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台灣地區區域洪水頻率分析之研究Study on Regional Flood Frequency Analysis in Taiwan

陳　儒　賢*

LU-HSIEN CHEN

台灣首府大學

休閒設施規劃與管理學系

助理教授

陳　清　田CHING-TIEN CHEN

國立嘉義大學

土木與水資源工程學系

副教授

謝　宛　吟WAN-YIN SHIE

國立嘉義大學

土木與水資源工程學研究所

碩士

摘　　　　　要

本研究之目的在於應用自組織映射圖(self-organizing map, SOM)網路劃分均一性區域，並使用線性動差(L-moment)進行區域洪水頻率分析。首先，依各流量測站之年最大尖峰流量資料及各測站之地文因子，利用SOM網路進行群集分析並劃分均一性區域，接著再以線性動差為基礎的不一致及異質性估量來檢定所劃分區域內資料的一致性及均一性，最後再以適合度估量選取區域最佳機率分佈。本研究以台灣地區54個流量測站進行區域頻率分析，經由SOM網路之二維密度圖可知，全台灣流量測站可被劃分成5群。再者，為了與SOM網路之分群結果作比較，本研究分別再以K均值法(k-means method)及華德法(Ward's method)進行分群，其結果顯示這兩種傳統群集分析方法之分群結果並不佳。最後，以適合度估量選取SOM網路所得各群集之最佳機率分佈，並計算重現期距分別為5、10、20、50及100年之設計流量，期望此研究結果對於台灣地區之洪水頻率分析有所幫助。

關鍵詞：區域洪水頻率分析，線性動差，自組織映射圖，群集分析。

ABSTRACT

The purpose of this study is to apply the self-organizing map (SOM) to delineate the homogeneous regions, and use L-moment to carry out the regional flood frequency analysis. Firstly, the SOM is used to group the gauges into specific clusters based on the annual maximum peak flows and the geographic characters of the gauges, and then the homogeneous regions for regional flood frequency analysis are delineated. Moreover, the L-moment based discordancy and heterogeneity are used to test whether clusters may be acceptable as being homogeneous, and the goodness-of-fit measure is used to select the regional probability distributions. Finally, regional regression functions of design floods are developed with topographic inputs of basin area, mean elevation, mean slope and mainstream length. The proposed approach is applied to analyze and quantify regional flows for 54 flood gauges in Taiwan. A two-dimensional density map indicates that the flood gauges can be grouped into 5 clusters. For comparisons, the results of the SOM are compared with cluster analysis findings derived using the K-means method and Ward's method. The results show that both the traditional cluster analysis methods perform poor. Finally, the goodness-of-fit measure is used to select the regional probability distributions for the 5 clusters obtained by SOM, and then the design flood magnitude with various return periods for each region are estimated. The proposed approach is expected to be useful for regional flood frequency analysis in Taiwan.

Keywords: Regional flood frequency analysis, L-moments, Self-organizing map, Cluster analysis.

臺灣水利　第 59 卷　第 1 期民國 100 年 3 月出版

Journal of Taiwan Water ConservancyVol. 59, No. 1, March 2011

* 通訊作者，台灣首府大學休閒設施規劃與管理學系助理教授，72153台南市麻豆區南勢里168號，lhchen@tsu.edu.tw

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一、前　　　言

台灣的地理位置位於亞熱帶地區，是屬於

副熱帶的海島型氣候，其氣候受到季風、梅雨及

颱風等因素之影響每年都會有多場颱風與豪雨的

侵襲。每逢暴雨期間，由於暴雨強度極大，再加

上台灣地形由中央山脈阻隔導致河川源短流急，

河川流量極易在短期間內驟增，所帶來暴漲的河

川水位對下游沿岸低窪地區威脅極大。因此，利

用頻率分析方法推估設計洪水流量作為防洪措施

規劃及設計的依據便成為水利工程中常用的方

法，而最常用於防洪工程的水文變數即為年最大

洪水。然而，在一般水利設施規劃設計過程中，

經常面臨設計地點無水文觀測紀錄可供分析使用

或測站的洪水記錄期限不長，卻用於推估長重

現期距的洪水量，為解決未設測站(ungauged)地

點的問題，研究學者整合研究區域內之水文觀測

資料與流域特性進行分析，將鄰近測站的觀測水

文量延伸至未量測地點，以推估該區域不同頻率

洪水的方法即稱為區域洪水頻率分析(regional flood frequency analysis)。

關於區域洪水頻率分析方法的探討，

Cunnane (1988)及GREHYS (1996)曾針對站年法(station year method)、指數洪水法(index flood method)、貝氏法(Bayesian method)及記錄延伸法(record extension method)等方法進行比較分析。其中，指數洪水法最早是由

Dalrymple (1960)所提出，是最常被使用在區域頻率分析的方法，後來Hosking (1990)應用線性動差(L-moment)於此分析方法上，現今已成為區域頻率分析最常被使用的方法，其相關研究

文獻整理如下：Fowler and Kilsby (2003)用於分析英國之區域極端雨量頻率。Zhang and Hall (2004)用於分析中國贛江及閩江流域之區域洪

