut donnpar (1.3) et soit q(t ) la matrice de transition du sous-systme Aq. Supposons que tous lessous-systmes sont stables, alors il est possible de trouver de constantes 0 et telles que

    q(t ) < e0(t) (1.5)

    Ces constantes reprsentent un taux de dcroissance commun pour tous les sous-systmes. Ellespeuvent tre dtermines par

    0 = max (q), = max (q), q {q1, . . . , qN}

    o q et q sont des constantes qui dfinissent la convergence de chaque sous-systme Aq.

    Thorme 5 [Hetel, 2007] Le systme (1.3) est asymptotiquement stable avec la marge destabilit si le temps de sjour minimum satisfait la condition

    D log

    0

    avec (0, 0).

    3 Observabilit des systmes linaires commutations

    3.1 Modle moyen et observabilit des systmes bilinaires

    La technique de "moyennage" est certainement la mthode de synthse dobservateurs la plusclassique pour les SLC car elle est dune part intuitive et dautre part a su montrer son efficacit

    13

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    dans certaines applications comme par exemple en gnie lectrique [Guezar, 2009] . Elle consiste remplacer le modle hybride de commutations par un modle quivalent qui fait apparatre lesdynamiques moyennes des variables dtat. Le modle moyen dun SLC est obtenu sur un cyclepriodique de commutations parfaitement identifi. Dans ce genre dapproche, les quationsdtat dun SLC sont dabord crites, puis le modle moyen est obtenu en effectuant la moyennepondre de toutes les quations dtat. Au cours de cette dernire tape, la pondration estdtermine partir des dures relatives passes de chaque mode de fonctionnement.

    Dfinition 4 La valeur moyenne dun signal continu X entre les instants t0 et tf , note Xa,est donne par

    Xa =1T

    T

    0X(t)dt (1.6)

    avec T = tf t0.Si X est un signal continu par morceaux et commute entre plusieurs dynamiques Xi chaqueinstant t = ti, sa valeur moyenne sur lintervalle [t0; tf ] sera

    Xa =1T

    N

    i=1

    ti

    ti1

    Xidt N

    i=1

    Xidi (1.7)

    avec di =ti ti1

    TetN

    1 di = 1

    et N le nombre de modes dans le cycle de commutations considr.

    Un modle moyen dun SLC scrit sous la forme dtat suivante :

    {

    xa = (N

    1 diAi)xa + (N

    1 diBi)uinya = (

    N1 diCi)xa

    (1.8)

    o xa et ya sont les vecteurs dtat et de sortie moyens de x et y, di est la priode fractionnaire(ou rapport cyclique) du ime mode de fonctionnement. Ai, Bi et Ci dsignent les matrices dusystme associ au ime mode de fonctionnement.Notons dune part quen dpit des apparences, le modle moyen est souvent non linaire etdautre part que par construction, le modle moyen nest pas adapt la caractrisationdes hautes frquences et des dynamiques chelle rapide car il nglige par exemple les ph-nomnes lis aux commutations. Cest pour cette raison quil est dusage dutiliser un mo-dle moyen pour lanalyse et la caractrisation de phnomnes dont la dynamique est inf-rieure la frquence de commutations. En considrant toutes les matrices de sortie identiquescest--dire (Ci = C, i = 1, . . . , N), il est possible de montrer que ltude de lobservabilitde ce type de modle quivaut lanalyse de lobservabilit dun systme continu bilinaire[Canitrot, 2009, Gensior et al., 2006]. Il en dcoule le critre dobservabilit gnrique suivant

    Dfinition 5 (Observabilit bilinaire [Grasselli and Isidori, 1977])Le systme bilinaire (1.8) est dit gnriquement observable si et seulement si

    rang(O) = n

    o O = col(C, CA1, . . . , CAN , CA21, CA1A2, . . . , CA1AN , CA2A1, CA

    22, . . .) est la matrice dob-

    servabilit.

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  • 3 Observabilit des systmes linaires commutations

    Remarquons que le modle moyen peut tre observable mme si les dynamiques de chaque modede fonctionnement ne sont pas compltement observables.Lexemple suivant montre lintrt dutiliser la dfinition 5 pour tudier lobservabilit du mo-dle moyen dun SLC.

    Exemple 1 Considrons le SLC donn par le modle suivant :

    x =

    [

    0 (u 1)(1 u) 1

    ]

    x +

    [

    10

    ]

    uin

    y =[

    0 1]

    x(1.9)

    Lentre de commutation u ne peut prendre que deux valeurs soit 0, soit 1. La dynamiquedu systme dpend de la valeur de u. Si u = 0, la dynamique est rgie par la matrice dtat

    A1 =

    [

    0 11 1

    ]

    . Sinon, u = 1 et la dynamique est rgie par A2 =

    [

    0 00 1

    ]

    .

