Chapter 3 -Magnetic Media in mechanical

7/28/2019 Chapter 3 -Magnetic Media in mechanical

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C H A P T E R 3

Maxwel l ' s Equat ions inM a g ne t i c M ed i a

T h e m o s t s t r i k i n g f e a t u r e o f a m a g n e t i c m a t e r i a l i s t h e f a c t t h a t i t c a ng i v e r i s e b y i t s e l f t o a s t a t i c m a g n e t i c f i e l d i n o u t e r s p a c e . A c c o r d i n g t oM a x w e l l ' s e q u a t i o n s , a s t a t i c m a g n e t i c f i e l d i s p r o d u c e d b y s t a t i o n a r ye l e c t r i c c u r r e n t s , a n d t h e p r o b l e m a r i s e s o f t h e n a t u r e o f t h e c u r r e n t sr e s p o n s i b l e f o r th i s fi el d . T h e q u e s t i o n i s n o n t r i v i a l a n d p o s e s d e e p c o n c e p -t u a l d i f fi c u lt ie s , a s c o n f i r m e d b y t h e f a c t t h a t t h e e x i s t e n c e o f p e r m a n e n tm a g n e t s h a s b e e n k n o w n t o m a n k i n d s in c e a n c ie n t ti m e s , b u t t h e d i sc o v -e r y o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h i s k i n d o f m a g n e t i s m a n d e l e c t r i c c u r -r e n t s is l es s t h a n t w o c e n t u r i e s o l d , a n d A m p 6 r e ' s i n t u i t i o n o f t h e e x i st e n c eo f m o l e c u l a r c u r r e n t s i n s i d e m a t t e r c o u l d b e g i v e n a s c ie n ti fi c b a s i s o n l yw i t h t h e a d v e n t o f r el a ti vi st ic q u a n t u m m e c h a n i c s .

T h e ba s ic q u a n t u m n a t u r e o f t h e m a g n e t i s m o f m a g n e t i c m a t e r i a lsr a i se s t h e p o i n t o f h o w t h e s e q u a n t u m e ff ec ts s h o u l d b e t r e a t e d i n th ec l as s ic a l s e t t i n g o f m a c r o s c o p i c M a x w e l l ' s e q u a t i o n s . A n a c c e p t a b l e s o l u -t i o n i s t o p o s t u l a t e t h e e x i s t e n c e i n m a g n e t i z e d m a t t e r o f e l e m e n t a r yp o i n t l i k e a n d p e r m a n e n t magnetic moments, a n d t o d e s c r i b e a m a g n e t i cm a t e r i a l a s a c o l le c t io n o f s u c h m o m e n t s . A l l q u a n t u m e f fe c ts a r e l u m p e di n th e p r o p e r t i e s o f t h e i n d i v i d u a l m o m e n t s . B y a c c e p t i n g t h e ir e x is t e n cea s a n a d d i t i o n a l f a c t t o b e a d d e d t o t h e e x i s t e n c e o f e l e c t r i c c h a r g e s , o n ei s a b l e t o d e s c r ib e t h e b e h a v i o r o f m a g n e t i c m a t e r i a l s b y p u r e l y c la s si ca lm e a n s , i n t e r m s o f s o l u ti o n s o f m a g n e t o s t a t i c M a x w e l l ' s e q u a t i o n s.

A s e c o n d r e l e v a n t p o i n t is t h a t t h e m o t i o n o f e l e m e n t a r y c h a r g e a n dm o m e n t c a r r i e r s i n m a g n e t i c b o d i e s i s e x t r e m e l y i n t r i c a t e a n d i r r e g u l a r .A d e t a i l e d t r e a t m e n t w o u l d b e h o p e l e ss . H o w e v e r , if w e a re i n t e re s te di n e f f e c t s t a k i n g p l a c e o n a s u f f i c i e n t l y c o a r s e s c a l e , w e c a n g e t r i d o ft h e s e c o m p l i c a t io n s b y t a k i n g c o n v e n i e n t s p a c e a v e r a g e s o v e r elementaryvolumes A V, s m a l l e n o u g h w i t h r e s p e c t t o t h e c h a r a c t e ri s ti c s c a le o f in t e re s t ,b u t s t i l l l a r g e e n o u g h t o c o n t a i n a t a n y t i m e a s u b s t a n t i a l n u m b e r o fp a r t ic l e s . I n s t e a d o f c o n s i d e r i n g t h e q u a n t i t y Fm icro, d e s c r i b i n g s o m e p r o p -


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74 CHAPTER 3 M axwel l 's Equat ions in Magnet ic M ediae r t y o f i n t e r e st a t t h e m i c r o s c o p i c s ca le , w e i n t r o d u c e - - a t e a c h p o i n t r i ns p a c e - - t h e lo ca l a v e r a g e

F ( r ) = ~ f F m i c r o d 3 r (3.1)aV

w h e r e A V is c e n t e r e d a r o u n d r. B y w o r k i n g w i t h A V - a v e ra g e s , o n e l o s est h e f in e d e t a i ls o f t h e p r o c e s se s o c c u r r i n g i n s i d e e a c h e l e m e n t a r y v o l u m e ,b u t o n e o b t a i n s a d e s c r i p t i o n i n t e r m s o f s m o o t h q u a n t i t i e s , p e r f e c t l ys u i t e d t o t h e s t u d y o f p h e n o m e n a t a k i n g p l ac e o v e r a sc a le m u c h l a r g e rt h a n t h a t o f A V.

I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w e s h a l l c o n c e n t r a t e o n t h o s e a s p e c t s o fM a x w e l l ' s e q u a t i o n s t h a t a r e o f d i r e c t r e l e v a n c e t o m a g n e t i c m a t e r i a l s .N o a t t e m p t i s m a d e t o g i v e a c o m p r e h e n s i v e p r e s e n t a t i o n o f t h e g e n e r a lp r o p e r t i e s o f M a x w e l l ' s e q u a t io n s , f o r w h i c h m a n y t ex ts c a n b e f o u n d i nt h e l i t e r a t u r e , o r t o g i v e d e t a i l e d d e r i v a t i o n s o f a l l t h e r e l a t i o n s t h a t w i l lb e s t a t e d . I n S e c t io n 3.1 , w e b r i e fl y s u m m a r i z e M a x w e l l ' s e q u a t i o n s , w ed i s cu s s m a g n e t o s t a t i c e q u a t io n s , a n d w e i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f e l e m e n -t a r y m a g n e t i c m o m e n t . S e c ti o n 3.2 d is c u s se s h o w t h e m a g n e t i c s t a te o f ab o d y c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f t h e m a g n e t i z a t i o n v e c t o r . F i n a l l y ,S e c t i o n 3 . 3 a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f e n e r g y c o n s e r v a t i o n a n d e n e r g yd i s s i p a t i o n c a u s e d b y e d d y c u r r e n t s .

3 .1 M A G N E T O S T A T I C SI n m a g n e to s t a t ic s , o n e i s i n t e r e s t e d i n t h e m a g n e t i c p h e n o m e n a p r o d u c e db y c u r r e n t s t h a t a r e s t a t i o n a r y , t h a t i s , i n d e p e n d e n t o f t i m e . M o s t o f t h ee l e c t r o m a g n e t i c r e l a t i o n s o f i n t e r e s t i n t h i s b o o k a r e m a g n e t o s t a t i c i nc h a r a c t e r . I n a d d i t i o n , m a g n e t o s t a t i c r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d t o a l l t h o s es i tu a t i o n s w h i c h , t h o u g h b e i n g d y n a m i c , i m p l y c u r r e n t v a ri a t io n s s o s l o wt h a t , t o a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n , o n e c a n a s s u m e t h a t a t e a c h i n s t a n to f t i m e t h e s y s t e m b e h a v e s a s it w e r e u n d e r s t a t io n a r y c o n d i ti o n s.

