Clase 1 - Primavera 2013 - Proceso de Poisson.pdf

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El Proceso de Poisson

Capitulo I



Proceso de Poisson

Corresponde a un modelo capaz de describir y

caracterizar procesos de llegada.



Proceso de Poisson

Procesos de Conteo

• DEFINICIÓN 1: Un proceso {N(t), t>0} es un proceso de conteosi N(t) corresponde al número de eventos que ocurren en el

intervalo [0,t].

– Propiedades:1. N(t) es siempre entero no negativo

2. Si s<t N(s) =< N(t)3. Si s<t, entonces el número de eventos que ocurren en el

intervalo [s,t] corresponde a N(t) – N(s)

Para poder analizarlos de manera analítica necesitamosalgunos supuestos…..



• DEFINICIÓN 2: Incrementos Independientes

– El proceso de conteo {N(t), t>0} tiene incrementosindependientes si la variable aleatoria (v.a.) N(t+s)-N(t) esindependiente del proceso {N(u), u<t}.

– Es decir, los eventos que ocurren en intervalos disjuntos detiempo son variables independientes entre sí.

• Corolario: Dos variables son independientes entre ellas, sicualquier información disponible respecto de una de ellas NOentrega información respecto de la otra, es decir: – Pr (X=x / Y=y) = Pr (X=x)

Procesos de Conteo



• Ejemplo:

– Sea N(t) = cantidad depeces recolectados por unbarco pesquero entre T=0 yT=t

– ¿Podemos decir algo de la

cantidad de peces que serecolectarán entre t+a y t+b(con b>a>0) ?

• … la verdad es que lapoblación de peces es tangrande, que no podemospredecir mucho.

Procesos de Conteo



• Ejemplo:

– Sea N(t) la cantidad de personas quehan renovado su permiso decirculación en la municipalidad deVitacura hasta el día t (No Cumple lapropiedad)

– Dado N(t), sabemos necesariamenteque N(t´)-N(t) = Universo depermisos – N(t), con t´ igual almomento o plazo final de tramitación.

• … en este caso podemos decirBastante más respecto delcomportamiento del conteo a partirde T=t

Procesos de Conteo



• Ejemplo….. Desarrollo de Enfermedades

Infecto-Contagiosas

– Sea N(t) el número de personas infectadas con I!

en C"ile en el inter#alo $%&t'

– Si se nos informa ue N(t)* N Personas…. +Se

altera la cantidad de personas ue se infectar,n

entre t t& con t /t0

– 1 si nos dicen a"ora ue N(t) * 23N… cam4ia la

e5pectati#a0

Procesos de Conteo



• DEFINICIÓN 3: Incrementos Estacionarios

– El proceso de conteo {N(t), t>0} tiene incrementosestacionarios si la distribución de Probabilidades deN(t+s)-N(t) depende de s pero no de t.

Ejemplo:

Procesos de Conteo

La distribución de probabilidad de lacantidad de gente que ingresa al metrono sólo depende de s, o largo del

intervalo, sino que de t, pues entra másgente a las 8 AM que a las 10 AM nocumple la propiedad de incrementosestacionarios



• !asta el momento las propiedades de

Incrementos independientes e IncrementosEstacionarios nos permiten SI6P7I8IC9: el

c,lculo de las pro4a4ilidades…

• Pero necesitamos asumir una nue#a condici;n

matem,tica para modelar anal<ticamente….

Procesos de Conteo



• DEFINICIÓN 4: Propiedad de Orden

– La función f() se dice que es σ(h) si

Limite f(h)/h = 0 h 0

– Es decir, “la función f() tiende a 0 más rápido que h ”

Procesos de Conteo



• DEFINICIÓN 5: Propiedad de Orden

– El proceso de conteo {N(t),t>0)} tiene la Propiedad deOrden si:

• Pr {N(h) = 1 = λh + σ(h)

• Pr {N(h) >= 2} = σ(h)

• λ es una constante positiva

– Interpretemos entonces:

P(N(t+h) – N(t)) ≥ 2 <<< P(N(t+h) – N(t)) ≤ 1

Con h pequeño

Procesos de Conteo



• DEFICIÓN 6: Proceso de Poisson

Un Proceso de Conteo es un Proceso de Poisson si cumple conlas propiedades de

Nota: Al cumplir estas tres propiedades, el proceso de Poisson puedeser descrito a través de una distribución de probabilidades, es decir,conocemos la distribución de probabilidad de ocurrencias en unintervalo determinado

Proceso de Poisson



Proposición 1: Si {N(t), t>0} es un proceso de Poisson, entonces:

Pr {N(t)=n} = е-λt

(λt)n

n!

La distribución de N(t) corresponde a la distribución de Poisson

con parámetro λt , por lo tanto:

E(N(t)) = λt y VAR(N(t)) = λt

Procesos de Conteo



• Tiempos entre Eventos

Sean Ti el instante en que llega la entidad i, medido desde el arriboanterior ( T i-1 )

Proposición 2: En un Proceso de Posisson a tasa λ

, los tiemposentre eventos son v.a. independientes e idénticamentedistribuidas (v.a.i.i.d.) con distribución exponencial deparámetro λ.

Procesos de Conteo



• Supongamos que un pasajero llega a un paradero por donde pasanbuses de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa λ

– ¿Cuánto tiempo deberá esperar el pasajero para tomar el siguientebus?

– …. Se puede demostrar que el tiempo que pasará hastala siguiente pasada de un bus distribuye según unaexponencial a igual tasa λ.

– Esto pasa porque es “más probable” que la llegada delpasajero se de dentro de un intervalo más grande que elpromedio entre pasada de buses

– Este efecto se produce en varios tipos de procesos de

conteo.