    Cette dernire dynamique nest pas observable par la sortie y au sens classique de lobserva-

    bilit des systmes linaires. En effet, la matrice dobservabilit associe scrit

    [

    CCA2

    ]

    =[

    0 10 1

    ]T

    . Nanmoins, lanalyse de lobservabilit du modle moyen du systme partir du

    critre introduit par la dfinition 5 conduit un rsultat tout fait diffrent. Le modle moyenest donn par :

    {

    xa = (A1(1 d) + A2d)xa + Buinya = Cxa

    (1.10)

    o d est le rapport cyclique et B =[

    1 0]T

    .

    La matrice dobservabilit dtermine par la dfinition 5 scrit

    O =[

    C CA1 CA2 CA1A2 CA2A1]

    =

    0 11 10 10 1

    1 1

    Il est clair que le rang de O est 2 et le systme est donc observable au sens de la dfinition 5 .

    3.2 Observabilit au sens hybride des SLC

    La terminologie "observabilit hybride" caractrise la capacit reconstruire ltat continu ini-tial et ventuellement une portion finie de ltat discret (dans le cas o ce dernier est inob-servable) en utilisant un nombre fini de mesures. Dans le cas dun systme linaire classique,la dfinition de lobservabilit est unique mais dans le cas des systmes commutations, cettenotion est dfinie suivant la possibilit destimer le mode de fonctionnement (ltat discret).Ainsi, en commutant entre des modes de fonctionnement observables, on peut obtenir, aprsun certain nombre de commutations, un systme hybride qui peut tre soit observable soitinobservable.[Babaali, 2004] prsente diffrents concepts dobservabilit tels que lobservabilitselon une trajectoire, lobservabilit conjointe et lobservabilit forte du mode de fonctionne-ment. Dautres dfinitions existent aussi dans la littrature telles que la Z(TN)-observabilit

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    [Ghanes et al., 2009] ou lobservabilit par incrmentation [Birouche, 2006], mais il apparat unmanque dunit dans les diffrentes dfinitions existantes.Dune manire gnrale, la loi de commutation et le temps de sjour jouent un rle capitaldans lobservabilit des systmes commutations [Babaali and Egerstedt, 2004]. Il importedonc de prciser dans un premier temps les notions de trajectoire de temps hybride, de tempsde sjour, dobservabilit et de dterminabilit au sens hybride. Nous rappelons par la suitequelques critres dobservabilit hybride pour les SLC qui semblent intressants pour mettre enperspective notre travail.

    Dfinition 6 (Trajectoire de temps hybride [Branicky, 1995])Une trajectoire de temps hybride est une squence finie ou infinie dintervalles TN =

    i=Ni=1 Ii

    telle que Ii = [ti, t+i+1), 1 i N .De plus, la squence de commutations TN est dfinie comme la liste ordonne de q associe TN (i.e. {q1, . . . , qN} avec qi la valeur de q pendant lintervalle Ii).

    Dfinition 7 (Temps de sjour (Dwell time))On appelle q le temps de sjour du systme dans le mode q lintervalle de temps dfini parq = tq+1 tq

    Dfinition 8 (Observabilit hybride [Sun et al., 2001])Un systme (1.2) est dit observable sil existe une squence de commutations TN telle queltat initial x(t0) est dtermin uniquement partir de lentre du systme uin(t) et la sortiey(t) sur la trajectoire hybride TN .

    Dfinition 9 (Dterminabilit hybride [Sun et al., 2001])Un systme (1.2) est dit dterminable sil existe une squence de commutations TN et uninstant tN > t0 tels que ltat x(tN) peut tre dtermin uniquement par lentre du systmeuin(t) et la sortie y(t) sur la trajectoire TN.

    Remarque 3 Lorsque ltat discret q est connu, lobservabilit du systme linaire commu-tations (1.2) ne dpend pas de lentre uin.

    3.2.1 Observabilit par la dtermination du sous-espace observable

    Les auteurs de [Sun et al., 2001] exploitent la dualit entre lobservabilit et latteignabilitpour tudier lobservabilit des systmes linaires commutations partir de considrationsgomtriques.

    Thorme 6 Pour le systme (1.2), les proprits suivantes sont quivalentes : Le systme est compltement observable Le systme est compltement dterminable = IRn

    o le sous-espace =

    j=1 j est dfini de la manire suivante1 = ImCT1 + . . . + ImC

    TN

    j+1 = AT1j + . . . + AT

    Nj, j = 1, 2, . . .

