Circulacion_de_Flujos(muskingum).unlocked (1)

CIRCULACIN DE FLUJOSMtodos de clculo usuales en el diseo de canales y embalses en cuencas pequeasAlgoritmos con programas en Fortran 77

Jos Luis Ayuso Muoz

Monografa n 179 Servicio de Publicaciones

Universidad de Crdoba

Jos Luis Ayuso Muoz

2

A Mara Luisa y Patricia

Circulacin de flujos

3

ISBN: 84-7801-094-7 Depsito Legal: CO-386-1990 Edita: Servicio de Publicaciones Universidad de Crdoba Imprime: Servicio de Publicaciones E.T.S.I. Agrnomos Alameda del Obispo s/n, Apartado 3048 14080 Crdoba

Jos Luis Ayuso Muoz

4

NDICEPrefacio1 INTRODUCCIN 2 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE CIRCULACIN DE FLUJOS 3 CIRCULACIN HIDROLGICA (SISTEMAS GLOBALES) 3.1 Modelo de sistema hidrolgico general. 3.2 Relacin almacenamiento-descarga 3.3 Almacenamiento y transmisin del flujo 3.4 Circulacin de flujos a travs de embalses 3.4.1 Mtodo de la superficie libre horizontal 3.4.2 Mtodo de Runge-Kutta 3.5 Circulacin de flujos a travs de canales abiertos 3.5.1 Mtodo de Muskingum 3.5.2 Mtodo de Muskingum no lineal 3.6 Circulacin de flujos a travs de cuencas 3.6.1 La cuenca como sistema lineal. Mtodo del HU 3.6.2 Modelo de embalses lineales en serie 4 CIRCULACIN HIDRULICA (SISTEMAS DISTRIBUIDOS) 4.1 Ecuaciones bsicas 4.2 Clasificacin de los modelos distribuidos 4.3 Mtodo de Muskingum-Cunge REFERENCIAS ANEXO I Programa PRAVEM Programa MUSKING Programa CONVOL Programa NASH Programa HUNASH Programa CUNGE

56 7 7 7 11 13 15 16 26 31 32 41 42 42 51 69 70 73 76 93 96 97 100 102 102 104 110


5

Prefacio

Aunque este libro ha sido concebido, bsicamente, como gua para el curso de especializacin del tercer ciclo Modelacin hidrolgica de cuencas pequeas. Aplicacin al diseo de pequeas presas y embalses, tambin ha sido escrito con miras al inters de las aplicaciones prcticas de los mtodos de clculo en la circulacin de flujos.

Uno de los objetivos principales del libro es presentar los programas de ordenador, escritos en lenguaje Fortran 77 (disponible en la mayora de los microordenadores), para el anlisis y estudio de los problemas hidrulicos e hidrolgicos envueltos en el movimiento de ondas de avenida. El texto analiza y estudia la hidrulica e hidrologa de la circulacin de flujos a travs de cuencas, cauces y embalses. Tras una clasificacin de los modelos comnmente utilizados en el estudio del movimiento de ondas de flujo, se describen los mtodos hidrulicos e hidrolgicos ms empleados en el estudio de la evolucin de ondas de avenida a travs de embalses, cauces y cuencas. Cada uno de los mtodos descritos se ilustra con un ejemplo resuelto y con la aplicacin del software presentado. El inters puesto en muchos de los puntos tratados en el libro, ha estado inspirado en la propia experiencia, alcanzada a travs de los cursos de especializacin impartidos, y en los consejos y apreciaciones de colegas y amigos. En especial, he de agradecer la deuda contrada con el Prof. Dr. Girldez Cervera por sus precisas observaciones y oportunos consejos. Finalmente, dar las gracias debidas a D. Prudencio Salces, quin mecanografi el manuscrito y se ocup, inteligentemente, de sus muchas dificultades, y a D. Jos Antonio Cobacho, quien realiz la excelente delineacin.

Jos L. AyusoCatedrtico de Proyectos de Ingeniera Departamento de Ingeniera Rural UNIVERSIDAD DE CORDOBA

Jos Luis Ayuso Muoz

6

1

INTRODUCCION

La determinacin de los caudales en las corrientes superficiales es el objetivo central de la Hidrologa Superficial. La precipitacin que llega a encauzarse como flujo en una corriente, entra al mismo como flujo superficial y/o subsuperficial, proceso conocido como escorrenta directa (o respuesta inmediata de la cuenca a un episodio de lluvia), que es la precipitacin efectiva o exceso de lluvia, que tras fluir como flujo superficial en laderas, primero, y a travs de canales de corriente y embalses, despus, da lugar al hidrograma de salida de la cuenca. Se analiza y estudia la hidrulica e hidrologa de la circulacin del flujo sobre el terreno, a lo largo de cauces y canales, y a travs de embalses. En Hidrologa, se conoce por Circulacin o propagacin de flujos, al procedimiento mediante el cual se determina el avance progresivo (prediccin de las variaciones en el tiempo y en el espacio) de una onda de flujo a lo largo de un canal de corriente o embalse, o se predice el hidrograma de salida de una cuenca, originado por una precipitacin conocida. En sentido amplio, la circulacin de flujos puede considerarse como el anlisis para describir el flujo a travs de un sistema hidrolgico (cuenca, cauce o embalse) conocida la entrada al sistema (Figuras 1 y 2).SISTEMA HIDROLGICO- Precipitacin - Caudal seccin aguas arriba - Caudal de entrada Entrada I(t) - CUENCA - TRAMO DE CANAL - EMBALSE Salida Q(t)

Caudal de salida

Figura 1. Representacin esquemtica del funcionamiento del sistema hidrolgico

Mediante este procedimiento se puede determinar, por ejemplo, el tiempo y magnitud del flujo (es decir, el hidrograma) en un punto de un curso de agua, represado o no, a partir de hidrogramas conocidos o supuestos en uno o ms puntos aguas arriba. Todos los proyectos de sistemas de recursos hidrulicos, como previsin de avenidas, diseo de embalses, aliviaderos de pequeas y grandes presas, y simulacin de cuencas, utilizan dicho procedimiento. Las tcnicas o mtodos de circulacin de flujos a travs de canales, embalses y cuencas se presentan, seguidamente, en secciones separadas, estableciendo los fundamentos tericos en los que se basan y las aplicaciones prcticas de los mismos. En algunos casos se especifican los programas, en FORTRAN 77, de los modelos matemticos.


7

PRECIPITACION I (t)

Divisoria de la cuenca

Superficie de la cuenca Lmites del sistema

Caudal de salida Q(t)

Figura 2. La cuenca como sistema hidrolgico

2 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE CIRCULACIN DE FLUJOSLos mtodos de circulacin de flujos se clasifican, tanto desde el enfoque tradicional como desde el anlisis de sistemas, en dos categoras: * Circulacin hidrolgica de flujos, tambin conocida como Circulacin de flujos a travs de sistemas globales. * Circulacin hidrulica de flujos, tambin llamada Circulacin de flujos a travs de sistemas distribuidos. Las tcnicas de circulacin hidrolgica emplean la ecuacin de continuidad junto a una relacin, analtica o emprica, entre el almacenamiento y la descarga dentro del sistema, mientras que las de circulacin hidrulica utilizan la ecuacin de continuidad y la ecuacin de la cantidad de movimiento, conocidas como ecuaciones de Saint Venant. Desde la perspectiva de la teora de sistemas, la diferencia, entre la circulacin de flujos a travs de sistemas globales y sistemas distribuidos, estriba en que en un modelo de sistema global, el flujo se calcula nicamente como funcin del tiempo en una localizacin particular (extremo aguas abajo de un canal, salida de un embalse o cuenca), mientras que en un modelo de sistema distribuido, el flujo se calcula como una funcin del tiempo y del espacio a travs del sistema (en sucesivos puntos a lo largo de un canal, embalse o cuenca).

3 CIRCULACIN HIDROLGICA (SISTEMAS GLOBALES)3.1 Modelo de sistema hidrolgico general.El agua almacenada en un sistema hidrolgico, S, puede relacionarse a los caudales de

Jos Luis Ayuso Muoz

8

entrada I, y de salida Q, mediante la ecuacin de continuidaddS = I -Q dt

(1)

Si el sistema hidrolgico es un depsito, tal como el de la Figura 3 en el que S vara (aumenta y/o disminuye) con el tiempo en la respuesta a I y Q, y a sus variaciones con respecto al tiempo Di/dt, dI/dt, ..., dQ/dt, dQ/dt..., el almacenamiento, en cualquier instante, puede expresarse por una funcin de almacenamiento (Chow et al. 1989, Cap. 7) comoS = f ( I, dQ d 2 Q dI d 2 I , 2 , ... Q, , , ...) dt dt dt dt 2

(2)

funcin que estar determinada por la naturaleza del sistema hidrolgico que se trate.I(t) dS =I(t)-Q(t) dt S(t) Q(t)

Figura 3 Ecuacin de continuidad en un sistema hidrolgico

La funcin de almacenamiento (2) puede expresarse por la ecuacin diferencial linealS = A0 I + A12 n 2 n dQ dI d Q d Q d I d I + A2 2 + ... An n + B0 Q + B1 + B 2 2 + ... B n n dt dt dt dt dt dt

(2a)

Si los trminos de la ecuacin (2a) fuesen productos de I y sus derivadas, y Q y sus derivadas, o potencias distintas de las de primer grado, el sistema descrito por esta funcin podra ser no lineal. Los coeficientes A0 a An, y B0 a Bn de la ecuacin (2a) pueden ser constantes, en cuyo caso el sistema lineal se dice que es invariable en el tiempo, o algunos de los coeficientes pueden ser dependientes del tiempo, en cuyo caso el sistema lineal se dice que es variable en el tiempo (O'Donnell, 1986). Considrese el embalse representado en la figura 3, en el que el almacenamiento S, est relacionado al caudal de salida Q, mediante la relacin general

S = K QnLa ecuacin de continuidad (1) puede expresarse comodS =I Q dt

(3)

(3a)


9

Para el caso particular de n 1 y K constante, la ecuacin (3) dadQ dS =K dt dt

que sustituida en la expresin (3a) daK dQ +Q= I dt

(4)

que es una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes, de modo que para n 1 y K constante, el embalse es un sistema lineal invariable en el tiempo, cuyo comportamiento es descrito por la ecuacin (4). Si n 1 y K es una funcin del tiempo K(t), entonces se tendr como valor de dS/dtdK (t ) dQ dS = K (t ) +Q dt dt dt

que sustituido en la ecuacin de continuidad (1) daK(t) dQ dK(t) + 1+ Q= I dt dt

(5)

que sigue siendo una ecuacin diferencial lineal, pero que tiene un coeficiente variable con el tiempo, por lo que el embalse, en este caso, es un sistema lineal variable en el tiempo, cuyo comportamiento es descrito por la ecuacin (5). Finalmente, si n 1 y K es constante, se tendr al derivar la expresin (3) quedQ dS = K n Q n 1 dt dt

valor que sustituido en la ecuacin de continuidad daK nQn -1

dQ +Q= I dt

(6)

que es una ecuacin diferencial no lineal. Por consiguiente, para n 1, cualquiera que sea K, el embalse es un sistema no lineal. El modelo de embalse lineal es usado en la modelacin de cuencas para el desarrollo del Hidrograma Unitario ( 3.6.2).

