CÂMPURILE MAGNETICEîn maşini electrice

Elemente de bază

Solenatia in masini electrice

Câmpul magnetic în maşini electrice poate fi produs de:

- înfăşurări parcurse de curenţi,- magneţi permanenţi

ΦΦΦΦ⋅ℜ=⋅= iwF efSolenaţia :

maxIwF efm ⋅=

cMPm HlF ⋅=

wef numărul de spire efective ale înfăşurării,i curentul prin înfăşurare

Valoarea maximă în cazul înfăşurării:

Valoarea maximă a solenaţiei magnetului permanent

lMP lungimea magnetului permanentHc câmpul coercitiv al magnetului.

-câmp util, traversează întrefierul, înlănţuieambele înfăşurări ale maşinii,

Clasificare :

Clasificare

Liniile câmpului util.

- câmp de dispersie sau de scăpări, care înlănţuieo singură înfăşurare

Clasificare

- câmp de dispersie sau de scăpări,

În crestăturăfără curent

δ bc

In crestătură - Φc

având curent

Câmpul de scăpăridintre poli

Câmpul magnetic de scăpări

În întrefier la capeteledinţilor- Φd

Dispersia ambelor armături

Determinarea solenaţiei

Solenaţia variază : În spaţiu dealungul întrefierului sau infereastra transformatorului

Datorită repartizării înfaşurărilor şi mişcării armăturilor

În timpDatorită variatiei în timp a curenţilor şi a mişcării armăturilor

Determinarea solenaţiei:

Pe cale grafică

Pe cale analitică

Pe baza legii circuitului magnetic

Determinarea solenaţieiIn cazul ferestrei transformatorului

Bobinaj cilindric

c12 a2a1

Ddx x

hbN2N1

N⋅iN2⋅i2

Bobinaj cu q galeţi alternaţi simetric .

hg2

hg2/2

hg1

a

cδy

cδy

N/q/2

N/q

N/q/2

N/q/2

N/q/2

N/q/2 i⋅N/q/2

Determinarea grafică a solenaţiei

τ<<cb

Nc i

bc

În cazul unei crestăturiÎn cazul unui pol

ΣNcj ij

F

x xNci x

Solenaţia variază numai în dreptul zonelor cuconductoare parcurse de curenţi.

bc

bpa

Ni

pba <<

α = 0

Axabobina

x = 0

Solenaţia produsă de o bobină

iNhh c ⋅=+ 21

o bobină produce o solenaţie dreptunghiulară.

F

xy

τ τ

h2

h1 Nci

( )yhyh −⋅⋅=⋅ τ221

α

xτπα =

Unghi electric

Nc numărul conductoarelor în latura de bobină

α

Fy

τ τ

Solenaţia produsă de o bobină repartizată

h1

h2 α = 0

αb

αb

O bobină repartizată produce o solenaţie ce variază în trepte

dreptunghiulartrapezoidal

Trapezoidal in trepte

d

qd

qx

q

F N S

d

qd

qx

q

F N S

Reprezentarea în spaţiu a solenaţiei.Tipuri de solenatii

xτπα =

Prin unghi electric

Reprezentarea în spaţiu a solenaţiei

AxastatorAxa

rotor

x

M

α

x = 0 axa bobinei

Cum se poate defini poziţia punctului Mfaţă de bobina statorică ?

Prin distanţa x

Prin unghiul geometric αg

Descompunerea solenaţiei

Zk,1+2k= ∈ν

Descompunerea solenaţiei dreptunghiulare în solenaţii sinusiodale.

Armonici spaţiale

ν =1

ν =7 ν =3

F

Fm

x

τSolenaţia maximă :

maxINF cm ⋅=

Expresia solenaţieifundamentala

;ixI

Fp=F mn

1= maxcos

τπνν

ν∑

Ordinul armonicilor spaţiale

Zk,1+2k=;ixI

Fp=F m

n

=1

∈∑ ντπνν

ν max

cos

( )νπνπ

νπ

νν

νν

bmkmbk

bkm

kp

Fp2

Fk4)(-1

=Ip2kw14)(-1=F

21

max

−=⋅

=

⋅

⋅Unde amplitudinea solenaţiei armonică ν :

Expresia analitică a solenaţieiExpresia solenaţiei

Direct proporţional cu factorul de bobinaj şi invers proporţional cu ordinul armonicii

