Clase N°4 Generación de instancias de una v.a. (Parte I) ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri

Clase N°4Generación de instancias de una v.a. (Parte I)

ICS3723Simulación

Profesor Pedro Gazmuri

Generación de instancias de una v.a. (Parte I)

1. Método de la transformada inversa2. Generación de números aleatorios U(0,1)

i. Método congruencial linealii. Multiple recursive method

3. Tests disponibles para analizar la calidad del métodoi. Tests teóricosii. Tests estadísticos

1. Método de la transformada inversa

• Supongamos que queremos generar instancias de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades F.

• Sabemos que:

• Sea R una v.a. con distribución de probabilidad uniforme sobre [0,1]. Entonces:

( ) ( )F x X xP

( ) , 0 1R r r rP


• Por lo tanto,

• Podemos plantear esta igualdad, pues

• Hemos establecido entonces la siguiente igualdad(1)

0 ( ) 1F x

( ) ( ) ( )F x X x R F xP P

( ) ( )R F x F xP


• Ahora bien, siempre es una función monótona no decreciente y, por lo tanto, el evento es equivalente al evento .

• Esta equivalencia puede ser visualizada gráficamente

( )F{ ( )}R F x

1{ ( ) }F R x

( )F x

R

1( )F R 1 ( )F F x x


• La equivalencia de los dos eventos implica que:(2)

• Obsérvese que es una función de una v.a. y, por lo tanto, es también aleatoria.

• Luego, las ecuaciones (1) y (2) implican que:

• Por lo tanto, las variables aleatorias X y tienen la misma distribución de probabilidades.

1( ( )) ( )R F x F R xP P 1( )F R

1( ) ( ) ,X x F R x xP P 1( )F R


• El método que utilizaremos para generar instancias de X (denominado de la transformada inversa), opera de la siguiente manera:

i. Generar una instancia R₁ de R, en queii. Sea ; entonces X₁ es una instancia de X

(0,1)R U 1

1 1( )X F R


• Nótese que es una variable aleatoria distinta de X, pero que comparte su distribución de probabilidades.

• Por lo tanto, generar una instancia de es equivalente a generar una instancia de X.

• Para generar una secuencia de instancias de X, debemos generar una secuencia .

• Para que las instancias sean independientes entre sí, debemos asegurarnos que las instancias también lo sean.

1 2, , ..., nX X X

1 2, , ..., nR R R

1{ }ni iX

1{ }ni iR

1( )F R

1( )F R

2. Generación de números aleatorios U(0,1)

i. Método congruencial lineal• LCG: linear congruential generator.

• Éste es el método estándar.• Dependiendo de las constantes a, c y m el método

puede tener mejores o peores propiedades.

1( )modn n

nn

X aX c m

Xu

m


• Modelo formal: un generador pseudo-aleatorio es una estructura en que

• Luego, el método genera una secuencia

0( , , , , )q S s T U GConjunto finito de estadosSemilla o estado inicialFunción de transformaciónConjunto de outputs

Función de output

S0s S

T

U

G

:T S S

:G S U

0 1, , ..., ns s s


• Un buen método es aquél en que ρ es cercano a |S|• En el método congruencial lineal

el periodo máximo es m. 1( )modn nX aX c m

DefiniciónEl periodo es el menor entero tal que para algún y para todo se tiene que

0

0 n n ns s

0 1 2 1 1, , , ..., , , ..., , ...,transiente s

s s s s s s s s


• Propiedades ideales de un buen métodoo Uniformidado Independenciao Periodo largoo Facilidad de implementacióno Rapidez y poca memoria

• Cómo diseñar buenos métodoso Tests estadísticoso Tests teóricos


ii. Multiple recursive method

1 1 2 2( ... )modn n n k n kX a X a X a X m

3. Tests disponibles para analizar la calidad del método

i. Tests teóricos: análisis de la estructura matemática de los números generados.

ii. Tests estadísticos.


i. Tests teóricos• En función sólo de a, c y m.

TeoremaSe examinan la d-tuplas

Entonces caen sobre un número finito (y usualmente pequeño de) hiperplanos en el hipercubo .