Jos Luis Ayuso Muoz

10

La solucin simultnea de las ecuaciones (1) y (2), de continuidad y almacenamiento, permite calcular el caudal de salida Q, conocido el de entrada I, siendo I y Q funciones del tiempo. La solucin puede realizarse por dos procedimientos 1) Diferenciando la funcin de almacenamiento (2), y sustituyendo el resultado de dS/dt, en la ecuacin (1), para resolver posteriormente la ecuacin diferencial resultante por integracin, obteniendo Q(t) como una funcin de I(t). 2) Aplicando los mtodos de diferencias finitas, directamente a las ecuaciones (1) y (2), para resolverlas recursivamente en puntos discretos a lo largo del tiempo. Este ser el mtodo que se aplicar en la circulacin de flujos a travs de sistemas globales o circulacin hidrolgica de flujos. Para ello, se divide el tiempo en intervalos finitos y se resuelve la ecuacin de continuidad (1) recursivamente, desde un instante de tiempo al siguiente, usando la funcin de almacenamiento (2) para responder del valor del mismo en cada instante de tiempo.Ejemplo 3.1 Sea el caso de un embalse lineal como el representado en la figura 3, en el que el almacenamiento S, est relacionado con el caudal de salida Q por la relacin S = KQ. Obtener el caudal de salida Q por resolucin de las ecuaciones (1) y (2) mediante el primer procedimiento establecido anteriormente. Solucin. Diferenciando la funcin de almacenamiento S=KQ, y sustituyendo el valor de dS/dt en la ecuacin de continuidad (1), se obtiene la expresinI Q=K dQ dt

(7)

que describe un sistema global, ya que contiene nicamente la derivada con respecto al tiempo. Integrando con la condicin Q = 0 para t = 0, se obtiene

t =0

t

dt = K 0Q

Q

dQ I QI Q I

resultandot = K [ln( I Q)]0 = K ln

de donde

t I Q = ln K I I Q I

la cual, al tomar antilogaritmos dae t K =

llegndose finalmente a la expresin


11Q = I (1 e t K )

(8)

que da la relacin entre el caudal de salida Q, y el de entrada I. Se deduce que para un tiempo t > Q = I 1 t u >

1 I t/K e

(9)

es decir, se llega a un estado de equilibrio en el que se igualan los caudales de entrada y salida.

3.2 Relacin almacenamiento-descargaLa forma especfica de la funcin de almacenamiento depender de la naturaleza del sistema que se trate. Se estudiarn tres sistemas. 1. Circulacin a travs de embalses por el mtodo de la superficie libre horizontal, en el que el almacenamiento, S, es una funcin no lineal de Q solamenteS = f(Q)

y la funcin f(Q) se determina relacionando el almacenamiento S, y el caudal de salida Q, a la cota h de la superficie libre en el embalse. 2. Circulacin a travs de canales por el mtodo de Muskingum, en el que el almacenamiento S, est linealmente relacionado a I y Q. 3. Circulacin a travs de cuencas, mediante la utilizacin de modelos conceptuales de cuenca, que pretenden predecir el hidrograma resultante como respuesta a la lluvia, en los que el almacenamiento S, es una funcin lineal de Q y sus derivadas respecto al tiempo. La relacin entre el almacenamiento y el caudal de salida de un sistema hidrolgico, tiene gran influencia en la circulacin del flujo. Esta relacin puede ser invariable o variable, como se indica en la Figura 4. Una relacin invariable, tiene la forma de la ecuacin (10) y se aplica a embalses con la superficie libre horizontal. Tales embalses tienen un vaso ancho y profundo, siendo muy pequea la velocidad del flujo en los mismos. La relacin de almacenamiento invariable requiere que el caudal de salida del embalse, para una cota dada de la superficie libre de la lmina de agua, sea fijo, es decir, existe una relacin biunvoca entre almacenamiento y descarga, lo que implica que las estructuras hidrulicas de salida deben ser libres, o controladas por compuertas mante-nidas en una posicin fija. Si la posicin de la compuerta de control cambia durante la descarga, sta y la cota de la superficie libre del agua cambian en la presa,

Jos Luis Ayuso Muoz

12

propagndose el efecto aguas arriba en el embalse, creando una superficie libre de agua curvada temporalmente, hasta que se establece un nuevo equilibrio en la superficie libre a lo largo del embalse Cuando un embalse tiene la superficie libre horizontal, su almacenamiento es funcin de la cota de la superficie libre del agua o calado h, S (h). Igualmente la descarga Q, es funcin de la cota de la superficie libre o calado h sobre la coronacin de la estructura hidrulica de salida, Q (h).Hietograma de entrada Hietograma de entrada

Caudal

Caudal

R. P.Hietograma de salida

P RHietograma de salida

O

OR. P.

t

O

OP

t

Q

Q

R

O

O

s

O

O

s

a) Relacin invariable

b) Relacin variable

Figura 4 Relacin entre descarga y almacenamiento

Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse S, y la descarga Q, pueden relacionarse para producir una funcin de almacenamiento biunvoca o invariable. S f(Q), como se indica en la Figura 4.S = ( h) Q = (h) h = 1 (Q)

S = 1 (Q) = f (Q)

[

]

(11)

En tales embalses, el caudal punta de salida ocurre cuando el hidrograma de salida intercepta al hidrograma de entrada, ya que el almacenamiento mximo ocurre cuandodS = I Q =0 dt

estando relacionados el almacenamiento y el caudal de salida por S f(Q). Esto est indicado en la Figura 4a, en donde los puntos que denotan el almacenamiento mximo R, y el caudal de salida mximo P, coinciden. Una relacin variable almacenamiento-caudal de salida, se aplica a embalses estre-


13

chos y largos, a canales abiertos y cursos de agua, en los que el perfil de la superficie libre del agua puede estar significativamente curvada debido a los efectos aguas arriba. La cuanta del almacenamiento debido a los efectos aguas arriba depende de la velocidad de cambio del flujo a travs del sistema. Como se indica en la Figura 4b, la relacin entre descarga y almacenamiento en el sistema, ya no es una funcin biunvoca, sino que muestra un bucle de histresis, dependiendo de las caractersticas del almacenamiento del sistema. A causa del retardo debido al efecto aguas arriba, la punta del caudal de salida, habitualmente, tiene lugar despus de la intercepcin de los hidrogramas de entrada y salida, como se indica en la Figura 4b, en la que los puntos R y P no coinciden. Si el efecto aguas arriba no es muy significativo, puede sustituirse el bucle por una curva promedio como la mostrada por la lnea de trazos. En consecuencia, los mtodos de circulacin de flujos con superficie libre horizontal pueden aplicarse, como una aproximacin, a la circulacin de flujos con una relacin variable, almacenamiento-descarga.

3.3 Almacenamiento y transmisin del flujoUna vez generada la escorrenta, la misma es conducida y canalizada a travs de un sistema de canales de drenaje. Si la escorrenta se produce a un ritmo que exceda la capacidad de almacenamiento del sistema de canales, se producir una avenida por desbordamiento de la red de drenaje. La escorrenta canalizada en los arroyos y ros se mueve aguas abajo como una onda de flujo, primero creciente y luego decreciente. A medida que esta onda se desplaza aguas abajo, el canal queda sujeto a dos procesos que alteran su carcter. El primero es un proceso uniforme, de flujo progresivo, o traslacin, en el que la onda se desplaza aguas abajo sin cambiar su forma (Figura 5a). El efecto de la traslacin es desplazar el centroide del hidrograma de entrada a la posicin del de salida, en un tiempo denominado tiempo de traslacin, sin alterar el hidrograma. Este fenmeno es dominante en torrentes montaosos rectos y de fuerte pendiente, durante intensas tormentas, en donde la velocidad que alcanza el flujo es elevada y relativamente constante a lo largo del intervalo de los valores de la descarga. El segundo proceso que acta sobre la onda de flujo es la accin de embalsamiento o almacenamiento, en el que la onda es atenuada por el almacenamiento del canal y del valle. En el caso de embalse, cuando entra un curso rpido de agua, la mayor parte del aporte es almacenado dentro del sistema. En estos sistemas hay una relacin entre el almacenamiento y el caudal de salida del sistema, tal como la expresin (10) del 3.2. Consecuentemente, a medida que el flujo va entrando, se eleva el nivel progresivamente, ocasionando que aumente el caudal de salida. Cuando el aporte disminuye significativamente, el caudal de salida se mantiene por encima del aporte a costa del almacenamiento. El efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma, desplazando el centroide del hidrograma de entrada a la posicin del de salida en un tiempo denominado tiempo de redistribucin. En la mayora de los canales de corriente, sobre todo en los de mucha longitud, la onda de flujo acta de manera intermedia a las situaciones extremas descritas anterior-

Jos Luis Ayuso Muoz

14

mente, es decir, a medida que la onda de flujo se desplaza aguas abajo, una parte del agua se almacena en el canal y la onda se atena por el efecto de almacenamiento. En este caso el tiempo total del movimiento de la avenida, distancia entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es la suma del tiempo de redistribucin y de traslacin (Figura 5c). Si se produce desbordamiento, el valle, durante la onda de avenida, acta como un gran componente de almacenamiento. Durante las grandes avenidas el canal y el valle almacenan una parte considerable del volumen total de escorrenta generada en las laderas por los aguaceros intensos. Puede concluirse en que el proceso de redistribucin modifica la forma del hidrograma, mientras que el de traslacin cambia su posicin.QHidrograma de entrada

Hidrograma de salida

Tiempo de traslacin

Tiempo de traslacin

t

b) Efecto de almacenamiento QHidrograma de entrada


Tiempo de redistribucin

t

c) Efecto real de combinacin de la traslacin y almacenamiento QHidrograma de entrada


Tiempo de movimiento de la avenida

t

Figura 5. Tiempo de movimiento de la avenida. a) Efecto de traslacin simple o flujo progresivo

uniforme, b) Efecto de almacenamiento, y c) Efecto real de combinacin de traslacin y almacenamiento


15

3.4 Circulacin de flujos a travs de embalsesLa aplicacin de las tcnicas de circulacin de flujos al paso de una avenida a travs de un embalse permite la determinacin de: la altura de agua embalsada, el volumen almacenado y el caudal de salida por el aliviadero. En consecuencia, estas tcnicas se utilizan tanto en la fase de planificacin como de proyecto de embalses para determinar la localizacin y capacidad de almacenamiento, y el diseo de las estructuras hidrulicas de desage y aliviaderos. Estas tcnicas comprenden el caudal de entrada al embalse (hidrograma de avenida, que ha de ser conocido), el caudal de salida a travs del aliviadero de la presa (hidrograma de salida, a determinar para unas caractersticas y dimensiones del aliviadero) y el almacenamiento en el embalse. Consecuentemente, el problema planteado al circular una avenida por un embalse es determinar la relacin entre el caudal de entrada al embalse, el caudal de salida por el aliviadero y el almacenamiento como una funcin del tiempo. La solucin se obtiene resolviendo las ecuaciones (1) de continuidad para el flujo no permanente y la (10), relacin invariable almacenamiento-caudal de salida en el caso de embalses con superficie libre horizontal ( 3.2). En este caso los hidrogramas de entrada y salida seran como los de la Figura 6a, en la que se ilustra el caso tpico de un embalse, cuyo nivel se encuentra a la cota de coronacin del aliviadero cuando se produce la onda de avenida. Despreciando la posible prdida o ganancia de agua en el transcurso del paso de la avenida por el embalse, el volumen total de agua representado por el rea bajo los hidrogramas permanecer constante, aunque el caudal punta se reduce y retrasa, especialmente en aquellos embalses de grandes dimensiones. Este fenmeno se conoce como efecto laminador del embalse o laminacin de la avenida por el embalse. Durante la primera porcin de la onda de avenida, perodo de tiempo entre t0 y t1, el caudal de entrada I, excede al de salida Q, por lo que el agua se estar almacenando en el embalse. El rea bdca, o diferencia entre los hidrogramas de entrada y salida, representa el volumen almacenado por encima de la cota de coronacin del vertedero (aliviadero) duran te la avenida. En esta primera parte, la tasa de almacenamiento (Figura 6b) crece desde cero hasta un mximo, para anularse de nuevo cuando se igualan los valores de los caudales de entrada y salida. En este instante se alcanza el mximo volumen almacenado (Figura 6c), y en consecuencia, el nivel mximo de crecida, dato de esencial importancia en la determinacin del resguardo necesario para la presa y altura de la misma. A partir del instante t1, el caudal de salida excede al de entrada, por lo que, consecuentemente, el volumen desaguado estar siendo extrado del almacenamiento. El rea defg, equivalente al rea abdca, representa el volumen de almacenamiento evacuado. La tasa de almacenamiento pasa a ser negativa, y el almacenamiento sobre la coronacin del aliviadero comienza a decrecer (Figura 6c).

