Přesnost měření

Posouzení přesnosti měření

• Hodnotu kvantitativně popsaného parametru

jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením.

• Reálné měření má vždy omezenou přesnost

• V minulosti sloužila k posouzení přesnosti měření tzv. chyba měření

• V současné době nahrazuje chybu měření nový parametr vyjadřující přesnost a spolehlivost, a to tzv. nejistota měření.

Sledovaná veličina →

V praxi neexistuje žádná metoda měření ani měřicí zařízení, které by bylo absolutně přesné

• naměřená hodnota ≠ skutečná hodnota

• výsledek je vždy ovlivněn existencí chyby měření.

Sledovaná veličina →

V praxi neexistuje žádná metoda měření ani měřicí zařízení, které by bylo absolutně přesné

• naměřená hodnota ≠ skutečná hodnota

• výsledek je vždy ovlivněn existencí chyby

měření.

Rozdělení chyb měření

Druhy chyb– Chyby měřicích přístrojů - instrumentální– Teoretické chyby – špatný model nebo přístup– Metodické chyby – odečítání dat, organizace měření– Chyby zpracování dat – nevhodné statistické

zpracování

Záměr

� jde o určení intervalu hodnot, ve kterých se pohybuje skutečná hodnota (případně procentuální odchylka od skutečné, příp. jiné hodnoty)

Rozdělení chyb měření

matematické vyjádření

absolutní Δ [mm,N,MPa,A,…dle měř. veličiny]

relativní (poměrná, procentní) δ [-,%]

( ) [%]100*HM

X∆=δ

( ) HH SMX −=∆

Podle původu můžeme chyby měření rozdělit na:

• hrubé chyby – vybočující, odlehlé

–chyby viditelné a snadno odstranitelné

–naměřená hodnota zatížená touto chybou se výrazně liší od ostatních hodnot

–měření zatížené touto chybou se ze zpracování výsledků vylučuje – zamezení zkreslení výsledků měření

• systematické chyby

–při opakovaných měřeních je stálá, předvídatelná, se stejnou velikostí

–lze odstranit početní korekcí

• náhodné chyby– vznikají spolupůsobením velkého počtu náhodných

vlivů, jsou nepředvídatelné– náhodná chyba je náhodná veličina � nelze korigovat � lze zmírnit vícečetným měřením � statistické metody

– Příklady náhodných chyb:• šumy – např. zařízení využívající elektrické obvody• neznámé změny podmínek měření• zaokrouhlování výsledku měření (analogový i digitální MP)• nehomogenní materiál

• Aritmetický průměr (střední hodnota)

• Odhad střední kvadratické chyby

• Všechny tyto chyby se mohou při měření vyskytovat současně

• Je třeba realizovat jejich rozbor, identifikaci a kvantifikaci, aby bylo možné rozeznat, jakou měrou ovlivňují konečný výsledek.

Nejistoty měření

Nejistota měření - definice

• Nejistota měření je definována jako parametr spojený s výsledkem zkoušky, který charakterizuje rozptyl hodnot, o němž se s určitou pravděpodobností tvrdí, že v něm leží správná hodnota.

• Odlišnost nejistoty měření a chyby měření spočívá

v tom, že chyba je rozdíl naměřené a pravé

hodnoty a nejistota je interval, ve kterém leží

pravá hodnota s určitou pravděpodobností.

Nejistota měření

Základní charakteristikou nejistoty je tzv.

standardní nejistota u.– Nejistota měření se týká nejen výsledku měření, ale i

použitých měřicích přístrojů, hodnot konstant, korekcí apod.

– Základem určování nejistot měření je statistický přístup

Zdroje nejistot

• Nepřesnost měřidel, přístrojů a strojů (kalibrační nejistota, dynamické chyby přístrojů; zanedbané systematické chyby; vnitřní tření v přístrojích…)

• Chyba čtení (dílky stupnice)

• Nedostatečná znalost podmínek (teplota, vlhkost aj.)

• Vlivy lidského činitele (osazení měřidla, uložení vzorku)

• Nesprávný odběr vzorku a tvar zk. tělesa (nerovnost povrchu, rovnoběžnosti)

• Nesprávná definice výstupní veličiny nepřímého měření

• Ostatní neuvedené vlivy…

Podle způsobu vyhodnocení se

standardní nejistoty člení na

Nejistota měření sestává z mnoha složek.

– Některé tyto složky je možné odhadnout na základě statistického rozboru výsledků řady měření a lze je charakterizovat směrodatnými odchylkami.

– Standardní nejistoty typu A (ua)

– Odhady některých složek lze provést pouze na základě zkušeností či dalších informací.

– Standardní nejistoty typu B (ub)

Standardní nejistoty typu A (ua)

• Statistické zpracování dat měřené veličiny

• Měření za stále stejných podmínek

• Jedná se o směrodatnou odchylku měřené hodnoty

Standardní nejistoty typu B (ub)

• získané jinak než statistickým zpracováním výsledků opakovaných měření. (předchozí měřená data, zkušenosti s nebo obecné znalosti funkce a vlastností týkající se materiálů a zařízení, výrobní specifikace, data poskytnutá kalibrací a

jinými certifikáty, nejistoty stanovené pro referenční data

získané z literatury..)– Pocházejí z různých zdrojů.

– Jsou vyhodnoceny pro jednotlivé zdroje nejistoty identifikované pro konkrétní měření.

– hodnoty nezávisí na počtu opakování měření

– Společné působení jednotlivých nejistot vyjadřuje výsledná standardní nejistota typu B.

• při většině měření drtivě převažuje nejistota

typu B nad nejistotou typu A

• proto právě způsob odhadu nejistoty typu B

určuje velikosti výsledné rozšířené nejistoty.

• Kombinovaná standardní nejistota - uC

• V praxi si ve většině případů nevystačíme pouze s nejistotu typu A nebo B.

• Výsledek je často ovlivněn kombinací těchto dvou nejistot - je sumací nejistot typu A a B.

• Kombinovaná standardní nejistota udává interval,

ve kterém se s poměrně velkou pravděpodobností

může vyskytovat skutečná hodnota měřené veličiny.

• Rozšířená standardní nejistota U

– zejména ve stavebnictví se využívá velmi často.

– Tato nejistota poskytuje větší pravděpodobnost správného výsledku měření.

– Získá se vynásobením kombinované standardní nejistoty uC součinitelem ku

Nejistota měření - postup stanovení

• Při zjišťování jednotlivých standardních nejistot se postupuje podle toho, zda se jedná o přímé měření nebo nepřímé měření jedné nebo více veličin.

Vyhodnocení stand. nejistoty typu A

• Stanovení nejistoty měření - přímé měření

veličiny

• vychází ze statistické analýzy

• Odhad údaje x měřené veličiny získáme z aritmetického průměru z opakovaných měření hodnot xi.

∑=

=n

iix

nx

1

1

Vyhodnocení stand. nejistoty typu A

• Standardní nejistota typu A se rovná výběrové směrodatné odchylce aritmetického průměru.

• n počet prvků výběrového souboru

• σ směrodatná odchylka libovolného odměru

• σ (X) odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru

( )( )1

)()( 1

2

−

−===∑

=

nn

xx

nXxu

N

ii

A

σσ

• V případě, že je počet opakovaných měření n

menší jak 10, pak je nutné hodnotu uA

korigovat koeficientem ks.

• Výsledná standardní nejistota typu A:

)()( Xkxu sA σ⋅=

• Stanovení nejistoty měření - nepřímé měření

veličiny

– Často nelze hledanou veličinu zjistit přímo a je nutno ji získat z více přímo měřených veličin.

– Je-li souvislost mezi hledanou veličinou Z a přímo měřenými veličinami dána jednoduchou funkcí (součet, rozdíl, součin, podíl nebo mocnina), pak vedou parciální derivace podle Gaussova zákona rozdělení chyb zase na jednoduchou funkci.

• Je-li hledaná veličina Z funkcí přímo měřených veličin(X,Y) a konstant(a,k) Z = f(X, Y, a, k), pak odhad údaje Z měřené veličiny získáme dosazením aritmetických průměrů přímo měřených veličin X a Y(včetně konstant) do funkce.

Určení standardní nejistoty uz z jednoduchých funkcí:

Vyhodnocení stand. nejistoty typu B

Odhaduje se na základě:

– údajů měřicí techniky

– údajů získaných při kalibraci a z certifikátů

– zkušeností s vlastnostmi a chováním materiálů a techniky

• nepřímá měření ���� výsledná nejistota je dána geometrickým součtem dílčích nejistot ∑

=

=n

iB uxu

1

21)(

• Δx – absolutní chyba veličiny x

• plyne z vlastností rovnoměrného rozdělení

3)(

xxuB

∆=

Vyhodnocení kombinované nejistoty

• Vyhodnocení kombinované nejistoty

• udává pouze 68% pravděpodobnost správného výsledku.

• Z tohoto důvodu se zavádí rozšířená

standardní nejistota U

22BAC uuu +=

• ku = 2Pro normální rozdělení odpovídá pravděpodobnosti pokrytí asi 95%.

• ku = 3Pro normální rozdělení odpovídá pravděpodobnosti pokrytí asi 99,7%.

)()( xCu ukxU ⋅=

Rozšířená nejistota U

• Nedílnou součástí výpočtu nejistoty měření je

její finální reprezentace v podobě

jednoznačného zápisu.

Vyjádření výsledku zkoušky

• Výsledek měření veličiny X zapíšeme ve tvaru:

Příklad:Pevnost fc = (35,5 ± 0,5) N/mm2

• Alternativní zápis výsledku:

Nejistota měření Ux = ...[jednotka] (možno také zapsat pomocí relativní nejistoty Uxr = ...[%])

Příklad:Pevnost fc = 35,5 N/mm2, Nejistota měření (Uk=2) 0,5 N/mm2

• Standardní nejistotu můžeme vyjádřit (stejně jako u chyb):– v jednotkách měřené veličiny - absolutní standardní nejistota U

– poměrem absolutní standardní nejistoty a hodnoty příslušné veličiny - relativní standardní nejistota Ur

• Nejistota měření U se zaokrouhluje vždy na jedno platné místo a to vždy směrem nahoru (například 0,04254 zaokrouhlíme na 0,05). – Pouze pokud číselná hodnota začíná na jedničku či dvojku, pak

zaokrouhlujeme na dvě platná místa.

• Nesmí se opomenout správné zaokrouhlení měřené veličiny podle řádu nejistoty měření.

Předpoklad: Přístroj používáme za stanovených pracovních podmínek – ovlivňující veličiny nabývají hodnot v rozsahu definovaném výrobcem

1. Určení tolerančního pásma (klasicky definované chyby údaje) číslicového přístroje ΔX:

a) chyba z odečtené hodnoty δ1 + chyba z rozsahu δ2; toleranční pásmo údaje X určíme:

kde M je měřicí rozsah

b) chyba z odečtené hodnoty δ1 + počet kvant. kroků ±N; toleranční pásmo údaje X určíme:

kde R je rozlišení (hodnota měř. veličiny odpovídající kvant. kroku)

1. Určení standardní nejistoty údaje číslicového

přístroje:

2. Určení tolerančního pásma (klasicky

definované chyby údaje) ručkového přístroje

ΔX:

je definována třídou přesnosti TP:

kde M je hodnota měřicího rozsahu

Určení standardní nejistoty údaje ručkového

přístroje:

3. Nejistota hodnoty X měřidla (etalon, metr, apod.) , u nějž je uvedeno toleranční pásmo ±Δzmax popř. třída přesnosti TP, se určí dle vztahů:

Příklad

• Měříme pomocí rtuťového teploměru se stupnicí po 0,2oC, max. dovolená chyba teploměru je 0,4oC. Předpokládáme rovnoměrné rozdělení. Spočtěte rozšířenou nejistotu měření (95%).

– Nejistota odečtu =

– Nejistota měření =

– Kombinovaná nejistota uB =

– Rozšířená nejistota =