of 15 /15

Click here to load reader

Circuite Electrice de Curent Continuu

Embed Size (px)

Text of Circuite Electrice de Curent Continuu

Circuite Electrice de Curent Continuu

3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

n general, n cadrul circuitelor electrice, problema care se pune este aceea a determinrii curentului electric, atunci cnd sunt cunoscute tensiunile, rezistenele i / sau puterile absorbite, pentru a determina, alege sau dimensiona elementele de circuit, inclusiv conductele i cablurile de alimentare cu energie electric.

3.1. Convenii i definiii

Acel sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se numete circuit electric. Ansamblul de circuite electrice formeaz o reea electric. Din punct de vedere topologic, orice reea electric este alctuit din laturi, noduri i ochiuri. Latura este poriunea de circuit format din elementele de circuit conectate n serie, care sunt cuprinse ntre dou noduri. Nodul este punctul reelei n care se ntlnesc cel puin trei laturi. Ochiul este orice circuit nchis, format dintr-o succesiune de laturi. Ochiul independent poate fi considerat acel ochi al sistemului, care difer de celelalte prin cel puin o latur. Numrul de ochiuri independente dintr-un circuit electric este:

O = L N + 1.

(3.1)

n strns corelaie cu tipul elementului de circuit, se aplic convenia de la receptor, (figura 3.1. a), sau generator, (figura 3.1. b). Pot fi redate urmtoarele relaii ntre tensiuni, pentru receptor:

ub + er = Ri,

(3.2)

sau generator:

- ub + eg = ri,

(3.3)

i expresia puterii:

pb = ubi,

(3.4)

cu meniunea c pb > 0, cnd puterea este primit de receptor, sau este cedat de surs.

a.

b.

Figura 3.1. Convenia de la receptor (a), sau generator (b).

Observaie: n continuare mrimile de curent continuu vor fi reprezentate prin majuscule: E tensiune electromotoare; U tensiune; I curent; P putere, etc.

3.2. Teoremele lui Kirchhoff

Teoremele lui Kirchhoff se utilizeaz pentru rezolvarea circuitelor electrice, cnd n general se cunosc valorile tensiunilor de alimentare i ale rezistenelor i se solicit a fi determinate valorile curenilor din fiecare latur n parte.

a. Prima teorem a lui Kirchhoff se refer la curenii care converg spre un nod i respect legea conservrii sarcinii electrice: suma curenilor care intr este egal cu suma curenilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenilor care converg spre un nod este nul:

.

(3.5)

La aplicarea efectiv a teoremei, curenii care intr n nod se iau cu semnul + (plus), iar cei care ies din nod se iau cu semnul - (minus). Cu prima teorem a lui Kirchhoff pot fi scrise (N-1) ecuaii de circuit.

b. A doua teorem a lui Kirchhoff se refer la tensiunile existente de-a lungul ochiurilor independente de circuit i respect legea conservrii potenialelor electrice: suma cderilor de tensiune pe laturile ochiului independent este egal cu suma tensiunilor electromotoare existente n aceleai laturi, sau suma tensiunilor existente n laturile ochiului respectiv este nul:

,

(3.5.1)

sau

.

(3.5.2)

La aplicarea efectiv a teoremei a doua a lui Kirchhoff, se alege un sens aleatoriu de parcurgere a conturului ( a ochiului independent, se aplic una din relaiile (3.5), n care cderile de tensiune se iau cu semnul + (plus) dac sensul de parcurgere este identic cu cel al curentului din latura respectiv, sau dac este acelai cu sensul tensiunii electromotoare ntlnit n laturile ochiului respectiv i cu semnul - (minus) dac sensul de parcurgere este invers fa de curentul din latura respectiv, sau dac este invers sensului tensiunii electromotoare ntlnit n laturile ochiului respectiv. Cu a doua teorem a lui Kirchhoff pot fi scrise (O = L N + 1) ecuaii de circuit; cu ambele teoreme pot fi scrise (L) ecuaii, cu (L) necunoscute, din care vor rezulta curenii din laturile respective.