Jos Luis Ayuso Muoz

16

Figura 6

Hidrogramas de entrada y salida, y almacenamiento en un embalse cuyo nivel se encuentra a la cota de coronacin del aliviadero cuando se produce la avenida

3.4.1 Mtodo de la superficie libre horizontalEste mtodo, tambin conocido como mtodo de Indicacin de Almacenamiento o de Puls modificado (Viessman et al., 1989. Cap. 13), es el ms empleado para circular una avenida a travs de un embalse. Una onda de avenida que pasa a travs de un embalse como el de la Figura 7, es diferida y atenuada al entrar y difundirse sobre la superficie del mismo. El


17

agua almacenada en el embalse se evacua gradual y controladamente como caudal a travs de conducciones que la llevan a las turbinas, o a travs de estructuras de desage, denominadas aliviaderos principales, o en caso de avenidas extremas por los aliviaderos de emergencia. Este mtodo obtiene el hidrograma de salida de un embalse, conocido el hidrograma de entrada y las caractersticas de la relacin almacenamiento-caudal de salida, que se asume como relacin invariable ( 3.2). Igualmente, se supone que la superficie libre del embalse es horizontal, despreciando la curvatura de la misma durante el paso de la onda de avenida.Coronacin de la presaResguardo mnimo

Resguardo normal

Nivel mximo de crecida

Aliviadero de emergencia o de demasiasNivel cresta del aliviadero

ALMACENAMIENTO EN SOBRECARGA ALMACENAMIENTO PARA CONTROL DE AVENIDAS

Mx. nivel normal

ALMACENAMIENTO ACTIVO (RIEGO, ABASTECIMIENTO O NAVEGACIN)

PRESANivel mnimo

ALMACENAMIENTO MUERTO O DE CONSERVACION

Aliviadero principal

Figura 7. Niveles de embalse y zonas de almacenamiento para un embalse de uso mltiple

Dividiendo el tiempo total en el que se quiere estudiar la evolucin de la onda de avenida en intervalos de duracin t, es decir, t=0, t, 2t, 3t, , it, (i+1)t, e integrando la ecuacin de continuidad (1), en cada intervalo de tiempo i, se tendrS i +1 S i dS = it (i+1) t

I(t)dt - it

(i+1) t

Q(t) dt

(12)

en la que los valores del aporte, al principio y final del intervalo i-simo de tiempo en el que se integra, seran Ii e Ii+1, respectivamente, y los correspondientes del caudal de salida Qi y Qi+1. Si la variacin del aporte y del caudal de salida en el intervalo es aproximadamente lineal, el cambio en el almacenamiento, en el intervalo seraS i+1 - S i = I i + I i+1 t - Qi + Qi+1 t 2 2

(13)

Si el embalse dispone, adems, de una estructura de desage que desembalse un caudal regulado, Qr, constante, (Linsley et al., 1982 Cap. 9) la ecuacin anterior se modifica a

Jos Luis Ayuso Muoz

18

S i+1 - S i =

I i + I i+1 t - Qi + Qi+1 t - t Qr 2 2

(13a)

Para que la expresin anterior se satisfaga con suficiente aproximacin, el intervalo de tiempo t ha de ser lo suficientemente pequeo para definir el hidrograma con precisin. Tericamente ha de ser igual o menor que el tiempo de viaje de la onda de flujo a travs del embalse, y tan pequeo como para considerar que el hidrograma durante el perodo t vara linealmente, es decir, se aproxima a una lnea recta. En la expresin (13) se conocen los valores de Ii e Ii+1, por ser ordenadas del hidrograma de entrada, conocido. Los valores de Qi y Si, tambin son conocidos porque son datos obtenidos en el clculo del intervalo de tiempo precedente. En consecuencia, dicha expresin, contiene dos incgnitas, Qi+1 y Si+1, que pueden dejarse en el segundo miembro multiplicando la expresin (13) por 2/t y reordenando trminos, resultando S 2 Si ( I i + I i+1) + - Qi = 2 i+1 + Qi+1 t t

(14)

El procedimiento de clculo para obtener Qi+1 y Si+1, sera generar pares de valores de prueba de Q y S que satisfagan la ecuacin (14) y verificarlos posteriormente sobre la curva almacenamiento-descarga para confirmar la validez de los mismos. Este procedimiento de prueba sera tedioso y poco operativo. El mtodo alternativo sera emplear una funcin almacenamiento-caudal de salida que relacione 2S/t+Q con Q. Esta funcin se desarrollar a partir de las relaciones elevacin-almacenamiento y elevacin-caudal de salida, como indica la Figura 8. En el caso de la ecuacin (13a), aliviadero no controlado y desage regulado, Qr, constante, la ecuacin (14) se transforma en 2S S ( I i + I i+1) - 2 Q r + i - Qi = 2 i+1 + Qi+1 t t

(14a)

cuya solucin es idntica a la (14), excepto que tiene incluido el trmino Qr. La relacin entre la cota de la superficie libre del agua y el almacenamiento en el embalse ha de deducirse a partir de la cartografa mediante la planimetracin del rea encerrada dentro de las sucesivas curvas de nivel de los planos topogrficos del vaso. La segunda relacin, cota de la superficie libre-caudal de salida, ha de deducirse de las curvas de gasto, que relacionan la altura con la descarga, de las estructuras de desage, como aliviaderos, azudes, compuertas, etc. En la Tabla 1 se muestran las ecuaciones que relacionan la altura con la descarga para diversos tipos de aliviaderos y estructuras de desage. Para un valor dado h, cota de la superficie libre, se determinan los valores del almacenamiento S y del caudal de salida Q (Figuras 8a y 8b), calculando a continuacin el valor de 2S/t+Q, y representndolo en el eje vertical de una grfica con el valor de Q en el eje horizontal (Figura 8c).


19

Si el embalse slo dispone de aliviadero regulado por compuertas y estn situadas en una determinada posicin fija, la descarga ser funcin de la carga o altura total (Tabla 1). La solucin puede ser tratada como un embalse simple, si las compuertas permanecen abiertas en una posicin fija. Se requiere una familia de curvas de 2S/t+Q versus Q, para las diversas posiciones o apertura de compuertas. As pues, al calcular el flujo en el intervalo de tiempo i, se conocen todos los trminos del lado izquierdo de la expresin (14), con lo que se conoce el valor de 2Si+1/t+Qi+1. Con este valor se puede obtener el correspondiente de Qi+1 entrando en la curva 2S/t+Q versus Q, bien grficamente, o bien interpolando linealmente si se conoce una tabla de valores. En el siguiente intervalo de tiempo se requiere conocer el valor de 2Si/t-Qi, que se calcula restando dos veces Qi+1, calculado en el paso anterior, al valor de 2Si+1/t+Qi+1, tambin obtenido en el intervalo anterior, es decir 2S 2 Si - Qi = i+1 + Qi+1 - 2 Qi+1 t t

(15)

As se procede durante los sucesivos perodos de tiempo. En el ejemplo 3.4.1 se ilustra el procedimiento a seguir y se obtiene el hidrograma de salida en la Figura 10. Si el nivel de la superficie libre est por debajo de la cota de coronacin del aliviadero al comienzo de la entrada de la avenida al embalse, el agua se va acumulando en el almacenamiento hasta que alcanza dicha cota, en cuyo instante empezar el vertido o desage por el mismo

Elevacin superficie del agua

Elevacin superficie del agua

(a) H

(b) H

Almacenamiento

S

Caudal de salida

Q

2S t +Q (c)

Caudal de salida

Q

Figura 8 Desarrollo de la funcin Caudal de salida-Almacenamiento a partir de las curvas Elevacin-

Almacenamiento y Elevacin-Caudal de salida

TIPO DE ALIVIADEROQ = caudal m / s C = coeficiente de desage variable Q=CLH3/2 3

ECUACION

NOTACION

Jos Luis Ayuso Muoz

ha

H

L = longitud efectiva de la coronacin, m H = carga total sobre coronacin incluyendo la altura de velocidad de aproximacin Q = caudal m 3 / s C = coeficiente de desage variable

H

ha

Q=CLH

3/2

L = longitud efectiva de la coronacin, m H = carga total sobre coronacin incluyendo la altura de velocidad de aproximacin

ha

Rs

H

C o = coeficiente relacionado a H y R s

20

Q = Co ( 2 R s ) H

3/2

R s = radio de la coronacin del vertedero H = carga total sobre coronacin


TIPO DE ALIVIADEROW = anchura de la entrada, m Q = Cd W D 2 g H D = altura de la abertura C d = coeficiente de desage variableQ=CL g ( 2 3/2 h) 3

ECUACION

NOTACION

H

D

L = longitud efectiva de la coronacin, m B = longitud del azud en la direccin del flujo, m p = altura del azud C = coeficiente de desage variable H = carga total sobre la cresta del azud

H

p

L

B

C = 0,759 + 0,2908 ( h / B ) + 0,0809 ( h / p ) - 0,035 ( h / B ) + + 0,074 ( h / p ) - 0,0317 ( h / B ) ( h / p ) para el rgimen 0,08 < h / B < 5,6 0,06 < h / B < 4,0 C = 0,865 para el rgimen 0,08 < h / B < 0,40 0,06 < h / B < 0,55

H 1 = carga total referida a la coronacin, m Q= 2 3/2 3/2 2 g C L ( H 1 - H2 ) 3 H 2 = altura total referida al borde superior de la abertura, m C = coeficiente que varia con la disposicin de la compuerta y el perfil de la coronacin

ha

H1

H2

21

Jos Luis Ayuso Muoz

22

De lo expuesto, se deduce que son dos los factores principales que controlan el efecto del embalse sobre el hidrograma de avenida. El primero es el rea de la superficie libre, que controla el volumen de almacenamiento para un cambio de elevacin dado. El segundo es la naturaleza de la relacin entre el almacenamiento y el caudal de salida (representado por la altura de la superficie libre por encima de la cota de coronacin de la estructura de salida). Si la estructura de salida es un canal natural, la forma de la curva de desage vara ampliamente. Sin embargo, en estructuras de desage controladas artificialmente, la relacin almacenamiento-caudal de salida, puede establecerse de modo que se ajuste a los propsitos del proyectista. As, si desea que la onda de avenida pase a travs del embalse con relativamente poca atenuacin, proyectar un azud bajo y ancho como estructura de desage. Si quiere una gran atenuacin del caudal punta en un embalse con una superficie libre pequea, deber optar por proyectar una estructura de desage estrecha y alta, que obligar al volumen de avenida a acumularse hasta una cota elevada en el embalse antes de ser evacuado.Ejemplo 3.4.1 El nivel de la superficie libre de un embalse, cuya relacin elevacin- almacenamiento y curva de gasto del aliviadero se dan en la Tabla 2, se encuentra a la cota 355,00, cota de coronacin del aliviadero de emergencia. Si en estas condiciones llega una avenida al embalse, cuyo hidrograma tambin se da en la Tabla 2, obtener el hidrograma de salida por el mtodo de la superficie libre horizontal.Tabla 2Funciones: Elevacin-Superficie libre Elevacin-Almacenamiento (1) Elevacin (2) Superficie libre (Ha) 0,0 2,82 5,75 8,72 12,52 16,02 20,35 24,82 30,95 37,02 45,93 54,42 66,45 77,22 90,85 105,22 121,18 136,42 161,38 (3) Almacenamiento (Hm ) 0,0 0,024 0,067 0,140 0,247 0,389 0,571 0,797 1,076 1,416 1,830 2,332 2,937 3,655 4,495 5,476 6,608 7,896 9,3863

