come costruire uno scaldabagno

Come costruire uno Come costruire uno

scaldabagno?scaldabagno?

Docente: Grazia Docente: Grazia CotroniCotroni

A cosa serve uno A cosa serve uno scaldabagno?scaldabagno?

Lo scaldabagno Lo scaldabagno èè un un apparecchio che contiene apparecchio che contiene delldell’’acqua e la mantiene calda il acqua e la mantiene calda il pipiùù a lungo possibile. a lungo possibile.

Come deve essere Come deve essere costruito?costruito?

Uno scaldabagno deve Uno scaldabagno deve essere costruito in modo da essere costruito in modo da disperdere il meno possibile disperdere il meno possibile il calore conservando calda il calore conservando calda ll’’acqua che contiene. acqua che contiene.

Il calore contenuto nellIl calore contenuto nell’’acqua acqua da cosa dipende?da cosa dipende?

Il calore dipende da 2 cose:Il calore dipende da 2 cose:

•• dalla temperatura delldalla temperatura dell’’acqua acqua (pi(piùù èè calda, maggiore calda, maggiore èè la la quantitquantitàà di calore che di calore che contiene) contiene)

•• dal volume. dal volume.

Esempio(candelaEsempio(candela--termosifone):termosifone):

Chi ha piChi ha piùù calore? Il calore? Il termosifonetermosifone

Ma come si disperde il Ma come si disperde il calore? calore?

Il calore viene disperso Il calore viene disperso nellnell’’aria fredda attraverso la aria fredda attraverso la superficie dello scaldabagno.superficie dello scaldabagno.

Quindi Quindi

maggiore maggiore èè la superficie la superficie esterna dello scaldabagno,esterna dello scaldabagno,

maggiore sarmaggiore saràà la dispersione la dispersione di calore.di calore.

SintesiSintesi

Una volta fissata la temperatura, il Una volta fissata la temperatura, il calore contenuto in un corpo (nel calore contenuto in un corpo (nel nostro caso lo scaldabagno) nostro caso lo scaldabagno) èèproporzionale al volume, proporzionale al volume, mentre la perdita di calore, (o mentre la perdita di calore, (o meglio la velocitmeglio la velocitàà con cui perde il con cui perde il calore, o la perdita di calore in un calore, o la perdita di calore in un dato tempo), dato tempo), èè proporzionale alla proporzionale alla superficie. superficie.

Calore di un

corpo

Aumenta se aumenta il

volume

Si disperde se aumenta

la superficie

Cosa

vogliamo?

un corpo che abbia un

gran volume ma con

poca superficie

Qual Qual èè lo scaldabagno pilo scaldabagno piùùefficiente?efficiente?

Lo scaldabagno sarLo scaldabagno saràà pipiùùefficienteefficiente, sempre dal punto di , sempre dal punto di vista della conservazione del vista della conservazione del calore, quanto meno calore calore, quanto meno calore perde verso lperde verso l’’ambiente, cioambiente, cioèèquanto minore quanto minore èè la sua la sua superficiesuperficie, naturalmente , naturalmente tendendo conto che deve tendendo conto che deve contenere una certa quantitcontenere una certa quantitààdd’’acqua. acqua.

Problema di geometriaProblema di geometria

Fra tutti i corpi di un dato Fra tutti i corpi di un dato volume, qual volume, qual èè quello quello che ha una superficie che ha una superficie minore?minore?

Se riusciamo a rispondere a Se riusciamo a rispondere a questa domanda, uno questa domanda, uno scaldabagno di quella forma, a scaldabagno di quella forma, a paritparitàà di tutto il resto conserverdi tutto il resto conserverààil calore meglio di tutti gli altri e il calore meglio di tutti gli altri e inoltre poichinoltre poichéé abbiamo abbiamo minimizzato la superficie minimizzato la superficie avremmo risparmiato anche in avremmo risparmiato anche in materiale utilizzato! materiale utilizzato!

Fra tutti i corpi di un dato volume, qual è quello che ha una superficie minore?

Teorema 1Teorema 1

Tra tutti i solidi la cui Tra tutti i solidi la cui superficie ha area superficie ha area assegnata, quello di assegnata, quello di volume massimo volume massimo èè la la sferasfera. .

