Circunferência 9 pontos

IntroduçãoDescoberta

Teoremas

A Circunferência de Nove Pontos

Gustavo Felisberto Valente

TeMatemáticaPET Matemática

25 de março de 2009

Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos


Teoremas

Sumário

1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares

2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem

3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos



Teoremas

DefiniçãoPreliminares

Sumário






Teoremas


O que é?Alguns pontos do triângulo.

Sabe o que os pontos médios dos lados, os pés das alturas eos pontos médios dos segmentos que unem os vértices dotriângulo ao ortocentro (ponto de encontro das alturas) têm emcomum?.



Teoremas


Tádã!

Por todas elas passa uma circunferência!



Teoremas


O que é?Alguns pontos do triângulo.

Os pontos médios dos segmentos que unem os vértices dotriângulo ao ortocentro também são chamados de Ponto deEuler, e é por isso que alguns autores chamam acircunferência de nove pontos de circunferência de Euler.



Teoremas


Veja animação no Cabri



Teoremas


Sumário






Teoremas


DefiniçãoCentro de massa

Definição

O Baricentro é o ponto de encontro das medianas.



Teoremas


DefiniçãoOrtocentro

Definição

O Ortocentro é o ponto de encontro das alturas.



Teoremas


Definição

Definição

A circunferência circunscrita é a circunferência que passapelos três vértices do triângulo. Seu centro é denominadocircuncentro



Teoremas


Propriedade

Durante o século XIX foram descobertos diversos resultadossobre a circunferência de nove pontos, entre eles

Propriedade 1O raio da circunferência denoves pontos tem umcomprimento igual a metadedo comprimento do raio dacircunferência circunscrita aotriângulo.



Teoremas


DefiniçãoCircunferência inscrita

Definição

A circunferências inscrita é a circunferência que tangencia ostrês lado do triângulo. Seu centro é denominado incentro.



Teoremas


DefiniçãoCircunferências exinscritas

Definição

As circunferências exinscritasa um triângulo são ascircunferências quetangenciam um lado dotriângulo e o prolongamentodos outros dois.



Teoremas


DefiniçãoCircunferências tritangentes

Todo triângulo tem três circun-ferências exinscritas distintas,cada uma tangente a um ladodo triângulo.

Definição

As quatro circunferênciastritangentes são acircunferência inscrita e as trêscircunferências exinscritas.



Teoremas


Feuerbach naquele livro também prova o seguinte teorema:

Teorema de Feuerbach (Propriedade 2)A circunferência de nove pontos é tangente às quatrocircunferências tritangentes aos lados do triângulo.



Teoremas





Teoremas


Por isso alguns autores se referem a ela como a circunferênciade doze pontos. Com tantos pontos nesta circunferência, ela échamada ainda de circunferência de n-pontos.



Teoremas

Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem

Sumário






Teoremas


DescobertaKarl Wilhelm Feuerbach

Karl Wilhelm Feuerbach(?30/05/1800 †12/03/1834) foium geômetra alemão que levao crédito pela descoberta dacircunferência de nove pontos.Apesar de o problema já serconhecido em referênciasmais antigas, o teorema sóveio a ser demonstrado porFeuerbach no seguinte livro. . .



Teoremas


Eigenschaften einiger merk-würdigen Punkte des geradlin-igen Dreiecks und mehrererdurch sie bestimmten Linienund Figuren (Propriedades dealguns pontos especiais noplano de um triângulo, evárias retas e figuras de-terminadas por estes pon-tos: um tratamento analítico-trigonométrico).



Teoremas


No entanto, Feuerbach só mencionava a incidência de seispontos do triângulo na circunferência:

os três pontos médios dos lados eos três pés das alturas.

Ele descrobiu, portanto, a circunferência de seis pontos, a qualtambém ficou chamada de circunferência de Feuerbach.



Teoremas


Sumário






Teoremas


DescobertaOlry Terquem

Outro contribuidor foi omatemático francês OlryTerquem (?16/06/1782 †1862).Olry foi editor da NouvellesAnnales e lá ele publicou a se-gunda demonstração analíticado teorema de Feuerbach,bem como mostrou a incidên-cia dos pontos de Euler nacircunferência e a batizou dele cercle des neuf points, ou acircunferência de nove pontos.



Teoremas


Alguns autores se referem a circunferência de nove pontoscomo a circunferência de Terquem.



Teoremas

Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos

Sumário






Teoremas


Reta de Euler

A reta de Euler é uma reta quepode ser construída em qual-quer triângulo que não sejaequiláteroa. Ela passa pordiversos pontos do triângulocomo o ortocentro, o circun-centro e o baricentro.

apois os pontos coincidem.



Teoremas


Teorema

Para demonstrar a existência desta reta, vamos enunciar oseguinte teorema:

TeoremaO circuncentro, o baricentro e o ortocentro de um triângulo sãocolineares.



