Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza

POLITECNICO DI MILANO

Classificazione e restaurodi immagini a colori:

un approccio via -convergenzaΓ

Relatore: Prof. Franco Tomarelli

Tesi di laurea di: Alfonso Fascì

Anno Accademico 2009-2010lunedì 17 gennaio 2011

In questo lavoro di tesi:

• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita.

• Si mostra l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative.

• Si costruisce un’approssimazione del problema proposto tramite la minimizzazione di una famiglia di funzionali ellittici, che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.

Γ

Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.

Tale approssimazione è intesa nel senso della -convergenza.

lunedì 17 gennaio 2011

Cos’è un’immagine a colori?



aperto, limitato rappresenta una regione del piano Ω ⊂ R2




u : Ω → C in cui rappresenta l’insieme dei colori• Immagini a colori

C





C

C =???





C

C =???u : Ω → [0, 1] intensità luminosa(Immagini monocromatiche )


Spazi di colori

‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space


Spazi di colori‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space

• Newton: primo modello di colore.

• Thomas Young: ‘‘...la percezione del colore dipende dalla frequenza della radiazione che investe l’occhio e dalla risposta dei sensori presenti nella retina...’’

• Hermann Von Helmholtz 1852: ‘‘ ... radiazioni che generano diversi colori viaggiano senza alcuna azione reciproca e anche se ai nostri occhi appaiono uniti, vengono sempre separati uno dall’altro con mezzi fisici... ’’

• Hermann Gunther Grassmann dimostra (1854) che per ogni colore spettrale esistono altri colori che, se miscelati con il primo nelle giuste proporzioni producono luce bianca.

• Maxwell descrive gli spettri di assorbimento dei recettori presenti nella retina.

Storia della colorimetria:


Spazi di coloriPerchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?


Spazi di colori

Teoria del tristimolo• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna

sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L).

Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?

l(λ),m(λ), s(λ)

Il =

+∞

−∞I(λ)l(λ) dλ, Im =

+∞

−∞I(λ)m(λ) dλ, Is =

+∞

−∞I(λ)s(λ) dλ

I(λ)

in cui sono gli spettri di assorbimento.

• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro , producono tre tensioni elettriche


Spazi di colori



...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari


l(λ),m(λ), s(λ)

Il =

+∞


+∞


+∞


I(λ)




Spazi di colori



...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari


l(λ),m(λ), s(λ)

Il =

+∞


+∞


+∞


I(λ)



I1E1l + I2E2

l + I3E3l = Il

I1E1m + I2E2

m + I3E1m = Im

I1E1s + I2E2

s + I3E3s = Is

IDEA: esprimere ogni radiazione visibile come sommaE1(λ), E2(λ), E3(λ)di tre radiazioni (colori) fondamentali


Spazi di coloriSpazio CIE-XYZ (International Commission on Illumination, 1931)

• costruito in seguito ad una campagna sperimentale condotta da W. David Wright and John Guild impiegando come radiazioni fondamentali tre colori primari ‘‘virtuali’’, cioè non rappresentabili in natura.

• primo spazio di colore completo, nel senso che rappresenta tutti i colori visibili e assunto come modello di riferimento.

Altri spazi: RGB, CMYK,...


Spazi di coloriSpazio RGB

• deriva dalla necessità di rappresentare il colore sui monitor.

• le radiazioni fondamentali sono visibli il rosso, il verde e il blu.

Altri spazi: CMYK, HSV,...


Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre

precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme




metrica euclidea




metrica euclidea




metrica euclidea




metrica euclidea

!!!


Distanza percepita


Distanza percepitaIDEA: distorcere lo spazio con una trasformazione

biettiva, continua, non lineare

φ : R3 → R3

XY Z


Distanza percepitaIDEA: distorcere lo spazio con una trasformazione

biettiva, continua, non lineare

φ : R3 → R3

XY Z

e definire la distanza percepita fra due punti e come(X0, Y0, Z0) (X1, Y1, Z1)

|φ(X1, Y1, Z1)− φ(X1, Y1, Z1)|


Distanza percepita: due esempi

• Un osservatore tenta di riprodurre un colore dato mescolando 3 sorgenti primarie.