    Aqj = j + Aqj + . . . + An1q j

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  • 3 Observabilit des systmes linaires commutations

    est appel le sous-espace observable (dterminable) du systme (1.2). Si ce sous-espace estgal lespace dtat Rn, le systme commutations est compltement observable.

    Exemple 2 Considrons le modle dun SLC caractris par deux modes de fonctionnementdonns par les deux paires (A1, C1) et (A2, C2) suivants :

    A1 =

    (

    1 00 2

    )

    A2 =

    (

    2 02 1

    )

    C1 =(

    1 0)

    C2 =(

    0 0)

    (1.11)

    On peut vrifier facilement que les deux modes de fonctionnement ne sont pas observablesau sens classique de Kalman. Examinons prsent lobservabilit partir du thorme 6 etconstruisons pour cela les matrices suivantes

    1 = ImCT1 + ImCT2 = span{e1}

    AT11 = 1 + AT1 1 = span{e1}

    AT21 = 1 + AT2 1 = span{e1, e2}

    2 = AT11 + AT

    21 = span{e1, e2}

    (1.12)

    Finalement, on obtient = 1 + 2 = span{e1, e2} (1.13)

    avec {e1, e2} la base canonique de R2.Comme rang() = 2 ceci implique que = R2, donc conformment au thorme qui prcde,le systme hybride est compltement observable.

    3.2.2 Z(TN)-observabilit

    Le concept de la Z-observabilit a t propos par [Kang and Barbot, 2007] pour les systmesnon linaires et SLC. Les auteurs ont par la suite dfini la notion de Z(TN)-observabilit. Cettenotion dobservabilit a la particularit de prendre en compte :

    lobservabilit partielle de ltat et des instants de commutations ; lobservabilit avec un modle partiel, cest--dire quune partie des quations du modle est

    totalement inconnue ; les systmes avec contraintes algbriques.

    Dans ce qui suit, U est un ensemble ouvert et connexe dans lespace temps-tat-commutationR Rn RN .

    Dfinition 10 (Fonction Z(TN)-observable [Kang and Barbot, 2007])Une fonction Z(t, x(t), q) est dite Z(TN)-observable dans U pour un systme (1.2) et une tra-jectoire de temps hybride TN et la squence de commutations TN si pour deux trajectoires(t, xi(t), qi(t)), i = 1, 2 dans U sur un intervalle [tini, tfin], lgalit

    y1(t) = y2(t)

    impliqueZ(t, x1(t), q1(t)) = Z(t, x2(t), q2(t))

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    Dfinition 11 ( Z(TN)-observabilit [Kang and Barbot, 2007])Considrons une trajectoire de temps hybride TN et la squence de commutations TN et unefonction continue Z(t, x(t), q). Supposons quil existe N projections linaires Pi telles que

    1. Pour 1 i N , PiZ(t, x(t), q) est Z(TN)-observable dans U pour t [ti, ti+1]

    2. rang[P T0 . . . PTN ] = dim(Z) = nz

    3.dP iZ(t, x(t), q)

    dt= 0 pour t [ti, ti+1] avec rang[P

    T

    i PTi ] = nz dans (R)

    nznz . P i est le

    complment de Pi.

    alors z = Z(t, x(t), q) est Z(TN)-observable dans U suivant la trajectoire de temps hybride TNet TN.

    Notons que la troisime condition indique que les tats inobservables doivent avoir une dy-namique nulle. Ceci est le cas dans un certain nombre dapplications comme le convertisseurmulticellulaire srie [Ghanes et al., 2009] o les tats inobservables sont constants. Une autredfinition de la notion de Z(TN)-observabilit est tablie par [Amghar et al., 2013] pour le caso cette troisime condition savre difficile vrifier.

    Exemple 3 Considrons un systme linaire commut suivant

    x =

    [

    0 uu 1

    ]

    x +

    [

    10

    ]

    uin

    y =[

    0 1]

    x

    (1.14)

    Le sous-systme correspondant u = 0 nest pas observable par la sortie y. Pour tudier lob-servabilit hybride, On considre la trajectoire du temps hybride T2 = [t1, t+1 ) [t2, t

    +2 ) et la

    squence de commutations q = 1, 2 o le mode 1 correspond u = 1 et le mode 2 u = 0. onchoisit Z(t, x(t), q) = x1, P1 = 1 et P 1 = 0.Durant lintervalle [t1, t+1 ), x1 est Z(TN)-observable par la sortie y et pendant le deuxime inter-

    valle sa dynamique est constante. Remarquons que rang(P1) = dim(Z) = 1 etdP 1Z(t, x(t), q)

    dt=

    0, alors le systme (1.14) est Z(TN)-observable daprs la dfinition 11.