M a g n e t o s t a t i c e q u a t i o n s a r e a r e s t r i c t i o n o f g e n e r a l M a x w e l l ' s e q u a -t io n s , a n d w e t h u s b e g i n b y g i v i n g a s h o r t d e s c ri p t io n o f M a x w e l l 'se q u a t i o n s . T h i s is g o i n g t o b e l i tt le m o r e t h a n a s u m m a r y . A f t e r t h a t, t h ef u n d a m e n t a l m a g n e t o s t a t i c re l a ti o n s to b e u s e d i n s u b s e q u e n t s e c ti o n sa r e i n t r o d u c e d , a n d t h e c o n c e p t of m a g n e t i c m o m e n t o f a c u r r e n t d i st r ib u -t i o n i s d i s c u s s e d .


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3.1 MA GNETO STATICS 753 . 1 . 1 M a x w e l l ' s e q u a t i o n s

W e sh a l l c o n s i d e r M a x w e l l ' s e q u a t i o n s e x p re s se d i n t h e fo l l o w i n g fo rm :V " B = 0 ( 3 .2 )R aV X E + V " = 0 (3.3)3 t

e0 V -E = p (3.4 )0E1 V X B - e0 ~ = j ( 3 . 5 )/z0

Th e v a l u e o f t h e c o n s t a n t s e0 a n d / a o i n t h e S I sy s t e m o f u n i t s i s e0 =1/c2/,r ~ 8 .85 10 -12 far ad s p er m ete r (c i s the ve loci ty of l ight in thev a c u u m ) a n d ~ = 4 r 1 0 -7 h e n r y s p e r m e te r . A c c o rd i n g t o t h e d i s c u s s i o nm a d e a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a p te r , w e i n t e rp re t t h e se e q u a t i o n s a sr e f e r r i n g t o AV-averages . The electric f ie ld E(r , t ) and the magnet ic f ie ld 1B (r , t ) a r e & V -a v e ra g e s t a k e n o v e r t h e e l e m e n t a ry v o l u m e A V c e n t e r e da b o u t t h e p o s i t i o n r . A n a l o g o u s l y , p a n d j r e p re se n t & V -a v e ra g e s o f t h ee lec t r i c cha rge dens i ty and e l ec t r i c cu r ren t dens i ty .

Eq u a t i o n (3 .2 ) a n d Eq . (3.3 ) e x p re s s t h e a b se n c e o f m a g n e t i c c h a rg e s( the B f i e ld i s a lw ays so leno ida l ) an d Faraday's law of indu c t ion in d if fe ren -t ia l f o rm . Th e se t w o e q u a t i o n s a r e n o t c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t o f e a c ho the r. In fact , by t ak in g the d ive rg enc e o f Eq . (3 .3 ) an d b y no t ing tha t t hed i v e rg e n c e o f t h e c u r l o f a n y v e c t o r v a n i sh e s , o n e c o n c l u d e s t h a t V -B i sa cons tan t , w h ic h Eq . (3 .2 ) spec i f ie s t o be ze ro . Eq ua t io n (3 .2 ) an d Eq .(3 .3 ) i n c l u d e n o t e rm d e p e n d e n t o n t h e f i e l d so u rc e s , w h i c h m e a n s t h a tt h e y e x p re s s i n tr i n s ic p ro p e r t i e s o f t h e e l e c t ro m a g n e t i c f ie ld , v a li d u n d e ra ll c i r c u m s t a n c e s . Th e c o u p l i n g b e t w e e n t h e e l e c tro m a g n e t i c f i el d a n d i t ssource s i s desc r ibe d by Eq . (3 .4 ) an d Eq . (3 .5 ), w h ic h con ta in p an d j .Equa t ion (3 .4 ) shows tha t t he charge dens i ty i s t he source o f t he e l ec t r i cf i eld , whe rea s Eq . (3 .5 ) expre sses A m p & e ' s l a w i n d i f fe ren t i a l fo rm, wi tht h e a d d i t io n o f t h e d i s p l a c e m e n t c u r r e n t eoOE/Ot. Th i s t e rm i s u su a l l yi m p o r t a n t o n l y w h e n h i g h f r e q u e n c y p h e n o m e n a a r e c o n s id e r e d . It w i lla l w a y s b e n e g l e c t e d i n su b se q u e n t c o n s i d e ra t i o n s . E q u a t i o n (3 .4 ) a n d Eq .(3 .5 ) a l so a re connec ted by a re l a t ion . In fac t , by t ak ing the d ive rgence o fEq . (3 .5 ) and by t ak ing in to accoun t Eq . (3 .4 ) , one f inds the con t inu i tye q u a t i o n fo r t h e c h a rg e d e n s i t y

3p ~ V . j = 0 (3 .6 )3 te x p r e s s i n g t h e conservation of electric charge.

1The denom ination used in practice for B is magnetic induction or magnetic lux density.


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7 6 CHAPTER 3 M axw el l 'sEqu ations in M agnetic MediaTh e d e s c r ip t i o n o f t h e c o u p l in g b e tw e e n th e e l e c tro ma g n e t ic f i eld a n de le c tr ic c h a rg e s i s c o m p le t e d b y t h e Lorentz force e q u a t io n :

F = q (E + v B ) (3 .7 )w h ic h q u a n t i f i e s t h e fo r ce e x p e r i e n c e d b y a c h a rg e q m o v in g a t t h e v e lo c i t yv i n a r e g io n wh e re a n e l e c t ro ma g n e t i c f i e ld e x i s t s . W h e n c o n s id e r in gt h e f o r c e p e r u n i t v o l u m e F a c t i n g o n c o n t i n u o u s c h a r g e a n d c u r r e n td is t r ibu t ion s , Eq . (3 .7 ) beco m es

F = p E + j x B (3.8)Th e e l e c t r i c a n d ma g n e t i c p ro p e r t i e s o f ma t t e r d o n o t y e t a p p e a r

exp l ic i t ly in Eq . (3 .2 ) th r ou gh Eq . (3 .5 ). In fac t, they com e in to p lay w he no n e ma k e s s p e c i f i c a s s u mp t io n s a b o u t p a n d j . Th i s a s p e c t w i l l b e d i s -cus sed in Sec t ion 3 .2 . Before tha t , how ever , w e n eed to c la r ify ce r ta ing e n e ra l a s p e c t s o f t h e c o n n e c t io n b e tw e e n j a n d s t at ic ma g n e t i c f i eld s, a sd e s c r ib e d b y m a g n e t o s ta t ic M a x w e l l' s e q u a ti o n s .

