Clases d Control Discreto

7/31/2019 Clases d Control Discreto

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CONTROL DIGITAL

Julio Rodrguez Gonzlez

Universidad politcnica de Tlaxcala

IngenieraMecatrnica


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Materia: Control Digital

Tema: Sistemas discretos y seales1. Introduccin a los sistemas de control discreto:En la figura 1, se muestra un diagrama a bloques

de un sistema de control digital.

Figura 1.


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Tema: Sistemas discretos y seales2. Seales en un sistema de control digital

En la figura 2, se muestran las seales que semanejan en un sistema de control digital

Figura 2.


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Tema: Sistemas discretos y seales3. Elementos de un sistema de control digital

Muestreo o discretizacin: Es la operacinque trasforma las seales de tiempo continuoen datos en tiempo discreto.

Retencin de datos: Es la operacin inversa,trasforma datos en tiempo discreto en unaseal de tiempo continuo.

Circuito de muestreo y retencin( Sampleand Hold) y el convertidos analgico-digital(A/D): Convierten la seal de tiempocontinuo en una seal de palabras binarias

codificadas numricamente. A este proceso sele denomina codificacin


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Tema: Sistemas discretos y seales4. Elementos de un sistema de control digital

Decodificacin: El proceso de conversin dedigital a analgico(D/A).

Planta o proceso: Cualquier objeto fsico aser controlado

Transductor : Dispositivo que convierte unaseal de entrada en una salida diferente a lade la entrada.

Los Transductores pueden ser analgicos odigitales (transductores de datos

muestreados)


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Tema: Sistemas discretos y seales5.Tipos de muestreo

Muestreo peridico: Los instantes demuestreo estn espaciados de manerauniforme tk = kT para ( k= 0, 1,2,)

Muestreo de orden mltiple: El patrn tK serepite peridicamente es tk+r-tk.Muestreo de tasa mltiple: Este se utiliza enun sistema que tiene lazos mltiples.Muestreo aleatorio: En este caso la variableque se muestrea es una variable aleatoria.


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Tema: Sistemas discretos y seales5.Cuantificacin.Las principales funciones involucradas en laconversin analgico a digital son elmuestreo, cuantificacin de la amplitud y lacodificacin.

El proceso de representacin de una sealcontinua o analgica mediante un numerofinito de estados discretos se denominacuantificacin de la amplitud.El proceso de representar una muestramediante un cdigo numrico(binario) sedenomina codificacin y es representado poruna palabra digital.


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Tema: Sistemas discretos y seales5.Cuantificacin.Nivel de cuantificacin Q: Este esta dado porel intervalo de dos puntos adyacentes dedecisin:


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Tema: Sistemas discretos y seales6. Error de cuantificacin:

Como el numero de bits en la palabra digitales finito, la conversin A/D entrega comoresultado una resolucin finita .

Por lo tanto, la conversin A/D presenta un

error de cuantificacin , ya que el valoranalgico se debe redondear el nivel digitalmas cercano.

La incertidumbre presente en el proceso decuantificacin se conoce como ruido decuantificacin.


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Tema: Sistemas discretos y sealesError de cuantificacin


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Ejemplo: Suponga que un sensor detemperatura genera una Seal analgicacomo la que se muestra a continuacin. Esta

seal esta bajo la norma ISA-S5( 1 a 5VCD).


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Muestreo : Este se realiza en el eje de las abscisas ,es decir con respecto al tiempo. En este ejemplo setomaron 24 muestras en un segundo(frecuencia de

muestreo) de la seal analgica.


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Cuantificacin: Despus de realizar el muestreo esnecesario realizar la cuantificacin de la seal. Estese realiza en el eje de las ordenadas, es decir en la

amplitud de la seal muestreada. Para este caso seusan 4 bits, esto permite tener 16 combinaciones,lo cual permite tener 16 valores y por lo tanto 16niveles en este eje.


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Cuantificacin de la seal e intervalo decuantificacinTenemos: 2 = 16 niveles.

Es decir, se puede representar valores desde+8 y -8 .