    3.2.3 Observabilit par la dtermination du sous-espace inobservable

    Une autre caractrisation gomtrique intressante de la notion dobservabilit pour les SLCest tablie dans [Tanwani et al., 2011]. Le principe de lapproche repose sur la recherche dusous-espace inobservable du systme le long de la trajectoire de temps hybride. Notons Nmqle sous-espace inobservable du systme (1.2) sur lintervalle [tq, t+m). Il est clair que le systme(1.2) est un systme LTI entre deux instants de commutations. Son sous-espace inobservable surlintervalle [tq, tq+1] est donn par le plus grand espace Aq-invariant contenu dans kerCq, cest--dire kerCq|Aq = Gq avec Gq = col(Cq; CqAq; . . . ; CqAn1q ). Il est clair que N

    qq = kerGq.

    Lorsque la mesure est disponible le long de lintervalle [tq1, t+m), la quantit dinformationssur ltat sen trouve augmente ce qui a pour consquence de diminuer progressivement ladimension du sous-espace inobservable Nmq au fil des commutations. On peut alors mon-trer que lvolution de ce sous-espace est dtermine par la relation de rcurrence suivante[Tanwani et al., 2013]

    Nmm = KerGmNmq = KerGq

    eAqqNmq+1, 1 q m 1(1.15)

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  • 3 Observabilit des systmes linaires commutations

    Thorme 7 Le systme (1.2) est dit observable sur lintervalle [t1, t+m) avec la squence decommutations Tm si et seulement si

    Nm1 = {0} (1.16)

    Un thorme pour la dterminabilit du systme (1.2) est galement propos par[Tanwani et al., 2011]. Le sous-espace indterminable Qm1 sur lintervalle [tq, t

    +m) est donn par

    la relation de rcurrence suivante :

    Q11 = KerG1Qq1 = KerGq

    eAq1q1Qq11 , 2 q m(1.17)

    Thorme 8 Le systme (1.2) est dit dterminable sur lintervalle [t1, t+m) avec la squence decommutations Tm si et seulement si

    Qm1 = {0} (1.18)

    Dans le cas du systme (1.2) o Eq = In, les deux conditions sont quivalentes. Dans[Tanwani et al., 2011], des corollaires sont proposs pour simplifier ltude de lobservabilitdune manire indpendante des instants de commutations tq par le biais de conditions nces-saires ou suffisantes.

    Exemple 4 Considrons un SLC dfini par

    A1 =

    (

    1 00 1

    )

    A2 =

    (

    0 00 1

    )

    C1 =(

    1 0)

    C2 =(

    0 1)

    (1.19)

    les deux modes de fonctionnement ne sont pas observables individuellement. On dfinit lesmatrices dobservation de chaque mode de la manire suivante :

    G1 =

    (

    1 01 0

    )

    G2 =

    (

    0 10 1

    )

    (1.20)

    Les noyaux de G1 et G2 sont donns par

    kerG1 = span{e2}, kerG2 = span{e1}

    o e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) sont les vecteurs de la base canonique de lespace dtat IR2.

    A partir de (1.15), les sous-espaces inobservables sont donns par

    N22 = span{e1}N21 = span{e2

    eA11e1},(1.21)

    Puisque eA11e1 =

    (

    e1 00 e1

    )

    e1 = e1e1, alors N21 = {0} et le systme (1.19) est obser-

    vable au sens hybride selon le thorme 7.

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    3.2.4 Observabilit hybride dun SLC temps discret

    Grce la nature rcurrente des quations temps discret, ltude de lobservabilit dtatdun SLC temps discret est plus simple que celle du cas dun systme temps continu[Babaali, 2004]. Considrons le systme linaire temps discret commutations suivant :

    x(k + 1) = Aqx(k) + Bquin(k)y(k) = Cqx(k)

    (1.22)

    Considrons galement la squence de commutations TN = {q1, q2, ..., qN} pour le systme(1.22) et dfinissons

    Y (q, x, Uin) = O(q)x + (q)Uin (1.23)

    avec Y (q, x, Uin) = (yT1 ...yTN)

    T , Uin = (uTin1 ...uTinN

    )T ,

    O(q) =

    C(q1)C(q2)A(q1)...C(qN)A(qN1) . . . A(q1)

    (1.24)

    et

    (q) =

    0 . . . 0 0C(q2)B(q1) . . . 0 0

    C(q3)A(q2)B(q1) . . . 0 0... . . . 0

    ...C(qN)A(qN1) . . . A(q2)B(q1) . . . C(qN)B(qN1) 0

    (1.25)

    O(q) est la matrice de dobservabilit [Chaib et al., 2005].