E viceversaE viceversa

Tra tutti i solidi che Tra tutti i solidi che hanno volume fissato hanno volume fissato quello che ha quello che ha superficie minima superficie minima èè la la sferasfera..

La dimostrazioneLa dimostrazione

La dimostrazione La dimostrazione èè difficile e difficile e contiene argomenti che non contiene argomenti che non abbiamo trattato. Infatti noi abbiamo trattato. Infatti noi abbiamo studiato funzioni ad abbiamo studiato funzioni ad una sola variabile perchuna sola variabile perchééeravamo nel piano eravamo nel piano OxyOxy, , mentre ora dato che parliamo mentre ora dato che parliamo di volume fissato, siamo nello di volume fissato, siamo nello spazio e quindi si tratta di spazio e quindi si tratta di studiare una funzione a due studiare una funzione a due variabili.variabili.

Ma esiste una cosa Ma esiste una cosa analoga nel piano?analoga nel piano?

Teorema 2Teorema 2

Tra tutti i poligoni regolari di area Tra tutti i poligoni regolari di area fissata quello che ha perimetro fissata quello che ha perimetro minimo minimo èè il il cerchiocerchio

e viceversa e viceversa

Tra tutti i poligoni regolari Tra tutti i poligoni regolari isoperimetrici (cioisoperimetrici (cioèè con lo stesso con lo stesso perimetro) quello che ha area perimetro) quello che ha area massima massima èè il il cerchiocerchio..

Ma perchMa perchéé parliamo parliamo solosolo di di poligoni regolari?poligoni regolari?

Si può dimostrare la seguente Si può dimostrare la seguente proprietproprietàà::

Fra tutti i

poligoni

equivalenti

(stessa area)

con un numero

fissato di lati,

il poligono

regolare è

quello che ha

perimetro

minimo.

Fra tutti i

poligoni

isoperimetrici

(stesso

perimetro) con

un numero

fissato di lati, il

poligono

regolare è

quello che ha

area massima.

Si noti la reciprocità: scambiando le parole

perimetro con area e minimo con massimo

otteniamo il teorema reciproco

Qualche esempioQualche esempio

Si può dimostrare che:Si può dimostrare che:

•• Teorema 1:Teorema 1: Fra tutti i rettangoli di dato Fra tutti i rettangoli di dato perimetro il perimetro il quadratoquadrato ha lha l’’area massima.area massima.

•• Teorema 1*:Teorema 1*: Fra tutti i rettangoli di Fra tutti i rettangoli di fissata area il fissata area il quadratoquadrato ha perimetro ha perimetro minimominimo. .

•• Teorema 2:Teorema 2: Tra i triangoli equivalenti di Tra i triangoli equivalenti di base fissata quello di perimetro minimo base fissata quello di perimetro minimo èèil il triangolo isosceletriangolo isoscele. .

•• Teorema 2*:Teorema 2*: Tra i triangoli isoperimetrici Tra i triangoli isoperimetrici di base fissata quello di area massima di base fissata quello di area massima èèil il triangolo isosceletriangolo isoscele..

•• Teorema 3:Teorema 3: Tra i triangoli isoperimetrici Tra i triangoli isoperimetrici isosceli la figura avente area maggiore isosceli la figura avente area maggiore èèil il triangolo equilaterotriangolo equilatero..

SintetizzandoSintetizzando

Abbiamo visto che a paritAbbiamo visto che a paritàà di di area e di numero di lati, i poligoni area e di numero di lati, i poligoni regolari sono quelli che rendono regolari sono quelli che rendono minimo il perimetro. minimo il perimetro.

Ora ci chiediamo:Ora ci chiediamo:

A paritA paritàà solo di area, potendo solo di area, potendo utilizzare un numero qualsiasi utilizzare un numero qualsiasi di lati, qual di lati, qual èè il poligono con il poligono con perimetro minimo?perimetro minimo?

Teorema:Teorema:

Tra tutti i poligoni regolari Tra tutti i poligoni regolari equiestesi (stessa area) quello equiestesi (stessa area) quello di perimetro minimo di perimetro minimo èè il cerchio.il cerchio.