Dac dup rezolvarea sistemului respectiv de ecuaii, vor rezulta cureni negativi, pe schema final, sensul acestora se vor inversa.

Exemplu de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff.

Fie circuitul din figura 3.2, (o punte Wheastone), n care sunt cunoscute valorile tensiunilor surselor i valorile rezistenelor din laturile respective. Se cere a se determina valorile curenilor din laturile respective.

Pentru nceput se stabilesc numrul de noduri i ochiuri independente, funcie de care se vor determina numrul de ecuaii scrise cu teorema I, sau II a lui Kirchhoff. Circuitul are patru noduri, (A, B, C, D), deci cu prima teorem se vor putea scrie trei ecuaii distincte, (dup alegerea sensurilor aleatorii ale curenilor):

Figura 3.2. Circuit electric. A: I6 = I1 + I4

B: I1 + I2 + I3 = 0

C: I3 + I5 = I6.

Numrul ochiurilor este mult mai mare dect al celor independente; iat de exemplu, cteva dintre ele, delimitate de laturile a cror poligoane nchise, sunt: ABD, BCD, ACEF, ABC, ADBCEF, ABDCEF. Dintre acestea numai trei sunt ochiuri independente, deci cu teotema a II a lui Kirchhoff vor putea fi scrise numai trei ecuaii, (dup alegerea contururilor ( i a sensurilor de parcurgere):

ABD:R1I1 + R2I2 R4I4 = 0

BCD:R3I3 R2I2 R5I5 = 0

ACEF:R4I4 + R5I5 + R6I6 E6 = 0.

Rezolvarea sistemului de ase ecuaii cu ase necunoscute conduce la determinarea curenilor din laturile circuitului. Pentru acei cureni care rezult, dup rezolvarea sistemului, cu semnul (minus), se va inversa sensul de referin de pe schi.

3.3. Alte teoreme utilizate n rezolvarea circuitelor electrice

3.3.1. Teorema conservrii puterilor

Pentru orice circuit electric, conform legii conservrii energiei, suma puterilor debitate de surse este egal cu suma puterilor dezvoltate de elementele circuitului respectiv, (c):

.

(3.6)

3.3.2. Teorema rezistenelor echivalente

Rezistoarele pot fi conectate n serie, paralel, sau mixt, n funcie de necesiti i disponibiliti.

a. Conectarea n serie a rezistoarelor

Un grup de n rezistoare conectate n serie, alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi nlocuit cu un rezitor, a crui rezisten echivalent este Re, (figura 3.3), i va fi strbtut de acelai curent I, atunci cnd este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 3.3. Schema electric de legare n serie a rezistoarelor.

Prin aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff pe conturul rezistenelor legate n serie se va obine:

,

iar prin utilizarea legii lui Ohm:

EMBED Equation.3 i dup simplificrile de rigoare, va deveni:

,

sau n caz general:

EMBED Equation.3 .

(3.7)

Observaie: - Pentru dou rezistoare oarecare, legate n serie, rezistena echivalent se va obine ca sum a rezistenelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor se distribuie proporional cu rezistena sa !

- Dou rezistoare egale ca valoare, conectate n serie, i vor njumti rezistena echivalent, dar i tensiunea la bornele fiecruia n parte.

b. Conectarea n paralel a rezistoarelor

Un grup de n rezistoare conectate n paralel, alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi nlocuit cu un rezistor, a crui rezisten echivalent este Re, (figura 3.4), dac absoarbe acelai curent I, atunci cnd este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 3.4. Schema electric de legare n paralel a rezistoarelor.

La conectarea n paralel a rezistoarelor, n conformitate cu legea conservrii sarcinii, sau cu prima teorem a lui Kirchhoff, suma curenilor absorbii de fiecare rezistor n parte va fi egal cu curentul total absorbit de ansamblu, deci de rezistorul echivalent:

,

care cu ajutorul legii lui Ohm, va deveni:

,

iar dup simplificare:

,

,

sau prin utilizarea conductanelor:

.