3 .1 . 2 S t a t i o n a r y c u r r e n t sM a g n e to s t a t i c s d e s c r ib e s t h e ma g n e t i c e ff ec ts p ro d u c e d b y stationary cur-rents. A c c o rd in g t o t h e l a w o f c o n s e rv a t i o n o f t h e e le c tr ic c h a rg e , s t a t io n a ryc u r r e n t d e n s i t i e s a r e s o l e n o id a l , V 9 j = 0 . The so leno ida l ch a rac te r o f jimp l i e s t h a t we c a n s u b d iv id e a g iv e n c u r r e n t d i s t r i b u t io n i n to c u r r e n tf l u x t u b e s , l im i t e d b y c u r r e n t l i n e s t a n g e n t i a l t o t h e t u b e c ro s s - s e c t i o n ,w i th t h e i n t e g ra l o f t h e c u r r e n t d e n s i t y o v e r t h e c ro s s - s ec t io n b e in g c o n -s e rv e d a lo n g th e t u b e . Th e ma g n i tu d e o f s u c h i n t e g ra l i s t h e e l e c t r i cc u r r e n t I f l o win g a lo n g th e t u b e .Th e s tu d y o f t h e ma g n e t i s m d u e t o e l e c t r i c c u r r e n t s s t a r t e d wh e n , i n1 81 9, O e r s t e d d i s c o v e re d t h a t t h e p a s s a g e o f a c u r r e n t i n a w i r e d e f l e c t e da n e a rb y c o mp a s s n e e d l e . Th e k n o wle d g e o f t h i s r e s u l t t r i g g e re d t h ein t e r e s t o f m a n y s c ie n t is t s, i n c lu d in g B iot, S a v a rt , Am p 6 re , a n d F a ra d a y .I t w a s r e a l i z e d t h a t c u r r e n t s p ro d u c e d e ff ec ts a n d e x e r t e d fo rc e s n o t o n lyo n c o mp a s s e s b u t a l s o o n c u r r e n t - c a r ry in g w i r e s a n d t h a t t h e s e fo r c e sc o u l d b e d e s c r ib e d b y w h a t w e n o w c all t h e magnet ic f ie ld . T he f ie ld B(r)c r e a t e d a t t h e p o s i t i o n r b y a c lo s e d c u r r e n t l o o p o f a rb i t r a ry s h a p e o b e y sth e i n t e g ra l f o rm o f t h e Biot-Savart law:

/,~0I ~ dl( r ' ) x ( r - r ' )B (r ) = - ~ i r _ r , i 3 (3.9)wh e re d l ( r ' ) i s t h e i n f in i t e s ima l o r i e n t e d l i n e e l e me n t a n d t h e i n t e g ra l i sc a r r i e d o u t a lo n g th e w h o le l o o p . Du e to t h e l i n e a r i ty o f e l e c t ro ma g n e t i c


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3.1 MA GNETO STATICS 77e f f e c t s , w e c a n a d d u p m a n y s u c h f i e l d s t o e x p r e s s t h e f i e l d c r e a t e d b ym u l t i p l e c u r r e n t l o o ps . A c t u a ll y , b e c a u s e I dl c a n b e e q u i v a l e n t l y e x p r e s s e da s j( r' )d B r ', w h e r e j is t h e c u r r e n t d e n s i t y i n t h e v o l u m e e l e m e n t dSr o fa g i v e n c u r r e n t l o o p , w e c o m e t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e f i e l d d u e t o a na r b i t r a r y s o l e n o i d a l c u r r e n t d i s t r i b u t i o n w i l l b e

iz0 f j ( r ' ) x ( r - r ' ) dgr,B ( r ) - ~ I r - r'l 3 (3.10)V e c t o r a n a l y s i s 2 s h o w s t h a t E q . ( 3.1 0) c a n b e w r i t t e n i n t h e e q u i v a l e n tf o r m

( ~ o f jC r ')U C r ) - V x ~ I r - r 'l d3r ) (3.11)B , b e i n g t h e c u r l o f s o m e o t h e r v e c t o r , i s i t s e l f s o l e n o i d a l , V 9 B = 0.W e t h u s c o n c l u d e t h a t B s a ti s fi e s E q . (3 .2 ), o n e o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s .E q u a t i o n (3 .2 ) i s o n e o f t h e t w o f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s g o v e r n i n g m a g n e -t o s ta t ic p r o b l e m s . A n o t h e r e q u a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y c a l c u l a ti n g t h ec u r l o f E q . ( 3 . 1 1 ) . A f t e r s o m e v e c t o r a l g e b r a t r a n s f o r m a t i o n s , o n e f i n d s

1V x B = / z o j + ~ V I+-~'I (3.12)H o w e v e r , j is s o l e n o i d a l u n d e r s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s , s o t h e i n t e g ra l t e r mi s z e r o a n d t h e e q u a t i o n r e d u c e s t o

__1 V B = j (3.13 )/-+0w h i c h c o i n c id e s w i t h E q . (3 .5 ) w h e n d i s p l a c e m e n t c u r r e n t s a r e n e g le c t e d .T h i s i s t h e s e c o n d e q u a t i o n d e s c r i b i n g m a g n e t o s t a t i c p r o b l e m s . E q u a t i o n( 3 . 1 3 ) c a n b e e x p r e s s e d i n i n t e g r a l f o r m b y i n t e g r a t i n g i t o v e r a n o p e ns u r f a c e S l i m i t e d b y t h e c o n t o u r b o u n d a r y C . T h e r e s u l t i s Amp&e's law

B . dl = lz0/ (3 .14)c

w h e r e I i s t h e c u r r e n t f l o w i n g a c r o s s S .M a g n e t o s t a t i c p r o b l e m s a r e c o n v e n i e n t l y t r e a t e d b y i n t r o d u c i n g t h e

vector potential A , d e f i n e d b y t h e r e l a t i o nB = V X A (3.15 )2The principal relations of interest are lis ted in A ppendix B.


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78 CHA PTER 3 M axwel l 's Equat ions in Magnet ic M ediaw h i c h g u a r a n t e e s t h a t V 9 B = 0 . Th e eq u a t io n V B = #0 j t h e n t ak e st h e f o r m

V x V A = V (V . A) - V2A =/ z0 j (3 .16)B e c a u s e B = V A a n d n o t A is t h e o b s e r v a b l e f i e ld , t h e r e is s o m ea r b i t r a r i n e s s i n t h e c h o ic e o f A i ts e lf . In p a r t i c u l a r , w e c a n c h o o s e t o w o r ki n t h e s o - c a l l e d C o u l o m b g a u g e , w h e r e V 9 A = 0 . A cc or d i ng to Eq . (3 .16) ,i n t h i s g a u g e t h e v e c t o r p o t e n t i a l s a t i s f i e s Pois son ' s equat ion

V2A = - /~0j (3 .17)w h o s e s o l u t i o n u n d e r a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s

A(r ) = ~ ~ j ( r ' ) d3r , (3.18)47I"T h i s i s j u s t t h e e x p r e s s i o n a p p e a r i n g u n d e r t h e c u r l o f E q . (3 .1 1), a s i ts h o u l d b e .

3.1 .3 M a g n e t i c m o m e n t sW h e n d e a l i n g w i t h c o m p l e x c u r r e n t d is t r i b u t io n s , l i ke t h e o n e s s e e m i n g l ye x i s t in g i n s i d e a m a g n e t i c m e d i u m , i t i s o f b a s i c i m p o r t a n c e t o e x tr a c tt h e d o m i n a n t f e a tu r e s o f t h e m a g n e t i c f i el d c r e a t e d b y t h e d i s t r i b u t io n ,l e a v i n g a d d i t i o n a l d e t a i ls to h i g h e r - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s . L e t u s c o n s i d e ra s t a t i o n a r y c u r r e n t d i s t r i b u t i o n c o n f i n e d t o s o m e r e g i o n f~ o f s p a c e . L e tu s c h o o s e t h e o r i g i n o f s p a c e c o o r d i n a t e s a t s o m e p o i n t i n s i d e f~ a n d l e tu s c a l c u l a t e t h e v e c t o r p o t e n t i a l a t l a r g e d i s t a n c e s f r o m t h e r e g i o n , i . e . ,a t p o s i t i o n s r su ch th a t I r i > > Jr' i, w h e n r ' va r ie s ov er f~ (Fig . 3 .1 ) . Bym a k i n g a s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e t e r m 1 / I t - r ' I o f E q . (3 .1 8) , o n e o b t a i n s

A ( r) = # ~ [ ~ f d 3 r 1 f ( r . r ' ) j ( r ' ) dgr ' ]( r') + ~ + . . . ( 3. 19 )

A { r )

f2FIGURE 3.1 . Vector relations used in dipolar expansion.


