Cijela radnja

8/6/2019 Cijela radnja

1/24

V. GIMNAZIJA

ZAGREB, KLAIEVA 1

Binarna stablaMaturalni rad

Zagreb, 24. travnja 2009.

Bruno Rahle, 4.D


2/24

Stranica 2 od 24

V. GIMNAZIJA

ZAGREB, KLAIEVA 1

Binarna stablaMaturalni rad

Mentor:

Predrag Broanac, prof.

Zagreb, 24. travnja 2009.

Bruno Rahle, 4.D


3/24

Sadraj

Stranica 3 od 24

Uvod ............................................................................................................................ 4

Stabla i binarna stabla .................................................................................................. 5

Definicija stabla ................................................................................................................... 5

Definicija binarnog stabla .................................................................................................... 5

Pojmovnik .................................................................................................................... 6

Dogovori ...................................................................................................................... 8

vor .................................................................................................................................... 8

Slike .................................................................................................................................... 8

Sloenost ............................................................................................................................. 8

Binarno stablo traenja ................................................................................................ 9

Karakteristike BST-a ............................................................................................................. 9

Traenje u BST-u .................................................................................................................. 9

Ubacivanje u BST ............................................................................................................... 10

Sortiranje u BST-u .............................................................................................................. 10

Traenje K-tog u BST-u ....................................................................................................... 11

Dokaz sloenosti ................................................................................................................ 11

Samo-balansirajua binarna stabla ............................................................................. 14

Rotacije ...................................................................................................................... 15

AVL stablo .................................................................................................................. 17

Svojstva AVL stabla ............................................................................................................ 17

Podatak o balansiranosti.................................................................................................... 17

Ubacivanje u AVL stablo..................................................................................................... 17

Crveno-crno stablo ..................................................................................................... 19

Karakteristike crveno-crnog stabla ..................................................................................... 19

Ubacivanje u crveno-crno stablo ........................................................................................ 20

Zakljuak .................................................................................................................... 23

Bibliografija ............................................................................................................... 24


4/24

Uvod

Stranica 4 od 24

Danas se raunala koriste za apsolutno sve: poevi od vojnih simulacija, preko fizikalnih i

astronomskih simulacija pa sve do komunikacije, medija i astrologije. Pred svega nekoliko

desetaka godina, takva iroka upotreba raunala bila je nezamisliva. Osim to danas svi

imamo raunala, bilo stolno bilo prijenosno, ona su nam poela preuzimati i depove

moderni mobiteli u biti su umanjena raunala koja se svojom snagom mogu mjeriti sa

raunalima iz prolog desetljea.

Prema Mooreovom se zakonu svake dvije godine broj operacija koje raunalo moe

izvriti u sekundi udvostrui. Zbog toga se programi koji ve postoje izvravaju sve bre i bre

bez ikakve izmjene njihovog koda. Ipak, ta ubrzanja su samo konstantna i odnose se na sve

programe. Pretpostavimo da se bavimo programiranjem. Ako elimo da upravo na programbude najbri, ne emo se oslanjati na sirovu raunalnu snagu nego emo koristiti bre

algoritme i strukture podataka.

Vanost dobrog odabira algoritma opisat emo na primjeru sortiranja. Ako nekim

jednostavnim algoritmom (recimo bubble sortom ili selection sortom) pokuamo sortirati

veliku koliinu podataka, recimo njih 10,000,000, program e se izvravati otprilike 4.5 sata.

Nasuprot tome, koristimo li neto sloeniji, ali bri algoritam (kao, na primjer, quick sort ili

merge sort), isti ulazni podaci bit e sortirani za svega nekoliko sekundi!

Odabir odgovarajue strukture podataka takoer je vaan. Ako je bitno da moemo

pristupiti bilo kojem elementu polja, ne emo koristiti listu, nego obino polje, jer emo, u

suprotnom, pristup elementima na kraju liste jako skupo plaati. U bazama podataka

strukture su takoer bitne. U manjim bazama podataka, za to se koriste binarna stabla. No, u

najveim bazama podataka, ne moemo uitati sve podatke, pa onda koristimo posebno

dizajnirane strukture, takozvana B stabla.

Ipak, ponekad doista nije potrebno muiti se i kodirati najbolji mogui algoritam i najbolju

strukturu podataka. Ono to je najbitnije u programiranju jest sposobnost ocjenjivanja

potrebne efikasnosti. Ukoliko shvatimo da je dovoljna i jednostavna alternativa, emu se

muiti i pisati neto to jest moda bre, ali i trai puno vie vremena za samo pisanje i

dizajniranje te je jo k tome podlonije pogrekama?

U ovom maturalnom radu govorit emo o strukturama podataka koje zovemo binarna

stabla.


5/24

Stabla i binarna stabla

Stranica 5 od 24

Definicija stabla

Stablo je u raunarstvu nain predstavljanja hijerarhije. To je struktura podataka koja vue

analogije s rodoslovnim stablima. Prema definicijama teorije grafova, stablo je acikliki

povezani graf u kojem svaki vor ima nula ili vie djece. vor je najmanja jedinica grae

stabla. Na donjim slikama vorovi su kuice i ono to pie u njima. Crte koje povezuju dva

vora zovu se veze. Djeca nekog vora su svi vorovi koji se nalaze ispod tog vora a izravno

su povezani s njime. Roditelj nekog vora je vor kojemu je dani vor dijete. vor bez djece

zove se list. vor bez roditelja nazivamo korijenom.

Slika 1 Primjer stabla

Definicija binarnog stabla

Binarno stablo je struktura podataka koja se predstavlja kao stablo u kojem niti jedan vor

nema vie od dvoje djece. Takoer, korijen stabla je samo jedan, tj. na vrhu smije biti samo

jedan element. Slika 1 nije primjer binarnog stabla, dok Slika 2 to jest.

Slika 2 Primjer binarnog stabla

U binarnom stablu svaki vor ima tono jednog roditelja, s izuzeem korijena stabla, koji

nema roditelja. Nadalje, svaki vor ima navie dvoje djece vorova kojima je on roditelj. Za

ostale pojmove pogledajte pojmovnik.

Dani u tjednu

Radni dani

Ponedjeljak Utorak Srijeda etvtak Petak

Neradnidani

Subota Nedjelja

Enciklopedija

Znanost Kultura

Umjetnost Obrt


6/24

Pojmovnik

Stranica 6 od 24

2-3-4 stablo potpuno balansirano stablo u kojem svi vorovi u sebi pamte jedan, dva ili

tri podatka te stoga imaju redom dvoje, troje, ili etvoro djece.

AVL stablo samo-balansirajue binarno stablo u koje se balansira po dubini.

Balansirano binarno stablo binarno stablo u kojem je dubina najdubljeg vora

ograniena nekom funkcijom u ovisnosti o broju vorova u stablu, a manja je od O(n).

Binarno stablo stablo u kojem svaki vor ima najvie dvoje djece.

Braa vorovi u stablu koji su djeca istog roditelja. U binarnom stablu vor nema vie od

jednog brata.

Crveno-crno stablo samo-balansirajue binarno stablo koje je proizalo iz 2-3-4 stabla. U

njemu su veze pobojane u crvenu ili crnu boju.

vor osnovna jedinica grae svakog stabla. Povezana je vezama s ostalim vorovima.

Dijete / sin su svi vorovi koji su povezani vezom s danim vorom, a nalaze se na niem

stupnju hijerarhijske ljestvice, tj. podreeni su danom voru.

Djed vor koji je otac oca trenutnog vora.

Dubina (visina) vora broj vorova koje moramo proi od korijena stabla do danog

vora.

Korijen stabla vor koji nema roditelja.

Lijevo naginjue crveno-crno stablo crveno-crno stablo u kojem su dodatno zabranjene

crvene veze koje naginju na desnu stranu, osim u sluaju kad postoji i veza koja naginje na

lijevu stranu.

List vor koji nema djece.

O (big O, veliko O) notacija nain zapisivanja sloenosti algoritma u kojoj su konstantni

faktori zanemareni.

Potpuno balansirano stablo stablo u kojem su svi listovi na istoj visini.


7/24

Pojmovnik Binarna stabla Bruno Rahle

Stranica 7 od 24

Roditelj / otac vor kojemu je dani vor dijete.

Samo-balansirajue binarno stablo balansirano binarno stablo koje prilikom operacija

ubacivanja i izbacivanja popravlja svoju strukturu da bi osiguralo balansiranost.

Stablo struktura podataka koja je predstavljena u obliku hijerarhije. Prema definicijama

iz teorije grafova, to je acikliki povezani graf u kojem svaki vor ima nula ili vie djece.

Ujak svi vorovi koji su djeca djeda, a nisu otac danom voru.

Unuk svi vorovi koji su djeca sve djece danog vora.

Unutranji put suma dubina svih vorova.

Vanjski vor izmiljeni vor bez djece u binarnom stablu koji se spaja na svaku vezu

nekog postojeeg vora koja ne vodi u neki drugi postojei vor.

Vanjski put suma dubina svih vanjskih vorova.

Veza poveznica koja spaja dva vora na razliitim (uzastopnim) stupnjevima hijerarhijske

ljestvice. U grafikom obliku zapisa to je crta koja povezuje dva vora.


8/24

Dogovor

Stranica 8 od 24

Kako bismo se lake snalazili u ovoj radnji, bit e potrebno napraviti neke dogovore kojih

emo se pridravati cijelom radnjom.

vorU svakom voru emo pamtiti sljedee informacije:

Vrijednost (v) Lijevo dijete (l) Desno dijete (d) Roditelj (roditelj) Broj elemenata u podstablu (n) Broj istih elemenata (broja)

Ako su jo neki podaci potrebni za neku od opisanih struktura, to e biti posebno

naglaeno u tekstu koji opisuje tu strukturu.

Slike

vor emo predstavljati sivom bojom, osim ako u tekstu nije drugaije naznaeno. Veze

predstavljamo crnim linijama, osim ako u tekstu nije drugaije naznaeno.

SloenostSloenost svakog algoritma bit e napisana u veliko-O notaciji, osim ako u tekstu nije

drugaije naznaeno. Veliko-O notacija (ili samo O notacija) jest nain zapisivanja neke

funkcije u kojoj zanemarujemo sve osim najjae potencije. Na primjer, funkciju =8 +1231 bismo u O notaciji prikazali kao = . Funkciju, =12 ln bismo, pak, prikazali kao , = lg. Primijetite da bazalogaritma koji stoji u O notaciji nije bitna jer se ona lako moe zamijeniti bilo kojom drugom

mnoei s konstantom.


9/24

Binarno stablo traenja

Stranica 9 od 24

nai(sad, x):*vor

ako je sad == 0vrati0

ako je sad->vrijednost == xvrati sad

ako je sad->vrijednost < xvrati nai(sad->d, x)

vrati nai(sad->l, x)

Binarno stablo traenja (BST engl. binary search tree) je struktura podataka koja

zadovoljava sljedea svojstva:

1. Strukturirano je kao binarno stablo2. Nikoja dva vora ne sadre istu vrijednost3. Oba djeteta nekog vora takoer su binarna stabla traenja4. U lijevom podstablu nekog vora svi vorovi imaju manju vrijednost od tog vora5. U desnom podstablu nekog vora svi vorovi imaju veu vrijednost od tog vora

Karakteristike BST-a

Ova struktura u prosjeku omoguava brzo izvravanje svih bitnih operacija (umetanje,pronalaenje, brisanje, sortiranje...). Prosjene i najgore mogue brzine izvravanja nekih

osnovnih operacija navedene su u Tablica 1 Karakteristike binarnog stabla .

Tip analize Ubacivanje Traenje Brisanje Sortiranje Traenje k-tog

Prosjean

sluaj

lg lg lg lgNajgori sluaj

Tablica 1 Karakteristike binarnog stabla traenja

Kao to se moe vidjeti iz Tablica 1 Karakteristike binarnog stabla , razlika izmeu

prosjenog i najgoreg sluaja poprilino je velika. To je razlog zato se esto koriste strukture

koje imaju bolju sloenost u najgorim sluajevima. Dokaze ovih tvrdnji moete pronai na

kraju poglavlja.

Traenje u BST-u

U BST-u vor se trai na sljedei nain:

1. Krenemo od korijena stabla2. Ako trenutni vor ne postoji, vratimo da

vor ne postoji

3. Ako je vrijednost trenutnog vora jednaka traenoj vrijednosti, vratimo trenutnivor

4. Ako je vrijednost trenutnog vora manja od traene vrijednosti, traena vrijednostse nalazi u desnom podstablu pa tamo nastavimo traenje


10/24

Binarno stablo traenja Binarna stabla Bruno Rahle

Stranica 10 od 24

ubaci(sad,x)ako je sad == 0

sad = novi vor(x)

izai vanpoveaj sad->nako je sad->vrijednost == xpoveaj sad->brojaizai van

ako je sad->vrijednost < x

ubaci(sad->d,x)

inaeubaci(sad->l,x)

ispii(sad)ako je sad == 0izai van

ispii(sad->l)

za svaki i[1,sad->brojac]pii sad.vrijednostispii(sad->d)

5. U suprotnom (dakle vrijednost trenutnog vora je vea od traene vrijednosti),traena vrijednost se nalazi u lijevom podstablu pa tamo nastavimo traenje

Kako uvijek znamo na kojoj se strani nalazi vor koji traimo te nikad ne idemo na drugu,

oito je da je sloenost algoritma , gdje je dubina vora u BST-u. Kako se to odnosiprema , opisano je u Dokaz sloenosti na kraju poglavlja. Algoritam je identian u svimbinarnim stablima.

Ubacivanje u BST

U BST vor se ubacuje na sljedei nain:

1. Krenemo od korijena stabla2. Ako je trenutni vor prazan, postavimo

ga na traenu vrijednost

3. Ako je vrijednost trenutnog vorajednaka vrijednosti koju ubacujemo,

poveamo broj istih vrijednosti u

trenutnom voru i zavrimo algoritam

4.

Ako je vrijednost trenutnog vora manja od vrijednosti koju ubacujemo,ubacujemo vrijednost u podstablo desnog djeteta trenutnog vora

5. U suprotnom (dakle vrijednost trenutnog vora je vea od vrijednosti kojuubacujemo), ubacujemo vrijednost u podstablo lijevog djeteta trenutnog vora

Slino kao i kod traenja, sloenost ovog algoritma je .Sortiranje u BST-u

Kako znamo da su svi vorovi u lijevom

podstablu manji, a svi u desnom vei, da bismo

sortirali BST prvo sortiramo lijevo podstablo,

dodamo korijen, te onda sortiramo desno

podstablo. To nas dovodi do jednostavne

rekurzivne implementacije, koja je identina za sva daljnja stabla pretraivanja. Pseudokod

predstavlja algoritam koji ispisuje stablo u sortiranom obliku. Sloenost tog algoritma je

jer svaki vor obilazi tono jednom.


11/24


Stranica 11 od 24

nai_kti(sad,k):vorako je sad == 0vrati0

broj = 0;ako je sad->l 0

broj = sad->l->n

ako je broj > kvrati nadji_kti(sad->l,k)

ako je broj + sad->n < xvrati sad

vrati nadji_kti(sad->d,k broj - sad->n)

Traenje K-tog u BST-u

Da bismo mogli pronai K-ti po

redu lan u BST-u, moramo voditi

rauna koliko se vorova nalazi usvakom podstablu, pa stoga svaki

vor mora pamtiti i taj podatak.

Rekurzivni algoritam kojim

nalazimo K-ti lan je sljedei:

1. Krenemo od korijena stabla2. Ako je broj vorova u lijevom podstablu vei od K, tada znamo da se traeni vor

nalazi u tom podstablu te nastavimo traiti u njemu

3. Ako je broj vorova u lijevom podstablu plus broj vorova koji imaju vrijednosttrenutnog vora vea ili jednaka K, vratimo trenutni vor

4. U suprotnom, nastavimo traiti (K - broj vorova u lijevom podstablu - broj vorovaiste vrijednosti kao i trenutni) vor u desnom podstablu

Za sloenost ovog algoritma takoer vrijedi da je jednaka

. Identian algoritam

koristit emo i u svim ostalim stablima pretraivanja.

Dokaz sloenosti

Najgori sluajevi

Ovaj dokaz vrlo je jednostavan i intuitivan. Kad bismo u BST-u imali vorove koji su

poredani tako da je najvei element korijen, drugi najvei njemu lijevi i tako dalje ih slaemo

prema lijevo do posljednjeg, tada je dubina najudaljenijeg vora jednaka

. Zbog toga, ako u

BST tada ubacujemo ili traimo najmanji element, onda emo dobiti sloenost koja je

jednaka .Prosjeni sluajevi

Ovaj dokaz jest neto tei. Prvo moramo pretpostaviti da u prosjenom sluaju u stablo

elemente ubacujemo na nasumian nain. Neka je duina prosjenog unutranjeg puta ustablu od

vorova. Tada vrijedi da je


12/24


Stranica 12 od 24

= 1 + 1 +

gdje je = 0 i = 1. Formula se sastoji od dva dijela: 1 (koji se nalazi u formuli jerkorijen dodaje jedan na duinu svih vorova u oba svoja podstabla, a tamo ih ima 1) tedrugog dijela, sume. Suma jednostavno opisuje da je jednaka vjerojatnost za svaki moguiraspored. Ako primijetimo da moemo sumu razbiti na dvije, dobit emo

= 1 + 1

+

Kad primijetimo da su te dvije sume identine, dobijemo

= 1 + 2

Pomnoimo jednadbu s N, pa dobijemo

= 1 + 2

Da se rijeimo sume, oduzmemo jednadbu jedan stupanj manju

1 = 1 1 2 + 2 = 2 1 + + 1Podijelimo sve sa + 1 te dobijemo

+ 1 = + 2 1 + 1Uvrstimo sad jednadbu

= 1 + 2 2 1pa dobijemo

+ 1 = 1 + 2 2 1 + 2 1 + 1Na kraju, teleskopiranjem dobijemo

+ 1 = 3 + 2 1 + 1

Tu jednadbu moemo aproksimirati kao

+ 1 2 1 + 1

2 1 + 1

= 4 ln + 1 2ln


13/24


Stranica 13 od 24

Te konanom aproksimacijom kao

+ 1 2 ln 1.39lg = lgTime smo uspjeli dokazati da je prosjeni unutranji put jednak

lg, to znai da

je prosjeni put u stablu dug lg. Kako sve funkcije osim sortiranja imaju sloenost, time smo dokazali i da je njihova sloenost lg za nasumino izgraeno stablo.To svojstvo pri nasuminim sluajevima daje veliku prednost binarnom stablu u odnosu na

ostale relativno jednostavne strukture kao to su polje i lista.


14/24

Samo-balansirajua binarna stabla

Stranica 14 od 24

Samo-balansirajua binarna stabla su binarna stabla koja nam garantiraju sloenost u

najgorim sluajevima. Kako smo ve vidjeli na primjeru binarnog stabla, mogue je da se

dogodi da nam ono nudi linearnu sloenost koju smo na poetku i eljeli izbjei. Stoga, jo od

samog poetka raunalne znanosti, razmatrali su se naini kako osigurati da se sve operacije

izvedu u nekom vremenu koje je bolje od linearnog.

Prvu takvu ideju imali su Gregorij Adelson-Velskij i Evgenij Landis. Oni su 1962. kreirali

stablo koje se balansira po dubini podstabla te je to stablo po njima nazvano AVL stablom.

Kako je to obiaj u svim znanostima, nije se stalo na tom otkriu, nego se dalje nastavilo sa

radom te su ve nakon desetak godina razvijene razne sline strukture podataka. Danas,

upravo zahvaljujui radu tih pionira raunalne znanosti, postoji cijeli niz samo-balansirajuihbinarnih stabala. Uz gore spomenuto AVL stablo, meu jednostavnija samo-balansirajua

binarna stabla ubrajamo crveno-crna stabla i rairena stabla te razne njihove modifikacije.

Ovo podruje se i danas razvija. Najbolji primjer za to su lijevo-naginjua crveno-crna

stabla. Njih je konstruirao Robert Sedgewick prije manje od dvije godine (jo nije objavio

rad!), a ona programeru daju crveno-crno stablo koje ne mora biti preslika 2-3-4 stabla, nego

moe biti i preslika 2-3 stabla.

U ovom radu, donosimo kratak pregled odreenih varijanti AVL i crveno-crnih stabala. Za

sve njih je karakteristino da su operacije traenja i sortiranja identine onima u binarnom

stablu. Stoga je vrlo korisno imati sline objektno-orijentirane implementacije za sva stabla

jer je tada vrlo jednostavno promijeniti strukturu podatka koju koristimo te se time bolje

prilagoditi potrebi.


15/24


16/24

Rotacije Binarna stabla Bruno Rahle

Stranica 16 od 24

rotiraj_vezu_iznad(A)

B = A->roditelj

ako je B == korijen

korijen = A

inae

ako je B->roditelj->l == B

B->roditelj->l = A

inae

B->roditelj->d = A

A->roditelj = B->roditelj

B->roditelj = A

ako je B->l == A

B->l = A->d

ako je B->l 0

B->l->roditelj = B

A->d = B

inae

B->d = A->l

ako je B->d 0

B->d->roditelj = B

A->l = B

Slika 4 Rotacija ulijevo

o novi roditelj od A je roditelj od Bo novi roditelj od B je Ao ako je B korijen

A postaje korijeno inae ako je B bio lijevo dijete svog biveg roditelja

A postaje lijevo dijete svog novog roditeljao inae A postaje desno dijete svojeg novog roditeljao novo desno dijete od B je lijevo dijete od Ao ako postoji desno dijete od B, njegov novi roditelj postaje Bo novo lijevo dijete od A postaje B


17/24

AVL stablo

Stranica 17 od 24

AVL stablo konstruirali su Gregorij Adelson-Velskij i Evgenij Landis 1962. u radu Algoritam

za organizaciju podataka. AVL stablo ima sljedea svojstva:

1. Strukturirano je kao binarno stablo2. Svaki vor u sebi sadri i podatak o balansiranosti (tzv. balance factor)3. Svi podaci o balansiranosti moraju biti izmeu -1 i 1; ako nisu vre se modifikacije

U sutini AVL stabla nalazi se podatak o balansiranosti. To je u biti razlika izmeu visina

dva podstabla.

Svojstva AVL stabla

AVL stablo, kao i sva ostala samo-balansirajua binarna stabla nam osigurava brzo

izvravanje jednostavnih operacija. Vrlo je rigidno balansirano, no o tome vie neto kasnije.


Prosjean

sluaj

lg lg lg lgNajgori sluaj lg lg lg

Tablica 2 Karakteristike AVL stabla

Podatak o balansiranosti

Podatak o balansiranosti jednak je razlici dubina desnog i lijevog podstabla ( = ). Ideja stabla jest osigurati da ta razlika po apsolutnoj vrijednosti nijevea od 1. To onda osigurava da je stablo balansirano. Najvea dubina stabla jest

1.44 lg. Kad se dobije razlika koja je po apsolutnoj vrijednosti vea od 1, vre serotacije.

Ubacivanje u AVL stablo

U AVL stablo ubacuje se jednako kao i u binarno stablo, samo to se na kraju rekurzije jo

pozove funkcija popravi. Ta funkcija popravlja stablo tako da vrijedi 3. svojstvo AVL stabala.

Kako bismo si olakali posao, napravit emo funkciju osvjei vor koja e za dani vor ponovo

izraunati visinu podstabla i podatak o balansiranosti. Nju moramo pozvati i na kraju svake

rotacije. Funkcija popravi prima vor te prvo osvjei podatke u njemu. Nakon toga, ako je

podatak o balansiranosti vei od 1 po apsolutnoj vrijednosti, stablo nije balansirano pa ga

treba popraviti. Imamo stoga 2 (u biti 4) sluaja:


18/24

AVL stablo Binarna stabla Bruno Rahle

Stranica 18 od 24

ubaci(sad,x)

ako je sad == 0sad = novi vor(x)izai van

poveaj sad->n

ako je sad->vrijednost == x

poveaj sad->broja

izai van

ako je sad->vrijednost < xubaci(sad->d,x)

inae

ubaci(sad->l,x)

popravi(sad)

popravi(sad)

sad->osvjei()

ako jesad->bf == -2ako je sad->l->bf == -1

rotiraj(sad->l)

inae

rotiraj(sad->l->d)

rotiraj(sad->l)

ako je sad->bf == 2

ako je sad->d->bf == 1

rotiraj(sad->d)

inae

rotiraj(sad->d->l)

rotiraj(sad->d)

1. Podatak je jednak -2. To znai da je lijevo podstablo vie od desnog. Tu opetimamo dva sluaja:

a. Podatak u lijevom podstablu je jednak -1. To znai da je lijevo podstablolijevog djeteta vee od desnog podstabla lijevog djeteta. Ovakvu situacijuemo rijeiti desnom rotacijom veze izmeu trenutnog vora i njegovog

lijevog djeteta.

b. U suprotnom, znamo da je desno podstablo lijevog djeteta vee od lijevog.Ovakvu situaciju rjeavamo prvo rotacijom veze izmeu lijevog djeteta i

njegovog desnog te trenutnog vora i njegovog (novog) lijevog djeteta.

2. Podatak je jednak 2. To znai da je desno podstablo vie od lijevog. Sluaj jepotpuno simetrian prvome, pa tako imamo dva simetrina sluaja:

a. Podatak u desnom podstablu je jednak -1. To znai da je desno podstablodesnog djeteta vee od desnog podstabla lijevog djeteta. Ovakvu situaciju

emo rijeiti lijevom rotacijom veze izmeu trenutnog vora i njegovog

desnog djeteta.

b. U suprotnom, situaciju rjeavamo rotacijom veze izmeu desnog djeteta injegovog lijevog te trenutnog vora i njegovog (novog) lijevog djeteta.


19/24

Crveno crna stabla

Stranica 19 od 24

Crveno-crno stablo je samo balansirajue binarno stablo traenja. Kreirao ga je Rudolf

Bayer 1972. i nazvao ga simetrinim binarnim B stablom. Dananje ime nadjenuli su mu

Guibas i Sedgewick. U svojoj osnovi to je 2-3-4 stablo prikazano u obliku binarnog stabla. Od

tuda vue svoja svojstva:

1. Crveno-crno stablo je binarno stablo2. Svaka veza ima boju, crvenu ili crnu, a boja veze pridruena je djetetu3. Korijen je crn4. Vanjski vorovi su prazni i crni5. Oba djeteta crvenog vora su crna6. Broj crnih vorova na svakom putu od svakog vora u stablu do svih listova u

njegovom podstabluje jednak

Svojstva od 1. do 4. su jednostavna i o njima ne treba posebno raspravljati. 5. i 6. svojstvo

osigurava performanse u najgorim sluajevima te proizlaze iz svojstva 2-3-4 stabala. Crvene

veze su one unutar vora u 2-3-4 stablu. 5. svojstvo osigurava da se ne pojavljuju dva crvena

vora za redom. Treba primijetiti da 5. i 6. svojstvo zajedno osiguravaju da je najdui put u

najgorem sluaju najvie 2 puta vei od bilo kojeg drugog puta u stablu.

Karakteristike crveno-crnog stabla


Prosjean

sluaj

lg lg lg lgNajgori sluaj lg lg lg

Tablica 3 Karakteristike crveno-crnog stabla

Kako bismo dokazali tvrdnje iz Tablice 3, potrebno je dokazati da je dubina stabla s vorova . Uzmimo da je dubina podstabla vora te da je broj crnihvorova od vora (iskljuivo) na putu do bilo kojeg lista u podstablu. Vrijedi da je2 jer je broj crnih vorova najmanje jednak polovici ukupnog broja vorova naputu.

Lema

Broj vorova u podstablu vora najmanje jednak 2 1.


20/24

Crveno crno stablo Binarna stabla Bruno Rahle

Stranica 20 od 24

Dokaz:

Baza indukcije

Uzmimo vor takav da je = 0. Tada oito vrijedi jednakost jer je 2 1 = 2 1 = 0, a vor je list (jer je na dnu stabla) pa nema djece.Korak indukcije

Uzmimo vor takav da je = + 1. vor moe imati najvie dvoje djece, asvako njegovo dijete moe imati = , ako je dijete crveno, ili +1 =, ako je dijete crno. Svako dijete ima najmanje 2 1 djece, pa iz toga slijedi22 1 1 = 2 1, to dokazuje traenu tvrdnju.

Kako je

, moemo pisati da je

2

1. Manipulacijama dobijamo

sljedee: + 1 2 lg + 1 2 l g + 1 , ime smo dokazali da jedubina stabla .

Ubacivanje u crveno-crno stablo

U crveno-crno stablo element se ubacuje na sljedei nain:

1. Nae se mjesto na koje bi se ubacio element u binarnom stablu traenja te muse dodjeli crvena boja

2. Dokle god nisu zadovoljena sva svojstava, popravljamo stabloa. ako je vor koji promatramo korijen stabla, pobojamo ga u crno

Slika 5 Roditelj i ujak su crvene boje

b. ako su i roditelj i ujak vora crvene bojea) pobojamo ih u crnob)njihovog roditelja pobojamo u crveno

c. ako je roditelj vora crven, a ujak crn


21/24


Stranica 21 od 24

a) ako je vor desno dijete roditelja, a roditelj je lijevo dijete djeda(Slika 6 Sluaj alfa) ili je vor lijevo dijete roditelja, a roditelj

desno dijete djeda (Slika 7 Sluaj beta)

1.

rotiramo vezu izmeu njih2. vor koji promatramo postane vor koji je upravo postao

dijete

Slika 6 Sluaj alfa

Slika 7 Sluaj beta

b)rotiramo vezu izmeu roditelja i djeda

Slika 8 I otac i djed naginju na lijevu stranu


22/24


Stranica 22 od 24

ubaci(sad,x)ako je sad == 0

sad = novi vor(x)

izai van

poveaj sad->nako je sad->vrijednost == x

poveaj sad->broja

izai van

ako je sad->vrijednost < x

ubaci(sad->d,x)

inae

ubaci(sad->l,x)

popravi(sad)

popravi(sad)

sad->osvjei()

ako su sad->l i sad->d crveni

sad->l->boja = crna

sad->d->boja = crnaako su sad->l i sad->l->d crveni

rotiraj(sad->l->d)

ako su sad->d i sad->d->l crveni

rotiraj(sad->d->l)

ako su sad->l i sad->l->l crveni

rotiraj(sad->l)

ako su sad->d i sad->d->d crveni

rotiraj(sad->d)

Slika 9 I otac i djed naginju na desnu stranu


23/24

Zakljuak

Stranica 23 od 24

S obzirom da je raunalna znanost novo podruje, moemo rei da ono jo ne preuzima

sve uloge za koje je sposobno. To se odnosi na sve njene grane, pa tako i na podruje

struktura podataka u obliku binarnih stabala. Ipak, njihovu primjenu moemo nai u bazama

podataka kad je podatke mogue uitati u radnu memoriju.

Crveno crna stabla slue kao podloga strukturama koje nalazimo u standardima modernih

programskih jezika tako su recimo u C++ spremnici map i set izgraeni su upravo na toj

strukturi. Upravo su oni jako pridonijeli popularizaciji tog programskog jezika na

natjecanjima. Problemi koje ve gotove strukture rjeavaju su u biti dosta teki, a ako i nisu

teki onda su barem naporni. Primjer za to jest izbacivanje duplih elemenata iz nekog skupa.

To se moe rijeiti i sortiranjem, ali je puno prirodnije imati neku strukturu u koju emoubacivati elemente, a ona ne e prihvaati duplie (a to je upravo ono to set i jest).

S obzirom da je ovo podruje intenzivnog istraivanja, moemo oekivati da e se kroz

nekoliko desetljea binarna stabla korjenito promijeniti. Ovaj rad smatram premalim da

sadrajno u potpunosti obradi sve to se i danas zna o binarnim stablima jer su o njima

napisane cijele knjige, pa je stoga nerealno za oekivati da je mogue saeti sve informacije

na dvadesetak stranica. Ipak, mislim da stvari koje su odabrane su solidno obraene te da

svatko tko se njima bavi ili ga one zanimaju moe shvatiti to je to AVL stablo, kako se ono

izgrauje i ostale bitne informacije iz ovog maturalnog rada.


24/24

Bibliografija

St i 24 d 24

Brad Appleton,AVL Trees: Tutorial and C++ Implementation, [www.oopweb.com], uitano24. 4. 2009.

o [www.oopweb.com/Algorithms/Documents/AvlTrees/Volume/AvlTrees.htm] Robert Sedgewick,Algorithms in C++, Third Edition, Part 1-4, Addison Weasly Publishing

Companay, Inc., 1998.

Robert Sedgewick, Left Leaning Red-Black Trees, 2008, [http://www.cs.princeton.edu], uitano24. 4. 2009.

o [http://www.cs.princeton.edu/~rs/talks/LLRB/LLRB.pdf] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Cliford Stein, Introduction to

Algorithms, Second Edition, The MIT Presss, 2003.

Wikipedia, The Free Encyclopedia [http://en.wikipedia.org], uitano 24. 4. 2009.o AVL Tree [http://en.wikipedia.org/wiki/AVL_tree]o Binary Tree [http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_tree]o Binary Search Tree [http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_tree]o Data Structure [http://en.wikipedia.org/wiki/Data_structure]o List of Data Structures [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_data_structures]o Red-black Tree [http://en.wikipedia.org/wiki/Red-black_tree]o Self-balancing Binary Search Tree [http://en.wikipedia.org/wiki/Self-

balancing_binary_search_tree]