3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

În general, în cadrul circuitelor electrice, problema care se pune este aceea a determinării curentului electric, atunci când sunt cunoscute tensiunile, rezistenţele şi / sau puterile absorbite, pentru a determina, alege sau dimensiona elementele de circuit, inclusiv conductele şi cablurile de alimentare cu energie electrică.

3.1. Convenţii şi definiţii

Acel sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se numeşte circuit electric. Ansamblul de circuite electrice formează o reţea electrică. Din punct de vedere topologic, orice reţea electrică este alcătuită din laturi, noduri şi ochiuri. Latura este porţiunea de circuit formată din elementele de circuit conectate în serie, care sunt cuprinse între două noduri. Nodul este punctul reţelei în care se întâlnesc cel puţin trei laturi. Ochiul este orice circuit închis, format dintr-o succesiune de laturi. Ochiul independent poate fi considerat acel ochi al sistemului, care diferă de celelalte prin cel puţin o latură. Numărul de ochiuri independente dintr-un circuit electric este:

O = L – N + 1. (3.1)În strânsă corelaţie cu tipul elementului de circuit, se aplică convenţia de la

receptor, (figura 3.1. a), sau generator, (figura 3.1. b). Pot fi redate următoarele relaţii între tensiuni, pentru receptor:ub + er = Ri, (3.2)sau generator:- ub + eg = ri, (3.3) şi expresia puterii:pb = ubi,

(3.4)cu menţiunea că pb > 0, când puterea este primită de receptor, sau este cedată

de sursă. a. b.

Figura 3.1. Convenţia de la receptor (a), sau generator (b).

Observaţie: În continuare mărimile de curent continuu vor fi reprezentate prin majuscule: E – tensiune electromotoare; U – tensiune; I – curent; P – putere, etc.

3.2. Teoremele lui Kirchhoff

Teoremele lui Kirchhoff se utilizează pentru rezolvarea circuitelor electrice, când în general se cunosc valorile tensiunilor de alimentare şi ale rezistenţelor şi se solicită a fi determinate valorile curenţilor din fiecare latură în parte.

a. Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la curenţii care converg spre un nod şi respectă legea conservării sarcinii electrice: suma curenţilor care intră este egal cu suma curenţilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenţilor care converg spre

un nod este nulă: . (3.5)

La aplicarea efectivă a teoremei, curenţii care intră în nod se iau cu semnul “+” (plus), iar cei care ies din nod se iau cu semnul “-” (minus). Cu prima teoremă a lui Kirchhoff pot fi scrise (N-1) ecuaţii de circuit.

b. A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă la tensiunile existente de-a lungul ochiurilor independente de circuit şi respectă legea conservării potenţialelor electrice: suma căderilor de tensiune pe laturile ochiului independent este egală cu suma tensiunilor electromotoare existente în aceleaşi laturi, sau suma tensiunilor existente în

laturile ochiului respectiv este nulă: , (3.5.1)

sau . (3.5.2)

La aplicarea efectivă a teoremei a doua a lui Kirchhoff, se alege un sens aleatoriu de parcurgere a conturului a ochiului independent, se aplică una din relaţiile (3.5), în care căderile de tensiune se iau cu semnul “+” (plus) dacă sensul de parcurgere este identic cu cel al curentului din latura respectivă, sau dacă este acelaşi cu sensul tensiunii electromotoare întâlnită în laturile ochiului respectiv şi cu semnul “-” (minus) dacă sensul de parcurgere este invers faţă de curentul din latura respectivă, sau dacă este invers sensului tensiunii electromotoare întâlnită în laturile ochiului respectiv. Cu a doua teoremă a lui Kirchhoff pot fi scrise (O = L – N + 1) ecuaţii de circuit; cu ambele teoreme pot fi scrise (L) ecuaţii, cu (L) necunoscute, din care vor rezulta curenţii din laturile respective.

