CLASE 7 Modelos de variables aleatorias discretas

CLASE 7

Modelos de variables aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli suele utilizarse para estudiar la aparición de un suceso de interés, al realizar un experimento asociado a un fenómeno aleatorio.

Llamamos A al suceso de interés, éste puede ocurrir con probabilidad p (éxito) o no ocurrir con probabilidad (1 – p) (fracaso).

Cualquiera sea el experimento o suceso esta modelización será válida.

Distribución de Bernoulli

Definiremos la variable aleatoria X = “número de éxitos en el experimento”

X tomará solo dos valores: 0, si no ocurre A (fracaso) o 1 si ocurre A (éxito)

La función de cuantía de la variable es por lo tanto:

1,0;)1()( 1 xppxf xx

A cualquier variable aleatoria discreta, con la anterior función de cuantía la denominamos variable aleatoria de Bernoulli, con probabilidad de éxito p, y se representa X ~ b(p) (se lee “X se distribuye Bernoulli con parámetro p”)

Distribución de BernoulliCaracterísticas de la distribución de Bernoulli

Siendo X ~ b(p)

spepsM

ppXVar

pXE

1)(

)1()(

)(

Dem:

La distribución Binomial de parámetros n y p Si se realiza n veces el experimento en condiciones independientes, y en todas la probabilidad de ocurrir el suceso de interés A (éxito) se mantiene constante y es p. Estas son las condiciones iniciales que deben cumplirse para aplicar el modelo binomial.

Definimos la variable X= “cantidad de éxitos en las n experiencias”

n,....2,1,0

nxppCxf xnxnx ,.....,2,1,0;)1.(.)(

El recorrido de X es y su función de cuantía es:

La distribución Binomial de parámetros n y p

nxppCxf xnxnx ,.....,2,1,0;)1.(.)(

Cualquier variable discreta que tenga esta función de cuantía anterior se la denomina BINOMIAL de parámetros n y p, siendo n la cantidad de experiencias y p la probabilidad de éxito en cada una.

),(~ pnBXDeducción de la función de cuantía y probar que lo es.


Ejemplo:

Se sabe por larga experiencia que la calidad de fabricación (proporción de defectuosos fabricados) de un determinado artículo es p=0,1. Para controlar la calidad, se interrumpirá el proceso de fabricación si al inspeccionar 10 artículos tomados al azar se encuentran al menos dos defectuosos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 defectuosos en los 10 inspeccionados?

b) Calcular la probabilidad de que la producción se interrumpa

c) Si la calidad cambia a p=0,6 y se inspeccionan 10 artículos fabricados después del cambio. ¿cuál es la probabilidad de que se interrumpa?

Relación entre la Bernoulli y binomial

Las distribuciones de Bernoulli y binomial están muy relacionadas. La binomial con n=1 representa el número de éxitos obtenidos en una experiencia, por lo tanto es una Bernoulli. Para obtener una relación más general entre las dos distribuciones, calcularemos previamente la función generatriz de momentos de la variable X ~B(n,p)

RseppsM ns ).1()(

dem


n

ii

i

n

pnBXX

Entonces

nipbX

quetalntesindependiealeatoriasiablesXXXSean

1

21

),(~

:

,....,2,1)(~

var,...,,)1

TEOREMAS

n

iii

n

XXynipbXquetales

ntesindependiealeatoriasiablesXXX

existenentoncespnBXSean

1

21

,....,2,1)(~:

var,...,,

),(~)2

Dem:

Característica de la distribución binomial

Sea X~B(n,p)

E(X) = np

Var(X) = np(1-p)

Dem:

Un examen de estadística es de tipo test. Tiene 20 preguntas y cada pregunta costa de 4 alternativas, siendo una de ellas correcta. Cada alumno puede elegir una sola de las alternativas. La puntuación del alumno es X= A- F/3, siendo A al número de aciertos y F es el de fallos.

Si el alumno contesta de forma aleatoria. Calcular:

a) La distribución de A

b) La esperanza y la varianza de X

c) La probabilidad de que el alumno obtenga al menos 5 puntos en el examen.

La distribución de POISSON

La distribución de Poisson es una distribución discreta de probabilidad en la que la variable aleatoria representa el número de acontecimientos independientes que ocurren a una velocidad constante sobre el tiempo o el espacio.