水頻率。Kumar and Chatterjee (2005)用於分析印度Brahmaputra區域之洪水頻率分析。楊欣怡

(2006)以台灣地區記錄年限超過18年且未間斷之

62個流量站的尖峰流量紀錄為基礎，將台灣分成

北中南東四區以指數洪水法並配合以線性動差為

基礎之不一致、異質性及適合度估量，衡量同一

區域內不同站之年最大洪水是否具有一致性及均

一性，並選取一最佳之區域洪水頻率模式。楊志

傑(2006)應用指數洪水法之概念配合線性動差推

估參數以建立各區域之乾旱機率分部並建立各區

域乾旱量與重現期距之關係以進行區域乾旱頻率

分析。林柏強(2007)利用指數洪水法配合線性動

差，以及利用降雨紀錄配合運動波－地貌瞬時單

位歷線模式，進行流域洪水頻率分析，以推估其

不同重現期距之尖峰流量。Abida and Ellouze (2008)以突尼西亞平均流量資料長度為27年之42

個流量測站進行區域頻率分析，先將全國分成兩

個均一性區域，再以線性動差法為基礎的不一致

及異質性估量進行均一性區域的檢定，最後以適

合度估量找出這兩個均一性區域最適合機率分佈

函數。Chavoshi and Soleiman (2009)使用K均值法、階層式分群法及模糊C均值法對伊朗北部70

個流域進行分群，並以適合度估量決定各分群的

最適合機率分佈函數。

在區域洪水頻率分析過程中，測站應分佈

於同一個均一性區域(homogeneous region)內，因為區域頻率分析是依照同性質分配，其結果

會比依照位置分配估計更為準確(Hosking and Wallis, 1997)。關於均一性區域之劃分，群集分析(cluster analysis)常被廣泛應用，近年來之相關研究文獻整理如下：楊道昌與游保杉(1994)

使用華德法配合K均值法的兩階段群集分析法，

以無因次流量曲線與比流量曲線為群集分析變

量，將台灣南部34個流量測站劃分成3個均一性

區域。Rao (2004)使用線性動差法、混合群集分析法、模糊群集分析法和類神經網路等方法對印

地安納流域進行區域化分析，接著使用流域及流

量的資料來檢測這些群集分析法。結果顯示模糊

群集分析法和類神經網路法會得到較佳結果。

Shu and Burn (2004)採用模糊專家系統(fuzzy expert systems; FES)法對流域進行均一性區域劃分，將其應用於英國的流量資料，並將結果

和其他兩種方法作比較。結果顯示FES法能產生

可信度較高的均一性區域。Ouarda et al.(2006)利用季節性指數洪水法代替傳統區域化方法，針

對加拿大魁北克省進行均一性區域劃分，並使用

鐮刀式流程(jackknife procedure)評估區域分位數估計方法的性能。其結果和傳統方法比較後

發現，以尖峰門檻值方法為基礎的季節性指數洪

水法有較佳之結果。蕭政宗與黃亮芸(2007)以各

( 39 )

雨量測站之座標與年最大一日雨量之平均值、標

準偏差及變異係數為輸入項，利用K均值法將台

灣77個雨量站劃分為三個均一性區域，再利用指

數洪水法配合線性動差推估參數來建立無因次年

最大一日雨量區域頻率模式。蔡慧萍(2007)使用

主成分分析及以華德法配合K均值法的兩階段群

集分析，以流域面積、主流長度、平均高程、平

均坡度等地文因子做為變量，與經頻率分析後所

得不同重現期距之設計流量，建立各區之設計流

量公式，進一步整合不同重現期距公式建立洪水

設計流量區域公式，經模擬結果可知在推估任何

重現期距的設計流量有一定準確性。另外建立全

區公式與分區公式相比較，結果得知分區公式之

誤差較比全區公式誤差低，顯示分區之重要性。

Srinivas et al. (2008)提出兩階層SOM網路，以流域面積、年平均降雨量、主流坡度、主流長度、

流域高度、土壤徑流係數、森林覆蓋流域面積為

輸入項，第一階層使用SOM網路形成二維特徵映

射，第二個階層利用SOM網路的輸出點，以C均值

法做區域洪水頻率分析，並利用線性動差法進行

洪水區域頻率分析，將美國印地安納245流量站

劃分為8群，再以不一致估量及異質性估量作均

一性區域檢定，使用單點移出(leave-one out)法進行交互驗證，結果顯示該方法對估計未設測

站地點的洪水流量有較好的表現。洪毓婷(2009)

將全台灣127個雨量站經由主成分分析擷取9個主

要成分，再分別以SOM網路、K均值法及華德法進

行分群，再以不一致估量與異質性估量測試其均

一性，結果顯示SOM網路較其他兩種方法得到較

好的結果。

對於水文之均一性區域劃分而言，判定資

料是否確實存在群集關係及如何決定適當之群集

數乃是一重要之課題，SOM網路由於不需事先了

解群集組數，只需經由神經元之學習訓練即可，

無傳統群集分析方法之困擾，因此近年來常被應

用於水文資料之群集分析上。Michaelides et al. (2001)運用SOM網路分析降雨之變異性，並用以

提供氣候模型使用，其結果亦顯示SOM網路較階

層式群集分析法更能顯示出降雨變異性的細節。

Lin and Chen (2006)以年平均雨量、標準偏差、各月平均雨量及地文因子(經度、緯度與高程)為

輸入因子，應用SOM網路、K均值法及華德法將台

灣地區劃分成八個均一性區域，並經由異質性估

量作分群檢定，其研究結果顯示以SOM網路之分

類結果較佳。Jain and Srinivasulu (2006)運用SOM網路將流量歷線切割成數個區塊，並進行流

量的預報。Lin and Wu (2007)利用SOM網路進行自主性的雨型分類，並根據分類結果劃定設計

雨型之均一性區域，進而綜合該區域中各測站

之雨型即可得到該區域之設計雨型。Kalteh and Berndtsson (2007)藉由SOM網路，利用其它雨量測站補遺遺失的量測資料。陳儒賢等人(2008)藉

由SOM網路所得之二維密度圖，客觀決定倒傳遞

類神經網路(back-propagation network; BPN)之隱藏層神經元數目，應用於彰化地區十個地

下水位站之月平均地下水位預測上，並將此模

式與傳統自迴歸移動平均模型(autoregressive integrated moving average; ARIMA)及BPN模式比較，研究結果顯示以SOM網路結合BPN預測結果