HIDROGRAMA DE ENTRADA (4) Tiempo (h) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 (5) I (m /s) 5,0 35,0 75,0 140,0 212,0 285,0 297,0 270,0 216,0 165,0 112,0 80,0 55,0 30,0 13,0 5,0 5,03

CURVA DE DESAGE (6) Elevacin sobre coronacin aliviadero (m) 0,0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0.70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 (7) Q (m /s) 0,0 4,453 12,594 23,136 35,620 49,780 65,438 82,461 100,748 120,217 140,800 162,400 208,6983

(m) 338,3 340,0 341,0 342,0 343,0 344,0 345,0 346,0 347,0 348,0 349,0 350,0 351,0 352,0 353,0 354,0 355,0 356,0 357,0


23

Solucin: El hidrograma se especifica a intervalos de 30 minutos, de modo que t 1.800 s. Se ha de establecer la curva 2S/t+Q frente a Q. Para ello, se realiza la Tabla 3, en la que se parte de la cota de la superficie libre inicial que es 355,00 m, la de coronacin del aliviadero en este caso, por encontrarse el embalse lleno. Como el volumen de almacenamiento viene dado en la Tabla 2 para cotas que varan de metro en metro, es necesario interpolar linealmente para obtener el almacenamiento a incrementos de 0,10 m, a partir de la cota 355,00 de coronacin del aliviadero. En la Figura 9 se representa la funcin elevacin-almacenamiento, la curva de desage del aliviadero y la funcin almacenamiento-caudal de salida anteriormente obtenida. La propagacin de la avenida por el embalse se lleva a cabo usando la ecuacin (14). En el primer intervalo de tiempo S1 = Q1 = 0, ya que el embalse se encuentra lleno a la cota de coronacin del aliviadero y el almacenamiento sobre dicha cota es nulo, as como el caudal de salida. Por lo tanto 2S1/t+Q1 0 tambin. Los valores de aporte son, I1 5 m3/s e I2 3 3 35 m /s, de modo que (I1 + I2) 5 + 35 40 m /s. El valor de la funcin almacenamiento-caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula de la ecuacin (14) 2 S2 2 S1 - Q1 = + Q2 I1+ I2 + t t

5 + 35 + 0 40 m3/sTabla 3 Desarrollo de la funcin Almacenamiento-Caudal de salida: 2S/t + Q versus QElevacin h (m) 355,0 355,1 355,2 355,3 355,4 355,5 355,6 355,7 355,8 355,9 356,0 356,1 356.2 356,3Superficie libre Volumen almacenado Elevacin sobre coronacin aliviadero Almacenaje disponible sobre coron. aliviadero Caudal de desage

2S/t+Q

A (Has) 121,180 122,704 124,228 125,752 127,276 128,800 130,324 131,848 133,372 134,896 136,420 138,916 141,412 143,908

(Hm ) 6,608 6,730 6,853 6,978 7,105 7,233 7,363 7,494 7,626 7,760 7,896 8,034 8,174 8,316

3

(m) 0, 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30

S 3 (Hm ) 0, 0,122 0,245 0,370 0,497 0,625 0,755 0,885 1,018 1,152 1,288 1,426 1,566 1,708

Q (m3/s) 0, 4,453 12,594 23,136 35,620 49,780 65,438 82,461 100,748 120,217 140,800 162,440 185,086 208,698

(m3/s) 0, 140,01 284,82 434,25 587,84 744,22 903,89 1.063,79 1.231,86 1.400,22 1.571,91 1.746,88 1.925,09 1.106,48

El valor de Q2 se obtiene por interpolacin lineal en la tabla de valores 2S/t+Q versus Q, una vez conocido el valor 2S2/t + Q2, resultandoQ2 = 0 + 4,453 0 (40 0) = 1,217 m3 /s 140,01 0

Jos Luis Ayuso Muoz

24

El valor 2S2/t - Q2 de la columna 5 de la Tabla 4, que se necesita para la siguiente iteracin, se obtiene usando la ecuacin (15) 2S 2 S i+1 - Qi +1 = 2 + Q 2 - 2 Q 2 = 40 2 1,272 = 37,46 m3 /s t t

En el siguiente intervalo se procedera de manera anloga. El procedimiento puede resumirse en la Tabla 4 como sigue: 1. Los valores de las columnas (2) y (3) son valores conocidos del hidrograma de entrada. 2. La columna (4) es el resultado de la suma Ii + Ii+1 de la columna (3). 3. Se entra en la curva 2S/t + Q versus Q, con el valor conocido de 2S2/t2 + Q2, para hallar el valor de Q2, columna (7). 4. Del valor de la columna (6) se resta el doble del valor de la columna (7), para calcular el valor de 2Si/t Qi de la columna (5). 5. Sumar el valor de la columna (5) al valor de la columna (4), y poner el resultado de la columna (6) como valor para el nuevo intervalo de tiempo considerado 6. Se halla de nuevo el caudal de salida, a partir de la relacin 2S/t+Q versus Q. 7. Repetir los pasos 3 a 6 hasta generar el hidrograma de salida completo.Tabla 4 Circulacin de la avenida a travs del embalse (1) Intervalo i (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 5 35 75 140 215 285 297 270 216 165 112 80 55 30 13 5 5 40 110 215 355 500 582 567 486 381 277 192 135 85 43 18 10 0,0 37,46 137,72 317,95 586,30 916,48 1.234,49 1.462,73 1.572,40 1.575,86 1.501,08 1.381,51 1.248,19 1.108,26 967,30 837,09 40,00 147,46 352,72 672,95 1.086,30 1.498,48 1.801,49 1.948,73 1.953,40 1.852,86 1.693,08 1.516,51 1.333,19 1.151,26 985,30 847,09 1,272 4,872 17,384 43,327 84,910 131,997 169,379 188,163 188,772 175,892 155,786 134,158 112,466 91,978 74,105 59,868 (2) Tiempo (3) Aporte I 3 (m /s) (4) Ii+Ii+1 (m /s)3

(5) 2Si/t-Qi (m /s)3

(6) 2Si+1/t+Qi+1 (m /s)3

(7) Caudal de salida Q 3 (m /s)


25

a) Funcin elevacin-almacenamiento358 357 356 355 354 353 352 351 350 349 348 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338

Elevacin (m)

0

1

2

3

4

5

6 3

7

8

9

Volumen almacenado (Hm )b) Curva de desage del aliviadero1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Calado sobre coronacin (m)

Caudal de desage (m 3/ s)c) Almacenamiento-caudal de salida2200

Almacenamiento 2S / t +Q (m 3/s)

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Caudal Q ( m 3/ s)

Figura 9. Relaciones elevacin-volumen almacenado, curva de gasto del aliviadero, y almacenamiento en el

embalse-caudal de salida

Jos Luis Ayuso Muoz

26

En la Figura 10 se representan los hidrogramas de avenida y de salida por el aliviadero. Se observa que la punta de avenida es de 297 m3/s, ocurriendo a las 3 horas, y que el embalse lamina la avenida reduciendo la punta de salida a 188,8 m3/s y retrasando su ocurrencia hasta las 4,5 h. Como se ha indicado en el epgrafe 3.4, el caudal de salida se hace mximo en el punto donde se igualan los hidrogramas de avenida y de salida, puesto que el almacenamiento tambin se hace mximo en dicho instante y que existe una funcin biunvoca que relaciona el almacenamiento y el caudal de salida. El calado mximo del agua sobre la coronacin del aliviadero resulta ser de 1,216 m, obtenido interpolando linealmente en la Tabla 2 de valores de la curva de desage, para un valor de Q 188,772 m3/s.350 300 250 Caudal ( m 3 /s ) 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( h ) 6 7 8 9 Hidrograma de salida Hidrograma de avenida

Figura 10. Hidrogramas de avenida y de salida por el aliviadero

3.4.2 Mtodo de Runge-KuttaPara la circulacin de avenidas a travs de embalses bajo el supuesto de superficie libre horizontal, puede establecerse un mtodo alternativo al anteriormente descrito resolviendo la ecuacin de continuidad (1) mediante un mtodo numrico como el de Runge-Kutta. Este mtodo no requiere el clculo de la funcin especial 2S/t+Q versus Q, y se aproxima ms a la hidrulica de la circulacin de flujos a travs de embalses. Existen diversos rdenes de esquemas de Runge-Kutta, pero, con mucho, el ms til y empleado es el de cuarto orden (Press et al., 1986). La ecuacin de continuidad puede expresarse comodS = I (t ) - Q( y ) dt

(16)


27

en donde

S: Volumen de agua almacenado. I(t): Aporte que entra al embalse, funcin del tiempo. Q(y): Descarga evacuada por el aliviadero o estructura de desage, determinada por la carga o calado.El cambio en el volumen, dS, originado por la variacin en la cota de la superficie libre, dy, ser: dS = A(y) dy (17) en la que A(y) es la funcin que expresa el rea de la superficie libre a la cota y. En consecuencia, la ecuacin (16) puede ponerse de la forma siguiente:A(y)dy = I (t ) - Q( y ) dt

de donde

dy I (t ) - Q( y ) = dt A( y )

(18)

que es una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, para cuya solucin numrica hay que conocer la condicin de valor inicial, en la que y se conoce en un punto inicial t0 y se desea hallar el de y en el punto final tf, o en una serie de puntos discretos t1, t2, t3, ..., tn (por ejemplo a intervalos de tiempo prefijados). El mtodo de Runge-Kutta aproxima el valor de la funcin y sobre un intervalo de tiempo, t, mediante un desarrollo en serie de Taylor.y n+1 = y n +

t t2 tm m f (t n , y n) + f (t n , y n) + ... + f (t n , y n) 1! 2! m!

(19a)

expresin en la que yn+1 representa el valor de la variable dependiente en el punto tn+1, yn el valor de la variable dependiente en tn, y f'(tn, yn)..., las derivadas sucesivas de la funcin, calculadas numricamente en el punto (tn, yn). Despreciando a partir del quinto trmino inclusive, en el segundo miembro de la ecuacin (19a) se obtiene t2 t3 f (t n , y n) + f (t n , y n) y n+1 = y n + t f (t n , y n) + 2! 3! t 4 IV + f (t n , y n) + 0 ( t 5) 4!

(19b)

que es la aproximacin de Runge-Kutta de cuarto orden, por ser sta la precisin, en la que el trmino de error ser 0 (t5). Este mtodo numrico requiere cuatro evaluaciones de la derivada en cada paso o intervalo de tiempo t, una vez en el punto inicial, dos veces en los puntos medios de prueba y una vez en el punto final de prueba, obteniendo el valor de la funcin al final

Jos Luis Ayuso Muoz

28

del intervalo t, a partir de dichas derivadas. La Figura 11 ilustra la idea y desarrollo del procedimiento. En el intervalo t, se definen cuatro valores aproximados y1 ,y2, y3 e y4.yt = nte die en P

h

1

h1 = t f ' ( t n , h n )

hn

1

tn

t n+ t 2 th2

t n+1

t

y

h n+

h2

t te = dien Pen

2

h2 = t f ' ( t n +

t2

, hn +

h12

)

hn

1

tn

t n+ t 2

t n+1

t

y

h n+

h22 hn1

3

Pendie

nte = t

h3

h3 = t f ' ( t n +

t2

, hn +

h22

)

tn

t n+ t 2

t n+1

t

y h n+ h 3 hn te = t Pendien1 4

h4 = t f ' ( t n + t , h n + t 3 )

hn

tn

t n+1

t

y h n+1h n+1 = h n + 2 3 1 5 4

h16

+

h23

+

h33

+

h46

hn

tn

t n+ t 2

t n+1

t

Figura 11. Esquema de Runge-Kutta de cuarto orden


29

El valor de la pendiente dy/dt, aproximada por y/t, se evala primero en (tn, yn), luego en (tn+t/2, yn+y1/2), y en (tn+t/2, yn+y2), y finalmente en (tn+t, yn+y3), tenindose

y1 y2 y3 y4

= tf'(tn, yn) = tf'(tn+t/2, yn+y1/2) = tf'(tn+t/2, yn+y2/2) = tf'(tn+t,, yn+y3)

