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CONTENIDO

INTRODUCCION .......................................................................................................................................... 3

OBJETIVOS .................................................................................................................................................... 4

COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN ........................................................ 5

NÚCLEO DE UNA SECCIÓN ..................................................................................................................... 7

CARGAS APLICADAS FUERA DE LOS EJES DE SIMETRÍA ........................................................... 7

VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO .................................................................................. 11

CÁLCULO ANALÍTICO ............................................................................................................................. 11

CÍRCULO DE MOHR ................................................................................................................................. 14

REGLAS PARA LA APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A LOS ESFUERZOS

COMBINADOS ............................................................................................................................................ 16

APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A CARGAS COMBINADAS ......................................... 17

TRAYECTORIA DE ESFUERZO ........................................................................................................ 17

DESARROLLO DE PROYECTO .............................................................................................................. 20

CONCLUSIONES ........................................................................................................................................ 23

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................... 24

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INTRODUCCION

La combinación de esfuerzos es algo que los ingenieros deben de enfrentar al

momento de diseñar un elemento estructural debido a su geometría y a su aplicación,

con diferentes concentraciones de esfuerzos, y debido a esta infinidad de posibles

concentraciones de esfuerzos u otras características es de vital importancia conocer y

entender los conceptos básicos de los que son los esfuerzos combinados.

Los elementos de una estructura deben de soportar, además de su propio peso, otras

fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Esto ocasiona la aparición de

diferentes tipos de esfuerzos en los elementos estructurales, esfuerzos de tracción,

compresión, flexión, cortante y torsión.

Pero en esta ocasión se estudiara los tres tipos básicos de cargas que son: axiales, de

torsión y de flexión, y su actuación conjuntamente de dos o más combinaciones

posibles de esos esfuerzos.

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OBJETIVOS

GENERAL:

Conocer a fondo los esfuerzos combinados y su aplicación en la

ingeniería.

ESPECIFICOS:

Determinar los esfuerzos combinados en la base de la grúa para dar un

ejemplo acerca del tema.

Clasificar los tipos de esfuerzos que se obtienen dadas las condiciones

dadas.

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COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN

La viga simplemente apoyada de la figura 9-1a soporta una carga concentrada Q.

Supongamos que la viga está unida a los apoyos en el centro de gravedad de la

secciones extremas. Entre el punto A, el esfuerzo normal de flexión es . Es

una tensión dirigida perpendicularmente al plano de la sección recta, como se indica

en la figura, y la fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de área A es .

Si la misma viga apoyada en la misma forma se somete solamente a la acción de una

fuerza axial P(Fig. 9-1b) los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre

cualquier sección transversal (Sec. 1-3). Su valor es y también es una tensión

perpendicular a la sección recta. La fuerza que actúa en el mismo elemento A es .

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Si ambas cargas actúan simultáneamente en la viga (Fig. 9-1c) el esfuerzo resultante

en A se obtiene como superposición de los dos efectos aislados. En efecto, la fuerza

resultante que actúa sobre el elemento diferencial A es el vector suma de las dos

fuerzas coaxiales y . Dividiendo esta fuerza entre el área dA se deduce el

esfuerzo resultante dirigido perpendicularmente a la sección recta.

Análogamente, en un punto B de la misma sección, también a distancia y de la línea

neutra, pero por encima de ella, el esfuerzo resultante es la diferencia entre los

esfuerzos axial y por flexión. Si a los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y

alos de compresión, negativos, el esfuerzo resultante en un puto cualquiera de la viga

dado por la suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en aquel punto:

o bien,

9

Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. Este es el

motivo de poner los signos positivo y negativo delante de P/A, y el rodearlos con un

círculo es para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección recta.