Expresia armonicii spaţiale a solenaţiei de ordinul ν;ix

IF=F m

maxcos

ντπ

νν

Expresia analitică a armonicilor solenaţiei

112

bm

m kp

FFπ

=

32 3

3bm

mk

pFF

π−=

52 5

5bm

mk

pFF

π=

Armonica fundamentală

Armonica de ordinul trei

Armonica de ordinul cinci

( )νπν

νbmk

mk

pF=F

21−amplitudinea solenaţiei armonică ν

νττν =

Pasul polar

pp ⋅=νν

Numărul de perechi de poli

Factorul de bobinaj

νννν iyqb kkkk ⋅⋅=Factorul de bobinaj al armonicii:

Numărul de spire efective : νbkw ⋅

( )2

sin

2sin

αν

ανν

⋅⋅

⋅

=q

qkq

2

2sin

πτ

ν

πτ

νν

⋅

⋅

= c

c

ki

Factorul de zonă

⋅⋅=

2sin 1

πνν yky

Factorul de înclinare

Factorul de scurtare

Reducerea armonicilor superioare

( ) ( ) 0sin2

1sin2

1sin ≡⋅=

−=

⋅

−⋅= ππνπν

ννν kky

Prin alegerea lui : q, y1, c, kbυ devine zero sau foarte mic

Prin alegerea corespunzătoare a tipului şi formei înfăşurării sepoate realiza o tensiune magnetică cu un conţinut mic dearmonici deci cu repartizare spaţială apropiată de o sinusoidă.

⋅⋅=

2sin 1

πνν ykyFactorul de scurtare

Exemplu

111 ⟨

−=ν

νydacă

00076

7771 ==== mby Fkky

Influienţa înfăşurării asupra formei solenaţiei.

32 π⋅

max33 3cos

a

aama I

iFF α⋅=

max3

max33 3cos

323cos

b

bbm

b

bbmb I

iFI

iFF απα ⋅=

+⋅=

Înfăşurare trifazată simetrică Axele fazelor sunt decalate cu:

max3

max33 3cos

323cos

c

ccm

c

ccmc I

iFI

iFF απα ⋅=

−⋅=

)( 0123

4

max

33 ≡++

⋅−= cba

b iiiIp

wkFπ

Înfăşurarea trifazată simetrică conectată în stea nu produce solenaţie armonicăspaţială de ordinul trei .

- au aceeaşi formă, la maşini cu întrefier constant;

- au forme diferite, la maşini cu poli aparenţi.

Insumare grafică şi analitică.

θ

F2

τd d d d

x

F1

Solenaţia rezultantă

Însumarea solenaţiilor. 2 cazuri

Însumarea grafică a solenaţiilor la maşini cu întrefier constant

Două solenaţii decalate în spaţiu cu unghiul θ

Însumarea analitică a solenaţiilor la maşini cu întrefierconstant

+⋅+

⋅= θ

τπ

τπ xFxFF coscos 21

+= γτπ xFF m cos

( )θcos2 212

22

1 ⋅⋅⋅++= FFFFFm

xF2

Se descompun solenaţiile în armonici sinusoidale. Dacă se consideră numaifundamentala :

( ) ( )( )θ

θγcos

sin

21

2⋅+

⋅=FF

Ftgamplitudinea

Unghiul de decalaj faţă de F1

F1

d d

τ

d dγ

F

θ

0

Însumarea grafică a solenaţiilor.Forme diferite

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗⊙ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙⊙

F

FAFS

F

S

R

Pentru o maşină cu poli aparenţi şi înfăşurare închisă pe rotor

⊙⊙⊙⊗⊗⊗⊗⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗a z b x c y a zy

F

FR

FS

θ

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗S

F

Însumarea grafică a solenaţiilorPentru o maşină cu poli aparenţi şi înfăşurare trifazată pe rotor

Însumarea grafică a solenaţiilor

Concluzii.

Dacă solenaţiile au aceeaşi formă.

Solenaţia rezultantă are aceaşi formă

Dacă solenaţiile au forme diferite

Solenaţia rezultantă are forma diferită ce depinde de decalajul dintre ele.

