Číselné soustavy

Číselné soustavy

• Kolika způsoby je možné zapsat jedno číslo?

Nekonečně mnoho způsobů .

Nepoziční číselné soustavy

Počet čárek

Římské číslice

10 5 1

= 47

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

MDCCXI = 1711 IX = 9 IV = 4

Poziční číselné soustavy

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Číselné soustavy

Nejpoužívanější poziční číselná soustava je desítkový zápis. Používáme v něm arabských cifer 0-9 a jejich poloha čísel udává význam:

2 0 8 5 6

2*104 + 0*103 + 8*102 + 5*101 + 6*100

jednotkydesítkystovkytisícedesetitisíce

n

i

iiaaaak

1

22

11

00 10101010

kde každé ai nabývá hodnoty 0-9, tedy jedné z deseti možností.

Číselné soustavy

Toto schéma lze zobecnit:

N

ZZaZaZaZakn

i

ii

1

22

11

00

kde každé ai nabývá hodnoty 0, 1, …, 9, A, B, C, … - tedy jedné ze Z možností.

různých Z symbolů

Jako Z (základ) můžeme použít libovolné přirozené číslo, nepoužívanější jsou

888881

22

11

00

Zaaaakn

i

ii

16161616161

22

11

00

Zaaaakn

i

ii

222221

22

11

00

Zaaaakn

i

ii

osmičková soustava

šestnáctková soustava

dvojková soustava

Číselné soustavy

Příklad Převeďte do desítkové soustavy čísla

207, 72501, 33215 z osmičkové soustavy

2F, BA72, 1F2A z šestnáctkové soustavy

1011, 1101001 z dvojkové soustavy

22

11

00 888 aaak


3276840965126481 543210 aaaaaa

207 8 = 7x1 + 0x8 + 2x64 = 7 + 128 = 135

72501 8 = 1x1 + 0x8 + 5x64 + 2x512 + 7x4096 = 1 + 320 + 1024 + + 28672 = 30017

33215 8 = 5x1 + 1x8 + 2x64 + 3x512 + 3x4096 = 5 + 8 + 128 + 1536 + + 12288 = 13965

Číselné soustavy

Příklad Převeďte do desítková soustavy čísla




22

11

00 161616 aaak


4096256161 3210 aaaa

2F 16 = Fx1 + 2x16 = 15x1 + 2x16 = 15 + 32 = 47

BA72 16 = 2x1 + 7x16 + Ax256 + Bx4096 = 2x1 + 7x16 + 10x256 + 11x4096 = = 2 + 112 + 2560 + 45056 = 47730

15F,14E,13D,12C,11B,10A,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 ia

1F2A 16 = Ax1 + 2x16 + Fx256 + 1x4096 = 10x1 + 2x16 + 15x256 + 1x4096 = = 10 + 32 + 3840 + 4096 = 7978

Číselné soustavy

Příklad Převeďte do desítková soustavy čísla




22

11

00 222 aaak

dvojková soustava

6432168421 6543210 aaaaaaa

1011 2 = 1x1 + 1x2 + 0x4 + 1x8 = 1 + 2 + 8 = 11

1101001 2 = 1x1 + 0x2 + 0x4 + 1x8 + 0x16 + 1x32 + 1x64 = = 1 + 8 + 32 + 64 = 105

Číselné soustavy

Příklad Převeďte do desítková čísla

35, 125, 1280 do osmičkové soustavy

15, 789, 32565 do šestnáctkové soustavy

128, 112, 223 do dvojkové soustavy

22

11

00 888 aaak


3276840965126481 543210 aaaaaa

35 < 64

Třetí a vyšší cifra bude vždy nulová. První nenulový symbol se vyskytne na druhém místě. Číslo dělíme hodnotou tohoto platného místa, výsledek je příslušná cifra. Zbytek po dělení přesuneme k vedlejšímu nižšímu místu a postup zopakujeme. To děláme tak dlouho, dokud nevyjde zbytek nulový. Zbylé cifry jsou pak všechny nulové.