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3.1 MA GNETO STATICS 79T h e f i r s t t e r m i s z e r o a s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t j i s s o l e n o i d a l a n dc o n f i n e d t o f t . T h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n i s g i v e n b y t h e s u b s e q u e n tt e r m . A g a i n f r o m t h e f a c t t h a t j i s s o l e n o i d a l a n d c o n f i n e d t o f l , o n e c a ns h o w t h a t , f o r a n y c o u p l e o f c a r t e s i a n c o m p o n e n t s , ( x'i , x 'j ) a n d (ji, jj), o fr ' a n d j , t h e i n t e g r a l o v e r f ~ o f (x'i]i + x ' j j i ) i s z e r o . Th i s p e r m i t s o n e tot r a n s f o r m t h e s e c o n d t e r m o f E q . (3 .1 9) in t o t h e e q u i v a l e n t f o r m

A ( r ) = / z ~ x r4 r r 3 + ' ' " ( 3.2 0)w h e r e

f r ' x j ( r ' ) d3r, (3.21)m = 2r e p r e s e n t s t h e magnetic moment o f t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n . 3 I f t h e c u r r e n ti s p r o d u c e d b y t h e m o t i o n o f p a r t ic l e s a ll h a v i n g t h e s a m e c h a r g e - t o - m a s sr a t io qo/mo, Eq. (3 .21) reduces to

m = q0 L (3.22)2m 0w h e r e L i s t h e t o t a l orbital angular m ome ntum o f t h e p a r t i c l e s y s t e m . O nt h e o t h e r h a n d , i f m i s a s s o c i a t e d w i t h a n e l e m e n t a r y c u r r e n t l o o p c a r r y i n gt h e c u r r e n t I a n d e n c i r cl i n g th e a r e a A , t h e n m = h A L w h e r e n i s t h e u n i tv e c t o r n o r m a l t o A .

F o r a g e n e r i c c u r r e n t d i s t r i b u t i o n , E q . ( 3 . 2 0 ) , b e i n g t h e f i r s t t e r m o fa s e r i e s e x p a n s i o n , h a s a n a p p r o x i m a t e v a l i d i t y a n d h o l d s o n l y w h e n ris m u c h l a rg e r t h a n t h e d i m e n s i o n s o f t h e r e g io n t o w h i c h t h e c u r re n td i s t r i b u t i o n is c o n f in e d . T h i s f ar r e g i o n i s o f t e n t h e r e a l ly i m p o r t a n t o n e ,w h e r e a s t h e d e t a i l s p e r t a i n i n g t o th e r e g i o n c l o s e to f~ h a v e a m i n o r r o le .T o d e a l w i t h s u c h c a s es , it is u s e f u l t o i n t ro d u c e t h e i d e a l i z e d c o n c e p t o felementary magnetic moment ( w e s h a l l a l s o u s e t h e t e r m magnetic dipole),i n t e n d e d a s a p o i n t l i k e s o u r c e o f s t r e n g t h m , g e n e r a t i n g a v e c t o r p o t e n t i a le x a c t l y e q u a l t o E q . ( 3 . 2 0 ) e v e r y w h e r e . T h e m a g n e t i c f i e l d c r e a t e d b y t h em o m e n t c a n b e c a l c u l a t e d b y t a k i n g t h e c u r l o f E q . ( 3 . 2 0 ) . A t a n y p o i n tr # : 0 , the resu l t i s the dipolar field (see Fig . 3 .2)

= -- (3.23)S o m e a d d i t i o n a l c o n s i d e r a t i o n i s n e c e s s a ry , h o w e v e r , t o c l a ri fy t h e n a t u r eo f t h e s i n g u l a r i t y o f E q . ( 3 . 2 3 ) a t t h e o r i g i n . T o t h i s e n d , t h e f o l l o w i n g

3Note that the v alue o f m in Eq. (3.21) is indep ende nt of the location of the origin, becausethe in tegral of j(r') ov er f~ is zero.


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80 CHA PTER 3 M axwell 's Equations in Magnetic Media

FIGURE 3.2 . Geo m etry of dipolar field (Eq. 3.23). The mo m ent m is placed alongthe vertical direction at the center of the figure. B (r) is everywh ere tan gential tothe field lines shown in the figure.

g e n e ra l r e su l t o f m a g n e t o s t a t i c s i s h e l p fu l. G i v e n a c u r r e n t d i s t r i b u t i o nc o n f i n e d t o so m e r e g i o n f~ o f sp a c e , t h e f i el d B ( r) g e n e ra t e d b y t h e d i s t r i b u -t io n h a s t h e p r o p e r t y t h a t its v o l u m e i n te g r a l o v e r a n y s p h e r e c o n t a i n i n gf~ i s equal to

f B (r ') -- m (3.24)~0d 3 r , 3spherew h e r e m is t h e m a g n e t ic m o m e n t o f t h e c u r r e n t d is t ri b u ti o n . T h e d i m e n -s i o n s o f t h e sp h e re a r e n o t i m p o r t a n t , p ro v i d e d f~ l ie s c o m p l e t e ly i n s i d ethe sph ere . T here fo re , i t i s a l so t rue tha t , i f w e t ak e tw o ge ner i c sph eresb o t h c o n t a i n i n g f~ , t h e i n t e g ra l o f B ( r ' ) o v e r t h e sp a c e i n b e t w e e n t h e t w osp h e re s i s a l w a y s z e ro . I n o rd e r t o m a k e Eq . (3 .2 3 ) c o m p a t i b l e w i t h Eq .(3 .24) , we can modi fy i t i n to

B ( r ) = ~ ~ [ 3 r ( r ' m ) m ~ff ]rS - ~ + m S(r) (3.25)

The m odi f i c a t ion does no t a l t e r t he f i e ld va lue s fo r r 4= 0 . A t the s am et i m e , t h e s i n g u l a r i t y a t t h e o r i g i n su m m a r i z e s a l l t h e sh o r t - s c a l e d e t a i l so f t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n r e sp o n s i b l e fo r m . H o w e v e r , E q u a t i o n (3.2 5)h a s t o so m e e x t e n t a c o n v e n t i o n a l c h a ra c te r , b e c a u s e i t h o l d s u n d e r t h ea s su m p t i o n t h a t t h e i n t e g ra l o f t h e d i p o l a r p a r t o v e r a sm a l l sp h e re c o n -


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3.2 M AGN ETIZED M EDIA 81t a i n i ng t he o r i g i n va n i s he s . T h i s i n t e g r a l i s no t s t r i c t l y c onve r ge n t , a ndt h e r e s u l t w i l l i n g e n e r a l d e p e n d o n t h e w a y t h e i n t e g r a t i o n i s c a r r i e do u t . A n u l l r e s u l t is o b t a i n e d b y p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a ti o n o v e r c o n c e n t r ics p h e r i c a l s h e l l s a r o u n d t h e o r i g i n , w h i c h g i v e s z e r o a s a c o n s e q u e n c e o ft h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h e d i p o la r f ie ld . O n e s h o u l d b e a r i n m i n dt h a t t h is a s s u m p t i o n o n t h e o r d e r o f in t e g r a t i o n i s a l w a y s i m p l i ci tl y p r e s -e n t w h e n one m a k e s u s e o f E q. ( 3.25 ). W e f i na l ly po i n t ou t t ha t , if one g oe st h r ou gh t he de t a i l s o f t he de r i va t i on o f E q . ( 3. 24 ) , one r e a l i z e s t ha t t h i s r e s u l tis t h e d i re c t c o n s e q u e n c e o f e x p r e s s i n g B = V A , w h i c h i n t u r n a m o u n t st o a s s u m i n g t h a t V 9 B = 0 e ve r yw he r e . I n t h i s s e ns e , the s i n gu l a r t e r mi n E q . ( 3 . 25 ) t a ke s a c c ou n t o f t he f a c t t ha t t he f i el d ge n e r a t e d by t hee l e m e n t a r y m o m e n t m u s t s a t i s f y t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n V 9 B = 0e ve r yw he r e i n s pa c e , i nc l ud i ng a t t he o r i g i n i t s e l f .

