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CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN
Mg. Amancio R. Rojas Flores
Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una
ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por
un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un
solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
2
3
Un capacitor no se carga de forma instantánea; en cambio, los voltajes y las
corrientes toman tiempo para alcanzar sus nuevos valores. Ese tiempo
depende de la capacitancia del circuito y de la resistencia con la cuál se
carga
Ya que los voltajes y corrientes que existen durante la carga y la descarga
son transitorios por naturaleza, se les llama transitorios. Los transitorios no
duran mucho, por lo general sólo una fracción de segundo. Sin embargo,
son importantes por varias razones
Los transitorios ocurren en los circuitos capacitivos y en los inductivos. En
los primeros ocurren debido a que el voltaje en el capacitor no puede
cambiar de manera instantánea; en los segundos ocurren debido a que la
corriente del inductor no puede cambiar en forma instantánea.
En primer lugar analizaremos los transitorios capacitivos; y
posteriormente se verán los transitorios inductivos
4
TRANSITORIOS
CAPACITIVOS
Fig.1 Circuito para estudiar la carga y descarga de un condensador.
1.- INTRODUCCION
CIRCUITO RC
5
La carga y descarga del capacitor se estudian usando el circuito simple de
la figura1.
Intervalo del
transitorio
Intervalo del
transitorio Estado
estable Estado
estable
Capacitor cargando
6 FIGURA 2 Voltaje y corriente de un capacitor durante el proceso de carga.
7
(a) Así se ve el circuito después de que
el interruptor se mueve a la posición
de carga; vC aún es cero
(b) Ya que vC = 0,
iC = E/R
FIGURA 3 Un capacitor descargado parece un cortocircuito en el
instante en que se cierra el interruptor.
a) VC = E y iC = 0 b) Circuito equivalente
para el capacitor
Fig.4 Circuito de carga después que se ha alcanzado el estado estable. Ya
que el capacitor tiene voltaje pero no corriente, parece un circuito
abierto en estado estable de cd.
8
Condiciones de estado estable
Condensador descargando
9
FIGURA 5 El capacitor cargado parece una fuente de voltaje en el instante que se cierra
el interruptor. La corriente es negativa ya que es opuesta en dirección a la
flecha de referencia de la corriente.
(a) Voltaje vC = E antes de que
el interruptor se cierre
(b) Inmediatamente después que el interruptor
se cierra, vC aun es igual a E
(c) Por tanto, el capacitor parece momentáneamente una fuente
de voltaje. Con la ley de Ohm se obtiene iC = E /R
Fig.6 Voltaje y corriente durante la descarga. Tiempo t=0 s, es definido
como el instante que el interruptor es movido a la posición de descarga
10
* Lo anterior también es una observación importante y valida en general, esto
es, un capacitor parece un circuito abierto mientras está en estado estable de cd.
11
E1.- En la figura, E= 40V, R = 10. El capacitor esta inicialmente descargado.
El interruptor se mueve a la posición de carga y se permite que el
capacitor se cargue totalmente. Entonces el interruptor se mueve a la
posición de descarga y se deja que el capacitor se descargue totalmente.
Grafique los voltajes y las corrientes y determine los valores en el instante
que se cierra el interruptor y en estado estable.
12 FIGURA 7 Un ejemplo de carga y descarga
Al inicio i= 0A ya que el
interruptor esta abierto.
Inmediatamente después se
mueve a la posición de carga,
la corriente salta a E/R=
40V/10= 4A; luego disminuye a
cero. Al mismo tiempo, vC inicia
en 0V y se incrementa a 40 V.
Solución
Cuando el interruptor se mueve
a la posición de descarga, el
capacitor parece
momentáneamente como una
fuente de 40 V y la corriente
salta a un valor negativo de
40V/10 = - 4 A; luego disminuye
a cero. Al mismo tiempo, vC
también decae a cero.
2. –ECUACIONES DE CARGA DE UN CAPACITOR
Resolviendo la ecuación
13
)1(...Evv cR
.//; dtRCdvvdtCdviRivpero cRccCR
)2(...Evdt
dvRC c
C
)3(...1 / RCt
c eEv
consideremos el voltaje en el resistor, de la ecuación 1 ,
Sustituyendo VC de la ecuación 3 tenemos.