• A causa della limitata sensibilità dell'occhio, il colore ottenuto non è identico al campione.

• Si ripete più volte l'esperimento, e si misura la dispersione..

Esperimento di MacAdam


Distanza percepita: due esempi Spazio CIE-Lab (1976)

Si definisce una funzione che trasforma gli ellissoidi di MacAdam in sfere

φ : [0,+∞)3 → [0,+∞)3


Distanza percepita: due esempi

Non linearità dell’occhio (legge di Weber):

Metrica di Stiles

δP =δI

I

ψr(r, g, b) = ψr(r) = αr ln(δr + r)ψg(r, g, b) = ψg(g) = αg ln(δg + g)

ψb(r, g, b) = ψb(b) = αr ln(δb + b)

Stiles propone la metrica indotta dalla trasformazione :


Spazi di colori e varietà Riemanniane

Approccio alternativo alle trasformazioni globali:




• modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3.




• distorsione solo locale.





Riemann, Helmoltz, Scrhodinger, Stiles , Ashtekar,...

• distorsione solo locale.



Una definizione di spazio di colori(C, g)Chiameremo spazio di colori una coppia in cui:



C ⊂ R3

gij(x) = gji(x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3(1)gij ∈ C∞(R3) per ogni i, j = 1, . . . , 3(2)

m2|x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M2|x|3esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ognix, y ∈ R3(3)

g : R3 → R3×3• è un campo di matrici che verifica:

• è un insieme chiuso e limitato.



C ⊂ R3

gij(x) = gji(x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3(1)gij ∈ C∞(R3) per ogni i, j = 1, . . . , 3(2)

m2|x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M2|x|3esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ognix, y ∈ R3(3)

g : R3 → R3×3• è un campo di matrici che verifica:

• è un insieme chiuso e limitato.

CIndicheremo con la metrica indotta su e definita come:

dg(·, ·) ∀x, y ∈ C

dg(w, z) = inf

1

0|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z

|γ(y)x|2 = x, g(y)x


Il modello proposto:esistenza di una soluzione debole

e proprietà qualitative delle minimizzanti.


Classificazione di immagini a colori• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative

ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture).




• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.




• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.


La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:

Classificazione di immagini a colori



• Si fissano un numero finito di colori che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in un'immagine (clustering, discretizzazione).

K = α1, . . . ,αl ⊂ C

z : Ω → C





K = α1, . . . ,αl ⊂ C

z : Ω → C


• Si determina una partizione di costituita da un numero finito di porzioni ( ) in mdo che ogni porzione sia associata al colore .

Ω

αi

l Ui≤




K = α1, . . . ,αl ⊂ C

z : Ω → C


Ui ∂Ui ∩ Ω∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω

z

Poichè potrebbe avere una frontiera topologica molto frastagliata si cerca di ottenere bordi regolari e che soddisfino un principio d'interfaccia minima. Dobbiamo inoltre penalizzare la distanza dal dato .

• Si determina una partizione di costituita da un numero finito di porzioni ( ) in mdo che ogni porzione sia associata al colore .

Ω

αi

l Ui≤


Il modello proposto

(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.

Il modello proposto


Il modello proposto


z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:

• un’immagine a colori

Il modello proposto


Il modello proposto


• un numero finito di colori distinti denotati con l ≥ 2 K = α1, . . . ,αl ⊂ C



Il modello proposto


Il modello proposto





Il modello proposto

β > 0• il parametro positivo


Il modello proposto





Il modello proposto


Ci proponiamo di determinare una partizione U = Uii=1,...,l Ωche minimizzi il funzionale

di


Il modello proposto





Il modello proposto


Ci proponiamo di determinare una partizione U = Uii=1,...,l Ωche minimizzi il funzionale

di

1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) β

l

i=1

Ui

|dg(z(x),αi)|2 dxEz(U) = +


Il modello proposto

Il modello proposto

1

2

l

i,j=1i =j


l

i=1

Ui



Il modello proposto

Il modello proposto

1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)

βl

i=1

Ui

|dg(z(x),αi)|2 dx

lunghezza del bordo della partizione pesata con la distanza percepita fra i colori relativi agli elementi della partizione.