(3.8)

Observaie: - Pentru dou rezistoare oarecare, legate n paralel, rezistena echivalent se va obine ca produs / sum a rezistenelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor este chiar tensiunea de alimentare.

- Dou rezistoare egale ca valoare, conectate n paralel, i vor njumti rezistena echivalent.

3.3.3. Teorema superpoziiei

Curentul care se stabilete ntr-o latur a unei reele este egal cu suma curenilor pe care i-ar stabili n acea latur, fiecare surs a reelei, dac s-ar gsi singur, iar celelalte surse s-ar nlocui cu rezistenele lor interne.

3.3.4. Teoremele generatoarelor echivalente stabilesc circuite echivalente simple pentru dipolii activi, la bornele crora se conecteaz o rezisten extern R, (figura 3.5), i pot fi studiate cu teorema generatorului echivalent de tensiune, sau ca teorema generatorului echivalent de curent.Figura 3.5. Rezistena extern R, cuplat la un dipol activ.

a. Teorema generatorului de tensiune echivalent, denumit i teorema lui Thvenin, permite exprimarea curentului, dup schema generatorului echivalent de tensiune, (figura 3.6):

,

(3.9)

n care UAB0 este tensiunea la bornele AB ale dipolului activ, fr sarcin, adic n gol, (I = 0).

Figura 3.6. Schema generatorului echivalent de tensiune.

Demonstrarea teoremei se bazeaz pe principiul suprapunerii efectelor.

b. Teorema generatorului de curent echivalent poart denumirea de teorema lui Norton, stabilete tensiunea la borne, dup schema generatorului echivalent de curent, (figura 3.7):

,

(3.10)

n care: IscAB curentul de scurtcircuit la bornele AB;

GAB conductana echivalent a dipolului pasivizat;

G conductana extern, conectat la bornele AB.

Figura 3.7. Schema generatorului echivalent de curent.

3.3.5. Teoremele de transfigurare

Pentru anumite situaii concrete ivite n rezolvarea circuitelor, se impune utilizarea transfigurrii stea n triunghi i invers. n cazul transfigurrii, pentru ca tensiunile nodale i curenii absorbii s fie aceeai, trebuie ca ntre rezistenele, sau conductanele determinate i cele iniiale s existe echivalene. Astfel, la transfigurarea din triunghi n stea, rezistenele vzute ntre nodurile 1 2; 2 3; 3 1, trebuie s fie identice, (figura 3.8):

Figura 3.8. Configuraii stea i triunghi.

.

(3.11)

Dup rezolvarea sistemului se obin pentru transfigurarea triunghi stea, valorile:

.

(3.12)

Pentru transfigurarea invers, stea n triunghi, este convenabil a exprima relaiile ntre conductane:

,

(3.13)

cu soluiile:

.

(3.14)

3.4. Metode sistemice pentru rezolvarea reelelor electrice

Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea reelelor electrice, conduce (de multe ori), la sisteme de ecuaii extrem de laborioase, dificil de soluionat. Prin alegerea convenabil a unor variabile auxiliare, se poate reduce ordinul ecuaiilor, obinnd metode sistematice pentru rezolvarea acestor reele, dintre care se amintesc metoda curenilor ciclici i metoda potenialelor de noduri.

3.4.1. n metoda curenilor ciclici se utilizeaz ca variabile auxiliare un numr de O cureni fictivi, care se nchid ciclic n fiecare ochi al sistemului de ochiuri independente i se numesc cureni ciclici. Curentul din fiecare latur este egal cu suma curenilor ciclici din acea latur, n sensul de referin ales.

n general, ecuaia corespunztoare unui ochi are forma:

,

(3.15)

n care:ECj suma tensiunilor electromotoare din ochiul j, n sensul de referin al curentului ciclic ICj;

Rkj suma rezistenelor laturilor comune ochiurilor k i j;

ICk curentul ciclic al ochiului k.