Come il cerchioCome il cerchio……

CosCosìì come il cerchio possiede come il cerchio possiede la proprietla proprietàà isoperimetrica nel isoperimetrica nel piano, la sfera la possiede nello piano, la sfera la possiede nello spazio tridimensionale.spazio tridimensionale.

A paritA paritA paritA paritàààà di di di di superficie superficie superficie superficie esterna il esterna il esterna il esterna il solido che solido che solido che solido che contiene il contiene il contiene il contiene il maggior maggior maggior maggior volume volume volume volume èèèè la la la la sfera.sfera.sfera.sfera.

Assegnato il volume da contenere, la sfera è il solido che contiene quell’assegnato volume con la minor superficie esterna

Bolle di saponeBolle di sapone……

Grazie a questi risultati possiamo capire Grazie a questi risultati possiamo capire anche come mai le bolle di sapone anche come mai le bolle di sapone hanno forma sferica. Infatti Le bolle hanno forma sferica. Infatti Le bolle seguono il seguono il principio fisico di principio fisico di minimizzazioneminimizzazione, una legge di "sforzo , una legge di "sforzo minimo".minimo".In una bolla di sapone la

tensione superficiale

tende sempre, come per

magia, a minimizzare la

superficie: per una data

quantità di volume d’aria

(quello da noi soffiato) la

forma con la superficie

più piccola è la sfera.

E se ostacoliamo la bolla di E se ostacoliamo la bolla di sapone?sapone?

Esperimento in classeEsperimento in classe

Ritorniamo allo Ritorniamo allo scaldabagnoscaldabagno……

Avete mai visto uno scaldabagno sferico?Avete mai visto uno scaldabagno sferico?

oo Gli scaldabagni si attaccano alle pareti, e Gli scaldabagni si attaccano alle pareti, e uno di forma sferica ingombrerebbe uno di forma sferica ingombrerebbe troppo. troppo.

oo La sfera non La sfera non èè una superficie una superficie

sviluppabile ( ciosviluppabile ( cioèè non non èè

possibile aprirla e possibile aprirla e

stenderla su stenderla su

un piano come lo sono ad un piano come lo sono ad

esempio il cilindro e il cono).esempio il cilindro e il cono).

oo Quindi si preferisce farli cilindrici, che oltre Quindi si preferisce farli cilindrici, che oltre ad essere sviluppabili sono anche adatti ad ad essere sviluppabili sono anche adatti ad essere appesi alle pareti del bagno o della essere appesi alle pareti del bagno o della cucina senza ingombrare troppo. cucina senza ingombrare troppo.

Ma quale tipo di Ma quale tipo di cilindro?cilindro?

ÈÈ meglio un cilindro meglio un cilindro grosso e tozzo o uno grosso e tozzo o uno lungo e stretto? lungo e stretto?

ciocioèè

Tra i cilindri di volume Tra i cilindri di volume fissato, qual fissato, qual èè quello quello che ha la superficie che ha la superficie minima?minima?

Alla ricerca del cilindro Alla ricerca del cilindro miglioremigliore……

Questo cilindro ha Questo cilindro ha altezza altezza hh e per base un e per base un cerchio di raggio cerchio di raggio r.r.

•• Il suo volume Il suo volume èè dato dato dalldall’’area della base che area della base che corrisponde allcorrisponde all’’area del area del cerchio moltiplicata per cerchio moltiplicata per ll’’altezza;altezza;

•• la superficie laterale la superficie laterale èèdata dalla circonferenza data dalla circonferenza della base, per ldella base, per l’’altezza altezza h h ee dalldall’’area delle due basiarea delle due basi

2V rhπ=

2rπ

Ricaviamo lRicaviamo l’’altezza altezza hh dalla dalla formula del volume formula del volume

Sostituiamo questo valore Sostituiamo questo valore nella formula della superficie nella formula della superficie esterna.esterna.

