Clase 25 ÁLGEBRA LINEAL...Complementos ortogonales Definición: Supongamos que W es un subespacio de Rn. El complemento ortogonal de W se define por: W⊥ = {v ∈ Rn | v ·w = para

Clase 25

ÁLGEBRA LINEAL

COMPLEMENTOS YPROYECCIONESORTOGONALES

ComplementosortogonalesDefinición: Supongamos que W es un subespacio de Rn .El complemento ortogonal de W se define por:

W⊥ = {v ∈ Rn | v · w = para todo w ∈ W } .

En otras palabras, W⊥ contiene todos los vectoresque son ortogonales a W .

ComplementosortogonalesDefinición: Supongamos que W es un subespacio de Rn .El complemento ortogonal de W se define por:

W⊥ = {v ∈ Rn | v · w = para todo w ∈ W } .

En otras palabras, W⊥ contiene todos los vectoresque son ortogonales a W .

_

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = x

}

= gen

{[ ]}.

En este caso tenemos que

W⊥ =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = −x

}= gen

{[

−

]}.

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = x

}= gen

{[ ]}.


W⊥ =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = −x

}= gen

{[

−

]}.

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = x

}= gen

{[ ]}.


W⊥ =

{[xy

]∈ R

∣∣∣∣ y = −x

}= gen

{[

−

]}.

E.HA = o

×t y= o y

e n

!

. . .

!"

Ejemplos

x

W

W⊥

y

v.fi)^

⇐ EI.

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

= gen

,

.


W⊥ = gen

−

.

- =

2 -= X t y.

H t Est

#

t i

9 1

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

= gen

,

.


W⊥ = gen

−

.

-.

.

[¥)-fly):O→ × # o .

"

[¥)-[ffo y-17--0 y

"

.

Et-ETE)

Ejemplos

Ejemplo: Sea

W =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

= gen

,

.


W⊥ = gen

−

.

Ejemplo

W

W⊥

y

z

x

µ"

'

_ µ

ComplementosortogonalesEn general, si W es un subespacio de Rn dado por

W = gen{u , u , ..., uk},

entonces W⊥ contiene todos los vectores v ∈ Rn talesque

v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .

En otras palabras

W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.


W = gen{u , u , ..., uk},


v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .

En otras palabras

W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.

-


W = gen{u , u , ..., uk},


v · v = , v · v = , . . . , v · vk = .

En otras palabras

W = {v ∈ Rn | v · v = , v · v = , . . . , v · vk = }.

✓ v v

1 -

Preguntas

Teorema

Teorema: Supongamos que que W ⊂ Rn es unsubespacio, entonces W⊥ también es un subespacio deRn .

Prueba:

Teorema

Teorema: Supongamos que que W ⊂ Rn es unsubespacio, entonces W⊥ también es un subespacio deRn .

Prueba: Supongamos queVilvewt

Esto significa que v i .u s o , v i v o paratodo

✓ c -W . Dsl ( K t h ) -✓= y.

#

Vz} ?

0 .

por todo n e w , por l o tanto vituzewt.

Por otro lado, a cepo y v .e n t ,entono

(cu).w = Cl i f f= 0 . p o r todo ✓ E W .

Por l o tanto cuent.

Propiedades

Propiedades: Supongamos que W ⊂ Rn es un subespacio.Entonces:

(W⊥)⊥ = W .

W ∩W⊥ = { }.

dim(W ) + dim(W⊥) = n.

-

Propiedades


(W⊥)⊥ = W .

W ∩W⊥ = { }.


Propiedades


(W⊥)⊥ = W .

W ∩W⊥ = { }.


Preguntasñ"

SubespaciosfundamentalesSupongamos que A es una matriz de tamaño m× n. Loscuatro subespacios fundamentales de A son lossiguientes subespacios:

- Col(A) ⊂ Rm .

- Ren(A) = Col(AT ) ⊂ Rn .

- Nul(A) ⊂ Rn .

- Nul(AT ) ⊂ Rm .

-


- Col(A) ⊂ Rm .


- Nul(A) ⊂ Rn .

- Nul(AT ) ⊂ Rm .

-

"

!"" "

" i .


- Col(A) ⊂ Rm .


- Nul(A) ⊂ Rn .

- Nul(AT ) ⊂ Rm .


- Col(A) ⊂ Rm .


- Nul(A) ⊂ Rn .

- Nul(AT ) ⊂ Rm .