35 : 8 = 4, zbytek 3

3 : 1 = 3, zbytek 035 = 43 8

Číselné soustavy





22

11

00 888 aaak


3276840965126481 543210 aaaaaa

125 < 512

125 = 175 8

125 : 64 = 1, zbytek 61

61 : 8 = 7, zbytek 5

5 : 1 = 5, zbytek 0

Číselné soustavy





22

11

00 888 aaak


3276840965126481 543210 aaaaaa

1280 < 4096

1280 = 2400 8

1280 : 512 = 2, zbytek 256

256 : 64 = 4, zbytek 0

Číselné soustavy





22

11

00 161616 aaak


4096256161 3210 aaaa

15F,14E,13D,12C,11B,10A,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 ia

15 = F 16 pozn.: většinou se píší alespoň dvě cifry, tedy 15 = 0F 16

789 : 256 = 3, zbytek 21 21 : 16 = 1, zbytek 5 tj. 789 = 315 16

32565 : 4096 = 7, zbytek 3893 3893 : 256 = 15, zbytek 53 53 : 16 = 3, zbytek 5

tj. 32565 = 7F35 16

Číselné soustavy





22

11

00 222 aaak

dvojková soustava

6432168421 6543210 aaaaaaa

128 : 128 = 1, zbytek 0 tj. 128 = 10000000 2

112 : 64 = 1, zbytek 48 48 : 32 = 1, zbytek 16 16 : 16 = 1,zb. 0 tj. 112 = 01110000 2 pozn. : bývá zvykem psát dvojková čísla ve 4-násobcích cifer (4 cifry, 8 cifer atd.)

223 : 128 = 1, zbytek 95 95 : 64 = 1, zbytek 31 31 : 32 = 0, zbytek 31 31 : 16 = 1, zbytek 15 15 : 8 = 1, zbytek 7 7 : 4 = 1, zbytek 3 3 : 2 = 1, zbytek 1 1 : 1 = 1, zbytek 0 tj. 223 = 11011111 2

Analogové a digitální zpracování dat

Vstup datElektrický

signál

Toto je analogový signál. Data (obraz) jsou zde zakódována velikostí napětí. V nejjednodušším případě čím vyšší napětí, tím vyšší jas obrazového bodu.

Elektromagnetická vlna

Pokud někde cestou vznikne parazitní signál (šum), analogové obvody jej svědomitě přenášejí dále. Při delším zpracování může analogový signál ztratit na kvalitě.

Analogové a digitální zpracování dat

Vstup datElektrický

signál

Analogově - digitální převodník

• Velikost napětí se převede na číslo• Číslo je zaznamenáno ve dvojkové soustavě• Jedničky a nuly jsou převedeny na napětí (0 – žádné napětí, 1 – maxi- mální napětí)

Digitální elektrický signál

Šumy jsou malé a pravděpodobnost, že změní v signálu nulu (žádné napětí) na jedničku (velké napětí) či obráceně je mizivá. Digitální signál či záznam při zpracování nedegradují.

Proč počítače pracují digitálně

Analogový počítač

Pro výpočty je možné v principu použít i analogový model. S elektrickým signálem lze pracovat podobně jako s číslem – signály lze sčítat, odčítat, násobit, porovnávat a podobně. Nicméně právě citlivost na šumy a různé okolní jevy odsoudila analogové počítače (vlevo) do zapomnění.

Digitální model (dvojková soustava) má další obrovskou výhodu – snadno se realizuje. Již v prvních počítačích na bázi elektrických relé šlo přiřadit cifrám dvojkové soustavy 1 – zapnuto, 0 – vy-pnuto.

Proč počítače pracují digitálně

Vypnuto - 0

Zapnuto - 1

+-

+- -

Vypnuto - 0

Zapnuto - 1

+ 0

Zapnuto - 1 Vypnuto - 0

von Neumannův stroj

John von Neumann1903 - 1957

John von Neumann (Neumann János) byl Maďarský matematik židovského původu, který značnou měrou přispěl k oborům jako jsou kvantová fyzika, funkcionální analýza, teorie množin, ekonomika, informatika, numerická analýza, hydrodynamika, statistika, a mnoho dalsích matematických disciplín. Nejvýznamnější jsou jeho objevy jako průkopníka digitálních počítačů a operační teorie kvantové mechaniky (takzvaná Von Neumannova algebra), tvůrce teorie her a konceptu buňkového automatu. Spolu s Edwardem Tellerem a Stanislawem Ulamem se zabýval jadernou fyzikou, kde vytvořili základní předpoklady termonukleárních reakcí a vodíkové bomby.

Koncepci výpočetního stroje, podle které jsou konstruovány všechny počítače dodnes, formuloval roku 1946.

Architektura současných počítačů vychází z koncepce tzv. von Neumannova stroje.

Operační paměť - uchování programu, dat a výsledku výpočtu ALU - provádí veškeré aritmetické výpočty a logické operace.Řadič - řídí činnost všech částí počítače Vstupní zařízení - pro vstup programu a datVýstupní zařízení - pro výstup výsledku

Schéma von Neumannova stroje

1) Do operační paměti se pomocí vstupních zařízení přes ALU umístí program, který bude provádět výpočet.

2) Stejným způsobem se do operační paměti umístí data, která bude program zpracovávat

3) Proběhne vlastní výpočet, jehož jednotlivé kroky provádí ALU. Tato jednotka je v průběhu výpočtu spolu s ostatními moduly řízena řadičem počítače. Mezivýsledky výpočtu jsou ukládány do operační paměti.

