CIRCUITOS LÓGICOS

CIRCUITOS LÓGICOS

Prof. Antonio Lopes de Lopes de Souza, Ph.D.

UNIDADE 1

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Os sistemas de numeração classificam-se em dois grupos básicos que são:

Sistemas de numeração posicional,

e

Sistemas de numeração não posicional

Classificação

Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número.

1989 = 1000+900+80+9

1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100

Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária

1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1

Sistemas Posicionais

A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos.

O sistema decimal tem: Base R=10Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso deles.


Outros Exemplos de Sistemas Posicionais Sistema posicional binário

base R = 2

alfabeto {0, 1} Sistema posicional octal

base R = 8

alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sistema posicional hexadecimal

base R = 16

alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}


Sistemas Não Posicionais

Exemplos de Sistemas Não posicionais Sistema de Numeração Romano

No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa.

Outro exemplo: Sistema de Medidção de tempo dividido em horas e minutos (uma espécie de base 60)

Geração de Inteiros Algorítmo de avanço de dígitos:

Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de maior valor do conjunto é sempre avançado para o aquele de menor valor na hierarquia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Algorítmo de geração de inteiros:

a) o primeiro inteiro é o zero

b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste dígito avançar para zero, avança-se, então, o dígito adjacente à esquerda.

Geração de Inteiros

Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema decimal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Observe que o nove avança para o zero, logo o dígito mais à esquerda (o zero, não mostrado explicitamente no número), é avançado para 1, gerando o próximo número na lista, o 10.

Transformações de Base

Passagem de uma base R para a base 10 converte-se a base e cada dígito do número para o

equivalente decimal. decompõe-se o número de acordo com a estrutura

posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se as operações de produtos e somas.

Notação: (...)R lê-se como o número do parêntesis expresso na

base R.

(1101)2=1x23+1x22+0x21+1x20=8+4+0+1=13(2B0)16=2x162+(11)x161+0x160= 512+176+0=688


Passagem de uma base 10 para a base R

Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida

Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R.

(341)10

= (2331)5


Passagem de uma base 10 para a base R Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação

repetidaA parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente. As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última formam a parte fracionária do número transformado.

Transformar (0,4375)10 para a base 2.


Passagem de uma base 10 para a base R Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação

repetida – Exemplo:

Então (0,4375)10 = (0,0111)2


Mudança de base entre base binária e base de potência de 2

A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n . Se essa base for R=8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23. Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.Exemplos:

(25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23) a partir da direita do número binário para transformação para a base octal.

(25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24) dígitos a partir da direita do número binário para transformação para a base hexadecimal.

Operações Aritméticas

Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na base R (explicar com exemplos no quadro)

Complemento de 1: O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do número entre parêntesis.

Complemento de 2: O complemento de 2 de um número binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e vice-versa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)

Operações Aritméticas

Subtração por complemento de 1: Soma-se o minuendo ao compemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga após a última coluna da adição é somado de volta ao bit menos significativo do resultado

(resolver exemplo no quadro)

Subtração por complemento de 2: Soma-se o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga após a ultima coluna da adição é desprezado.

(resolver exemplo no quadro)

Álgebra de Boole

George Simon Boole (1815-1864)

O criador da álgebra dos circuitos digitais

Álgebra de Boole

1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia.

2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione".

3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”

4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

Álgebra de Boole

Definição da Álgebra de Boole:1- A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas.

2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um de dois valores, zero (0) ou um (1).

3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador

AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos. As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)

Álgebra de Boole

Operadores da Álgebra Booleana

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Fundamentais1- Operador AND (interseção)

Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Fundamentais1- Operador OR (união)

Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Fundamentais1- Operador NOT (inversor)

Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Secundários1- Operador NAND

Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 0 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Secundários1- Operador NOR

Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Secundários1- Operador EXOR (OU exclusivo)

Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Boleanos Secundários1- Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)

Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Postulados da Álgebra de Boole

O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos

Álgebra de Boole

Teoremas da Álgebra de Boole

FIMFIM

Documents

CIRCUITOS LÓGICOS