2 2

2

2

2 2 2 2

2 2

E

E

VS rh r r r

r

VS r

r

π π π ππ

π

= + = +

= +

2

Vh

rπ=

Alla ricerca del cilindro

migliore…

Dato che vogliamo la superficie Dato che vogliamo la superficie minima facciamo la derivata minima facciamo la derivata della superficie esterna rispetto della superficie esterna rispetto al raggio:al raggio:

Imponiamo la crescenzaImponiamo la crescenza

'

22 4E

VS r

rπ= − +

22 4 0

Vr

rπ− + >


migliore…

Facciamo il minimo comune multiploFacciamo il minimo comune multiplo

Imponiamo la crescenzaImponiamo la crescenza

3

2

2 40

V r

r

π− +>

( )33

2

3 3

2 2 02 4 0

0 0

2 0 2

0 0

V rV r

r sempre con x

V r r V

sempre con x sempre con x

ππ

π π

− − >− + > ⇒

> ≠

− < − <−⇒

≠ ≠


migliore…

332

20

0

Vrr V

sempre con xsempre con x

ππ

>− <−

⇒ ≠ ≠

3

2

0

Vr

sempre con x

π

>

≠


migliore…

0 3

2

V

π

- - +

Quindi abbiamo un

minimo per 3

2

Vr

π=

Ma che relazione cMa che relazione c’è’è con con ll’’altezza?altezza?

Andando poi a sostituire il valore di rche minimizza la superficie esterna, alla formula di h, otteniamo che l’altezza del cilindro che ha superficie minima deve essere 2r

Possiamo allora dire che

Tra tutti i cilindri di volume fissato, quello che ha superficie minore èquello che ha l’altezza uguale al diametro della base.

Questo cilindro si chiama cilindro equilatero.

La battaglia tra cilindro La battaglia tra cilindro e sferae sfera

Il cilindro equilatero vince solo su Il cilindro equilatero vince solo su tutti i cilindri, se invece tutti i cilindri, se invece consideriamo tutti i solidi, allora a consideriamo tutti i solidi, allora a paritparitàà di volume la sfera ha la di volume la sfera ha la superficie minima.superficie minima.

E la natura come si E la natura come si comporta?comporta?

La natura non fa sprechi nei suoi La natura non fa sprechi nei suoi

imballaggi imballaggi ……

La natura non fa La natura non fa sprechisprechi……




Ma anche gli animali Ma anche gli animali sfruttano la forma sferica sfruttano la forma sferica

Prendiamo per esempio

un pinguino. Specie

prima dell’inverno,

quando è al massimo

della grassezza, cioè

della pinguedine,

assomiglia molto ad una

palla bianca e nera. Nel

suo caso la superficie

minima della forma

sferica garantisce una

minore esposizione ai

venti gelidi e al freddo

polare. C’è da dire poi

che dovendo vivere

anche in acqua per molto

tempo della loro vita la

forma non è

propriamente sferica, è

affusolata, idrodinamica.


L e alici quando

sfuggono ad un

predatore si

riuniscono in

tondo a formare

una sfera. Lo fanno

per diminuire il

numero di

poverette che

sono sotto

l’attacco del

predatore. Inoltre

vogliono

intimorire il

predatore

cercando di

sembrare un

organismo unico e

grande. Questo lo

fanno anche le

pecore.



Legge di Allen Legge di Allen

Nella stessa specie, gli animali che vivono

nell’artico, o in genere nei climi più freddi, hanno

una forma più tondeggiante, con orecchie e zampe

più corte, di quelli dei climi temperati. E questo

sempre per lo stesso motivo: conservare il calore!

CC’’entra anche la entra anche la cucinacucina……

Cuociono prima le polpettine rispetto al

polpettone…

E noi sfruttiamo questa E noi sfruttiamo questa legge? legge?

Pensiamo a quando

fa freddo e dentro

al letto ci

rannicchiamo,

come una palla..

Questo lo facciamo

per offrire la

minore superficie

possibile al freddo

circostante e non

disperdere il calore

del nostro corpo.

Quando invece fa

caldo, ci si stende

al massimo in modo

da raffreddarsi più

che si può.

Noi sfruttiamo questa Noi sfruttiamo questa legge anchelegge anche……

Nella costruzione di barattoli si usa la lamiera,

che come tutto ha il suo prezzo. Allora, almeno

che non ci siano delle altre circostanze che

consigliano una forma diversa, è più

economico dare alle scatole di conserva la

forma che permette di risparmiare lamiera.

Anche qui, la cosa migliore sarebbe farle

sferiche, ma … non sarebbe molto comodo

avere delle scatole di pelati sferiche in una

credenza …

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