)4(.../ RCt
R Eev
)5(.../ RCt
C eR
Ei
cR vEv
La constante de tiempo
La razón a la cual un condensador carga, depende del producto R y C . Este
producto es conocido como la constante de tiempo del circuito y esta dado
por el símbolo
Duración del transitorio
14
)6(),( ...ssegundosRC
)7(.../t
C Eev )8(.../t
C eR
Ei )9(.../t
R Eev
15
3.- Capacitor con un voltaje inicial
Suponga que un capacitor se ha cargado
previamente y que no ha sido descargado,
razón por la cual aun tiene un voltaje en el.
Dicho voltaje se denota como V0. Si el
capacitor se coloca ahora en un circuito como
el de la figura 16, el voltaje y la corriente
durante la carga se verán afectados por el
voltaje inicial. En este caso, las ecuaciones 7
y 8 cambian a
)10(.../
0
t
C eEVEv
)11(.../0 t
C eR
VEi
16
4.- ECUACIONES DE DESCARGA DEL CAPACITOR
Para determinar las ecuaciones de descarga,
se mueve el interruptor a la posición de
descarga (figura 18). (Observe con cuidado la
dirección de referencia para la corriente iC.) La
LVK da vR + vC = 0. Al sustituir vR = RCdvC / dt
de la sección 2 se obtiene FIGURA18 El voltaje inicial del
capacitor es V0. La dirección de
corriente real es opuesta a la dirección
de referencia, iC será negativa.
)12(...0 cC v
dt
dvRC
Esta se puede resolver al despejar vC y usar calculo básico. El resultado es
)13(.../
0
RCt
c eVv
donde V0 es el voltaje en el capacitor en el instante en que el interruptor se
mueve a la posición de descarga. Ahora considere el voltaje en el resistor. Ya
que vR = vC = 0, vR = -vC
)14(.../
0
RCt
R eVv
Ahora se dividen ambos lados por R, y ya que iC = iR = vR /R
)15(.../0 RCt
C eR
Vi
17
FIG. 19 Voltaje y corriente del capacitor para el caso de descarga.
Durante la descarga, iC es
negativa como se determino
en la figura 18.
E2.- El capacitor de la figura esta
inicialmente descargado. Se
cierra el interruptor en t = 0 s
a) Determinar la expresión para Vc
b) Determinar la expresión para Ic
c) Determinar la corriente y voltaje
en el capacitor en t = 5 ms
Solución
Reducimos el circuito a su equivalente serie usando el teorema de Thevenin
18
Hallando Rth
Hallando Eth
19
E3.- el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la
posición 1 por 10 ms, luego a la posición 2 donde permanece
a. Determinar VC durante la carga
b. Determinar iC durante la carga
c. Determinar VC durante la descarga
d. Determinar iC durante la descarga
e. Grafique las formas de onda de la
carga y descarga
Circuito de carga Circuito de descarga
V0 = 100V en t = 0 s
20
Solución
Del circuito equivalente de carga
Ya que 5c = 10ms, la carga es completada cuando el interruptor es movido a
descarga, entonces V0 = 100V
c. Con el circuito de descarga. Nótese que V0 = 100V
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e. La descarga es mas rápida que la carga ya que d < c .
E4. el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la
posición 1 por 5 ms, y luego a la posición 2
a. Determine VC cuando el interruptor esta
en la posición 1
b. Determine iC cuando el interruptor esta
en la posición 1
c. Compute VC y iC en t = 5ms
d. Determine VC cuando el interruptor esta
en la posición 2
e. Determine iC cuando el interruptor esta
en la posición 2
f. Bosqueje la forma de onda de voltaje y
corriente
22
Solución
23
Una aplicación de la temporización RC
Los circuitos RC se usan para crear
retrasos para alarmas, control de
motores y aplicaciones de
temporización. La figura muestra una
aplicación en una alarma. La unidad de
alarma contiene un detector de umbral,
y cuando la entrada a este detector
excede un valor predeterminado, la
alarma se enciende.
FIGURA Creación de un retraso de tiempo con
un circuito RC. Suponga que la unidad de
alarma no carga al circuito RC.
E5 El circuito de la figura es parte de
un sistema de seguridad de un
edificio.
Cuando se abre una puerta, se tiene
un numero especifico de segundos
para desactivar el sistema antes de
que la alarma se dispare. Si E= 20 V,
C=40 F, la alarma se activa cuando
vC alcanza 16 V, y se desea un
retraso de al menos 25 s, que valores
de R se necesitan?
