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飞、

Combinatorial Identities

H. W. Gould

Copyright @ Henry W. Gould 1972

Printed by Morg:mtown Printing and Binding Co.

To my wife Josephine

for her never-failing

support and enthusiasm

"How do 1 love thee? Let me count the ways."

Combinatorial Identities

A STANDARDIZED SET OF TABLES

LISTING 5∞ BINOMIAL COEFFICIENT SUMMA TIONS

"Sc仿ηtia η.on habet inimicum nisi ign.orantiam"

HENRY W. Go皿D

Pr时essor of M athematics

West Virginia University

Revised Edition

Morgantown, W. Va. 1972

INTRODUCTION

Anyone who has taken the time to read far into the vast

1iterature of mathematics wi11 be aware of the fact that summation

formulas for binomial coefficients are very wide1y scattered in

books and journa1s. 咀le situation is para11e1 wi世1 what we

shou1d have if no tab1e of integra1s existed for our dai1y use

and convenience. It is our object here to atternpt to fi11 this

gap 由ld we present what we be1ieve is the beginning of a st由ldard

set of tab1es for binomia1 coefficient summations. 、 ..

It wou1d, of course , be a hope1ess task to 1ist a11 known

。r a11 possib1e formulas , and so the best which an aspiring tab1e-

maker may hope to achieve is to 1ist at a given date those formulas

which seem of frequent occurrence, or which are interes1址ng for

some specia1 reason, or which are very genera1 in nature. It might

be possib1e to produce some type of minima1 1ist of formulas

together with a set of operating ru1es whereby other formulas

could be obtained, yet we sha11 not attempt this as such an att四Ipt

wou1d destroy the uti1ity of the kind of tab1es we propose.

Certain 1ists of identities which exist in the 1iterature

deserve specia1 mention here. 世le 1ists of Hagen, Netto, Schwatt,

Dougal1, and Bateman seem very iu飞portant. 咀le Bateman Manuscript

Project, which resu1ted in the series on specia1 到mctions ， is a

monumenta1 achievement in bringing about order in a chaotic fie1d.

Bateman himse1f had projected a book on binomia1 coefficients apart'

from their connection with the hypergeometric functions. The author

has worked his "shoe box" notes into pub1ishab1e form. When

a tru1y comp1ete index of formu1as is conternp1ated, such notes and

materia1 w土工1 be taken into account.. See bib1iography be1ow.

- i -

Binom1a1 coeff1c1ent su回nat10nø heve a1weys proved a popu1af

Bubject 1n prob1em departments of mathemat1ca1 journals. Much

lnterest was stirred up a1so after A. C. D1xon f1rst found a

c108ed expression for the sum of an a1ternatlng eeries of cube8

of b1nom1e1 coeff1cients. Thi8 1ed to the great contribut10n8 of

::' ~'ranel ， and Maclt.ahon on the eummetion of powers of the

",.omial coeff1cients. Meny newcomers to this work are , however , unawere of Frane1's paper 1n l' Inhrm(diaire 些主 Mathémat1ciens.

The author' s 1nterest in th1s work began- twenty-seven years ag。

with the study of prob1ems 1n the !m盯1can Mathemat1ca1 坠且且1..

!t would be 1mposs1b1e to g1ve complete references for the tab1es

of formu1as he has collected , and 1n some caees extended,for he would

have to 1iet v1rtual1y a11 the journa1s which have been at his

disposa1 , and this wou1d inc1ude journa1s and books at theUniversity

of V1rg1nia , Duke Univere1ty , Univers1ty of North Oar011na , the Library

of Congress , and West Virgin1a University. The author was warned

10ng ago that he might we1l f1 0under in formu1as , 1f on1y 1n one

8ma1l field , such as St1r11ng numbers , or Bernou111 numbere , not to

ment10n this vast subject of b1Dom1al coefficient summations , and

that is one reason he w111 feel some 8enee of accomplishmen"t if

even a beginning 1s made in the present tab1es.

It must be poinhd out that we omit proofs 1n the present work.

In most 1nstances the author ha8 worked out proofs wh1ch dl何时 from

the known proofs; however,to 1nc1ude proofs in the present tex乞 wou1d

magn1fy the 1ength of thie volume by about ten. The 8uthor's per80nal

interest 1s not the mere tabu1ation of for皿11a8 ， but th18 emphaeis 1_

deslred in the tab1es we g1ve here.

- 11幽

PROOFS

As far as proofs are concerned , it is important to indicate

the most 缸nportant methods. These seem to be any one or a cornbination

。f the fo110wing: c。η飞parison of coefficients in series expansions,

use of differentiation or integration , finite àifference rnethods ,

solution of difference equations or recurrence f，。ηnu1as ， mathernatica1 ,1

induction, enurneration of 1attice points , theory of combinations

an卢 permutations ， and generalserics transformations. The use of

the finite Taylor's series for po1ynomials is rather 却nport田lt a1so.

1n the last part of our ihdex wi11 be founct some useful transformations

which are especial1y important in handling the algebra of series.

Many of these wi11 be found 1n intricate detai1 1n Schwatt's Introduction

to the Operations wi th Serie~ [72 J NOTAT10NS AND DEFINIT10NS

1n the body of our tables , we have used the 1etters x ,y ,z for

real nurnbcrs except 1n a few instances ",here some note to the contrary

appears. 哑le letters j ,m,n , r , s generally have been reserved for non-

negat1ve intcgers. 1n most cases k has been used for the dummy variab1e

of summation and appears in no other usage. The bitiorr归1 coeff1cient (X J 飞 n.l，

is defined by the fo110wing:

(:)=川);;…4打 (1 -and we define x! = r (x + 1) in a ;few cases , but general工y we

feel it best to avoid use of the standard gamma function. The gamma

function of Euler i6 only one of an infinity of ways of extending

the factorial concept. -ii1-

By extensive use of re1etions such e8

、飞l

』/

xn //tII、、

1lt/

x-mH -x-Z/fttmv

\fh/ nxn

x-fIt--

飞

EE

/flt飞=、

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、11ftffιln

xn· /i\μ1\

(-OE(-1)nf:-) n ny

nJ』

hEl--/ n

n

叫ζ

，，，『tz飞

n 、‘.，，

aEE E

\}/ Aεn

fftt\

many veriations of the listed formules We give msy be found. A few of

the more usef、u1 binoruia1 coefficient relations of this type ere col1ected >>

together 1n our lsst tab1e.

Although we do not include formu1as which sum seriea involving

Bernoul1i numbers , Stir11ng numbers , Eu1er numbers , etc" We do need to

define the Stirling numbers ineswuch ss many sums involving binomiel

coefficients can on1y be given in terms of these. We sha11 define

thE Stirlinz 凹旦坦王旦旦主旦旦旦旦主坠旦立 by theeoeff1eient cZin the

expansion n

C)- ~_ C~ k x

The Stir 1in旦出业旦旦旦生旦旦旦旦主丛丛 we define by the expension

n

xn - .2; 11111

,J

XK ,,,ZEE-

nk nu

k-=O

See the auth町 's papers(sec。nd bipli。graphy)U汀，巳 8] ， [3吁， (41) ，巳吨，(621 for discussions of notation and other properties. A better

nota tion S 1 (n ，时， S2(n ,k) was introduced in[11].

-l.V-

工n particular it followa that

and

(*)

哇=叫 :ω( k \ j嚣'J=olj /

AIK+a1IK-n 、时 CB=(-1)k y l l l lJ-dd

L 1,. _ .: I l ,. , .: I j! - j j::O 'k - j I 飞 k + j I '

the latter being perhaps the simpleat expression known for the

Stirling numbers of the first kind , given by L. Sch工Iff工i and O.

SchlBmilch. The reader should consult [2汀， [3才， [3吁，也才， [61J

for details regarding the Stirling numbers. 工n[3司 the author

proved a formula inverse to (*) above.

工terated summations of terms have been omitted , since their

inclusion would necessitate a tabulation of much greater length.

The receþtion accorded the first printing (1959-60) of these

tables has been so overwhelminglyfavorable and continued,‘ thælt

the demand for copies has long since exhausted the supply. This

corrected reprint has been undertaken to meet the need for such

tables. Rather than retype the entire manuscript and run the risk

of introducing new errors , it has been decided to correct those

misprints which are easy to change. At the end will be found a set

。 f errata tables , bringing'together those errata which have been

ca工led to the attent工on of the author in the intervening years.

These lists will be useful to anyone who has access to one of the

。riginal printings of these tab工es. The bibliography has not been

altered; however a 工ist of the author's pàpers is included so that

the reader can consu工 t those items for a general idea of the trend

of research since 1960. Most ofthis work has been supported by

research grants from the Nationa工 Science Foundation since 1960.

A few new formulas have been introduced , just those which seem

to be absolutely essential. Al工 binomial formulas are kept on

file in a card catalogue , and proofs are kept in running volumes

of notes now covering several thousand pageß_ 工 t is abundantly

clear that this reprint will serve a usefu工 purpose until the

author completes a manuscr土pt in preparation for a comp工ete工y new

treatise on the subject of combinatorial 土dentities.

-v-

Sucha new treatise will offer many new identities , a

complete revision of the present tables , model proofs , hundreds

of references to the literature and a whole chapter on the

generalized Vandermonde and Abel convolutions which have occupied

much of the author's attention.

The author is obl土ged to Drs. T. A. Botts and Reed Dawson

who originally suggested the compilation of the tables. He must

express his deepest thanks to the following who have made many

suggestions and 土n many cases supplied corrections to the tables

or suggested new formulas~ L. Carlitz , John Riordan , Donald Knuth , Eldon R. Hansen , R. E. Greenwood , Michael P. Drazin , Verner E.

H‘'oggatt , Jr. , Julius Lieblein , Emory P. Starke , and many others

too numerous to mention.

The author would be pleased to hear from users of the tables , and welcomes any summat土on prob工em involving binomial coefficients

whether the user knows the sum or not. Al工 suggest土。ns for

improvement will be careful工y studied.

The attent土。n of the reader is called to a very important recent book COMB工NATOR工AL 工DENTITIES ， by John Riordan , published

by John Wi工ey and Sons , New York , 1968. This is the first book-

length treatise deal土ng entire工y w土 th the theory of combinatoria工

土dentities. The subject matter covers: recurrences , inverse

relations (two chapters) , generating functions , partitionp。工ynomials ，

and operators. Anyone dea工ing with our subject matter should consult

Riordan's book. Some of this wr土ter's work on inverse binomial

series re工ations is treated in detail in Riordan's book. There has

been a great flood of books recently dea工ing with combinatorial

theory , but the subject of comb土natorial 立dentit主es remains

scattered i口 the 1土 terature of several hundred journals , in portions

of books , in unpub工ished manuscripts and files , etc. 工 t is

expected that this situation will shortly change. There 土s a need

for pedagogical treatises on the subject. 工n TIlE ART OF COMPUTER

PROGRAMMING , by Donald Knuth , Addison-Wesley , 1968 , V。工 .1 ， pp.53-73 , the reader will find a good ，工eisurely account of techniques for

attacking a prob工em of summing a binomial series.

-vi-

A NOTE ABαJT THE SYSTEM OF INDEXING

It is importent 1n 8 compi1etion such 88 this tomake use of

8 system of 1ndexing ~hich ~i11be e8sy to use 8nd flexib1e enough

to 8110~ the eddition of e fe~ formulss from time to time without

complete1y destroying the old ordering.

We therefore drew Up e sequence of tebles of formu 1es , numbered

。， 1 ， 2 ，}， etc. Eech teb1e lists formulSs of the type S:p/q for

certe1n ve1ues of p end q , where p denotes the number of binomie1

coeff1c1ents eppeering in the genere1 numeretor term of the summetlon , 8nd q hes the S8me me8n1ng for the generel denom1netor term.

The tebles ere to be found errenged 1n the ordering

。/0 ， 1/0 ， 0/1 ， 2/0 ， 1/1 ， 0/2 ， }/O , 2/1 , 1/2 , O/~ ， 4/0 ，当V1 ， .• .etc.

It 18 eesy to prove thet the teb1e number , n , essigned to eech

type formu18 , S:p/q , 1s given uniquely eccording to the formu1a p+ q

D-q+L k-q+灿 q)(p +什1 )

k-O

Thus , in this system , e11 formules for sums of form s:4/} ehou1d be

11sted in teb1e number ~1. The proof ~f th1s is releted to the usuel

proof of the countebi1ity of the r8t1one1 numbers.

Conversely , if We desire to find out whet type Qf s\皿 18 tobe

found in e teble of number n we mey determine' th1s from the formu1as

p- 告(N-1)(N+2) - n q&n 回去N(N-1) ,

where N_G1+巧有J 丁J ' end where [寸 meens the

1ntegre 1 pert of x. The proof depends on the fect thet every odd squere

is of the form 80 + 1. Thus for teble ~1 ， N = 8 , so p-= 告(7)( 10) - ~1

-= }5 - ~1 - 4 , eod q = ~1 -部的(7) = }1 - 28 - }.