Tensiunea reprezentat de termenul RkjICk se consider pozitiv sau negativ, dup cum sensurile curenilor ICj i ICk din latura comun coincid sau nu. n caz particular, pentru j = k, Rjj, reprezint suma rezistenelor laturilor ochiului, parcurse de curentul ICj.

Dup rezolvarea respectivului sistem de ecuaii, curenii reali din laturi se obin ca sume ale curenilor ciclici din laturi, innd seama de sensurile adoptate.

Metoda curenilor ciclici prezint avantaj n cazul reelelor cu un numr mic de ochiuri independente.

3.4.2. La aplicarea metodei potenialelor de noduri se aleg ca variabile potenialele nodurilor n raport cu un nod de referin al reelei.

Pentru latura cuprins ntre nodurile j i k, (figura 3.9), tensiunea exprimat n funcie de diferena potenialelor nodurilor respective:

,

(3.16)

iar curentul prin latur:

. (3.17)

Figura 3.9. Latur a reelei electrice.

Prin aplicarea teoremei nti a lui Kirchhoff asupra nodului j, rezult:

,

iar dup aranjarea termenilor:

.

(3.18)

Metoda potenialelor de noduri este avantajoas de aplicat n cazul reelelor cu un numr redus de noduri i prezint ca dezavantaj, faptul c nu se obin direct curenii din laturi, la care se adaug precauiile suplimentare, legate de laturile cu surse, de rezisten nul, deci conductan infinit.

3.5. Circuite electrice neliniare de curent continuu

Legea conduciei electrice are valabilitate redus i nu poate fi aplicat mediilor neconductoare aduse n stare de conducie, cum ar fi: vidul, anumite gaze, semiconductoarele, etc. Rezistoarele care funcioneaz n regim de temperatur variabil i modific rezistena, ca urmare a cldurii dezvoltate prin efect Joule-Lentz.

Acele elemente pasive de circuit, care prezint n curent continuu o caracteristic voltampermetric neliniar, se numesc elemente de circuit neliniare sau rezistene neliniare, iar circuitele care le conin, circuite electrice neliniare.

Elementele neliniare se definesc prin caracteristicile voltampermetrice, (figura 3.10),

a. Lmpi cu incandescen; b. Diod semiconductoare;

a1. Filament de crbune; a2. Filament de wolfram;

c. Varistor;

d. Termistor;

Figura 3.10. Caracteristici voltampermetrice ale unor elemente neliniare.

Calculul circuitelor neliniare este mai complex dect al circuitelor liniare; acesta se poate face grafic sau numeric, prin liniarizarea pe poriuni a graficelor.

3.6. Probleme rezolvate1o. Un fir rezistiv, de lungime l, rezistivitate , seciune A i rezisten R, se ndoaie n dou i apoi n patru pri egale. S se afle rezistenele echivalente dup fiecare ndoire, prin dou metode; se consider c ndoirile sunt ideale.

Rezolvare:Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilite schemele echivalente, rezultate dup cele dou ndoiri (figura 3.11):

Prima metod apeleaz la teoremele rezistenelor echivalente, dup ce a fost stabilit configuraia rezistenei nainte de ndoiri, ct i dup fiecare din cele dou ndoiri consecutive. Dup prima ndoire, configuraia va fi format din dou rezistene, de valori egale, (R/2), conectate n paralel, iar dup cea de-a doua ndoire, configuraia va fi cea dat de cele patru rezistene egale, (R/4), conectate n paralel:

;

,

din care rezult: Re1 = R/4 i Re2 = R/16.

Pentru a doua metod, se apeleaz la definirea rezistenei, atunci

Figura 3.11. cnd sunt cunoscute datele referitoare la aceasta, i anume: , cu precizarea c dup prima ndoire, seciunea se dublez, iar lungimea firului se njumtete; la cea de-a doua ndoire, noua seciune se va multiplica cu 4, fa de cea iniial, iar lungimea va fi o ptrime din lungimea iniial.

Cu acestea, valorile rezistenelor echivalente vor fi:

;

.