3.2 M A G N E T I Z E D M E D I AM a g n e t i z e d m a t t e r i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t i t c a n p r o d u c e b yi t s e l f a m a gne t i c f i e l d i n ou t e r s pa c e , a s a c ons e que nc e o f i t s a t om i cs t r uc t u r e . T he m i c r o s c op i c c u r r e n t s r e s pons i b l e f o r t he f i e l d de r i ve f r ome le c tr o n ic m o t i o n i n s i d e a t o m s a n d f r o m t h e e le c t ro n sp in angu lar momen-t u m . W e s h a l l d e n o t e t h e s e m i c r o s c o p i c c u r r e n t s b y t h e s y m b o l jmicro,l e a v i n g j t o i n d i c a t e t h e m a c r o s c o p i c c o n d u c t i o n c u r r e n t s t h a t m a y f l o wa n y w a y a c r o s s t h e m e d i u m . L a t er , w e s h a l l a d d r e s s t h e p r o b l e m o f t h eq u a n t u m o r i g i n o f jmicro a n d o f i t s d e s c r i p t i o n i n t e r m s o f e l e m e n t a r ym a g n e t ic m o m e n t s . F o r t h e m o m e n t , w e s i m p l y a s s u m e th a t, w h a t e v e ri t s n a t u r e a n d d e t a i l e d d i s t r i b u t i o n , jmicro can b e t re a te d b y t h e m e t h o d sde ve l op e d i n the p r e v i ou s s e c t i on to de s c r i be t he f a r - fi e ld o f a ge ne r i cs t a t i o n a r y c u r r e n t d i s t r i b u t i o n .T he e x i s t e nc e o f m i c r o s c op i c c u r r e n t s de s c r i b i ng c e r t a i n p r ope r t i e s o fm a g n e t i c m e d i a l e a d s t o th e i n t r o d u c t i o n o f a n a d d i t io n a l f ie ld , th e Hf ie ld , w h i c h s h a r e s w i t h B t h e n a m e a n d t h e s t a t u s o f m a g n e t i c fie ld . T h eH f ie l d is o f ba s i c im po r t a nc e i n o r d e r t o c ha r a c t e r i z e m a gn e t o s t a t i c e f f ec tso c c u r r i n g i n t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i z e d m a t t e r .

3.2 .1 M a g n e ti c m o m e n t s a n d m a g n e t iz a t i o nL e t u s c o n s i d e r a m a g n e t i c m e d i u m i n w h i c h n o m a c ro s c o p ic c o n d u c t i o nc u r r e n t s a r e f l ow i ng . T h e m i c r o s c op i c c u r r e n t s jm icro p r e s e n t i n a g i v e n


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8 2 CHAP TER 3 M axwell ' s Equations in Magnetic M ediae l e m e n t a r y v o l u m e AV cen t e r ed abo u t t he po s i t i on r g i ve ri s e t o t he AV-a v e r a g e d c u r re n t

jM(r) = A~ f jmicr~ d3r' (3.26)aV

jM wil l be cal led magnet i za t ion current a n d r e p r e s e n t s t h e c u r r e n t d e n s i t yi nvo l ved i n &V - ave r aged M axw e l l ' s equa t i ons (E q . ( 3.5 )) . T he p r i m e cha r -ac te r i st i c o f jM i s tha t i t en ta i l s no m acrosc opic f low of charg es across thebody3 a s a cons eq uence o f t he f ac t tha t i t de s c r i bes cu r r en t l oops co n f i nedt o a t omi c d i s t ances . T h i s means t ha t t he s u r f ace i n t eg r a l o f j M ove r anygene r i c c r o s s - s ec t i on S o f t he body mus t be ze r o :

J M " d a = 0 (3.27)JS

This f ac t ind ica te s tha t jM(r ) i s expres s ib le as the cu r l o f an oth er vec torM ( r ) :

jM(r) = V X M (r) (3.28)In f ac t, by inser t in g Eq . (3 .28) in to Eq . (3 .27) an d by con s ide r ing tha t jMi s ze r o o u t s i de t he body , one can t r an s f o r m E q . ( 3.27 ) i n t o t he l i ne i n t eg r a lo f M a l ong s ome con t ou r C compl e t e l y ex t e r na l t o t he body , and t h i si n t eg r a l van i s hes unde r a l l c i r cums t ances , p r ov i ded w e t ake M ( r ) = 0ou t s i de t he body .M i s ca l l ed the magnet i za t ion o f th e b o d y . It s p h y s i c a l m e a n i n g b e c o m e sc l e a r w h e n w e c o n s i d e r t h e t o t a l m a g n e t i c m o m e n t a s s o c i a t e d w i t h t h em ag ne t iza t ion cur re n t jM(r ). Ac cord ing to Eq . (3 .21) an d Eq . (3 .28),

f r 'X(V x M (r ' ) ) dgr, (3.29)m = 2F/

T h i s e q u a t i o n c a n b e t r a n s f o r m e d b y e x p l o i t i n g t h e v e c t o r r e l a t i o nr x ( V x M ) = V ( r .M ) - ( r. V )M - M . T he i n t eg r a l o f t he f ir st t e r m van i s hesbecaus e i t c an be r educed t o a s u r f ace i n t eg r a l ca l cu l a t ed ove r a c l o s eds u r f ace a r ou nd t he body , w h e r e M -- 0. A f t e r an i n t eg r a t i on by pa r t s , t hes econd t e r m becomes equa l t o a s u r f ace i n t eg r a l , w h i ch van i s hes f o r t hes ame r ea s on , p l u s t he i n t eg r a l o f 3M . O ne conc l udes t ha t t he i n t eg r a l o fr X ( V x M ) is e q u a l t o t h a t o f 2 M , w h i c h g i v e s

= [ M ( r ' ) d3r ' (3.30),/

E qu a t i on ( 3 .30 ) s how s t ha t M ( r) r ep r e s en t s t he de ns i t y o f m agn e t i c m o-m en t i n t he body . N o t e t ha t E q . ( 3 .28 ) does n o t de f i ne M ( r ) un i que l y ,