El intervalo de cuantificacin es de:

= 1/ 2 = 1/ 2 = = 1/ 2 = 0.125

Cometer un error de: (1/ 2)/12 =(.125)/12 = 0.0013020

Calculo del error de cuantificacin:


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TCNICAS DECUANTIFICACIN

- Cuantificacin uniforme: la distancia entre los

niveles de reconstruccin es siempre la misma.No hacen ninguna suposicin acerca de la naturalezade la seal a cuantificar, de ah que no proporcionenlos mejores resultados. Sin embargo, tienen comoventaja que son los ms fciles y menos costosos

de implementar.- Cuantificacin logartmica: incrementa ladistancia entre los niveles de reconstruccinconforme aumenta la amplitud de la seal. Muy

usada en seales de voz.


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- Cuantificacin no uniforme: si conocemos lafuncin de la distribucin de probabilidad,

podemos ajustar los niveles de reconstruccin a ladistribucin de forma que se minimice el errorcuadrtico medio. Esto significa que la mayora delos niveles de reconstruccin se den en la vecindad

de las entradas ms frecuentes y,consecuentemente, se minimice el error (ruido).- Cuantificacin vectorial: se basa encuantificar segn las muestras vecinas, resultams eficiente cuantificar los datos en bloques de

N muestras.- Cuantificadores de Vecino Ms Cercano(Voronoi): el proceso de codificacin nonecesita almacenar una descripcin geomtrica

de las celdas, la codificacin es mediante unacomparacin de distancias.

TCNICAS DECUANTIFICACIN


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REGISTROS DEL MODULO DE A/D.PIC16F877

El mdulo de A/Dtiene cuatro registros. Estosregistros son:

ADRESH : Parte alta del resultado de la

conversin ADRESL: Parte baja del resultado de laconversin ADCON0: Registro de Control 0 ;control del

funcionamiento del conversor ADCON1, Registro de Control 1; configuracinde los pines del puerto.


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REGISTRO ADCON0(DIRECCIN LFH)

bit 7-6: ADCS1:ADCS0:

En estos dos bits se hace la seleccin de lafrecuencia de reloj para el Convertidor A/D.00 Fosc/2

01 Fosc /810 Fosc/3211 FRC (Procede del oscilador RC interno)


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bit 5-3: CH2:CH0:Aqu se selecciona el canal analgico por

donde entrar la seal a digitalizar.En este micro controlador tenemos 8 canales deentrada al Conversor A/D000 = Canal 0, (RA0/AN0)001 = Canal 1, (RA1/AN1)

010 = Canal 2, (RA2/AN2)011 = Canal 3, (RA3/AN3)100 = Canal 4, (RA4/AN4)101 = Canal 5, (RA5/AN5)

110 = Canal 6, (RA6/AN6)111 = Canal 7, (RA7/AN7)


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bit 2: GO/#DONE. bit de estado de la conversinA/DSi ADON=1

1=La conversin A/D est en marcha (mientras est a1 se est realizando la conversin)

0 = La conversin ha finalizado. (el bit se pone a cero

automticamente por hardware cuando laconversin A/D finaliza) el resultado de la conversinaparece en

ADRESH:ADRESL

bit 1:No implementado: Se lee como 0bit 0:ADON: bit de puesta en marcha

1 =El convertidor A/D est operativo

0 = El convertidor A/D est apagado y noconsume corriente.


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EL REGISTROADCON1El registro ADCON1es uno de los registros del

convertidor A/D del PIC16F877, se trata de un registro

de configuracin de los pines del puerto, este registrose compone de 8 bits, los cuales describamos sufuncin a continuacin:

Bit 7:ADFM: Selecciona el formato delresultado de la conversin A/D1 = > Pone en el registro ARDESH los seis bitsde mayor peso a 00 = > Pone los 6 bits de menor peso del registroADRESL a 0

Bits 6-4: No implementados: Se leen como cero


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Bit 3-0: PCFG3:PCFG0: bits de configuracin de loscanales de entrada del convertidor A/D. Se utilizanpara configurar las patillas como E/S digital o como

entrada analgica de acuerdo con la siguiente tabla:

A= Entrada Analgica; D =


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LOS REGISTROS ADRESH YADRESL

El par de registros ADRESH:ADRESL se carga conel resultado de 10 bits de la conversin A/D. Estepar de registros se extienden hasta 16 bits.El mdulo A/D tiene la posibilidad de justificar elresultado de 10 bits dentro de los 16 bits de lapareja de registros. La seleccin del formato de

justificacin a la izquierda o derecha se realizacon el bit ADFM(ADCON1). Los bits restantes (alos 10 de la conversin) se llenan con ceros.Estos dos registros cuando el convertidor A/D esten OFF y no se utiliza, pueden utilizarse como dosregistros de 8 bits de propsito general.Cuando se completa la conversin A/D, elresultado se guarda en los registros y se pone acero el bit GO/DONE


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Por lo tanto, los 16 bits que forman el registro ARDESH-ARDESL con ADFM=1 tiene los 6 bits de mayor peso acero y con ADFM=0 los 6 bit de menor peso estn acero, en los 10 bits restantes se almacena el resultadode la conversin.


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TEMPORIZACIN DE LACONVERSIN

Tiempo de conversin por bit(Tad): Estecomienza a funcionar en el tiempo de

adquisicin cuando activamos el bitGO/#DONE(ADCON0).El tiempo de adquisicin: es el tiempo que elmodulo A/D esta conectado a un voltaje

externo.Pero tenemos que tener en cuenta que parauna nueva conversin podemos preparar laconfiguracin del mdulo conversor A/D y si se

desea realizar una interrupcin del moduloconversor A/D, se exige un mnimo de 2*Tadpara realizar una nueva conversin. En lasiguiente figura se puede observar estos

tiempos.


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Tiempo de muestra

de A/D


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SELECCIN DEL RELOJ DELCONVERTIDOR A/D

El convertidor A/D requiere un mnimo de 12

TAD para la conversin de los 10 bits, Laseal de reloj para la conversin A/D seselecciona por software mediante los bitsADCS1:ADCS02 TOSC8 TOSC32 TOSCOscilador interno RC (2-6 s)

Para realizar conversiones correctas el reloj delconvertidor A/D debe seleccionarse paraasegurar un tiempo mnimo de TAD de 1,6 mS.


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Fuente del Reloj A/D Frecuencia mxima deldispositivo

Operacin ADCS1:ADCS0 Mxima Frecuencia

FOSC/2 00 1.25 MHz

FOSC/8 01 5 MHz

FOSC/32 10 20 MHz

RC (1,2,3) 11 Nota 1

Nota.-1. Si la fuente es el oscilador RC tiene un TAD tpico de4 s , pero puede variar entre 2 6 s.2. Cuando la frecuencia del dispositivo es mayor de

1MHz, la fuente del oscilador RC para la conversin A/Dse recomienda solo si se trabaja en el modo Sleep.3. Para dispositivos de tensin mayores (LC),comprobar las caractersticas elctricas


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Sugerencia:Una cosa a tener en cuenta, seria mantener lasfrecuencias mximas que se indican en la tabla, yaque, si por ejemplo utilizamos una frecuencia de 10MHz entonces tendramos que dividir por el mismonmero que si utilizamos una frecuencia de 20 MHz,

por lo que estaramos haciendo que el conversortrabajara mas despacio de lo que podra trabajar.



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Tema: La transformada Z y su aplicacin ensistemas de control.La transformada z es una herramienta muy

importante cuando se trabaja con sistemas entiempo discreto.

En el curso de procesamiento de seales digitales

usamos la variable n para representar el tiempodiscreto. Sin embargo en control discreto hacemosn= kT, es decir x(n) = x(kT). Donde T es el periodode muestreo y k es el numero de muestras. Loque permite poder pasar de forma directa de

seales en el dominio del tiempo a la trasformadaz.

La transformada z de una funcin en el tiempo

x(t) toma en cuenta solamente los valoresmuestreados : x(0), x(T), x(2T),,x(kT).


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Tema: La transformada Z y su aplicacin ensistemas de control.Trasformada Z Bilateral:

La Trasformada Z de x(t) donde - < t< sedefine como:



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Tema: La transformada Z y su aplicacin ensistemas de control.

Una Trasformada Z es unilateral para x(t),cuando t es positivo, es decir si k toma valoresdesde cero hasta infinito en x(kT) . Lo que yaanalizamos en el curso de procesamiento de

seales y son llamados sistemas causales.



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Tema: La transformada Z y su aplicacin ensistemas de control.

