CIEKAWOSTKI

MATEMATYCZNE

√

Gimnazjum Publiczne im. Biskupa Leona Wetmańskiego w Sierpcu

czerwiec 2016

Wstęp

Niniejsza książeczka jest owocem kilkumiesięcznej pracy zespołu uczniów

z gimnazjalnej grupy projektowej.

„Podążamy tropem ciekawostek matematycznych” to jeden z czterech projektów

edukacyjnych realizowanych w Gimnazjum Publicznym im. Biskupa Leona Wetmańskiego

w Sierpcu w roku szkolnym 2015/2016. Grupa projektowa liczyła 16 uczniów, dla których

projekt był wyjściem naprzeciw ich potrzebom i dawał możliwość rozwoju

zainteresowań. Dla tych osób matematyka nie była i nie jest koniecznym złem, lecz

przyjemnym i pożytecznym dobrem. Udział w projekcie okazał się dla nich efektywną

przygodą na drodze edukacji matematycznej.

Gazetka zawiera wiele różnorodnych ciekawostek z dziedziny matematyki,

o których uczeń nie dowie się na lekcjach. Można tu znaleźć nietypowe własności figur

geometrycznych, mało znane własności liczb, ciekawe zadania-łamigłówki do

rozwiązania. Oprócz tego można poznać nowe pojęcia matematyczne czy też sprytne

sposoby liczenia. Nie brakuje ponadto anegdot o słynnych matematykach, wierszy

o „królowej nauk” i dawki humoru.

Życzymy miłej lektury!

2

Grupa projektowa

„Podążamy tropem ciekawostek matematycznych”

lll 1. Budka Jakub

2. Chojnacki Bartosz

3. Cichewicz Daria

4. Frąckiewicz Arkadiusz

5. Gruk Adam

6. Karczewski Patryk

7. Marjański Patryk

8. Miłek Dawid

9. Ostrowski Adam

10. Rogoziński Igor

11. Szymańska Joanna

12. Toniak Oliwia

13. Tyburski Hubert

14. Wierzbicki Paweł

15. Zalewska Anna

16. Żmijewski Radosław

Opiekun grupy: p. Kamil Czarnecki

3

Spis treści

Dlaczego nie ma Nagrody Nobla z matematyki? ............................................................. 4

„Recepta” na zadania tekstowe …………………………………………………………….………………..… 5

Piękny umysł ….………………..……………………………………………………………………………………….… 6

Anegdoty o sławnych matematykach ……………………………………………………………….………… 7

Niezwykła liczba π …………..…………………..………………………………..……………………………..…..… 9

Rekord Guinnesa w zapamiętywaniu liczby π …………………………………………………………… 11

Gwiazda pitagorejska …………………..………………………………………………………..…………..……… 12

Trójkąty pitagorejskie ………………..……………………………………………..………………………....…… 13

Silnia …………………..…………………………………………………………………………………………………….. 14

Trójkąt Pascala ……………………………………………………………………………………………………..…… 14

Twierdzenie Talesa ………………………………………………………….……………………..…………………. 16

Księżyce Hipokratesa ………………………………………………….……………………………………….…… 18

Trafienie „6” w Lotto …………………………………………………………………..……………………..…… 19

Pechowa liczba 13 ………………………………………………………………………………..…………….…… 20

Liczby palindromiczne ……………………………………………………………………………………………... 21

Liczby pierwsze i złożone …………………………………………….………………………………………… 22

Liczby bliźniacze ………………………….………………………………………………………………….……..… 22

Liczby lustrzane ……………………………………………………………….…………………………………..... 23

Liczby względnie pierwsze ……………………………………….………………………………………....… 23

Liczby zaprzyjaźnione ……………………………………………….………………………………………….... 23

Liczby trójkątne ……………………………………………………………………………………………….……… 24

Ślimak Teodorosa …………………………………………………………………………………………………… 26

Złota liczba i złoty podział odcinka ……………………………………………..……………………… 27

Liczby zespolone ……………………………………………………………..……………………………………… 29

Najpiękniejszy wzór matematyki …………………………………………………………..……………… 30

Legenda o wieży Hanoi ………………………………………………………………………………………… 31

Figura geometryczna o polu równym zero ………………………………………………………… 32

Kostka Rubika ………………………………………..…………………………………….………………………… 33

Rzymski system zapisywania liczb ……………………………………………………………….……… 35

Nieskończoność i googol ……………………………………………………………………………………… 37

Jak to możliwe? …………………………………………………………………………………………………… 38

Dziura budżetowa – kto winny? …………………………………….……………………………….… 39

Najtańsza furmanka …….………………………………………………………………………………………… 40

Honorarium wynalazcy ………………………………………………………………………………..………… 40

Cykloida …………………………………………………………………………………………………………….….… 41

4

Matematyka jest to królowa wszystkich nauk, jej ulubieńcem jest prawda, a prostość

i oczywistość jej strojem.”

Jan Śniadecki

„W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki.”

Immanuel Kant

„Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.”

Roger Bacon

„Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie

zna matematyki, nie może poznać innych nauk ścisłych i nie może poznać świata.”

Roger Bacon

„Matematyka jest delikatnym kwiatem, który rośnie nie na każdej glebie i zakwita nie

wiadomo kiedy i jak.”

Jean Fabre

„Matematyk zrobi to lepiej.”

Hugo Steinhaus

Dlaczego nie ma Nagrody Nobla z matematyki? Oto najczęściej przytaczane powody:

• Nobel zakochał się w matematyczce rosyjskiej Sophie Kowalewskiej (1850-1891), która dała mu kosza. Z rozpaczy do końca życia został kawalerem, a matematyków wykluczył w swym testamencie.

• Nobel był zakochany w dziewczynie, która wybrała jednak szwedzkiego matematyka Magnusa Gustawa Mittag-Lefflera (1846-1927). W efekcie Nobel do końca życia został kawalerem i wykluczył matematyków w swym testamencie – z obawy, że jednym z ówczesnych pretendentów do nagrody mógłby zostać znienawidzony rywal.

5

„Recepta” na zadania tekstowe

By zrozumieć sens zadania,

musisz zacząć od czytania.

Czytaj nawet kilka razy,

pomalutku śledź wyrazy.

A gdy zrobisz to ćwiczenie,

weź za tekstu się streszczenie.

Zrób rysunek, przyjacielu,

by być jeszcze bliżej celu.

Wypisz wszystko, co masz dane,

potem weź się za szukanie.

Gdy zrobiłeś już to wszystko,

możesz mówić, żeś jest blisko.

Teraz ułóż już działanie

i rozwiązuj swe zadanie.

Nie myśl jednak, że skończyłeś

- sprawdź, czy błędu nie zrobiłeś.

Znane przecież to stwierdzenie:

rzeczą ludzką jest błądzenie.

Poświęć czas swój na sprawdzanie,

czy masz dobre rozwiązanie.

Gdy w porządku wszystko masz,

zaraz swą odpowiedź dasz.

Cała praca jest gotowa

- i spokojna Twoja głowa!

6

Piękny umysł

„...Matematyka jest formą sztuki. Bez względu na to, co wam mówią inni...”

John Nash

Powyższe słowa w pełni odzwierciedlają głęboką fascynację „królową nauk” oraz stan

ducha głównego bohatera filmu pt. „Piękny umysł” (2001 r.) w reżyserii Rona Howarda.

Mowa tu oczywiście o Johnie Nash'u – wybitnym matematyku, nobliście, badaczu teorii gier,

twórcy teorii równowagi.

Główny motyw filmu nie jest jednak skupiony wokół Nash'a jako matematyka, lecz

przede wszystkim jako człowieka o wielkim sercu, zmagającego się z chorobą. Schizofrenia

paranoidalna to cena, jaką musi zapłacić za swoją wybitność. Współpraca z wywiadem

wojskowym miała mu przynieść upragnioną satysfakcję. Czy aby na pewno tak się stało?

Dzięki wspaniałej grze aktorskiej Russell’a Crowe’a oraz Jennifer Connelly możemy

z pełnym napięciem śledzić losy matematyka. Godna uznania jest również ścieżka

dźwiękowa autorstwa James'a Horner'a. Niezwykle dopasowana, pomaga widzom wczuć się

w akcję filmu.

„Piękny umysł” to wybitne dzieło amerykańskiej kinematografii. Film utwierdza

w przekonaniu, ze dzięki miłości i wsparciu bliskich osób jesteśmy w stanie pokonać wszelkie

trudności. Niezwykle ważne są również upór w dążeniu do celu i ambicja, bo przecież

„...wielkie rzeczy osiąga się wielkim kosztem...”. Film skłania nas do refleksji nad

samorealizacją. Może być inspiracją do kreatywnego myślenia i alternatywnych rozwiązań,

dlatego powinien spodobać się nie tylko wielbicielom matematyki, ale też wszystkim

życiowym maksymalistom.

John Forbes Nash, 1928-2015

7

Anegdoty o sławnych matematykach

Tales z Miletu, obserwując gwiazdy, wpadł w ciemności do studni. Wtedy piękna niewolnica

rzekła, że chciał zobaczyć co się dzieje na niebie, a nie dostrzega tego, co znajduje się na

ziemi tuż pod jego nogami.

Kartezjusz był już za życia bardzo sławny i wizyty składało mu wielu uczonych. Na prośbę, by

pokazał im swój warsztat geometryczny, Kartezjusz wyjmował z małej szuflady cyrkiel ze

złamaną nóżką, a zamiast linijki używał złożonej na pół kartki.

Pewnego razu Izaak Newton zaprosił na obiad przyjaciela, ale zapomniał o tym uprzedzić

służbę. Gdy gość się zjawił, zobaczył na stole jedno nakrycie, a stwierdziwszy, że Newton

akurat dokonuje obliczeń, zjadł obiad i – nie chcąc przeszkadzać – wyszedł. - To dziwne –

rzekł uczony skończywszy pracę. – Gdyby nie dowody rzeczowe, które stoją na stole,

mógłbym sądzić, że nie jadłem dziś obiadu…

Leonardowi Eulerowi zadano zagadkę: Dwa pociągi odległe o 60 km zbliżają się po tym

samym torze z prędkością 60 km/h. Między nimi lata mucha. Zaczyna ze środka, dolatuje do

pierwszego pociągu, zawraca, leci do drugiego, itd. Mucha lata z prędkością 20 km/h. Jaką

drogę przeleci mucha zanim pociągi się zderzą? Euler od razu odpowiedział, że 10 km. Na to

rozmówca powiedział z podziwem: No, od razu wpadłeś na prosty sposób. Większość ludzi

próbuje zsumować nieskończony ciąg. Na to Euler odpowiedział: Ale ja właśnie to zrobiłem!

Stefan Banach znany był ze swej niechęci do procedur akademickich. Był sławny na całym

świecie ze swoich osiągnięć naukowych, a nie miał doktoratu. Żeby uzyskać doktorat,

należało złożyć pracę doktorską oraz zdać egzamin przed specjalną komisją. Z tym pierwszym

nie było problemu – wystarczyło zebrać jego prace naukowe. Poważnym problemem był

jednak ów egzamin, bowiem Banachowi absolutnie nie chciało się go zdawać. Wtedy władze

Wydziału Matematycznego Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie wymyśliły fortel.

Wiedząc, że Banach był entuzjastą dyskusji naukowych, koledzy poinformowali go, że

w sekretariacie jest grupa matematyków z Warszawy, która chciałaby przedyskutować z nim

kilka problemów matematycznych i on na pewno będzie mógł im pomóc. Banach

z przyjemnością przybył na spotkanie i ochoczo odpowiadał na pytania. Następnego dnia

dowiedział się ze zdziwieniem, że znakomicie zdał egzamin doktorski.

Zapytano pewnego razu Alberta Einsteina, w jaki sposób pojawiają się odkrycia, które

przeobrażają świat. Wieli fizyk odpowiedział: Bardzo prosto. Wszyscy wiedzą, że czegoś

zrobić nie można. Ale przypadkowo znajduje się jakiś nieuk, który tego nie wie. I on właśnie

robi odkrycie.

8

Dziennikarz spytał panią Einstein, co myśli o swoim mężu. Mój mąż to geniusz! On umie

robić absolutnie wszystko, z wyjątkiem pieniędzy. Einstein nie potrafił bez pomocy drugiej

osoby wypełnić deklaracji podatkowej. Mawiał, że to jest zbyt skomplikowane dla

matematyka i do tego trzeba być filozofem.

Na Uniwersytecie w Princeton po terenie kampusu kursował autobus uniwersytecki, a jego

trasę poprowadzono tak, by jeden z jego przystanków wypadał przy domu Einsteina. Było to

spowodowane tym, że Einstein był kiepskim kierowcą. Często zdarzało mu się zabłądzić

wśród uliczek Princeton i wjeżdżać pod prąd w ulicę jednokierunkową. Wtedy zostawiał

samochód tam, gdzie stanął i szedł na posterunek policji, prosząc by „odstawić profesora

Einsteina do domu”. Autobus uniwersytecki miał rozwiązać te problemy. Jednak często

widywano w nim Einsteina zaciekle dyskutującego ze znajomym i zapominającego wysiąść

na „swoim” przystanku.

Na Uniwersytecie Jagiellońskim student zdaje egzamin u Franciszka Lei. Pada pytanie: Proszę

napisać asymptotyczny wzór Stirlinga na funkcję Gamma. Nastąpiła chwila wiele mówiącej

ciszy, przerwana wyznaniem studenta: Niestety, zapomniałem. Na to Lei: Wie pan, ja też

zapomniałem, ale tak się składa, że to pan zdaje egzamin, a nie ja.

Na wykładzie Andrzej Białynicki-Birula używał w kółko dwóch greckich liter: „psi” i „ksi”.

W pewnym momencie jeden ze słuchaczy podniósł się z miejsca i ruszył do wyjścia

oświadczając sąsiadom: Na tym wykładzie mi się psi-ksi.

Geniusz matematyczny Carla Gaussa dał o sobie znać bardzo wcześnie. Jako malec sam

nauczył się czytać, wypytując starszych o wymowę liter alfabetu, a także opanował

samodzielnie proste rachunki. Często później wspominał, że nauczył się rachować, zanim

jeszcze zaczął mówić. Nauczyciel matematyki w szkole, do której poszedł Gauss, lubił mieć

sporo spokoju na lekcjach – dawał dzieciom do wykonania mozolne rachunki. Kiedy Gauss

znalazł się w klasie arytmetyki, na jednej z pierwszych lekcji nauczyciel polecił dzieciom

zsumować wszystkie liczby od 1 do 40. Ledwie skończył dyktować zadanie, mały Gauss

położył na katedrze swoją tabliczkę z rozwiązaniem. Inne dzieci męczyły się bardzo długo

i wszystkie pomyliły się w rachunkach. Tymczasem młody Carl spostrzegł od razu, że w tym

szeregu liczb suma liczb pierwszej i ostatniej, drugiej i przedostatniej itd. wynosi zawsze 41,

więc mnożąc 41 przez liczbę par, czyli 20, otrzymał prawidłowy wynik 820.

9

Niezwykła liczba π

Pi (π) jest stosunkiem długości okręgu do długości jego średnicy. Stosunek ten jest taki sam dla wszystkich okręgów i wynosi

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 5820…

W podręcznikach z matematyki liczbę Pi zapisuje się najczęściej z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku:

π ≈ 3,14

π jest liczbą niewymierną (nie można jej przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych). Tym samym nie jest liczbą okresową. Pierwszym, który użył greckiej litery π do oznaczenia stosunku obwodu okręgu do jego promienia był brytyjski matematyk William Jones (1706 r.). Matematycy od dawna starają się wyznaczyć jak najwięcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczy π. W 1610 r. Ludolf van Ceulen podał 35 cyfr po przecinku. Na jego cześć liczba ta czasem nazywana jest ludolfiną. W 1874 r. angielski matematyk William Shanks podał 707 cyfr po przecinku, jednak pomylił się przy obliczaniu 528. Liczba π, w jednym ze swoich przybliżeń (jako stosunek 3:1), jest wspomniana w Biblii: ,,Następnie sporządził odlew ,,morza” o średnicy dziesięciu łokci, okrągłego, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (II Księga Królewska, Rozdział 7, Werset 23). Czyli

10

okrąg o średnicy dziesięciu łokci miał mieć obwód trzydziestu łokci. Takiego samego przybliżenia używali w obliczeniach Babilończycy.

Starożytni Egipcjanie używali innej metody na przybliżenie liczby pi:

. Taka formuła

daje wartość około 3,1605. Próby teoretycznego oszacowania wartości liczby pi podjął się genialny matematyk starożytny Archimedes. Archimedes doszedł do następującego wniosku:

Z liczbą π powiązane jest nierozwiązywalne zagadnienie o nazwie ,,kwadratura koła”. Polega ono na (niemożliwym w praktyce) wykreślaniu kwadratu o tej samej powierzchni co koło. W 1897 roku lekarz z Indiany o nazwisku Edward J. Goodwin stwierdził, że dokonał kwadratury koła. Był jednak mały szkopuł - z wykreślonych przez niego figur wynikało, że pi wynosi 3,2. Pi to jedyna liczba, która ma swoje święto. Pierwsze obchody Dnia Liczby Pi miały miejsce 14 marca 1988r. w muzeum nauki Exploratorium w San Francisco. W 2009 r. stało się ono oficjalne w USA – uchwałą Izby Reprezentantów. Dziś nie tylko w USA, ale na całym świecie (również w Polsce) cieszy się ono nieprzeciętną popularnością. Datę 14 marca wybrano nieprzypadkowo – w formacie amerykańskim zapisuje się ją jako 3.14.

Z okazji Święta liczby Pi w USA pieczone są okrągłe placki ( ,,pie” nazywa się podobnie jak ,,pi”) i dyskutuje się o dziwnych właściwościach tej liczby .

Jako ciekawostkę można podać, iż jeden rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π·107·c.

Uczeni, szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową

informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę

i rozpoznają nasz komunikat.

Liczba Pi liczy sobie ok. 4000 lat.

11

Rekord Guinnesa w zapamiętywaniu liczby π

4 października 2006 r. 60-letni Japończyk pobił rekord Guinnesa w zapamiętywaniu ilości cyfr po przecinku składających się na liczbę Pi. Zapamiętał ich 100.000. Pokonał tym samym rekord ustanowiony przez samego siebie w 1995 roku, a wynoszący 83.431 miejsc po przecinku.

Haraguchi Akira potrzebował ponad 16 godzin, aby wyrecytować ów obszerny ciąg cyfr. Zaczął recytować we wtorek dokładnie o godzinie 00:00 , a zakończył w środę o godzinie 16:28. Co dwie godziny robił sobie przerwę na WC oraz posiłek składający się z kulek ryżowych. Jego wysiłek był cały czas monitorowany przez dwóch miejscowych urzędników oraz dokumentowany przez zamieszczoną na sali kamerę.

W 2002 roku naukowcy z Uniwersytetu w Tokio, wspomagani przez superkomputer, ustanowili światowy rekord w dokładności zapisu liczby Pi: 1,24 tryliona miejsc po przecinku.

Kłopoty z niewymiernością

Uskarżała się liczba π, że średnica z niej często kpi: czy takie coś niewymierne

może być wiarygodne i pewne? Odezwał się śmiało promień:

Oj, doceń tę liczbę, doceń, bo nawet z dużym mozołem

nie zdołasz rozliczyć się z kołem.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Dlaczego jadący pociąg stuka kołami? - ……??? - A jaki jest wzór na obwód koła? - 2πr. - A ile to jest π? - 3 z hakiem. - No i właśnie ten hak stuka…

12

Gwiazda pitagorejska

Umiłowaną figurą geometryczną i symbolem doskonałości dla pitagorejczyków – był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

Gwiazda pitagorejska posiada pewne wyróżniające ją własności. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej "tworzą" trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c.

Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli takiego podziału odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części większej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.

Czy wiesz, że… Pitagoras:

wierzył w reinkarnację, sam uważał

się za wcielenie Euforbusa

(bohatera spod Troi)

był wegetarianinem

uważał, że nie wolno nosić

wełnianej odzieży

sądził, że należy pić tylko wodę

i jeść surowe pożywienie, gdyż

wszystkie choroby są

spowodowane niestrawnością

nie znosił fasoli, gdyż wyglądem

przypominała mu genitalia, i nigdy

jej nie jadł, ponieważ powodowała

wzdęcia. Niektóre źródła podają, że

wrogowie Pitagorasa podpalili mu

dom, a uciekający Pitagoras

napotkał pole fasoli i oświadczył, iż

woli dać się zabić niż przez nie

przejść. Wrogowie skwapliwie to

wykorzystali…

13

Trójkąty pitagorejskie

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone

liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich:

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są

kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był

używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie (przy odnawianiu

granic gruntowych zmywanych corocznymi wylewami Nilu). Trójkąt egipski jest

najmniejszym trójkątem pitagorejskim.

Pitagoras przekazał potomnym wzory do wyszukiwania długości boków a, b, c trójkątów pitagorejskich:

a=2n+1, b=2n(n+1), c=2n2+2n+1,

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną większą od zera.

14

Silnia

Silnia liczby naturalnej n to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Silnię liczby naturalnej n oznaczamy symbolem n! (czytamy en silnia). Mamy zatem:

Przykłady: 3!=1⋅2⋅3=6 4!=1⋅2⋅3⋅4=24 6!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6=720 10!=1⋅2⋅3...⋅9⋅10=3628800 5! - 2! ⋅ 4! = 120 - 2 ⋅ 24 = 120 - 48 = 72

Silnię można również zdefiniować rekurencyjnie:

Symbol silni pozwala w prosty i krótki sposób zapisywać długie iloczyny liczb. Jak widać na powyższych przykładach, wartość silni bardzo szybko rośnie – już dla liczby 17! jej zapis w systemie dziesiętnym składa się aż z 15 cyfr. Okazuje się, że liczba 100! zapisana w systemie dziesiętnym składa się już ze 157 cyfr! Silnia ma duże zastosowanie w kombinatoryce i prawdopodobieństwie. Np. na 7! różnych sposobów można ustawić siedem osób w kolejce w sklepie…

Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1,

a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi

wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu

każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki. Tablica ta została odkryta na przełomie

XI i XII wieku przez Chińczyków. W XVII wieku matematyk francuski Blaise Pascal

połączył rozważania nad teorią prawdopodobieństwa z tym trójkątem. Osiągnął tak

znakomite wyniki, że trójkąt ten został nazwany jego nazwiskiem.

15

Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi sumy a+b (zwanej często dwumianem). Korzysta się tutaj ze wzoru Newtona na rozwinięcie n-tej potęgi dwumianu:

gdzie oznacza symbol Newtona i jest równe

.

Trójkąt Pascala pozwala wyprowadzić wzory skróconego mnożenia.

Sumy liczb w poziomych rzędach trójkąta Pascala to kolejne potęgi liczby 2.

Rzeczą ciekawą może być fakt, iż znalazł on szerokie zastosowanie w genetyce.

16

Twierdzenie Talesa

Tales urodził się ok. 624 roku p.n.e. w Milecie (obecnie na terenie Turcji). Przez większą

część życia był kupcem. Ponadto był filozofem i matematykiem, łączył poświęcenie nauce

z uprawianiem sportu. Niejeden raz zdobywał olimpijskie laury. Wszystkich zadziwiał swoją

znajomością geometrii i astronomii, szczególnie po tym, gdy przewidział całkowite zaćmienie

Słońca w 585 r. p.n.e.

Talesowi z Miletu tradycja przypisuje sformułowanie ważnego twierdzenia w geometrii.

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odpowiednie odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kąta.

17

Korzystając z twierdzenia Talesa znajdziemy długość odcinka x w poniższym zadaniu.

Często spotykaną nieścisłością jest układanie proporcji takiej jak w typowym

przykładzie poniżej o drzewie oraz cieniu i mówienie, że wynika ona z twierdzenia

Talesa. Równość ta jest jak najbardziej prawdziwa, ale jest ona konsekwencją

podobieństwa trójkątów, a nie twierdzenia Talesa.

18

Księżyce Hipokratesa

Księżyce Hipokratesa to figury o płaskim kształcie, przypominające sierpy

Księżyca. Są one ograniczone łukami okręgu opisanego na wielokącie oraz

półokręgami, których średnicami są boki danego wielokąta. Figury takie rozważał

Hipokrates z Chios, starożytny matematyk, badacz geometrii. To on

wymyślił ,,rozumowanie poprzez sprowadzanie do absurdu’’. Rozumowanie takie

pozwala ustalić prawdziwość twierdzenia poprzez udowodnienie, że twierdzenie

przeciwne prowadzi do absurdu.

Konstrukcje księżyców wykonuje się konstruując najpierw dany wielokąt,

następnie opisując na nim okrąg i wyznaczając środki wszystkich boków tego

wielokąta. Ostatnia czynność to narysowanie półokręgów ze wszystkich środków

boków o promieniu równym połowie odpowiedniego boku. Księżyce można

skonstruować na każdym wielokącie, na którym da się opisać okrąg (tzn. wtedy i tylko

wtedy, gdy symetralne wszystkich boków wielokąta przecinają się w jednym punkcie).

W przypadku trójkąta prostokątnego nie ma księżyca zbudowanego na

przeciwprostokątnej, gdyż dla trójkąta prostokątnego środek przeciwprostokątnej

jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Na uwagę zasługuje następująca własność:

Jeśli wielokąt jest trójkątem prostokątnym, kwadratem lub prostokątem, to suma pól księżyców Hipokratesa zbudowanych na bokach tej figury jest równa polu tego trójkąta prostokątnego, kwadratu, prostokąta (odpowiednio).

Hipokrates rozważał księżyce jako konstrukcję pomocniczą w pracy nad

problemem kwadratury koła – zadaniem geometrycznym, polegającym na

skonstruowaniu kwadratu o polu równym polu powierzchni danego koła

(w późniejszym czasie okazało się to zagadnienie nierozwiązywalne).

19

Trafienie „6” w Lotto

W grze Duży Lotek mamy do czynienia z 49 kulami ponumerowanymi liczbami od

1 do 49. Losowanych jest sześć kul. Zastanówmy się, ile możliwych zestawów

sześcioliczbowych można wylosować z pudełka zawierającego 49 liczb.

Należy się odwołać do jednej z dziedzin matematyki zwanej kombinatoryką. Musimy

policzyć liczbę kombinacji sześcioelementowych zbioru złożonego z 49 elementów.

Posłużymy się symbolem Newtona:

Powyższa liczba jest równa 13 983 816. Tyle jest zatem różnych wyników losowania

w Lotto. Poniższa tabela przedstawia prawdopodobieństwo trafienia szóstki, piątki,

czwórki i trójki.

Jeśli skreślimy tylko jedną szóstkę, to szansa na wygraną wyniesie jak 1 do ok. 14 mln.

Ale jeżeli wybierzemy sto różnych zestawów sześcioliczbowych, to szansa na wygraną

zwiększy się już do 1:139838. By mieć pewność na trafienie szóstki, trzeba skreślić

wszystkie możliwe kombinacje (tzn. wszystkie 13983816 zestawów

sześcioliczbowych). A to kosztowałoby ponad 40 mln zł!

20

Pechowa liczba 13

Liczba 13 od dawna jest synonimem pecha. Dlaczego właśnie tej liczbie nadaje się

negatywną moc i czyni odpowiedzialną za zło, które nam się przydarza?

Powodów jest wiele. Już starożytni Babilończycy uważali, że 13 jest najbardziej

pechową spośród wszystkich liczb. Cały świat opierał się przecież na liczbie 12: było

12 miesięcy w roku, 12 znaków zodiaku, 12 godzin dnia i 12 godzin nocy. Liczba 12

stała się symbolem szczęścia i ładu. Cyfra następująca po niej oznaczała zburzenie

panującego porządku, była synonimem zamętu i zniszczenia.

k Trzynastka jako pierwsza liczba wykraczała poza przyjęty kanon. Nazywano ją

„diabelskim tuzinem” i przypisywano nieszczęśliwe wydarzenia. Np. ojciec Aleksandra

Macedońskiego – Filip – zginął tuż po tym, jak postawił trzynasty posąg (swój) obok

dwunastu greckich bogów. W średniowieczu wierzono, iż właśnie w piątek

trzynastego czarownice umawiają się na sabat. Aby tradycji „złej trzynastki” stało się

zadość, podczas świąt wybierano trzynastu ludzi mających utożsamiać

najważniejszych bogów. Jednego z nich zamykano w odosobnieniu i po ceremonii

uroczyście uśmiercano.

W starożytnym Egipcie drabina wiodąca do wieczności miała 13 stopni.

Egipcjanie, wierzyli, że człowiek ma 12 etapów życia, a trzynastym etapem jest

śmierć. Właśnie strach przed śmiercią nadał liczbie 13 złowrogie znaczenie.

Tradycja chrześcijańska równie negatywnie postrzegała liczbę 13. Łączyło się to

z wydarzeniem ostatniej wieczerzy, na której znajdowało się 13 osób (Jezus wraz

z dwunastoma apostołami). Judasz jako zdrajca uznawany jest za trzynastego członka

wieczerzy.

W wielu pokojach na świecie nie istnieją pokoje o numerze 13, a w wielu

samolotach nie ma miejsc o tej numeracji. Marynarze niechętnie wypływają w rejs

trzynastego dnia miesiąca.

21

Liczby palindromiczne

Liczba palindromiczna to liczba naturalna, która przy czytaniu od lewej strony do

prawej i odwrotnie jest jednakowa. Czasami taką liczbę nazywa się również

symetryczną. Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był starożytny grecki poeta –

Sotades z Maronei.

Przykłady palindromów: 121 5 70307 39877893

88 9229 1000000000001 4444444

Poniższa tabela przedstawia ilość palindromów w poszczególnych przedziałach

liczbowych.

Ciekawostką matematyczną jest to, że każdy palindrom w systemie dziesiętnym

złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

K

h

Czy połowy są równe???

22

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza to taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki

naturalne: jedynkę i samą siebie. Z samej definicji wynika, że najmniejszą liczbą

pierwszą jest 1.

Najpopularniejszym algorytmem wyznaczania liczb pierwszych jest Sito Eratostenesa. Oto algorytm:

ze zbioru liczb naturalnych z przedziału [2,n] wybieramy najmniejszą liczbę 2

i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej.

z pozostałych liczb wybieramy najmniejszą niewykreśloną liczbę (jest to liczba

3) i usuwamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej.

wykreślanie powtarzamy do momentu gdy liczba i, której wielokrotność

wykreślamy będzie większa niż pierwiastek z liczby n.

wszystkie niewykreślone liczby z przedziału [2,n] są liczbami pierwszymi.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa

dzielniki naturalne (czyli która nie jest liczbą pierwszą), nazywamy liczbą złożoną.

Najmniejszą liczbą złożoną jest 4.

Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2.

Przykładami par liczb bliźniaczych są:

3 i 5 5 i 7 11 i 13 17 i 19 29 i 31 41 i 43 59 i 61

Dla każdej pary liczb bliźniaczych istnieje pomiędzy nimi liczba podzielna przez 6. Do

dziś nie wiadomo, czy par liczb bliźniaczych jest skończenie czy nieskończenie wiele.

23

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby naturalne, które są swoim odbiciem

lustrzanym (tzn. cyfry drugiej liczby zapisane są w odwrotnej kolejności). Przykładami

par liczb lustrzanych są:

43 i 34 481 i 184 974 i 479 5738 i 8375 2735641 i 1465372

Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze to takie dwie liczby całkowite, których największym

wspólnym dzielnikiem jest liczba 1. W rozkładzie takich liczb na czynniki pierwsze nie

może występować wspólny dzielnik. Przykładami par liczb względnie pierwszych są:

1 i 5 2 i 9 7 i 8 15 i 28 6 i 25 16 i 21 81 i 100

Najmniejsza wspólna wielokrotność dla takich liczb jest równa iloczynowi tych liczb.

Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą. Faktem jest również, że

dwie kolejne liczby naturalne są zawsze względnie pierwsze.

Liczby zaprzyjaźnione

Kiedyś zapytano Pitagorasa: - Co to jest przyjaciel?. On odpowiedział: - Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284.

Liczby zaprzyjaźnione to takie dwie liczby naturalne, że każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) drugiej liczby.

W starożytnych tekstach pojawiała się para liczb 220 i 284 jako liczby

zaprzyjaźnione. Była to wówczas jedyna para jaką znano o takich własnościach. Dzisiaj

wiemy, że są to najmniejsze liczby zaprzyjaźnione. Sprawdźmy, jak liczby 220 i 284

spełniają warunek „przyjaźni”:

D284 = {1,2,4,71,142,284} D220 = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220}

220 = 1+2+4+71+142 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110

Od XVI wieku liczby o takich własnościach badano i szukano w Europie. Szukaniem zajmowali się między innymi sławni matematycy Pierre de Fermat i Kartezjusz. W XVIII w. Euler przedstawił listę zawierającą kilkadziesiąt par liczb zaprzyjaźnionych, choć później okazało się, że dwie pary nie są przyjaciółmi. Ale to

24

żaden z nich nie znalazł drugiej pary (1184,1210), która została odkryta przez szesnastoletniego Włocha o nazwisku Paganini w 1866 r. Obecnie znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów par liczb zaprzyjaźnionych:

A B

220 1 184 2 620 5 020 6 232

10 744 12 285 17 296 63 020 66 928

9 363 584

284 1 210 2 924 5 564 6 368

10 856 14 595 18 416 76 084 66 992

9 437 056

W starożytności jedynej znanej parze liczb zaprzyjaźnionych przypisywano

cudowne moce. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami

zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

Liczby trójkątne

Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy trzeba pamiętać,

by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.

Po ułożeniu podstawy musimy utworzyć na niej ścianę zawierającą o jeden klocek

mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich

n-1. Układamy tak długo aż na górze zostanie jeden klocek. Powstaje w ten sposób

trójkąt równoboczny o boku długości n klocków. Gdy piramida jest skończona,

powstaje jedno pytanie – ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej

z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, ponieważ jest ona zawszę sumą

kolejnych liczb naturalnych od 1 do n (dla n>0). Liczbę tę nazwano trójkątną.

Każdą liczbę trójkątną można obliczyć na podstawie dwóch wzorów:

25

Początkowymi liczbami trójkątnymi są:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …

Geometryczna ilustracja liczb trójkątnych jest ściśle związana z trójkątami

równobocznymi:

Dawka humoru …

☻ Po klasówce z matematyki rozmawia dwóch kolegów. - Ile zadań rozwiązałeś? - Ani jednego. A ty? - Ja też ani jednego. I pani znowu powie, że ściągaliśmy od siebie.

☻ Nauczycielka matematyki pyta Jasia: - Jasiu, jakie działanie zastosujesz, jeśli chcesz z trzech desek zrobić sześć? - Piłowanie, proszę Pani.

26

Ślimak Teodorosa

Ślimak Teodorosa to w matematyce konstrukcja geometryczna pozwalająca

stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z liczby naturalnej.

Pomysł konstrukcji opiera się na budowaniu trójkątów prostokątnych i na stosowaniu

twierdzenia Pitagorasa. Pierwszy trójkąt jest równoramienny, a jego przyprostokątne

mają długość 1. Wobec tego jego przeciwprostokątna ma długość równą

pierwiastkowi z liczby 2. Każdy kolejny trójkąt zbudowany jest z przyprostokątnych

o następujących długościach: jedna ma długość 1, a druga ma długość równą długości

przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta. Nietrudno zauważyć, iż n–ty trójkąt

„ślimaka” ma przeciwprostokątną o długości pierwiastka z liczby n+1.

Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia starożytnego greckiego matematyka i filozofa,

Teodorosa z Cyreny. W oryginale konstrukcja kończyła się na , gdyż później

„ślimak” zaczyna się zawijać (trójkąty nakładają się na poprzednio konstruowane).

27

Złota liczba i złoty podział odcinka

Złota liczba była znana już starożytnym Grekom. Jest ona ściśle związana z tzw.

złotym podziałem odcinka. Polega on na takim podzieleniu odcinka na dwie części,

aby stosunek długości dłuższej części do krótszej był taki sam, jak stosunek długości

dłuższej części do długości całego odcinka. Liczbę równą każdemu z tych stosunków

nazywa się złotą liczbą i oznacza najczęściej symbolem greckiej litery „fi”: ϕ.

Z powyższej proporcji można utworzyć równanie kwadratowe w sposób

przedstawiony poniżej, które ma dwa rozwiązania.

Liczba ϕ wyraża stosunek długości odcinków, jest zatem dodatnia. Drugie rozwiązanie

równania jest liczbą ujemną, więc wartość liczby ϕ wynosi:

Najważniejsze własności złotej liczby:

jest liczbą niewymierną

jej przybliżenie wynosi 1,62

28

jest dodatnim rozwiązaniem równania kwadratowego

jeśli podniesiemy ją do kwadratu, to otrzymamy liczbę o 1 większą

odwrotność złotej liczby jest o 1 mniejsza od niej.

Złoty podział znany był już w starożytności. Przykładowo, w gwieździe pitagorejskiej

mamy do czynienia z wieloma złotymi podziałami odcinków.

Złoty podział zadziwiał przez stulecia matematyków, architektów, botaników,

fizyków i artystów. Był wykorzystywany często w kompozycjach architektonicznych,

malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu

wyjątkowe walory estetyczne. Złoty podział zastosowano np. w rzymskim Panteonie,

piramidzie w Gizie czy siedzibie ONZ w Nowym Jorku. Co najmniej do XX wieku wielu

artystów i architektów tworzyło swoje dzieła z zachowaniem złotego stosunku –

szczególnie w formie złotego prostokąta, w którym stosunek dłuższego boku do

krótszego jest równy złotej proporcji.

Ciekawostką zasługującą na uwagę jest fakt, iż stosunek liczby pszczół płci

żeńskiej do liczby trutni w jakimkolwiek ulu na świecie wynosi ϕ. Ponadto, nasiona

słonecznika rosną w dwóch przeciwnych sobie spiralach, a stosunek średnic obrotu

dwóch kolejnych spiral wynosi ϕ.

29

Liczby zespolone

Liczby zespolone wprowadzono z powodu konieczności wyciągania pierwiastków

z liczb ujemnych. W edukacji szkolnej mówi się, że "nie wolno wyciągać pierwiastka

z liczby ujemnej". Prawda ta zostaje całkowicie zburzona na studiach wyższych, gdy

zaczynamy poznawać liczby zespolone. Dowiadujemy się wówczas, że równanie

kwadratowe ma rozwiązanie. Jest oczywiście nim liczba, której kwadrat

wynosi . Oznaczono ją przez i i nazwano jednostką urojoną.

Z powyższego wynika, iż . Ale jak dokładnie wyglądają liczby zespolone?

Ogólna postać liczby zespolonej to

gdzie a, b to dowolne liczby rzeczywiste. Każdą liczbę zespoloną można przedstawić

jako sumę liczby rzeczywistej i urojonej. Zauważmy, że jeśli b=0, to otrzymujemy

zwykłą liczbę rzeczywistą, a jeśli a=0, to otrzymujemy liczbę czysto urojoną. Oto

przykładowe liczby zespolone:

Kwadrat liczby czysto urojonej jest ujemny, np. ,

Droga liczb zespolonych była długa. Potrzeba było kilku wieków, by te nowe

liczby uzyskały prawo do matematycznego istnienia. Wprowadzenie liczb zespolonych

w XVI wieku nie miało żadnego uzasadnienia logicznego ani oparcia o intuicję

kierowaną przez zjawiska przyrody. Wskutek tego powstały kontrowersje między

matematykami, z których jedni używali tych liczb bez skrępowania, a inni zaprzeczali

ich istnieniu.

30

W 1545 r. Girolamo Cardano jako pierwszy złamał zakaz, zapisując pierwiastek ujemny. W 1748 r. Euler wprowadził je do analizy w swym fundamentalnym dziele "Introductio in analysin infinitorum" powodując tym istotny postęp analizy matematycznej. Wkrótce stało się jasne, że liczby zespolone - mimo że brak im uzasadnienia logicznego - są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych. Początek wieku XIX zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyż przyniósł ściśle ich uzasadnienie. Pierwsze z nich - Gaussa - wykazało, że liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnożeniem punktów (czyli liczb zespolonych). Drugie uzasadnienie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, z tym że określa się specjalny sposób mnożenia i dodawania par.

Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka zajmującego się działami teoretycznymi, lecz również inżyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektrotechnice, aerodynamice itd.

Najpiękniejszy wzór matematyki

W dziele wybitnego matematyka Leonharda Eulera "Introductio in analysin

infinitorum" pojawia się tożsamość wiążąca funkcje trygonometryczne i funkcję

wykładniczą dla liczb zespolonych:

Powyższe równanie wykorzystuje trzy działania arytmetyczne (dodawanie, mnożenie

i potęgowanie) i łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

0, czyli element neutralny dodawania;

1, czyli element neutralny mnożenia;

, czyli podstawę logarytmu naturalnego, granicę pewnego ciągu, liczbę

niewymierną, której przybliżenie wynosi 2,72;

i, czyli jednostkę urojoną liczb zespolonych;

, czyli stałą matematyczną równą stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

I tak oto wielkości, które pojawiły się w matematyce w różnych okresach

i odgrywające nadrzędną rolę w różnych działach „królowej nauk”, związane zostały

ze sobą piękną formułą, która przyciąga uwagę i budzi zachwyt. Równanie Eulera

nazywane jest często najpiękniejszym wzorem matematyki.

31

Legenda o wieży Hanoi

W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduję się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Krążek o największej średnicy leży na płytce z brązu, pozostałe jeden na drugim, malejąco od największego do najmniejszego. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładają krążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Gdy wszystkie 64 krążki zostaną przełożone z igły, na której umieścił je Bóg, na jedną z dwóch pozostałych igieł – wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata.

Kiedy nastąpi koniec świata? Zastanówmy się, ile ruchów należy wykonać, aby przełożyć krążki zgodnie z legendą. Nie wolno przekładać krążków byle jak. Po pierwsze, w każdym ruchu można przełożyć tylko jeden krążek, a po drugie – nie wolno kłaść większego krążka na mniejszy. Wolno natomiast korzystać z trzeciej, pomocniczej diamentowej igły i przekładać na nią krążki, oczywiście z zachowaniem tych dwóch zasadniczych reguł. Zacznijmy od prostych przypadków. Gdyby na igle A znajdował się tylko jeden krążek, wystarczyłby jeden ruch, by przełożyć go na inną igłę. Gdyby na igle A znajdowały się 2 krążki, moglibyśmy przełożyć górny na igłę C, dolny na B, a na koniec przełożyć mniejszy krążek z igły C na B. Razem trzy ruchy. A gdyby na igle A były 3 krążki? Aby przełożyć na igłę B największy z nich, musimy najpierw przenieść na igłę C pozostałe dwa, a to – jak już wiemy – wymaga 3 ruchów. Po przełożeniu największego na właściwe miejsce trzeba przenieść na tę samą igłę dwa mniejsze krążki (3 ruchy). Razem ruchów. A gdy będą 4 krążki? Z łatwością

32

można się domyśleć: ruchów. A gdy będzie krążków? Cały problem składa się z trzech części:

przenieś górnych krążków z palika początkowego na palik pomocniczy

przenieś krążek największy na palik docelowy

przenieś górnych krążków z palika pomocniczego na palik docelowy. Oznaczmy przez liczbę ruchów potrzebnych do prawidłowego przeniesienia krążków. Powyższy algorytm jest rekurencyjny i zgodnie z nim zachodzi równość:

Wzorem wynikającym z powyższego, ale znacznie czytelniejszym jest wzór

Ile zatem potrzeba ruchów, by przełożyć 64 krążki?

tzn. blisko 18 i pół tryliona ruchów. Jeśli przyjąć, że każdy ruch trwa 1 sekundę, to na przełożenie 64 krążków potrzeba 18 446 744 073 709 551 615 sekund, czyli około 584 miliardy lat. Dla porównania: Wszechświat ma około 13,7 mld lat.

A zatem nie musimy przejmować się przepowiednią zawartą w tej legendzie. Do końca świata jeszcze daleko…

Legendę o wieży Hanoi wymyślił francuski matematyk Edouard Lucas w 1883 r.

Mimo swojego wieku łamigłówka ta jest stale tematem prac matematyków,

a w psychologii jest jednym z testów na kojarzenie. Znane są bardziej rozbudowane

wersje wieży Hanoi, np. z więcej niż trzema igłami.

Figura geometryczna o polu równym zero

Figurą geometryczną o polu równym zero jest kwadrat sito. Ta figura płaska

powstaje poprzez wyeliminowanie z środka kwadratu punktu, podzieleniu kwadratu

na cztery kwadraty, z każdego powstałego

kwadratu wyeliminowaniu środka, podzieleniu

go na cztery kwadraty itd. Po tych

czynnościach powstaje kwadrat z dziurkami

jak sitko, zawierający nieskończoną liczbę

punktów wewnątrz, a jego pole – co ciekawe –

jest równe 0. Dość skomplikowany dowód

tego faktu pojawia się w matematyce wyższej.

33

Kostka Rubika

Kostka Rubika to dzieło węgierskiego architekta – Ernő Rubika. W 1974 r. Rubik

wynalazł tę zabawkę logiczną po to, aby studentom łatwiej było wyobrażać sobie

przestrzeń. Rubik nie był pewien, czy kiedykolwiek będzie w stanie przywrócić

swojemu wynalazkowi pierwotną pozycję z równo ułożonymi kolorami. Był wytrwały

i ostatecznie kostkę ułożył w ciągu miesiąca.

Kostka Rubika ma kształt sześcianu. Składa się z 26 mniejszych sześcianów i przegubu umieszczonego w środku. Przegub ten umożliwia każdej z zewnętrznych warstw kostki obrót wokół osi prostopadłej do danej warstwy i przechodzącej przez środek kostki. Zatem kostka jest tak przemyślanie skonstruowana, że można obrócić dowolną warstwę poziomo i pionowo. Każda ściana kostki (podzielona na 9 kwadratów) ma inny kolor. Już po kilku obrotach rozmieszczenie kolorowych kwadratów na ścianach wydaje się zupełnie przypadkowe. Zabawa kostką polega na takim ułożeniu kwadratów, aby na każdej ścianie wszystkie kwadraty posiadały jeden kolor.

Najpopularniejszą technikę układania kostki Rubika stworzyła czeska inżynier Jessica Fridrich, która w 1982r. zwyciężyła mistrzostwa Czechosłowacji. Stworzony przez nią system w kolejnych latach cieszył się coraz większą popularnością, lecz jego rozpowszechnianie było utrudnione z racji praktycznie nieistniejącego jeszcze Internetu. Dopiero w latach 90. system trafił do rąk układaczy z całego świata i stał się najefektywniejszą metodą układania kostki Rubika. Zgodnie z metodą Fridrich układanie składa się z czterech etapów:

Cross – ułożenie krzyża na jednej ze ścianek

F2L – First TwoLayers, ułożenie pierwszych dwóch warstw, wsadzając na

miejsce 4 pary klocków (narożnik i krawędź, tzw. slot)

OLL – Orientation of the LastLayer, ułożenie koloru na ostatniej warstwie

PLL – Permutation of the LastLayer, zamiana miejscami klocków ostatniej

warstwy.

O ile pierwsza faza, czyli „cross” nie wymaga specjalnych algorytmów i polega

bardziej na wyobraźni przestrzennej układającego, to następne fazy wymagają nauki

kilku-kilkunastoruchowych przekształceń dla wszystkich możliwych ustawień kostki

(F2L – 41 algorytmów, OLL – 57 algorytmów, PLL – 21 algorytmów). W założeniach

34

ułożenie kostki metodą Fridrich powinno zajmować średnio 11-14 sekund (56

ruchów). Układający traci z reguły czas na rozpoznanie i przypominanie algorytmu czy

obracanie kostką. Do układania kostki metodą Fridrich zaleca się wybrać stały kolor

i ustawienie krzyża („crossa”, od którego zaczyna się układanie). Najpopularniejsze

jest układanie krzyża u dołu i z lewej lub prawej strony kostki.

ułożenie krzyża

na jednej ze ścianek

ułożenie dwóch

pierwszych warstw

ułożenie koloru na spodniej

ściance

ułożenie pozostałych

klocków

W krótkim czasie kostka Rubika zdobyła miliony wielbicieli. Organizowano

konkursy, a nawet mistrzostwa świata w układaniu kostki. Łamigłówka okazała się

bardzo interesująca dla matematyków. Obliczono, że istnieją ponad 43 tryliony

możliwych układów kostki o wymiarach 3x3x3. W 2010 r. zespół matematyków za

pomocą serwerów Google udowodnił, że ‘boską’ liczbą dla kostki jest 20. Oznacza to,

że każde ułożenie można rozwiązać maksymalnie w 20 ruchach (choć zazwyczaj

wystarczy 15-19 ruchów).

Dawka humoru …

☻ Nauczycielka karci ucznia: - Znowu źle podliczyłeś liczby w słupku. Wyszło Ci dwa razy więcej niż powinno. - Proszę Pani, tak naprawdę to wina mojego taty – usprawiedliwia się chłopiec – bo to tata mi podliczał. - A kim jest twój tata? - Mój tata jest kelnerem, proszę Pani…

☻ Pani od matematyki napisała na tablicy działanie ”9 : 3” i zapytała ucznia: - Kaziu, co powinnam dopisać? Na to chłopiec odpowiedział: - Nazwy drużyn, proszę Pani…

☻ W szkole uczeń podchodzi do nauczycielki i mówi: - Proszę Pani, ja naprawdę nie zasłużyłem na jedynkę! - Ja też tak uważam. Ale niższych ocen już niestety nie ma…

35

Rzymski system zapisywania liczb

Rzymski system zapisywania liczb powstał około 2500 lat temu. Pierwotnie był

bardzo prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali liczby tylko przy użyciu

pionowych kresek. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb dodatkowe

znaki. W ostatecznej wersji systemu rzymskiego występuje 7 znaków:

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Rzymski sposób zapisywania liczb – w przeciwieństwie do arabskiego – nie jest

systemem pozycyjnym, lecz addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na

podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9,

40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania. Zasada odejmowania

wartości stała się powszechna dopiero w czasach średniowiecznych, Rzymianie zaś

stosowali ją rzadko.

IV 4

IX 9

XL 40

XC 90

CD 400

CM 900

Przykłady:

Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego,

aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach:

obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C, M;

nie mogą powtarzać się symbole: V, L, D;

nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed

znakiem oznaczającym liczbę większą;

znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko

znaki: I, X, C (odejmowanie).

Za pomocą dostępnych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999, ponieważ nie

istnieją znaki dla liczb większych od 1000. Rzymianie posiadali takie symbole dla liczb:

5000 czy 10000, ale wyszły one już z użycia. Symbolem ↁ oznaczano liczbę 5000,

36

a symbolem ↂ – liczbę 10000. Większe liczby można zapisywać poprzez umieszczenie

jej między dwiema pionowymi kreskami, co oznacza liczbę stukrotnie większą. Innym

znakiem pełniącym podobną funkcję jest nadkreślenie oznaczające pomnożenie

wartości przez 1000.

(zamiast )

System rzymski stosowany był w łacińskiej części Europy jeszcze w XV wieku. Do

dziś jest on zwyczajowo używany do zapisywania liczb w pewnych szczególnych

przypadkach: do numeracji stuleci (np. XIX wiek), liceów (ale nie szkół podstawowych

i gimnazjów), klas i lat studiów, tomów i rozdziałów książki, pięter, wydziałów

w instytucjach, przy imionach władców i papieży (np. Jan Paweł II), w nazwach

wydarzeń historycznych (II wojna światowa). Czasem liczbami rzymskimi zapisuje się

rok powstania budowli oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na

ich wyższych poziomach). Cyfry rzymskie nadal bywają wykorzystywane do

oznaczania miesięcy w zapisie daty, mimo upowszechnienia się systemu opartego na

cyfrach wyłącznie arabskich. Wykorzystanie zapisu rzymskiego pozwala uniknąć

dwuznaczności wywołanych stosowaniem różnych wariantów kolejności

poszczególnych członów w zapisie, np. popularny w USA sposób podawania najpierw

miesięcy, a potem dni, wobec czego zapis „08/11/10” może być rozumiany albo jako

8 listopada, albo 11 sierpnia, natomiast zapis 8 XI 2010 można rozumieć tylko w jeden

sposób.

System rzymski ma jedną wadę – jest niewygodny w prowadzeniu nawet

najprostszych działań arytmetycznych. Rzymianie jednak potrafili dość sprawnie

wykonywać działania dodawania i odejmowania posługując się przy tym liczydłem.

37

Nieskończoność i googol

"Istnieje liczba największa, ale dosięgnąć jej nie zdoła człowiek. Tylko bogowie mają tę

moc i oni jedni potrafią policzyć gwiazdy na niebie…"

Od początku historii ludzie borykali się z problemem nieskończoności. Próby

opanowania pojęcia nieskończoności zaczęły się już w starożytnej Grecji, w szkole

pitagorejskiej, w której słusznie przyjmowano, że nieskończoność to jest coś, czemu

nie można przypisać żadnej wielkości. W czasach Platona problem ten zapoczątkował

teorię przestrzeni, czasu i nieskończoności. Później pojęcie nieskończoności

w matematyce uzyskało sens precyzyjny i nie wydaje się już nieprzejrzyste. Ma ono

nawet swój symbol: rodzaj położonej ósemki,

zwanej także lemniskatą. Został on wprowadzony

do konwencji graficznej matematyki stosunkowo

niedawno – zawdzięczamy go angielskiemu

matematykowi Johnowi Wallisowi, który użył go

po raz pierwszy w 1655 r.

Istnienie nieskończoności nie może być przedmiotem dowodu matematycznego,

gdyż nieskończoność zbioru liczb, czyli niemożność ich przeliczenia, jest jednym

z podstawowych aksjomatów, na których opiera się cała dzisiejsza matematyka.

Amerykański matematyk - Edward Kasner, chcąc przyzwyczaić swego siostrzeńca do

wielkich liczb, wynalazł pewnego razu googol – liczbę równą 10100, a więc jedynkę ze

stoma zerami. Dla matematyka przyzwyczajonego do operowania nieskończonością

nieduża to liczba, a jednak przekracza ona wszelkie ilości spotykane w świecie

realnym i nie ma przez to większego znaczenia fizycznego ani zastosowania.

Przypuśćmy, że cała Ziemia zbudowana jest z piasku. Wówczas liczba wszystkich

ziarenek będzie rzędu 1031; daleko jeszcze do googola! Zgodnie z pewną teorią

astronomiczną wszechświat jest skończony i ma średnicę 1042 razy większą od

średnicy jądra atomowego. Można by obliczyć objętość wszechświata w milimetrach

sześciennych, a nawet w angstremach sześciennych (1 angstrem = 1/107 milimetra)

i wtedy to dopiero przekroczymy nieznacznie googol. Zatem googol nie odpowiada

żadnej rzeczywistej ilości. Niczego aż tyle nie ma. Liczba 10100 nie przedstawia nic

wyobrażalnego. Przekracza ona wszystko, co można policzyć lub zmierzyć na świecie.

To właśnie od określenia liczby 10100

pochodzi nazwa najpopularniejszej

wyszukiwarki internetowej na świecie

Google. Ta nazwa miała odzwierciedlać

ogrom stron www przeszukiwanych

każdorazowo przez wyszukiwarkę.

38

Jak to możliwe?

Poniżej przedstawionych jest pięć rozumowań matematycznych, które prowadzą

do dość zaskakujących rezultatów. Warto zastanowić się, co jest ich przyczyną.

Czy naprawdę 2=1?

I. Niech

II. Niech

⋅

Czy wiesz, że 3 = 5?

Przypuśćmy, że gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Mnożymy tę równość stronami: za pierwszym razem przez 3, a za drugim przez 5. Mamy wówczas:

Dodajemy do siebie stronami oba otrzymane równania:

Odejmujemy od obu stron powyższej równości wyrażenie :

Dzielimy obie strony przez wyrażenie w nawiasie i otrzymujemy

.

Gdzie jest błąd

39

Każde dwie liczby rzeczywiste są równe?

Niech będą dane dwie liczby rzeczywiste o własności . Istnieje wówczas liczba rzeczywista taka, że .

Czy wiesz, że każda liczba rzeczywista jest zerem?

Weźmy dwie liczby rzeczywiste , które są sobie równe.

Do lewej strony powyższej równości stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę

kwadratów, zaś po prawej stronie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

Co jest źle

Dziura budżetowa – kto winny?

Matematyka znalazła przyczynę współczesnych problemów gospodarczych,

dziury budżetowej, bezrobocia. Winny jest król Bolesław Chrobry.

Gdyby w roku 1000 Chrobry złożył w banku

chociaż jeden grosz przy oprocentowaniu 4%

rocznie i przy corocznym doliczaniu odsetek,

to w roku 2000 mielibyśmy w kasie państwa

dodatkowe 1 071 500 000 000 000 zł, czyli

ponad milion miliardów (ponad biliard)

złotych!!!

40

Najtańsza furmanka

Pewien obywatel małego miasteczka znany był ze skąpstwa. Gdy miał sprawę

w powiatowym mieście odległym o 25 kilometrów, polował na sąsiada, by prosić

o podwiezienie. Pewnego razu kręcił się po rynku miasta szukając osoby, która

mogłaby go odwieźć za darmo do domu. Nikogo nie było, więc musiał wziąć płatną

furmankę. Obszedł wszystkich dorożkarzy urządzając przetarg ofertowy. Ten chciał

250, ten 200, ów 150 złotych. Wszystkie te ceny wydały się skąpemu jegomościowi

nie do przyjęcia. Dotarł wreszcie do stojącego na uboczu chłopa z nędznym wózkiem

i nędznym koniem. Chłop zapytany, ile zechce za odwiezienie, chwilę popatrzył

w ziemię, poskrobał się po głowie i wreszcie odparł:

– Za pierwszy kilometr grosz mi pan dasz, nie będzie chyba za wiele. Za drugi to już

dwa, bo droga ciężka, na trzecim idzie pod górę, to mi pan dasz 4 grosze, a tam koń

będzie zmęczony, i góra jeszcze większa, to dostanę znów dwa razy tyle groszy i dalej

tak już do końca.

– Ot, głupi chłop – pomyślał mieszczuch ledwie powstrzymując się od śmiechu – na

grosze liczy. Cóż, nie mam obowiązku pouczać go, że nie umie rachować.

Zgodził się i z pośpiechem dosiadł wózka. Pojechali, ale gdy dojechali, okazało się, iż

skąpy mieszczuch musiał za tę jazdę oddać chłopu wszystko co miał i jeszcze sam

został u niego parobkiem, gdyż owa „najtańsza furmanka” kosztowała ni mniej, ni

więcej tylko 335 544 zł i 31 gr.

Tyle bowiem wynosi suma szeregu geometrycznego: 1, 2, 4, 8, 16, ..., tzn. suma

ciągu geometrycznego złożonego z 25 wyrazów, danego wzorem ogólnym

, w którym pierwszy wyraz , iloraz , zaś ostatni wyraz

.

Honorarium wynalazcy

Podanie głosi, że twórca szachów, uczony Sissa-Nassir – gdy władca Indii, zachwycony nową grą, obiecał wynagrodzić go wszystkim, czego zapragnie – zażądał zapłaty pozornie skromnej. Chciał bowiem otrzymać tyle tylko zboża, ile przypadnie, gdy poprzez wszystkie 64 pola szachownicy podwajane będzie jedno małe ziarenko złożone na pierwszym polu. Władca Indii, nie był w możności takiego honorarium uiścić. Owa zapłata to suma szeregu geometrycznego, złożonego z potęg liczby 2 z wszystkimi kolejnymi wykładnikami od 0 do 63. Ile zatem to ziaren?

. Obliczono, że by osiągnąć taką ilość zboża, należałoby zasiać całą ziemię ośmiokrotnie i ośmiokrotnie zebrać żniwo. Inaczej mówiąc, ilość ta równałaby się zbiorom zboża z planety o powierzchni ośmiokrotnie większej niż Ziemia. I tak oto okazało się, że władca nie wszystkim może obdarować wynalazcę.

41

Cykloida

Gdy koło toczy się bez poślizgu po płaskiej płaszczyźnie, punkt leżący na jego obwodzie (brzegu) zakreśla pewną krzywą – nazywamy ją cykloidą. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu. Co ciekawe, długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego na toczącym się kole.

Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na obwodzie koła, lecz wewnątrz niego (bliżej środka), to otrzymamy krzywą bez ostrzy – nazywamy ją cykloidą skróconą.

Natomiast jeśli ustalony punkt będzie umieszczony na zewnątrz toczącego się koła (na przedłużeniu promienia), to powstanie krzywa z pętlami, którą nazywamy cykloidą wydłużoną.

Ciekawy jest fakt, że kulka tocząca się po cykloidalnej rynience wyprzedza kulkę po pochyłej płaszczyźnie, nawet jeżeli musi część ruchu odbyć w górę.

☻ - Co robią liczby jak pada deszcz? - Chowają się pod pierwiastek!

☻ Przychodzi mężczyzna do pizzerii. Kelner go pyta:

- Co podać? - Pizzę. - Pociąć na 6 kawałków czy na 12? - Na 6, bo 12 nie zjem…