La variable X tiene una distribución de POISSON de parámetro λ>0 y lo representamos X~P(λ), cuando su función de cuantía es:

....2,1,0!

.)( xx

exfx

El número λ representa el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo, es decir la velocidad con que ocurren los acontecimientos.

El proceso de POISSON

Un proceso de Poisson de parámetro λ es un proceso aleatorio en el que ocurren acontecimientos repartidos a lo largo de un intervalo continuo (de tiempo, de longitud, etc.) de la siguiente manera:

Dado un intervalo lo suficientemente pequeño, de longitud h, se cumple que:

1) La probabilidad de que ocurra exactamente un acontecimiento en el intervalo es aproximadamente λh.

2) La probabilidad de que ocurran dos o más acontecimientos en el intervalo es aproximadamente 0.

3) La ocurrencia de un acontecimiento en un intervalo de longitud h no tiene efectos sobre la ocurrencia en otro intervalo disjunto con el anterior (las ocurrencias son independientes una con la otra).

La anterior distribución surge de un proceso aleatorio que verifica ciertas Hipótesis, que se detallan a continuación.

TEOREMA

Sea Xs el número de acontecimientos que ocurren, en el intervalo de longitud s, en un proceso de Poisson de parámetro λ.

Entonces, la función de cuantía de Xs es:

,.....2,1,0;!

)(.)( xx

sexf

xs

Es decir que Xs ~P(λs)

Dem:

EJEMPLO:

Un fabricante de cierto componente eléctrico afirma que, en promedio. cada componente falla una vez en 2000 horas de operación. Un comprador somete un componente de los anteriores a 300 horas de operación y observa que falla dos veces. ¿Existe evidencia suficiente para dudar de lo que afirma el fabricante?

Como consecuencia, concluimos que la distribución de Poisson puede utilizarse para aproximar las probabilidades de una binomial B(n, p), cuando n es grande y p pequeño, aproximándolas por una P(np).

En la práctica esta aproximación es buena cuando:

p< 0,1 y 10np

Veamos unos ejemplos

Existe una interesante relación entre la distribución binomial Existe una interesante relación entre la distribución binomial y la de Poisson.y la de Poisson.

Si Xn~B(n, pn) y entonces0 n

pnkn

nk

n

n

kn ppkf C )1(.)(

elím kkf

k

nn

.!

)(el entonces )(~ PX npcon

La demostración será análoga que en el teorema anterior.

Es más que evidente que en las calles y rutas del Uruguay muchos automovilistas realizan maniobras sumamente arriesgadas (e innecesarias), doblar en U, adelantar en curvas, no respetar distancias,etc. Coincidamos en que los accidentes de tránsito son una plaga nacional. Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que un conductor es un verdadero as al volante, de manera que la probabilidad que cometa un error al realizar una maniobra de alto riezgo es muy baja, pongamos p= 10-5. Digamos que el conductor realiza un promedio de 20 maniobras de alto riezgo por día, y que se espera que maneje su auto por los próximos 20 años.

Teniendo en cuenta que cometer un error en una maniobra de alto riezgo implica tener un accidente ¿Cuál es la probabilidad de que este conductor tenga por lo menos un accidente en los próximos 20 años?

Un comprador, antes de aceptar un gran lote de circuitos electróncos, inspecciona 100 de ellos al azar. El comprador aceptará el lote si no encuentra más de k circuitos defectuosos entre los 100 inspeccionados.

Les interesa aceptar el lote si contiene un 1% de defectuosos con probabilidad de al menos 0,9, y rechazarlo si contiene un 4% de defectuosos con probabilidad de al menos 0,7 ¿Cuál debe ser el valor de k?

Características de la distribución de Poisson

)(

)(

)()1(

XVar

XE

RssM ese

Dem:

La distribución geométrica o de Pascal

Consideramos que en la realización de un experimento aleatorio puede aparecer un suceso de interés A, con probabilidad p, y por lo tanto puede no ocurrir con probabilidad 1 – p.

Suponemos que se verifican en sucesivas repeticiones del mismo experimento las siguientes hipótesis:

•La probabilidad p se mantiene constante.

•Las experiencias son independientes.

El contexto descrito anteriormente es el mismo en el que se desarrollan la distribución de Bernoulli y binomial, y se desarrollará esta nueva distribución.