4) Po skončení výpočtu jsou výsledky poslány přes ALU na

výstupní zařízení.

von Neumannův stroj

• 5 funkčních jednotek – řídící jednotka, aritmeticko-logická jednotka, paměť, vstupní zařízení výstupní zařízení

• Programy a data jsou v operační paměti (nenačítají se z vnější paměti v průběhu výpočtu), jednotné kódování - k programům lze přistupovat jako k datům, umožnilo univerzalitu počítače, bezproblémové zavedení cyklů a podmíněného větvení)

• Struktura je nezávislá od zpracovávaných problémů, na řešení problému se musí zvenčí zavést návod na zpracování, program a musí se uložit do paměti, bez tohoto programu není stroj schopen práce

• Programy, data, mezivýsledky a konečné výsledky se ukládají do téže paměti

• Paměť je rozdělená na stejně velké buňky, které jsou průběžně očíslované, přes číslo buňky (adresu) se dá přečíst nebo změnit obsah buňky

• Přímé adresování (přístup) - v libovolném okamžiku přístupná kterákoliv buňka paměti

• Po sobě jdoucí instrukce programu se uloží do paměťových buněk jdoucích po sobě, přístup k následující instrukci se uskuteční z řídící jednotky zvýšením instrukční adresy o 1

• Instrukcemi skoku se dá odklonit od zpracování instrukcí v uloženém pořadí

• Všechna data (instrukce, adresy,…) jsou binárně kódované, správné dekódování zabezpečují vhodné logické obvody v řídící jednotce

Co mají dnešní počítače navíc

Dnešní počítače mohou být víceproce-sorové – jednotek ALU mají tedy několik.

Současné procesory umožňují multitas-king – tj. umí zpracovávat více úloh najednou.

Vstupy a výstupy jsou umožněny i za běhu programu – lze tedy zísávat mezivýsledky a řídit běh programu například z klávesnice.

Paměť a procesor

Současné RAM uchovávají data pomocí náboje na kondenzátoru. Náboj je přítomen – 1, náboj není přítomen – 0. Zápis a čtení probíhá pomocí adresového vodiče, kterým se otevírá či uzavírá příslušný tranzistor. Datový vodič pak přivede nebo odvede náboj z kondenzátoru.

Buňky jsou v paměti uspořádány po skupinách na společných adresových a datových vodičích. K těmto skupinám se přistupuje najednou. Zjednodušené schéma je zde:

adresový vodič

dato

vý v

odič

tranzistor

kondenzátor

napětí

binární kód uschovaný v příslušné řadě buněk 1 1 1 1 10 0 0

Paměť a procesor

1 0 1 0 0 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

35448 :

35449 :

35450 :35451 :35452 :

RAM je organizována po skupinách osmi jedniček/nul. To reprezentuje ve dvojkové soustavě celé číslo z intervalu 0 – 255. Tato skupina se nazývá byte, základní buňka bit. Každý byte v paměti má své číslo, podle kterého jej lze vyhledat.

Je-li potřeba uložit do paměti větší číslo než 255, použije se k tomu několik byte. Ve dvou byte lze uschovat celé číslo z intervalu 0 – 65 535, ve třech byte číslo z intervalu 0 – 16 777 215 a ve čtyřech byte číslo z intervalu 0 – 4 294 967 295.

Paměť a procesor

1 0 1 0 0 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

35448 :

35449 :

35450 :35451 :35452 :

procesor

programové instrukce

práce s daty

Hodinový takt (operace za sekundu) [Hz]

Generátor přerušení (klávesnice) - IRQ

Sběrnice a komponenty

procesor ALU Registry

Paměť L1 (cache)

Paměť L2 (cache) RAMAGP/PCIe

IDE/SATAPCI

Další zařízení (PC/2, USB)

sběrnice

mov ax,bp sub ax,4 push ax push offset text2 call _scanfpop ax mov ax,word ptr [bp-2] add ax,word ptr [bp-4]

Hardware, firmware, OS, software

• Co z toho musím znát, když chci napsat dopis?

Odpověď : nic. Mezi uživatelem a hardware je několik „vrstev“, které umožňují pracovat i člověku, jež není systémový programátor.

Hardware

Firmware

Op. Systém

Software

1001011010101

Win, Linux

MS Word

Hardware pracuje s napětím a elek-trickými signály. Např. pevný disk ukládá data v podobě magnetických domén na mechanické plotně.

Firmware je určitý druh programu umožňující univerzální přístup k HW. Například dle čísla plotny, stopy a sektoru vrátí data z disku jako číslo.

Operační systém umožňuje komunikaci s HW na vyšší úrovni. Dovede definovat skupinu dat (soubor) a uložit je někam na disk, aniž by se uživatel staral o čísla.

Documents

Číselné soustavy