Dacă după rezolvarea sistemului respectiv de ecuaţii, vor rezulta curenţi negativi, pe schema finală, sensul acestora se vor inversa.

Exemplu de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff. Fie circuitul din figura 3.2, (o punte

Wheastone), în care sunt cunoscute valorile tensiunilor surselor şi valorile rezistenţelor din laturile respective. Se cere a se determina valorile curenţilor din laturile respective.

Pentru început se stabilesc numărul de noduri şi ochiuri independente, funcţie de care se vor determina numărul de ecuaţii scrise cu teorema I, sau II a lui Kirchhoff. Circuitul are patru noduri, (A, B, C, D), deci cu prima teoremă se vor putea scrie trei ecuaţii distincte, (după alegerea sensurilor aleatorii ale curenţilor):

Figura 3.2. Circuit electric. A: I6 = I1 + I4

B: I1 + I2 + I3 = 0 C: I3 + I5 = I6.

Numărul ochiurilor este mult mai mare decât al celor independente; iată de exemplu, câteva dintre ele, delimitate de laturile a căror poligoane închise, sunt: ABD, BCD, ACEF, ABC, ADBCEF, ABDCEF. Dintre acestea numai trei sunt ochiuri

32

independente, deci cu teotema a II a lui Kirchhoff vor putea fi scrise numai trei ecuaţii, (după alegerea contururilor şi a sensurilor de parcurgere):

ABD: R1I1 + R2I2 – R4I4 = 0BCD: R3I3 – R2I2 – R5I5 = 0ACEF: R4I4 + R5I5 + R6I6 – E6 = 0.

Rezolvarea sistemului de şase ecuaţii cu şase necunoscute conduce la determinarea curenţilor din laturile circuitului. Pentru acei curenţi care rezultă, după rezolvarea sistemului, cu semnul – (minus), se va inversa sensul de referinţă de pe schiţă.

3.3. Alte teoreme utilizate în rezolvarea circuitelor electrice

3.3.1. Teorema conservării puterilor

Pentru orice circuit electric, conform legii conservării energiei, suma puterilor debitate de surse este egală cu suma puterilor dezvoltate de elementele circuitului respectiv, (c):

.

(3.6)

3.3.2. Teorema rezistenţelor echivalente

Rezistoarele pot fi conectate în serie, paralel, sau mixt, în funcţie de necesităţi şi disponibilităţi.

a. Conectarea în serie a rezistoarelor

Un grup de n rezistoare conectate în serie, alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un rezitor, a cărui rezistenţă echivalentă este Re, (figura 3.3), şi va fi străbătut de acelaşi curent I, atunci când este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 3.3. Schema electrică de legare în serie a rezistoarelor.

Prin aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff pe conturul rezistenţelor legate în serie se va obţine:

,iar prin utilizarea legii lui Ohm:

şi după simplificările de rigoare, va deveni: ,

sau în caz general:

33

.

(3.7)Observaţie: - Pentru două rezistoare oarecare, legate în serie, rezistenţa echivalentă se va obţine ca sumă a rezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor se distribuie proporţional cu rezistenţa sa !

- Două rezistoare egale ca valoare, conectate în serie, îşi vor înjumătăţi rezistenţa echivalentă, dar şi tensiunea la bornele fiecăruia în parte.

b. Conectarea în paralel a rezistoarelor

Un grup de n rezistoare conectate în paralel, alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un rezistor, a cărui rezistenţă echivalentă este R e, (figura 3.4), dacă absoarbe acelaşi curent I, atunci când este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 3.4. Schema electrică de legare în paralel a rezistoarelor.

La conectarea în paralel a rezistoarelor, în conformitate cu legea conservării sarcinii, sau cu prima teoremă a lui Kirchhoff, suma curenţilor absorbiţi de fiecare rezistor în parte va fi egală cu curentul total absorbit de ansamblu, deci de rezistorul echivalent:

,care cu ajutorul legii lui Ohm, va deveni:

,

iar după simplificare:

,

,

sau prin utilizarea conductanţelor:

. (3.8)

Observaţie: - Pentru două rezistoare oarecare, legate în paralel, rezistenţa echivalentă se va obţine ca produs / sumă a rezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor este chiar tensiunea de alimentare.

- Două rezistoare egale ca valoare, conectate în paralel, îşi vor înjumătăţi rezistenţa echivalentă.

34

3.3.3. Teorema superpoziţiei

Curentul care se stabileşte într-o latură a unei reţele este egal cu suma curenţilor pe care i-ar stabili în acea latură, fiecare sursă a reţelei, dacă s-ar găsi singură, iar celelalte surse s-ar înlocui cu rezistenţele lor interne.

3.3.4. Teoremele generatoarelor echivalente stabilesc circuite echivalente simple pentru dipolii activi, la bornele cărora se conectează o rezistenţă externă R, (figura 3.5), şi pot fi studiate cu teorema generatorului echivalent de tensiune, sau ca teorema generatorului echivalent de curent.

Figura 3.5. Rezistenţa externă R, cuplată la un dipol activ.

a. Teorema generatorului de tensiune echivalent, denumită şi teorema lui Thévenin, permite exprimarea curentului, după schema generatorului echivalent de tensiune, (figura 3.6):

, (3.9)

în care UAB0 este tensiunea la bornele AB ale dipolului activ, fără sarcină, adică în gol, (I = 0).

Figura 3.6. Schema generatorului echivalent de tensiune.

Demonstrarea teoremei se bazează pe principiul suprapunerii efectelor.

b. Teorema generatorului de curent echivalent poartă denumirea de teorema lui Norton, stabileşte tensiunea la borne, după schema generatorului echivalent de curent, (figura 3.7):

, (3.10)

în care: IscAB – curentul de scurtcircuit la bornele AB; GAB – conductanţa echivalentă a dipolului pasivizat;

G – conductanţa externă, conectată la bornele AB.Figura 3.7. Schema generatorului echivalent de curent.

3.3.5. Teoremele de transfigurare

35

Pentru anumite situaţii concrete ivite în rezolvarea circuitelor, se impune utilizarea transfigurării stea în triunghi şi invers. În cazul transfigurării, pentru ca tensiunile nodale şi curenţii absorbiţi să fie aceeaşi, trebuie ca între rezistenţele, sau conductanţele determinate şi cele iniţiale să existe echivalenţe. Astfel, la transfigurarea din triunghi în stea, rezistenţele “văzute” între nodurile 1 – 2; 2 – 3; 3 –1, trebuie să fie identice, (figura 3.8):

Figura 3.8. Configuraţii stea şi triunghi.

. (3.11)

După rezolvarea sistemului se obţin pentru transfigurarea triunghi – stea, valorile:

. (3.12)

Pentru transfigurarea inversă, stea în triunghi, este convenabil a exprima relaţiile între conductanţe:

, (3.13)

cu soluţiile:

36

. (3.14)

3.4. Metode sistemice pentru rezolvarea reţelelor electrice

Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea reţelelor electrice, conduce (de multe ori), la sisteme de ecuaţii extrem de laborioase, dificil de soluţionat. Prin alegerea convenabilă a unor variabile auxiliare, se poate reduce ordinul ecuaţiilor, obţinând metode sistematice pentru rezolvarea acestor reţele, dintre care se amintesc metoda curenţilor ciclici şi metoda potenţialelor de noduri.

3.4.1. În metoda curenţilor ciclici se utilizează ca variabile auxiliare un număr de O curenţi fictivi, care se închid ciclic în fiecare ochi al sistemului de ochiuri independente şi se numesc curenţi ciclici. Curentul din fiecare latură este egal cu suma curenţilor ciclici din acea latură, în sensul de referinţă ales.

În general, ecuaţia corespunzătoare unui ochi are forma:

, (3.15)

în care: ECj – suma tensiunilor electromotoare din ochiul j, în sensul de referinţă al curentului ciclic ICj;

Rkj – suma rezistenţelor laturilor comune ochiurilor k şi j;ICk – curentul ciclic al ochiului k.Tensiunea reprezentată de termenul RkjICk se consideră pozitivă sau negativă,

după cum sensurile curenţilor ICj şi ICk din latura comună coincid sau nu. În caz particular, pentru j = k, Rjj, reprezintă suma rezistenţelor laturilor ochiului, parcurse de curentul ICj.

După rezolvarea respectivului sistem de ecuaţii, curenţii reali din laturi se obţin ca sume ale curenţilor ciclici din laturi, ţinând seama de sensurile adoptate.

Metoda curenţilor ciclici prezintă avantaj în cazul reţelelor cu un număr mic de ochiuri independente.

3.4.2. La aplicarea metodei potenţialelor de noduri se aleg ca variabile – potenţialele nodurilor în raport cu un nod de referinţă al reţelei.

Pentru latura cuprinsă între nodurile j şi k, (figura 3.9), tensiunea exprimată în funcţie de diferenţa potenţialelor nodurilor respective:

, (3.16)iar curentul prin latură:

. (3.17)

37

Figura 3.9. Latură a reţelei electrice.

Prin aplicarea teoremei întâi a lui Kirchhoff asupra nodului j, rezultă:

,

iar după aranjarea termenilor:

.

(3.18)Metoda potenţialelor de noduri este avantajoasă de aplicat în cazul reţelelor cu

un număr redus de noduri şi prezintă ca dezavantaj, faptul că nu se obţin direct curenţii din laturi, la care se adaugă precauţiile suplimentare, legate de laturile cu surse, de rezistenţă nulă, deci conductanţă infinită.

3.5. Circuite electrice neliniare de curent continuu

Legea conducţiei electrice are valabilitate redusă şi nu poate fi aplicată mediilor neconductoare aduse în stare de conducţie, cum ar fi: vidul, anumite gaze, semiconductoarele, etc. Rezistoarele care funcţionează în regim de temperatură variabilă îşi modifică rezistenţa, ca urmare a căldurii dezvoltate prin efect Joule-Lentz.

Acele elemente pasive de circuit, care prezintă în curent continuu o caracteristică voltampermetrică neliniară, se numesc elemente de circuit neliniare sau rezistenţe neliniare, iar circuitele care le conţin, circuite electrice neliniare.

Elementele neliniare se definesc prin caracteristicile voltampermetrice, (figura 3.10),

a. Lămpi cu incandescenţă; b. Diodă semiconductoare;a1. Filament de cărbune; a2. Filament de wolfram;

c. Varistor; d. Termistor;

38

Figura 3.10. Caracteristici voltampermetrice ale unor elemente neliniare.

Calculul circuitelor neliniare este mai complex decât al circuitelor liniare; acesta se poate face grafic sau numeric, prin liniarizarea pe porţiuni a graficelor.

3.6. Probleme rezolvate

1o. Un fir rezistiv, de lungime l, rezistivitate ρ, secţiune A şi rezistenţă R, se îndoaie în două şi apoi în patru părţi egale. Să se afle rezistenţele echivalente după fiecare îndoire, prin două metode; se consideră că îndoirile sunt ideale.