(20a) (20b) (20c) (20d)

Expresiones en las que f' denota el valor de la derivada

dy I (t ) - Q( y ) = dt A( y )en los puntos (tn, yn), (tn+t/2, yn+y1/2), (tn+t/2, yn+y2/2) y (tn+t, yn+y3), estando dado el valor de yn+1 por y1 y 2 y 3 y 4 + + + y n+1 = y n + (21) 6 3 3 6 En el Anexo I se muestra el diagrama de flujo para la resolucin de la ecuacin diferencial por el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, y se da el programa escrito en FORTRAN 77.Ejemplo 3.4.2 Emplear el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden para circular la avenida del ejemplo 3.4.1 por el mismo embalse, siendo la cota de nivel mximo normal 353,50 m, encontrndose el embalse en este nivel al producirse la avenida. Solucin: Se obtiene el hidrograma de salida mediante la aplicacin del programa PRAVEM, realizado en FORTRAN 77 de acuerdo al diagrama de flujos del Anexo I para el desarrollo del mtodo de Runge-Kutta. El archivo de datos, EMBALSE.DAT, necesario para ejecutar el programa es:353,5 15,0 17 0,0 2,0 4,0 8,0 30 338,3 343,0 347,0 351,0 355,0 355,4 355,8 356,2 355,0 8,0 5,0 215,0 216,0 5,0 0,0 12,530 30,950 66,450 121,180 127,276 133,372 141,412 0, 5 2,5 4,5 35,0 285,0 165,0 1,0 3,0 5,0 75,0 297,0 112,0 1,5 3,5 5,5 140,0 270,0 80,0

340,0 344,0 348,0 352,0 355,1 355,5 355,9 356,3

2,820 16,020 37,020 77,220 122,704 128,800 134,896 143,980

341,0 5,750 345,0 20,350 349,0 45,930 353,0 90,850 355,2 124,228 355,6 130,324 356,0 136,420

42,0 346,0 350,0 354,0 355,3 355,7 356,1

8,820 24,820 54,420 105,220 125,752 131,848 138,916

Jos Luis Ayuso Muoz

30

15 0,0 0,4 0,8 1,2

0,0 35,620 100,748 185,086

0,1 4,453 0,5 49,780 0,9 120,217 1,3 208,698

0,2 12,594 0,6 65,438 1,0 140,800 1,4 232,236

0,3 0,7 1,1

23,136 82,461 162,440

y el hidrograma de salida resultante, tras ejecutar el programa se muestra en la Tabla 5Tabla 5HIDROGRAMA DE SALIDA Tiempo (min.) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 Elevacin (m.) 353,511 353,537 353,578 353,636 353,718 353,827 353,965 354,132 354,324 354,539 354,763 354,985 355,195 355,377 355,527 355,642 Caudal 3 (m /s) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 12,15 32,75 53,96 72,51 Tiempo (min.) 255 270 285 300 315 330 345 360 375 390 405 420 435 450 465 480 Elevacin (m.) 355,726 355,783 355,817 355,831 355,829 355,817 355,798 355,773 355,743 355,708 355,671 355,632 355,593 355,555 355,520 355,488 Caudal 3 (m /s) 87,17 97,71 104,15 106,70 106,35 104,08 100,36 95,80 90,29 83,95 77,46 70,81 64,28 58,39 52,88 48,09

Puede observarse que el incremento de tiempo considerado ha sido de 15 minutos, menor que el utilizado en el ejemplo 3.4.1, por lo que la precisin obtenida ser mayor que en aqul.350 300 250 Caudal (m 3/s) 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (h)Figura 12. Hidrogramas de avenida y salida por el aliviadero


31

El caudal punta de salida resulta ahora de 106,70 m3/s, que tiene lugar a los 300 minutos (5 h) de iniciarse la avenida, y un calado sobre la coronacin del aliviadero de 0,831 m. Existe una sensible disminucin en la punta y calado mximo y un retraso respecto al caso anterior, dado que el nivel del embalse se encontraba a una cota de 1,50 m. por debajo de la coronacin del aliviadero, lo que implica la existencia de un volumen inicial disponible para el almacenamiento o control de la avenida. En la Figura 12 se representan los hidrogramas de entrada y salida.

3.5 Circulacin de flujos a travs de canales abiertosEn el caso de un embalse ( 3.4.1) el almacenamiento activo constaba nicamente del almacenamiento en prisma debido al supuesto de horizontalidad de la superficie libre del agua, y el mtodo hidrolgico empleado para estudiar la evolucin de una onda de avenida, usaba una relacin no lineal entre el almacenamiento y el caudal de salida del tipo S f(Q). En un tramo de un ro o canal, durante el paso de una avenida, adems del almacenamiento en prisma (almacenamiento por debajo de una superficie paralela a la solera del canal), existe un almacenamiento en cua (por encima del almacenamiento en prisma y limitado por la superficie libre del agua), Figura 13. En consecuencia, no hay una relacin simple entre el almacenamiento S y el caudal de salida Q, como en el caso de un embalse. nicamente puede relacionarse S y Q mediante una simple funcin lineal, cuando son iguales el caudal de entrada en la seccin aguas arriba y el de salida en la seccin aguas abajo, es decir, cuando exista rgimen permanente.

I-Q Q

Almacenamiento en cua = K x ( I - Q )

Almacenamiento en prisma = K Q

Q

Figura 13. Almacenamiento en prisma y cua en un tramo de canal

Durante el avance de una onda de avenida, el caudal de entrada en la seccin aguas arriba, siempre excede al de salida en la seccin aguas abajo, producindose, por consiguiente, un almacenamiento en cua positivo. En cambio, durante la fase de recesin, el caudal de salida excede al de entrada, resultando un almacenamiento en cua negativo. Si se representa el almacenamiento dentro del tramo de canal frente al caudal de salida, la curva resultante, habitualmente, es un bucle (Figura 4.b) por ser una relacin variable,

Jos Luis Ayuso Muoz

32

indicando mayor almacenamiento para un caudal dado durante la fase de crecida que durante la fase de recesin de la avenida. Para representar el movimiento de una onda de avenida en un tramo de ro o canal, el modelo conceptual empleado en el caso de embalses resulta claramente inadecuado. Se procede a establecer un modelo conceptual de dos parmetros, al asumir que el almacenamiento S es una funcin lineal del aporte I y del caudal de salida Q, obtenindose la relacin bsica del modelo de Muskingum (Dooge et al., 1982).

3.5.1 Mtodo de MuskingumAsumiendo que el rea de la seccin transversal del flujo de avenida es directamente proporcional a la descarga en la seccin, el volumen del almacenamiento en prisma ser igual a KQ, siendo K el coeficiente de proporcionalidad. El volumen del almacenamiento en cua ser igual a Kx(I-Q), siendo x un factor de ponderacin comprendido entre 0 y 0,5 (0 x 0,5). Por consiguiente, el almacenamiento total ser la suma de los dos componentes. S = K Q + K x( I Q) (22) Resultando una funcin lineal ponderada del aporte I y del caudal de salida Q. Expresin que fue desarrollada por McCarthy, del Cuerpo de Ingenieros de EE.UU., en el ao 1939, y conocida como ecuacin de Muskingum, que puede expresarse comoS = K [x I + (1 - x) Q ]

(23)

que representa un modelo lineal para circulacin de flujos en canales. Dada su simplicidad, este modelo es el ms ampliamente usado, entre los diversos modelos existentes, para estudiar la propagacin de avenidas en canales naturales y ros. El valor de x depende de la forma del almacenamiento en cua, y vara, como se ha dicho, entre cero, para almacenamiento tipo embalse y 0,5 para una cua completa. Con x = 0 no existe cua, no teniendo lugar los efectos aguas arriba (caso del supuesto de horizontalidad de la superficie libre en embalses), resultando un modelo de embalse lineal S KQ. En canales naturales, x vara entre 0 y 0,3, con un valor medio en torno a 0,2. No se necesita gran precisin a la hora de determinar el valor de x, debido a que los resultados del mtodo son relativamente poco sensibles a la variacin de este parmetro. El parmetro K, conocido como factor de almacenamiento, tiene las dimensiones de tiempo, y tiene un valor razonablemente prximo al tiempo de viaje de la onda de avenida dentro del tramo del canal. El examen de la Figura 14 muestra el comportamiento de la onda de avenida originado por cambios en el valor del parmetro x. Se observa que la onda de avenida


33

resultante en el extremo aguas abajo est generalmente descrita por la cuanta de la traslacin es decir, el tiempo lag y por la cuanta de la atenuacin o reduccin en la punta de la descarga. Cuando x 0,5 resulta una traslacin. Para la aplicacin del modelo hay que conocer los valores de los parmetros K y x, los cuales se suponen constantes a lo largo del intervalo de valores del flujo.

Caudal (m 3/s)

I

x = 0.5 Q

x = 0.0

TiempoFigura 14. Efecto del factor de ponderacin x

t

Considerando un intervalo de tiempo t, Figura 6, los valores del almacenamiento, al principio y final del incremento de tiempo considerado, pueden ponerse, respectivamente, como (24) S i = K [x I i + (1 - x) Qi ] y (25) S i+1 = K [x I i+1 + (1 - x) Qi+1] con lo que el cambio en el almacenamiento durante el intervalo t serS i+1 - S i = K [x( I i+1 - I i ) + (1 - x)(Qi+1 - Qi )]

(26)

El cambio en el almacenamiento tambin puede expresarse usando la ecuacin de continuidad (13), con lo que se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, Qi+1, y Si+1S i+1 - S i = K [x( I i+1 - I i ) + (1 - x)(Qi+1 - Qi )] I i + I i+1 t - Qi + Qi+1 t S i+1 - S i = 2 2

(27)

cuya resolucin daQi +1 = C 0 I i +1 + Ci I i + C 2 Qi

(28)

que es la ecuacin para la circulacin de flujos por el mtodo de Muskingum, en la que C0, C1 y C2 son coeficientes funciones de K, x y del intervalo de tiempo discretizado t

Jos Luis Ayuso Muoz

34

t - 2Kx 2K (1 - x) + t t + 2Kx C1 = 2K (1 - x) + t 2Kx(1 - x)t C2 = 2K (1 - x) + t

C0 =

(29) (30) (31)

siendo C0 + C1 + C2 = 1. Puesto que Ii e Ii+1 son conocidos para cada intervalo de tiempo t, del hidrograma de entrada, la propagacin de la avenida se realiza resolviendo la ecuacin (28), para sucesivos incrementos de tiempo, usando el valor de Qi+1 calculado, como el valor de Qi para el siguiente incremento de tiempo. El ejemplo 3.5.1 ilustra este clculo fila por fila. En el Anexo I se muestra el diagrama de flujo para la resolucin de la ecuacin (28) y se da el programa escrito en FORTRAN 77. La aplicacin del modelo de Muskingum comprende, bsicamente, dos pasos: calibracin y prediccin. El procedimiento de calibracin se centra en la identificacin de los parmetros del modelo K y x, usando datos registrados de aportes I y caudales de salida Q. Por ltimo, la prediccin con el modelo consiste, simplemente, en la aplicacin de la ecuacin (28).