Această nu permite studiul fenomenelor

Este necesară efectuarea unor simplificări

Se consideră armonicile fundamentale ale solenatiilor

Se descompune solenatiile după două axe

Neajunsuri

Soluţii

Însumarea grafică a solenaţiilor.

F

FAFS

FAq

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗⊙ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙⊙

S

R

Se descompune solenatia de reactie

θ

FAd

Componentele solenatiei de reactie

( ) ;+=K iid π

παπα ⋅⋅ sin ( )π

παπαπα

⋅⋅

232+-

=Kiii

q

cossin

F

FAFS

FAq

θ

FAd

;k2pF

2m4

21=F d

AAd θ

πcos⋅ θ

πk

2pF

2m4

21=F q

AAq sin⋅

τα tp

ib

=

Componentele solenatiei de reactie

F

FR

FS

θ

FRq

F

FRd

FS

FRd

dd dq q q

q Fdq qdd d

Componentele solenatiei de reactie

Concluzii :

Componenta longitudinală a solenaţiei de reacţie variază dreptunghiular

Nu modifică forma solenaţiei inductoare ci numai valoarea

Componenta transversală a solenaţiei de reacţie îşi păstrează forma devariaţie

Deformează solenaţia rezultantă sub talpa polului

F

FRθ

⊙⊙⊙⊗⊗⊗⊗⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗a z b x c y a zy

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗S

Însumarea grafică a solenaţiilor

d dd

q q qFSFA

FAdFAq

Considerând armonicile fundamentale

Solenaţia rezultantă se calculează separat pentru cele două axe

AdSd FFF +=

θcos22

12

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= dbAAAA

bSSSS

d kkIwmkIwmF

θsin22

1⋅⋅⋅⋅= qbAAA

Aq kkIwmF

Descompunerea solenaţiei

Se adună solenaţia inductoare cu solenaţia de reacţie longitudinalăde reacţie

Aqq FF =Pe axa transversală este numai solenaţia de reacţie transversală

Relaţia solenaţie-câmp

Relaţia solenaţie-câmp :

pc

FBδ

µδ ⋅

=2

0

Bδ - inducţia în întrefier,

Fp - solenaţia unei perechi de poli,

δc - întrefier de calcul.

Csc kk ⋅⋅= δδ

ks - factor de saturaţie,

kC - factorul lui Carter,

δ - întrefier real,

Csc kk ⋅⋅= δδδ - întrefier real,

Întrefierul de calcul

δFF

k ps =

δ

δγ0

20

5b

b

+

=δγττ

idi

diciK

−=

cRcSc KKK =

ks - factor de saturaţie,

kC - factorul lui Carter,dependent de:• deschiderea crestăturii, b0

• pasul dentar , τd şi

• întrefierul real, δ.

Se calculează pentruambele armături

Câmpul magnetic la maşini cu întrefier variabil

••••••••⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗• ⊗

q d qq d

FABA

•••• ••••⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ •⊗

q d qq dθ = 0

FA

BA

θ

pc

FBδ

µδ ⋅

=2

0

Câmpul magnetic la maşini cu întrefier variabil

F

⊙⊙⊙⊗⊗⊗⊗⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊙ ⊙ ⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗a z b x c y a zy

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗Sd dd

q q q

FS

FAd

Câmpul magnetic al solenaţiei longitudinale

Fd

BdBd1

Câmpul magnetic la maşini cu întrefier variabil

Fq BδBδ1

dqdqdqdq

x

Câmpul magnetic al solenaţiei transversale

Câmpul magnetic este determinat de solenaţia rezultantă.aDacă întrefierul este constant, atunci forma de variaţie ainducţiei magnetice de-a lungul întrefierului coincide cuforma tensiunii magnetice rezultante.aDacă întrefierul este variabil, atunci forma de variaţie ainducţiei magnetice poate diferi de forma de variaţie atensiunii magnetice rezultante

xB+xB=B qmdm τπ

τπ sincos

unde Bdm si Bqm sunt valorile maxime ale inducţiei pe axapolului respectiv pe axa neutră a maşinii; fiind determinate deFd , respectiv de Fq .