En la ecuación (9-1) se ha aplicado el método de superposición. Ahora bien, hay que

tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento

flexionante, como se aclara a continuación. La figura 9-2 muestra, muy

exageradamente, la flexión producida por una carga transversal Q en una viga. Si P es

de tensión, como en la figura 9-2a, el momento flexionante producido por P en

cualquier sección, y que vale , tiende a disminuir el momento flexionante producido

por Q y, por tanto, reduce los esfuerzos por flexión, y al contrario ocurre si se trata de

una compresión axial. En otras palabras, los valores dados por la ecuación (9-1) son

algo mayores que los reales si P es de tensión, y menores que los reales si P es una

compresión. Este efecto es despreciable en muchas ocasiones si las barras o

elementos de la estructura son tan rígidos que los esfuerzos producidos por son

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muy pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas

transversales Q, es decir, si las deflexiones son muy pequeñas. Pero si las barras son

largas y flexibles, el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros

procedimientos más exactos de cálculo.

NÚCLEO DE UNA SECCIÓN CARGAS APLICADAS FUERA DE LOS EJES DE SIMETRÍA

Un caso particular de esfuerzos axiales y de flexión combinados es el que representa la figura 9-5a en la que un puntal de pequeña longituda soporta una carga P aplicada con una cierta excentricidad con respecto a uno de los ejes principales de la sección.b La superposición de un sistema nulo, dos fuerzas iguales y opuestas y del mismo módulo que P, aplicadas en el centro de gravedad de la sección, da lugar al sistema equivalente indicado en la figura 9-5b.

a Un poste ó puntal corto es aquel cuya longitud no excede de diez veces su dimensión lateral menor (columna corta); las deformaciones por flexión son tan pequeñas que sus efectos pueden despreciarse. b Los ejes principales son los ejes de máxima y mínima inercia.

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Los esfuerzos en una sección cualquiera m-n son el resultado de la superposición del esfuerzo axial de compresión, que aparece en la figura 9-5c, y del esfuerzo por flexión ⁄ ⁄ que se ve en la figura 9-5d. Si el esfuerzo por flexión

máximo es mayor que el esfuerzo axial, el esfuerzo resultante tiene la forma de la figura 9-5e. El punto de esfuerzo nulo es la nueva posición de la línea neutra y se encuentra fácilmente hallando la distancia a la que el esfuerzo por flexión (positivo) es igual al esfuerzo axial (negativo). Por tanto,

de donde

9

Es evidente que si el esfuerzo axial de compresión es igual o mayor que el máximo

esfuerzo de flexión, no existirá zona alguna que trabaje a tensión. Para conseguir esto

en una sección rectangular de ancho b y altura h con P aplicada con una excentricidad

e (sobre la altura h, figura 9-6) se ha de tener:

( )

En estas condiciones, la excentricidad máxima paro no tener tensión es:

9

Esta fórmula es el fundamento de la regla usual en diseño de obras de ladrillo o de

otros materiales muy poco resistentes a tensión, de que la resultante de las cargas

debe pasar por el tercio central de la sección.

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9

Consideremos ahora el caso generalc en el que la carga P se aplica en un punto

arbitrario de una sección cualquiera, siendo sus coordenadas y con respecto a

los ejes principales de la sección, como indica la figura 9-7. Los momentos de P con

respecto a los ejes X y Y son, respectivamente, y . Por superposición, el

esfuerzo en un punto cualquiera (x, y) de la sección viene dado por:

( )

9

Para determinar la línea neutra, o línea de esfuerzo nulo, se resuelve la ecuación

Teniendo en cuenta que

, siendo y los radios de giro

respecto de los ejes los radios de giro respecto de los ejes Y y X, se tiene:

Que es la ecuación de una recta cuyas intersecciones con los ejes (ordenada y abscisa

en el origen) se obtienen anulando y para obtener u, y luego x para obtener v, en la

ecuación (a). Se tiene:

Quiere esto decir que E.N. pasa por el cuadrante opuesto aquel adonde actúa P y, en

general, no es perpendicular a la dirección OP. Por ejemplo, en la figura 9-8b se

representa la distribución de esfuerzos en una sección rectangular cuando la fuerza P

se aplica en un punto fuera de los ejes principales (Fig. 9-8a). Si se calculan los

esfuerzos en A, B y C, la intersección de la línea neutra con AB y con BC se calcula por

c Realmente esto constituye una aplicación de la flexión asimétrica.