較佳。Yang and Chen (2009)使用烏溪流域八個水文事件數據，以SOM網路結合BPN作洪水預測，

其結果顯示經由SOM網路所得之二維密度圖，能

客觀地確立網路之隱藏層神經元數目，對於洪水

預測準確度之提昇極為顯著。關於SOM網路應用

於水文領域之相關研究，可參考ASCE (2000)及Kalteh et al. (2008)所發表之文章。

本研究之目的為以台灣地區54個流量觀測

站之年最大尖峰流量為基礎，並使用地理資訊系

統(geographic information system; GIS)擷取各觀測站子流域地文因子數據，再將測站之地文

因子及年最大尖峰流量作為SOM網路之輸入項，

進行群集分析，應用於區域頻率分析之均一性區

域劃分上，且與傳統分群方法(K均值法及華德

法)分群之結果進行比較，最後再利用適合度估

量選取各群集適合之機率分佈。對於未設測站地

點而言，可根據該地點所在之地理位置，由均一

性區域子流域圖查得其隸屬於哪個群集，進而推

算該地點不同重現期距之年最大設計流量。

二、研究方法

2-1 自組織映射圖網路

SOM網路是由Kohonen (1982)所提出，屬於

( 40 )

非監督式及競爭式學習的網路模型，其網路架構

如圖1所示。其中，輸入層代表輸入變數向量，

每個輸入變數透過權重來連結輸出層的神經元，

這些神經元代表著訓練範例輸入資料的拓樸映射

結果，輸出層的神經元會依據輸入向量的特徵，

以有意義的拓樸結構(topological structure)展現在輸出空間中，而排列方式可為一維的線狀

(linear)排列、二維的網格式(lattice)排列或

者是更高維度的排列方式，其中以二維的排列方

式較為常用。

SOM網路之學習過程中包含三個重要的程

序，分別為競爭程序(competitive process)、合作程序(cooperative process)及調整程序(adaptive process)。其進行步驟敘述如下：1. 若原始資料空間有 p 個樣本輸入向量，而每個

輸入向量維 m 維度，因此第 p 個樣本向量如下所示：

xp = [xp,1, xp,2, xp,3, ..., xp,m]T (1)

網路神經元權重向量將會有相同維度m，第 j

個神經元之權重向量表示如下：

wj = [wj,1, wj,2, wj,3, ..., wj,m]T j = 1, 2, 3, …, l (2)

2. 因為輸入變數之間尺度不一致，因此輸入變數

需要先經過標準化消除變數間對分群時不同之

權重關係。第 p 個樣本標準化計算如下：

(3)

其中，xp、sp 分別為第 p 個樣本之平均值及標

準偏差。

3. 設定循環次數 n、學習速率η及鄰近區域函數

hj,i(x)。其中，學習速率是優勝單元權重向量之加權值。

4. 初始神經元權重向量wj(0)以隨機選取，因此所有神經元初始權重向量均不相同。

5. 循序從輸入樣本空間選取樣本向量 xp，並計算輸入向量 xp 與權重向量 wj 之歐式距離 dp, j：

(4)

其中，xp,i 為輸入向量 xp 第 i 個分量；wj, i為權重向量 wj 第 i 個分量。

6. 找出歐式距離最小之神經元權重向量，則此神

經元即是優勝單元，調整優勝單元和以其為中

心鄰近區域內之權重向量：

wj(n+1) = wj(n) + η(n)hj,i(x)(n)(x(n) - wj(n)) (5)

其中，wj(n+1)為經調整後神經元 j 新的權重向量；hj,i(x)(n)為鄰近區域函數；η(n)為學習速率。

7. 重複步驟3至6，當所有之輸入向量均與權重向

量比較過，即完成一次循環。直至完成所有循

環次數。

經過上述的演算後，由於競爭式學習與鄰

域關係，使一個一開始毫無秩序的網路，逐漸形

成神經元間的拓樸結構，而神經元的連結權重也

隨著調整而逐漸獲得訓練範例輸入資料的聚類結

果。當網路訓練結束且已收斂時，可以網格表示

網路中所有的神經元，再將原先的輸入樣式輸入

到網路，並將其對應激發的神經元及輸入樣式的

編號或其名稱分別標示在網格中，即可得到特徵

圖(feature map)。被標示的網格元素表示網路中的神經元被某特定的輸入樣式所激發，該元素

則稱為該特定輸入樣式的映像(image)。在特徵

圖中，一個輸入樣式只擁有唯一的映像，但是一

個映像卻可以同時是其他很多不同輸入樣式的

映像。當獲得特徵圖後，可計算每個映像所對應

的輸入樣式數目並將其填入該網格中，該網格圖

即稱之為密度圖(density map)，從密度圖中可得知輸入樣式在特徵圖散佈的情形。輸入樣式間

若有相似的特性，會有坐落在密度圖同一區域的

傾向；反之，則在密度圖上的位置會較為分散。

換句話說，當輸入樣式之間存在某些群集的情況

(n ) (SOM )

x1

x3

xn

x2

圖1　SOM網路架構圖

p

ppp s

xxx

2/1

1

2,,, )(

m

iijipjp wxd

( 41 )

時，其群集的情形會顯示在密度圖。由於上述特

性，SOM網路常被應用在高維度資料的群集分析

中。

2-2 區域頻率分析

2-2.1 線性動差法推估參數

線性動差為機率權重動差(probability-

weighted moment)的線性組合，由於全部參數都在一階的情況下作運算，其結果受極端值之影響

較小，所以其參數推估相較於傳統動差會有較小

之偏估(Hosking, 1990)。r+1階之線性動差 λr+1可由下式表示：

(6)

其中，p*r,k 為係數；βk 為 k 階之機率權重動差。p*r,k

定義為：

(7)

βk 則定義為：

(8)

其中，F 為變數 x 的累積分佈函數(cumulative distribution function, CDF)；x(F)為發生機率為F 之分位數。

由上述方程式可知，前四階之線性動差λ1、λ2、λ3、及λ4可表示為：

λ1 = β0 (9)λ2 = 2β1 - β0 (10)λ3 = 6β2 - 6β1 + 6β0 (11)λ4 = 20β3 - 30β2 - 12β1 - β0 (12)

