Chương 2:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Nội dung

• Phương trình vi phân cấp 1 PT cĩ biến phân ly PT đẳng cấp cấp 1 PT vi phân tuyến tính cấp 1 PT bernoulli

• Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính Phương trình Euler- Cauchy

• Ứng dụng phân giải quá trình quá độ của mạch điện

Phương trình vi phân cấp 1

• Dạng tổng quát:

Nghiệm: Nghiệm tổng quát: y=f(x)+C Nghiệm riêng: y=f(x)+C0

Các dạng đặt biệt

Phương pháp giảiptvp cấp 1 có biến phân ly

Ví dụ

Tìm nghiệm của phương trìnhy’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1

Ví dụ

Phương pháp giảiptvp đẳng cấp cấp 1

Ví dụ

• Tìm nghiệm của phương trình

yxyxhay

yxyx

dxdy

2

52y' 2

52

Cxzzzz

)ln()2ln(4)1ln(321

• Bước 4: Tìm nghiệm y bằng cách giải phương trình : y=x.z

xyxy

Cxyxy

xyxy

Cxx

xyx

xy

xyxy

Cxxy

xy

xzy

2

)ln(3)2ln(4

2

)ln()ln(3)2ln(4

.2.1

)ln()2ln(4)1ln(3

.

Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

Ví dụ

• Giải phương trình y'+ tan(x).y = cos2(x) cho y(0)=2.

Phương pháp giảiPT Bernoulli

Phương trình vi phân cấp 2

• Dạng tổng quát:

PTVP cấp 2 giảm cấp được

Phương pháp giảiptvp cấp 2 không chứa y

Ví dụ

• Giải phương trình y’’=(y’)2

Phương Pháp giảiptvp cấp 2 không chứa x

Ví dụ

• Giải phương trình : y''+(y')3 .y=0

PTVP tuyến tính cấp 2

Phương pháp giảiptvptt hệ số hằng

Ví dụ

Tìm nghiệm với các điều kiện đầuy’’ + 2y’ + 2y = 0

Với y(π/4) = 2, y’(π/4) = -2

Nghiệm ptvp tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

PTVPTT cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng

• Dạng ptvp tuyến tính cấp 2 không thuầnnhất hệ số hằng

Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 2

không thuần nhất hệ số hằng

Ví dụ

Tìm nghiệm riêng của phương trình:y’’- 3y’- 4y = 3e2x + 2sin(x)

PT Euler - Cauchy

Phương pháp giảiPhương trình Euler- Cauchy

Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện

Mạch điện Phân tíchmạch điện

Phươngtrình vi phân Kết quả

Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện

• Dạng phương trình sau khi phân giảimạch điện:

Dạng nghiệm:

Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện

Tìm ytd (đáp ứng tự do)

Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện

Tìm ycb (đáp ứng trạng thái thường trực)

Ví dụ

• Xét mạch như hình II.1. Ở thời điểm t=0, mở đồng thời K1 và K2. Tìm iL(t) và uc(t). Giả thiết e(t) = E0.cosω0t, E0 > 0

CLR

RCLR 1

0

Hết chương 2