Clase N°5Generación de instancias de una v.a. (Parte II)

ICS3723Simulación

Profesor Pedro Gazmuri

Generación de instancias de una v.a. (Parte II)

1. Composición2. Convolución3. Métodos de aceptación y rechazo4. Generación de algunas distribuciones específicas

i. N-Erlangii. GAMMAiii. Weibulliv. Normalv. Beta

1. Composición

• Sea y supongamos que F puede escribirse como una combinación lineal convexa de distribuciones , en que es fácil obtener instancias de esas distribuciones.

• Es decir,(1)

~X F

1 2, , ...F F

1

1

( ) ( )

0, , 1

j jj

j jj

F x P F x

P j P

1. Composición

• Método: Sea J una v.a. tal quei. Generar una instancia de la v.a. Jii. Generar una instancia de la distribución F

• Notemos que si (1) se cumple para la función de distribución F, una expresión análoga se cumple para f

• Aquí es la función densidad asociada a .

( ) jJ j P P

1

( ) ( )j jj

f x P f x

( )jf ( )jF

1. Composición

• Ejemplo: distribución de Laplace:

• Entonces:

| |( ) 0.5 ,xf x e x

x

( )f x

0.5

( ,0) [0, )( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )

1,( )

0,

x x

A

f x e I x e I x

si x AI x

si x A

1. Composición

• Luego f(x) es una combinación lineal convexa de:

• Primero generamos una instancia de la v.a. J:

• Generamos• Si , generamos una instancia de• Si , generamos una instancia de

1 ( ,0)

2 [0, )

( ) ( )

( ) ( )

x

x

f x e I x

f x e I x

1, 1 / 2

2, 1 / 2J

conprobabilidadconprobabilidad

~ (0,1)U U

0.5U ( ) xf x e

0.5U ( ) xf x e

2. Convolución

• Supongamos que X puede escribirse como la suma de m v.a. i.i.d.

• Método:i. Generar instancias deii. Calcular

1 2

~

~ , 1,...,

m

i

X Y Y Y

X F

Y G i m

1 2, ,..., mY Y Y

1 2 mX Y Y Y

3. Métodos de aceptación y rechazo

• Supongamos X continua con distribución F y densidad f.

• Supongamos que existe una función t que “mayora” a f, es decir,

• En general, t no será una función densidad ya que:

• Pero si asumimos , definimos• Suponemos que podemos generar con facilidad una

instancia de , de densidad r(x).

( ) ( ), .t x f x x

( ) ( ) 1c t x dx f x dx

c ( ) ( )/r x t x c

~Y R

3. Métodos de aceptación y rechazo

• Método:i. Generar Y de acuerdo a la densidad r.ii. Generar independiente de Y.iii. Si ,retornar , en caso contrario, volver

al paso i.

~ (0,1)U U( )( )

f Yt YU X Y

3. Métodos de aceptación y rechazo

• Demostración del método:o Supongamos que el evento A corresponde a la

aceptación en el paso iii.o Ahora X sólo está definido bajo el evento A.o Ahora cuando A ocurre, , por lo tanto

o Ahora,( , )

( ) ( | )( )

Y x AX x Y x A

A

P

P PP

, ( , | ) ( )

( | ) ( )

y x

y

y x

y

Y x A A Y x Y y r y dy

A Y y r y dy

P P

P

X Y

3. Métodos de aceptación y rechazo

• Demostración del método:o Ahora,

o Luego, ( ) ( )

( ) ( )( | ) f y f yt y t yA Y y U P P

( ), ( )

( )

1 1( ) ( )

y x

y

y x

y

f yY x A r y dy

t y

f y dy F xc c

P

3. Métodos de aceptación y rechazo

• Demostración del método:o Por otra parte,

o Por lo tanto,1

1

( )( , )( ) ( )

( )c

c

F xX x AX x F x

A

P

PP

( )( ) ( | ) ( ) ( )

( )

1 1( )

f yA A Y y r y dy r y dy

t y

f y dyc c

P P

4. Generación de algunas distribuciones específicas

i. N-Erlang• Corresponde a un caso especial de la• Corresponde a la suma de n exponenciales de tasa

λ, es decir, tiene distribución

( , )GAMMA

( , )GAMMA n

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA• Con parámetros , tiene densidad

• Si , se cumple que

• No existe una fórmula cerrada para la función distribución inversa.

1( ; , ) , 0( )

xf x x e x

2( ) , ( )Y Var Y

E

~ ( , )Y GAMMA

, 0

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA

• Recordar que• Si es entero,

1

0( ) tt e dt

( ) ( 1)! 0

( ; , )f x

x

1 2

3

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA• Ahora, si

entonces Y distribuye como βX.• Luego, sólo nos basta saber cómo generar

~ ( ,1)

~ ( , )

X GAMMA

Y GAMMA

~ ( ,1)X GAMMA

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA1. Caso .• Existe un algoritmo de aceptación y rechazo que es

eficiente para este caso:

0 < <1α

1

0 , 0

( ) , 0 1( )

, 1( )

x

si x

xt x si x

esi x

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA1. Caso .0 < <1α

0

1

( ) ,( )

0 , 0

( )( ) , 0 1

, 1x

b ec t x dx b

e

si x

t x xr x si x

c be

si xb

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA1. Caso .• La función de distribución R asociada a r es:

• Y esta función es invertible:

0 < <1α

0

0 1( ) ( )

1 1x

xxb

eb

si xR x r y dy

si x

111

(1 ) 1

( ) 0( )ln 1

bb z

b

bz si zR zsi z

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA2. Caso .• También se usa un algoritmo de aceptación y

rechazo

• En este caso,

>1α

1

2

0 , 02 1

( ) ,, 0

( )

si x

r x uxsi x u

u x

4( )

ec

4. Generación de algunas distribuciones específicas

ii. GAMMA2. Caso .• Las funciones de distribución y su inversa son,

respectivamente

>1α

1

1

0 , 0( )

, 0

( ) ,0 11

si xR x x

si xu x

uzR z z

z

4. Generación de algunas distribuciones específicas

iii. Weibull• Con parámetros , tiene densidad

• Según los valores de a y b, puede dar origen a muchas formas distintas.

• F es invertible en este caso:

1( ; , ) , 0bb axf x a b abx e x

, 0a b

1

1( ) ln(1 ) aF u b u

4. Generación de algunas distribuciones específicas

iv. Normal• F no es invertible.• Método:

o Si U1,U2 son v.a. i.i.d. U(0,1), entonces

1 1 2

2 1 2

2ln cos2

2ln sin2

x U U

x U U

4. Generación de algunas distribuciones específicas

v. Beta• Con parámetros , tiene densidad

• Da lugar a muchas formas distintas.• Resultado: si Y1 e Y2 son independientes con

entonces:

, 0 1 1(1 )

( ; , ) , 0 1( , )

x xf x x

1 1 2 2~ ( ,1) , ~ ( ,1)Y GAMMA Y GAMMA

11 2

1 2

~ ( , )Y

BetaY Y