    Dfinition 12 Observabilit hybride par morceaux (Pathwise Observability PWO)[Babaali, 2004]

    Un SLC est dit observable par morceaux (pathwise observable) pour une squence de commuta-tions q sil existe un entier N tel que, pour chaque squence de commutations de longueur N ,le SLC est observable, cest--dire que rang(O(q)) = n, o n dsigne la dimension du systme.Le plus petit entier N est appel index dobservabilit sur une trajectoire.

    Exemple 5 Considrons

    A(1) =

    (

    0.5 00 0.1

    )

    A(2) =

    (

    0 10 0.2

    )

    C(1) =(

    1 0)

    C(2) =(

    0 1)

    (1.26)

    Les deux modes de fonctionnement dfinis par (A(1), C(1)) et (A(2), C(2)) sont inobservables.Choisissons la squence de commutations q = 1, 2 ; la matrice dobservabilit associe au systmeest donne par :

    O(q) =

    (

    C(1)C(2)A(1)

    )

    =

    (

    1 00 0.1

    )

    (1.27)

    Le rang de O(q) est 2 donc le systme hybride est observable pour la squence de commuta-tions choisie en dpit du fait que les modes de fonctionnement associs ses deux modes defonctionnement sont inobservables suivant le critre classique de Kalman.

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  • 4 Synthse dobservateurs pour les SLC sans saut sur ltat

    4 Synthse dobservateurs pour les SLC sans saut surltat

    4.1 Observateur du modle moyen

    La technique de "moyennage" dj prsente dans la section 3.1 reste une technique efficacepour synthtiser des observateurs pour les SLC dont un ou plusieurs modes ne sont pas ob-servables au sens classique de Kalman. Notons que le modle rsultant du moyennage estgnralement bilinaire donc la synthse dun observateur pour ce type de modle sinscritdans le cadre de la synthse dobservateurs pour les systmes non linaires. Plusieurs approchesnon linaires peuvent tre employes dans ce cas comme par exemple le filtrage de Kalmantendu, la synthse dun observateur grand gain ou dun observateur par modes de glissement[Gensior et al., 2006]. Nanmoins, peu de travaux existent sur le thme de la convergence desobservateurs dun modle moyen.

    4.2 Observateur commut : modes de fonctionnement observables

    Considrons le systme commutations sans saut donn par (1.2) et supposons que les couples(Aq, Cq) sont observables pour chaque tat q.Lobservateur commutations propos par [Birouche, 2006] est donn par :

    {

    x = Aqx(t) + Bqu(t) + Lq(y(t) Cqx(t))y(t) = Cqx(t)

    (1.28)

    o x est lestim du vecteur dtat x et Lq est un vecteur de gain correspondant au mode q.

    La synthse de lobservateur repose sur la dtermination du gain Lq tels que la dynamique delerreur dobservation

    ex(t) = (Aq LqCq)ex(t) (1.29)

    soit stable o ex = x x est lerreur dobservation.Par consquent la synthse dobservateur pour les systmes hybrides avec ltat discret connu

    rejoint ltude de la stabilit asymptotique des systmes commutations. Une condition destabilit est formule en terme de rapport entre le nombre de commutations et le temps moyende sjour dans chaque mode de fonctionnement. Pour prouver la stabilit dun observateur on asouvent recours aux fonctions de Lyapunov. Malheureusement, aucune mthode gnrale nestdisponible pour calculer ces fonctions. Cependant, le choix de fonctions de Lyapunov de typequadratique permet souvent de formuler la stabilit des systmes commutations sous formedingalits matricielles linaires LMI. La stabilit est alors garantie par : lexistence dune fonction de Lyapunov quadratique commune tous les modes de fonction-

    nement ; lexistence de fonctions de Lyapunov quadratiques multiples.Une fonction quadratique commune est donne par

    V (ex(t)) = ex(t)T Pex(t) (1.30)

    avec P = P T matrice dfinie positive.

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    La condition de stabilit asymptotique scrit alors

    V (ex(t)) < 0 (1.31)

    et les gains Lq peuvent tre dtermins grce lingalit

    (Aq LqCq)T P + P (Aq LqCq) < 0 (1.32)

    Il apparat clairement que trouver une fonction de Lyapunov commune nest pas toujours unetche facile surtout si le nombre de modes de fonctionnement est important. Une deuximesolution consistant trouver des fonctions de Lyapunov quadratiques multiples peut doncsimposer dans certains cas [Birouche, 2006, Saadaoui et al., 2006].