-v工工-

In this sec∞d eòition of our formulary , the followlng

tebles Bre 11sted Bnd the indiceted eporoximete number of

summBtions of specified type Bre to be found within eech

+.8 ble •

• :",_ 7.E NR. Form S:p/q listed Approx. nr. sums listed

t 1/0 135 2 。/1 26

岛主 2/0 180 1/1 29

5 。/2 2 6 ;/0 52 7 2/1 48 8

A1//2 O 10 9 11 ;/1 3 12 2/2 8 16 4/1 3 17 当/2 5 21 6/0 22 5/1 2

225 1+ 4/2

75A6////冒F 5 6 ;1 2 71 97 x p/O 15 z Generel theorems 30

TOTALI 555

As might be expected , the 6ums of form 5:2/0 , 5:1/0 , 5.2/1 ,

end S:;lo are most well known. 1n general 6ums of the form 5.0/哇'

with lerge veluee of q , ere relatively rare in the literature.

An important fector to keep in mind 18 that there 18 no unique

form Srp/q in which e formula of Some bapic type 1s elwsy8 wr1tten ,

bec8use by use of elementsry binomiel coefficient identitie8 we may

rewrite a given formula uelng more or fewer binomial coefficienta.

Thus there will slweys exist 8 large degree of whet i8 really

cross-classification. However we do not propose to draw up a minimal

list of formulss. An axiomatic study is planned later.

-viii-

TABLE 1

SUMMATIONS OF THE FORM Sr1/0

00 c--飞 IX 飞

(1.1) )‘ f l zk a(1+z)X ‘, Binomiel Theorem

zz。、 k I Velid for erbitrary complex x , end cemplex Iz'<:1 , where the principal val~e 。可 (1 +吟。 is taken.

Converp:ence is irrelevant when wet-hink of this- as a. gener8ting function. -00

寸1 .k / X 飞(1.2) ). ( -1 ) ~ ( )- 0 , R( x) > 0 ,

ιJ 飞 kJ

k=O

00

( 1.~) Z (γ) .k _ l xl <. 1 , (1 _ x)n + 1

k-O

n

(1.4 ) Z K(x)Yx-1) 叫C: 丁，("。 k , (-1)a -1 十k-e

、

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x-k /'''飞

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飞

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r (1.6) Bk '

k=O k-=O

n - 1 x-r 2 川C)kr(1.7) 11m n - (r - x) r (-x) ' a• 00

k-O (Prob. 句51 ， Amer.Meth.Monthly ,195"p.482)

n n

(1.8) ~_ C ~1) zk L C-:十 k) zk z"(1+z) ' k

k-O k-O

(1. 9) 艺 C) yk 帽 Z fj(1JKN)k ,

k=O k 黯 o

(1. 10) /f'EEt飞

…γι

n-k-1 x -z c ~:)川)k' ,

::1)ZO

n a哩，­

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k- 。

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n r+k

x

r

"的 Z(:)r~k

Z n 1- k (x 手-1) - 1

n t- k k=O k -= 1

(r ~ 1)

(1.1~) L (-1盯) k l -= 0 , 0ζj <:::.. n

a(-1)n rEF , j z n

(11A)27(jch-k)n+1E2x;~ (n+1)! ,

n x­n­『

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stE( ，1)nh+1月÷'

(1 .18) n (0 + 2)! • o(~n + 1)

S2 - (-1) ' 2 12

(n + ~)' • 2

(1.19) n n'(n+1) s - (-1)

当 6 8 '

n (n + 4)! n(15♂ +50n2+Pn-2) (1.20 ) 84 - (-1)

24 240 '

(1.21 ) 85 _ (_1)n (n +- 5)! 02(如~ + 10n2 + 50 - 2) .

' 120 96

(1.22 ) n (0 + 6)! n(6'n5 + ~15n乌+ ~15n~ - 9102 - 420 + 16)

86 - (-1) 61 40~2 . (Velues of S当 Bnd S7prioted in[72)were incorrect , see page 102 that text.)

。岖，

(11.2~ ) L (n: k) 2-k n + 1

- 2 k 翩 O

n

}叫二三 C) - 2. ,

k-O -~-

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( 1.26) 二 C) 008 k> nx 乎号_) n

"'" 2 'COB 2'l COS ' k 自 O

n

(1.27) Z C) 810 k> M 乎-r) n - 2 .s1n 寸r "l C08 ' k-O

( 1 约)三。(叫)ωabEHf2千叶ncoa 忖)，

(1.29) Z (叫:)…= (-1)口川in 云)山 n(x:时，

(1 列)艺 C)叫'仰 , 2j oh +-2

,

(1.~1) 三 (2: )ωs lcx -斗

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(1.~4) øin(2k + 1)x

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2k x (x + 1) . + (1 - x) - 2 .:

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X - k

二 ('1)k(:::)(kf/γ 三

( 1 勾引 L

ak+ 1

n nz ( -1叫 :)t

k = 1 k .配 1

The following surn 18 en 5:1/0 or e special instence of an 5:1/1 1

(1. 46) L (叫:)1

( 1.47)

( 1.48)

k==O 1 + - 1 • = n(n+1)

2 (;7) {η 2(n+~)

n

kj j-1

Z 川(:) x ( j 豆豆 n ) - (-1)

C!J , x+k k-O

n

z r:7=(":::7· 乙:'，) ' k-O

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j = 1

2 1ri/r z::: e

(r-1 ~ a) (8 = pOS. or neg. integer) rz

乎 COB~j)n cos (0-2;)3 7γ r

j - 1 (n ~ 8 主 0 ， r-1 注 8)

Z (1叫j)n__= 三 Z(叫nms平j ... 1 j .. 1

(156)Z。 {Us 刊 2nHmi号'

-7-

[号.!J

(157)24:1)→F十2W(?j'

( 1 归)Z (;)→ {2n十川μ抖，在

( 1δ9) z C:) k=O

(1. 60 ) L(叫n : k) K n - ~lC (xy)-(x + y) a:

n 4- 1 n 沪 1X 皿 y

' x - y k a: O

(1.61) L C: k) n - 2k k 2 z ...

n 斗 1 n + 1 x- y

x - y

wh町et x = l+F口， y a: 1- ，r;:+可

(1. 62) L k=O

(叫 ni 丁 (2COSX)n-2K E"::::1)X

[亏7

Z n - 2k ( 1.6~)

k (":丁 (2 COB x) 2 (-1) t k -= -- 008 nx ' n - k n

k 嚣。

[+J C :k) n ~ k (+)

n n

2 x + y (1.64 ) . -= n-1 ,

n 2 x+y

k=O here r x = 1 +.俨亨丁， y-1- -V耳可

-8-

(1.65) L (-1 )k C :丁k-=O

( 1 担(-1川k-=O

(1672]('1)k(n:)

( 1 岱~k c= O

2"-2k 2 2" + 1 (" ~1) ..

" - k n

b且

肉，ι

n-A叫一+

B-k o­CF nζF

"+2 (2 008 X) -2 e08(n 千 2)X

' "+2

k

b一+

句ζEL且

a唱··

+­n nζ

aE, ‘"

专n h

斗-= ' n 千 2

(叫(-1)n÷ ， if' 个'

n (Cambridge Msth. Tripos , 19究; Hardy , Pu re Math. , p9ge 445.)

(-1 )叫 L ， if 才 n '

l n : k).k a

(1.71罢仁γ=

\i/ /it飞

m艺

k-O

♂+ (_1)"2n , (n 杀 1)

n

(2Z + 1全J亨丁正 ) 十 (-1) (2z) 忖n+-1

川 n/22 户 (2叶 1 -t-{ï工石)" -(地斗 1 圣J丰石)

'

k=O

( 1 叫z

k a:: O

\(1.72)L

n -x 二十

千一门

n-­x-

x

E二-x z_ ( 1 千 x)2

, where I '

(叫n : k) 2叫 =n 十 1 ,

-9-

叭l/

/IIt飞

ε…

2n + 1 -圄--22n

,

( 1拦 C: 丁= ( 1+ .J雪)n 十 1.(1-4吉)

2n + 1 -ý歹

E 凰n E n-th Fibonaccinumber , Where aos1·la1'

and a -= 8 + a n+1 n n-1

(1.75 )艺片~ [:巳~]

(-1) + (-1) , (?1)kfi 丁 E2

k-O

(1.76)三 (γ) - ZC"k-) aa2rEusing (1·7A)

k-O k-O

b且

川l/

叶位

rjt1、

n

「也… 1

/〉飞

J

K X

+ n x + b

且x 十n x

r飞

4JtL

\ll/ k +k n /ftt飞

PZ… 只

U吁t

(1.79)L c:γ 自 2n ' k-O

吨'』

k 叭l/

4,n

/,

1····\ ∞汇川

o au ,

-10-

'

b且同

ζ

\III-/ 』民

-n n 『ζ

，，ttE飞飞·nu

n

勺乙h

au _2n - ~

、

11l』/

b且

缸十

//-11、

甲Zau

1llIFf d -n n' 内ζ

ft1h\

十叫ζ

n 吨ζ

内ζ

E , (n 注 1)

k = 0

(1.8, ) Z Cn: 1)_ / ,

k== 。

>/n 竹il/

-n n 同ζ

/,JI--\

+、

叫ζ

n 句ζnd

叭1I/

-L

且

n nt /Its-、

nv

nγLh

L

斗nu

‘ •. , \// n

叭1·j/

-n n nζ

//ti\

斗tn 吨

'』同

ζE

叫l

，

ν

呵'』

/lt·\ nz… ‘‘,,

良J

nu

(1 附 2、川l/

-n n 句丘

/III-1飞

n 、‘，，

••• ，，‘、

= 飞

-1j/

nk 吨ζ/

/『t11、

b民、

‘，，

a唱··

，，‘、

, k c: O

k x

\111/ nk

肉，』

//I11飞

「lJnv吁VLh

RU

n n (1 +-v'X) + (1 -吗rx)

2

(1.88) Z n 2

n …-2

k~O

肉，』

J'' n ‘、，，

aE· ，，.‘、

E

、

1111JF

nk 呵'』吨

ζ

/tt『lt1飞

b且‘ •. ,,

4·· ，，，‘、

( 1.89) z 乙:) ' (n 主 1)n-1

- 2

-11-

'

'

日斗 I n 飞 ,.. . .、n ，.、n1.则~ (_1)k (2:) =: (1 +1) :~' ~ 1) _ (-v2 )n C08 芋，

(1.91) 艺 C:) - L Lk:nl) , (n 兰 1)

(1.97) Z L川 -2n-1'

k-O k...O

(1.92 )

mz… 2 十

、{之主 j)

叭ll/

十

k

nh之… k-O

(1.94) n?乙 (-OkfnJ 丁

k....O

(195)ZOLklxk'

( 1.96) 三。(斗)k乙k.+ 1) -

2n - 1 - 2

1:卜1(Cn :) .叫)

zc::) 2n - 2 '

[吁立]-= (-1)

n 2

n n n+.Ji)白- (1 - ...;王)

2-./言, (n ~ 1)

(1+1)n-(1·if sM)n sin 子，

21

n 、.. ,­a唱

··圃

'-，2、

Enζ

'-a冒··

'

-12-

(1.99)

(1.100)

(1. 101 )

( 1.102)

叫?L

斤 2n 〕 =(-T22k+υ

n ‘‘，，圃

，唱，.

--，E

、-吨'』

幅-

A唱··· '

k ..，。

Z (;:::)3E 2n - 2 .. (2n - 1) 2 (n 注~)

"?/μ

)kc:::) 皿 (FJ , k 菌 o

ZN)k(::;)k;1 回(B(x忖 , symbolically ,

' where Bn(x)means B (x) 目 Bernou111 polynomia l.

n

n

Z C) k. k! -t-CJ W1}f ( 1.10') . ,

k +1 + 1) x" + 1 x k :oc O

主 C:)k

( 1.104) x E 飞(1- -E ( l x Iζ1 ) ' 2k

k.也 O (1 - 2k) 2

(1. 105) .z c:)•L E

, ( l x\.( 1, 81so va l1d for x =: -1 -J1万

0<1 k (1.106) Z (11(2:)

x 1+ 飞11+x , \ \x\< 1) - log 2k + 1 2

k == 1 k 2

c>ð

( 1. 107) L C:) arcs1n x 7r "'" dx = -::- log 2

(2k + 1)2 22k x 2 k=O

-1 ;5-

n r

2 2 C:J k" 2n + 1 f 2n\ ~ J I n \ ~ (1.108) ø 2:2: 1 (2:) L ( :)址

k-O 2 2' k=O

(1. 109) 5 - 211(子 (":1)o

2

n 旷宇 b ... ---5 ~ l t , t

当 O

(1.111) s -n(知 +2) s

2 当(5) 。'(1.112) s -

n( 15n2 十 18n + 2) S ,

当 ~(5)(7) o

n

(1. 11~) Z 趴1l/

千+

nn 向ζ

/ftE『tt飞

E 川-k2

飞飞

111/

』且

bA

nζ

,,,,,

.. EE--K

'''-呵ζ

门一十

4'-n -冉，­

n- 42-吨4

,

k=O

、‘，，，

-H『

a, .. a咽··

-4., ,, .. 、.

、-EE

，/

…nz…

盯m

f( 对自 - k k _. k (1 - x) -- x~ f(τ- )

GENERALIZED LAGUERRE POLYNOMIALS 1

(111F)ILa)川

1 咱 x _ n ~ _ a T n -x ( = x e υ 哩 x e n' X l J ‘ (0)

Ordinary Laguerre Polynomiala: L (x) = L~V/(X) n u

k x

··飞EE

，/

kk .. pn f''EEZ、

nz… ‘

、，，，

，。

a唱a-

a咽，-

aE· ，，‘、

., a咽，­

n /ι-

n· /』­

nu AU aL· .q a-­v o r p aE,., n· n

、‘.，，

a唱··

x ，，‘、

aE· + n‘ X E

-1 鸟，

飞、11/

nk ,,,, ••• EK

Lι

nz… 7t n'-k..k-1

(x 十 k)U ""(k+1)" -(x- 1)--,

(This 8nd the next two are speciel ceses of e general formula due to Abel.)