.....3,2,1,0XR

121 ..... xx AAAA

Estudiaremos la variable aleatoria:

X= “número de fracasos hasta obtener el primer éxito en sucesivas experiencias”

Entonces:

Deducción de la función de cuantía:

Un resultado cualquiera de la experiencia se puede escribir como:

Esta secuencia que ha habido x fracasos antes del primer éxito

Al cumplirse las dos hipótesis iniciales sabemos que:

pp

APAPAPAPAAAAPx

xxxx

.)1(

)()()...()().....( 121121


Una variable aleatoria discreta se denomina geométrica de parámetro p y se representa como X~G(p) si su función de cuantía es:

....2,1,0)1()( xppxf x

Probar que es de cuantía


OBSERVACIÓN IMPORTANTE:

Otra variable relacionada con la distribución geométrica que también se utiliza en el mismo contexto es:

Y=“ número de experiencias hasta el primer éxito”

Evidentemente Y=X+1 siendo X~G(p) entonces su función de cuantía es:

g(y)= p(1-p)y-1 con y=1,2,3….

La distribución geométrica o de PascalCaracterísticas de la distribución geométrica X~G(p)

2

1)(

1)(

))1ln(,().1(1

)(

p

pXVar

p

pXE

psep

psM

s

Dem:


La esperanza y la varianza de la variable Y definida anteriormente, se calculan a partir de los resultados anteriores.

Si Y = X+1, X~G(p)

Entonces:

2

1)()(

11)()(

p

pXVarYVar

pXEYE


Una máquina automática fabrica tornillos de uno en uno. Cada tornillo fabricado tiene una probabilidad de 0,01 de ser defectuoso. Los tornillos fabricados son defectuosos o no independientemente de los demás tornillos. Calcular:

a) Calcular la probabilidad de que el primer tornillo defectuoso fabricado en una jornada sea el que hace 50.

b) B) Si en la fabricación de cada tornillo se tardan 2 segundos, ¿cuánto tiempo por termino medio, se debe esperar hasta que el primer tornillo defectuoso sea fabricado?

c) Probabilidad de que los tres primeros tornillos fabricados sean todos correctos.

d) Desviación típica del número de tornillos correctos fabricados antes del primer tornillo defectuoso.


NkpkXP k )1()(

Propiedad:

Sea X ~G(p) entonces se cumple:

Dem:

FALTA DE MEMORIA

Sea X ~G(p) entonces se cumple:

NkxxXPkXkxXP ,)()/(

Distribución binomial negativaConsideramos la misma situación en la que se desarrolla la distribución geométrica. Vamos a generalizar la variable aleatoria, definiendo:

X= “número de fracasos antes del r – ésimo éxito, en sucesivas experiencias”

.....3,2,1,0XREntonces:

Un resultado cualquiera de la experiencia consistirá, en general, en una intersección ordenada de éxitos y fracasos. De forma que aparezcan r + x en total, sindo el último un éxito y el las r+x-1 primeras posiciones figurando x fracados y r-1 éxito.

Distribución binomial negativa

xrxr

xrxrrr

xrxrrr

ppppp

APAPAPAPAPAP

AAAAAAP

)1.(.)1.(

)()()....()().....().(

)..........(

1

11121

11121

xrxrrr AAAAAA 11121 ..........

Al cumplirse las dos hipótesis iniciales sabemos que:

Una secuencia de este tipo puede ser:

Para considerarlas todas debemos multiplicar por:

1,

)!1!.(

)!1(

rxx

rxrx C

rx

rxPR

Una variable aleatoria discreta se denomina binomial negativa de parámetros r y p y se representa como X~BN(r,p) si su función de cuantía es:

....2,1,0)1(.)( 1 xppCxf xrxrx


Observación: Cuando r =1, X representa el número de fracasos antes del primer éxito, o sea que, BN(1,p) = G(p).

OBSERVACIÓN IMPORTANTE:

Otra variable relacionada con la distribución geométrica que también se utiliza en el mismo contexto es:

Y=“ número de experiencias hasta el r- ésimo éxito”

Evidentemente Y=X+r siendo X~BN(r,p) entonces su función de cuantía es:


.....2,1,

)1.(.)()( 1

rrrypara

ppCryXPyg ryrryrry


Ejemplo:

Calcular la probabilidad de tener que efectuar 6 lanzamientos de un dado normal para obtener tres veces 6.