    4.3 Observateur hybride : modes de fonctionnement inobservables

    Dans le cas o certains couples (Aq, Cq) du modle (1.2) ne sont pas observables, la synthsedun observateur hybride nest pas garantie mme si lobservabilit au sens hybride est vrifie.Pour un tel problme, trs peu de travaux proposent une solution. On peut citer namoins lob-servateur propos par [Ghanes et al., 2009] pour un convertisseur de puissance multicellulaireo les tats inobservables du systme sont constants. Les auteurs dans [Tanwani et al., 2011]proposent une solution innovante et intressante avec des modes de fonctionnement qui peuventtre tous inobservables en prenant en compte le saut sur ltat. Lapproche repose sur la collectede linformation sur ltat partir de chaque mode de fonctionnement le long dune trajectoirede temps hybride jusqu ce que le systme devienne observable. Lobservateur propos est dela forme

    x(t) = Aqx(t) + Bquin(t), t [tq1, tq), t 6= tkx(tq) = Eqx(tq ) + Fqvq, q 1x(tk) = x(tq ) k, k 1

    (1.33)

    o tk est linstant de la mise jour de lestimation dtat. Cet instant est diffrent de linstantde commutation tq. k est le vecteur de correction de lobservateur. Ce terme de correction estcalcul grce une loi de mise jour de ltat dfinie dans [Tanwani et al., 2011].Linconvnient majeur de cette technique est sa complexit en termes de synthse et de miseen uvre.

    5 Commande des systmes linaires commutations

    Au niveau de la commande des systmes linaires commutations, on distingue en gnralles entres continues et les entres de commutations [Montagner et al., 2006, Wulff et al., 2009,Chen et al., 2012]. La technique de commande dpend essentiellement du type dentres utili-ses (entres continues ou entres de commutations ou encore les deux en mme temps). Parexemple pour les systmes commuts autonomes 1, le contrle se fait exclusivement par les en-tres de commutations et il est alors ncessaire de commander les instants et les squences decommutations. Dans le cas de systmes non autonomes avec des commutations non comman-des, les entre continues sont employes en tant que commandes. Dans le troisime cas, cesentres sont considres constantes. Par consquent, seulement les entres de commutations

    1. sont les systmes commutations qui ne peuvent pas tre commands par une commande continue exogne.

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  • 5 Commande des systmes linaires commutations

    sont disponibles pour effectuer le contrle (cas des convertisseurs de puissance). Dans cettesection, nous prsentons la notion de commandabilit des SLC ainsi que quelques techniquesde commande dans la littrature.

    5.1 Commandabilit des SLC

    La proprit de commandabilit est une notion fondamentale vrifier pour un systme dyna-mique avant daborder le problme de synthse de la commande [Cheng, 2005]. Cette notiondans le cas des SLC sans saut est dfinie comme suit :

    Dfinition 13 (Commandabilit [Sun and Zheng, 2001])Le systme linaire commutations (1.2) est dit compltement commandable si pour toutevaleur initiale x0 et finale xf , il existe un instant de temps tf > 0, un signal de commutationsq {q1, . . . , qN} et une entre uin : [0, tf ) IRm tels que x(0) = x0 et x(tf ) = xf

    Le systme (1.2) est dit compltement commandable si la matrice de commandabilit Co donnepar

    Co = [ Bq1 , . . . , BqN , Aq1Bq1 , . . . , AqN Bq1 , . . . , AqN BqN ,

    . . . , An1q1 Bq1 , Aq2An2q1

    Bq1 , . . . ,

    Aq1An2qm

    Bq1 , . . . , An1qN

    BqN ]

    (1.34)

    est de rang plein [Liu et al., 2011].

    Les auteurs dans [Sun and Ge, 2005] dfinissent un critre intressant de commandabilit ind-pendant des paramtres du systme. Il sappuie sur la recherche des sous-espaces commandablesde toutes les squences de commutations possibles. Rappelons que lensemble commandabledune paire de matrices (A, B) est le plus petit sous-espace invariant contenant limage de B.Pour les systmes commuts, nous notons V(Aq, Bq) le plus petit sous-espace de IRn invariantpour tout Aq, q {q1, . . . , qN}, et contenant toutes les images de Bq, q {q1, . . . , qN}. Cesous-espace peut tre obtenu laide de la relation rcursive suivante

    V1 =qN

    q=q1ImBq

    Vj+1 = Vj +qN

    q=q1

    n1k=1 A

    kqVj, j = 1, 2, . . .