1 1 2

2 2 3 1

( , ,..., )

( , ,..., )d

d

V U U U

V U U U

1 2, , ..., iV V V

[0,1]d


i. Tests teóricos• Ejemplo 1: generador

o Es el periodo completoo Se tiene y usamos

• Ejemplo 2: generadoro Ahora y usamos

• Ejemplo 3: subrutina RANDUo Se tiene y usamoso 2000 tripletas generadas (15 planos)

1(37 1)mod64i iZ Z

37, 1, 64a c m 2, 3d d

1(21 1)mod64i iZ Z 21a 2d

16 312 3, 0, 2a c m 3d


i. Tests teóricos• Ejemplo 1:

iU

1iU

Two-dimensional lattice for full-period LCG with 37, 1, 64a c m

2d



iU

Three-dimensional lattice for full-period LCG with 37, 1, 64a c m

1iU

2iU

3d



iU

1iU

Two-dimensional lattice for full-period LCG with 21, 1, 64a c m

2d



iU

Three-dimensional lattice for 2000 triplets from the LGC RANDU with16 312 3 65539, 0, 2a c m

1iU

2iU

3d


i. Tests teóricos• Método congruencial lineal:

• Nd: número de hiperplanos en espacio de d-tuplas.

Teorema

1 ( )mod , /n n n nU aU c m u U m

1

( ! )ddN d m

• Ejemplo:• Este tipo de teoremas puede generalizarse a

modelos congruenciales múltiples.

312 , 6, 107dm d N


ii. Tests estadísticos1. Test de uniformidad• Sea la secuencia generada.• Se divide el intervalo [0,1] en k subintervalos de

igual longitud.• Criterio: .• Sea fj el número de valores Ui que caen en el

subintervalo j.• Sea

1 2, , ..., nU U U

100, / 5k n k

2 2

1

( / )k

jj

kf n k

n


ii. Tests estadísticos1. Test de uniformidad• Si , entonces, para n grande,

distribuye (aprox.) como una chi-cuadrado conk – 1 grados de libertad.

• La hipótesis se rechaza, a nivel α, si• α es la probabilidad de cometer error tipo I, es

decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando ésta es verdadera. Por ejemplo, .

~ (0,1)iU U

2 21,1k

0.1


ii. Tests estadísticos2. Test simultáneo de uniformidad e independencia• Generamos pares

• Si los , entonces los vectoresdistribuyen uniforme sobre el cuadrado unitario.

• También debe ser válido para tuplas de largo t.• Se puede extender el test de hipótesis anterior.

1 1 2

2 3 4

2 1 2

( , )

( , )

( , )n n n

V U U

V U U

V U U

~ (0,1)iU U1 2, , ..., nV V V


ii. Tests estadísticos3. Test de independencia (secuencias ascendentes)• Se identifican subsecuencias ascendientes de largo

máximo.o Ejemplo: supongamos que la rutina generadora produce los siguientes 10

números:0.855 0.108 0.226 0.032 0.1320.055 0.545 0.642 0.870 0.104

Subsecuencias ascendentes:0.8550.108 0.2260.032 0.1320.055 0.545 0.642 0.8700.104


ii. Tests estadísticos3. Test de independencia (secuencias ascendentes)

o Seanri : número de subsecuencias generadas de largor6: número de subsecuencias de largo mayor o igual a 6.

• Si las , se pueden obtener matemáticamente las distribuciones de los ri

y construir un estadígrafo a partir de ellos.

~ (0,1)iU U

, 1,...,5.i i


ii. Tests estadísticos3. Test de independencia (secuencias ascendentes)

o El estadígrafo es

o Aquí, es una matriz de coeficientes conocidos y

• Se rechaza la hipótesis si un cierto valor.• Bajo la hipótesis nula, .

o En el ejemplo con 6 grados de libertad, bajo la hipótesis nula.

R 2~R

2~R

6 6

1 1

1( )( )ij i i j j

i j

R Q r nb r nbn

6

, 1ij i jQ Q

1 2 6

1 5 11 19 29 1( , ,..., ) , , , , ,

6 24 120 720 5040 840valores decrecientes

b b b

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