DEFINICIÓN:

Llamamos número combinatorio generalizado de sobre k al valor definido por la siguiente expresión:

ZkyRdondek

kCk

!

)1)...(2)(1(

Cuando es enteros positivo la expresión anterior es la usual.

Teoremas:

0

0

)1(,

1/)1(

k

kk

k

kk

xCxZsi

xRxparaxCxR1)

CCk

k

k

kZxR

1.)1(,

2)

Características de la Binomial Negativa

2

)1()(

)1()(

))1(,()1(1

)(

p

prXVar

p

prXE

pLsparaep

psM

r

s

Dem.:

Características de la Binomial Negativa

La esperanza y la varianza de la variable Y definida anteriormente, se calculan a partir de los resultados anteriores.

Si Y = X+r, X~BN(r,p)

Entonces:

2

)1()()(

)()(

p

prXVarYVar

p

rrXEYE


Ejemplos:

1) En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0,05.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda defectuosa?

b) ¿Cuántas unidades deben inspeccionarse por término medio, hasta encontrar cuatro defectuosas?

c) Calcular la desviación típica del número de unidades que deben inspeccionarse hasta encontrar 4 defectuosas.


Observación:

Si X~BN(r,p) entonces el suceso {X≤x} representa que como mucho es necesario obtener x fracasos antes del r – ésimo éxito.

El suceso anterior equivale a decir que en x + r experiencias han ocurrido por lo menos r – éxitos. O sea que:

Si X~BN(r, p) entonces P(X≤x)=P(Y≥r) donde Y~B(r+x,p)

Pueden usarse las tablas de la binomial


Un científico necesita 5 monos afectados por cierta enfermedad para un experimento. La incidencia de la enfermedad de los monos es del 30%. El científico examinará los monos uno a uno, hasta obteber 5 monos afectados.

¿cúantos monos se espera por termino medio?

¿cuál es la probabilidad que tenga que examinar 20 monos o más, para obtener los cinco enfermos?

Distribución hipergeométrica

Consideremos una población finita formada por N elementos.

Cada elemento puede poseer una cierta característica de interés o no.

Sea M el número de elementos de la población que poseen esa característica.

Consideremos una muestra aleatoria de tamaño n obtenida de la población anterior

Vamos a estudiar la variable:

X=“número de éxitos obtenidos en la muestra de tamaño n”

La muestra puede ser de dos tipos: CON DEVOLUCIÓN Y SIN DEVOLUCIÓN.


Si la muestra aleatoria es CON DEVOLUCIÓN, la probabilidad de obtener un éxito en cada una de las extracciones es M/N, es constante y las extracciones son independientes.

Entonces X~B(n, M/N)

Si las extracciones se hacen sin devolución, la probabilidad de éxito no se mantiene constante y las extracciones son independientes.

Estudiaremos ahora la distribución en este caso


Diremos que X se distribuye HIPERGEOMÉTRICA con parámetros N,M, n y lo representamos H~(N,M,n) cuando su función de cuantía es:

MNxnoMxxf

nxC

CCxf

Nn

MNxn

Mx

0)(

,....,2,1,0.

)(

Deducirla y demostrar que es de cuantía

CARACTERÍSTICAS DE LA CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICADISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

11)(

.)(

N

nN

N

M

N

MnXVar

N

MnXE

Dem:

Relación entre las distribuciones hipergeométricas y binomial

TEOREMA

Sea X~H(N,M,n). Entonces si N es muy grande comparado con n, la distribución de X se aproxima mucho a la de una B(n , M/N)

Dem:

Observación:

El teorema anterior nos afirma que podemos calcular las probabilidades hipergeométricas, utilizando una binomial. Diremos que esta aproximación es buena cuando:

n<0,1.N N≥50


Se capturan 100 peces de un estanque que continene 10.000, se les marcar con una anilla y se devuelven al agua. Transcurridos unos días se capturan de nuevo 100 y se cuentan los anillados.

a) Calcular la probabilidad de que en la segunda captura se encuentre al menos un pez anillado.

b) Calcular el número esperado de peces anillados que se encuentran en la segunda captura.

Bibliografía

Durá, J.M. y López, J.M. (1988). Fundamentos de la Estadística. Barcelona: Ariel S.A. Capítulo 9

Perera, Gonzalo (2011) Probabilidad y estadística.Montevideo: Fin de Siglo.

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