Determinacin de los valores de K y x La precisin del modelo de Muskingum, depende de los parmetros K y x, que relacionan el volumen de almacenamiento en el tramo del canal a los caudales de entrada I y de salida Q. Para la calibracin de dichos parmetros distinguiremos entre: a) Canales aforados. En corrientes o tramos de canales aforados, los parmetros K y x se determinan a partir de hidrogramas de entrada y salida conocidos, empleando diversos mtodos que utilizan tcnicas de ajuste de curvas (Singh y McCann, 1980) como, 1) mnimos cuadrados o su equivalente el mtodo grfico, 2) mtodo de los momentos, 3) programacin lineal, y 4) optimizacin directa. No existiendo una neta superioridad de alguno de los mtodos anteriores sobre los restantes, se van a exponer dos mtodos grficos que por su facilidad y sencillez son los ms empleados. Conocido el hidrograma de entrada I, y el de salida Q, en el tramo considerado, puede determinarse el valor del parmetro x. Como ya ha sido analizado ( 3.4), el almacenamiento S alcanza un mximo en el instante en que se interceptan ambos hidrogramas,


35

punto C de la Figura 15. Tenindose (De Wiest, 1965 Cap. 2) quedS =0 dt

(32)

Diferenciando la ecuacin (23) se obtiene1 dS dI dQ = x + (1 x) K dt dt dt

(33)

Combinando (32) y (33) se obtiene dI dQ x = (1 x) dt c dt c

(34)

en donde (dI/dt)c y (dQ/dt)c, denotan los valores de las pendientes de las tangentes a los hidrogramas de entrada y salida en el punto de intercepcin C, que sustituidos en (34) permiten estimar el valor del parmetro x. La sustitucin del valor de x, as determinado, en el sistema de ecuaciones (27), da lugar a la determinacin del parmetro K.

Caudal Q

I

C Q

Tiempo

t

Figura 15. Determinacin grfica del valor de x

El procedimiento ms utilizado para determinar los parmetros K y x consiste en establecer diversos valores de x, en el intervalo (0, 1/2), y mediante el empleo de los valores conocidos del caudal de entrada I, y salida Q, calcular los valores del numerador y denominador de la siguiente expresin de KK= S i+1 x I i+1 + (1 - x) Qi+1

(35)

obtenida de (25). Los valores del numerador se pueden obtener, para cada intervalo de tiempo, a partir de la ecuacin de continuidad (27)

Jos Luis Ayuso Muoz

36

S i+1 = S 1 +

I i + I i+1 t - Qi + Qi+1 t 2 2

Representando los valores del numerador as obtenidos, en el eje de ordenadas, frente a los del denominador, en el eje de abscisas, para cada valor estudiado de x, se produce, generalmente, una grfica en forma de bucle, siendo el valor de x para el tramo de canal considerado, el que se ajuste ms a una representacin lineal (bucle ms estrecho), ya que numerador y denominador estn linealmente relacionados por la ecuacin (35), siendo el valor de K, la pendiente de dicha lnea. El ejemplo 3.5.1 ilustra este procedimiento.Ejemplo 3.5.1 Un aguacero, que comenz a las 0 horas, dio lugar a los hidrogramas de entrada y salida de la Tabla 6, en dos secciones A y B, respectivamente, de un tramo de un ro. Determinar: a) b) los parmetros K y x de Muskingum para el tramo del ro y el hidrograma de salida en la seccin B, si un aguacero diferente produjese el siguiente hidrograma:Tiempo (h.): 3 Aporte I (m /s): Tiempo (h.): 3 Aporte I (m /s): 0 22 12 115 1 2 3 4 45 130 340 575 13 70 14 30 15 22 5 6 7 8 9 10 11 680 690 640 550 425 290 170

300 250 200 Caudal (m 3/s) 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 Tiempo (h)Figura 16. Hidrogramas de entrada y salida

Hidrograma de entrada


12

14

16

18

20


37

Solucin a) Determinacin de los parmetros K y x Mediante la aplicacin de la ecuacin (35) se calcula el valor del parmetro K. En la Tabla 6 se muestra el proceso seguido para determinar los valores de K y x. En las columnas 5 y 6 se obtienen los valores medios del caudal de entrada y salida para cada intervalo de tiempo. En la columna 7 se calcula el almacenamiento acumulado en el tramo considerado al final de cada intervalo. Finalmente, en las columnas 8 a 10 se calculan los valores de xIi+1+(1-x)Qi+1, a partir de los valores conocidos de I y Q en los instantes finales de cada intervalo para diversos valores de x, en el entorno 0 a 0,5.

Tabla 6Hidrogramas conocidos 3 (m (s) Tiempo Entrada Salida (h) I Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 32 45 70 112 175 238 285 295 290 260 213 165 123 93 70 55 42 33 30 25 25 26 30 40 60 93 140 194 240 267 275 262 233 195 156 122 95 74 57 45 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20I + I I +1 I= I 2 3 (m /s) Q= QI + QI +1 2 3 (m /s)S I +1 = S I + ( I Q) t

xI I +1 + (1 x)QI +1(m /s) x=0,05 25,00 26,30 30,75 41,50 62,60 97,10 144,90 198,55 242,75 268,15 274,25 259,55 229,60 191,40 152,85 119,40 93,00 72,40 55,80 44,25 36,40 x=0,15 25,00 26,90 32,25 44,50 67,80 105,30 154,70 207,65 248,25 270,45 272,75 254,65 222,80 184,20 146,55 114,20 89,00 67,20 53,40 42,75 35,20 x=0,25 25,00 27,50 33,75 47,50 73,00 113,50 164,50 216,75 253,75 272,75 271,25 249,75 216,00 177,00 140,25 109,00 85,00 66,00 51,00 41,00 34,003

(m /s) 0 10,8 48,6 129,6 277,2 518,4 842,4 1.182,6 1.445,4 1.585,8 1.600,2 1.485,0 1.274,4 1.022,4 779,4 572,4 406,8 277,2 176,4 106,2 57,6

3

28,5 38,5 57,5 91,0 143,5 206,5 261,5 290,0 292,5 275,0 236,5 189,0 144,0 108,0 81,5 62,5 48,5 37,5 31,5 27,5

25,5 28,0 35,0 50,0 76,5 116,5 167,0 217,0 253,5 271,0 268,5 247,5 214,0 175,5 139,0 108,5 84,5 65,5 51,0 41,0

Jos Luis Ayuso Muoz

38

En la Figura 17 se representan las curvas de S versus xI+(1-x)Q, observndose que la que ms se aproxima a una recta, es la correspondiente al valor de x = 0,15.El valor de K, pendiente de la recta, tendr dimensiones de tiempo. En efecto, el valor de K ser:K = 1.600,2 103 m3 = 6.465,5 s 1,8 h ( 272,75 - 25,0 ) m3 /s

que es aproximadamente el tiempo de viaje de la onda de avenida a travs del tramo del ro. Se ha de cumplir que el intervalo de tiempo empleado, t, nunca sea mayor que el tiempo de viaje de la onda de flujo ya que, en este caso, la onda podra pasar el tramo en dicho perodo. En consecuencia t < K. En efecto, se cumple que 1 h < 1,8 h. En general se recomienda tomar un valor de t comprendido entre 1/2 y 1/3 de K. b) Determinacin del hidrograma de salida en la seccin B. Conocidos K =1,8 h , x = 0,15 y t = 1 h, la solucin de la propagacin de la avenida dada por el hidrograma I, conocido en la seccin de entrada A, estar dada por la ecuacin (28) Qi+1 = C0 Ii+1 + C1 Ii + C2 Qi en la que los valores de los coeficientes son:1 2 1,8 0,15 = 0,1133 2 1,8 (1 0,15) + 1 1+ 2 1,8 0,15 = 0,3793 C1 = 2 1,8 (1 0,15) + 1 2 1,8 0,85 1 = 0,5074 C2 = 2 1,8 (1 0,15) + 1 C0 =

En la Tabla 7 se muestra el proceso de clculo. Para el primer intervalo, el caudal de salida se determina usando los valores de I1 e I2 de la Tabla 7. As se tendrQ2 = C 0 I 2 + C1 I 1 + C 2 Q1 = 0,1133 45 + 0,3793 22 + 0,5074 22 = 24,61 m 3 s

A continuacin se da la solucin al hidrograma de salida en la seccin B, realizada mediante la ejecucin del programa MUSKING (Anexo I). Puesto que el programa permite interpolar entre los valores del hidrograma de entrada, el intervalo de tiempo empleado ha sido de 0,75 horas, valor comprendido entre 2Kx = 0,54 h. y K =1,8 h. Se muestra el archivo de datos EJER351.DAT necesario para ejecutar el programa MUSKING1.8 16 0.0 6.0 12.0 22.0 690.0 115.0 0.15 1.0 7.0 13.0 22.0 45.0 640.0 70.0 2.0 8.0 14.0 130.0 550.0 30.0 3.0 9.0 15.0 340.0 425.0 22.0 4.0 10.0 575.0 290.0 5.0 11.0 680.0 170.0


39

La salida tras la ejecucin del programa es Mtodo de Muskingum Propagacin de una avenida por un tramo de canal Valores de los parmetros: K = 1.80 x = .15HIDROGRAMAS Tiempo De entrada De salida (h.) (m3/s) (m3/s) .00 22.00 22.00 .75 39.25 22.95 1.50 87.50 32.03 2.25 182.50 59.10 3.00 340.00 116.37 3.75 516.25 214.13 4.50 627.50 339.20 5.25 682.50 455.74 6.00 690.00 545.43 6.75 652.50 600.28 7.50 595.00 617.67 8.25 518.75 604.54 9.00 425.00 565.60 9.75 323.75 504.66 10.50 230.00 428.27 11.25 156.25 346.15 12.00 115.00 269.11 12.75 81.25 206.58 13.50 50.00 155.51 14.25 28.00 112.76 15.00 22.00 79.06 Tabla 7 Horas Entrada I(m /s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 45 130 340 575 680 690 640 550 425 290 170 115 70 30 22 --5,10 14,75 38,52 65,15 77,04 78,18 72,51 62,32 48,15 32,86 19,26 13,03 7,93 3,40 2,49 --8,35 17,07 49,31 128,96 218,10 257,92 261,72 242,75 208,62 161,20 110,00 64,48 43,62 26,55 11,38 --11,16 12,49 22,47 55,97 126,89 214,14 279,19 311,25 312,72 288,96 245,08 189,94 135,70 95,01 63,413

C0Ii+1

C1ii

C2Qi

Salida Q(m /s) 22,00 24,61 44,28 110,30 250,08 422,04 550,24 613,42 616,32 569,49 483,02 374,34 267,45 187,25 124,96 77,283

Jos Luis Ayuso Muoz

40

1750 1500 1250

Almacenamiento S 10 m

3

x = 0,051000 750 500 250 0 0 50 100 150 x I + ( 1- x ) Q m / s 1750 1500 12503

3

200

250

300


3

x = 0,151000 750 500 250 0 0 50 100 150 x I + ( 1- x ) Q m / s 1750 1500 12503

3

200

250

300


3

x = 0,251000 750 500 250 0 0 50 100 150 x I + ( 1- x ) Q m / s3

3

200

250

300

Figura 17. Relacin del almacenamiento S (m ) versus xI+(1-x)Q (m /s)

3

3


41

b) Canales no aforados

En corrientes o tramos de canales no aforados, los valores de K y x, se determinan relacionndolos a los parmetros hidrulicos del canal, a travs de relacionar la ecuacin de Muskingum (23) a la ecuacin de la cantidad de movimiento para flujo no permanente en canales abiertos (Dooge et al., 1982). El mtodo ms conocido es el de Cunge-Muskingum, que estima los parmetros K y x al observar similaridades entre el mtodo de Muskingum y la aproximacin numrica de un modelo de onda de difusin (Stephenson y Meadows, 1986 Cap. 4; Chow et al., 1989 Cap. 9) y que se describe en la seccin 4. Wilson y Ruffini (1988) analizan y comparan tres mtodos, fsicamente basados, para estimar K y x en canales no aforados, siendo estos, a) un mtodo de almacenamiento en canal, b) un mtodo de onda de difusin similar al de Cunge, y c) un mtodo de onda dinmico. El primero, se basa en el enfoque tradicional de almacenamiento en prisma y cua dentro del tramo del canal, y los otros dos son mtodos hidrodinmicos, en los que K y x son parmetros hidrulicos sin el significado de almacenamiento en prisma y cua. De los tres mtodos, el de onda dinmica, result ser el tericamente mejor, por incluir los trminos de inercia. A falta de datos, puede realizarse una estimacin grosera asignando a K el tiempo de viaje en el tramo, y a x el valor medio de 0,2.