25
Solución
Se selecciona el valor estándar siguiente mas alto, esto es 390 k.
26
5.- Respuesta al pulso de circuitos RC
En las secciones anteriores se analizó la
respuesta de circuitos RC a entradas de cd
con interruptores. En esta sección se
considera el efecto que tienen los circuitos RC
sobre las formas de onda de pulsos. Ya que
muchos dispositivos y sistemas eletrônicos
utilizan formas de onda de pulsos o
retangulares, incluídas las computadoras, los
sistemas de comunicaciones y los circuitos de
control de motores, las siguientes son
consideraciones importantes.
Conceptos básicos del pulso
Un pulso es un voltaje o corriente que cambia
de un nivel a otro y regresa al nivel inicial como
en las figuras (a) y (b). Un tren de pulsos es un
flujo repetitivo de pulsos como en (c). Si el
tiempo del nivel alto de la forma de onda es
igual al de abajo, como en (d), se le llama onda
cuadrada.
27
La longitud de cada ciclo de un tren de pulsos se llama
periodo, T, y el numero de pulsos por segundo se
define como la velocidad de repetición del pulso
(VRP) o frecuencia de repetición del pulso (FRP).
Por ejemplo, en (e) hay dos ciclos completos en un
segundo, por lo que el VRP= 2 pulsos/s. Con dos ciclos
cada segundo, el tiempo para un ciclo es T= 1⁄2 s.
Observe que esto es 1/VRP. Esto es correcto en
general, es decir,
)16(...1
sVRP
T
El ancho tp de un pulso en relación con su periodo es su ciclo de trabajo,
entonces
)17(...%100xT
tporcentualtrabajodeciclo
p
Una onda cuadrada tiene por tanto, un ciclo de trabajo de 50%, mientras que
una forma de onda con tp 1.5 s y un periodo de 10 s tiene un ciclo de
trabajo de 15 por ciento.
28
En la practica las formas de onda no son ideales, esto es, no cambian de bajo
a alto o de alto a bajo de manera instantánea. En cambio, tienen tiempos de
subida y bajada que se denotan como tr y tf y se miden entre los puntos de
10 y 90% como se indica en la figura. El ancho del pulso se mide en el punto
de 50%. La diferencia entre una forma de onda real y una ideal es con
frecuencia ligera.
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El efecto del ancho del pulso El ancho de un pulso en relación con la constante de tiempo de un circuito determina
como se ve afectado por un circuito RC. Considere la figura . En (a) el circuito se ha
dibujado para enfatizar el voltaje en C; en (b) se ha dibujado para resaltar el voltaje en
R. (Por lo demás, los circuitos son idénticos.) Una forma fácil de visualizar la operación
de estos circuitos es suponer que el pulso se genera por un interruptor que se mueve
con rapidez de un punto a otro entre V y el circuito común como en (c). Esto crea, de
manera alternada, un circuito de carga y descarga, y entonces todas las ideas
desarrolladas en este capitulo se aplican directamente.
FIGURA Circuitos RC con
entrada de pulso. Aunque aquí
se ha hecho un modelo de la
fuente como una batería y un
interruptor, en la practica los
pulsos son creados por
circuitos electrónicos.
30
Ancho del pulso tp 5
Primero, considere la salida del circuito
(a). Cuando el ancho del pulso y el
tiempo entre pulsos son muy grandes
comparados con la constante de tiempo
del circuito, el capacitor se carga y
descarga totalmente, como en la
figura(b). Observe que la carga y
descarga ocurre en las transiciones del
pulso. Los transitorios, por tanto,
incrementan los tiempos de subida y
bajada de la salida.
FIGURA Ancho del pulso mucho mas grande
que 5. Observe que las áreas sombreadas
indican donde esta cargando y descargando el
capacitor. Los picos ocurren en las transiciones
del voltaje de entrada.
TRANSITORIOS
INDUCTIVOS
31
32
Los transitorios inductivos resultan cuando los circuitos que contienen
inductancia son perturbados. Más aún que los transitorios capacitivos, los
transitorios inductivos son potencialmente destructivos y peligrosos. Por
ejemplo, si se interrumpe la corriente en un circuito inductivo, puede resultar
un pico de voltaje de unos cientos de volts o más que puede dañar
fácilmente los componentes electrónicos sensibles si no se toman las
debidas precauciones.
Para tener una idea, considere la figura 1. En (a) se observa un circuito
puramente resistivo; en el instante que se cierra el interruptor, la corriente
salta de 0 a E/R de acuerdo con la ley de Ohm. Entonces, no ocurre el
transitorio (es decir, la fase de transición) ya que la corriente alcanza su
valor final de manera inmediata. Ahora considere (b). Aquí se ha adicionado
la inductancia; en el instante que se cierra el interruptor aparece una fuerza
contraelectromotriz en la inductancia. Este voltaje intenta detener el cambio
en la corriente y en consecuencia hace que aumente con mas lentitud.
Entonces la corriente no salta a E/R de manera inmediata como en (a), sino
que se eleva gradual y suavemente como en (b). Entre mas grande sea la
inductancia, mas larga es la transición.
1 Introducción
33
Fig. 1Transitorio debido a la inductancia. Adición de inductancia de un circuito
resistivo ralentiza la subida y la caída actual, creando así un transitorio.
34
Voltaje en el inductor
Ahora considere el voltaje del inductor. Con el interruptor abierto como en la
figura 2(a), la corriente en el circuito y el voltaje en L son cero. Ahora se
cierra el interruptor, en ese preciso instante la corriente aun es cero (ya que
no puede cambiar de manera instantánea). Como vR = Ri, el voltaje en R
también es cero y entonces el voltaje total de la fuente aparece en L como se
muestra en (b). Por tanto, el voltaje del inductor salta desde 0 V justo antes
de que el interruptor se cierre a E volts un instante después. Entonces
disminuye a cero, ya que, el voltaje en la inductancia es cero para estado
estable de cd. Esto se indica en (c).
FIGURA2 Voltaje en L.
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Circuito abierto equivalente de una inductancia
Considere de nuevo la figura (b). Observe que
justo después que el interruptor se cierra, el
inductor tiene voltaje pero ninguna corriente a
través de el. Por tanto, de momento aparece
como un circuito abierto. Esto se indica en la
figura 3. En general, esta observación es
valida; es decir, un inductor con corriente inicial
cero parece un circuito abierto en el instante
que se cierra el interruptor. Después se
extiende este enunciado para incluir los
inductores con corrientes iniciales diferentes de
cero.
FIG. 3 El inductor con corriente
inicial cero parece un circuito
abierto en el instante en que se
cierra el interruptor.
36 36
E1 Una bobina y dos resistencias se
conectan a una fuente de 20V, como se en
la figura. Determinar fuente de corriente i y
el voltaje del inductor VL en el instante en
que el interruptor es cerrado.
Solución
Remplazando la inductancia con un circuito abierto. Esto produce la red que se
muestra en (b). Por lo tanto :
AV
R
Ei
T
210
20
Y el voltaje a través de R2
VAv 8)4)(2(2
Como vL =v2 vL = 8 v
37
2.- Transitorio de corriente creciente
Corriente
FIG. La LVK produce vL + vR =E.
Ahora se desarrollan las ecuaciones para
describir los voltajes y la corriente durante
la energización. Considere la figura, con la
LVK se obtiene
)1(...Evv RL
Al sustituir vL = Ldi/dt y vR = Ri en la ecuación 1 se obtiene
)2(...ERidt
diL
La ecuacion2 se resuelve con calculo básico de una manera similar a la que
se uso para los circuitos RC . El resultado es
)3(...1 / LRteR
Ei Donde R esta en ohms, L en
henrys y t en segundos.
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E2. Para el circuito de la figura, sea: E=50V, R=10 y L=2H
a) Determinar la expresión para i
b) Calcular y tabular valores de i para
t= 0+ ,0.2,0.4,0.6,0.8 y 1.0s
c) Usando estos valores trazar la corriente
Solución
a. Al sustituir los valores en la ecuación 3
FIG. Crecimiento de la corriente transitoria.
39
Voltajes del circuito
Cuando se conoce i, se pueden determinar los voltajes del circuito. Considere
el voltaje vR , ya que vR /Ri, cuando se multiplica R por la ecuación 3, se
obtiene
)4(...1 / LRt
R eEv
Observe que vR tiene exactamente la misma forma que la corriente. Ahora
considere vL, el voltaje vL se determina restando vR de E de acuerdo con la
ecuación 1:
LRtLRt
RL EeEEeEEvEv //1
Entonces, )5(.../ LRt
L Eev
Al examinar la ecuación 5 se muestra que vL tiene un valor inicial de E
en t = 0+ s y entonces decae de manera exponencial a cero. Esto
concuerda con la observación anterior en la figura 2(c).