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3.2 MA GNE TIZED ME DIA 83b e c a u s e a d d i n g t o M t h e g r a d i e n t o f a n a r b i t r a r y f u n c t i o n h a s n o ef fe c to n V T h is a r b it r a ri n e s s is e l i m i n a t e d w h e n e v e r a p p r o p r i a t e p h y s i c alc o n s i d e r a t i o n s p e r m i t o n e t o a s s o c i a t e a d e f i n i t e m a g n e t i c m o m e n t t oe a c h s e p a r a t e v o l u m e A V. I n p a r ti c u l a r , i f t h e b o d y c o n s i s t s o f a c o l l e c ti o no f e l e m e n t a r y m o m e n t s m i o f th e t y p e d i s c u s s e d i n S e c t io n 3 .1 .3 , t h em a g n e t i c m o m e n t A m ( r ) a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n e l e m e n t a r y v o l u m e A Vw i l l b e A m ( r ) = ~imi, w h e r e t h e s u m r u n s o v e r t h e m o m e n t s c o n t a i n e di n A V. I n t h i s c a s e , t h e n a t u r a l p h y s i c a l d e f i n i t i o n o f M ( r ) c o n s i s t e n t w i t hEq . (3 .30) i s M(r ) = (~ imi) /AV.A c c o r d i n g t o E q. (3.2 8), t h e m a g n e t i c f i e ld c r e a t e d b y t h e m e d i u m i si d e n t i c a l t o t h e f i e l d t h a t w o u l d b e c r e a t e d b y t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o njM ( r) = V M ( r ) . I f c o n d u c t i o n c u r r e n t s a r e a l s o p r e s e n t a n d p r o d u c et h e a d d i t i o n a l c u r r e n t d e n s i t y j (r ), t h e s u m j (r ) + V M ( r ) i s t h e to t a lc u r r e n t t o b e c o n s i d e r e d . F o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s , w e r e c a l l t h a ts i m i l a r c o n s i d e r a t i o n s l e a d t o t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e e l ec t ri c p o l a r i z a t i o nP a s a w a y t o d e s c r i b e a t o m i c c h a r g e d i s t r i b u t i o n s p p( r) = - V 9 P(r) ind i e l e c t r i c m a t e r i a l s . W h e n t h e s e m a g n e t i z a t i o n a n d p o l a r i z a t i o n e f f e c t sa r e ex p l i c i t l y i n t r o d u ced in Eq . ( 3 .4 ) an d Eq . ( 3 .5 ) , o n e o b ta in s t h e d e r iv ede q u a t i o n s

3 DV . D = p V H O t - j (3 .31)w h e r e n o w p d e s c r i b e s f r e e c h a r g e s o n l y a n d j c o n d u c t i o n c u r r e n t s o n l y .T h e d e r i v e d f i el d s D a n d H a r e g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n s

D = e 0 E + P H = I B - M (3.32)/-*0I n t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i c m e d i a , t h e f i e ld H d e f i n e d b y E q . (3 .3 2) ta k e st h e p l a c e o f B / / z 0 i n o n e o f t h e t w o m a g n e t o s t a t i c e q u a t i o n s , E q . ( 3.1 3),w h i c h b e c o m e s 4

X7 H = j (3.3 3)F o r h i s t o r i c a l r e a s o n s , t h e t e r m ma gnet ic f ie ld i s u s u a l l y r e s e r v e d f o r t h eH f i e l d , w h e r e a s t h e B f i e l d i s c o m m o n l y t e r m e d magnet ic induct ion o rmagne t ic f l u x dens it y . I n s p it e o f t h is s o m e w h a t m i s l e a d i n g t e r m i n o lo g y ,o n e s h o u l d b e a r i n m i n d t h a t B r e p r e s e n t s t h e A V - a v e r a g e of m i c r o s c o p i cm ag n e t i c f i e ld s , an d i t i s t h e f i e ld in v o lv ed in Eq . ( 3 .2 ) an d Eq . ( 3 .3 ) ,e q u a t i o n s t h a t e x p r e s s g e n e r a l i n t r i n s ic p r o p e r t i e s o f t h e e l e c t ro m a g n e t i cf ie ld . C o n v e r s e ly , H i s a d e r i v e d f ie ld , t h o u g h o f e x t r e m e i m p o r t a n c e i nt h e d e s c r i p t i o n o f m a g n e t i c m a t e r i a l s .

4 I n the presenc e of ma gnetic m edia, A m p6re's law , Eq. (3.14), becom es ~H 9dl = I.


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84 CHAPTER 3 M axwel l 's Equat ions in Magnet ic M ediaT h e n a t u r e a n d t h e o r i g i n o f t h e m a g n e t i z a t i o n c u r r e n t s JM c a n b e

c l a r i f i e d o n l y i n t h e f r a m e w o r k o f q u a n t u m m e c h a n i c s . I n p a r t i c u l a r , t h em a g n e t i s m o f f e r ro m a g n e t i c m a t e r i a l s is b a s ic a l ly d u e t o th e electron spina n g u la r m o m e n t u m , a g e n u i n e q u a n t i s t i c e ff ec t. A c c o r d i n g t o th e r e l a t i v i s t icD i r a c e q u a t i o n f o r t h e e l e c t r o n , n o t o n l y t h e o r b i t a l c u r r e n t d e n s i t y , b u ta l so t h e s p i n c u r r e n t d e n s i t y t a k e s t h e f o r m V M . I n t h i s c a se , t h e s p a c ei n t e g r a l o f t h e m a g n e t i z a t i o n M , w h i c h r e p r e s e n t s t h e s p i n m a g n e t i cm o m e n t , t u r n s o u t t o b e e q u a l t o th e e x p e c t a t io n v a l u e o f (qe /me)S , w h e r eqe an d m e a r e t h e e l e c t r o n c h a r g e a n d m a s s a n d s i s t h e s p i n a n g u l a rm o m e n t u m o p e ra t or . T h is re s u l t is t w i ce w h a t w o u l d b e e x p e c t e d o n t h eb a s i s o f t h e c l a s s i c a l r e l a t i o n e x p r e s s e d b y E q . ( 3 . 2 2 ) . T h e s c o m p o n e n ta l o n g a g i v e n d i r e c t i o n c a n t a k e t h e v a l u e s + h / 4 c r , w h e r e h i s P l a n c k ' sc o n s ta n t . T h is m e a n s t h a t t h e m a g n e t i c m o m e n t w i ll ta k e o n e o f t h e t w ov a l u e s + _hqe/4r e. T h e q u a n t i t y ~ B = hqe/4"arne ~- 9 .27 10 -24 A m 2 i sk n o w n a s t h e Bohr magne ton a n d r e p r e s e n t s t h e n a t u r a l a t o m i c u n i t o fm a g n e t i c m o m e n t s . T h e e l e c t r o n s p i n m o m e n t p r o d u c e s a B f i e l d o f t h et y p e d i s c u s s e d i n S e c ti o n 3 .1 .3 , a n d b e h a v e s i n t h is s e n s e l ik e a n e l e m e n -t a r y m a g n e t i c m o m e n t . F o r e x a m p l e , E q . ( 3 . 2 5 ) c o r r e c t l y d e s c r i b e s t h ee l e c t r o n - n u c l e u s h y p e r f i n e i n t e r a c t i o n , a n d t h e 8 (r) s i n g u l a r i t y a t t h e o r i-g i n t u r n s o u t t o b e d i r e c t l y r e s p o n s i b l e f o r t h e h y p e r f i n e s p l i t t i n g o fs - s t a t e s . A s m e n t i o n e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c h a p t e r , o n e c a n c o n v e -n i e n t l y i n c l u d e t h e s e q u a n t u m f e a t u r e s i n t h e c l a s s i c a l f r a m e w o r k o fm a c r o s c o p i c M a x w e l l ' s e q u a t i o n s b y p o s t u l a t i n g t h e e x is te n c e, i n a d d i t i o nt o e l e c t r i c c h a r g e s , o f e l e m e n t a r y m a g n e t i c m o m e n t s , c h a r a c t e r i z e d b yE q . (3 .2 5), o f i n h e r e n t l y f ix e d a n d p e r m a n e n t s t r e n g t h . T h e d e s c r i p t i o n o fa m a g n e t i c m e d i u m a s a n a s se m b l y o f s u c h e l e m e n t a r y m o m e n t s p r o v i d e sa c o n v e n i e n t p h e n o m e n o l o g i c a l f r a m e w o r k f o r t h e in t e r p r e t a ti o n o f m a n ym a g n e t i c p h e n o m e n a , i n c l u d i n g t h e o n e s o f i n t e r e s t i n t h i s b o o k . T h i sp o i n t w i l l b e f u r t h e r a d d r e s s e d i n c h a p t e rs 4 a n d 5.