Uv

Ur

Ub

vdg( , )r

dg( , )b r

bdg( , )v


Il modello proposto

Il modello proposto

1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)

βl

i=1

Ui

|dg(z(x),αi)|2 dx fidelity term: energia di area che misura la distanza percepita dal dato z


Il modello proposto

Il modello proposto

1

2

l

i,j=1i =j


l

i=1

Ui


energia di linea energia di area


Il modello proposto

Il modello proposto

1

2

l

i,j=1i =j


l

i=1

Ui


energia di linea energia di area

... questo problema rientra nella classe dei

Problemi con discontinuità libera:minimizzazione di funzionali che contengono energie di volume ed energie di superficie

E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations.


Formulazione debole


Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita

U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞



U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞



U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞



U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞

E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H1(∂∗E ∩ Ω)

Partizioni di Caccioppoli



U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞

U = Uii=1,...,l :l

i=1

P (Ui,Ω) < +∞E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H

1(∂∗E ∩ Ω)




U = Uii=1,...,l : E

z(U) < +∞

U = Uii=1,...,l :l

i=1

P (Ui,Ω) < +∞

BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω |||

E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H1(∂∗E ∩ Ω)



Formulazione debole

BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H

1(∂∗E ∩ Ω)



Formulazione debole

BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H

1(∂∗E ∩ Ω)


Ez(u) =1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β

Ω|dg(u, z)|

2 dx

u =l

i=1

αiχUi ∈ BV (Ω,K)Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]


Formulazione debole

Ez(u) =1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β

Ω|dg(u, z)|

2 dx

u =l

i=1

αiχUi ∈ BV (Ω,K)Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]

Teorema 7.42

Il funzionale Ez(u) ammette l’esistenzadi un minimo con energia finita.


Soluzioni forti

i ∂∗Ui ∩ Ω∪

• Dato la sua frontiera ridotta potrebbe non essere chiusa, quindi per ottenere la soluzione del problema forte bisogna considerare la chiusura

∂∗EE ⊂ R2

• Poichè esistono sottoinsiemi di perimetro finito con frontiera topologica che ha misura di Hausdorff monodimensionale infinita, una soluzione debole potrebbe avere energia infinita nella formulazione forte !

E ⊂ R2

∂E

• E’ necessario uno studio variazionale delle soluzioni:

G.P. Leonardi e I. Tamanini, Metric space of partitions and Caccioppoli partitions, 2002

G.P. Leonardi, Infiltrations in immiscible fluids systems, 2001


Proprietà qualitative delle minimizzanti

=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +



=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +⇓



=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +⇓dipende dal termine di fedeltà, dalle misure degli insiemi e dalla struttura della metrica


Approssimazione via -convergenzaΓ


Problemi con discontinuità libera

• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volume


Problemi con discontinuità libera

• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volume

• Sostituizione del funzionale con una famiglia di funzionali che contengano solo energie di volume (quindi più trattabili numericamente) che convergano ‘‘in un certo senso’’ al problema di partenza.


-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)

• DefinizioneΓ

F, F : X → R ∪ +∞F = Γ- lim

→0+F se ∀x ∈ X, j → 0+

(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim infj

Fj (xj)

(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim supj

Fj (xj)


-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)

• DefinizioneΓ

F, F : X → R ∪ +∞F = Γ- lim

→0+F se ∀x ∈ X, j → 0+

(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim infj

Fj (xj)

(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim supj

Fj (xj)

e u0 ∈ argminF.