、

1l/

nOL川

(yk)n-k(x-yk)k 回n

x , n

(Abel) ) 付飞:县Z

n

(1.120)

三(:)旷 k(x-yk)

去 c :b~)Zk 幽

' (Abel) (1.119)

a 斗 1x x - 1

, I Zl <怦 1z= 一一--呵'b x

k-O 、

(Poly8 and Szeg巴)dz… 8 18 斗 bk' • I - . ---, zk =' X8 ,(88me conditions 8S in ebove.)

a + bk \. k J

(1 叫 Z (::::) , a discussion has been given by D~ Dick叫1[t7].

( 1. 12~) L (2:) (2k + 1)D 22k

Was studied by S. Ramanujan , in whose col1ected works one may find eveluations of this.

:1.124) ZC) 因

k n 、，，

z k y ，，‘、

k ‘‘,, MM LE X ，

，，‘、

n! L JXLY)k zn - k

k=O

(1.125) Z Bk(叩)BVKM)(P 十 qk) = ~h 飞了;:qnEE Bn(x 步 y ，z) ，

k=O x .., k-1

where Bk(x ,z) =毛τ(X + kz) (This 18 e Genera11zed Abel Convoluti句. Compere with (~.仙2)-(; .1韧) .)

-15-

n

( 1.126)

z… n

-= (1 十叶

飞

lII/

/'EEE、

jz… J

币、13

』/''

/,tzt r

L川

(1.127)

.D - L ('寸'〉 Ank '

and exp l1ci tly

A nk L(斗， 3 (刀 (k-j)n•

'

(Cf. Carlitz , Math. Mag. , Vol.~2(1959) ， p.2的)

These numbers of Euler (also Worpitzky) area special case of numbers

due to Nielsen and which we might define 88 follows: 三、.- / q 飞 n

(1. 128) B~ _ ... /' (_1)K ( • l(r - k)口r ,q L..;、 1.. 1

k-=O 飞→ F

From this it follows that xn =(_1)叶 n :Ek=O

Tor all integersm> n·

-16-

Ix 十 k -

Bk ，m 十 1 t m

(1.129) Z(勺-j)

一十2

丁J

飞

rj

+ k 、EttE

，，f

+K J''EE飞

b且川。乙…

, k=O

(灿阳tt[72) , p.48)

(S伽ett(72J， p. 51)

Schwett gives v8rious other more compliceted exemples of this , such 88

formulas for

L>叫2? end 公l/

L民

/ftItt n7仨

.、d

n 飞，JX­--K 咱

-4·-­

r飞

-n

‘‘ •••• Ease'm

4tAE ++、

EEEa''

aa-­-m-B njkm ，，ESEE-

、，，，，

E·飞、

nh〉μ44TL咀

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、‘，，、‘，，

qsqL ZJZJ 4tAt •• dB·A·­，，‘、，，‘、

k x

k 4d 、‘，，

X AE1 ，，.、

、EEElsF

aa·; --1-k -3K-/IIl飞

1tem

』且--、飞FFV-E­

np〉

LZn飞』

k

··44d

、hEEEaa'

A』

as

---­

nm

jJIlt

飞

x (Gould)

(Chung)

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+n xhEt'' JFEE飞

fk

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飞

飞lf

咱

kkk a-

、，，

xn1 /I

飞←

nFLM+LM 、‘，，、‘，，

ZJ'h

『

ZJ

『龟J

AB-aE-atdl ，，‘、，，‘、

= JC::)+ ' (SaalschUtz)

(1.135 ) LtC~2) r = (丁2) 立了:) h 一户

'

-17-

.、z，，，

tH

呼

.5)

:.6)

nz k-O

"艺k-O

k (-1)

-、11

』，/

xk /tl飞

-(丁?

TABLE 2

SU肌ATIONS OF THE FORM S:0/1

f号 [1 十 (:(:1:) }

x

x - 1

nO/μ叫

n

艺k

,n

三( :)

j - 1 , k 11: 1

币

_ s (x) n

1 ~ _ , D 十 2 _ # • n 十 1(1+~)S .(x) a:....:一一;- s (x) 十 X 十

n + 1 n 十 1 n

rO乙

k c: 1

-18-

-EH

'

j " 1

1 十 xk1 斗 x

1-x

(斗斗，

,

n k-1 n-1

Z ( -1) 十

(-1 ) ~2. 7) .:

2 C:) C:) 2{n 十 1 ) k = 1

2n - 1

z k-1 k n (2.8 ) (币1) ...

n + 1 ,

e:) k = 1

n 2k-1 2n

艺2 2

' (2.9 ) .,

k(2~) C:) k """ 1

cð

Z n , (r >1), \2.10) """ ( : ) r - 1 (:) k=n

C肖3

Z (n ~ 1) (乙 11) c=旬- , '

kC: 丁n

k = 1

n 。<:J 2

Z z rr (n~ 1) (2.12) = k2

,

们丁6

k = 1 k == 1

oa k+1 00

fxj+ Z x Z z + 1 , (2.1,) (:) =

X 千 1z 十 1 幽 k

k=O k 罩 O

R(x)< 告 z :/:. -1 , 0 , 2 , . . . 3

00 k+1 00回 k+-1 2 x z (-1) k z

( 1 : x ) (2.1h) =

(Z :k) z+k

k=O k-O R(x) <:号， z 手 0 ， -1 , -2 , .

回才 9-

øo k 。。 k -k

lZ (xJ丁~- XL, k e

kr x+k k-O k! k _ 0 .

k

。。 -唱F

2 Z 川k

- ex. 一 X 飞f k ,

(丁丁 k' k' k 匾。 k 匾。

n

b .L, k-1

的艺k - 1

‘‘ .. ,, <u,,1

咱也正亨，

由世、p

n 呵'』

, "节'

k '_0 0

叫 2

句2k - 1

时 Zk = 1

:2 [ 1 - [为} -

a咽，-KL\j

1-nK HE吨'』

，飞

--rfEEL

kOL .,-4d

j - 1

7t》i

飞

J

-川I/

1-千k

--vh Ef'tt、

〈

J$iE、

17 r

勺Lh

2n n

s 冉+2(n 卡 1 )- 2n+2 Z

k - 1

飞飞t1J''

nk qι

kfiIL ‘‘，，因

a咽，由‘‘，，

，，‘、回.十k

.. (2川~Z • (Ljunggren)

2 有F-lC:) 18

、11BSJ

b皿mb且

呵'』

/Ftt飞

aE·· -、，，

b且

4，

22『+bh

同ζ，，a‘、

.K

x2LE+1

-K ‘、，，

41· ，，‘、 、

、，1，

Jf

kk 内4

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飞

J

nζ4E

2-+

k 吨ζ

，，‘、

bh

,‘-a'

'n 1

一+

-k .，，‘、

,

c X - -J 1 - x2 • Arcsin x ,

( lxl <1 , 8180 ve旧 for x_ 主 1 )

f2川 EXmJFT叶/1+1) ,

( l x , < 1, e 1s 0 va lid for x IIC + 1 )

-20-

k=O 飞EE

，

J

kk nζ

/J,, •• ‘、

k 、

JE2

4··"

、‘，，

--et (-十

b且

2 ，，墨、

-= 4 ~ k== 。

的 Z

圈子- ~ 1叫吁 1) ,

。。

n-1 z (1 - x) dx " (:"2萨 1 - x k...1

od

田 n! Z (kn 十1 )(kn 卡2) …… (kn + n)

k -0

n - 1

ftJk j z n-1 Z坦Z (- Ct/ .J (1 -但)- ) log

k' --- k ·但)k

k -= 1

臼JK 黯@

'

(E. H. Clerke) n n 千 1 k

(2.25) 艺 n 1- 1 z 2 -=' (Tor B. Stever)

(:) n 千 1 k 2 k=O k = 1 (Also sp也eciel C8. se

of (2.4) ')

(2.26) L 1

(X :丁(natural extension of (2.2); Gou工d)

- 2斗-

TABLE , SUM}.{ATIONS OF THE FORM S &2/0

‘‘,, n o --. &b u 噜A

o v n 。

nuv e AM n o m r e Ju n a v-­，，‘、

飞

lIJf

咱.

+n x Jrtt\

鹏

、飞11J

b且

v·.

' //Il

、飞BEEF''

xk /，，IE飞

"γ己

,) _L_ C:j(Y:::k)_(叶飞o+j .

j)L (:)(0 :k) _乙::;1) ，

、

12/

y 牛'x

/fsk、

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由

b且

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X

X J'Ett­、EBEES-

n-K J'tIEK nz

5) L (:) ( :) -z (忏 n : j(+: -) .

6) L ( :)乙o :J 皿 Z(二 k)( n:k)-+[(::) 十(:)j.

7) L 仁兄斗、11

，

j'

XAM ，

/fl飞

41 吨J

J''E飞、

\飞11'

k

/fh 、

EI』，，F

/rttt飞

阳、三川 - 22-

" 一

8吟).2:ε~(工刀(乙仅2;儿:

10层]μ 儿:-1) 田→4÷4(2:) -」4;三P乒1卫正气2二纪:之巧飞℃;J川1飞飞V?γγ(←忖川叫.斗卅d1η♂ )户n

咐介J1民川J

---2n 二

2n乙

主/，

11飞

/l飞

"

、

l/hJ

xn

n 、电，，

n/l飞")斗

·『呵4-·十飞

l/

飞11/

飞

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xnnn/FK 吨'h

呵'』!吨'』

ffUH1吨!'‘

叫罚飞fM

有飞

1-2

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ll/

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/IυhnhUH

川

\11//I

飞

.i

\1i/+

x+.:bAX

x2k

k2 //hv/l飞

/····L

川艺出?''已引艺…

「EK

171A) 艺 (:)(斗-干(:)(二:?缸子r:x.-:r) · (n~1 ， O~rζÞ )

n e aM T AU n aA e r r a nr cu k a--r pnE

、、15''

k 唱，>

/Ftt

‘

、EEEEa''

xk /{利

n艺…

11).15) Z 叫::;)Eh-u(n ~ 2 • 。< r ~ n-1 )

(Erik Sperre Andersen)

-2予·

!CjZ 门)r:) =r~)r- 万=川) (丁) 2 •

1.17) .~. (:)(:) Zk - Z (:)c+: -J 怡- 1户，

jm)ZCX刀川

þ.19) L r:汇) l - ZCJ(X:J . 、

111/

xr ++ nn ,,/ttt\ 、飞J/r

x+ k

/t1'飞

、、1』』

J

nk /Il、

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1721)Z (;rott 2(可n 二)l

Fb r e hu AU 唱A

O G r a w民

飞

i'/

L且

'bh x­nζ 十四

ve Jr11飞

、、E，，

f

xk nζ

/FEE飞、o

n

勺Lh

l阳(臼μ阳叫?川川川22剖2约) Z三。 (:)C:工: :kJ护)k -t:~]

!(5.t!~> ~ (叫:1;XK+:?)-ifj;二;二

-24-

(, .24)

(, .25)

(, .26)

(, .27)

(, .28,)

(, .29)

(,.,0)

(,.,1)

(,.,2)

内1/

十/IIE\ Qll/ kk nn + x /

fi1、

、11tIJ

XK /iu n?/μ… 、

Il

』/

n1 内ζ

+ +

n

x2 /iE、

认ly/

kk nn 十x ，

Jftt飞

、飞KEEJ

X

十k

ffhv nz…

ZC:Y:::) -云rcγnE;二)f π(x242)'

Z C::)(::DZ;:::刀:引:(C:刀丁γγ2♂产2缸n~圄ι口:峦4峦峦[c扣(仅2川阳

L (:JC:j-t::刀，

z (:)(二 r) -(::刀，

2(:VDk zn( 叫: -) . 艺 (-叶叫叫1η)

L (-1 )k串斗卅j叫1ηJ)产叫k丁(:)(n二:二k)卜= (←串斗J1门)产2 (ι斗 )γ1叶川+剌忏川川(←忖川唰斗卅1η) '

= (:) ~:172;;!!fL)!

、

1II/

'Ar n ，，IE

飞

r \i/ baH -r a ffttt飞

叭luv

fFE--、

b且…

勺L川

ZJ

!以5乒引号川; 艺 州 CJ比L汇(2nιn二n : k)斗k) -叫川(←归川-斗1

:~.~切!巧肪予另5引) 三;(斗卅d叫吨)户叫盯k气k(:仁:)(2'二斗!二:k) - <-i [(仙川:)+刑 '

川 Z 川了:γ::; 丁 f二丁 J;-1户，

('.~7) L (忏.: k)(斗

:'.;9) 去(叫

MO)Z (-rcynfb腼 2 乙; 1)( n 刁 2k 村，

川1)2(，1)KC)LfJE(叫

-ã>-

(~.42) Z (叫:γ:::)、

111/

xk 冉'』吨

ζ

nn 冉ζ/

ftt飞

、EEBEEtJ

XK If--飞

L且

-hJ3

叫~uZ川

回 (-1)nZ(-4(2:1)(勺 2k

1刀//It飞

十川π…

叭iv

呵ζ

冉'』

yn ，，，，，，

aE···

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,,

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L且冉

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A1lF/ gk yn ffttat

‘

、飞111f

xk /fiI飞

bEh n「之…

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b且

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』且

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、飞、11t2J

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12… M ZJ -(叫

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n 、川!j/

b且

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b且、

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、-z'

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L

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+『+

'Ar MVI人

nk //t』EL

b且

nz… M咱

-27-

川，6(叫:)(::了)

9) L; (叫:yt)-C::) ，

币) L, (叫:)(气)~ c寸，

,k - z c){: ~~:) · -(叫马)

嚣队 :1::

K ZJ 、

气lj/

zk xn zJ VVAf xk ，，，，，

EEE、

bι

nz… 2

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(B. C. Wo鸣)

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口2) ! G: r -+C:) 十气气2:) 十 1 十~-1)" c:r · ~.7;) 艺 μ1) --ît) -土耳YJJt(-1)n

- 30-

(叫3川川川7协向A勾) Z (ιi二二k斗ι:1J ) E→÷封(:) _ J仨午干乎÷二严乒!卫卫咛)

叫 2 ι lr =→+(ω::D:D) - 」斗午平t=严!旦i气1'{2巳ω2飞节:)奸十 1 丁γ1)气n飞c:y ,

(~.76) L (: y (扣n卜.斗4叫2位叫旷k叫k)2户2 . n<(2 :二: :D) '

(~.77)

(~. 78)

(~.79)

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- 31-

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(~ .87川川8盯旷7

1;.88) 220 L (:)(2:) _ L (2: : :l2:) 庐，

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-32-

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2 ， (n 注 1) , - 山十1) ( 2:)

Z C: : :k)( 2:) 斗τ到/飞/

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_2n _ í'

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(x t- 1) …. . (x +吟，(n ~ 1) ,

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(R.R.Goldberg)

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(:) 2 126) Z -I ，仇杀 1) , 2n 十 2k 2n - 2k+ 1

k-O k=O

C咱

(飞) ~ (+lk 127) L 2 1 dx

τod1 - z2 91n2 x '

k=O

L C:) -Jfu1·zE J dx (+) , 1 - 2k

k-O o

BESSEL POLYNOMIALS.

9) Yn(x) = L C)C:, 1咐_) k

E F 入

?气。) 飞(x) = L k nd n

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x 叫ζ

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1)prb) 位)z Z (r】:丁:~:)c~lrk (干Jk ,

n 、‘，，

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x + n 十

a x

fEftL nx D

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x 十

a x ，

，‘、

= 2" n'

-;7-

LEGENDRE POLYNOMIALS

Definition by formula of Rodri恕les:

(3·132)PJN Jτn: (x2 - 1户，"2n!

1n terms of generating functions , c:ao

三 tn fnh)E(1-23Et 十 t2 ). 去n=O

ρ

白?/μ

n .... 0

10 terms of the Hypergeometric fUnction ,

pn(x)z 附+ 1, -n , 1; 号~)

1-1eoy Bumme. tions of the form 5:2/0 1n the 1iterature involve

pn(仆，曰nd the f、011owing table Of equivalent hrmsof pnhj may be

found of use.

(~.1~3) P (x) '* 2-n n

n x

k、11//

nζ

-n 呵'』

/，tt飞\

、飞l/

n-K /It--k

mz… - 2k

(~.1~4) 飞(叫亏~r zcl (芒-}-)kk m:::: O

15)Pn忡 ZC)C:j C; Il

-~8-

n

(~. e6) 几位) - z (:)(2:) 2-k (~_ 1)k/2 ( x - (~ - 1忖k==O [才可

(}.1'7J p_(x) -= L ~:)C:) 产 rn

k-O

叫~ c:r: ::k) 2k x srxn嘀x + x-1) ' (R.P.Ke1isky)

/7(/2

窗户手 l 仇"气 +Jt)n"'0

叫z (-:X: ~J 产 c (-1川W , k-O

k qζ

x 钊Ij/

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k

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-L 十

万盯/syo

向1一节

wrp

()问 Pn (x) = + L, (X + Jx2 - 1ω 守主)n ,

k - 0 (valid for integral 乞> n )

-,9-

Integral form of L. SchlAf11:

p _(x) = ~-~~~ I u 2 Tr l I

(t2 - 1)n dt D ~. .n -r 1

2 U (t - x) ,

c ~here C 1s a circ1e counterc1ockwis6 about the point t ... x •

In genera1 one m8y define p_(x) for a11 rea1 va1ues of n. n

and relations such a8 the fo11o~ing are found:

‘ •. ,, a唱，­

b

斗A『··. ，

、，，

( n + 1 (1 - x) Z (n: 1

。r if one defines T(z)E PZ 4

x 飞，

1/

x-x +--/tart-

k =-(1-x户 L c:r .k

z cr xk ,

k-O

then the above reads f(n) E 坷-n-1)

-件。-

A G即ERALIZATION OF THE VANDE~~ONDE CONVOLDTION

叫Z X+JEKzr:丁 y

y 十 (n-k)z (吃了>j 二;;二;fγ 才(contains (1.125) as special case)

MZCMKYCn寸 - Zc t: t- kZ)t-了

叫zc:丁(Yn-工) -ZC~:: ， zk t (Jensen)

~.145; Z (丁才(PJ才 IC;

p + 1 I _..n-p-1 z t' • , (z - 1) ~ . t 0 三~p~n-1 ,

n+1 z - 1 • P-=D ,

z - 1 (Jensen)

(}.146) Z (X:γ;二 p rqk

(x t kZ )(y - kZ)

p(x+y-nz) 才- nxq

x(x "t- y)(y - nz) C:j · (归H恒问坤时阳叫8吨咐甲中g萨伊伊e盯enn - 1 n - 1

(:)(士刀 E 士C)Z川7} 艺nZ - n 十 k15(nz , kz) kz1

(Vnn der Corput) k=1 n (M-:7 (") .1 1时 Cj斗(d - 1) Z (dk - 2)! , (Cbu吨)

(k - 1) f (dk - k)l \ n-(cf. (7.18)) ,

k = 1

-41-

ADD工TIONS TO TABLE 3

》Fh，、

111，

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n1) -+Y-

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(…3川川川…1巧叨叨5刃切3引) :趴C:川)C二: k) = 丁士子什钊τ斗(- xm寸丁Xm- 1)

ω叫5川乌):(Jj 儿二) = (x: 丁(b;? ， m=Irl

飞

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5.160) L (_1)k (叶)nω 丁号722a ，

川61);(-1)k(:〉(nLγz:: =(4)n(nL 丁户，

川62)i ←1)k(:)(n :丁产=川 (n 2:) 产幻，

3163)i(:}( 飞2)zffif: 〉 2n也 (Carlitz)

;;16ui 叫:)( ~2) =川

\lj/ , + kn + P

/IIlt 飞飞IIIJ

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(Brenner)

-斗3-

. (3.168 )

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xa rFSE飞飞

= 飞ZEE-

，，，

kk ++ xn /'SEE­飞EEE

，，，，，

k -K 4·--n x ，，SEE-、

2k + 1 n +k + 1 '

(3川川川16吻6句9 ) T (; : : )XY(「x ; k ) = ( 7) ' (3川川1η呐7mJO

(3川川川川1η171)叭川1忖) : (C; :二:)门(γ ) =(:) .

(3172)ic::) 仁++:) = (二) . …;(丁) (丁) =(丁) .

(Graham and Riordan)

(3.17鸟):(气了)(;1)=(:::) ，

(当丁 75) 二(斗(::7) 产 =(:) . n

(3.176)

k=O

n手P(3.177) 二

k=O

(3.178) 了k=O

(;;;)(;工) 2盐+1=(:::)

(JL:1)(P; 丁

( 2p : 2k)( p :丁= 2ntpr;丁户

= (γ)俨PtlMoriarty" , H.T.Davis ,et a工，

(3.177)-(3.178) are equiv.to (3.120)-(3. 121).

-乌鸟，

(n/2] :• 1)k (n - k\(k 飞 2山=川r{ n + 1 \

k~r \- I J \ k )~ r J 飞 2r + 1)

(Marcia Ascher)

。[乞 )k afK(n : k) ( :) 2n-2k-1 ♂( :r) (companion-piece to (3.179)

- these are inverse Moriarty formulas -

t> 2)

飞

E1tI''

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x+

a

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n

IIl-‘‘,E·E·-,,

kt ++ xk ，，SEEE、

kk 、.，，、‘，，

4 ••

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，，、，.、。咱』

n?JL=tyL=

krLK

、.，，

(Brill)

2b + 1 )(38 +

2b +

= (_1)b (2a + 2b + 1)!(2b)! (a + 2b + 1)!b!(a + b)! a

+ a ?」

//l飞

b 、.，，

At ，，‘、

= 2b + 1飞(勺/ c: 丁

(A. Brill , Math.Annalen , 36(1890) ,361-370)

ere 2t = 3a + 2b + 1

Discussions , proofs , extensions by Gould , Mathematica Mononga工iaeNo. 3 , August 1961)

1切:(叫 :ì 乙 :;1= 川

-鸟5-

TABLE .4

SU}.1l1.ATIONS OF THE FORM S 11/1

n (:) (~ ) (n: 1) ,1) 二 x+1 ...

C:) x - z + 1 e: 1) (:十~)k - j n + 1

n

Z川C)(b:k\-c

(b ~ c > 0) 1.2) ' n+c (nu) (b:k) (R. Fr1sch)

b - c

n n

L 川C) (xyuZC)(x-KF{1·HK) n-k y

I.~) , y 十 k

(Y:k) k=O

|月二(叫:) k g 1 ZCIB; (γ)(4;7kzo

E Sr (x),

rk 叭l//

+ /III\ rz… -

叭l/

1

一-Tn

-/'『tt、

1.5) -n x wh1ch 1s (1.42) again. s 1(n)E 2(2n , 1) , SO(x) =

x+n

n (:) 1.6) Z 2x+ n + 1

1:

(n+2x) 的k=O k+x (2x + 1) L -x

2n + 1

i.7) Z k(缸k tnH 十 2')k=O

k t- x

-乌6嗣

~.8 )

斗 .9)

4.10)

、、，，，

aEE' ，、.. -B

M句·

4. 12 )

k 1 当)

、‘.，，

LH『

a、.. . ，

""可

2: (-1 )k c:) 飞l

』

F/

E

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内ζ

、

-tf/-

n-+IMA 4'n-xaa

皿句ζ

x-It

』1飞

』

iI1·

xx 内ζ,,a··Et

~ (:) hofn;1)

÷仁(:)hO(2ni1)

-= 2

n =2

n + 1

民l/

-T+ 飞

IF/-mx

hn

可几

工'n

-x -JrtEE、

n 2k 20 n z _1{-1 ( :) 2 Z Z = 2

k (2~) k k

k a2 1 k =: 1 k -= 1

n

L (_1)k l :) 2k 2

=:

(2: ) 1 - 2n

kEO

L (:) (k: r)

-Z(n;7xk

.. C: r)

n+ r (x 千 1 )

n

(2k+1)j1+(-1)n+kj pk(X)

I n+k 手 1\(n-K+1)2k 十 1( 2

OLh

-乌7-

n ... x

'

Lt+2} (川)Z 川 2k n 牛 1

-…回- ' rEK 5 e:j k-O n 斗 k

n (工)寸「 4k +1 2k > 2 -刀

L.-J

C: 十 :k)2D 十 2k + 1

k-O n t- k

n

Z 川(:) n 千 1'回.. '

c+叶? 了 :tfk....O (2k 斗 1)( k

ITh1s may be rewritten as an infinite series actue l1y:

1 二二工 1 牛 (1吨)(2-n)1 + n 步'

. . . . . 1 (2-电… 2D 7 2 --‘万.4n 1 1 小· -(2D-1川'

(H_ F. Sandham)

'l 1 十 2号(:)h1(x:or; 与 ( 2:)

R(x) 主 o

1) 艺 (·1)YDK2\- 0 ，川ed 1 <以 2n - 1 , , o //k十叫 p being i

号(:)、 kx/n主 c + : -k) … +12(ijj3121;四)~------------~~-.

U ( ~) 名气 (71+1 ).1

- 乓(足协) (Jlt 't) … (~oI 2") ((j. 1 1:-王《例忖 1:; /J.• 1J1 廷4吁沙只

一川

饥艺阳

-斗8-

(件 .22)

(乌 .23)

(鸟 .2勾)

(乌.25)

(斗 .26)

(乌 .27)

(4.28 )

(乌.29)

ADDITIONS TO TABLE 4

:川k

2，(叶

I (-1

:川k=O

(:) (:r C)(:: y1 =

(:) (二 S1

C)Cn~ T1 =

(:)( :)自1

:)(:f =

J( :f 1) (:f

-- 2n +丁n + 1

., n cu =

1- (-1)n 1 2 n二7τ":"'" +

= u n - ?

n T

-宁

n 、‘，，

列E·

，，E、

n

ndq 『ζ'1-2

'+-+ -Ea rlJ11、

= v , n (-1 )nT

n

自- 丁 + (-1)n 1 z 斗- n -.n

1 + 1

-四-- • n

42 -e n

B =

= C = B - A n n n

nn llkA 『J』?』

n--+-n -nn-

fId--L

n B n

、、•. , 列i

，，.、

= n D =

(UO);(-1)k(:)(x;k)-2 X

x +卫

The first of the above eight sums arises natura工ly in a stat土sticalprob工em; it amounts to the evaluation of the moments of a certa土E

distr土bution. (Gould)

this is a 工so listed as (1. 鸟2) (because of intimate relation with (1.41)). This is a1so r = 0 主n (ι 的.

-件9-

TABLE 5

SU~~TIONS OF THE FORM S10/2

00 h

1.1 ) Z -~ 2 k2 (k: n)2 k - 1 k - 1

n 2 n+1

f 1-z4z·p. 飞1 z ~(D +.1) Z (:k)士'-(:Y 2n 牛 5fn+2) k 属 o

n +- 1 k.... 1

(Tor B. St&ver)

-50-

TABLE 6

SUMMATIC5S OF THE FORM S "/0

、-飞11'/

k •'

zn 吨，ι-z

/it飞

飞11t

』/

-m 斗­

xn qLE

X

,,,EEEE

‘

飞11tt

，，r

nk nζ

/It--‘、

k

hz…

2) L (叫 20(2:::1(2::;Jj

.,, ,

z

.,,.-、，r

』，，，

z-x 句ζ-

，t、

-a，-

n • (Fjeldstad)

川llIJ

2n 牛'+

zz nt ft11·L 飞

IBI--J

n 2n ++ '鼻

X

句ιvvλ

nn 呵ζ

ff』''飞

n (什: t 'n)

C~γ: 2j ,

~'or 1n the symmetrical form

η 叫iv

牛'十

pp ,,EFt-

、、11

『

tI'

PK T+ nn ftI1t 、、11·l，

J

nk f

十

mm /Fsz-k rkm m

γρ←

...-'m+nT 'D )1 mf nf Pr

, (Th. Bang)

的li/

千

h

X UVEA户

nn nt rIt--k n 们

1j/

-n x ，

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飞

、EE--J

xn fIII-L \飞lJF

-U圃'

xn

内FM

I''『t1

、、EEEESJ

XK ，，rtzl·飞

、飞llj

nk 呵'』

/It--、

b且

nu

hOLh

;) .L_ (_1)k C) (:)C : k) - ('~J -x.二}~川 )n ，

-z 叫:)(丁川仁).hz RJ

、飞1

』』/

nk 呵'』

/ft-l bι

、.，，

aE· ，，‘、

川

-RJ

nFafe RJ-n ，，‘、.

" 、.，，

，，‘、

田

\l'/ nn zJ fIlE1

、

、飞11lj

nn qζ

，，EEE-飞

n ‘,,, A哩，

' (A.C.D1xon)

k=O

-51-

b且

向J』ni!

、J

41m 十盹

hvd ky阳w

b且x 川11/

+k /tgEE‘飞

、11i/

b且』且

吨，』

uvnn尸

nk

内4

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』且vd' 』

且\1l』/

nk /Ittt飞

n?μ川

18 ) 兄9

c :)'叶2k …~ , ..- _ • (x ~ 11.刃. (Dougall) k) X 啊..X

XJ f/ 2

刊叮

<U 、，，，口

'x‘

m

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自灭J

引引

人飞?卜

"-2 ZJ 、1IJJ/

xk /Il1、

K JZ…

\10) 卖了/-xy ip. 但L)! (宅L)!/μ1 二土生

f70\k J X 1r X (-X;1 )尸吨，』

、

11ltf/

nn 内ζ

/ttlL 川ll/

吨ζL

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nn LUT呵'』

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n-K 吨'』

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IEEEL b且

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飞

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趴·l/~"·Ifl-

2kdFdM

咱飞

斗-LMF'E

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飞

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/lttL

K)

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飞i/

11xk r

、

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、

/I11飞

nZ

川的2γz…

飞

Ij/

X4J /IItL 川li

川J

中''

/IIi飞

r \飞lIIJ

L且

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、

1111ff

-r j4' 中tk

x /I'ttEEL \飞ll/

n-K ，

I'

』l

飞

.k

nz… RJ''

「ζ

民J

j16)Z (4CYEtiYC::;:)=(-1)rctD门'

17) L ( 气十γ:二川::) -(:)(:). . (Nanjundiah

:.18) L (X: 比 ::1)(:::)EC;:::)( 叶:丁，

,.19) .L:J:) ( :)( X r : : : -) - c: γ刀， (叫主)

i怡山削20划o叼) Z (-1护i

罩 Z<叫::13( 飞)C寸，

、叮/

叶n

一叶/

，但

l飞-4'n

\EE/-x

2nn-ry· 飞

ll/2

一』tt

n44JFik-/''ft飞.

(-K EXTT 、

112/-x

b凰

4J

肉，ι

/dM1·、飞

tlj/

\1|J/K k'n Bn

n

n2 句ζr-fJ'

』'''飞

J1

飞飞

12/

飞』

/nk

nk2 /lt飞

rFIt-

-KK nZ川nz…

4『句

ζ

吨ζ

呵，』 '

-53-

Z (-1 )k (2:)广丁 2n 十 1 (丁气?í.2~) ~ (-1)~ l kJl n - ' 2n + 1 + k (如: 1) k=O

Z (-1 )k C:)( 2川r 2n+ 1 - 1 1.24) 6 (-1 r.l k Jl n ,

2n 千 1-kk-O

叫l/

+n n 肉'』

''''EEEE

、

飞

l

，/

tm 'n

内，』

n L

崎旷VA

八

nk 吨，』

/IIt飞

b且

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n 吨'』'"

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\III/ nk 内ζ/

Ft』1、

k

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nO/μh

内ζ­州l

/

一

，·丁，/--2 .n-

川l/hu--r

'Tn/it-h 12

叭lJ7'飞

22z-，

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、-

叭lj/JJ

-n­

ZJ'E

、

n h崎

m

r''tf1L 、‘EE--F2

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，』，/

2ra /fi、

2k

占Jnn

128

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『

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飞

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叫

『，，，，

F-Luh&-­

nrJ-z2M ，‘，

ιkft

』1ts

罩、占

Jr

-LU

。可

口了一口n

F、

dkc

h

6-w , (Cerlitz)

k=-n (叫:)2(:127);三

川l/

+j n r'It『EK

、、-tt

』，，，

naJ J''『』飞

\Iυ

bι-

n

/jt』ttk

nζ 飞

、tlEFI

nk JI''BEE-

nz… au

")2(-1)KO2(2:::)s(-1严飞-1)nL;y:与丘L ，( ~X)

-5件-

内丘、

、，Eta

，r

xn /lt飞

、Ett

，，

I'

k

n

+2 x ftstE飞

吨ζ\

111』/

nk /'''1飞

n?L O ZJ ,

hu , (Thls ~nd the next tWD formulas ere essentiel1y the one g1ven 1n 汩的h. Rev. , V.17(1956) ， pp.65，-4~ k=O

吨，』

、

11fF/

xn rIts-飞

、

11lfI/

-M mb

埠

n­-n x nJι

/Iit飞

叫ζ、

、EE

』

1/

n "-vh x ，Itl飞、

nOL ZJ fhu

k-O

少』

、

1ltF/

n 十

n

x JItEE飞飞

、

1ltI/

b皿

nn 22 4I X //flt\ 内J』、飞11

』/

nK Ifttt飞飞

nz… 同

ζ灭J , (Meth.Rev. ,V.18(1957) ,p.4)

(Known to Le Jen-Shoo , 1867)

:6." )

飞

tit-/

k

注+

呵'』

b且

-//tl\ n

飞飞

lI/

呵'』·.，

i1

•lk

--Jn b且

4JI''tEE

飞

fftt1、

hB，，、

1112F/

飞

1/nk

kk/· 内J』

JISEE飞

fttlk 飞

111/η

nk·

吨'』，

t、

Jft』EE飞

、•... J--16 吁

勺乙hn?μ

叭叫I/

nζ

-n n 呵'』

It's-E、

、11t

』，/

nHaEM­-FEEt飞

E

:6::列)2D - 2k

2

k o:: O

-EEB-』，/

川】2

//Il飞

川山2

f''，，I

EE飞

〈 -1) 步 (-1)j2

(Generelizetion of (6.~5) )

6.~5) ~ (-1

21 、

1iIJU

nAMA

nT

/fl飞

L

nE rt

、-呵ζ

土

li/

1-

主gk

阳

VHnf

k-K 呵Jh

n

n pvun

户

itnk ilt-//tL akk

/Il

飞斗

dlt/( tiinu

叫Jn?Lh

iu川

h

nk2 /IE

飞=k-O

内lIIJ/

2n fff』!

E

nζ

、

111/

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+k n ，，，『tEE1

、飞!/

nk 句ζ4

·Jt11、

k ，，‘、

hZ川

、‘，，

r。

ZJ ，。

-55-

吨ζ\

11』

1/

'如n

fI··』EE飞

飞

lI/

k 中'n

nJ』

n 只J/

Itt飞

向J』\111I n-k fJt11

nOL

… ?t z/

,

;, ;:8) L ( 斗 )k(: )-;LnxfL寸 』凰-内ζ

-一+

n-k nζ-

E 川

(2n - :n+ 2n)

,

\// 「JιJE飞

J

k ffL …

汀…

n (-1 )

2·n12

三C/ -coer 川 in (1 - x2)n Pn (叫(6 .~9)

(6.40) 认叮l/

内ζ-r VVAHh LK

叮/』

-n n nJι

川VEA

nK IF-SEE飞

k

飞hEJrt

、、，

恰?L」

J·

→♂

x n

p-rx

nu

(Cer1itz)

n - 2k - r x

(6 们);←d (:)(丁γ; 二 b丁=川(:) bn

(Gou工d; special case a 0 , b = 2 , x = 2n suggested by Samuel Karlin)

‘‘11t

』，

f

、-B

』，，，

ddd

+

++cd aca /,

FEt--/FEEt-K 飞

1jd\tl叫

a-ac

+

/lh

,ih

--= 、ZEE

，，，，、

EE--，，，

kckc ++++ abab J'SEtt飞/，

SEE-E飞

、11』，

1

、飞BEt-

dk

c-c-

kd

/,,EE--tSEEE-­

飞飞EE--

，、飞

ZEE-F

bkbk ，，ll

飞

/''EE飞

?}Lkh\/UK 飞EJ

、.J

?」之

J

L

吁

L『

.. rbζU

Jt、，，.、

-56-

CM.T.L.Biz工ey)

(Bizley)

ADDITIONS TO TABLE 6:

(6 件的 tc)r:::k)(m+:_J=(:)( :).(R叫)

(6 句) ，t (:)(n:J(气: : k) = (:) ( :) .' (Ri 叫

(6 届):(:)(;)(X+:::-k) 平 ;γ: n) .

(6. 每7)

n?LW 、

11j/

Z +n y /''t11 、-EE

，，

J

Z +r r J''''1

、

= 飞飞EE

『，，

n -k z­+r r ff』t11

、飞EElsJ

K zk +m yn + r JFEEt飞

、‘-EEB-

，

YK IFtst飞

(equiv. to formula posed by H. L. Kral工)

(6 崎)仨)吵了;二 1)(X: 丁了: k) = (:)(:) •

(extension of formula of David Zeit工in; equiv. to formula of Surányi.)

(如斗9县一口-2k

k .1 \ k (( 6.20)-~ '"芒，兰二eel (MacManõñ)

飞飞EEBEJ

na ff-­、EEE，，

EE''

as--n a 「ζ，，，』EEE飞

嚣

\Itts/ ka J'tEEEtt 飞飞111jk

n­nζ-

a

r'''EE--\EItl' 4t ak + k ，，，，EE飞

n?LM 飞·'

O FhJ fb ，，‘、

(C. Van Ebbenhorst Tengbergen , 1913)

(6.51 ) n?乙时

n

+ X JFEEl-

= 飞11

』，，

k + rr ++ aa + X JrEEEEE1 \EEESJ rk /

lat-飞

、-KEEF-

nk ''''EEE飞

n + γ+ : + r) (Contrast with (6.19) (Gou工d)

(652);(ufk)(二 k) C : k) = (丁 γ; 丁，

-57-

TABLE 7

SU1制ATIONS OF THE FORM S 12/1

(:) t: Z) 们 (n)k

k/ (:) (:)

(叶:+")气丁) ' 川斤。 k)\ kJ (寸z(寸7

o <_1)niX : j ( :) (刀

17.} ) Z ofO E

<_l)k (:) (X:) ( :X)

、‘.，，

L

斗. 哼，t

( n?户户k c: 0

2n (x _ n)! 、/-n:-

(X - n/2 月( -n/2- 如f

ft) ( 0 。~ j< n ·阳嗣.

n

Z (叫:) =:: (7.5 )

(。n n 2n x

j - n , (叶 r- 2 k 黯 O

(2:)

(7.6)

kvl/ n

们/主

.,

礼川

.. I/

缸

内J』

4J

甲吨'』

+→一\tj/

nnMFatu--内ζ-

叫ζ

」.

/IIt飞-r'It--t

2k 2

(7ui(d(:)(;) 了丁丁a ••

、11EE

，，

J

4t yn +飞

J

xh /，『，』『E飞

+LW

u

.‘、EE

，，，，，

12 -nk yr

飞

J'ISBEE--、、EEEESE

，

F

AB--n x ，，，，EEt飞·

n 、、，，

at ，，.、

=

( ~:) -4n 2:)C:) 2 , -

(2:) , .7) L (-1 户 c:)c:

(n~) 产k c: 0

Z 川(才)( 2:) 2k+ 1 '.8 )

(n: k) (叫 k + 1) k=O

n -22n(…-j. z (-1)k(:f:J

2k 7..9) 2

(:k) (2叶1)k - 0 (节(叫1)n

Z • l)k C)(":) 2k n 7.10 ) 2 ( -1)

IC:

C:k) (2叶 1 ) 2n 卡 1k=O

n (22:) 三川k(:r :J 2k

7.11 ) 2 n - (-1)

(:k) 川) x( :J k=O

n 2k n

7.12) Z (-1)。(:k) (n+k)

〈可 n\ / -n - 1 \ 1 _ . n 寸、 n,\ 2 7 .1~)ζ-' l ,. JI. '- } f. , ., = ( -1 r" r /

T ~ \.k J\ n -k) fk 十 ι.J '-kl k 十 rk==O . J k=O k

QJ RJ

14) L 、11j/

」

-K-K 【ζ，

，，』a··.、

、11EEt-'

-k

h+ n

fFft11

Illl-/ 1, '2k ++ nn n

ζ

/fi--\ =(_1)n

产( -~/4)

(忡1) C:) k = 0 (2n 十 2k + 1)

k

) L(:)( 丁 ~k\ 2 jtx k) (γ) t-: 1

...

\1jJ­r-

一、111/

寸

-n

zn

一ι'n

千

-x

一/fi飞

XM /t『1、一 Z -21jJJ n

j =: 1

飞叫1l/

1

一十k

-f''』l飞、

}飞

1111/

nk fIIt--L bA

nu

nzh 一-

(rn)f 2

(rn - n)f (rn 世 n)I

n n m

117) L z+-z+ ， (mJ注 n) , = 2

( :)k k -= 1 k =: 1 k = 1

n ((j'1)n) z (:) (j - 1)k j - 2 n~ 1 (Equiv. to 8 forn川a,18) =

1 - j of K. L. Chung)

(~: ) jk - 1 <3.1 斗8)k-O

:: -1 for n = O.

2n (可 n + x : y - jen : 2j z kC:X叩丁,19)

k 凶 (2;:3 (XDCO(2::3 J k=O

-60-

Meny closeà ex~ressions for sums of the form S&2/1 ere known from

the theory of the Hypergeometric 负lnction.

Definition: QQ

(-Dtuzk (7.20) F( e , b , c; z) - Z (-1 )k

C:) k... 0

where e ,b ,c ,z ert complex numbers.

(7 .21 )

'~7 .22)

(7.2,) n

.(7.24)

(7 .25 )

，川 (c - 1)! (c - a - b - 1)! F( a , b , c; 1) _

(c • e - 1)! (c - b - 1)!

兰cηn'k

nJ』、

.，，

x n .、­

s 呵'』

，，，‘、

了。

IC才 1) ("气-j01

k == 0

C吨2

n LC.γyn/2k k :a:: 0

。。

艺(-n/2k-i)( 的: i) k=O

R(c)) R(e+ b) ,

IC cos nx (n reel , IX/4 衍'2 ) ,

-飞

111/

-U

且

b且

k2 2 1i/tl

飞

x-n-

飞

J1

·唱&-4B

，，-

hv←ι1

〈

mx --，‘阿

-za--、

kn-2 呵ζ』-，

1、

内/』-，

咽'-

a e r

sin nx 11:

cos x

1

一‘111/

千·一业

k

缸-Il‘-KA

X

』、

JT

圄

4··

-m一个

μ「

SE-x rLki­-内

ζ

k-r

、

冉J』-，

内ζ-

、

Aa e r

- sin nx

bh 内Jι、

‘，，

x n .­eu 内丘

，，，、、

cos nx "'" 11fJ/ kk

nζ

/tts2·L cos x

(n re e. l , I 斗 ι1 )

-61-

~6)

∞OLU

〈←川川E斗卅4衬1η甘咐)川户k门《 C. -丁: -!) - (a 十 b -告)! (-告)!

(8 -告)! (b- 主>! '

(e +- b +告'" 0 , -1 , -2 , . • . )

‘,,,, 『，1

肉''』 I

F--t

飞

、

1lJ/

2k -E-t』』，，

2·K JL

nu

∞勺Lh

2·k

叭llj/

kubuh

4干F(8 t- b).') 1

I (b -去)! (8 - 1)!

(巴专 b + 1 笋 0 ， -1 ,-2 , • . .)

z:::…

8 - b

‘ •. ,, nRMF

内JFh艺 (-斗叫1

c:) (b - n! (-去)! 2' - b

(8/2 + b/2 - 1" (b/2 -8/2 ... 告)!

(b 1: 0 , -1 , -2 ,...)

7.49 )号 4C:JC~:)= 1 /叫号 r: 1) L K/n飞 x +丁~ nJ 乙 (y ，

) (:) _ ( :l ~-. l k)

= x - y

called Capell土 's relation by Harry Bateman , Notes on Binomial Coe~ficients.

Replacing x and y by x/z and y/z and multiplying through

by Zn , then let尘土ng z -• 0 , this gives the limiting n 寺、 k-丁 -k , n n

f。m yu 之， x~-'y-~" = (x&J._y~)/(x_y). Cf.(11. 的， (11.5).

k=1 -62-

.29)

.~O)

‘,,, 4·a RJ . 1

1.~2 )

Definitionl

可-= F( -川 n t j 川 'JZO(斗)k(2:)fD J ,

R; 配 F(- 2n - 1 ，去， 一川1l/

-4f 4，

-4Jb

且

一中

-，fJIlt、L

KJV ，I，，，，，、

川川l//

+k b且

川Z

…千吨

Then theee sums setisfy the recurrence reletions

，工+

吨'』-

-41 十一n

n-句4-

nt sn _ _ ~ 5~ + 'R~ j+1-7Wj , 'l\ j ,

2~n t- 2j 千 1

n f- j -t 1 自~ R~ 十 s~ 千 1

j t- 1 ".- j I - j - 1

Some apeci s. l values of thesesummations ere 88 follo 'W 81

r.~~) 5~1-~' (n~ 1)

、，，，

h

斗咒/ s;E1 , (n :;::二 0) ,

'.)5) 5~ _ n t- 1 1 2n 千 1

'.;6) 5~ _ ;(n 千 1)(n 十 2)2 - ,

2(2n 十 1)(2n +~)

'.,7) s;a(n+2)(n 千 ~)(11n + 10

4(2n千 1)(2n 手- ~)(2n 手 5),

'.~8) n (n i-2)(n 千~ ) (n .t 4)( 4~n -1 勿}54 -

8(2n 十 1)(2n + ~)(2D 't- 5)(20 千 7),

, .;9) Rn4 -= -.2n+L , (n 注 1 ) -, n

问) R~." -1 , (n ~ 0)

由63-

.41 ) n R1"- 0 ,

.42) n+2 , .‘，咽4 ‘'

'-;:2n +~)

.4~) 二(n 卜 2)(n + ~)

ι'，"'" 4(2n' r~)(2D 十 5)

.44) R4 _ 21(n 十 2)(n+ ， )(n 千 4)

8(2n 十~ )(20 + 5)(2n +- 7) ,

.与)

'.46)

'.47)

F(-n 告 j川 )EZ川

I .2j •. _ 2 C~) 人(… lì x) . (1 - 4z 川 ,

hιJ/

呵，』bk{

+·'+ /JIf--、飞11tl

nk JFFttt

o

n?Lh

-、E

，/

7''1lL -2k .. _ k .. .' _ n - k 2 ~~ (4z)- (1 阳也) 晶'

(These relations , (7.29) - (7.47) eppear in a paper by the author ~endi鸣 publ ication.)

t (~)+(;; ;) -n - k I X+ y + 1 -k=1 , (R.Lagrange) Ix + y - k\ X + Y + 1 - k

k=O ,-\ n I

l7. 斗9) - See page 62.

人乌8)

-6件自

TABLE 8

SUl.1J;:ATIONS OF THE FORM S 11/2

(8. 1) 2>叫2:)

'门广γ?

-65-

TABLE 10

SU阳ATIONS OF THE FORM S .11,/0

L

叶、11』

F/

XK JFSSE-飞

0

1Lh x 斗 2k s10 ~x (-2X)/

arx(-xyz , (7. <告)(Dougall) x

2) Z (:)\·÷ZOA , (Dougall / Staver)

k==O k-O n n k

?Z (;yzZ (-1)k(;ynjZM(:)2门'k-O k-O jeO

Z (_1)k (}:~ }n n- ky ~(::){ 2:) 14) / I (-1) k ̂ n J \ 2n J \ n k-=O

Z (_1)k Cn: 1) (川)~5) 2' ( -1 ) k l ~ -- ~ -J l ' n k-O

n 十 r k 1 飞 PWW

k 配 o j 1: 0

þ) z k ( -1) 、

11』

F/

r

nu·

n

i'ft1飞

9.

飞，，lj

r­

k

,,ttzs't

mJ』、

、1'''

n4J /JIlt-、

KZ川

(0 , n ". r

!1 , n-r , zoy: 丁

',8 )二(_1)k 二C f(k: Y = (-1)了。)L217)n1千 2·1)r

、

1'

《川V''

' Z。 (;)A _ coef. of xn -;;(1-x巾 , (Car l1tz)

TABLE 11

SUJrnUTIONS OF THE FORJ.1 S I当/1

‘ •• , aE· . a

咽··

，电··

，，.、

ic) (:) (k: r) 。 c+: 丁

L (:r Cn +::丁( 11.2)

(11.3)

、飞EE

，，白

k-

z-

℃11

』

J

n-2

，，，E·E·-『-+

飞

11F-vuk

yk-

-+

,,SEE--

-EA

、EEEa，，--

xk-it1 ''''za、-

nyLM

(x+γ7 亿::)

(叫:寸'

(叫1) cn :, (飞?a::

' 20 + 1

--

、，，，，'­

膺'-

-、飞，，/

+n-z y-+ /I1、

-ya

飞

EEl--+

z-

EX

+B

一，，，』

t‘、

X

』

，，tt

飞甲

(equiv. to a formula of H.L.Krall)

TKEJ/ 圄a1.

丁

-+k

『n

-/JSE飞\

飞飞BEar

yk /ftl飞

、EElsF

XLAi--rrtt'111 仇}/y+

-a k

注/寸、

--、飞

EBB­

at

yn

x+

+

n

xI''Et

飞

''''t1、、

(11 .的 L (_1)k k

at-at

+ n

x - y ' F -

--Harry Bateman (Notes on B土nomial Coefficients)

The limiting case of this , when we_r穿place x by x/z and y by y/z.and multiply through with zn+l~ 工et~ing z 一亏~Ois precisely (1.60). Bateman does a sim土工ar thing wi th a series of form S:2/1. The result suggests ana工。gies between power relations and binomial sums.

(11.5)

、EEE

，，

f

a·--4t

k­-K Y­+n x r'SEE--、

、EE·E·''

yk ，，，，『EE飞

、11EE，，

XK J''It1、

k 飞，J

AB-J·、

n?yLM EEEEE

,J­

ya­-Its-飞-

'-飞、‘E』，

1-

xn­JFF『K飞一

n -­T112/ -A' --K -n 』，，，EEE、、

1

x - y

Ba teman , Notes on Binomia工 Coefficients.

-67-

TABLE 12

SUMHATIONS OF 四E FORM SI2/2

C:>O (气 27)( 12 .1) 1 十 2

二 C) (:) - ' (丁γ

valid for R(x t y) > -告

(12.2) 1 十 2 L Ht (:丁( :) (X:k)e!j

lIIl: , C:y) va 1id for R(叫 y)美·告

(12.~) Z -lll/

飞飞lF/一1

xk

一十

k

/t

一户ll

-、飞飞''』，，，

、

11/-k

nk

•+k

fri飞

-n

E 告气 1 十

At/-2 2

一叭11/

fh

一十n

x-x 27Ilk frit-飞… ,

(12.5)

(:) (:) (n ~γ :j

Z (n ~) (, j z 二二jin 仁 :D~o C- n:X-':j

nOL k

、‘，，，

a、，，

，，.、、

气

(Y!J

-叭lJ

1

一十n

-/'11飞

牛J

C}f//、

'言(12.4)

k... 0

-68-

的 Z (:Y 2k + 1

CT: +) 2 2k. 2 (n-k+1

k

.. 2D + 1

、飞-tsj

n

勺/r

4k + 1 11:

cγγ24k( This moy be rcwritten in the form

n (J: 扩.5) Z

(件k + 1) .2 4k

(…) k-O n+k

(2n 千 2k 斗1)2

n (:) C: 丁ε.9)

(X : k)(X + Y + : + n + 1) k=O

=

•

nrk 1 宁 (-1 )

2

4n T 1

注-k

y-wJ

Harry Bateman (notes on bin~mia工 coefficients) ; see Gould , Duke Math.J. , 32(1965) , p.706.

1

了;丁

1-uh

,

-69-

TABLE 16

SU1<1MATIONS 'OF THE FORl-1 S :4/1

-::.. ~j

(-1 )k C :)( x : ) (: : k)(: ~ :) (16. 1) 2 (:) k :0: 0

22n (γ)(E丁~)n - (-1) ,

(Equiv. to e result of Beiley.)

;二 k (可川丁t:::n)(飞丁(16.2) /, (-1) e. +kH b 斗 kJ\ c-{ (2: 千 :jk .., 0

d 千 k

n (2e 千 2n)! (2b 十 2n)! (2c 十 2n)! (n 手 d)! (2n).' d/ a:: (-1γ

低， (8 t- n)! (b +- n)1 (e 千 n)! (2d t 2n)! (8 + 2n)!

(a 十 b 专 ~n)! (e 千 c +- ~n)l (b +- c 千 ~n)/

(b 斗 2n)! (c + 2n)! (巴千 b 手 2n)! (e + c 手 2n)/ (b 昔 c+ 2n)!

~ith e , b , c reel end ~here d IC e 斗 b+ c .沪，n

(Equiv81~nt to 8 formule of W. A. Al -S 81e.时

(1602(:)(; 〕(njJf:11(:Y=「 ;7(y;7(H.L. Krall)

-70-

TABLE 17

SU阳，~TIONS OF THE FORM S 1~/2

、‘，，

aE· . 咱，•

... 三(叫-z)(:) (:) kl e+:可 e 十:+k)

= {X + z)! (y +z)! (z/2)! (x + y + z/2)!

(x ,+ z/2)! (y+z/2)! (x 中 y 斗 z)! z!

(17.2) 三( : ) fx 4-~:) ( :)

(x+7+n)(": )

for R(x 斗 y +功)> (~心a11 / D1xon)

(叫: t n) (y +: + n) .:;

c: 丁(叫 y:叫 n)(Saa 1schðtz )

~17.~)

w勺乙k-O

Let

(-告)!(z- 告)!(x+;-1)f(z-x +;+1),frw&1

(弓J.)!(与1)1 (z- 斗斗! (z -号1)1 、 ,

仰，y) - (1 - z产叶子 (_1)k (1 ~ 2X)( - X ~告)(yγ号 zkι~ 0 (* ~ x) (- Xγ- i)

-

(17.4 ) k=O

and then it follows that f(x ,y) _ f(y ,x) (Bailey.)

)夺(_1)k _(飞)(-2:) (_x:) f=i t27、 (-x叼

zk ~ f (J: )(丁)?了?

2

z '

(Th. Clausen)

-71-

(21.1) Z (_1)k

TABI且 21

SUMMATIONS OF THE FORM s.6/0

L

崎EIBEE

,/

nn ZJnJ

』

/IJIt飞

、-BEES，

f

n

n

冉'』

，，tltE

飞

n 、、，，

A咽··

，，a‘、

E

ZJ

、、11'/

b且

-n n ZJ /It--\ ZJ

、11i/

nK ZJ ，

ISEEEE飞

2』

内，，

'

TABLE22

SU阳~TIONS OF THE FORM S 15/1

(22.1 ) Z 时 一叭l/

-呵'』

4·-+K EA-

7f飞

k/ +k au /it--L \飞iyb

ι

+ en 冉

ζ.

/Iluv \飞i/

ban + bn

呵，』.

i同ω

/JI飞

飞飞11

』

J

LM + an

肉，』.

E

rrftlE

飞

\11/ hk /'』EE、

(2a) f (2b)! (2c)! (n + d)! (2的! (n + a 手 b)!- (-1)

州 (n +8 )t (n 十 b)! (n +c)! (d 手- 2n)! a{ b! c!

(n 寺 a -f c)! (n+-b 手 c)!

(a 令 b>! (a + c)f (b +c)! • '

where d _ a + b + c

By use of the 1dentity

ck) (γ丁

(γ)(2:::丁

and the reøult 1s tabulated under that headin,. Special C8ses

可iUW

RJ fIiL 、飞EEF/

bh +k n EJ flttL J\j hk /

'E·E·、

bEm

hz… 呵

ζ冉ζ

ZJ 、飞EE

，/

nn zJ /ttttk

n 、，，

aτ··

，，‘、

E (知)! (2n)! (刑， nf '

-73-

(2~.1) )~

TABLE2~

SUMlt.ATIONS . OF TIÆ FORM S ,4/2

飞川一刻!/

vd··--U

且

n

由y­

fttE飞-中'n

、-EE--x

-K-'-

x--||i

n-·、11itJ'

IIl

飞

Z2

\飞--J

一­

YLEvek vvn一-T

xk-x /I飞一/tlh

飞

(2:)( 2:) ( x: 7)

Cx : 才(气 -j(Follows from(17δ) .)

-7乌-

TABLE 21占

SUMMATIONS OF THE FORM S :~I:当

国 kC) ( :) ( :) 十 27/7，1(·1) (γ)C门口7

(x+;才

C:Y) c:) ==

，，，.-、，，

飞，

-x

z-

一斗

4'一-z

y-rt zy x-z (-+ ''一

y

z-rk vw-vw f·

一十

x-x

,

ve lid for R( x 十 y+z)> -1 (Doúge. ll)

(The 8uthor shows in e pener ewaiti吨 publication ， that this

reletion implies FjeldEtad's relation - (6.1). )

T

-75-

TABLE ~1

SUMY.ATIONS OF THE FORM S .4;'

(~1 .1 ) 何?/]

( _1)k c:可 +k- 〉(;)(;)(;)k J C+:才cγ丁C+:+jk-O

R"

(x 十 c>! (y -卡 c)! (z + c)! (x 和 y +z 手 c)!

(y 十 Z 十 c)! (z 啡-x +c)! (x+-y 千 C)f cf ' (DougeU)

ve11d for R(x -+- y +z 千 c) > -1 ,

:~1.2) jfcx- 1 : '/2)( :)(- :) -

1· 飞，，­

z-a'' ,‘‘.,

--z x--，，E‘、，-vd·

.,,·-‘‘ .. ，.四

ve--x

--Ft

、

X

二，，，

r

飞

-x

B

(Beiley)

-76-

TABLE 71

su阳ATIONS OF THE FORM sI6乃

One of the m08t gener81 identit1es known 1s th8t of Dougall , which

m8y be expressed 88 8n 516/5 or 88 B 7乌 "ith unit 盯&Um8n也·

(71.1) 艺(衬「「门盯+丁丁::-丁刀咒)川川川(:ο:)(:)( :)(:) ( 叶y γ +刊仰山2c肌e川手

("t口+丁;7+丁γ丁叹飞γ7川忖("叶+γO叽丁(X+ Y+飞?;7+忖0+)y

(97.1)

C+γJC寸+j(叫γ丁 C:j了:+ n) (Y+:+丁了?丁(叫:+c寸

TABLE 97

,

Expreesed 88 e 7气。ne hBS the equivalent form of Dougall's formulB

「息， 1 -1- 8/2 , b. C t d t e , - n ;

7'6 I 1 a/2 , 1 +8斗， 1;-息 -c ， 1+a-d , 1 +8吨，

(1+ak(1+a-b-e)n (1+8·bd>n(1 • aHC4)n.. (1+a-bh(1+a , ck ( 1中amdhn十a-b-c-d)n

'

where 1 + 28 .. b 乎 e千 d + e - n , n... 0 ,1 ，2 ，当，..

8nd (x +n - 1)! 户-t- n - 1)

(x)n-r，-唱、~- n!l. J -飞 n i

-77-

TABLE X

SU肌ATIONS OF THE FORM S.p/O

An Bsymptotlc formulal

n p -1

2 (:r pn

侈;-)2 2

'‘~ a8 n -;.. 00.

-VP k-=O for p _ lnteger 二~ 1 •

(Polyp Bnd Szeg~.)

n

kf?P?Lxjp Z C:) (n+1)!P x - kr - x.- ~ - - '

(k+1)p ( ) ln+ (n+1)p k-O x x

(Gould)

~) t. L~:-l) L' -l)j Cp;:) C+r:jγ - C) '

VB l1d for integral r ~ 1, P~ 1.

4) Z (斗)kLγ)(…tyfr· 〉 -(1;γ ，

,5) a咽，

E

P 叭l/

-r n· r Its-aEEL ---EES

,J

+ b晶

nr Fa /Ittt飞

b且，

，‘、

问Z…

r

'

(The threereletlon8 immedietely ebove ere connected "ith very

generel eXpansions of Worpitzky , e8 shown by Cerlitz , end were

'rediscovered' by veriωs modern writers , in perti叫er by Shen汩的.)

-78-

(X .6)

(X .7)

Defini tion: 飞(q) - Z (:) (Stever)

nzvhzoq KP (5tever)

Theo the following formulas are knownl

(X.8)

(X .9)

(X.10)

, (X .11 )

(X .12)

(X .1~)

(~) -= ~ 5_(~) n ,1'.....' - 2

一25n ，2(~) ...，一卜 50(~) 十

‘‘,,, ZJ ，，，‘、

4·· n qu

., 、、.，，

ZJ ，，E‘、

'1·· n qu

zJ n E 、

‘，，，

RJ ，，，、‘

ZJ ., n

qu

5 _ J, ( )) = --.!!当 (n + 1L s~ '~(~) 口，"" 2 n-I

民 A

2 S ~(~) = ~二- 5_(~) -二~ (n - ~) s ~(刃，n ，~-" 6 n-' . 6 n-1

- (staver)

n2 5 n(~) .... (7n2 - 7n + 2) Sn_1(~) + 8(n - 1)2 Sn-2(当)n'" - ,... -, -n-1

(Franel)

,

This relation just giveo Wes f~r8t proved by J. Frane1 , 1n answer to a

que8tion posed by C. A. Leieant in the first volume (189均 of the

/.. . .. .. / journe1 .!'Intermédiaire 但旦 Mathematicien8. Freoel a180 found the

r

followiog formula es well a8 other interesting resultsI

(X .14)

(X .15)

J SJA)s2(2n-1)(5n2-5n+1)s JA)

十 (40 - ~)( 4n -问(An-5)S JA)

主 (:r 小言:c:1;(Franel / St~ver)

(寸(叫-79-

where: C( q. + 1) n ,k

、飞、EEE

，

J

-K4d ，，，aEE飞、J

KTU归

、飞ht1/'

"K IF-飞

c(q: (Nenjundiah)

'his genorel result includcs several speciel ceses in the prcceding

Ibles.) Thus:

k ‘ •. ,, a

τ··

，，，‘、

E

飞飞，，

♂

5·K

(n ;, 1)

( :J (0)

- (-1)

飞11t』

ff

nub

且

fft1

、

回

‘、，，，

,E·· ，，‘、.

户V

11if/ nK If-1、、

z 、‘，，，

向ζ，，，、

FM C( 当) =C) 了:丁

阳c喇M蜘圳胁灿8时盹巾h加10n

owever this 1s too εxtc盯nsive to list in the present tables.

x.16) 主川( :) (1 :1 b 1k) (2 :2b2k

) nu --llif k

r b

r

+m r a

JIt--、

(X 丁 7) I (叫:)k11Et--/

‘飞'he''

k22 RJ』-bc

a ，，，，EE飞

，

rttIFfitt

、

、

1lij/

、114

kt4l alLUFUW

a ，，I1、

/Il--\

•

飞tBIll-

，

J

、飞'1

』，

krr rbc

a rtt『t、

//tIll--

、

= 0

when b1 c 1 + b 2c 2 +… +b r c r <:n

(again a trivial consequence of (z.8))

n

C:汁:1(af) ( a(r) (x.18 ) • • • == 0 ,

k=O

hen bAc A + b~c~ +…+ b c L n 1-1 . -2-2 . -r-r -.

(another trivial consequence of (z.8))

-80-

TABtE Z

In this tab1e we 1ist some genere1 expansions , operations on

series , and a few ‘ use负11 binorniel coeffic1ent identit1ee.

In formu1as (Z.1) through (Z.1l) f(x) 1s understood to be any

polynomie1 of degree less than or cquel to n in x , thet 18 , a

T川 z a X1 i

i= 0

(Z .1) (Legrange series) n

Let g(x) _汀 (x - X i ) , g'(x) , Dxdx) ,

and let distinct realnumbers xo , x1 ,...,xn be given •

Then n

订出

41 x··xi 叫y)- L x - x

k i

n

事 g(x) Z k=O

k x

veEF­十一J

k四

X

X-­P··E

x

(Z .2) (Taylor series)

你十 y) 81:' γ 二巳 r(k) (y) ι..J' k' k=O

r(x T y) -二。三(-1)J (:) r(k - l十 y)

(Z .4) (Worp1tzky - Nielsen series)

叫X十川-1)也 I(叫:'让(叫m :j r(j _ k -t- y) '

prov1ded m ~ n.

(Z. 乡) (Melzak, prob. nr. 44饵， Amer. Math. 以onthly ， v. 58(1951) , p.6~6; a speciel cese 0 1' (Z.1). )

叫.J

/'l nO/乙

趴lj/

十

n

y ve + T(x - k)

y+k '

(Z .6) 川y) z 1

y十 kHDYTh+y)

1111/ nk /i飞

b且

nz…

、叫lj/

+n /，Itt飞

ve f(x - k)

(y+k)2 '

(Zo7) Z (-1俨 C) T(X - k)

k c f川 Z

1-k - 1" (x)

r

(Z .8) L(叫 \ 0 , 11' nL r. 1'(k) ~ < 蝇飞，

{ (-1"" n' a , 11' n e: r. 、 n

旦[j j X J X 、气， ._ f .，、

e ~ 一一 / I (_1)A ( - J f( j - k) '-/ j rι.J ' "' l k) jzo k z O J

Relation (z.8) i8 very useful; we have numerous interesting cases by choosing f; e.g. (1.13) ， (6. 斗1) ， (X.16) , (X.17) , (x.18) , etc.

(Z .9)

WZ k

一二:- t'(k) _

k' k 匾。-

,

-82-

(Z .10) 、11lt

，

rb且

缸'?

/Iiw nz… f'(y 手 k2 )

2 .2 x -.K

_ (_1)n f(二十 y)十 士 C") f:~) '

2.(. - n) C::J n

(Z .11 ) Z 付(:) f(y + k2)

C:J k-O (x2 - k2) l k

n f(x2 + y) f(y) - (-1)

(:n)c:丁十 2x2 2x(x - n) t n)( 2n

~h1ch 18 e restatement of (Z.10).

(Z .12) f(x)

rπHVK

(Z.1~) 立(-1)k (:)

-- r?乙

k =< 1

rz f(Uk )

• r

订x - U

k k .... 1

1 - 1 1 .fo k

provlded r..> n.

m k rvu

c ~Uj 古川 J for r > m.

-83-

Z.14) Let f(x) be. e polynomial of de~ree n 十 1 10 x. Then

2 (-1 )k C) f(y - k)

(k 斗 x)(k+ z)

E(Jx)jc::j Z.15) Let f(x) be a polynomiel of degree nt 2 1n x. Then

n

~(叫 :J f(y - k)

(k + u)(k + v)(k t- w) k=O

u - 1 f、(y +u) -(n + 1)(n + 2)(u - v)(u - w)

(叶:) (仆:)n+2 n 千 2

v - 1 f、(y+ v) f(w 千~ y)

(n 十 1)(n+ 2)(u - v)(v - w) (川:)0+2 n + 2

~ing partial fract100s one may evaluate ~ (-1)k(~) f(y-k) 1n general. r k=。

有 (k -r Ui ' 1=1

-8件-

(Z .16) Let f( x) 二艺 -1aixi

Then L(叫:)f(y-k)c: r

) -…

r?JU 的一叭l/

，问-4·k

fLEK f-Ji\ 、

1l/-

rk ，

J'''EE飞

k

k = 1

(Z.17) 1n the preced1ng relati0n , let r ~ n. 7hen if f(x) i8 of degree 2n-1

in x ,

艺 (_1)k (:) f(y - k) 卡 f(y千 k)

= f(y)

k=O

(Z.18)

c: n)

If f(x) ~ f(-x) , f(O) = 0 , end f(x) 18 of degree 2n-2 in x , then

n

Z ←1可 = O.

kl tt丁k-=O k

(Z .19) A useful ooeretionel formule:

(♂吵 y =: (n!) r L:

e Ak = Z

k 斗 n-1x ve a唱··

n ·俨

-KX D

-K AHH

(k + n-1 )_,

(叫叫: -) l寸寸 r

(Cf. Carlitz , Amer. Meth. Monthly ,

Vo1.37( 1930) , pp. 的2-9)

-85-

A very usefu1 genere1 technique in summing series 18 to meke U8e of

the identity (x D扩 ιkr Xk This i8 whet 18 used in e11

the series in t he Be tables Where a series conteine the term Kr xk

Bnci . 1.丁 f :rs 1n no other connection 1n the 8eries. Schwett gives a

吃、 rr b~D~d discuseion of its uses.

1n terms of the general number8 of Nie 1sen type (see (1.128)ebove)

we heve

(Z .20) 川Z…

n 4' E E Ve

r 、、ls/

x nu x /

ttE、

n

Bktm+ 1 ve nu 让

川μUO\叫

一\J/-B

In term8 of the Stir1ing numbers of second kind (differences of zero) ,

two other use fU l generel formules ere

:z.21) 毛才 y 川Z zk . B~ . .d x ,z

‘ •. , x ，，.‘、

，ι

bA

俨: -J n

k X n 1r

一-~- . B1c • D二 r(x) • kr •

z .22) (x Dx ) n f(x) = L

-86-

.

,

(Z.2~) Let F(n) - Z ( -1尸( :) ~(吟，

and suppose thet f(k) does not depend on n.

Then the series may be inverted to give n

'J '. ..k - 1 I n 飞f( n) a: / ( -1 ) ~ . , } F(时，

ιJ 飞 kl

‘ k JC 1

and e180

Z T(k)E z (-1)lu1(;::)F(k)

k = 1 k ... 1

(Z .24) ... 、•. ,, ，、EW

，，.‘、

伊A

\111j/ b且

4d

/IIf飞

，、J、

，，

A咽，，

，，‘、

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k

勺乙μ

E ‘、，，，

k ，，.‘、

曹r

&L e L

t )ten

n ‘‘,,, a唱··

，，‘、

E ‘‘ •• ,

bA ，，‘、

霄ι

\i/ xk //iIEE

飞

b且‘‘.,, 4·· ，

，E‘、

n。jL…

bk叫咱b且

，··-圃

'A-x 飞

llj/

nk ,,,,,EtL

K

nu

n?Lh \111/ -n x /IlIL

(Gould , ~4-J )

(Z .25) z ( :) ~(k) -LH厅: X) z{ n ~于(j 们)k=O j 信 O

(Z.26) Suppose that DxUn(x) 皿 n Un_1(x).

Then the 8ummetion 气飞川咐l(ρ(仅川xk..。、 ι ，

~es the property thet It is 1ndependent of x , 1.e" DxSn(x) = o. Hence the series

~ey be eva1ueted by letting x take eny convenient va1ue. (Math. Tripo8 , 1896,

or see Hardy , Course of Pu re Mathemetics , 9th Ed. , 19l山 ， pege 27队)-87-

(Z .27)

nz 阳)=÷ z 艺 ttjrjk f(时，

k=O j 嚣 1 k-=O

where 也J

2γi

r =e

(Z .28) Z (r:) f(rk) 斗 Z Z{:J f(k)ω 气jkk=O

(Z .29) Let 小雪 (_1)k C: 丁子去k=O

and suppose that. f(k) is independent of n.

Then

川一川

叭i//

/，，，，、

问z…

Ei巴L - F(n 泸 2)n 十 2

(Z.~O) 号。(-1)kC) f(k) … e川

independent of n. Then

艺 (-1)吁:) f(k T 1)

k+1

.. T( 0) - F( n 1- 1 )

n +-1 k=O

(Z .~1) -K

和-e

叽lM7

牛1-

nn fIt--L 我lll'

?k /'Il

、

n。/UH

川jJ

、川j

2·x-2 于十-··于b

nn-n 同￡-叫，』

，，tt21、

-/Itt\

k 伊·&

叭i/

2x 千fs

寸

nk /I』lL

nk /II』1

2…

-88-

n (:) n

Z n

Zt~l二) r(时(Z.;2) r(k) a: (-1 )

(叶:X) e1γ7 k=O k-O k 千 x

n [+J [旦~1J

(z.;;) Z 忡Z ~(2k) + Z r(2k千- 1)

k = 8 k =[8 t 1] k-[+J

[n ; 1J n (z.纠)

L(泊问 ~Z Z r(2k 1- 1) 1'(2k) - . k :o: 8

k ...(咛] k-[+J

(Z.;5) [n ;1 ]

r - 1 n

艺 2 r(rk 十 j) - Z r(k)

j - 0 E8 + r;17 j J k...a k-

r

‘‘E,, a

唱··

>/n a唱，

>/r ，，‘、

., ‘、，，

4d f k r ，，‘、

T 川艺

、，，，‘，，

-a··-

,,

、‘，，，卢、

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圃

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'E O 俨'飞

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4.‘

ZJ

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a‘、

k=O j=O k=O

n r

(zmzpk)-mrrgap(川(k -t- n )}

(Z.;8) 2~ k l'川 (0 + 1) Z r(k)

k - 1 k == 1

KZ川

nz… '

皿89恒

(Z.~9) 千F(h)!a22n n!(囚，告)! ,

(z.4o) n

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(Z .42) 且 z 叫 1(~) x - z 十 1

「，/飞/飞j

飞1

』

f-飞飞，，/

Z

牛'一千+

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{)JIjI飞

(Z.句) n LU丁

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飞

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r 2n j''』1、

n

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J''Et--飞

(z.44) 了了) ~(4D2:) 产

C: 于 (."X:) <n-OPCfDBZ::(3(;)2

(刀(z.46)

(Z .47) n n

ζ

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\11lts/ τ吉

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飞

川lυ-

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-MK-AOK J-T/i···

、

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且Tqι­

/ftt1、一

(Z.48) (;)1月 ,

-90-

(z.49)

(Z.50)

(Z.51)

(Z.52)

(Z.5~)

(:)---; 二节ω

了了) _l4n:j(沙 J

( : ) ( n ~ k)(:k) (η

kf川

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RJRJ q缸，"

-91-

(Z .57)

(Z.59)

(Z.6o)

(ι~" : 1)(二:1)(川)(汇f仁:

(γ)(门刀升〉Eι/" ( ":) (" +: -~ c: 丁2:::丁-(':γ~2) .

'

n

叼/乞

Aj/ /lil飞 k+x

(It is by this difterentietion thet the finite hermonic series cen be

introèuced into a series of binorriel coefficients; e.g. , see reletions

of this type such as that obteined from (' .44) by u se of (Z .2~) ， or

Goldberg's reletion ('.124) , etc.)

(Z.61 ) (:)厂: 1) 坦时( :n)(丁)

蝇'­

《咽，

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-98-

• ERRATA SHEETS FOR THEORIGINAL PRINT工NG OF THE TABLES -page numbers refer to original pagination

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). 8 , 10 (1δ8) ， read n 1T 1nstead 01' n T τ- •

,. 9 , in (1.71) , read -x instead of'

_x2 z .膨 z_ .

(1 + x)2 (1 + x)2

, 1n (1川….d C": 1) …叮~. 14.1 , 1n (1. 118) , addcondit10n that "注 2.,.17 , 1n (2.16) , on r1ght read 1nstead of' • 一k' k . ~. 18 , 1n (2.24) , read (:")… or(:n) •

p. 21 , 1n ('.2') , on r1ght hand s1de read n~ . _. n

p. 27 , 1n ('.72) , read ...l旦L 1nstead of

2 1nstead of n

二4in.2.

2

p. 40, (4.10) , tbe sum shou1d be

n

宁Lh

(:) r" : 1)

x(x 午 1). • .(x牛 n)p. '0, 1n (;5 .95) , read (x + 1)

.

p. 40，如 (4.1') ,read n+ r 1nstead 01' n r.

p. 50, 1n (7.11) , l'ead( I 1nstead o1'{ 1 飞 2n I 、 x/

p. 7咱， 11ne ;5, read (Z.12) 1natead of' (Z.1').

p. 79, change statement a1'ter (Z.'5) to read ITh1s 1s the genera1

cas8 f'or (Z.,,).I

,.80 , 1n (Z.'9) , on left read .J1f (2n>! /2",

). 80, 1n (z.48) , on r1ght read γ( J . n .

1. 81 , 1n (Z .52) , read k 1nstead 01'

-99-

1nstead of'

(了) . 1nstead 01'

kk .

ERRATA - Combinatorial Identities by H. W. Gould

page 6 formu叫1.46)

气~ 7) 叮~4)

{z(J+3}+h d for 1

24(n+3)

page 18 formula (2.24儿 line 2

α2 α3

n ~ L read n ~ I

page 21 :formula (3.22) in le:ft-most sum

-2k for 2-L.- read

k nJι

p nJ』n

J』 •

page 35 , in third d土splayed formula from top , .n .n t.. t

for ---- read .-=0 n n 品

-100-

Errata f'or: G∞1d， "Combinatoria1 工dentities， "

page 4，件 (1.31). Rep1ace si♂(言) by si♂(~)

k-1 page 13, eq.(1.106). Rep1ace (_l)A by (-1)

page 26, eq.(3.58). Multip1y the right member by

n-nf』

间可♂

page 26, eq.(3.57). Multip1y the right member by

严吕e 31, eq. (3.工03). Eepkce 2nfby ♂-k

page 43, eq.(6.5). 卫讪ce 叫叫2) by 主[1 + (-l)nJ

page 44, e吐·(6.8).Dehte(4)k

page 44, eq.(6. 工0). 工nsert (_l)k i的。 the s urom.ar也

page 47, eq.(6.35). Mu工tip1y the second sum by 22n

page 51, eq.(7. 工9) • Rep1ace (且-x:y-1) by (n+x:y-1) n

page 66，叫. (31. 工). Rep1ace (x + y)! by (x + c)!

---compi1ed by E1don R. Hansen , August , 1969.

-10丁-

FURTHER ERRATA

2τri/r p.7 , in (1.切， addzwhere taL z e f&-

k-1 p.14.1 , in (1.117) , for (x + 1)~-' read (k

1 2n+2x飞p.26 , in (3.57) , for l ~2n"""^") read

A 、 k-1+ 1)

for

-BJO --、飞〉/r---

n,

dk

(2n~竹. Cf. Han5en'5 form 。 f this correction.

p.38 , in (3.1 斗7) , read

k=1

p.51 , in (7. 丁 8) ， the sum = -1 for n = O. 工ndicated sum correct

for n ~ 1.

p. 5丁 in (7.17) , in left-hand sum , insert the factor 1 k .

A工50 ， for n~ m read m 共 n.

p. 65 , for (2，.阳 )iead (24.1).

p.86 , item #51 , for 'Todskrift' read 'Tidskrift'.

p. 87 , item #60 , add ref. to Second ed土tion ，. 1927.

p.3 , introduction ，工ine 丁 0 ， for 'indes' read 'index'.

p. 69 , in (x.13) , for (n_1)3 read (n_1)2.

p. 14.2 , in def. stated with (丁 .127) ， deletethe factor (_1)k.

H. W. Gou工d

1 May , 1972

-102-

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