2o. Un bec cu incandescen de 220 V i 100 W, are rezistena n stare rece, (msurat cu ohmetrul), de 48 . Calculai n starea iniial curentul i puterea absorbit la conectarea la reea, precum i curentul i rezistena electric a becului, dup atingerea temperaturii de culoare. Comentarii.

Rezolvare:

Deoarece valoarea rezistenei depinde n mare msur cu temperatura, procesul urmat cuplrii la reea este unul puternic neliniar, din care intereseaz numai starea dinnaintea cuplrii, (a- cnd se vor utiliza indicii i - iniial) i cea n care presupunem c temperatura s-a stabilizat, dup cuplare, (b - cnd se vor utiliza indicii f - final). Pentru aceste dou cazuri distince se poate scrie:

a) A;

W;

b) A;

.

Deoarece la trecerea din starea rece n cea cald, rezistena electric crete de peste 10 ori, curentul i puterea absorbit iniial de becul cu incandescena, vor fi cu peste 10 ori mai mari, dect valorile stabilite dup atingerea temperaturii de culoare, deci becul va fi suprasolicitat ntotdeauna la cuplare, motiv pentru care, aproape n exclusivitate becurile cu incandescen se vor deteriora la cuplarea la reea.

3o. Considerm montajul din figura alturat, (figura 3.12), alimentat de la o surs de curent continuu. S se determine R3 n funcie de R1 i R2, astfel ca Re = R3 / 2. Care este valoarea corespunztoare lui R3 pentru cazul n care R1 = R2.Rezolvare:Pentru a rezolva circuitul, trebuie s transfigurat circuitul Y, format de rezistenele R2/3, n , a crei valoare a rezistenei laturii va fi:

, Figura 3.12.

n care s-a notat cu R12 valoarea rezistenei laturii cuprinse ntre vrfurile 12 ale lui , care devine egal cu R2.Rezistena echivalent devine: , iar prin impunerea condiiilor Re = R3 / 2, se va obine:

, din care se ia numai valoarea cu + i pentru R1 = R2, se va obine R3 = R1 = R2.3.7. Probleme propuse1o. Calculai rezistena echivalent pentru o configuraie complex de tip i invers, de ordinul III, la care fiecare rezisten are valoarea R.2o. Muchiile unui cub au rezistenele electrice egale R = 16 . Determinai rezistena echivalent n raport cu dou vrfuri diametral opuse ale cubului.

3o. Considerm circuitul din figura alturat, n care r1 = r2 = 1 , R1 = 3 , E1 = 16 V, E2 = 62 V. Puterea disipat n R1 este PR1 = 27 W, (figura 3.13). Se cer:a. valoarea rezistenei R2;b. valorile rezistenei R1 pentru ca puterea disipat n ea s fie maxim, respectiv minim;

c. pentru R2 de la punctul a, cu restul datelor neschimbate, care sunt valorile minime i maxime ale puterii disipate pe rezistorul R3.

Figura 3.13.

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

132

_1166431535.unknown

_1166436562.unknown

_1166518046.unknown

_1237703614.unknown

_1237712122.unknown

_1237712737.unknown

_1237734424.unknown

_1237734857.unknown

_1237732977.unknown

_1237712272.unknown

_1237704103.unknown

_1237711415.unknown

_1237704009.unknown

_1237702589.unknown

_1237703192.unknown

_1166518167.unknown

_1166437079.unknown

_1166517429.unknown

_1166517515.unknown

_1166515310.unknown

_1166436888.unknown

_1166436971.unknown

_1166436664.unknown

_1166434958.unknown

_1166435137.unknown

_1166435610.unknown

_1166435067.unknown

_1166434647.unknown

_1166434724.unknown

_1166434553.unknown

_1166266876.unknown

_1166269198.unknown

_1166269455.unknown

_1166430115.unknown

_1166269304.unknown

_1166268930.unknown

_1166269039.unknown

_1166266889.unknown

_1166264760.unknown

_1166266547.unknown

_1166266756.unknown

_1166266404.unknown

_1165836859.unknown

_1165836915.unknown

_1165836815.unknown

_1162024661.unknown