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Departamento de Ciencias Económicas 2400 Matemática I 2° C 2021 1 CLASE Nº 7 Ejercicios obligatorios TRABAJO PRÁCTICO: TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Ejercicio 1: Comprobar que la función () = cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0; ]. ¿Dónde se verifica la conclusión? Debemos verificar las condiciones de la hipótesis. H1) ¿() = ()? Es decir ¿(0) = ()? (0) = 0 = 0 y () = = 0 ⟹ (0) = () = 0 Observemos, también, en el gráfico de () = que (0) = () H2) ¿Es continua en el intervalo [0; ]? La función () = sen x es una función continua en , por lo tanto, es continua en [0; ]. Se cumple la hipótesis de continuidad en el intervalo.

CLASE Nº 7 TRABAJO PRÁCTICO: TEOREMAS SOBRE FUNCIONES

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Ejercicio 1:
Comprobar que la función () = cumple las condiciones del teorema de Rolle en el
intervalo [0; ]. ¿Dónde se verifica la conclusión?
Debemos verificar las condiciones de la hipótesis.
H1) ¿() = ()? Es decir ¿(0) = ()?
(0) = 0 = 0 y () = = 0 (0) = () = 0
Observemos, también, en el gráfico de () = que (0) = ()
H2) ¿Es continua en el intervalo [0; ]?
La función () = sen x es una función continua en , por lo tanto, es continua en [0; ].
Se cumple la hipótesis de continuidad en el intervalo.
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H3) ¿Es derivable en el intervalo (0; )?
Ya demostramos que la función () = es una función derivable en y, por lo tanto, es
derivable en (0; ).
Se cumple la hipótesis de derivabilidad en el intervalo.
Buscamos ahora el punto = en (0; ) donde se cumple la tesis tal que ′() = 0.
Es decir, buscamos ∈ (0; )/′() = = 0
Si = 0 ⇒ = 0 ⇒ =
2 + ; ∈ . (Las soluciones de la ecuación son las raíces
de la función cos , ver su gráfica)
Si le damos a valores enteros, tenemos los infinitos valores de para los cuales su coseno es 0.
Por ejemplo, si = −1, =
2 − = −
2 + 0 · =
2 + =
2 (0; ).
Como tiene que estar en el intervalo (0; ), dándole a el valor 0, toma el valor
2 y
2 ∈ (0; ),
y para otros valores de , no pertenece al intervalo, entonces =
2 .
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Ejercicio 4:
Comprobar que la función () = { 2 + 2 si − 0,5 ≤ < 1
5 − ( − 2)2 si 1 ≤ ≤ 4 cumple las condiciones del
teorema de Rolle. ¿Dónde se verifica la conclusión?
Debemos verificar las condiciones de la hipótesis. El intervalo en este caso es el dominio de la
función: [−0,5; 4]
H1) ¿() = ()? entonces
(−0,5) = 2 (−0,5) + 2 = −1 + 2 = 1 y (4) = 5−(4 − 2)2 = 5 − 22 = 5 − 4 = 1
(−0,5) = (4)
H2) ¿Es continua en el intervalo [−0,5; 4]?
Cada tramo de la función es continua, porque son polinomios.
Debemos revisar en = 1.
¿Existe la imagen de = 1? (1) = 5−(1 − 2)2 = 5−(−1)2 = 5 − 1 = 4
lim →1−
[5 − ( − 2)2] = 4
como los límites laterales son iguales existe el límite y vale 4.
Entonces (1) = lim →1
() = 4 y la función es continua en = 1.
Es decir, se cumple la hipótesis de continuidad en el intervalo.
H3) ¿Es derivable en el intervalo (−0,5; 4) ?
Cada tramo de la función es derivable, porque son polinomios.
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Calculamos las derivadas laterales
()−(1)
()−(1)
−1 = lim
−1 =
→1+ [−( − 3)] = 2
Como las derivadas laterales son iguales, existe la derivada en = 1 y vale 2.
Se cumple la hipótesis de derivabilidad en el intervalo (−0,5; 4).
Podemos expresar la derivada de la siguiente forma:
() = { 2 + 2 si − 0,5 ≤ < 1
5 − ( − 2)2 si 1 ≤ ≤ 4 ′() = {
2 si − 0,5 ≤ < 1 −2( − 2) si 1 ≤ ≤ 4
Buscamos ahora el punto = en (−0,5; 4) donde se cumple la tesis / ′() = 0.
Es decir, buscamos ∈ (−0,5; 4)/′() = 0
Analizamos cada tramo: 2 = 0 y −2( − 2) = 0
Como 2 ≠ 0, analizamos −2( − 2) = 0.
Si ∈ [1; 4): − 2( − 2) = 0 ⇒ − 2 = 0 (−2) ⇒ − 2 = 0 ⇒ = 2 y 2 ∈ (−0,5; 4)
Ejercicio 7:
La función () = |2 − 5| verifica que (1) = 4 = (3), sin embargo, su derivada no se anula
en ningún punto entre 1 y 3, ¿cómo es posible esto? Justificar.
Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, la función () = |2 − 5| se puede escribir de
la siguiente manera:
5
−( − ) si − ≥ si − < 0
2 − 5 ≥ 0 → 2 ≥ 5 → || ≥ √5
2 − 5 < 0 → 2 < 5 → || < √5
O de otra forma:
si || <√5
Pero como ∈ [1; 3], > 0, entonces puedo sacar las barras del valor absoluto, y definir la
función en el intervalo de la siguiente manera:
() = |2 − 5| = { 2 − 5
−(2 − 5) si √5 ≤ ≤ 3
si 1≤ < √5