Teoremas


Demonstração

Demonstração

Seja 4ABC um triângulo esejam H seu ortocentro e Gseu baricentro. Mostremosque o ponto de encontro doprolongamento do segmentoHG com a mediatriz de BC é ocircuncentro. Para tal, seja Qeste ponto e seja M o pontomédio de BC.



Teoremas


DemonstraçãoContinuação. . .

Demonstração

De fato, ambas as retas QM eAH são perpendiculares aolado BC, portanto QM éparalelo a AH. Logo 4AHG e4MQG são semelhantes.Determinemos a razão desemelhança entre 4AHG e4MQG.



Teoremas



DemonstraçãoPelas propriedades dobaricentro, o ponto G divide amediana AM na razão 2 para1, isto é, AG = 2 ·GM.Portanto, o triângulo 4AHGtem o dobro das dimensões dotriângulo 4MQG. Logo,HG = 2 ·QG (Lembre-sedisto!).



Teoremas



Memória: HG = 2 ·QG

DemonstraçãoPor outro lado, considere aaltura com relação ao vérticeB e a mediatriz do lado AC.Repetindo o raciocínioanterior, determinamos umponto Q′ na interseção doprolongamento de HG com amediatriz de AC tal queHG = 2 ·Q′G (Lembre-sedisto).



Teoremas



Memória: HG = 2 ·QGe HG = 2 ·Q′G

Demonstração.

Segue que Q = Q′, ou seja, Qé o encontro das mediatrizes,isto é, o circuncentro!



Teoremas


Propriedade

Propriedade 3O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a retade Euler, a meia distância entre o ortocentro e o circuncentro.



Teoremas





Teoremas


Sumário






Teoremas


Lemas

Para demonstrar a existência da circunferência de nove pontos,considere os lemas a seguir:

Lema 1 (Teorema da base média)O segmento com extremidades nos pontos médios de doislados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem amedida igual a metade do comprimento daqule lado.



Teoremas


Lema 2A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo temmetade do comprimento da hipotenusa.



Teoremas


Lema 3Um trapézio é isósceles se e somente se suas diagonais sãocongruentes.



Teoremas


Lema 4Todo trapézio isósceles é cíclico, isto é, existe umacircunferência que o circunscreve.



Teoremas


Finalmente

Teorema (A Circunferência de nove pontos)Seja 4ABC um triângulo de ortocentro S. Então, os pontosmédios dos lados, os pés das alturas e os pontos de Eulerestão em uma circunferência.



Teoremas


Demonstração

Demonstração

Sejam D, E e F os pontosmédios dos lados BC, AC eAB respectivamente e G, H e Ios pés das alturascorrespondentes aos ladosBC, AC e AB do triângulo4ABC.



Teoremas



Demonstração

Sabemos que por D, E e Ipassa uma circunferência.Mostremos que os pontos H,F e G também incidem nela.



Teoremas



Demonstração

De fato, EF é a base média do4ABC relativa ao lado BC,logo BC = 2EF (Lema 1).



Teoremas



Memória: BC = 2EF .

Demonstração

Por outro lado, D é o pontomédio da hipotenusa dotriângulo retângulo 4BIC, logoBC = 2DI (Lema 2).



Teoremas



Memória: BC = 2EF e BC =2DI.

Demonstração

Da nossa memória, temos queEF = DI. Logo o trapézioFIED é isósceles (Lema 3) econcluímos que acircunferência que passa porD, E e I, passa também por F(Lema 4).



Teoremas



Demonstração

De modo análogo pode-seprovar que os pontos G e Htambém incidem nacircunferência, basta construirtrapézios isósceles quepassam por esses pontos.



Teoremas



Demonstração

Por outro lado, os pontos G, He I são também os pés dasalturas do 4ASB. Portantoconsidere a circunferência quepassa por esses três pontos emostremos que os pontosrestantes (J, K e L) tambémincidem na circunferência.



Teoremas



DemonstraçãoRepetindo o procedimento em4ASB, temos que:

AB = 2JK ;AB = 2FH eAB = 2FG



Teoremas



Memória: AB = 2JK , AB =2FH e AB = 2FG

Demonstração

Quer dizer, JK = FH = FG.Logo, o círculo que passa porG, H e I também passa por F ,J, K . O ponto L é tratado domesmo modo e temos os novepontos da circunferência.



Teoremas



Memória: AB = 2JK , AB =2FH e AB = 2FG

Demonstração.

Quer dizer, JK = FH = FG.Logo, o círculo que passa porG, H e I também passa por F ,J, K . O ponto L é tratado domesmo modo e temos os novepontos da circunferência.



Teoremas


Klaryssa Junckes GualbertoColinearidade e Concorrência na Geometria EuclidianaPlanaTrabalho de Conclusão de Curso sob orientação de Ms.José Luiz Rosas Pinho.

The MacTutor History of Mathematics archivehttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Disponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.

Wolfram MathWorld: The Web’s Most ExtensiveMathematics Resourcehttp://mathworld.wolfram.com/Disponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.

Wikipedia, The Free Encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Nine_point_circleDisponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.


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Circunferência 9 pontos