Se F = Γ- lim→0+

F, j → 0+ e uj ∈ argminFj

e una successione precompatta,

allora ∀ per ogni sottosuccessione convergente ujk

ujk→ u0

Fjk(ujk

) → F (u0)

• Proprietà fondamentale


-convergenza + equicompatezza Γ

-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)Γ


-convergenza + equicompatezza Γ

⇓Convergenza dei minimi

-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)Γ



Per ora teniamo da parte il fidelity term

E(u) =1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω)

E(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]e consideriamo


Modelli di transizione di faseTeorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )


Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione

continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)

(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m

W per ogni x /∈ [C1, C2]m.

Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )



continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)






continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)




X =u : Ω → Rm misurabile t.c.

Ωu dx = d|Ω|sia d ∈ Rm,

e si considerino i funzionali F : X → [0,+∞], F : X ∩BV (Ω,K) → [0,+∞]



continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)




F(u) =

Ω(1

W (u) + |Du|2) dx F (u) =

1

2

l

i,j=1i =j

θW (αi,αj)Hm−1(∂∗Si ∩ ∂∗Sj ∩ Ω)

θW (w, z) = inf 1

02W (v)|v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)v(0) = w, v(1) = z.






continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)




F(u) =

Ω(1

W (u) + |Du|2) dx F (u) =

1

2

l

i,j=1i =j

θW (αi,αj)Hm−1(∂∗Si ∩ ∂∗Sj ∩ Ω)

θW (w, z) = inf 1

02W (v)|v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)v(0) = w, v(1) = z.

Allora F (u) = Γ− lim→0

F(u)

rispetto alla topologia forte di L1(Ω,Rm).






IDEA: modificare la famiglia di funzionali

E(u) =1

2

l

i,j=1i =j


F(u) =

Ω(1

W (u) + |Du|2) dx

in modo che il -limite sia Γ



IDEA: modificare la famiglia di funzionali

E(u) =1

2

l

i,j=1i =j


F(u) =

Ω(1

W (u) + |Du|2) dx

in modo che il -limite sia Γ

• Bisogna introdurre nei funzionali l’effetto della metrica.

• E’ necessario un secondo passaggio al limite.

Problemi:


Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1


Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione

continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)





continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)



γ(u)

Si consideri la famiglia di funzionali F : H1,2(Ω,Rm) ∩ L

∞(Ω,Rm) e ilfunzionale F : BV (Ω,K) → [0,+∞]

F(u) =

Ω[1

W (u)+

l

j=1

| Dju|2] dx F (u) =

1

2

l

i,j=1i =j

θW (αi,αj)Hn−1(∂∗

Si∩∂∗Sj∩Ω)



continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)



, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1

02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)

γ(u)



F(u) =

Ω[1

W (u)+

l

j=1

| Dju|2] dx F (u) =

1

2

l

i,j=1i =j


Si∩∂∗Sj∩Ω)



continua tale che

x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)



, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1

02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)

γ(u)



F(u) =

Ω[1

W (u)+

l

j=1

| Dju|2] dx F (u) =

1

2

l

i,j=1i =j


Si∩∂∗Sj∩Ω)

Allora F (u) = Γ− lim→0

F(u)

rispetto alla topologia forte di Lp(Ω,Rm).lunedì 17 gennaio 2011


Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione

, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1

02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)



...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.


, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1

02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)



...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.


, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1

02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)

Wδ : R3 → [0,+∞] dipendente dal parametro positivo 0 < δ < δ = min|α−β| : α,β ∈ K,α = β/2 definito come

Wδ(x) =

1 + δ

2ψ

dist(x,K)

δ

2

x ∈ R3

in cui dist(x,K) = min|x − α| : α ∈ K e la distanza euclidea del puntox ∈ R3 dall’insieme K e ψ : [0,+∞] → [0,+∞] e definita come

ψ(x) =

1− e−x2/(1−x2) se 0 ≤ x ≤ 1

1 se x > 1.