上述線性動差之意義說明如下：λ1為平均值，亦即從群集中每次抽取一個樣本點的期望值；

λ 2代表群集分佈的尺度(scale)或是分散度(dispersion)，亦即從群集中每次抽取兩個樣本

點的期望距離值，當兩個樣本點分佈相當接近

時，λ2的值較小，反之愈大；λ3代表群集分佈的對稱性，亦即從群集中每次抽取三個樣本點的期

望對稱值，λ3=0就是代表完全對稱之分佈；λ4為從群集中每次抽取四個樣本點的期望峰度值。此

外，Hosking (1990)定義線性動差比(L-moment ratio)以標準化線性動差，表示如下：

(13)

其中，τr 為r階之線性動差比。關於線性動差比之意義說明如下：τ 類似於傳統動差中之變異係數(coefficient of variation)，稱為線性變異係數(L-CV)；τ3 = λ3/λ2為量度偏度(skewness)的指標，稱為線性偏度(L-skewness)；τ4 = λ4/λ2為量度峰度(kurtosis)的指標，稱為線性峰度

(L-kurtosis)。利用觀測站值推估上述線性動差時，須先

將觀測站值依大小排序，假設 yj 為觀測值，且 y1 ≤ y2 ≤ … ≤ ys，則各階線性動差可以下式推估：

(14)

其中，lr 為 λr 之推估值；bk 為 βk 之推估值，定義為：

k = 0, 1, 2, …, s-1 (15)

2-2.2 不一致估量

區域內各站之線性動差應有相當的一致

性，若偏離其他站之線性動差過遠，則表示該站

與其他站之資料不一致，需將之排除，Hosking and Wallis (1997)建議以不一致估量(discor-dancy measure)來篩選區域內資料特性不一致的站。詳細的計算過程說明如下：

第 i 站的不一致估量 Di 定義為：

(16)

其中，ui = [τ(i)

τ(i)

τ(i)]T，代表第 i 站τ(=

l2/l1)、τ3(= l3/

l2)及τ4(= l4/l2)的向量；u 代表該區域τ、τ3 及τ4 之平

均值，定義如下：

(17)

k

r

kkrr p

0

*,1

krk

rk

krkrp 1

*,

dFFFx kk1

0

,4 ,3,,21

2 rrr

k

r

kkrr bpl

0

*,1

j

s

kjk yksss

kjjjs

b1 )()2)(1(

)()2)(1(1

)u(uA)u(u31 1

iT

iiD

sN

ii

sN 1u1u

( 42 )

其中，Ns 代表測站數目。此外，A為樣本共變異數矩陣(sample covariance matrix)，可由下式求得：

(18)

Hosking and Wallis (1997)認為若有一測站之資料與其他站之資料不一致，則其 Di 值會愈大，當 Di 值太大時則建議應將該測站刪除，至於刪除的標準則與區域內之測站數有關。

Hosking and Wallis (1997)針對不同測站數，其不一致估量之建議臨界值(critical value)整理如表1所示：

2-2.3 異質性估量

異質性估量主要是測試同一個均一性區域

內，其測站間線性動差之分散度，Hosking and Wallis (1997)所定義之異質估量Hi (hetero-geneity test statistic)經由下式可得：

, i = 1, 2, 3 (19)

其中，μVi 及σVi 為繁衍資料之Vi 平均值及標準偏差。Vi 之定義如下：

(20)

(21)

(22)

其中，ni、τ(i)、τ(i)及τ(i)分別為測站 i 之紀錄資料長

度及測站 i 之樣本線性動差比；τ(R)、τ(R)及τ(R)則為

區域平均線性動差比。

經由(20)至(22)式計算獲得觀測資料之V1、V2及V3值後，Hosking and Wallis (1997)建議以四參數kappa分佈來模擬，繁衍多組與各站資料

長度相同之資料。若假設kappa分佈為含有 Ns 個測站區域之機率分佈，則一個大數目 Nsim 之實現值將被模擬，每個模擬區域之V 值可分別被求得，當 Nsim 個實現值之平均值 μV 及標準偏差 σV 被求得後，代入(19)式即可求得H1、H2及H3。若該區域計算所得之H 值非常大時，則表示該區域內用於計算之測站資料具有異質性。Hosking and Wallis (1997)建議當H＜1時為「均一性區域」；當H ≥ 2時則為「異質性區域」；若1 ≤ H < 2時則該區域為「可能的異質性區域」。

2-2.4 適合度估量

適合度估量是由理論分佈函數的線性峰度

(L-kurtosis)和該區域內資料的平均線性峰度是否相合適來判斷。Hosking and Wallis (1997)所定義之適合度估量如下：

(23)

其中，τDIST為所選擇的特定機率分佈的線性峰度；τ(R)為區域的平均線性峰度；β4為τ

(R)的偏差值

(bias)，計算方式如下：

(24)

其中，Nsim 為模擬次數，本研究依Hosking and Wallis (1997)的建議取為500組，至於模擬分佈仍取為四參數kappa分佈；τ(R),m為第m次模擬之平均線性峰度。此外，σ4代表τ

(R),m的標準偏差，可

由下式計算求得：

表1　不一致估量之臨界值

區域內測站數 臨界值 區域內測站數 臨界值

5 1.333 10 2.4916 1.648 11 2.6327 1.917 12 2.7578 2.140 13 2.8699 2.329 14 2.971

≧15 3

Ti

N

ii

s

s

N)u)(uu(u

11

1

i

i

V

Vii

VH

)(

21

1

1

2)()(

1

)(

s

s

N

ii

N

i

Rii

n

nV

s

s

N

ii

RiriN

ii

n

nV

1

21

2)(3

)(3

2)()(

12

)()(

s

s

N

ii

N

i

RiRii

n

nV

1

21

1

2)(4

)(4

2)(3

)(3

3

)()(

4

4)(

44RDIST

DISTZ

sim

1

)(4

),(4

4

sim

)(

N

N

m

RmR

( 43 )

(25)