Câmpul magnetic rezultant

τ Bδ’

Bδ

Bδ

Bδ1

τ

δδmax

Bδ

Bδ1

τ

Armonici dentare

pNcr

d =ν

Modificarea variaţiei inducţiei din cauza crestăturilor şi apachetelor de tole.

lpLs

δ

LR

δcsPachet de tole

Ncr număr de crestături

Câmp constant xB=B m τπcos⋅

Câmp pulsator

Tipuri de câmpuri magnetice

txB=B Sm ωτπ sincos ⋅

⋅

B d d

x

q q

ωt = 0,π

ωt = π/2

ωt = -π/2

B d d

xx

x

Reprezentarea mărimilor sinusoidale.

12

3

24

45

678910

11121314

1516

17 18 19 2021

2223

23

45

67

89

1011

121

1314

1516

1718

1920

2122

2324

1Re

Im

Producerea câmpului învârtitor pe cale electrică

]-t[]-x[B=B Smm

1=βωα

τπ

λλλλ

sincos∑Axa ref.

SS m

πα 2=

( )Smπλν 2

−

Axa rotor

α Sν

ν

Uν

UR2

λ

Uλ

U2U1

θ

αS2

αSλ

UR1

αR2

Înfăşurări simetrice

Unghiul dintre două înfăşurăriconsecutive

În stator

În rotor

Unghiul dintre două înfăşurărioarecare

RR m

πα 2=

Dacă: înfăsurările sunt simetrice;

( ) λλλααλ bbbS kwkwkw ====− K2211;1

şi sistemul de curenţi este simetric;

λλ βββ ====== KK 2121 ;mmm BBB

x]-t[B2m=B Sm τ

πωλ sin⋅

feld_dreh.lnk

Câmp învârtitor

]1)-(-t[]1)-(-x[B=B SSSmm

1=βλωαλ

τπ

λλ

sincos∑

β

1

3λ

m2

Câmp învârtitor

B d d

x

q qωt = π/2

ωt = -π/2 x

x]-t[B2m=B Sm τ

πωλ sin⋅

Producerea câmpului învârtitor pe cale mecanică

θ

λ

Producerea câmpului învârtitor pe cale mecanică

Rm xB=Bτπcos⋅

SR xx −=πτθ t⋅=ωθ

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗S

x

F

xR

xs

θ

⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗S ⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗S

−⋅= Sm xtBB

τπωcos

• amplitudinea câmpului este constantă

• viteza de deplasare v, viteza unghiulară de rotaţie Ω sauviteza de rotaţie n este:

[r/s]p

=n2=[r/s]pf=

DV=n

[m/s]fpD=f2==V

SS

SSS

ωππ

πτωπτ

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

ΩΩΩΩ

Proprietăţile câmpului învârtitor.

•reprezintă m/2 din amplitudinea câmpului magnetic produs deo înfăşurare monofazată.

•Reprezintă amplitudinea câmpului constant

•în funcţie de pulsaţia ω a curenţilor şi de numărul de perechi de polip ai maşinii.

• Este viteza de antrenare[r/s]

p=n2= ωπ ⋅⋅ΩΩΩΩ

eB2m=B tj

mω

ℜe

ℑm

ωtB

Câmp învârtitor circular

t)p-x(B=xB=B mm Ωτπν

τπν ννν coscos

Câmp învârtitor circular

B

ℜe

ℑm

Câmp pulsator

tjeB ω−

21

tjeB ω

21

Un câmp pulsator este echivalent cu două câmpuri învârtitoare de amplitudiniegale şi care se rotesc în sensuri opuse cu viteze egale.

Compunerea şi descompunerea câmpurilor

tjeB ω−

21

tjeB ω−

21

tjeB ω

21

tjeB ω

21

B

B

( ))-t(eB=B

tB=Bj

2m

m

βωω

γ ⋅⋅⋅

⋅⋅

sinsin

2

11

e)eB+B(2j1-eeB+B(

2j1=B tj)+j(

2m1mtj)-j(

2m1mωβγωβγ −)

( )

( )eB+B21j=B

eB+B21j-=B

)+j(2m1mi

)-j(2m1md

γβ

βγ

Rezultă câmpul format din două câmpuri învârtitoare deamplitudini diferite, care se rotesc în sensuri opuse cu vitezeegale şi care dau un câmp învârtitor eliptic.

Compunerea a două câmpuri pulsatorii.

tji

tjd eBeBB ωω −+=

γ+β

F2

F2

F

γ-β

F1

ℜe

ℑm

( )eF+F21j-=F )-j(

2m1mdβγ( )eF+F2

1j=F )+j(2m1mi

γβ

Compunerea a două câmpuri pulsatorii.

