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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Calculo Diferencial e Integral 2:Integrais de linha
Jorge M. V. Capela
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Comprimento de uma curva CIntegral de linha
1 Comprimento de uma curva C
2 Integral de linha
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Comprimento de uma curva
O comprimento do tracado poligonal P0P1 · · ·Pn aproxima o com-primento L da curva C dada pelo grafico de y = f (x) de x = a atex = b
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Lk =√
(∆xk)2 + (∆yk)2
Pelo teorema do valor medio po-demos escrever ∆yk = f ′(ck)∆xksendo xk−1 < ck < xk . Portanto
Lk =√
(∆xk)2 + [f ′(ck)∆xk ]2 =√
1 + [f ′(ck)]2∆xk
Comprimento da curva C :
L =
∫ b
a
√1 +
(dy
dx
)2
dx
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Comprimento de uma curva na forma parametrica
Suponha C dada pelas equacoes x = f (t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β.Suponha dx/dt = f ′(t) > 0, isto e C e percorrida uma unica vezquando t aumenta de α ate β, f (α) = a e f (β) = b. Entao
L =
∫ b
a
√1 +
(dy
dx
)2
dx =
∫ β
α
√1 +
(dy/dt
dx/dt
)2 dx
dtdt
L =
∫ β
α
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Integral de linha
∫Cf (x , y)ds = lim
n→∞
n∑k=1
f (x∗k , y∗k )∆sk
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Integral de linha
Seja C uma curva dada por x = x(t) e y = y(t), α ≤ t ≤ β. Ses(t) representa o comprimento de C como funcao de t entao
s(t) =
∫ t
α
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
Portanto,
ds
dt=
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
e o subarco infinitesimal pode ser definido por
ds =
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Integral de linha
∫Cf (x , y)ds =
∫ β
αf (x(t), y(t))
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
A integral de linha de uma funcaopositiva pode ser interpretada comosendo a area do lado da “cerca” dafigura
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Exemplo 1
Calcule∫C
(2 + x2y)ds,
onde C ea metadesuperior docırculo unitariox2 + y2 = 1
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
∫Cf (x , y)ds =
∫C1
f (x , y)ds +
∫C2
f (x , y)ds + · · ·+∫Cn
f (x , y)ds
onde C e a uniao de um numero finito de curvas C1, C2, ..., Cn.
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Exemplo 2
Calcule a integral ∫C
2xds,
onde C e a uniao do arco de parabola C1 dada por y = x2 de (0, 0)a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
Observe as parametrizacoes:
C1 : x = t, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1
C2 : x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Integral de linha ao longo de C com relacao a x e y
x = x(t), y = y(t), dx = x ′(t)dt, dy = y ′(t)dt∫Cf (x , y)dx =
∫ b
af (x(t), y(t))x ′(t)dt∫
Cf (x , y)dy =
∫ b
af (x(t), y(t))y ′(t)dt
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Exemplo 3
Calcule a integral∫Cy2dx +
∫Cxdy =
∫Cy2dx + xdy ,
onde (a) C = C1 e o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) (b) C = C2
e o arco de parabola x = 4− y2 de (-5,-3) a (0,2).
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Exemplo 3: Parametrizacoes
(a) Segmento de reta: Vetor direcao ~v = (0, 2)− (−5,−3) = (5, 5)Equacoes parametricas: x = −5 + 5t e y = −3 + 5t, 0 ≤ t ≤ 1(b) Arco de parabola: x = 4− t2 e y = t, −3 ≤ t ≤ 2
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Comprimento de uma curva CIntegral de linha
Exercıcios
1) Calcule a integral
∫C
(xy + ln x)dy onde C e o arco de parabola
y = x2 de (1,1) ate (3,9)
2) Calcule a integral
∫Cyds onde C e a curva definida por x = t2,
y = t, 0 ≤ t ≤ 2
3) Calcule a integral
∫Cxy4ds onde C e a metade direita do circulo
definido por x2 + y2 = 16.
4) Calcule a integral
∫Cx√ydx +2y
√xdy onde C consiste no menor
arco de circulo x2 + y2 = 1 de (1,0) a (0,1) e o segmento de retade (0,1) a (4,3)
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