當ZDIST越愈接近0，表示其代表性愈佳。至於所選定的機率分佈函數能否用來代表該區域的

資料特性，Hosking and Wallis (1997)建議的合理標準為─Z DIST─ ≤ 1.64。

2-2.5 機率分佈

Hosking and Wallis (1997)建議利用五種具有三參數的分佈來建立區域的機率分

佈，分別為通用羅吉斯分佈(generalized logistic distribution, GLO)、通用極端值分佈(generalized extreme-value distribution, GEV)、三參數對數常態分佈(three-parameter lognormal distribution, LN3)、皮爾遜第III型分佈(Pearson type Ⅲdistribution, PE3)及通用帕雷托分佈(generalized Pareto distribution, GPA)。本研究亦採用這五種機率分佈來建立區

域流量機率分佈，這五種分佈之累積分佈函數

F(x)及分位數x(F)分別如下所述：(1)通用羅吉斯分佈(GLO)

(26)

(27)

其中，ξ、α、k為參數。(2)通用極端值分佈(GEV)

(28)

(29)

其中，ξ、α、k為參數。(3)三參數對數常態分佈(LN3)

(30)

(31)

其中，ξ、μ、σ為參數；Φ、Φ-1為標準常態分佈之累積函數及其反函數。

(4)皮爾遜第III型分佈(PE3)

(32)

其中，μ、σ、γ為參數；G為不完整gamma函數(incomplete gamma function)，它定義如下：

(33)

此分佈不易以分位數的型態來表示，但參數γ >

0時，x - μ + 2σ/γ為具有參數4/γ2及σγ/2的gamma分佈，因此分位數可表示為：

(34)

其中，Ga-1表具參數4/γ2及σγ/2之gamma累積分佈函數之反函數。

(5)通用帕雷托分佈(GPA)

(35)

(36)

其中，ξ、α、k為參數。上述五種機率分佈之參數均可利用線性動

差法求解，詳細步驟請參閱Hosking and Wallis (1997)。

2-2.6 不同重現期距之年最大設計流量推估

重現期(return period)在水資源工程上為一個常用的設計依據及準則，而其定義為超越

某特定水文量之平均發生時間(Hann, 1977)，而此特定水文量之發生時距稱為重現期距

(recurrence interval)。本研究根據上述定義來探討台灣地區年最大設計流量之頻率分析，採

用傳統年最大系列(annual maximum series)頻率分析的方式，推估不同重現期距 T 年之最大設計流量Q(R)，如下式所示：

21

sim

1

24sim

)(4

),(4

4 1

sim

N

NttN

m

RmR

kxkxF 1

])(1[1

1)(

])11(1[)( kFk

Fx

kxk

xF1

]1[e)(

]ln1[ kFk

Fx

))(ln()( xxF

)(1)( FeFx

24,

21

2

)(x

GxF

x tdtetx

xG0

1

)(1),(

2,4;2)( 2

1 FGaFx

kxkxF1

]1[1)(

]11[ kFk

Fx

( 44 )

(37)

其中，F為年最大設計流量之累積分佈函數。再者，不同重現期距之流量推估亦可表為不同重現

期之函數，如下式所示：

(38)

其中，Q(R)為 T 年重現期距之區域年最大設計流量。

三、實例應用

本研究之應用地區為台灣本島，本節將針

對台灣地區之氣候、水文特性作一概述，包括研

究區域之流量測站及流量資料選取原則，接著將

選取出之水文及地文因子進行資料標準化，再分

別使用SOM網路、華德法與K均值法進行群集分

析，經由以線性動差為基礎的不一致估量及異質

性估量評估同一區域之流量資料是否具一致性及

均一性，並以適合度估量選取各區域之最佳機率

分佈函數。再針對各均一性區域，計算重現期

距分別為5、10、20、50及100年之年最大設計流

量。

3-1 研究區域與資料蒐集

台灣的氣候受到季風、梅雨及颱風等因素

之影響，於春、夏季轉換之際，受滯留鋒徘徊影

響，而造成陰雨連綿之梅雨季；夏、秋季則常有

颱風不定期侵襲本島而帶來暴雨。每逢暴雨期

間，由於暴雨強度極大，再加上台灣地形由中央

山脈阻隔導致河川源短流急，河川流量極易在短

期間內驟增，所帶來暴漲的河川水位對下游沿岸

低窪地區威脅極大。本研究選用台灣地區54個流

量測站為研究對象，其隸屬單位皆為經濟部水利

署，蒐集之流量資料年限以至2008年為原則，因

為有些過短的紀錄不足以代表常年之現象，故選

取之流量測站流量資料長度不得小於20年，總計

共有2,100筆年流量資料。圖2為54個流量測站分

佈示意圖。

3-2 變量選取

GIS是一套處理地理資料及協助空間決策的

電腦系統，可以針對有地理位置的資料進行輸

入、儲存、管理、輸出與展示。近年來由於地理

資訊系統之廣泛運用，使得流域地理資料之管理

效率大為提昇，且流域特性之掌握與流域地文

因子之計算變得更為簡便與迅速。本研究使用

美國ESRI公司(environmental system research institution Inc.)之地理資訊系統軟體進行分析，分析過程所需之輸入資料為台灣地區數值

高程模型(digital terrain model; DTM)資料，解析度為40 m × 40 m，本研究依照Jenson and Domingue (1988)之理論建立數值高程模式，並採用面積門檻值方式擷取河川網路(O'Callaghan and Mark, 1984)，以劃定流域內各子流域之邊

圖2　台灣地區54個流量測站分佈示意圖

)(11

)(RTQF

T

)11(1)(T

FQ RT

( 45 )