    (1.35)

    etV(Aq, Bq) = Vn

    Ainsi, le thorme suivant est nonc

    Thorme 9 Le systme commut (1.2) est dit compltement commandable si V(Aq, Bq) =IRn.

    Exemple 6 Considrons le modle dun SLC suivant :

    A1 =

    (

    1 00 2

    )

    A2 =

    (

    2 02 1

    )

    B1 =

    (

    10

    )

    B2 =

    (

    00

    ) (1.36)

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    Les deux sous-systmes ne sont pas commandables au sens classique de la commandabilit.Examinons prsent la commandabilit partir du thorme 9. et construisons pour cela lesmatrices suivantes

    V1 = ImB1 + ImB2 = span{e1}V2 = V1 + A1V1 + A2V1 = span{e1, e2}

    (1.37)

    Finalement, on obtientV(Aq, Bq) = Vn = span{e1, e2} (1.38)

    avec {e1, e2} la base canonique de R2.Comme V(Aq, Bq) = IR2, alors conformment au thorme qui prcde, le systme hybride estcompltement commandable.

    Dans le cas des SLC autonomes avec des commutations commandes, ltude de commandabilitdevient celle dun systme bilinaire en considrant un systme similaire

    x = Acx +N

    i=1

    Aiuix (1.39)

    avec Aq = (Ac + Ai) et ui =

    {

    1 si le mode qi est actif0 sinon

    , i = 1 . . . , N

    5.2 Commande partir du modle moyen

    Cette technique consiste utiliser un modle moyen (1.8) pour synthtiser la loi de commande.Elle est utilise dans le cas o le SLC possde une seule entre de commutations. Aprs moyen-nage, le systme obtenu est bilinaire et lentre de commande devient les rapports cycliquesdi. Ainsi, les techniques de commandes des systmes bilinaires ou non linaires peuvent treappliques [Ouquelle et al., 2009, Meghnous and Pham, 2013].

    5.3 Commande par retour dtat commut

    Comme pour les systmes linaires temps continu, il est possible denvisager une commandepar retour dtat pour les SLC ds lors que ltat est disponible. Comme un SLC est composdune famille de systmes linaires, il est possible de synthtiser une loi de commande pourchaque mode de fonctionnement tout en assurant la stabilit globale du systme commut vis--vis de ses commutations [Geromel and Deaecto, 2009].Pour les SLC continus, le corollaire suivant peut tre utilis pour synthtiser le retour dtat.

    Corollaire 1 Retour dtat commut continu [Montagner et al., 2006]Le systme commut (1.2) peut tre stabilis laide du retour dtat

    uin = Kqx (1.40)

    sil existe une matrice Wu dfinie positive et des matrices Gq q {q1, . . . , qN} telles que

    AqWu + WuATq + BqGq + GTq B

    Tq < 0, q {q1, . . . , qN} (1.41)

    alors les gains Kq de la loi de commande (1.40) sont donns par Kq = GqW 1u .

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  • 5 Commande des systmes linaires commutations

    Puisque les systmes linaires commuts temps discret peuvent tre reprsents par le modlesuivant :

    x(k + 1) = Aqx(k) + Bquin(k) (1.42)

    le retour dtat discret est formalis laide du thorme qui suit

    Thorme 10 Retour dtat commut discret[Daafouz et al., 2002]Le systme linaire commutations (1.42) peut tre stabilis, quelle que soit la loi de commu-tation, laide dun retour dtat

    uin(k) = Kqx(k) (1.43)

    sil existe des matrices dfinies positives Sq et Rq et des matrices Gq, q {q1, . . . , qN} tellesque les ingalits matricielles linaires

    [

    Gq + GTq Sq 0AqGq + BqRq Sq

    ]

    > 0, (q, q) {q1, . . . , qN} (1.44)

    sont satisfaites. Le gain commut du retour dtat est alors donn par Kq = RqG1q et la matricede Lyapunov quadratique multiple par Pq = S1q , q {q1, . . . , qN}

    Il faut noter que ces retours dtat dans le cas continu ou discret sont tablis pour une loide commutations arbitraire suppose disponible. Par ailleurs, la synthse dune commandeconjointe de retour dtat et de loi de commutations reste un problme dlicat. Les auteursde [Lin and Antsaklis, 2008] proposent une solution reposant sur une technique doptimisationLMI pour synthtiser la fois les gains du retour dtat et la loi de commutations. Une autremthode est propose galement par [Pettersson, 2004] o la synthse de la commande conjointese fait laide des fonctions de Lyapunov multiples et de la rsolution dun problme dingalitsmatricielles bilinaires (BMI : Bilinear Matrix inequality).