AxeO

KEY

=


- Col(A) ⊂ Rm .


- Nul(A) ⊂ Rn .

- Nul(AT ) ⊂ Rm .

AT→ n i m

SubespaciosfundamentalesLos subespacios fundamentales asociados a una matrizestán relacionados de la siguiente manera.

Teorema: Supongamos que A es una matriz de tamañom × n, entonces

(Col(A))⊥ = Nul(AT ),

(Nul(A))⊥ = Col(AT ) = Ren(A).









EjemplosEjemplo: Sea

W = gen

,

.

Encontrar una base para W⊥ .

Solución:


W = gen

,

.

Encontrar una base para W⊥ .

Solución: Notemos que WeCollAl, donde

A -ftp.I?.AsrwtccokAnt

= M¥7

W

"

Nul lAt l A I [10101 1 10]

[' o

'010s -o]

#

L Í

$$ !$#

l i b re

De la segunda fila y

"

O ,

De la primer x t t e o . X I - 7 .

Asi W t contiene los vectores

¥7

!

HEAT"

Por lo tanto

* off

$

1911.

"a l

$

I i

- -

Un bar porw t a f - {[!),[§)}

-

Preguntas


V =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

.

Encontrar una base para V⊥ .

Solución:


V =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

.

Encontrar una base para V⊥ .

Solución:Notemos q e VENDIA

D-= [ 1 2 - I ) .

✓t e lNullAH I CollÁl-_Coll

!

1)Htt.

Una base para V t estar dada

µ f - FLIA.

Preguntas

TareaTarea: Encontrar una base para W⊥ si

W =

xyzw

∈ R

∣∣∣∣∣∣∣∣x + y + z − w = , z + x + w = .

.

ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. Entonces el vector v se puededescomponer de la forma

v = w + w⊥,

con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos

w = proyW (v),

w⊥ = perpW (v) = proyW⊥(v).


v = w + w⊥,

con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .

Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos

w = proyW (v),


→


v = w + w⊥,

con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ .

En este casoescribimos

w = proyW (v),


- -


v = w + w⊥,

con w ∈ W y w⊥ ∈ W⊥ .Esta descomposición se llama la descomposiciónortogonal de v respecto a W y W⊥ . En este casoescribimos

w = proyW (v),


÷ :

ProyeccionesortogonalesPor lo tanto, si v ∈ Rn es un vector y W ⊂ Rn es unsubespacio tenemos que

v = proyW (v) + perpW (v) = proyW (v) + proyW⊥(v).

y ademásproyW (v) ∈ W proyW⊥(v) ∈ W⊥.

- -

"

⇒

Proyeccionesortogonales


(


¡

$"

ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.

Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:

v =

(v · vv · v

)v +

(v · vv · v

)v + · · ·+

(v · vkvk · vk

)vk ,

es decir,

v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).

ProyeccionesortogonalesSupongamos que v ∈ Rn es un vector de Rn y seaW ⊂ Rn un subespacio. La proyección ortogonal de vsobre W se puede calcular de la siguiente manera.Fijemos una base ortogonal B = {v , v , ..., vk} para W .Entonces:

v =

(v · vv · v

)v +

(v · vv · v

)v + · · ·+

(v · vkvk · vk

)vk ,

es decir,


0


v =

(v · vv · v

)v +

(v · vv · v

)v + · · ·+

(v · vkvk · vk

)vk ,

es decir,


$

' 0 0 O

$ $

F É

$ $


v =

(v · vv · v

)v +

(v · vv · v

)v + · · ·+

(v · vkvk · vk

)vk ,

es decir,

v = proyv (v) + proyv (v) + · · ·+ proyvk (v).÷ : - #

Nota

Nota: La fórmula de proyección de v sobre W dada por

v =

(v · vv · v

)v +

(v · vv · v

)v + · · ·+

(v · vkvk · vk

)vk ,

solamente funciona si B = {v , v , ..., vk} es una baseortogonal para W .

proywll

Preguntas

EjemploEjemplo: Sean

W = gen

,

−

y v =

. Calcular proyW (v) y proyW⊥(v).

Solución:

- -


W = gen

,

−

y v =


Solución:s iufff),ufff],entonces

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baseortogoral

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LÍ.)

Preguntas


W =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

y v =


Solución:

= - - -

& dera d . tarea


W =

xyz

∈ R

∣∣∣∣∣∣x + y − z =

y v =


Solución:

Preguntas

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