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semejanza de triángulos. Obsérvese que la intersección puede estar en las

prolongaciones (Fig. 9-8c).

Vamos a determinar ahora las coordenadas y de la carga P para las que la línea

neutra pase por una esquina B, como en la figura 9-8c. Sustituyendo , ,

y en la ecuación (9-4) resulta:

( )

( ) (

)

Simplificando,

⁄

⁄

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Que es la ecuación de la recta m-n de la figura 9-8d, que corta a los ejes X y Y en ⁄ y

⁄ , respectivamente. Esta línea es el lugar geométrico de los puntos de aplicación de

P que producen en esfuerzo nulo en B. Análogamente, la recta es el lugar

geométrico de los puntos en los que P, se produce un esfuerzo nulo en C. Continuando

el procedimiento, es evidente que ningún punto de la sección podrá estar sometido a

tensión si la carga se aplica dentro o en el borde del rombo rayado de la figura, ya que

la línea neutra pasará o fuera de la sección, o por una esquina, o por un borde

rectilíneo. Esta zona de la sección se llama núcleo de la misma.

Se demuestra de forma análoga que el núcleo de una sección circular es otro círculo de

diámetro igual a un cuarto del diámetro de la sección.

VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CÁLCULO ANALÍTICO

El esfuerzo en un punto queda definido por los esfuerzos que actu an sobre las caras del elemento que rodea a dicho punto. Los esfuerzos varí an con la orientacio n de los planos que pasan por el punto, es decir, los esfuerzos en las caras del elemento varí an cuando lo que hace la posicio n angular de este elemento.

Para expresar analí ticamente esta variacio n cortemos el elemento inicial mediante un plano, y apliquemos a una cualquiera de las partes las condiciones del equilibrio esta tico. La figura 9-13b muestra las componentes normal y cortante del esfuerzo que actu a sobre un plano cuya normal N forma un a ngulo 𝜃 con el eje X (Fig. 9-13a). El elemento triangular de la figura 9-13b esta en equilibrio bajo la accio n de las fuerzas que proceden de los esfuerzos que existen en todas sus caras. Sea el a rea de la cara inclinada; en el diagrama de cuerpo libre de la figura 9-13c se representan todas las fuerzas, y en la figura 9-13d aparece la reduccio n en un punto correspondiente a estas fuerzas.

Aplicando las condiciones de equilibrio segu n los ejes 𝑁 y 𝑇 se tiene:

[Σ𝑁 ] cos 𝜃 cos 𝜃 ( sin 𝜃) sin 𝜃

(𝜏 cos 𝜃) sin 𝜃 (𝜏 sin 𝜃) cos 𝜃

y

[Σ𝑇 ] 𝜏 cos 𝜃 sin 𝜃 ( sin 𝜃) cos 𝜃

(𝜏 cos 𝜃) cos 𝜃 (𝜏 sin 𝜃) sin 𝜃

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Dividiendo ambos miembros de esta ecuacio n entre factor comu n , teniendo en cuenta que 𝜏 es nume ricamente igual a 𝜏 y que

𝑜𝑠 𝜃 cos 𝜃

, 𝑠𝑖 𝜃

cos 𝜃

, sin 𝜃 cos 𝜃

sin 𝜃

Las ecuaciones se escriben en la forma:

𝟐

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝝉 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 9 5

𝝉

𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 9

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Los planos en los que aparecen los esfuerzos normales ma ximo y mí nimo se obtienen anulando la derivada de (9-5) respecto de 𝜃. Por Tanto:

𝐭𝐚𝐧 𝟐𝜽 𝟐𝝉

9 7

Ana logamente, los planos de esfuerzo cortante ma ximo quedan definidos por:

𝐭𝐚𝐧 𝟐𝜽𝒔

𝟐𝝉 9 8

La ecuacio n (9-7) da dos valores 𝜃 que difieren en 180°, por lo que los planos de esfuerzo normal ma ximo y mí nimo son perpendiculares entre sí . Lo mismo ocurre en la ecuacio n (9-8) con los planos de esfuerzo cortante ma ximo, que esta n tambie n a 90°.