40
c)
Solución
E3.Repita el ejemplo 2 para el voltaje vL.
a. A partir de la ecuación5,
FIG.-9 Transitorio de voltaje del inductor.
41
Constante de tiempo
En las ecuaciones 3 a 5, L/R es la constante de tiempo del circuito.
)5(...)(sR
L
Las ecuaciones 3, 4 y 5 se escriben ahora como sigue
)7(...)(1 / AeR
Ei t
)8(...)(/ VEev t
L
)9(...1 /t
R eEv
Las curvas están graficadas en la
figura contra la constante de
tiempo.
Como se esperaba, los transitorios
duran aproximadamente 5t;
entonces, para todos los propósitos
prácticos, los transitorios inductivos
duran cinco constantes de tiempo.
42
3. La interrupción de corriente en un circuito inductivo
Ahora veremos lo que ocurre
cuando se interrumpe la
corriente del inductor.
considerar Figura . En el
instante en que se abre el
interruptor, el campo
comienza a colapsar, que
induce una tensión en la
bobina.
FIG. El repentino colapso del campo magnético
cuando se abre el interruptor causa una
gran tensión inducida en la bobina. (pueden
resultar varios miles de voltios.)
Si la inductancia es grande y la corriente es alta, una gran cantidad de energía
se libera en un tiempo muy corto, la creación de una enorme tensión que
pueden dañar el equipo y crear un peligro de choque. (Esta tensión inducida
se conoce como un tiro inductivo.)
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Por ejemplo, rompiendo abruptamente la corriente a través de un inductor grande (tal
como un motor o generador bobina de campo) puede crear picos de voltaje de hasta
varios miles de voltios, un valor lo suficientemente grande para dibujar arcos largos
como se indica en la figura. Incluso moderada inductancias de tamaño en los sistemas
electrónicos pueden crear suficiente tensión para provocar dañar si no se utiliza un
circuito de protección.
La dinámica del chispazo del interruptor no es difícil de entender. Cuando el
campo se colapsa, el voltaje en la bobina se eleva con rapidez. Parte de este
voltaje aparece en el interruptor. Conforme el voltaje del interruptor aumenta,
rápidamente excede la fuerza de ruptura del aire causando un chispazo entre
sus contactos.
Hay varios puntos importantes por resaltar:
1. Los chispazos como el de la figura, por lo general son indeseables. Sin
embargo, pueden ser controlados a través de un diseño de ingeniería
adecuado. (Una forma es usar un resistor de descarga, como en el
siguiente ejemplo; otro es usar un diodo)
2. Por otro lado, los grandes voltajes creados por las corrientes inductivas
interrumpidas tienen sus aplicaciones. Una es en el sistema de ignición de
los automóviles, en este caso la corriente en el devanado primario de una
bobina transformadora es interrumpida en el tiempo apropiado por un
circuito de control para crear la chispa necesaria para encender la
maquina.
FUNCIONES
SINGULARES
44
Las funciones singulares sirven como aproximaciones aceptables de las
señales de conmutación que aparecen en circuitos con operaciones de
conmutación
Las funciones singulares son discontinuas o tiene derivadas discontinuas
Las tres funciones singulares de uso común en análisis de circuitos son las
funciones de escalón unitario, de impulso unitario y de rampa unitaria
45
Fig. 7.23 Función escalón unitario
La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y
de 1 para valores positivos de t
46
Fig. 7.27 Función impulso unitario
La derivada de la función escalón unitario u(t) es la función impulso
unitario (t), que se expresa como :
47
La función impulso unitario (t ) es de
cero siempre, excepto en t = 0, donde
está indefinida.
Fig. 7.29 Función de rampa unitaria
La integración de la función escalón unitario u(t) da por resultado la función
de rampa unitaria r(t) : se escribe
48
La función rampa unitaria es de cero para
valores negativos de t y tiene una pendiente
unitaria para valores positivos de t.
![[PPT]Diapositiva 1 - Biblioteca Central de la Universidad …biblioteca.uns.edu.pe/saladocentes/archivoz/curzoz... · Web viewEn gestión institucional Aprueba con resolución los](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5baca24409d3f217678b6a20/pptdiapositiva-1-biblioteca-central-de-la-universidad-web-viewen-gestion.jpg)
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