    5.4 Commande par optimisation des instants de commutations

    Certaines classes de systmes linaires commutations sont commandes exclusivement par laloi de commutations, soit cause de labsence des entres continues (systme autonome) soitparce que ces entres sont donnes ou constantes comme par exemple les convertisseurs de puis-sance. Lune des techniques existantes est celle de loptimisation des instants de commutationsentre les diffrents modes de fonctionnement du SLC. Ainsi, le problme de la commande seformalise comme suit

    mintq2 ,...,tqN

    J(x0, tq1 , tq2 , . . . , tqN ) (1.45)

    par rapport :

    x =

    Aq1 + Bq1uin, t [tq1 , tq2)Aq2 + Bq2uin, t [tq2 , tq3)...

    ...AqN + BqN uin, t [tqN , tqN+1)

    x(tq1) = x0

    Un grand intrt a t port pour ce type de commande et un grand nombre de chercheurs sesont intresss ce problme doptimisation comme [Branicky et al., 1998][Shahid Shaikh and Caines, 2002][Shaikh and Caines, 2003][Axelsson et al., 2005a][Axelsson et al., 2005b]. Une autre formulation de ce problme consiste dterminer des sur-faces de commutations optimales qui contiennent implicitement les instants de commutations

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  • Chapitre 1 : Notions introductives

    pour une famille de trajectoires gnres partir dun ensemble de valeurs initiales. Loptimalitdes instants de commutations est labore par rapport un critre doptimisation non linaire[Boccadoro et al., 2005] [Schild et al., 2009]. Cette mthode doptimisation de surfaces de com-mutations fournit dans la pratique une loi de commande sous la forme dune cartographie, cequi rduit normment les temps de calcul.Dans ce mme concept de commande, la commande prdictive des SLC commands exclusi-vement par la loi de commutations a fait galement lobjet dintenses travaux de recherche[Geyer et al., 2005][Attia and Alamir, 2006][Li et al., 2013]. Dans le cas de cette commande,loptimisation des instants de commutations se fait sur un horizon de prdiction prdfini.

    6 Conclusion

    Dans ce chapitre, nous avons prsent une description des systmes linaires commutationsdans le contexte hybride (1.2). Une vue densemble est faite sur la notion de stabilit des sys-tmes commuts en utilisant la thorie de Lyapunov. Nous avons illustr la majorit de types defonctions de Lyapunov gnralement utilises pour tudier la stabilit : fonction de Lyapunovcommune, fonction de Lyapunov multiple et pseudo-fonction de Lyapunov. Dans le cadre decette thse, les fonctions de Lyapunov communes vont tre employes pour tudier la conver-gence des erreurs dobservation et la synthse des lois de commande.

    Par la suite, un aperu sur le concept de lobservabilit hybride et sur les notions les plus int-ressantes dobservabilit pour les SLC existantes dans la littrature a t dress. La techniquede moyennage, trs utile dans ltude de lobservabilit, a t prsente ainsi quun observa-teur reposant sur cette approche. Les observateurs hybrides pour les SLC ont galement tabords et nous les avons classs selon lobservabilit des modes de fonctionnement du sys-tme. Dans le cas o le systme prsente des modes inobservables, la synthse dun observateurna pas reu un grand intrt jusquici par la communaut des systmes dynamiques hybrides([Tanwani et al., 2011]) ce qui est lun des enjeux de notre travail.

    Enfin, nous avons abord le problme de la commande des SLC et leur concept de commanda-bilit. Des techniques de commande rpandues ont t prsentes : la commande partir dumodle moyen, le retour dtat commut et loptimisation des instants de commutations. Dansnotre travail, nous nous intressons aux systmes avec des entres continues constantes. Parconsquent, la commande par retour dtat ne peut pas tre applique. Pour cette raison, nousregarderons par la suite uniquement des lois de commande qui visent optimiser les instantsde commutations ou dterminer les rapports de moyennage di.

    Dans le chapitre qui suit, nous dvelopperons ltude dobservabilit et la synthse dobserva-teurs pour une classe particulire des SLC. Un intrt particulier est port sur les systmescontenant des modes de fonctionnement inobservables.

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  • Chapitre 2

    Observateurs pour une classe desystmes linaires commutations

    1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2 Modle Hamiltonien ports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3 Observateur non linaire partir du modle moyen . . . . . . . . . 30

    3.1 Modlisation et analyse dobservabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.2 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4 Observateur hybride pour SLC deux modes . . . . . . . . . . . . 33

    4.1 Synthse dun observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .