CINEMATICA BIDIMENSIONALE - farmacia.uniba.it · Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica Se invece il vettore accelerazione, in qualche istante t, non ha la stessa

CINEMATICA

BIDIMENSIONALE

Dott. Silvia Rainò

Università di Bari

Email: [email protected]

[email protected]

Pagine web: www.ba.infn.it/sraino

Ufficio: Dipartimento IA di Fisica, R77 - 080 544 3174

1

Fisica con elementi di matematica

CdL Farmacia – Corso (A - E)

A.A. 2015/16

mailto:[email protected]

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INTRODUZIONE

2

Cinematica bidimensionale Fisica con elementi di matematica

Abbiamo introdotto, nelle precedenti lezioni, le seguenti

grandezze fisiche:

Abbiamo ricavato le equazioni per i moti 1D:

a) Uniforme

b) Uniformemente accelerato

Tempo

Spostamento Velocità

Accelerazione

Abbiamo introdotto i VETTORI e le operazioni tra essi

(somma, differenza, prodotto scalare, prodotto vettoriale)

INTRODUZIONE

3


Adesso dobbiamo trattare le grandezze fisiche

spostamento, velocità e accelerazione come

vettori.

…e ricavare le equazioni del moto

In questo modo potremmo studiare il moto dei

corpi in sistemi di riferimento nel piano o nello

spazio, con più di una dimensione

INTRODUZIONE

4


Ricordiamo che:

Grandezza scalare: definita da un solo numero

Grandezza vettoriale: definita da:

Modulo, direzione e verso;

Componenti sugli assi cartesiani.

I vettori saranno talvolta rappresentati con il grassetto:

a = grandezza scalare

a = grandezza vettoriale (oppure a)

Sui vostri appunti rappresentate le grandezze vettoriali

con la freccina sulla lettera. a

VETTORE POSIZIONE

5


Possiamo localizzare un punto materiale nel piano (2D) per mezzo del vettore posizione

Punto materiale P localizzato dal

vettore posizione r:

r = rxi + ryj

o, equivalentemente, utilizzando per i

versori la notazione ui:

r = rxux + ryuy

rx

ry

i

j

VETTORE POSIZIONE

6


Possiamo localizzare un punto materiale nello spazio (3D) per mezzo del vettore posizione

Punto materiale P localizzato dal

vettore posizione r:

r = rxi + ryj + rzk

o, equivalentemente, utilizzando per i

versori la notazione ux uy uz:

r = rxux + ryuy + rzuz

In questo caso, tutte e tre le componenti

nello spazio dei vettori entrano in gioco.

VETTORE POSIZIONE

7


Il punto materiale si sposta dal punto P (individuato dal vettore r) al punto Q (individuato dal vettore r’)

Scriviamo i vettori posizione

r ed r‘:

r = rxux + ryux + rzux

r' = r’xux + r’yuy + r’zuz

P

Q

VETTORE SPOSTAMENTO

8


Possiamo calcolare il vettore SPOSTAMENTO:

r’ – r = Δr

P

Q

Δr' = (r’x-rx)ux + (r’y-ry)uy + (r’z-rz)uz

= Δrxux + Δryuy + Δrzuz

Necessario per descrivere il moto

del nostro punto materiale

VELOCITÀ VETTORIALE MEDIA

9


Possiamo definire la velocità vettoriale come:

v = Δr / Δt

P

Q

v = Δrx/Δt ux + Δry/Δt uy + Δrz/Δt uz

Il vettore velocità ha la stessa

direzione e verso di Δr

La sua intensità (lunghezza della

freccia) dipende da quanto

rapidamente il punto si sposta.

VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA

10


Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore

istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli

di tempo molto piccoli.

Cioè: v → vist per Δt → 0

P

Q

VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA

11


Studiamo la direzione (in un caso bidimensionale)

P

La direzione del vettore velocità istantanea è quella della

retta tangente alla traiettoria nel punto considerato.

v

ACCELERAZIONE VETTORIALE

12


Analogamente possiamo definire

l’accelerazione vettoriale come:

a = Δv/Δt

ATTENZIONE!

Il vettore accelerazione a NON ha, in generale, la stessa

direzione e lo stesso verso dei vettori velocità e

spostamento.

Studiamo alcuni casi particolarmente significativi…

VELOCITÀ COSTANTE – MOTO RETT. UNIF.

13


Caso più semplice:

Il vettore velocità è costante

v = cost v1 = v2 a = 0

v = cost v = cost

Anche se il modulo della velocità resta costante, possono

comunque variare direzione e verso…

IMPORTANTE:

In questo caso, si ricade nel moto rettilineo uniforme

v ha la stessa direzione, traiettoria rettilinea!

v ha lo stesso modulo, moto uniforme!

MOTO RETTILINEO NON UNIFORME

14


Il vettore velocità è costante in direzione e verso ma

non in modulo.

Che direzione ha il vettore accelerazione?

P

Q

v1

v2

MOTO RETTILINEO NON UNIFORME

15


Ha la direzione di Δv! Questo accade in ogni caso…

In questo caso, però, l’accelerazione ha anche la stessa

direzione del vettore velocità v

Ciò accade sempre nei moti rettilinei

→ Il moto è contenuto lungo una retta, in un’unica direzione

Caso di un’auto che

accelera su un rettilineo

P

Q

v1

v2 Dv=Dv uT

a=Dv/Dt=Dv/Dt uT

CASO GENERALE

16


Se invece il vettore accelerazione, in qualche istante t,

non ha la stessa direzione del vettore velocità:

L’accelerazione fa cambiare direzione al vettore

velocità, oltre che il suo modulo

Di conseguenza, il moto non è più rettilineo: la

traiettoria cambia direzione

Studiamo i casi più importanti di moto curvilineo,

limitandoci a casi di moti nel piano (in due dimensioni):

Moto circolare uniforme

Moto parabolico (o del proiettile)

17

Cinematica unidimensionale Fisica con elementi di matematica

RICHIAMI DI MATEMATICA

18


Equazione della parabola

a>0: concavità rivolta verso l’alto

a<0: concavità rivolta verso il basso

c=0: la parabola passa per l’origine

c≠0: la parabola interseca l’asse y

nel punto di coordinate (0,c)

y= ax2 +bx+c

RICHIAMI DI MATEMATICA

19


Come trovare i punti x1 e x2 di

intersezione con l’asse delle x?

Poniamo y = 0 e risolviamo

l’equazione di secondo grado per

trovare le due soluzioni x1 e x2

Parabola con concavità

verso il basso (a<0)

La parabola passa per l’asse x

(con y = 0) nei punti x1 e x2

ax2 +bx+c= 0

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ

20


L’accelerazione di gravità è diretta verso il centro della

Terra ed ha il valore (modulo) di g = 9.8 m/s2

Negli esercizi di cinematica/dinamica si trascura la

curvatura terrestre e si assume che g sia semplicemente

diretta verso il basso.

SUPERFICIE TERRESTRE

a = g = 9.8 m/s2


MOTO DEL PROIETTILE

21


Un punto materiale parte dall’origine del sistema di riferimento con

velocità iniziale v0 inclinata di un angolo θ sull’orizzontale.

Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale.

Osserviamo che l’accelerazione è presente solo nella direzione y.

Scriviamo separatamente le equazioni orarie del moto del punto

materiale su asse x ed asse y.

a = g = 9.8 m/s2


a = g = 9.8 m/s2

MOTO DEL PROIETTILE

22


Che tipo di equazioni orarie governano il moto del punto materiale?

asse X: non c’è accelerazione: equazione del moto rettilineo

uniforme

asse Y: c’è accelerazione g: equazione del moto rettilineo

uniformemente accelerato

a = g = 9.8 m/s2


a = g = 9.8 m/s2

MOTO DEL PROIETTILE

23


Osserviamo che, dopo la scomposizione dei moti sui due assi:

Otteniamo due moti unidimensionali (e rettilinei), molto più

semplici da trattare

I due moti avvengono INDIPENDENTEMENTE (ognuno non

influenza l’altro) e possiamo studiarli separatamente

a = g = 9.8 m/s2


a = g = 9.8 m/s2

L’accelerazione è indipendente dalla direzione

della velocità.

ATTENZIONE!!!!

MOTO DEL PROIETTILE

25


Dalle due equazioni orarie e

dall’equazione della traiettoria

si possono ricavare numerose

caratteristiche salienti sul moto.

Ad esempio:

Quanto tempo il proiettile resta in aria?

Qual è la massima altezza raggiunta?

A che distanza tocca Terra?

MOTO DEL PROIETTILE

26


Scomponiamo il vettore

v0 nelle due componenti

lungo gli assi x ed y:

a = -g = -9.8

m/s2

ATTENZIONE!

Il vettore g è opposto al

verso positivo dell’asse y!

v0x =v0 cosq

v0y=v0senq

MOTO DEL PROIETTILE

27


Scriviamo ora le

equazioni del moto

per i tipi di moto

sugli gli assi x ed y:

a = g = 9.8 m/s2

→ Moto rettilineo uniforme

(v costante)

→ Moto rettilineo unif. accelerato

(a costante)

MOTO DEL PROIETTILE

28


Per il nostro caso particolare:

Il proiettile parte dall’origine: x0 = 0, y0 = 0

L’accelerazione è quella di gravità: a = -g

Le equazioni del moto, allora, diventano:

→ Moto rettilineo uniforme

(v costante = v0x)

→ Moto rettilineo unif. accelerato

(a costante = -g)

x = v0xt

y = v0 yt -1

2gt2

MOTO DEL PROIETTILE

29


In sintesi, il moto del proiettile è descritto dalle

equazioni orarie:

e per le velocità da :

v0x =v0 cosq

v0y=v0senq

ove le velocità iniziali si scompongono in:

MOTO DEL PROIETTILE

30


Equazione della traiettoria:

Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava y

in funzione di x, determinando così l’equazione della

traiettoria

x = v0xt

y = v0 yt -1

2gt2

t =x

v0 x

y = v0 y

x

v0 x

-1

2g

x2

v2

0x

y = -g

2v2

0x

x2 +v0y

v0x

x

MOTO DEL PROIETTILE

31


Abbiamo trovato un’equazione di 2° grado del tipo:

y = ax2 + bx + c

cioè l’EQUAZIONE DI UNA PARABOLA!

La parabola passa per l’origine (c = 0) ed ha la

concavità rivolta verso il basso (a < 0)

y = -g

2v2

0x

x2 +v0y

v0x

x

ALTEZZA MASSIMA

32


Quanto vale l’altezza massima raggiunta dal corpo?

Quando il corpo raggiunge il punto di massima altezza la sua

velocità lungo l’asse verticale si annulla!

vy = v0y – gt = 0

Da questa relazione possiamo ricavare il tempo impiegato a

raggiungere l’altezza massima: t=tmax

tmax = v0y/g

E infine, dall’equazione del moto lungo l’asse y possiamo

determinare l’altezza massima:

ymax = v0ytmax -1

2gt2

max = v0y

v0y

g-

1

2g

v2

0y

g2 ymax =1

2

v2

0y

g

TRAIETTORIA DEL PROIETTILE

33


Scomposizione della velocità sui due assi

vx resta costante = vx0,

vy decresce costantemente nel tempo

Nel punto più alto della traiettoria, vy= 0

Nel punto di atterraggio (per y = 0) si ha vy = –vy0

TRAIETTORIA DEL PROIETTILE

34


La stessa situazione, in una animazione:

GITTATA

35


La gittata è la distanza lungo l’asse x fra il

punto in cui il corpo si stacca dal suolo e il

punto in cui il corpo tocca nuovamente il suolo.

Nel disegno:

x = gittata

Essa dipende dal valore

della velocità iniziale v0 e

dall’angolo di inclinazione θ

GITTATA

36


Dalla definizione, per trovare la formula della

gittata basta calcolare, dall’equazione della

parabola, il valore di x per y=0:

Ovvero, mettere a

sistema l’equazione

della parabola con

l’ equazione dell’asse x

(cioè y=0)

y = -g

2v2

0x

x2 +v0y

v0x

x

y = 0

GITTATA

37


Equazione di 2° grado del

tipo: ax2 + bx = 0,

le cui soluzioni sono:

x1 = 0

x2 = –b/a

Le soluzioni dell’equazione sono, nel nostro caso:

-g

2v2

0x

x2 +v0y

v0 x

x = 0

x1 = 0

x2 =v0y

v0x

2v2

0x

g=

2v0xv0y

g=

2v2

0 cosqsenq

g=

v2

0sen(2q )

g

GITTATA E TEMPO DI VOLO

38


Abbiamo trovato l’espressione della gittata:

Dx = x2 - x1 =v2

0sen(2q )

g

x = v0xt Dx = v0xtvolo

tvolo =Dx

v0x

GITTATA E TEMPO DI VOLO

39


La gittata massima si ha per un angolo di 45°

La gittata è la stessa per angoli simmetrici rispetto a 45°

Il massimo tempo di volo si ottiene per un angolo di 90° (lungo y)

Ciò vale anche per l’altezza massima (vY è tutta lungo y)

MOTO DEL PROIETTILE

40


ATTENZIONE!

Le formule trovate finora si riferiscono a casi in cui

l’altezza di partenza del proiettile è 0 (y0 = 0)!

Non possono essere usate per situazioni diverse!

La distanza R non può

essere calcolata con la

formula della gittata!

R

Angolo di lancio: direzione della velocità iniziale rispetto

all’orizzontale. In questo caso la componente y della

velocità iniziale è nulla (v0y=0).

MOTO DEL PROIETTILE

ESERCIZIO 1

42


Da una fontana da irrigazione l’acqua fuoriesce con

una velocità di modulo v0 = 17 m/s e formante un

angolo di θ = 58° sopra l’orizzontale.

Trascurando la resistenza dell’aria, determinare:

a. Il tempo impiegato a

raggiungere la

massima altezza

b. La massima altezza

c. Il tempo di volo

d. La distanza del punto

di impatto dall’origine

a) 1.47 s

b) 10.6 m

c) 2.94 s

d) 26.5 m

Moto lungo x moto rettilineo uniforme

Moto lungo y: agisce l’accelerazione di gravità moto

rettilineo uniformemente accelerato

Dati iniziali: x0=0, y0=0, a=-g, v0=17m/s, q=58°

y

x

-g

x = x0 + v0xt

y = y0 + v0yt +1

2at2

ϑ

x = v0 cosqt

y = v0senqt -1

2gt2

e velocità:

vx = v0x

vy = v0y + at

vx = v0 cosq

vy = v0senq - gt

Equazioni utili alla soluzione del problema.

Leggi orarie:

a) Sia t* è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Nel

punto di massima altezza :

vy(t*) = v0y-gt* =0 t* = v0y/g = v0sen q /g = 1.47 s

b) Il punto di massima altezza può essere determinato dalla legge

oraria del moto lungo y (uniformemente accelerato) al tempo t*:

y max = y(t*) = v0yt*-1/2gt*2=v0senqt*-1/2gt*2 =

=17m/ssen(58°)1.47s-1/2 9.8m/s2 (1.47s)2= 10.6 m

c) Il tempo di volo corrisponde al tempo impiegato dal proiettile

(nel nostro caso il getto d’acqua) a ritornare al suolo, perciò

coincide con il tempo impiegato a percorrere un tratto pari

alla gittata.

y=0 => v0yt** -1/2 gt**2 =0 =>t**= 2 v0y/g

t**=2(14.4m/s)/(9.8m/s2)=2.95s

d) Noto il tempo impiegato a ritornare al suolo, si può calcolare

lo spazio percorso lungo x:

x = v0xt**= 17m/scos(58) 2.95s=14.4m/s 2.9s ≈ 26 m

Oppure, dalla formula della gittata, calcolare direttamente

Dx = v02 sin(2q)/g=(17m/s) 2 sen(2 58°)/9.8m/s2 ≈ 26 m

2. MOTO PARABOLICO

46

Un aereo da soccorso

vola ad una velocità

v = 360 km/h alla

quota costante di

h = 490 m.

Quale distanza x, in

orizzontale, percorre

un pacco lasciato

cadere dall’aereo?

x = 1000 m = 1 Km

La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che

rimane costante (v0y=0).

x= v0xt con v0x = 360 km/h =100 m/s

v0=v0x

h

y

x

Condizioni iniziali:

- x0=0

- y0=h

- voy=0

- v0x=100m/s

SOLUZIONE ESERCIZIO 6

E’ necessario determinare t* = tempo

impiegato dal pacco a raggiungere il suolo

yfin(t*)=0

y(t)=h-gt2/2

Dunque, all’istante t*:

0=h-g t* 2/2 t*2=2h/g t* = (2h/g)1/2=10 s

x(t*) = v0x t*= v0x (2h/g)1/2 =

=100m/s*10s=1000m

ESERCIZIO 3

49


Un cannone con un angolo di tiro di 45° si trova a

500 m dalla base di un muro alto 100 m.

A che velocità deve essere sparato il proiettile per

colpire l’oggetto posto sulla sommità del muro?

Se l’oggetto si sposta e viene mancato, a che

distanza ricade il proiettile al suolo e a che velocità?

a) v = 78.3 m/s

b) x = 625 m

c) v = 78.3 m/s

ESERCIZIO 4

50


Un giocatore di baseball lancia la palla con una

inclinazione di un angolo α = 60° sull’ orizzontale.

Dopo t* = 2 s dal lancio la palla sta ancora salendo

e la sua velocità ha un’inclinazione di θ = 30°

sull’orizzontale. Trascurando la resistenza dell’aria,

determinare :

a. Il modulo della velocità

con cui il giocatore ha

lanciato la palla

b. La quota della palla,

rispetto al punto di

lancio dopo t* = 2 s a) |v0| = 34.0 m/s

b) h = 39.3 m

51

Cinematica unidimensionale Fisica con elementi di matematica

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

52


Moto in cui un punto materiale si muove lungo una

circonferenza con intensità della velocità costante

→ Uniforme = Il modulo della velocità è costante

T = periodo

n = 1/T = frequenza (num. di giri

nell’unità di tempo)

Dove:

v =Ds

Dt=

2pR

T=wR

w =2p

T


53


Sistema di riferimento dedicato:


54


La traiettoria è una circonferenza.

Il vettore velocità è costante in modulo ma non in direzione e

verso, dato che la traiettoria non è rettilinea

Il vettore Δv punta verso l’interno della

traiettoria, in particolare verso il centro

del cerchio (senza dimostrazione)

Conseguentemente, anche il vettore

accelerazione punta verso il centro

della circonferenza (e NON è nullo) a =

Dv

DtuN

Δs


55


Se il vettore velocità è costante in modulo ma non in

direzione e verso, possiamo scrivere per il modulo della

velocità:

v1 = v2 = v

Inoltre, se θ è piccolo, si può approssimare la lunghezza

del vettore Δv a quella di un arco di circonferenza Δs (di

raggio v), e quindi:

Δv ≈ Δs = v ∙ θ, dunque θ = Δv/v



Ciò ci aiuta a calcolare il modulo dell’accelerazione:

Se infatti scriviamo:

θ = arco(AB)/R= vΔt/R

(dalla relazione s = vt per moti unifomi)

Dalle relazioni

per θ:

θ = Δv/v

θ = vΔt/R vΔt/R = Δv/v

a = Δv/Δt = v2/R


57


detta accelerazione centripeta

Quella centripeta è l’unica

componente dell’accelerazione in

un moto circolare uniforme, ed è

legata alla variazione della

direzione della velocità istantanea

Nessuna componente in direzione

tangenziale uT

NNN uuua RR

v

t

v 22

D

D

MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

58


Nel caso di moto circolare non uniforme

anche il modulo della velocità varia.

Esiste dunque un’altra componente della

accelerazione, chiamata accelerazione

tangenziale:

aT = Δ|v|/Δt uT

Legata alla variazione del solo modulo

della velocità

MOTO CIRCOLARE NON UNIFORME

59


Si può quindi scrivere, complessivamente,

l’accelerazione vettoriali come la somma delle due

componenti

Con:

Acc. Tangenziale = descrive la variazione del modulo di v

Acc. Centripeta = descrive la variazione della direzione di v

a =D v

DtuT +

v2

RuN

MOTO CURVILINEO

60


In caso di una traiettoria non circolare:

L’accelerazione vettoriale istantanea può essere calcolata

punto per punto approssimando localmente la traiettoria

ad una circonferenza con un certo raggio di curvatura R

a =D v

DtuT +

v2

RuN

MOTO CURVILINEO

61


L’accelerazione vettoriale è dunque la somma

vettoriale delle sue due componenti tangenziale

e centripeta:

OSSERVAZIONE FINALE:

a = aT + aN =D v

DtuT +

v2

RuN

a = aT

2 + aN

2 =D v

DtuT +

v2

RuN

ESERCIZIO 1

62


La Luna ruota attorno alla Terra su un’orbita

quasi circolare di raggio pari a 60 raggi terrestri

(RT = 6400 km) impiegando 27,3 giorni per

compiere un giro.

a. Qual è la velocità v con cui

la Luna percorre la sua

orbita

b. Qual è l’accelerazione

centripeta della Luna?

c. Quante rivoluzioni compie

in un anno? a) 1,02∗103 m/s

b) 2.7∗10-3 m/s2

c) 13,37

ESERCIZIO 2

63


Si consideri la ISS e si supponga che essa sia in orbita

circolare intorno alla terra ad una altitudine di circa R =

400 km ad una velocità di circa v = 27750 km/h.

Sapendo che RT = 6400 km, calcolare:

Periodo dell’orbita

Accelerazione centripeta

a) T = 1.54 h

b) ac = 8.7 m/s2

T = 2πRorb/v = 2π(R+RT)/v = 1.6 h

ac = v2/R = (2πRorb)/T)2/Rorb

= 4π2*(R+RT)/T2 = 8 m/s2

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