界。數值高程模式劃分子流域之演算法，基於流

域中之任一網格最終將流入河川網路之觀點，經

由給定各流域一流徑累積值為代表河川形成之面

積門檻，即可依流向資料決定出流域之河川網路

結構。各流域設定之門檻值為10,000個網格數，

經由河川網路之推求及子流域之劃分，可藉由數

值高程模式進一步求取子流域面積、子流域平均

高程、子流域主流長度、子流域平均坡度等地文

因子，作為後續分析之用，54個測站涵蓋之子流

域分佈如圖3所示。

關於區域頻率分析變量之選取上，由於其

對於群集分析之結果影響甚大，所以選擇之變量

應對於問題有直接且密切之關係，且對於空間屬

性有較強之分辨能力者。依據上面所述，本研究

在分析變量之選取上，選擇年最大尖峰流量、測

站之UTM座標、測站高程、子流域面積、子流域

主流長度、子流域平均坡度及子流域平均高程

等共計8個因子，作為區域頻率分析時之主要變

量。

四、結果與討論

4-1 群集分析

4-1.1 資料正規化

本研究所採用之輸入因子分為兩種，分別

為測站因子及地文因子。其中，測站因子有流

量站之年最大尖峰流量、流量測站之UTM座標、

測站高程；地文因子則有子流域之面積、主流長

度、平均坡度及平均高程，共計有8個因子作為

SOM網路、華德法及K均值法等群集分析之輸入

項。然而，在群集分析過程中，由於不同變量一

般都有不同之因次或數量級單位，為了使不同因

次及數量級單位之數據能放在一起做比較，通常

需要對於這些數據進行轉換處理。本研究使用正

規化轉換對數據資料進行處理，正規化轉換是從

數據矩陣的每一個變量中找出最大值和最小值，

然後將每一個原始數據減去該變量中的最小值，

再除以最大值和最小值的差，就得到正規化數

據。正規化轉換公式可以表示如下：

(39)

其中，x'ij為經過正規化後之數值。由上式可知，資料中最大數據變為1，最小數據變為0，其餘數

據則介於0與1之間。

4-1.2 SOM網路分群

將資料進行正規化後，便將上一節所得之8

個正規化因子作為SOM網路之輸入項，利用SOM網

路依據輸入資料的內在特性結構，將其群集關係

映射於二維密度圖上。當應用SOM網路進行群集

分析時，通常一開始會先嘗試使用較小尺度之網

路架構，若其二維映射圖可明確分出群集即接受

其分群結果；否則就應再嘗試較大尺度之網路進

行群集分析，直到產生可明確分群之結果為止。

圖3　台灣地區54流量測站涵蓋之子流域分佈圖

mjni

xx

xxx

ijniijni

ijniijij ,,2,1

,,2,1}{min}{max

}{min

11

1

( 46 )

本研究根據上述方法找出分類邊界最為清楚之網

路，經過60,500個迴圈計算後，SOM網路被架構

完成，圖4為11 × 11之二維密度圖。由密度圖可知，流量測站可被分成5個區域，亦即全台灣54

個流量測站可被分成5個群集。圖5則為各群集之

流量測站位置分佈示意圖。由圖5可得知，經由

SOM網路所得之5個分群，就地理位置而言均相當

集中。

區域頻率分析之首要步驟為判斷區域內測

站資料是否具有一致性及均一性，本研究以線性

動差(L-moment)為基礎的不一致及異質性估量來檢定所劃分區域內資料的一致性及均一性。表

2為經由SOM網路所得5個群集之不一致估量及異

質性估量結果。依據Hosking and Wallis (1997)所建議之標準(詳表1)，以不一致估量評估這5個

群集，其中，第一群及第三群皆有14個測站，所

以其 D 值的臨界值為2.971；第二群及第四群分別有4個及5個測站，其 D 值的臨界值為1.333；第五群有17個測站，其 D 值的臨界值為3，由表2可知所有群集的 D 值均小於臨界值，表示這5個群集皆具有一致性。再者，依據Hosking and Wallis (1997)所建議標準，以異質性估量評估這5個群集，其 H 值均小於1，所以表示這5個群集皆具均一性。

4-1.3 華德法分群

本研究將8個因子當作輸入向量，利用華德

法進行分群。為了便於與SOM網路作比較，本研

究亦將流量測站分成5個群集，圖6為華德法所

得群集之流量測站位置分佈示意圖。由圖6可得

知，第一群分佈於東南部；第二群則分佈於東部

及西部；第三群分佈於北部；第四群分佈於東北

部；第五群分佈於西南部。由圖中可發現，第三

群散佈於東部及西部有地理上分散的現象。

表3為華德法所得群集之不一致估量及異質

性估量演算結果。首先，以不一致估量評估這五

個群集，由表3可知，這五群內各測站之不一致

估量 D 值均小於臨界值，表示這五個群集均具有一致性。接著再以異質性估量評估這五個群集，

由表3之異質性估量結果可知，第一群及第二群

之H值均小於1，表示這兩個群集皆為均一性；第

三群的 H1 及 H2 值、第四群之

H3 值則介於1及2之間，表示這兩個群集有異質性之可能；至於第五

圖4　SOM網路所得二維密度圖

200000 250000 300000 350000UTM_x(m)

2450000

2500000

2550000

2600000

2650000

2700000

2750000

UTM

_y(m

)

cluster 1 cluster 2 cluster 3 cluster 4 cluster 5

1 2 3 4 5

圖5　各群集之測站位置分佈圖(SOM網路)

表2　不一致估量及異質性估量測試結果(SOM網路)

區域 編號

不一致 估量D

異質性估量 HH1 H2 H3

1 0.35~2.6 0.50 0.43 0.052 1.00 0.46 0.28 0.303 0.23~2.53 0.22 -1.46 -1.294 0.86~1.29 0.14 -0.38 0.045 0.26~2.5 0.07 0.58 0.56

( 47 )

群之 H1 值則大於2，表示第五群為異質性。綜合上述結果可得知，以華德法所得之分群結果，經

由不一致估量及異質性估量等檢測，發現其分群

結果不佳。

4-1.4 K均值法分群

為了與SOM網路之分群結果作比較，本研究

又以K均值法進行群集分析，將流量測站分成5個

群集，圖7為K均值法所得群集之流量測站位置分

佈示意圖。由圖7可得知，第一群分佈於北部；

第二群由北部延伸到中部；第三群分散於東部沿

海三個測站和西部兩個測站；第四群則集中於西

南部；第五群則散佈於東部及中央山脈地區。由

上述結果可得知，以K均值法所得之分群在地理

位置上並不集中。

表4為K均值法所得群集之不一致估量及異

質性估量演算結果。由表4可發現，第一、二、

三及第四群內各測站之不一致估量 D 值均小於標準值，表示這四個群集均具有一致性；而第五群

之 D 值均大於標準值3，表示該群集內之測站具有不一致性，需將該分群內之部分測站移除或併

入其他群集。接著，再以異質性估量評估這五個

群集，由表4之結果可知，第一及第三群之 H 值小於1，表示這兩個群集均為均一性；第二群之

H1、H3 的值和第五群之 H3 值則介於1及2之間，

表示這兩個群集有異質性之可能；至於第二群之

H2 值及第四群之 H1 值皆大於2，表示該兩群具有

異質性。綜合上述結果可得知，以K均值法所得

之群集，經由不一致估量及異質性估量等檢測，

發現其分群結果不佳。

200000 250000 300000 350000UTM_x(m)