Rezolvare:Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilite schemele echivalente, rezultate după cele două îndoiri (figura 3.11):

Prima metodă apelează la teoremele rezistenţelor echivalente, după ce a fost stabilită configuraţia rezistenţei înainte de îndoiri, cât şi după fiecare din cele două îndoiri consecutive. După prima îndoire, configuraţia va fi formată din două rezistenţe, de valori egale, (R/2), conectate în paralel, iar după cea de-a doua îndoire, configuraţia va fi cea dată de cele patru rezistenţe egale, (R/4), conectate în paralel:

; ,

din care rezultă: Re1 = R/4 şi Re2 = R/16.Pentru a doua metodă, se apelează la definirea rezistenţei, atunci

Figura 3.11. când sunt cunoscute datele referitoare la aceasta, şi anume:

, cu precizarea că după prima îndoire, secţiunea se dubleză, iar lungimea firului

se înjumătăţeşte; la cea de-a doua îndoire, noua secţiune se va multiplica cu 4, faţă de cea iniţială, iar lungimea va fi o pătrime din lungimea iniţială.Cu acestea, valorile rezistenţelor echivalente vor fi:

; .

2o. Un bec cu incandescenţă de 220 V şi 100 W, are rezistenţa în stare „rece”, (măsurată cu ohmetrul), de 48 Ω. Calculaţi în starea iniţială curentul şi puterea absorbită la conectarea la reţea, precum şi curentul şi rezistenţa electrică a becului, după atingerea temperaturii de culoare. Comentarii.

Rezolvare:Deoarece valoarea rezistenţei depinde în mare măsură cu temperatura, procesul urmat cuplării la reţea este unul puternic neliniar, din care interesează numai starea din’naintea cuplării, (a- când se vor utiliza indicii i - iniţial) şi cea în care presupunem că temperatura s-a stabilizat, după cuplare, (b - când se vor utiliza indicii f - final). Pentru aceste două cazuri distince se poate scrie:

39

a) A;

W;

b) A; Ω.

Deoarece la trecerea din starea rece în cea caldă, rezistenţa electrică creşte de peste 10 ori, curentul şi puterea absorbită iniţial de becul cu incandescenţăa, vor fi cu peste 10 ori mai mari, decât valorile stabilite după atingerea temperaturii de culoare, deci becul va fi suprasolicitat întotdeauna la cuplare, motiv pentru care, aproape în exclusivitate becurile cu incandescenţă se vor deteriora la cuplarea la reţea.

3o. Considerăm montajul din figura alăturată, (figura 3.12), alimentat de la o sursă de curent continuu. Să se determine R3 în funcţie de R1 şi R2, astfel ca Re = R3 / 2. Care

este valoarea corespunzătoare lui R3 pentru cazul în care R1 = R2.

Rezolvare:Pentru a rezolva circuitul, trebuie să transfigurat circuitul Y, format de rezistenţele R2/3, în Δ, a cărei valoare a rezistenţei laturii va fi:

,

Figura 3.12. în care s-a notat cu R12 – valoarea rezistenţei laturii cuprinse între vârfurile 12 ale lui Δ, care devine egală cu R2.

Rezistenţa echivalentă devine: , iar prin impunerea

condiţiilor Re = R3 / 2, se va obţine:

, din care

se ia numai valoarea cu + şi pentru R1 = R2, se va obţine R3 = R1 = R2.

3.7. Probleme propuse

1o. Calculaţi rezistenţa echivalentă pentru o configuraţie complexă de tip Γ şi Γ invers, de ordinul III, la care fiecare rezistenţă are valoarea R.

40

2o. Muchiile unui cub au rezistenţele electrice egale R = 16 Ω. Determinaţi rezistenţa echivalentă în raport cu două vârfuri diametral opuse ale cubului.

3o. Considerăm circuitul din figura alăturată, în care r1 = r2 = 1 Ω, R1 = 3 Ω, E1 = 16 V, E2 = 62 V. Puterea disipată în R1 este PR1 = 27 W, (figura 3.13). Se cer:

a. valoarea rezistenţei R2;b. valorile rezistenţei R1 pentru ca puterea disipată în ea să fie maximă, respectiv minimă;c. pentru R2 de la punctul a, cu restul datelor neschimbate, care sunt valorile minime şi maxime ale puterii disipate pe rezistorul R3.Figura 3.13.

41