3.5.2 Mtodo de Muskingum no linealEn tramos de canales naturales, es posible que no exista una relacin lineal entre el almacenamiento y la descarga, como se asume en el mtodo de Muskingum lineal, ecuacin (22). En tales casos, el uso de este modelo puede dar resultados significativamente errneos en la prediccin de los niveles de avenida. En este sentido, se han pro-puesto diversos mtodos que tienen en cuenta este comportamiento no lineal, considerando que los parmetros K y x, del modelo lineal, varan con respecto al tiempo y al espacio (Ponce y Yevjevich, 1978; Ponce, 1979). Como alternativa al modelo lineal, se han propuesto dos formas de modelo de Muskingum no lineal (Singh y Scarlatos, 1987) al expresar la relacin almacenamieto-caudal de salida como: No lineal I: S = K 1 1 I m + (1 1 ) Q mS = K 2 [ 2 I + (1 2 ) Q ]

[

]

(36)

No lineal II:

p

(37)

en donde K1, K2, 1, 2, m y p son parmetros. Las soluciones analticas, la integracin aproximada y los parmetros han sido estudiados por Singh y Scarlatos (1987), quienes concluyen que los mtodos no lineales son ms precisos que el mtodo lineal.

Jos Luis Ayuso Muoz

42

3.6 Circulacin de flujos a travs de cuencasSe analizan diversos procedimientos para obtener el hidrograma de salida de una cuenca generado por una precipitacin efectiva conocida. En primer lugar, se estudia el modelo conceptual que considera a la cuenca como un sistema lineal invariable en el tiempo, conocido tambin como mtodo del Hidrograma Unitario, en el que se concibe la escorrenta originada en una cuenca como un trnsito por dos tipos de almacenamiento, canales y embalses. Esto permite la construccin de modelos sencillos, compuestos por la combinacin de embalses y canales lineales, en serie o en paralelo, para describir los hidrogramas de escorrenta directa.

3.6.1 La cuenca como sistema lineal. Mtodo del HULa cuenca puede ser considerada como un sistema lineal invariable en el tiempo, en el que la entrada sera la precipitacin efectiva y la salida el caudal de escorrenta directa. Este supuesto permite la aplicacin de la teora del Hidrograma Unitario (HU), propuesta por Sherman en 1932, para la obtencin del hidrograma de salida. El mtodo del HU es el ms conocido y la tcnica ms usada, tanto en el anlisis del fenmeno lluvia-escorrenta en la cuenca, como en la prediccin de avenidas futuras originadas por posibles hietogramas de diseo. Fue de las primeras herramientas disponibles para predecir el hidrograma de escorrenta directa completo en lugar de del caudal punta. La esencia de la linealidad de un sistema se resume en dos principios bsicos (Dooge, 1973). 1. El de proporcionalidad que establece que si la entrada X1(t) al sistema produce la salida Y1(t), la entrada CX1(t) producir la salida CY1(t), siendo C una constante. 2. El de superposicin o aditividad, que establece que si dos entradas individuales X1(t) y X2(t) producen, respectivamente, las salidas Y1(t) e Y2(t), la entrada X1(t) + X2(t) producir la salida Y1(t) + Y2(t).Leyes fsicas

Entrada X(t)

SISTEMA LINEALFigura 18. Sistema lineal

Salida Y(t)

Invariable en el tiempo indica que sus parmetros no cambian con el mismo, es decir, la forma de la salida depende nicamente de la entrada y no del tiempo en el que se aplica la misma. Por consiguiente, si X(t) Y(t)


43

para el sistema invariable en el tiempo X(t+) Y(t+) siendo un tiempo positivo o negativo. Aunque el supuesto de sistema lineal invariable en el tiempo para una cuenca no es del todo correcto debido al alto grado de no linealidad de las cuencas, se usa en la aplicacin prctica debido a la simplificacin que ello supone. Este concepto est implcito en la teora del HU. Los supuestos fundamentales en los que se basa la teora del HU, y que a su vez limitan su uso en la modelacin de los sistemas hidrolgicos son: a) La cuenca responde como un sistema lineal. Esto implica, por una parte, que por el principio de proporcionalidad, las diferentes magnitudes de las intensidades (o volmenes) de la precipitacin efectiva producen respuestas de la cuenca consecuen-temente proporcionales y, por otra parte, por el principio de superposicin, que las respuestas a diferentes aguaceros pueden superponerse para obtener la respuesta compuesta de la cuenca. b) El volumen de la precipitacin efectiva est uniformemente distribuido sobre el rea completa de la cuenca. Esto puede ser difcil de cumplir en grandes cuencas. c) La intensidad del exceso de lluvia es constante durante la duracin de la lluvia d) La duracin del hidrograma de escorrenta directa (tiempo base del hidrograma) es independiente de la intensidad de la precipitacin efectiva y depende solamente de la duracin de la lluvia. Se asume que el HU es una funcin de respuesta de la cuenca constante siempre que no existan cambios importantes en los usos del suelo. La teora del HU no considera diferencias en la respuesta de la cuenca a diferentes condiciones estacionales. Una de las limitaciones ms importantes de la teora del HU es el supuesto de linealidad. De hecho, la cuenca es un sistema altamente no lineal (Huggins y Burney, 1982). Esto supone que el mtodo del HU no sea aplicable a cuencas en las que el efecto de almacenamiento sea apreciable (Gray, 1973). Las cuencas pequeas muestran un mayor grado de no linealidad que las cuencas ms grandes (Huggins y Burney, 1982). En la prctica, el supuesto de linealidad es til por la relativa simplicidad de las ecuaciones y la aceptabilidad de los resultados en la mayora de los problemas de ingeniera. Existen discrepancias en cuanto a la extensin de las cuencas para la aplicabilidad del mtodo del HU. Sherman (1932) lo utiliz en cuencas de 1300 km2 a 8000 km2, Linsley y col (1975) recomiendan su uso en cuencas de menos de 5000 km2, mientras que Ponce (1989) sugiere su aplicacin solamente a cuencas de tamao medio de 2,5 a 250 km2. Puesto que el modelo del HU asume que la lluvia es uniforme sobre el rea de la

Jos Luis Ayuso Muoz

44

cuenca, no ser aplicable a grandes cuencas. Las pequeas cuencas tienden a reflejar las variaciones de la precipitacin efectiva de una manera ms acusada que las grandes cuencas, debido al menor almacenamiento en canal de aquellas, resultando, por consiguiente, que las cuencas pequeas son menos apropiadas que las grandes cuencas para el anlisis del HU (Huggins y Burney, 1982). Tericamente, los HU deducidos de diferentes episodios de lluvia-escorrenta deberan ser idnticos, sin embargo, esto es prcticamente imposible. Para deducir una respuesta promedio, Ponce (1989) recomienda deducir hidrogramas unitarios de al menos 5 eventos de lluvia-escorrenta El hidrograma unitario de una cuenca se define como el hidrograma de escorrenta directa que resulta de un volumen unitario de exceso de lluvia de intensidad constante y uniformemente distribuida sobre el rea de drenaje de la cuenca. La duracin del volumen unitario del exceso de lluvia, denominada duracin efectiva, define y caracteriza el hidro-grama unitario particular. As pues, el hidrograma unitario de T horas de una cuenca, se define como el hidrograma de escorrenta directa, originado por un volumen unitario de lluvia efectiva uniforme, que cae sobre la cuenca en T horas. Si el volumen unitario, cae en un tiempo dT 0, el hidrograma resultante es el Hidrograma Unitario Instantneo (HUI). En Ingeniera de Sistemas, el HUI es la respuesta impulso del sistema cuenca a una entrada impulso instantnea. Aunque es un concepto terico, es til porque el HUI caracteriza la respuesta de la cuenca a la lluvia sin referencia a la duracin de la misma. Si el sistema recibe una entrada de cuanta unitaria, aplicada instantneamente en el tiempo , la respuesta del sistema en un tiempo posterior, t, se describe por la funcin h(t-), siendo t- el tiempo de retraso -tiempo lag- desde que se aplica el impulso unitario (Figura 19 a). Si se aplican dos impulsos instantneos en los tiempos 1 y 2 de cuanta dos unidades el primero, y unitario el segundo, la respuesta o salida del sistema sera 2h(t-1) h(t-2) (Figura 19 b).

I (t)

11Impulso unitario

2

(a)

2

11

(b)2 h ( t - ) + h ( t - )2

Q (t)

h ( t -)

t

t

Figura 19. Respuesta de un sistema lineal a entradas tipo impulso


45

De la misma manera, una entrada continua al sistema, puede tratarse como una suma de impulsos de duracin infinitesimal. As, si I() es la intensidad de lluvia efectiva en mm/h. y d es el intervalo de tiempo infinitesimal, medido en horas, I(d) ser la altura de lluvia efectiva que entra al sistema en dicho intervalo de tiempo d. Por consiguiente, la respuesta del sistema en un tiempo posterior, t-, que resulta de dicha entrada ser I() h(t-) d. La respuesta a la funcin completa I(), se obtendr sumando las respuestas de todos los impulsos de duracin infinitesimal que constituyen la entrada I(), es decir, la integralt Q(t) = 00 I( ) h(t - ) d

(38)

que se conoce como integral de convolucin, que da la salida de un sistema lineal en una escala de tiempo continuo (Figura 20). Si I() y Q(t) tienen las mismas dimensiones (por ejemplo m3/s), las ordenadas del HUI deben tener las dimensiones hora-1 si dt se expresa en horas. Si I() se expresa en mm/h y Q(t) en m3/s, la ordenada del HUI deber estar dada en m3/s/mm para intervalos de tiempo expresados en horas.I ( ) d Hietograma de lluvia efectiva

I

to

d

to

h

HUI h (t - )

Q(t)=

o

I ( ) h ( t - ) d

t-

Q

Hidrograma resultante originado por el hietograma de lluvia efectiva

Q(t)

t

t

Figura 20. Relacin de convolucin en una escala de tiempo continuo

En las aplicaciones prcticas, las salidas o resultados se requieren en intervalos de tiempo discretos, dado que la entrada al sistema se especifica como una funcin de

Jos Luis Ayuso Muoz

46

tiempo discreto, tal como un hietograma de lluvia efectiva que se da en intervalos de tiempo t. Es decir, los datos de la lluvia efectiva se dan como un conjunto de datos pulso (Figura 21). i t i = 1,2,3,... (39) Pi = I( ) d ( i 1) t en la que Pi es la lluvia efectiva, en mm., que cae durante un intervalo i (Figura 21 a). En cambio, los caudales de salida (escorrenta directa) se dan como datos instantneos, de modo que el valor de salida del sistema en el intervalo n-simo de tiempo (t=nt) esQn = Q(nt) n = 1,2,3,...