0 ≤ 2

Wδ ≤ 1 + δ

αi

αj

δ

δ2

Wδ = 1 + δ

0 ≤ 2

Wδ ≤ 1 + δ

0 ≤ 2

Wδ ≤ 1 + δ


Siano w, z ∈ K,

Allora per δ sufficientemente piccolo vale la disuguaglianza

dg(w, z) ≤ θδ(w, z) + o(δ)

e

dg(w, z) = limδ→0

θδ(w, z).

θδ(w, z) = inf 1

02

Wδ(v)|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z

dg(w, z) = inf

1

0|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z

Lemma 10.1




Γ- limδ→0+

Γ- lim

→0+E,δ(u)

= E(u)

E,δ(u) =

Ω[1

Wδ(u) +

2

j=1

|γ(u)Dju|2] dx

Definendo la famiglia a due parametri

usando il teorema 9.1 e il lemma 10.1 abbiamo

Lp(Ω,R3).rispetto alla topologia forte di


Approssimazione via -convergenzaΓContinuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue


Approssimazione via -convergenzaΓContinuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue

Siano Ezδ, : H

1,2(Ω,R3) → [0,+∞], Ez : BV (Ω,K) → [0,+∞]

Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1

|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|

2dx

Ez(u) =

1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂∗

Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β

Ω|dg(u, z)|

2dx

Allora

Γ- limδ→0+

Γ- lim

→0+E

z,δ(u)

= E

z(u)

rispetto alla convergenza forte in L2(Ω,R3).

Teorema 10.2⇓


Equicompattezza

Proposizione 9.9. Sia 1 ≤ p < +∞, F : H1,2(Ω, Rm) → [0,+∞] definito

come

h una successione di numeri reali che tende a 0 e uh una successione taleche suph Fh(uh) < +∞. Allora esiste una successione uh tale che Fh(uh) ≤Fh(uh) per ogni j ∈ N e si puo estrarre una sottosuccessione ukh che convergefortemente in Lp(Ω, Rm).

F(u) =

Ω

1W (u) +

l

i=1

|γ(u)Diu|2

dx


Un modello di classificazione e restauro



I funzionali approssimanti

Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1

|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx




Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1


classificazione




Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1


classificazione restauro




Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1


classificazione restauro fidelity




Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

2

j=1


classificazione restauro fidelity

Interpretazione di come parametro di sfocamento


Conclusioni


Conclusioni

• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.


Conclusioni

• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.



Conclusioni


• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.



Conclusioni



Γ• E’ stata provata la -convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto.



Conclusioni



Γ• E’ stata provata la -convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto.

• I funzionali approssimanti sono molto più trattabili in vista di un'approssimazione numerica.



Teorema 1Sia (C, g) uno spazio di colori, K = α1, . . . ,αl ⊂ C un insieme finito di

l colori, z ∈ L∞(Ω, C) un’immagine a colori, β > 0 un parametro positivo. Si

consideri la famiglia di funzionali Ez,δ(u) : H

1,2(Ω,R3) → [0,+∞]

Ez,δ(u) =

Ω

1Wδ(u) +

3

j=1

|γ(u)Dju|2 + β|dg(z, u)|

2dx

e il funzionale Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]

Ez(u) =

1

2

l

i,j=1i =j

dg(αi,αj)H1(∂∗

Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β

Ω|dg(u, z)|

2dx

Sia δ : [0,+∞] → [0,+∞] una funzione continua e strettamente monotonacrescente tale che δ(0) = 0, j una successione di numeri positivi che tende a 0.

Allora abbiamo che se uj e una successione costituita da minimizzanti diE

zj ,δ(j)

si puo estrarre una sottosuccessione convergente, che indichiamo ancoracon uj tale che

uj → u0 fortemente in L2(Ω,R3)

Ezj ,δ(j)(uj ) → E

z(u0)

e u0 ∈ argmin(Ez).



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Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza