Clase Semana 5

Sistemas de 2do Orden

Jorge Luis Prez

Tiempo muerto o retardo de transporte

Tngase el siguiente sistema


Es el intervalo entre el momento en que laperturbacin entra al proceso y el tiempo enque la variable de salida empieza a responder

Se denota por t0

Es el intervalo entre el momento en que laperturbacin entra al proceso y el tiempo enque la variable de salida empieza a responder

Se denota por t0

= =

Para este ejemplo en particular ese tiempo sepuede estimar

= , = , = ,

Tiempo muerto o retardo de transporte,

Diferentes variables viajan a diferentes velocidades

El voltaje y la corriente elctrica viajan a lavelocidad de la luz: 300000 km/s, o 984106 ft/s

El flujo de lquido y presin viaja a la velocidaddel sonido en el fluido 340 m/s

Temperatura, composicin y otras propiedadesde los fluidos viajan aproximadamente a 5 m/spara lquidos y 60 m/s para gases

Las propiedades de los solidos viajan a lavelocidad del solido mismo

Actualidad del tema (Cont.)

De aqu se desprende que para distancias tpicasen la industria, el tiempo muerto es significativopara la temperatura, composicin y otraspropiedades de fluidos y slidos

Como es una parte integral del proceso debe sercontabilizado en la funcin de transferencia

= + 1 "#$

Aproximacin de Pad

"#$ = 1 0,51 + 0,5

Mediante esta aproximacin, se puede obtener una estimacin de los parmetros que ayudan a estudiar la estabilidad

En conclusin la presencia de una cantidad significativa de tiempo muerto en un proceso, es la peor cosa que le puede ocurrir a un sistema de control. Este afecta severamente al sistema (Corripio,1991)

Tiempo muerto

El estudio es similar al realizado para sistemas de 1er orden, donde aparecern nuevos parmetros que identifiquen el sistema

Sistemas de Orden Superior

Sistemas No interactivos

Se tiene el siguiente proceso


donde

( = )* +, = +( , .,/. = 2 , .34 = 2( ,

( = +, . 34


. = 56 . (* ( = +,7 6


El objetivo es estudiar como es influenciado el nivel del segundo tanque por la entrada al primer tanque y el flujo bombeado


Un balance dinmico en el 1er tanque

5(8 5(7 5(9 = 57 67 : ;?@AB CD E , FD E(7 = +,7 67


Un balance dinmico en el 2do tanque

5(7 5( = 5 6 G ;?@AB( = +, 6


Como la ecuacin de caudal no es lineal, se procede a la linealizacin

(7 = (7H + +7 67 67( = (H + + 6 6

+7 = I(7 I67 J =12 +,7 67

",/

+ = I( I6 J =12 +, 6

",/

donde


Escribiendo los balances en estado estacionario, definiendo las variables de desviacin y rearreglando

7 L7 + L7 = 7)8 + 7)9

7 = 7+7 ,

donde

L + L = L7

7 = 1+7 ,

7 = + , 7 = +7+ ,


Por lo tanto las funciones de transferencias quedan como

L7 = 77 + 1 )8 7

7 + 17 )9

L = + 1 L7

L = 77 + 1 + 1 )8 )9


L = 77 + 1 + 1 )8 )9

L )8 =7

7 + 1 + 1

L )9 =7

7 + 1 + 1

Sistemas interactivos

Ejemplo

Respuesta de sistemas de 2do orden

3 = M N =

7 + 1 + 1

3 = M N =

7 + 7 + + 1

3 = M N =

+ 2O + 1


3 = M N =

+ 2O + 1donde:

= 2 , 2O = ,

= 7O = 7 +2 7


M = + 2O + 1 =7 7

donde:

7 = O +O 1

= O

O 1

La respuesta depende de la razn de amortiguamiento


Para: O P 1

Sistema sobre amortiguado (a)

races reales y diferentes:

M = 1 0,5"Q# R QS"7R 1 + OO 1 + " QS"7R 1 OO 1


Para: O = 1

Sistema crticamente amortiguado (b)

races reales e iguales:

M = 1 1 + "# R


Para: 0 T O T 1

Sistema Sub amortiguado

races complejas:

M = 1 11 O "Q# R 1 O + "7

1 OO

Parmetros de sistemas Sub amortiguados

Sobrepaso: U =

"VQ7"QS


Razn de asentamiento:

+U =

"VQ7"QS


Tiempo de elevacin: Tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez el valor final


Tiempo de asentamiento: Tiempo que tarda larespuesta en llegar a ciertos limitespreestablecidos del valor final y permanecerdentro de ellos. Usualmente 5 %


Periodo de oscilacin, T:

W = 2X1 O , 2/


Frecuencia cclica, f:

( = 1W =1 O2X , /2

Ejercicio

Periodo Natural de oscilacin, Z? [ = \

W] = 2XFrecuencia cclica Natural, C? [ = \

(] = 12X

Ejercicio

+ = ^3 + 1 + 1 + ^ `

La funcin de transferencia de un lazo de control por retroalimentacin es dado por

Donde ^ es la ganancia del controlador. 1.- Relacione laganancia, tiempo caracterstico y razn deamortiguamiento de la funcin de transferencia de 2do

orden con la ganancia del controlador. 2.-Encuentre losrangos del controlador los cuales hacen que la respuestasea: a) Sobre amortiguada b) sub amortiguada c)crticamente amortiguada. 3.- Puede la respuesta serinestable para cualquier valor positivo en la ganancia?

Ejercicio

+ = ^3 + 1 + 1 + ^ ` Se desarrolla el denominador

+ = ^3 + 3 + + 1 + ^ `

+ = ^3 + 4 + 1 + ^ `

Ejercicio (Cont.)

Rearreglando

+ =^1 + ^31 + ^ +

41 + ^ + 1`

Se tiene que:

41 + ^ = 2O

31 + ^ =

Ejercicio (Cont.)

Por lo tanto

O = 23 1 + b =3

1 + bEs decir:

Sobre amortiguado [ P D2

3 1 + b P 12

3 1 + b

P 1

Ejercicio (Cont.)

Sub amortiguado \ T [ T D

23 1 + b

P 1 43 P 1 + b

13 P b13 P b

0 T 23 1 + b

T 1 0 T4

3 1 + b T 113 T b13 T b

Crticamente amortiguado [ = \c 2 c 2

Ejercicio (Cont.)

Puede ser inestable?

Utilizando la resolvente puede demostrarse que no se har inestable para una ganancia positiva

Notas adicionales

Aproximaciones de funciones de transferencias de orden superior

Se utilizan para el diseo de controladores y el anlisis de sistemas

Expansin series de Taylor

"#$ 1 Aproximacin de 1er Orden

"#$ 1#$ 1

1 +

Aproximacin de funciones de transferencia

Ejemplo

3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 1Se aproximar a una funcin de primer orden mas tiempo muerto

3 = "#$ + 1


Se retendr la constante de tiempo dominante 6 las dems constantes de aproximaran

3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 10,2 + 1 ",

13 + 1 "

1 + 1 "


Obtenemos

3 = "(,gg7)6 + 1 =ij;"G,:klk + D


Regla de la mitad de Skogestad

3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 1De las constantes de tiempo que sern despreciadas tomamos la mas grande 3

La mitad de este valor 1,5 se lo sumamos a la constante de tiempo que quedar en la expresin

= 6 + 1,5 = 7,5La otra mitad 1,5 provee un nuevo tiempo muerto


Regla de la mitad de Skogestad

Por lo tanto

Este mtodo provee mejores resultados que el de Taylor

3 = "(,g7,/g7)7,5 + 1 =ij;":,nkn, ok + D

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