G i v e n t h e g e n e r a l r e l a t i o n s h i p c o n n e c t i n g B , H , a n d M ( E q . ( 3 . 3 2 ) )B =/ .~o(H + M ) (3 .34)

t h e m a g n e t i c p ro p e r ti e s o f a h o m o g e n e o u s m e d i u m a re d e f in e d o n c e w ek n o w t h e f u n c t i o n a l d e p e n d e n c e B ( H ) o r M ( H ) , t h e s o - c a l l e d cons t i tu t ivelaw o f t h e m e d i u m . T h e r e a s o n w h y H r a t h e r t h a n B p la y s t h e ro le o fn a t u r a l i n d e p e n d e n t v a r i a b l e w i l l b e c o m e c l e a r i n C h a p t e r 4 , w h e n w es h a l l d i s c u s s m a g n e t i c e n e r g y r e l a t i o n s . I f t h e m e d i u m i s i s o t r o p i c a n dn o h y s t e r e s i s o c c u r s , t h e c o n s t i t u t i v e l a w t a k e s t h e s i m p l e f o r m

B = / ~ H o r M = x H (3.35)w h e r e # a n d X a re t h e permeabi l i t y a n d t h e suscept ibi l i ty o f t h e m e d i u m ,r e s p e c t i v e l y . / ~ a n d X a r e c o n n e c t e d b y t h e r e l a t io n

]z = ~0(1 + X) (3.36)


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3.2 M AGN ETIZED M EDIA 85I n o r d e r t o e n s u r e t he r m od yn a m i c s t a b il it y , t he i ne q ua l i t i e s / ~ >-- 0 a n d,~, -> - 1 m u st be sa t i s f ied. 5

T h e l a w g i v e n b y E q . (3 .3 5 ) h a s t h e a d v a n t a g e o f s im p l i ci ty , b u t w ek n o w f r o m C h a p t e r I t h a t it is d e f i n i te l y i n a d e q u a t e t o d e s c ri b e f e r r o m a g -n e t ic s y s t e m s . I n a fe r r o m a g n e t i c b o d y , t h e d e p e n d e n c e 3 f M o n H isu s ua l l y a n i s o t r op i c , non l i ne a r , a nd hys t e r e t i c . I n pa r t i c u l a r , t he r e m a ye x is t a p e r m a n e n t m a g n e t i z a t i o n M e v e n i n t h e a b s e n c e o f e x t e r n a l a c ti o n s.M o r e c o m p l e x l a w s a r e n e e d e d , w h i c h w i l l b e g r a d u a l l y i n t ro d u c e d i nt h e f o l l o w i n g c h a p t e r s .

3.2 .2 Electrostat ic analogyL e t u s c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e m a g n e t i z a t i o n o f a g i v e n b o d y i sk n o w n i n a d v a n c e a n d is p e r m a n e n t . W e d o n o t c a re a b o u t t h e p ro c e s se st h a t m a y c r e a t e s u c h a s i t u a t i o n ; t h e s e h a v e t o d o w i t h t h e r e s p o n s e o ft he body t o e x t e r na l a c t i ons , t o be d i s c us s e d i n t he ne x t c ha p t e r . W e j u s ta s s u m e t o k n o w t h e s p a t ia l d i s t ri b u t i o n o f m a g n e t i z a t io n , M ( r) , a n dw e l o o k f o r t h e e n s u i n g p r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t i c f i e l d . T o t h i s e n d ,l et u s c o n s i d e r t h e s o l u t i o n o f m a g n e t o s t a t ic e q u a t i o n s , E q . (3 . 2 ) a n dE q . ( 3 . 33 ) , i n a r e g i on o f s pa c e w he r e no c onduc t i on c u r r e n t s a r ep r e s e n t . W e h a v e

V . BM --- 0 (3.37 )V X H M = 0

T he s u bs c r i p t i n BM a n d H M i s t o r e m i nd t ha t t he s e f i e ld s a r e t he c ons e -q u e n c e o f t h e e x i st e n c e o f a c e r ta i n m a g n e t i z a t i o n M ( r) i n t h e s y s t e m . W ec a n w r i t e E q . ( 3 .3 7 ) i n o n e o f tw o e q u i v a l e n t f o r m s . O n t h e o n e h a n d ,f r o m E q . ( 3 .3 4 ) w e h a v e

V . BM = 0 (3.38)I V BM = jM/z0

w he r e , a c c o r d i n g t o E q . ( 3 .28 ) , jM = V X M . T he s e a r e ju s t t he t w om a g n e t o s t a t ic e q u a t i o n s d i s c u s s e d i n S e c ti o n 3 .1 . T h e v e c t o r p o t e n t ia l Ai s t h e n a t u r a l p o t e n t i a l c h a r a c t e r i z i n g t h e p r o b l e m a n d t h e s o l u t i o n i sg iven by Eq . (3 .18) , t ha t i s ,

]z0 f V x M ( r ' ) d3r,AM(r) (3.39)-

5Thermodynam ic stability is discussed in Section 4.2.1.


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8 6 CH APT ER 3 M axw ell 's Equat ions in M agnetic M ediaO n t h e o t h e r h a n d , w e c a n w r i t e E q . ( 3 .3 7 ) a s

V . H M = PMV X H M = 0w h e r e

(3.40)

PM = -- V 9 M (3.41)E q ua t i o n ( 3 .40 ) i s f o r m a l l y e qu i va l e n t t o t he s e t o f e l e c tr o s t a ti c e qu a t i on sfor t he e l ec t r i c f i e l d . The quant i t y PM o f E q . ( 3 .41 ) p l a y s t he r o l e o f " m a g -ne t i c c ha r ge " de ns i t y . T he e xp r e s s i on f ree magnet ic charges o r f ree magnet icpoles i s o f t e n u s e d t o r e f e r t o PM . F o l l o w i n g t h is a n a lo g y , w e c a n i n t r o d u c eth e magnetic scalar potential , ~M, d e f i n e d b y t h e r e l a t i o n

HM = --V~M (3.42)w h i c h gu a r a n t e e s t ha t V H M = 0 . F r o m E q . (3 .40 ), w e s e e tha t ~ M obe ysP o i s s o n 's e q u a t i o n

w h i c h g i v e s th e s o l u t io nV2~M -" --PM (3.43)

1 ff V - M ( r ' ) d3r , (3.44)~ M ( r ) - 4r i t - r '[T h e r e i s a p e r f e c t p a r a l l e l i s m b e t w e e n t h e t w o a p p r o a c h e s . I n f a c t , o n ef i n d s i n th e l i te r a t u r e p r e s e n t a t i o n s o f m a g n e t o s t a t i c s b a s e d o n A m p e r i a ncurren ts (jM ) , w h e r e B is th e f u n d a m e n t a l f ie l d a n d A M is th e f u n d a m e n t a lp o t e n t i a l, a n d o t h e r s b a s e d o n magnetic charges (P M ), w h e r e i n s t e a d H a n d~M h a v e t h e p r i m a r y r ol e. T r e a tm e n t s b a s e d o n H a r e o f t e n m o r e u s e f u l ,b e c a u s e i t i s s i m p l e r t o d e a l w i t h s c a l a r p o t e n t i a l s , a n d m a g n e t i c c h a r g ed i s t r i b u t i o n s g i v e a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m e d i u m t h a t i s m u c h m o r ei n tu i ti v e t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g r e p r e s e n t a ti o n i n te r m s o f m a g n e t i z a t i o nc u r r e n t s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e e l e c t r o s t a t i c a n a l o g y i s n o t h i n g m o r et h a n a m a t h e m a t i c a l a n a l o g y . M a g n e t i c c h a r g e s a r e a u s e f u l a b s t r a c t i o nb u t h a v e n o p h y s i c a l e x is te n c e. T h i s is al so e v i d e n t f r o m t h e f a ct t h a t t h ee q u a t i o n V 9 B M = 0 o f E q . (3 .3 8 ) d e s c r ib e s a f u n d a m e n t a l p r o p e r t y o ft h e m a g n e t i c f ie ld , w h e r e a s t h e p a r a l le l e q u a t i o n V H M = 0 p r e s e n t i nE q . ( 3 .40 ) ha s a l i m i t e d va l i d i ty , a s i t on l y a pp l i e s t o t ho s e r e g i ons o f s pa c ef re e f r om c on du c t i on c u r r e n t s . A c c o r d i ng t o E q . (3 . 33 ), t he H f ie l d , as age ne r a l r u l e , i s no t c ons e r va t i ve .

