CLASE 3 - Probabilidad condicional - Independencia de sucesos - Fórmula de Bayes - Probabilidad Total

CLASE 3CLASE 3

- Probabilidad condicional-Independencia de sucesos-Fórmula de Bayes-Probabilidad Total

Definición probabilidad condicional

),, PA

)(

)()(

BP

BAPBAP

Dado un espacio de probabilidad (y un suceso B con probabilidad positiva, definimos

probabilidad de A condicionada a B, como:


OBSERVACIÖN:De la propia definición se deduce que:

)().()( BPBAPBAP


_

Comprobación de los axiomas de Kolmogoroff

Dado un espacio de probabilidad ( y un suceso B con probabilidad positiva.

),, PA

RABP :)()(

)()(,

BP

BAPBAPAA

La función

cumple con los axiomas de kolmogoroff:

Demostración:


Se tira un dado y se quiere calcular la probabilidad que haya salido 3 o menor que tres, dado que se sabe que no salió 1.

Ejemplos:


Ejemplos:

Estudios médicos demuestran que: 7% de los pacientes creen estar enfermos y lo están verdaderamente, 3% creen estar sanos y están enfermos, el 30% creen estar sanos y verdaderamente lo están y el 60% creen estar enfermos y no lo están.

a)En uno de los chequeos, un paciente dice que cree estar enfermo ¿qué probabilidad hay de que esté sano?

b)Un paciente cree estar sano ¿cuál es la probabilidad de que esté enfermo?


Se ha realizado una encuesta sobre 5216 personas de una población. Las clasificamos en “deportistas” D y “no deportistas” ND y en “afectados por una enfermedad cardio vascular”(ECV) y “ no afectados” (NECV). Se obtienen los siguientes resultados:

D ND Subtotal

ECV 128 842 970

NECV 2241 2005 4246

Subtotal 2369 2847 5214 TOTAL

Elegimos personas al azar y consideramos los siguientes sucesos:A = “elegir un ECV” y B = “elegir un D”


Supongamos que entre todos los estudiantes que dan cierto examen de liceo en varios liceos situados en barrios con condiciones socio – económicas similares, encuestamos 1450 personas registrando su sexo (M= masculino y F=femenino) y el resultado que obtuvo en el examen (A= aprobado, NA=no aprobado), obteniendo

M F SUBTOTAL

A 314 321 635

NA 408 407 815

SUBTOTAL 722 728 1450

Se elige un estudiante al azarDefiniendo A=”la persona elegida aprobó”

B= “la persona elegida es mujer”

Independencia

),,( PA

ABA ,

)().()( BPAPBAP

Definición: Dado un espacio de probabilidad

decimos que dos sucesos cualquiera son

sucesos independientessucesos independientes si se cumple que:

Independencia

ObservaciónSi alguno de los sucesos A o B tiene probabilidad no nula, entonces la independencia se puede definir a partir de laprobabilidad condicionada:

0)( BP

)()( APBAP

Supongamos que

Decimos que A y B son independientesindependientes si

¿son equivalentes las definiciones?

Independencia

PropiedadesPropiedadesSi A es independiente de B entonces:

Independencia

Suponemos que cada familia con un determinado número de descendientes, los resultados referentes al sexo de los descendientes son equiprobables.

Consideramos los siguientes sucesos:A= “La familia tiene como mucho una hija”B=”La familia tiene hijos de los dos sexos”

Se quiere estudiar la independencia de A y de B en cada uno de los siguientes casos:

a) La familia tiene dos descendiente.b) La familia tiene tres descendientes.

Independencia

Generalización de la noción de independencia: Decimos que los sucesos son globalmente independientes si cualquier colección formada por ellos cumple que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades de cada suceso. Esto es:

nAAA ,.....,, 21

jiAPAPAAP jiji )().()(

kjiAPAPAPAAAP kjikji )().().()(

)().......().().....( njinji APAPAPAAAP

……………………………………………….