Fi

Fd

FdF i

( )txBB m ⋅⋅

⋅= ω

τπννν sincos

electricrad.sau=νπ

ντ

τν

x]-t[B2m=B m τ

πνωνν ⋅⋅ sin

t)p-x(B=B m ⋅⋅ΩΩΩΩτπννν cos

f⋅⋅= πω 21

11ων

ων ±=

Ω⋅== p1ωων

Produs electric

Produs mecanic

Câmpul magnetic al armonicilor superioare

Toate armonicile se rotesc cu aceeaşi viteză

Câmp pulsator

Pasul polar al armonicilor

Armonicile se rotesc cu viteze diferite

Dacă v este ordinul armonicii spatiale al câmpului unei faze, atunci câmpulmagnetic rezultant în funcţie de ordinul armonicii este:

f2=V ⋅⋅± τνµµ

ν

dacă v = k⋅m câmpul rezultant este nul.

Câmpul magnetic al armonicilor superioare

dacă: v = 2mk ± 1 câmpul este învîrtitor, viteza de deplasare a câmpuluieste:

µ este ordinul armonicii temporale

Fluxul util

X0

xdx

Y1

B

Axa ref.

Axa bobinădxdlBd ⋅⋅=φ

Flux elementar

Fluxul spirei

∫ ∫+

−

=L

YX

YX

sp d0

2

2

10

10

φφ

mm I

tixB=B )(cos ⋅⋅τπ

dl

Câmpul pulsator,dirijat după axa de referinţă Axa ref.

x

dl

dx

Fluxul util

mymisp I

tiXkBL )(cos20 ⋅⋅⋅⋅⋅=

τπτ

πφ

Fluxul spirei

Fluxul fascicular sau polarmi BL ⋅⋅= τ

πφ 2

mysp I

tiXk )(cos 0 ⋅⋅⋅=τπφφ

Fluxul spirei

Fluxul total al unei înfăşurări (faza)

mb I

tiXkw )(cos 0 ⋅⋅⋅⋅=τπφψ λλλ

Fluxul util

mb I

titXkw )()(cos 0 ⋅⋅⋅⋅=τπφψ λλλ

Fluxul poate fi variabil în timp din cauza variaţiei curentului, care producecâmpul sau din cauza deplasării bobinei faţă de câmp.

πτ⋅⋅Ω⋅= tpX 0

Fluxul poate fi constant în timp, dacă :Nu se schimbă poziţia bobinei faţă de câmpX0 = ct. şi curentul, care produce câmpul este constant i = ct.

( ) ( )ttpkw b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ωφψ λλλ sincos ΩΩΩΩÎn acest caz

Fluxul util

−⋅= xtBmB m τ

πωsin2

πτ⋅⋅Ω⋅= tpX 0

Câmpul magnetic este învărtitor

−⋅⋅⋅= 0cos

2Xtkm

ysp τπωφφ

Fluxul spirei

( )tpkw b ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅= mωφψ λλλ cos

Dacă bobina se deplasează faţă de câmp

Fluxul bobinei va fi

Frecvenţa de variaţie a fluxului depinde de sensul şi viteza de deplasare a bobineifaţă de câmp.

InductivităţiFluxul propriu 00 =X

λφφ → λiti →)(m

b Itikw

λ

λλλλλλ φψ )(⋅⋅⋅=

Inductivitatea proprie

)(tiL

λ

λλλλ

ψ=

Inductivitatea de cuplaj

)(tiM

λ

λνλν

ψ=

mb I

titXkw )()(cos 0 ⋅⋅⋅⋅=τπφψ λλλ

Distanţa dintre axa câmpului şi a bobinei

Inductivităţi

Axa ref.

Smπ2

2

λ

ν

( )Smπλν 2

−

Axa rotor

θ

Rmπ2

2R

Unghiuri dintre axele înfăşurărilor

InductivităţiMaşini cu întrefier constant

Inductivitatea proprie

( )c

bi p

kwLLδµτ

πλλ

λλ 228 0

2

2⋅

⋅⋅=

Fluxul produs de înfăşurarea λ în înfăşurarea fixă ν

( ) ( ) tm

kw b ⋅−⋅⋅⋅= ωπλνφψ λννλν sin2cos

Inductivitatea de cuplaj

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

mL

kwkw

mpkwkwLM

b

b

c

bbi

πνλπνλδ

µτπ λλ

λλ

ννννλλλν

2cos2cos22

8 02 −⋅

⋅⋅=−

⋅⋅⋅⋅⋅=

Axa ref.