Los planos de esfuerzo cortante nulo se determinan haciendo 𝜏 en la ecuacio n (9-6) , es decir,

tan 𝜃 𝜏

identica a (9-7). Por consiguiente, los esfuerzos normales máximo y mínimo tienen lugar en los planos de esfuerzo cortante nulo. Los esfuerzos normales ma ximos y mí nimos se llaman esfuerzos principales, representa ndose a veces por p y q.

La relacio n de la ecuacio n (9-8) es recí proca y de signo contrario a la ecuacio n (9-7), lo que indica que los valores de 𝜃 de las ecuaciones (9-7) y (9-8) en las ecuaciones (9-5) y (9-6) se obtienen las siguientes expresiones de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante ma ximo:

𝒎á 𝒎í𝒏

𝟐 √(

𝟐)𝟐

(𝝉 )𝟐 9 9

𝝉 𝒎á √(

𝟐)𝟐

(𝝉 )𝟐 9

Haciendo un estudio ana logo para un plano cuya normal sea perpendicular a N, las componentes del esfuerzo en este plano perpendicular vienen dadas por:

′

cos 𝜃 𝜏 sin 𝜃 9 5

𝜏′

sin 𝜃 𝜏 cos 𝜃 9

De las ecuaciones (9-5) y (9-5a) se deduce que la suma de los esfuerzos normales que actúan sobre dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí es constante e igual a . Por otra parte, comparando las ecuaciones (9-6) y (9-6ª) se observa la

equivalencia de los esfuerzos cortantes en los planos perpendiculares.

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CÍRCULO DE MOHR

Las fórmulas establecidas en la sección anterior se pueden utilizar en cualquier caso

de un estado de esfuerzos bidimensional, pero existe una interpretación gráfica de

estas fórmulas debida al ingeniero alemán Otto Mohr (1882) que evita tener que

recordarlas.d En esta interpretación se utiliza un círculo, por lo que se ha llamado

círculo de Mohr. Realizando el dibujo a escala se pueden obtener los resultados

gráficamente, aunque en general sólo se suele utilizar como esquema, y los resultados

se obtienen analíticamente como se verá más adelante.

Las ecuaciones (9-5) y (9-6) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia.

En efecto,

cos 𝜃 𝜏 sin 𝜃

𝜏

sin 𝜃 𝜏 cos 𝜃

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

(

)

𝜏 (

)

(𝜏 )

Recordamos que , y 𝜏 son constantes conocidas que definen el estado plano de

esfuerzo, mientras que y 𝜏 son variables. Por tanto, ( ) es una constante C,

y el segundo miembro de la ecuación (c) es otra constante R. Con estas sustituciones,

la ecuación (c) se transforma en

𝜏

d Las ecuaciones (9-5) y (9-6), así como sus variantes, son idénticas a las que expresan las variantes en los momentos de inercia con respecto a dos ejes U y V inclinados un ángulo 𝜃 respecto de los ejes de referencia X y Y. Sustituyendo el esfuerzo normal por el momento de inercia I, y el esfuerzo cortante por el producto de inercia P, resulta

cos 𝜃 sin 𝜃

sin 𝜃 cos 𝜃

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que es de la forma , y representa, por tanto, una circunferencia de

radio

√(

)

(𝜏 )

cuyo centro dista

del origen de la abscisas.