¿Cumple con H2)? ¿Es continua en el intervalo [1; 3]?
Cada tramo de la función es continua, porque son polinomios.
Debemos revisar en = √5.
¿Existe la imagen de = √5? (√5) = (√5) 2
− 5 = 5 − 5 = 0
+ (2 − 5) = 0
como los límites laterales son iguales existe el límite y vale 0.
Entonces (√5) = lim →√5
() = 0 la función es continua en = √5.
Se cumple la hipótesis de continuidad en el intervalo.
¿Cumple con H3)? ¿Es derivable en el intervalo (1; 3)?
Cada tramo de la función es derivable, porque son polinomios.
Debemos revisar en = √5
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′(√5)+ = →√5
+
+
− √5 = √5 + √5 = 2√5
Como los límites a la izquierda y a la derecha de √5 no son números finitos iguales, no existe la
derivada en = √5 ∈ (1; 3) y no se cumple la hipótesis de derivabilidad en el intervalo.
Como no cumple esta hipótesis, es decir, la derivada no existe, no es válido afirmar que puede
anularse ′() en el intervalo dado, a pesar de cumplir con las otras dos condiciones de la hipótesis.
Ejercicio 11:
Comprobar si el teorema del valor medio es aplicable a la función () = +3
−3 en el intervalo
[−1; 4]. Si es posible aplicarlo, hallar todos los valores donde se verifica su conclusión y realizar la
gráfica correspondiente en el intervalo dado.
La función es racional, vamos a analizar si es continua en [−1; 4]. El dominio de es
= − {3}. Por lo tanto, (3) y es discontinua en = 3. Debido a que 3 ∈ [−1; 4], la
función no cumple con la hipótesis de continuidad y el teorema del valor medio no es aplicable a la
función () = +3
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Ejercicio 16:
Calcular y para que la función () = {2 + 2 + si ≤ 0 −2 + si > 0
cumpla las condiciones del
teorema del valor medio en el intervalo [−3; 2]. ¿Dónde se verifica la conclusión? Realizar el
grafico correspondiente.
H1) Para que la función () sea continua en [−3, 2], debe serlo en todos los puntos de ese
intervalo. Cada tramo de la función es continua, porque son polinomios.
Debe serlo también en = 0.
Para ello, los límites laterales deben ser iguales. Resulta:
(0) = 02 + 2 · 0 + =
í →0−
í →0+
Como deben ser iguales, es = 0
H2) La derivabilidad en (−3, 2) implica la existencia de la derivada en todos los puntos de ese
intervalo.
Cada tramo de la función es derivable, porque son polinomios. Debe serlo también en = 0
Calculamos las derivadas laterales:
() − (0)
() − (0)
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Como deben ser iguales, resulta: = 2
La función resulta:
() = {2 + 2 si ≤ 0 −2 + 2 si > 0
La función derivada es:
′() = { 2 + 2 si ≤ 0 −2 + 2 si > 0
Tenemos que buscar ∈ (−3; 2) tal que ′() = (2)−(−3)
2−(−3)
Como la función derivada está definida por tramos, hay que analizarla para ambos tramos.
Si ∈ (−3; 0] ⇒ ≤ 0 ⇒ ′() = 2 + 2
⇒ 2 + 2 = (2)−(−3)
2−(−3) ⇒ 2 + 2 =
2+3
5 ⇒ 2 + 2 =
Si ∈ (0; 2) ⇒ > 0 ⇒ ′() = −2 + 2
⇒ −2 + 2 = (2)−(−3)
2−(−3)
2+3
5 ⇒ −2 + 2 =
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Las tres rectas graficadas son paralelas, con pendiente igual a − 3
5 .
La recta verde es la recta secante que pasa por los puntos (−3; (−3)) y (2; (2)).
La recta naranja es las recta tangente a () en el punto (1,3; (1,3)).
La recta rosa es las recta tangente a () en el punto (−1,3; (−1,3)).
Ejercicio 18:
Hallar, si es posible, el valor de donde se cumple la conclusión del teorema de Cauchy, siendo
() = 3 + 2, () = 2 + 1 y el intervalo [1; 4].
Las funciones () y () son continuas en [1; 4] por ser funciones polinómicas.
() y () son diferenciables en (1; 4) por ser funciones polinómicas.
Además, ′() = 2 ≠ 0, ∀ ∈ [1; 4].
() = {2 + 2 si ≤ 0 −2 + 2 si > 0
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Se cumplen las condiciones de la hipótesis del teorema de Cauchy, entonces: existe ∈ (1; 4)
tal que
(4) − (1)
(4) − (1) =
′()
′()
Siendo: (4) = 14 ; (1) = 5 ; (1) = 2 y (4) = 17
Y además, ′() = 3 y ′() = 2
Entonces resulta:
14−5
17−2 =
45
18 =
5
5
2
Luego el valor buscado , donde se cumple la tesis es: = 5
2 ∈ (1; 4).
En los siguientes ejercicios hallar los límites indicados aplicando, si corresponde, la regla de
L’Hôpital.
→2
2−5+6
→1
11
→0+
→+∞
(2) →+∞
(3) →+∞
(4) →+∞
k) →
) (Suma de infinitos de distinto signo)
Se transforma la diferencia [() − ()] en un cociente o se aplica la siguiente
transformación: () · (1 − ()
→1
(−1)ln ) sacamos denominador común
→1
→1 (
(−1)ln ) =
12
→1
(−1)ln ) =
( 1ln +⋅
) =
→1 (
→1