2450000

2500000

2550000

2600000

2650000

2700000

2750000

UTM

_y(m

)

cluster 1 cluster 2 cluster 3 cluster 4 cluster 5

1 2 3 4 5

圖6　各群集之測站位置分佈圖(華德法)

表3　不一致估量及異質性估量演算結果(華德法)

區域 編號

不一致 估量D

異質性估量 HH1 H2 H3

1 0.17~1.83 -1.31 -0.56 -0.182 0.15~1.61 0.07 -1.13 -1.393 0.35~2.41 1.03 1.02 0.564 0.21~2.52 0.14 0.93 1.115 0.16~2.13 2.17 0.01 -0.25

200000 250000 300000 350000UTM_x(m)

2450000

2500000

2550000

2600000

2650000

2700000

2750000

UTM

_y(m

)

cluster 1 cluster 2 cluster 3 cluster 4 cluster 5

1 2 3 4 5

圖7　各群集之測站位置分佈圖(K均值法)

表4　不一致估量及異質性估量測試結果(K均值法)

區域 編號

不一致 估量D

異質性估量 HH1 H2 H3

1 0.76~1.29 -0.58 -0.65 -0.72 0.35~1.65 1.84 2.01 1.673 0.47~1.33 0.37 -0.66 -1.184 0.16~2.13 2.17 0.01 -0.255 0.31~3.42 0.51 0.86 1.00

( 48 )

由上述結果可以得知三種群集分析方法

中，SOM網路不論在不一致性或是異質性估量

上，皆較其他兩種群集分析方法表現為佳，因此

本研究採用SOM網路之分群結果進行區域洪水頻

率分析。圖8為以SOM網路分群的各均一性區域子

流域圖，其分群結果在地理位置上明顯較集中並

無分散的現象。

4-2 區域頻率分析

4-2.1 適合度估量

本研究依據Hosking and Wallis (1997)所建議之標準(詳(23)式)，以適合度估量來判定五種

機率分佈用於各區域年最大設計洪水頻率分析之

適用性。表5為5個均一性區域之適合度估量計

算結果，由表5之結果可知，在判定標準為|Z| ≤ 1.64之條件下，各區域能接受的機率分佈不盡相同。其中，第1及第2均一性區域所適合的機率分

佈為GLO、GEV及LN3等三種；第3個均一性區域適

合的機率分佈為LN3及PE3等兩種；第4個均一性

區域適合的機率分佈為GLO、GEV、LN3及PE3等四

種；第5個均一性區域為GEV、LN3及PE3等三種。

決定各區域所適合的機率分佈後，本研究

選擇符合|Z| ≤ 1.64，且|Z|值取最小的機率分佈作為該區域之最佳機率分佈。其中，屬於GLO之機

率分佈為第1均一性區域(|Z|=0.11)及第2均一性區域(|Z|=0.03)，共計兩個區域；屬於GEV之機率分佈為第4均一性區域(|Z|=0.15)、第5均一性區域(|Z|=0.02)；屬於PE3之機率分佈為第3均一性區域(|Z|=0.23)。經由上述結果，可得知各區域最適合之機率分佈函數，並可計算出各自之機率

分佈參數，所有區域所選用的機率分佈函數及其

參數整理如表6所示。

各均一性區域之最佳年最大設計流量累積

分佈函數F(x)及分位數x(F)分別整理如下：1.第一區(GLO)

(40)

(41)

2.第二區(GLO)

(42)

(43)

圖8　SOM網路劃分之各均一性區域子流域圖

表5　各均一性區域之適合度估量計算結果

區域編號 |Z|GLO GEV LN3 PE3 GPA

1 0.11 -0.64 -1.52 -3.03 -2.882 0.03 -0.51 -1.01 -1.85 -2.023 3.85 1.71 1.05 -0.23 -3.324 1.35 -0.15 -0.27 -0.70 -3.395 2.40 -0.02 -0.4 -1.34 -5.41

表6　各均一性區域所選用之機率分佈函數及其參數

區域編號 機率分佈

種類

參數值

1 GLO ξ = 0.78 α = 0.34 κ = -0.342 GLO ξ = 0.80 α = 0.35 κ = -0.323 PE3 μ = 1.00 σ = 0.67 γ = 1.324 GEV ξ = 0.75 α = 0.44 κ = 0.025 GEV ξ = 0.70 α = 0.50 κ = -0.02

2.91550.20951.0147911x

xF

]1)-1(-0.9854[1-0.779)( 0.343-F

Fx

3.17460.28650.897411

xxF

]1)-1(-1.1143[1-0.795)( 0.315-F

Fx

( 49 )

3.第三區(PE3)

F(x) = G(2.2733x + 0.02585, 2.2992) (44)

x(F) = 0.0114 + Ga-1[F; 2.2992, 0.4399] (45)

其中，G為不完整gamma函數，它定義如(33)式，而Ga-1 表具參數2.2992及0.4399之gamma累積分佈函數之反函數。

4.第四區(GEV)

F(x) = e-(0.0360x+1.0270)62.5

(46)

x(F) = 0.751 + 27.75[1 - (lnF)0.016] (47)

5.第五區(GEV)

F(x) = e-(0.0357x+0.9750)-55.56

(48)

x(F) = 0.7 - 28[1 - (lnF)-0.018] (49)