La figura 9-14 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se

ha estudiado en la sección anterior. El centro C está a una distancia OC del origen que

es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del

triángulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que la coordenadas de los

puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (9-9) y

(9-10), y se verá cómo el círculo de Mohr representa gráficamente la variación de los

esfuerzos dada por las ecuaciones (9-5) y (9-6). Las reglas siguientes resumen la

construcción del círculo de Mohr.

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REGLAS PARA LA APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A LOS ESFUERZOS COMBINADOS

1. - Sobre un sistema de ejes coordenados rectangulares 𝜏, se sitúan los

puntos de coordenadas ( , 𝜏 ) y ( , 𝜏 ). Estos puntos representan los esfuerzos

normales y cortantes que actúan sobre las caras X y Y de un elemento. Se considera

positiva la tensión y negativa la compresión; el esfuerzo cortante es positivo si el

momento respecto del centro del elemento es en el sentido del reloj.e

2. - Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha

recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo

centro es la intersección con el eje .

3. - Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, las

componentes del esfuerzo, normal y cortante, están representadas por las

coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del círculo de Mohr.

4. - El radio de la circunferencia, corresponde a un punto dado de ella,

representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las

coordenadas de ese punto del círculo.

5. - El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble

del ángulo entre las normales a los dos planos que representan estos dos puntos. El

sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad, es

decir, si el eje N forma un ángulo 𝜃 con el eje X en sentido contrario a l del reloj, el

radio N de la circunferencia forma un ángulo 𝜃 con el radio X en sentido contrario al

del reloj.

e Esta regla especial de signos para el esfuerzo cortante hace que 𝜏 𝜏 en el círculo de Mohr. A

partir de ahora se emplea esta regla para designar el esfuerzo cortante positivo. Sin embargo, la teoría matemática de la elasticidad considera positivos los esfuerzos cortantes que, en una cara positiva, están dirigidos en el sentido positivo de otro en los ejes coordenados, lo que hace que 𝜏 𝜏 lo cual es

conveniente para los cálculos analíticos, pero confuso para aplicarlo a la circunferencia de Mohr.

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APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A CARGAS COMBINADAS

La aplicación más importante del cálculo de los esfuerzos combinados es el diseño de

elementos cometidos a cargas combinadas, o la determinación de las cargas de

seguridad. El círculo de Mohr, al representar gráficamente las variaciones de esfuerzo

en ciertas condiciones, da una idea más clara del problema que el mero cálculo

analítico. El procedimiento habitual es considerar un pequeño elemento en el que se

puedan calcular los esfuerzos producidos por los tres tipos fundamentales de carga:

axial, de flexión y de torsión. El estudio del círculo de Mohr para este elemento indica

el criterio a seguir en el diseño.

TRAYECTORIA DE ESFUERZO

Un elemento de la superficie del cilindro de la figura 9-19a está sometido a los

esfuerzos cortantes de torsión indicados en la figura. La figura 9-19b representa el

círculo de Mohr correspondiente a este estado de esfuerzo. El radio OA representa al

eje X. El esfuerzo de tensión máxima está representado por el punto D, cuyo radio OD

está a 90° de OA en sentido del reloj, por lo que el plano de máxima tensión estará a

45° en sentido del reloj, como se indica en la figura 9-19a.

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Las líneas de la figura 9-20 que siguen las direcciones de los esfuerzos principales se

llaman trayectoria de esfuerzo. Como se observa, para la torsión son hélices a 45°. Si la

resistencia a tensión del material es pequeña, como ocurre con los materiales frágiles,

el fallo por tensión ocurre a lo largo de hélices a 45°, tales como la AB. Este efecto se

puede confirmar experimentalmente sometiendo a torsión una barra de gis o yeso,

hasta su ruptura.

Otra forma de comprender la razón de los esfuerzos de tensión y compresión

inducidos por el esfuerzo cortante se observa en la figura 9-21. La distorsión del

elemento ABCD, inicialmente rectangular, indica que la diagonal AC se ha alargado, y

que BD se ha acortado. Estas deformaciones concuerdan con las direcciones de los

esfuerzos principales de tensión y compresión antes obtenidas.