En este ejercicio, la base que tiende a uno y el exponente a infinito: (→ 1)(→∞). Primero se los
lleva a la forma (→ 0) (→ ∞) aplicando logaritmos y luego se los lleva a la forma (→)
(→) o
(1 + 2) 1
ln () = ln [ →0
(1 + 2) 1
[ln(1 + 2) 1
[ 1
() 1
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[ 2⋅
1
Por lo tanto nos queda: ln() = 0 ⇒ = 0 = 1.
Es decir, →0
(1 + 2) 1
()(
− )
En este ejercicio, la base que tiende a uno y el exponente a infinito: (→ 1)(→∞). Primero se los lleva
a la forma (→ ) (→ ∞) y luego aplicando logaritmos se los lleva a la forma (→)
(→) o
1
1−
ln () = ln [ →1
1
1−]
[ln ( 1
[ 1
ln() = →1
[ 1

−1 ] =
1

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1
()
En este ejercicio, la base que tiende a cero y el exponente a cero: (→ 0)(→0). Primero se los lleva a
la forma (→ 0) (→ ∞) aplicando logaritmos y luego se los lleva a la forma (→)
(→) o
(sen)
ln () = ln [ lim →0+
(sen)]
[ln(sen ))]
[ ln(sen )] = (→ 0) (→ −∞)
Si expresamos como cociente:
ln() = lim →0+
ln() = →0+
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[ cos()
sen() ] =
(→0)
(→0)
Podemos aplicar nuevamente la regla, trabajaremos con la forma →0+
[− 2
() ]:
1 = 0
Entonces: ln() = 0 ⇒ = 0 = 1. Es decir, lim →0+
(sen) = 1
)
En este ejercicio, la base que tiende a infinito y el exponente a cero: (→ ∞)(→0). Primero se los
lleva a la forma (→ 0) (→ ∞) y luego aplicando logaritmos se los lleva a la forma (→)
(→) o
Si = lim →+∞
1
ln () = lim →+∞
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1 = 0
Por lo tanto nos queda: ln() = 0 ⇒ = 0 = 1. Es decir, lim →+∞
1
= 1.