Para el caso de control no es necesario(casi

siempre) especificar la regin de convergenciade la transformada Z .En Muchas aplicaciones en ingeniera latrasformada Z unilateral tendr una solucinapropiada en forma cerrada en su regin deconvergencia. Es decir converge fuera delcirculo |z|=R, donde R es el radio deconvergencia absoluta. Excepto en los polos deX(z).

Im(z)

Re(z)

Regin de convergenciapara

R

Transformada Z de funciones elementales


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Transformada Z de funciones elementales.

Nota: Se trata de una serieinfinita:

A= zPor lo que la serie converge en

Funcin escaln unitario:

x(k)= { 1, 1, 1, 1, }

t

X(t)

1

k

X(k)

1

X(Z)= 1z + 1z+1z+ 1z +

X(Z)= (z)



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Funcin Rampa Unitaria:

t

X(t)

1

Nota: Recordando delcurso de procesamientotenemos que:



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Funcin Polinomial :

Donde es una constante.



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Funcin Exponencial :



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Funcin Senoidal :

Usando las identidades deEuler:

Sabemos que:



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Funcin Senoidal :


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ka

1. Multiplicacin por una constante

Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Linealidad


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Multiplicacin porka


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Teorema del corrimiento en el

tiempo


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Teorema del corrimiento

P i d d t i t t d l


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada zEjemplo donde se aplica el teorema delcorrimiento

a) y b)


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Solucin a)

Solucin b)

Solucin del Ejemplo:


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada zEjemplo: Considere la funcin y(k), la cual es

la suma de funciones x(h), donde h= 0,1,2,k tal que:

Obtener la trasformada z de y(k)

Donde y(k)= 0 para k


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada zSolucin

para:Si

y

Restando 1 y 2

.(1 ).(2)

Por lo que latrasformada z

es:Factorizando

tenemos )(]1)[(1 zXzzY =

Solucin:


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Teorema de Traslacin compleja.

Si x(t) tiene la transformada z X(z), entonces latransformada de z de est dada porX( z ) y es llamado teorema de traslacincompleja

Por lotanto:

Demostracin:


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Ejemplo:Dadas las trasformadas de sen t y cos t ,obtener la trasformada z mediante el teoremade traslacin compleja de la siguiente funcin:

F(t)=y

F(t)=


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Solucin de:

Sustituyendo z poratZe

Tenemos la solucin

F(t)

=

Sabemosque :


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Propiedades y teoremas importantes de latrasformada z2. Solucin de :

Sustituyendo z poratZe

Tenemos la solucin

F(t)

=

Sabemos

que :


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Ejemplo: Obtener la transformada de z de:attetf =)(

Sabemosque

Por lotanto:


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2. Teorema del valor inicial.

Si x(t) tiene la trasformada zX(z) y si elexiste , entonces el valor inicial x(0) de x(t)o x(k) esta dado por:

)(lim zXz

Si hacemos quez

i d d i d l


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Si x(t) tiene la trasformada zX(z) y si elexiste , entonces el valor inicial x(0) de x(t)o x(k) esta dado por:

)(lim zXz

El teorema del valor inicial es conveniente paraverificar la incidencia de posibles errores en elcalculo de la transformada z, debido a que X(0)normalmente se conoce. Una verificacin delvalor inicial permite descubrir errores en latrasformada z si estos existes.

P i d d i d l


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Determine el valor inicial x(0) si la trasformadaz de x(t) esta dada por:

Lo cual concuerda con el resultado ya que si hacemos

X(t)=x(0) tenemosque:

011)0( ==x

Aplicando el teorema del valor

inicial tenemos:

Este resultado se puede verificar evaluando lafuncin original:

P i d d t i t t d l


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Determine el valor inicial x(0) si la trasformadaz de x(t) esta dada por:

Lo cual concuerda con el resultado ya que si hacemosX(t)=x(0) tenemosQue el escaln unitario vale 1:

Aplicando el teorema del valor

inicial tenemos:

Este resultado se puede verificar evaluando lafuncin original:

1)0()0( == ux

Propiedades y teoremas importantes de la


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Teorema del Valor final.