En vigas, las direcciones de los esfuerzos principales varían de acuerdo con las

intensidades relativas de los esfuerzos por flexión, , y de los cortantes horizontales,

𝜏. Por ejemplo, en el punto A del voladizo de la figura 9-22, el círculo de Mohr muestra

las direcciones de los esfuerzos principales: El esfuerzo de compresión forma un

ángulo 𝜃 en sentido del reloj respecto del eje X. El de tensión es perpendicular al

anterior. El valor de 𝜃 varía con la relación 𝜏 ⁄ , ya que tan 𝜃 𝜏 ⁄ . En las fibras

extremas m y n dela sección que pasa por A, el esfuerzo cortante 𝜏 es cero y las

direcciones principales coinciden con la horizontal y vertical, mientras que en el plano

neutro, donde es cero, los esfuerzos principales están inclinados 45° respecto al eje

X.

En la figura 9-22, las líneas continuas y las punteadas representan las trayectorias de

esfuerzo en la viga y constituyen dos familias de curvas ortogonales cuyas tangentes

en cada punto dan la dirección de los esfuerzos principales en dicho punto. Las líneas

continuas indican la dirección de los esfuerzos de compresión máximos, y las líneas

punteadas, la dirección de los esfuerzos de tensión también máximos. No hay qu

confundir las trayectorias de esfuerzo con las líneas de esfuerzo cortante.

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Las trayectorias de esfuerzo indican la dirección de los esfuerzos principales, pero la

intensidad del esfuerzo es variable a lo largo de ellas.

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DESARROLLO DE PROYECTO

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W1 = 3583.6kg = 57.42KN

W2 = 5000kg = 49.05KN

W3 = 300kg = 2.94KN

M2 = 49.05(0.31m+23.9m)= 1187.5KN-m

M3=2.94(0.31m+71.5m+3.5m)= 200.83KN-m

Centroide

X=23.9

Y=6.15

Fviento= (1/2)(71.5m)(18.4m)(98.1kN/m2)= 64.53KN

Mviento=(64.53KN)(0.62/2+23.9m)=1562.27KN-m

Mflexion = 6578(57.8m+18.4/3) 420553.47KN-m

Peso de la Columna

ϒ1

⁄

85 9

ϒ2= ±

⁄ 5 75

ϒ3= ±

⁄ 8 5 5

TORSION

τ = ±

⁄ 8 98

FLEXION

ϒflexion= ±

⁄

5

ϒ2= ±

⁄

7

ϒ3= ±

⁄

9 7

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ϒAxial= -285.29-162.47-9.74= -457.5KPa

ϒFlexion =± 50752.64±8035.50=±58788.14KPa

Fibra A

τ =33384.98 KPa

ϒa=11020.35 - 457.5= 10562.85 KPa

Fibra B

τ =33384.98 KPa

ϒb=-11020.35 - 457.5= -10562.85 KPa

Fibra C

τ =33384.98 KPa

ϒc=-58788.14 - 457.5= -59245.64 KPa

Fibra C

τ =33384.98 KPa

ϒc=58788.14 - 457.5= 58330.64 KPa

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CONCLUSIONES

Se definieron los tipos de esfuerzos que afectaban a la estructura

con las cargas aplicadas.

Se determinó que los diferentes tipos de esfuerzos están en función

de las condiciones que afecten a la estructura.

El viento es un factor que nunca se debe despreciar para calcular

los esfuerzos de las estructuras grandes las cuales son afectadas por

este elemento y produce un esfuerzo de torsión muy alto.

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BIBLIOGRAFÍA

Resistencia de Materiales [Libro] / aut. Timoshenko S.. - Madrid : ESPASA-CALPE,

S.A., 1957.

Resistencia De Materiales [Libro] / aut. Pytel Singer. - Mexico : Mexicana, 1994. -

Cuarta.