4-2.2 不同重現期距之設計流量推估

依照(39)式及(40)式之定義，各均一性區

域之重現期距 T 與年最大設計流量 Q(R) 可以分別表示為：

1.第一區(GLO)

(50)

(51)

2.第二區(GLO)

(52)

(53)

3.第三區(PE3)

(54)

(55)

其中，Ga-1 表具參數2.2992及0.4399之gamma累積分佈函數之反函數。

4.第四區(GEV)

(56)

(57)

5.第五區(GEV)

(58)

(59)

關於這五個均一性區域，重現期距分別為

5、10、20、50及100年之年最大設計流量則整理

於表7。此外，各均一性區域不同重現期距年最

大設計流量圖則繪製如圖9所示。由圖9可看出各

區域之差異性，五個區域中以第一區、第二區

及第四區不同重現期距的年最大設計流量較為接

近；第五區之年最大設計流量最大；第一區的年

最大設計流量則最小。探究其原因，由於第五區

位於台灣東部地區，可能因為台灣東部山區之河

道坡度較陡、集流面積較大，加上測站分佈位置

較接近下游地區，故造成設計流量較大之結果。

第一區則位於台灣北部地區，探究其流量最小之

2.9155)( 0.2095)(1.0147911-1

1

RTQ

T

]1)-1-

(-0.9854[1-0.779 0.343-TTQ(R)T

3.1746)( 0.2865)(0.897411-1

1

RTQ

T

]1)-1-

(-1.1143[1-0.795 0.315-TTQ(R)T

2.2992), 0.02585(2.2733-11

(R)TQG

T

0.4399] , 2.2992 ;1-[10.0114 1-T

GaQ(R)T

62.51.0270)(-0.0360e-1

1(R)TQ

T

]])1-(-ln[1-27.75[10.751 0.016T

Q(R)T

55.560.9750)(0.0357e-1

1(R)TQ

T

]])1-(-ln[1-28[1-0.7 0.018-T

Q(R)T

表7　各均一性區域不同重現期距之年最大設計流量(單位：cms)

區域編號 重現期距

5年 10年 20年 50年 100年1 518.78 710.13 940.58 1,331.92 1,716.502 570.39 773.79 1,012.90 1,409.95 1,791.163 1,089.14 1,394.95 1,683.82 2,050.79 2,320.504 830.77 1,021.21 1,202.22 1,432.76 1,603.755 1,433.01 1,814.95 2,187.12 2,676.51 3,048.69

( 50 )

原因，可能是因為台灣北部地勢較平緩且集流面

積較小，造成集流較慢，且第一區的流量測站分

佈較高，故造成其設計流量較小。

五、結論與建議

5-1 結論

(1) 經由GIS選取出子流域面積、主流長度、平均

高程、平均坡度等四個地文因子，再加上各

流量測站之UTM座標與高程等測站因子，共計

8個因子作為SOM網路、華德法及K均值法等群

集分析之輸入項，再以不一致估量及異質性

估量針對上述三種群集分析方法之結果做評

估，結果顯示以SOM網路之分群效果最佳。

(2) 本研究使用SOM網路對台灣54個流量測站進行

均一性區域劃分，經由11×11之密度圖可發

現這些流量測站可被劃分成5個群集。

(3) 由分析結果得知，群集分析若加入測站之UTM

座標及高程作為分析變量時，將可以增加流

量測站之區域化特性，在分群結果之空間分

佈上亦較具群聚性。

(4) 本研究利用適合度估量決定由SOM網路劃分之

五個群集之最佳年最大設計流量機率分佈函

數，其中第一群及第二群為通用羅吉斯分佈

(GLO)；第三群為皮爾遜第III型分佈(PE3)；

第四群及第五群為通用極端值分佈(GEV)。

(5) 由區域頻率分析之結果發現，第五區之年最

大設計流量最大；第一區的年最大設計流量

則最小。探究其原因，可能因為第五區位於

台灣東部地區，此區域之河道坡度較陡、集

流面積較大，加上測站分佈位置較接近下游

地區，因此造成有較大設計流量之結果。第

一區則位於台灣北部地區，此區域之地勢較

平緩且集流面積較小，造成集流較慢，且流

量測站之地理位置較高，故造成有較小設計

流量之結果。

(6) 若有一未設測站地點，欲推估其某特定重現

期距下之設計流量，可根據未設測站地點所

在位置，經由均一性區域圖(圖8)查出其所歸

屬之區域，再計算其不同重現期距下之設計

流量即可，將可節省許多推估運算的時間。

5-2 建議

(1) 變量選擇會直接關係群集分析結果，本研究

係以子流域面積、主流長度、平均高程與平

均坡度等地文因子作為群集分析之輸入因

子，進行群及分析及均一性區域之劃分。未

來建議若能進一步考慮其他影響年最大設計

流量之相關變量因子(例如：雨量)，並藉由

統計方法(例如：主成分分析)選定出重要變

量，再進行群集分析，應可提高對設計流量

之估算精確度。

(2) 在未設測站集水區中，如何推估尖峰設計流

量為水資源規劃設計之重要課題。建議日後

可以使用複迴歸方法，針對台灣地區5個均一

性區域，分別建立區域內子流域之地文因子

(面積、主流長度、平均高程及平均坡度等)

與設計流量間的迴歸關係式，以提供日後水

利工程規劃設計時之使用。

參　考　文　獻

1. 林柏強，(2007)，「無紀錄地區流量頻率分析」，台灣海洋大學河海工程研究所碩士論文。

2. 洪毓婷，(2009)，「區域頻率分析均一性區域劃分之研究」，嘉義大學土木與水資源工程研究所碩士

論文。

3. 陳儒賢、林典蔚、陳清田，(2008)，「SOM-BPN模式於地下水水位預測之研究」，第十七屆水利工

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250

750

1,250

1,750

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2,750

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圖9　各均一性區域不同重現期距年最大設計流量圖

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收稿日期：民國 99 年 08 月 27 日

修正日期：民國 99 年 11 月 10 日

接受日期：民國 99 年 11 月 19 日