Sea X[n] una secuencia causal. El valor final deX[n], esto es, el valor de X[n] a medida que ntiende a infinito se puede dar por la siguienteexpresin:

siempre que el valor final exista, o sea que existaX[n] cuando n tiende a infinito.

p y ptrasformada z

Propiedades y teoremas importantes de lat f d


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Teorema del Valor final.Suponga que x(t), donde x(k)=0 para k


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Sabemos que: (1)

Restando (1) y(2)

y

(2)

Si tomamos el limite cuando z tiende a 1, setiene



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Teorema del Valor finalEjemplo: Determine el valor final cuandode:

Mediante el uso del teorema de valor final

trasformada z

Tabla de Propiedades y teoremas

importantes de F(z)


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importantes de F(z)

Tabla de Propiedades y teoremas

importantes de F(z)


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importantes de F(z)

Tabla de Propiedades y teoremasimportantes de F(z)


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importantes de F(z)


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Trasformada z Inversa

Mtodo de la divisin


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En este mtodo, la trasformada z inversase obtiene mediante la expansin de X(z) enuna serie infinita de potencias de z. Estemtodo es til cuando es difcil obtener unaexpresin en forma cerrada para latransformada z inversa o se desea encontrar

slo algunos de los primeros trminos de x(k)El mtodo de divisin directa proviene delhecho de que si X(z) esta expandida en unaserie de potencias de z, por ejemplo:

Mtodo de la divisindirecta

Mtodo de la divisin


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directaEjemplo: Encuentre X(k) para k= 0,1,2,3,4,Cuando X(z) esta dada por :

Paso 1: Escribimos a X(z) como un cociente depolinomios en z

2.02.1

510)(

2.12.0510

)2.0)(1(510)(

2

2

+

+=

+

+=

+=

zz

zzx

zzzz

zzzzx

Multiplicando el numerador y denominadorpor Z tenemos:

Mtodo de la divisin


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directaEjemplo: Continuacin de la solucin

Mtodo de la divisin


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directaEjemplo: Continuacin de la solucin

Mtodo computacional


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Hay dos enfoques:

Adecuando la Funcin, tenemos:


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Numerador

Denominador


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>> num=[0 0.4673 -0.3393]

num =


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0 0.4673 -0.3393

>> den=[1 -1.5327 0.6607]

den =

1.0000 -1.5327 0.6607

>> x=[1 zero(1,40)];??? Undefined function or method 'zero' for input arguments of type 'double'.>> x=[1 zeros(1,40)];>> y=filter(num, den, x)

y =

Columns 1 through 15

0 0.4673 0.3769 0.2690 0.1632 0.0725 0.0032 -0.0429 -0.0679 -0.0758-0.0712 -0.0591 -0.0436 -0.0277 -0.0137


-0.0027 0.0050 0.0094 0.0111 0.0108 0.0092 0.0070 0.0046 0.0025 0.0007-0.0005 -0.0013 -0.0016 -0.0016 -0.0014


-0.0011 -0.0008 -0.0004 -0.0002 0.0000 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.00020.0001

>> x=[1 zeros(1,40)];


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Tarea: Encontrar la trasformada z inversa mediante MATLAB


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utilizando la delta de Kronecker para visualizar la salida y(k)desde k=0 hasta 50. Si la funcin de trasferencia es :

21

21

321

810)(

+

=

zz

zzzG

32

810)(

2

2

+

=

zz

zzG

zporndoMultiplica

Resultados:


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>> num=[0 10 -8]

num =

0 10 -8

>> den=[1 -2 3]

den =

1 -2 3

>> x=[1 zeros(1,50)];>> y=filter(num, den, x)

y =1.0e+012 *


0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.00000.0000 0.0000


0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000


-0.0001 -0.0001 -0.0001 0.0002 0.0008 0.0008 -0.0007 -0.0037 -0.0054 0.0004 0.0170 0.03280.0146 -0.0691 -0.1821


-0.1569 0.2325 0.9357 1.1741 -0.4590 -4.4403

Enfoque por medio de la ecuacin en


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diferenciasLa ecuacin puede convertirse en una ecuacin en diferenciascomo sigue

1. Multiplicamos el numerador y el denominador por z

2. Despejamos X(z) y Y(z) y factorizamos

3. Sustituyendo a z por su posicin temporal

Podemos determinar y(0) y y(1) haciendo


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primero k=-2 y luego k=-1Suponemos las condiciones iniciales:x(0)=1 y x(k)=0 para k0 y y(k)= para k


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