Paradoja de la Inspecci;n



Tiempos Exponenciales y Posisson

• Proposición 3: Si un proceso de conteo, presenta tiempos entreeventos que distribuyen de manera independiente según ladistribución exponencial a tasa λ entonces se trata de unproceso de Poisson

• … Esta es una ENORME proposición, pues nos permite caracterizar unproceso completamente a través de la Exploración de tiempos

• Proposición 4: El Proceso de Conteo {N(t), t>0} es un Proceso de

Poisson, entonces: – Con probabilidad =1, los incrementos en el conteo son de magnitud

unitaria

– E[N(t+s) – N(t) / N(u), u<T] = λs

Procesos de Conteo



Descomposici;n Proceso de Poisson

Suponemos el caso en que a la llegada de un evento, este seasigna a la ruta 1 con probabilidad p (y al camino 2 con

probabilidad 1-p), entonces el eventos asociados al Proceso dePoisson N(t) se redestinan así a N1(t) o N2(t), estos procesoscuentan los eventos asignados al camino 1 y 2 respectivamente,entonces:

N(t)

P

N(t)

MAQUINA 1

MAQUINA 2

N(t)

1-P



• Proposición 6:

Pr {N1(t)=n} = е-λpt(λpt)n

n!

• Proposición 7:• En un proceso de descomposición, N1(t) y N2(t) son v.a.

independientes, es decir:

Pr {N1(t)=j, N2(n)=k} = Pr {N1(t)=j} * Pr { N2(n)=k}

Descomposici;n Proceso de Poisson



• Proposición 8:

• Sean N1(t), N2(t)… Nk(t) Procesos de Poissonindependientes a tasa λ1, λ2… λn respectivamente.Entonces el proceso

N(t)= N1(t) + N2(t) + … + Nk(t)

Es un proceso de Poisson a tasa λ = λ1+ λ2+…+ λk

Suma de Procesos de Poisson



• Ejercicio 0

– Suponga ue el proceso de llegada de micros a un paradero

corresponde a un Proceso de Poisson a tasa 7am4da. El proceso de

llegada de pasajeros es un Proceso de Poisson a tasa =eta (am4os

procesos son independientes).

– 9suma ue cada pasajero ue llega al paradero se su4e a la primeramicro ue pasa ue >stas tienen suficiente capacidad para lle#ar a

todos los pasajeros presentes. ?4tenga la distri4uci;n de pro4a4ilidades

del número de pasajeros ue #iajan en una micro cualuiera.

Procesos de Conteo



• Ejercicio

– En una oficina se acaba de instalar un tubo fluorescente en elsistema de iluminación. Se sabe que el número de veces que seencenderá corresponde a un proceso de Poisson a tasa λ (lostiempos entre eventos del Proceso de Posisson incluyen el

tiempo que el tubo permanece encendido y el tiempo desde quese apaga hasta que se vuelve a encender nuevamente). Laintensidad de la corriente que llega al tubo al momento deencenderlo es una v.a. con distribución F, El tubo se quema sólosi al momento de encenderlo la intencidad de la corriente es ≥ α.Interesa Obtener la distribución de probabilidades de la vida útildel tubo.

Procesos de Conteo



Ejercicios

• Ejercicio 2

– Hombres y Mujeres llegan a una pista de baile de acuerdo a unproceso de Poisson independiente a tasa λ personas / hora cadauno. A medida que van llegando las personas se van formandoparejas con la primera persona del sexo opuesto que se encuentre.

Asuma que al inicio el sitio esta vacío.• Obtenga la probabilidad de que en las primeras dos horas se

formen k parejas.

• Suponga que en el intervalo [0,t1] llegaron n hombres y m mujeres,

con n<m. ¿Cuál es la probabilidad de que en el intervalo [t1,t2] seformen k parejas.

• ¿Tiene el proceso que cuenta el número de parejas que se forman,Incrementos independientes?



Ejercicios

• Se "a o4ser#ado ue a la puerta del Estadio Nacional llegan personas de

acuerdo a un Proceso de Poisson con tasa @2% personasAminuto& para

presenciar un partido de fút4ol. Sin em4argo& a los concurrentes no les gustaestar mu aglomerados. Por lo tanto& las personas al llegar consultan por el

número de espectadores ue a "an ingresado (suponga ue en la puerta se

dispone de dic"a informaci;n de forma e5acta). Si este número es menor o

igual ue B%.%%%& las personas siempre ingresan. Si es maor a B%.%%%& conpro4a4ilidad %.2 una persona cualuiera ingresa en caso contrario se

de#uel#e a su casa. Para efectos de este pro4lema& suponga ue el Estadio

tiene capacidad infinita ue el Proceso de llegada de personas se inicia en el

momento en ue se a4ren las puertas del Estadio.



Ejercicios

• (a) ?4tenga una e5presi;n para la pro4a4ilidad de ue ninguna persona se

de#uel#a a su casa durante la primera "ora del proceso.

• (4) +Cu,l es la pro4a4ilidad de ue durante las primeras dos "oras sede#uel#an %%% personas0

• (c) Suponga ue usted o4ser#a el proceso luego de las dos primeras "oras de

operaci;n #e ue a "a en el Estadio 22.%%% personas. +Dada esta

informaci;n& cu,l es la pro4a4ilidad de ue pasen m,s de 2• segundos sin ue ingrese una nue#a persona al Estadio0

• (d) Calcule el tiempo esperado ue transcurre "asta ue "an ingresado 2.%%%

personas al Estadio.

• (e) Si se sa4e ue "asta t * @% minutos "an llegado 2.%%% personas +cu,l es lapro4a4ilidad de ue no "aa llegado nadie en los primeros minutos0

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