Independencia

Consideramos el lanzamiento de dos dados, uno rojo y otro blanco, ambos equilibrados por lo que suponemos la equiprobabilidad de los resultados. Consideramos los sucesos:A= “El dado rojo sale 6”B=”El dado blanco sale 1”C=”La suma de ambos dados es 7”

Teorema de la multiplicidad

),,( PA

nAAA ,.....,, 210).....( 21 nAAAP

)2( n

Dado un espacio de probabilidad

Sean sucesos tales que

entonces:

).....|().......|().|().().....( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP

Teorema de la multiplicidad

Ejemplo:

En una población de cincuenta mil habitantes hay diez mil que trabajan por cuenta propia, y veinte mil que trabajan para otra. A una hora determinada se abre una ventanilla en una de las secciones de la intendencia. Calcular la probabilidad de que las dos primeras personas atendidas trabajen por cuenta propia y la tercera lo haga para otra.

Probabilidad TOTALProbabilidad TOTAL

Dado un espacio de probabilidad ),,( PA

Sean nAAA ,.....,, 21 sucesos excluyendo 2 a 2

)(1

i

n

i

AU 0)( iAP ni ,....,1 )2( n

, tales que

,

.

Entonces para cualquier suceso B tenemos que:

n

iii ABPAPBP

1

)|().()(

Dem.:

Probabilidad TOTALProbabilidad TOTAL

Supongamos que en un cierto país hay varios partidos políticos, entre ellos, el 90% del electorado se inclina por los partidos A, B y C con un 50%, 30% y 10% respectivamente. Se está promulgando una ley y la posición a favor de la ley depende del partido al que se pertenezca. Suponga que un 70% de los electores del partido A están a favor de la nueva ley, el 20 % en contra y el resto indiferente. En el partido B hay un 55% en contra, un 20% a favor y el resto le es indiferente. Por último tanto en el partido C, como en el resto de los partidos, un 30% está a favor, un 50% en contra y el resto indiferente.

Se selecciona al azar un elector, hallar la probabilidad de que el elegido esté a favor de la ley.

TEOREMA DE BAYES

Dado un espacio de probabilidad ),,( PA

Sean nAAA ,.....,, 21 sucesos excluyendo 2 a 2

)(1

i

n

i

AU 0)( iAP ni ,....,1 )2( n

, tales que

,

.

Entonces para cualquier suceso B, con P(B)>0tenemos que:

n

iii

jjj

ABPAP

ABPAPBAP

1

)|().(

)|()()|(

Dem.:

TEOREMA DE BAYES

1) Supongamos que un cierto test clínico permite determinar si una persona está o no enferma. La prevalencia en la población de dicha enfermedad es del 1%. Dicho test detecta correctamente la enfermedad en un 95% de los casos y da falsos positivos en un 3% de los casos. Si el test ha dado positivo ¿cuál es la probabilidad de que la persona esté enferma efectivamente?

EJEMPLOS

TEOREMA DE BAYES

EJEMPLOS

2)Suponga que una caja tiene tres monedas, dos comunes y una con dos caras. Se deja caer aleatoriamente una moneda al suelo y se observa que salió cara. ¿cuál es la probabilidad de que la moneda tirada haya sido la de dos caras?

TEOREMA DE BAYES

EJEMPLOS

3) Una compañía de seguros de automóviles clasifica a los clientes en A (alto riesgo), B (riesgo medio) y C (bajo riesgo). La clase A constituye el 30% de los conductores de tienen ese seguro y la probabilidad de que ellos tengan un accidente en el año es de 0,1. Los datos correspondientes a la clase B son 50% y 0,03, y a la clase C 20% y 0,01. a) Un determinado cliente contrata la poliza de seguros y en el primer año tiene un accidente. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido de cada una de las clases A, B o C?b) Si un asegurado lleva diez años sin sufrir accidentes, ¿cuál es la probabilidad que sea de C?

Continuidad de la probabilidad



Dem.:

:Bibliografía:

Durá, J.M. y López, J.M. (1988). Fundamentos de la Estadística. Barcelona: Ariel S.A.Mordeki, Ernesto. (2007) Probabilidad: notas de clase.Olivera, Federico. Introducción a la Probabilidad: Notas de clase.Perera, Gonzalo (2011) Probabilidad y estadística.Montevideo: Fin de Siglo.

EJERCICIOS DEL 29 AL 60

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