Cocientes Notables

4° SECUNDARIA

Son divisiones de la forma:

¿Qué son cocientes notables?

; n Z n 2

Son divisiones exactas, es decir, el residuo es cero.

Los cocientes notables son divisiones algebraicas en las cuales el cociente se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de división. Los cocientes notables son divisiones algebraicas en las cuales el cociente se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de división.

xn ± yn

x ± y

Cociente de la forma

Calculamos la división por la forma habitual:

x2 y2 x + y x y

Entonces:

x2 y2

x + y

x2 + xy + xy y2 xy+ y2

4x2 616x4 364x2+ 6

(4x2)2 (6)2

4x2+ 6 Obtenemos el cociente.

x2 y2

x + y x y

Por productos notables:

Aplicamos:

Expresamos en forma de cociente notable.

x2 – y2 = (x + y) (x y)

Diferencia de cuadrados.

Cociente de la forma

Calculamos la división por la forma habitual:

x2 y2 x y x + yx2 + xy

+ xy y2 xy+ y2

Entonces:

Aplicamos:

9x6 493x3 7

(3x2)2 (7)2

3x2 7 Expresamos en forma de cociente notable.

3x2 + 7 Obtenemos el cociente.

x2 y2

x y

Por productos notables:

x2 – y2 = (x y) (x + y)

Diferencia de cuadrados.

x2 y2

x - y x + y

x3 + x2y + x2y x2y + xy2

+ xy2 y3

xy2 + y3

Calculamos la división por la forma habitual:

x3 y3 x y x2 + xy + y2

Aplicamos:

8 x3

2 x (2)3 (x)3

2 x 22 + (2)(x) + x2 4 + 2x + x2 Obtenemos el cociente.

Expresamos en forma de cociente notable.

El segundo término es + (2)(x) = +2x.

Cociente de la forma x3 y3

x y

Por productos notables:

x3 – y3 = (x y)(x2 + xy + y2)

Diferencia de cubos

Entonces: x3 y3

x y (x2 + xy + y2)

x3 x2y x2y + x2y + xy2

+ xy2+ y3

xy2 y3

Calculamos la división por la forma habitual:

x3 + y3 x + y x2 xy + y2

Aplicamos:

x6+125x2 + 5

(x2)3+ (5)3

x2+5 (x2)2 (x2)(5) + 52 x4 5x2 + 25 Obtenemos el cociente.

Expresamos en forma de cociente notable.

El segundo término es (x2)(5) = 5x2 .

Cociente de la forma x3 y3

x + y

Por productos notables:

x3 y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

Diferencia de cubos

Entonces:x3 y3

x + y (x2 xy + y2)

En resumen:

Según la forma de la división, los casos de cocientes notables son:

Caso 1 Cuando n es par o impar El exponente del primer término disminuye uno en

uno a partir de (n-1) hasta ser 0 inclusive. xn yn

x y

El exponente del segundo término irá aumentado de uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive.

Caso 2 Cuando n es par:

xn yn

x + y

Caso 3 Cuando n es impar:

xn + yn

x + y

Cuando el divisor es una suma de dos términos, los signos de los términos del cociente se alternan ( +, , +, , …)

Cuando el divisor es una diferencia, todos los términos son positivos.

xn -1y0 xn -2y1+ +

xn -3y2 + xn - 4y3 +…+ x0yn -1

xn-1y0 xn-2y1 + xn-3y2 xn-4y3 + … x0yn-1

xn-1y0 xn-2y1 + xn-3y2 xn-4y3 + … + x0yn-1

Actividades

Identifica los cocientes notables y enciérralos:

a7 + b7

a b x12 y18

x2 + y3 a3 b3

a b 100a4 49 10 a2 - 7

p4 + q4

p q 36a4 + 64

6a2 8 x9 + 64

x3+ 4

Explica a un compañero por qué los otros no son cocientes notables.

El cociente tiene 5 términos.

Algunos ejemplos:

p5-1 q 0 +p5-2 q1+p5-3q2+p5-4q3+p5-5q4

p4 + p3q1 + p2q2 + p1q3 + q4

16x4 625y8

2x +5y2

a)

c)

p5 q5

p y

(2x)4 (5y2)4

2x +5y2

8x3 20x2y2 + 50x1y4 125y6

(2x)3 (5y2)0 (2x)2 (5y2)1+ (2x)1(5y2)2 (2x)0(5y2)3

El cociente tiene 4 términos.

b)

a7 + b7

a + b a7-1 b 0 a7-2 b1 + a7-3b2 a7-4b3 + a7-5b4 a7-6b5 + a7-7b6

El cociente tiene 6 términos.a6 a5 b1+ a4b2 a3b3 + a2b4 a1b5 + b6

Si xa y b es un cociente notable, xp yq se cumple: n ; n es el número de elementos

ab

pq

xa + y b no es un cociente notable, porque: x y xn+ y n xn-1+ xn-2y1 + xn-3y2 +… + yn-1+2yn

x yx y