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CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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una pequeña clase de proba

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Page 1: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística
Page 2: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Variable Aleatoria

Es cualquier función definida en un espacio muestral Ω y con

recorrido un subconjunto finito o infinito de R.

)(

:

wXw

X

w x=X(w)

RangoDominio

X

Page 3: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Ejemplos:

1. Arrojar un dado

Evento wi: Salga i puntos en el dadoΩ = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, 𝑤5, 𝑤6

𝑿(𝒘𝒊) Función número de puntos obtenidos al lanzar un dado

𝑋(𝑤1) =1 Salga un punto

𝑋(𝑤2) = 2 Salga 2 puntos

𝑋(𝑤3) = 3 Salga 3 puntos

𝑋(𝑤4) =4 Salga 4 puntos

𝑋(𝑤5) =5 Salga 5 puntos

𝑋(𝑤6) =6 Salga 6 puntos

Page 4: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

2. Arrojar una moneda

𝑿(𝒘) Variable aleatoria (número de caras queaparecen)

𝑋(𝑤) =1 Sale una cara

𝑋(𝑤) = 0 Sale cruz

Page 5: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Variables Aleatorias

VA Continuas

VA Discretas

Variable Aleatoria Discreta: Es la variable que puede tomar

un conjunto finito o infinito numerable de valores

Variable Aleatoria Continua: Su espacio muestral está

formado por un conjunto infinito de valores innumerables.

Page 6: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Llamar a cinco clientesCantidad de clientes que

contesten0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar un

embarque de 40 chips

Cantidad de chips

defectuosos0,1,2,….,40

Funcionamiento de un

restaurante durante un día Cantidad de clientes 0,1,2,3…….

Vender un automóvil Sexo Cliente0 si es hombre y 1 si es

mujer

Page 7: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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Ejemplos variable aleatoria continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un

banco

Tiempo en minutos, entre

llegadas de clientesX>=0

Llenar una lata de bebida

(máx =12.1 onzas)Cantidad de onzas 0<=x<=12.1

Proyecto para construir un

biblioteca

Porcentaje de terminado

del proyecto0<=x<=100

Ensayar un nuevo

proceso químico

Temperatura cuando se

lleva a cabo la reacción

deseada (min 150º F; máx

212ºF)

150<=x<=212

Page 8: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Variables Aleatorias Discretas

Si el recorrido de X es: (x1,x2, x3,…..xn)

Pi=P(X=xi)

P1+P2+…..+Pn = 1

EJEMPLO:

Lanzamiento de 3 monedas

Ω = 𝐶𝐶𝐶 , 𝑆𝐶𝐶 , 𝐶𝑆𝐶 , 𝐶𝐶𝑆 , 𝑆𝑆𝐶 , 𝑆𝐶𝑆 , 𝐶𝑆𝑆 , (𝑆𝑆𝑆)

Variable Aleatoria X:(número de sellos resultantes)

P(X=0) = 1/8

P(X=1) = 3/8

P(X=2) = 3/8

P(X=3) = 1/8

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Page 9: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Función de Distribución F(x)Describe el comportamiento probabilístico de

una variable aleatoria X.

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑡 𝑡 ∈R

Propiedades:

1. F es creciente lim𝑡→−∞

𝐹(𝑡) = 0 lim𝑡→∞

𝐹(𝑡) = 1

2. 𝐹 𝑡 = 𝑗≤𝑡 𝑃𝑗3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)4. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 + 𝑃 𝑋 = 𝑎5. 𝑃 𝑋 = 𝑎 = 𝐹 𝑎 − 𝐹(𝑎−)

**𝐹(𝑎−) Límite por la izquierda de F en a.

Función de Distribución en Variables Aleatorias Discretas

Page 10: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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Ejemplo 1:

Lanzar dos dados

Definimos el espacio muestral Ω como:

Ω = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definimos la variable aleatoria discreta X como:

la suma de puntos.

La función de probabilidad es:

363)2,2()13()31(4

362)12()21(3

361)11(2

/),,P()P(X

/),,P()P(X

/),P()P(X

Page 11: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

Cumple las condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

Page 12: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

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F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

12

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F

Función de distribución de la variable aleatoria X

Page 13: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

Ejercicios:

1. Continuar con el ejemplo del lanzamiento de 3

monedas, calcular la función de distribución.

2. La función de distribución de una variable aleatoria

X se define como:

F(t)

0 𝑡 < −3 1 2 − 3 ≤ 𝑡 < 0 3 4 0 ≤ 𝑡 < 21 𝑡 ≥ 2

Construir la tabla de distribución de probabilidad de X

Page 14: CLASE 6 - Probabilidad y Estadística

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑡 𝑡 ∈R

∀𝒙 ∈ 𝑹 𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝟎

Propiedades:

1. F es creciente lim𝑡→−∞

𝐹(𝑡) = 0 lim𝑡→∞

𝐹(𝑡) = 1

2. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏= 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Función de Distribución en Variables Aleatorias Continuas