(40)

Es decir, las variables de entrada y salida al sistema cuenca se registran como datos discretos pero con diferentes representaciones. La integral de convolucin discreta para un sistema lineal es ahora (Figura 21c)Q n = Pi U n -i+1i= 1 nm

(41)

En la que m es el nmero de pulsos, de intensidad constante, de la funcin de entrada, es decir, el nmero de datos pulso del hietograma, y Un-i+1 es la funcin de datos instantneos de la salida o respuesta a un pulso de volumen unitario. El lmite superior n m indica que los trminos han de sumarse para i = 1,2,3,... n, siempre que n m, y estando limitada la suma a i = 1,2,... m, cuando n > m.it

t

Pi t

(a)it

Pi = Un - i + 1

( i -1) t

I ( ) d

(b)

Qn

n 0.

t =0 dt = Q k dQ1 / Q1u

t

Q

(46)


53

expresin de la que se obtienet = K [ln Q1] Q1 = K ln [Q1 Q0 ]Q0

que al tomar antilogaritmos da

e t K = Q1 Q0

y finalmente sustituyendo el valor de Q0 dado por (45) queda la expresinQ1 1/K e-t/k

(47)

que da el caudal de salida 1del primer embalse en funcin del tiempo para t > 0. Este caudal ser la aportacin al segundo embalse, segn se establece en la definicin del modelo. Para el segundo embalse la ecuacin diferencial (43), cuya solucin da el caudal de salida, serQ1 Q2 = K dQ2 dt

en la que la variable Q2 es el caudal de salida dependiente del tiempo. Sustituyendo en la expresin anterior el valor del aporte Q1, dado por (47) se tiene(1 K e t K Q2 )dt = K dQ2

(48)

que tras operar y tener en cuenta que Q2' = dQ2/dt se llega aQ2' + 1 K Q2 t = 1 K 2 e t K

(49)

que es una ecuacin diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, cuya solucin general ser la suma de la homognea y la particular. La solucin de la homognea Q2' + 1/KQ2 = 0 ser Q2h = C h e t K (50) y la solucin de la particularQ2p = C P (t ) e t / K

(51)

que se determina por el mtodo de variacin de las constantes. Derivando (51) se tiene' Q2p = C p (t ) e t K 1 K C p (t ) e t K'

(52)

Sustituyendo los valores de Q2p y Q2p' dados por (51) y (52) respectivamente, en la expresin de la ecuacin diferencial (49) se llega a' C p (t ) e t K 1 K C p (t ) e t K + 1 K C p (t ) e t K =1 K 2 e t K

Jos Luis Ayuso Muoz

54

de la que se obtiene el valor de Cp'(t) = 1/K y en consecuencia2 2 C p (t) = 1 K dt = t K

por lo que la solucin particular serQ2 = 1 K 2 t e t K

(53)

La solucin general ser la suma de la homognea (50) y particular (53)h Q2 = Q2 + Q2p = C h e t K + 1 K 2 t e t K = (C h + t K 2 )e t K

(54)

en la que el valor de la constante Ch se determina a partir de los valores iniciales en el instante t = 0, en el que el caudal de salida Q2 = 0. Valores de t y Q2 que sustituidos en la expresin ltima (54) determinan que Ch = 0, por lo que la solucin de la ecuacin (49), que da la descarga del segundo embalse serQ2 = t K 2 e t K

(55)

Para el tercer embalse la ecuacin diferencial (43) se convierte enQ2 Q3 = K dQ3 dt

(56)

en la que se conoce la variacin de Q2(t), ecuacin (55), y se trata de obtener la expresin que d la descarga Q3 en funcin del tiempo, por lo que se tienet K 2et K

Q3 = K dQ3 dt

(57)

' que tras operar y tener en cuenta que Q3 = dQ3 dt se llega a

Q3' + 1 K Q3 = t K 3 e t K

(58)

que es una ecuacin diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, cuya solucin se realiza anlogamente a la de la expresin (49), resultando la solucin de la homognea Q3h Che-t/K (59) y de la particularQ3p =1 K C p (t ) e t K

(60)

que derivando y sustituyendo los valores de Q3p, y Q3' obtenido, en la ecuacin (58) se


55

obtiene

' C p (t ) e t K C p (t )1 K e t K + 1 K C p (t ) e t K = t K 3 e t K

de la que se obtiene el valor de Cp'(t) t/K3 y por consiguiente Cp t/(2K3), resultando la solucin particularQ3p = t 2 (2 K 3 )e t K

(61)

La solucin general ser la suma de las ecuaciones (59) y (61), soluciones de la homognea y la particular.Q3 = C h e t K + t 2 (2 K 3 )e t K = C h + t 2 (2 K 3 ) e t K

[

]

(62)

en la que el valor de la constante Ch vale cero para las condiciones iniciales t = 0 y Q3 = 0, por lo que la descarga del tercer embalse, en funcin del tiempo, estar dada por la expresin Q3 = t 2 (2 K 3 )e t K (63) Procediendo de manera anloga para los sucesivos embalses se llega a determinar que para el n-simo, la descarga esQn = t n 1 e t / K (n 1) ! K n Qn = 1 n -1 (t/K ) e-t/k K (n)

(64)

que puede ponerse como

en la que (n) = (n-1)! es la funcin gamma de n. Esta ecuacin describe el caudal de salida del n-simo embalse tras circular, por los n embalses, un aporte unitario que tiene lugar instantneamente en el primer embalse. Esto representa, pues, el hidrograma unitario instantneo (HUI) del modelo propuesto. La ecuacin (65) representa la funcin de densidad de la distribucin de probabilidad Gamma. En efecto, si se hace el cambio = 1/K, en la ecuacin, se obtiene la funcin de densidad0 f(t) = n n-1 -t (n) t e para t < 0 y , n > 0 para t > 0

(66)

en la que es el parmetro de escala y n el parmetro de forma de la distribucin Gamma, y (n) la funcin Gamma de n. En la Figura 24 se representan las diversas formas de la funcin de densidad f(t) hidrogramas de salida de cada embalse Qi(t) para los diversos valores 1,2,... n, representando la ltima curva(1/K,n) el HUI de salida de la cuenca.

Jos Luis Ayuso Muoz

56

La integral del lado derecho de la ecuacin (65) o lo que es igual, de la ecuacin (66) sobre t, desde cero a infinito, representa el rea bajo el HUI o el rea bajo la curva de densidad f(t), de la distribucin gamma que ser la unidad.Estimacin de los parmetros K y n

Se ha establecido que el HUI de la cuenca est representado por la ecuacin (65), o por la expresin (66), funcin de densidad de la distribucin Gamma, cuyos parmetros K y n es necesario estimar para definir el HUI y, a partir del mismo, proceder a sintetizar hidrogramas de salida de la cuenca. La estimacin de K (unidades de tiempo) y n, se realiza partiendo de registros de hietogramas de lluvia efectiva y de sus correspondientes hidrogramas de escorrenta directa. Por su carcter lineal, los momentos del HUI tienen unas propiedades que son de gran utilidad para la estimacin de parmetros. El momento de primer orden, con respecto al origen de tiempos, del HUI representa el tiempo de retraso del centroide del rea bajo el HUI. Aplicando el HUI en la integral de convolucin para relacionar el hietograma de precipitacin efectiva (HPE) al hidrograma de escorrenta directa (HED), el principio de linealidad requiere que cada elemento infinitesimal del HPE produzca su correspondiente HED con el mismo tiempo de retraso. Es decir, la diferencia de tiempo entre los centroides de las reas bajo el HPE y el HED ser igual al tiempo de retraso del centroide del HUI, o lo que es igual al momento de primer orden respecto al origen del HUI, puesto que el rea encerrada por el mismo es la unidad. Esta propiedad se comprueba al establecer la ecuacin y descomponer el tiempo t en dos sumandos, t y (t-), lo que permite descomponer la integral en suma de dos. La primera integral es el momento de primer orden respecto al origen de tiempos del hietograma, mientras que la segunda lo es del HUI. LlamandoM1OH: Momento de primer orden respecto al origen, de la respuesta impulso del sistema cuenca (Hidrograma Unitario Instantneo). M1OI: Momento de primer orden respecto al origen, de cualquier entrada I al sistema (Hietograma de Precipitacin Efectiva). M1OQ: Momento de primer orden respecto al origen, de la correspondiente salida Q, del sistema (Hidrograma de Escorrenta Directa).

se demuestra que, para un sistema lineal invariable en el tiempo, las abscisas tH, tI, y tQ, distancias al origen de los centroides de las reas SH, SI y SQ respectivamente (Figura 25), obtenidas de los momentos de primer orden, estn relacionadas por


571 1 M OH = M OQ M OI SH SQ SI 1

(67a) (67b)

o lo que es igual

t H = t0 t I

y que los momentos de segundo orden, respecto a los centroides de las reas (M2CH, M2CI, y M2CQ), divididos por sus reas respectivas, estn relacionados por la siguiente expresin2 2 M CH = M CQ M CI SH SQ SI 2

(68)

ecuacin que junto a la (67 a) permite abordar la determinacin de los parmetros K y n a partir de datos registrados de hietogramas e hidrogramas de salida.I ( ) S1

I

Hidrograma de lluvia efectiva

tI

HUI

h

SH = 1

tH QQ(t) Hidrograma resultante originado por el hietograma de lluvia efectiva

SQ

tQFigura 25. Momentos de las reas para un sistema lineal

t

El momento de primer orden M1OH, del HUI funcin de densidad f(t) respecto al origen de tiempos, ser1 M OH = t f(t) dt = t 0 0

n(n)

n -1 - t t e dt

que tras multiplicar y dividir el segundo miembro por n, se obtiene

Jos Luis Ayuso Muoz

58

M OH =

n - t (n + 1) t e 14 244 0 4 3 =1

n

n+1

y tras dividir los dos miembros por el rea SH, del HUI que es la unidad, se llega a1 M OH

SH

=

n

de donde, tras deshacer el cambio 1/KtH =1 M OH = nK SH

(69)

siendo tH, el tiempo de retraso del centroide del rea bajo la curva del HUI respecto al origen. Finalmente la ecuacin (67 a) queda comoM OQ M 1 OI = nK SQ SI1

(70)

expresin que establece, que la diferencia entre las abscisas de los centroides del hidrograma de escorrenta directa observada, y el hietograma de lluvia efectiva que lo origina, es igual al producto de los parmetros n y K. Aplicando el teorema de Steiner, los momentos de segundo orden, respecto a los centroides de las reas, pueden ponerse en funcin de los momentos de segundo orden respecto al origen. As pues, se tendr, para cada uno de los momentos de segundo ordenM CH = M OH t H S H SH SH 2 2 2 M CI = M OI t I S I SI SI 2 2 2 M CQ M OQ t Q S Q = SQ SQ2 2 2

valores que sustituidos en la expresin (68) da2 2 2 M OH 2 = M OQ 2 M OI 2 tH tQ tI SH SQ SI

(71)

que tras reordenar trminos2 2 M OQ M OI M OH 2 2 2 = t H + tQ t I SQ SI SH 2

(72)


59

El segundo momento M2OH, del HUI respecto al origen es2 2 2 M OH = t f(t) dt = t 0 0

n(n)

n -1 - t t e dt

que tras multiplicar y dividir el segundo miembro por n(n+1)M 0H =2

n(n + 1) n + 2 n+1 -t (n + t e dt 0 2 1442) 444 4 2 3=1

y teniendo en cuenta que el rea bajo el HUI es la unidad se llega a2 M OH = n (n + 1) 2 SH

de donde, deshaciendo el cambio = 1/K queda finalmenteM OH = n(n + 1) 2 K SH2

(73)

valor que sustituido en la expresin (72) da2 M OQ M OI 2 = n(n + 1) K 2 t 2 + t Q t 2 H I SQ SI 2

(74)

Si se sustituye el valor de tQ, dado por la expresin (67 b), en la ecuacin anterior (74), se obtiene2 M OQ M OI = n(n + 1) K 2 + 2 t H t I SQ SI 2

(75)

y finalmente, sustituyendo el valor de tH dado por la ecuacin (69), y el de tI por M10I/SI, se llega a la relacin2 1 M OQ M 0I = n(n + 1) K 2 + 2 n K M OI SQ SI SI 2

(76)

Expresin que, junto a la (70), permite estimar n y K, calculando los valores de los momentos de segundo orden, respecto al origen, M0Q, M0I, y las reas SQ y SI, de un hidrograma e hietograma conocidos, determinando por consiguiente el HUI.Obtencin del Hidrograma Unitario para una duracin de lluvia t

El hidrograma unitario instantneo desarrollado de acuerdo al procedimiento indicado anteriormente, representa un volumen unitario de escorrenta directa (1 mm

Jos Luis Ayuso Muoz

60

1 cm) resultante de un exceso de lluvia que ocurre instantneamente. A partir del mismo, es posible obtener el Hidrograma Unitario de 1 mm 1 cm de escorrenta directa que resulta de un exceso de lluvia que ocurre en un tiempo determinado t, que aplicado a un aguacero cuyo hietograma de precipitacin neta est

Documents

Circulacion_de_Flujos(muskingum).unlocked (1)