Smπ2

2

λ

ν

( )Smπλν 2

−

Axa rotorθ

Rmπ2

2R

InductivităţiFluxul produs de înfăşurarea λS în înfăşurare rotorica νR

tmmmm

kwSRR

R

S

Sb SRRRS

⋅⋅

−+−−⋅⋅⋅= ωπνλθφψ λνννλ sin211cos

Inductivitatea de cuplaj rezultă

−−

⋅

⋅= πνλθλλ

λλ

νννλ 2cos

R

R

S

S

b

b

mmL

kwkw

MSS

SS

RR

RS

Inductivităţile de cuplaj stator rotor suntdependente de poziţia relativă, deci suntvariabile.

Axa ref.

Smπ2

2

λ

ν

( )Smπλν 2

−

Axa rotorθ

Rmπ2

2R

InductivităţiMaşini cu întrefier variabil

Câmpul magnetic se descompune în două componente:

( )[ ]θθ 2sin2cos ⋅+⋅−= qqdm kkkBBFluxul de cuplaj

( ) ( ) tm

km

kkw qdb ⋅

−−⋅+−⋅⋅⋅⋅= ωπλθπλνφψ λννλν sin212cos2cos

Fluxul propriu

( ) tm

kkkw qdb ⋅

−−⋅+⋅⋅⋅= ωπλθφψ λλλλλ sin212cos

InductivităţiInductivitatea proprie

( )

−−⋅+=

mLLL πλθλλ

212cos21

unde( )

dc

bid k

pkwLkLL

δµτ

πλλ

λλ 228 0

2

21⋅

⋅=⋅=

( )q

c

biq k

pkwLkLL

δµτ

πλλ

λλ 228 0

2

22⋅

⋅=⋅=

Inductivitatea de cuplaj

( ) ( )

+−

+⋅+−⋅

⋅⋅=

mmL

mL

kwkwM

b

b πλνπθπλνλλ

ννλν

222cos2cos 21

θ

λ

InductivităţiFluxul produs în înfăşurarea rotorică de pe axa d

( ) ( ) tm

kkkw qdbDDD ⋅⋅

−−⋅+⋅⋅⋅= ⋅ ωπλθφψ λλ sin21cos

Inductivitatea de cuplaj

[ ] ( )

−−+

⋅⋅=

mLL

kwkwM

b

bDDD

πλθλλ

λ21cos21

Inductivitatea de cuplaj între faza λ şi înfăşurarea rotorica Q

[ ] ( )

−−−

⋅⋅

=m

LLkwkw

Mb

bQQQ

πλθλλ

λ21sin21

InductivităţiFluxul produs de înfăşurarea rotorică D înînfăşurarea λ

( )

−−⋅⋅⋅=

mkw DbD

πλθφψ λλλ21cos

Inductivitatea de cuplaj

( )

−−⋅⋅

⋅⋅=

mL

kwkwM

b

bDDD

πλθλλλλ

λ21cos

( )

−−⋅⋅

⋅⋅

=m

Lkwkw

Mb

bQQQ

πλθλλλλ

λ21sin

Inductivitatea de cuplaj dintre înfăşurarea rotorică Q şi înfăşurarea λ

θ

λ

Inductivităţi( )

−−⋅+=

mLLL πλθλλ

212cos21

( ) ( )

+−

+⋅+−⋅

⋅⋅=

mmL

mL

kwkwM

b

b πλνπθπλνλλ

ννλν

222cos2cos 21

[ ] ( )

−−+

⋅⋅=

mLL

kwkwM

b

bDDD

πλθλλ

λ21cos21

[ ] ( )

−−−

⋅⋅

=m

LLkwkw

Mb

bQQQ

πλθλλ

λ21sin21

( )

−−⋅⋅

⋅⋅=

mL

kwkwM

b

bDDD

πλθλλλλ

λ21cos

( )

−−⋅⋅

⋅⋅

=m

Lkwkw

Mb

bQQQ

πλθλλλλ

λ21sin