A l a s t c ons i d e r a t i on c onc e r ns t he a pp l i c a t i on o f E q . (3 . 39 ) a n d E q .( 3.4 4 ) t o a m a g n e t i c b o d y o f f in i te d i m e n s i o n s . M u n d e r g o e s s u d d e nv a r i a t i o n s a t t h e b o d y s u r fa c e , b e c a u s e M = 0 o u t s i d e t h e b o d y . T h i s


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3.2 MA GNETIZED MEDIA 87

p r o d u c e s a q u a s i -s i n g u l a r b e h a v i o r o f V 9 M a n d V x M a t th e b o d ysur face , wh ich g ives a sepa ra t e con t r ibu t ion to the in t eg ra l s o f Eq . (3 .39)a n d Eq . (3 .4 4 ) . I n t h e i d e a l i z e d l i m i t w h e re M d i s c o n t i n u o u s l y j u m p s t ozero a t the body surface , Eq. (3 .39) and Eq. (3 .44) take the form

f V x M (r ' ) d3r, x M ( r ' )v s I r - r ' l da' (3.45)

1 f V " M ( r ' ) d 3 r , + 1 ~ n . M ( r ' ) da' (3.46)~ M ( r ) - 4 zr i t - r 'l ~ I r - r 'lv sIn b o t h e q u a t i o n s , t h e f ir s t i n t e g ra l i s a v o l u m e i n t e g ra l o v e r t h e b o d yv o l u m e V, a n d t h e s e c o n d i s a su r f a c e in t e g ra l o v e r t h e b o d y b o u n d a rysur face S . n i s t he un i t vec to r no rmal to the su r face e l emen t da' a n dp o i n t i n g o u t o f t h e b o d y . Th e q u a n t i t i e s

kM = - n x M (3.47)crM = n . M

d e sc r i b e t h e e f fe c t o f t h e m e n t i o n e d s i n g u l a r i ti e s a t t h e b o d y su r fa c e . Th e yp l a y t h e ro l e o f surface magnetization current (k M ) a n d o f surface magneticcharge den sity (~rM) (se e Fig . 3.3).S u r f a c e c u r r e n t s a n d su r f a c e c h a rg e s a r e fo rm e d n o t o n l y a t t h e b o d ysu r fa c e , b u t , m o re g e n e ra ll y , w h e n e v e r t h e m a g n e t i z a t i o n e x h i b it s d is c o n -

T n ~ urface~ poles

n surfacecurrents

FIGURE 3.3 . U niform ly ma gne tized cylinder with represen tation of surface polesand surface currents (Eq. 3.47).


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3.2 MA GNET IZED ME DIA 89

a HM

n Bn ,,.

BMFIGURE 3.4 . M agnetizat ion, magne tostat ic f ie ld, and ind uction for uniform lyma gnet ized e l lipso id. Inside the body , H M = - N M and BM = /~(1 - N)M;outs ide the body , M = 0 and BM = ~ H M.

a r e o f e q u a l l e n g t h , a n d t h e t h i r d i s a r o ta t i o n a l s y m m e t r y a x is fo r th eb o d y . I n t h i s c a se , o n e h a s t w o r e l e v a n t d e m a g n e t i z i n g f a c to r s , N il, a l o n gt h e s y m m e t r y a x is , a n d N ~, p e r p e n d i c u l a r t o i t, w i t h N , + 2 N = 1. T h ee l l i p s o i d p r o p e r t i e s a r e t h e n a l l d e s c r i b e d b y t h e r a t i o , r , o f t h e l e n g t h so f t h e s y n m l e t r y a n d t r a n s v e rs e a xe s. O n e h a s a prolate spheroid (a c igar )w h e n r > 1, a n d a n oblate spheroid ( a d i s k ) w h e n r < 1 . T h e s p h e r er e p r e s e n t s t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e t w o s h a p e s . T h e v a l u e o f Nil i s a sf o l l o w s .Prolate spheroid: r > 1.

1 [ rN " = r 2 _ 1 V ' r d _ l n ( r + V ' r 2 - 1 ) - 1 ] (3.51)w h i c h , f o r r > > 1, c a n b e a p p r o x i m a t e d a s

] n 2 r - 1N ,-~ r2 (3.52)Oblate spheroid: r < 1 .

1 [ r < ) ]N i l= 1 - r 2 1 - V , l _ r 2 a r c s i n V ' l - r 2 (3.53)T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t t h e d e m a g n e t i z i n g f i e l d i s s m a l l w h e n t h e b o d yh a s a n e l o n g a t e d s h a p e a n d t h e m a g n e t i z a t i o n p o i n t s a l o n g t h e lo n g a xi s.


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3.3 EN ERG Y RELATIONS 91

FIGURE 3.5 . Example of pole-free mag net izat ion configurat ions giving rise tono dem agnet iz ing f ie ld .3 .3 E N E R G Y R E L A T I O N SI n th e p r e v i o u s s e c ti o n , w e h a v e s h o w n t h a t t h e r e e x is ts a n e l e g a n t a n a l o g yb e t w e e n m a g n e t o s t a t i c s a n d e l e c tr o s ta t ic s , w h i c h t u r n s o u t to b e e x t r e m e l yh e l p f u l in t h e s t u d y o f m a g n e t o s ta t ic f ie ld s a n d o f p e r m a n e n t m a g n e t i z a -t i o n c o n f i g u r a t i o n s . H o w e v e r , i t i s n o t o b v i o u s t o d e c i d e t o w h a t e x t e n tt h e a n a l o g y m a y a ls o a p p l y t o e n e r g y a s p e ct s. T h e p o i n t is th a t , w h e r e a st he e l e c tr ic f i el d E is a f o rc e ve c to r , do i n g w or k o n c ha r g e s , t he m a gn e t i cf i e l d B d o e s n o w o r k a t a l l , b e c a u s e t h e m a g n e t i c p a r t o f L o r e n t z f o r c e ,v x B , i s a l w a ys pe r pe nd i c u l a r t o t he ve l oc it y o f c ha r g e c a r ri e rs . I n o r de rt o c a l c u l a t e t h e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h a g i v e n m a g n e t o s t a t i c c o n f i g u r a -t i o n , o n e h a s t o c o n s i d e r t h e w o r k d o n e b y t h e t r a n s i e n t e l e c t r i c f i e l d si n d u c e d b y F a r a d a y ' s l a w w h e n o n e b u i l d s u p t h e c o n f i g u r a t i o n . T h ep r o b l e m is o f b a s i c i m p o r t a n c e a n d is d i s c u s s e d i n a ll te x t b o o k s o n e l e ct ro -m a g n e t i s m . I n th i s s e c ti o n w e e m p h a s i z e t h o s e a s p e c t s w h e r e t h e p r e s e n c eo f m a g n e t i c m e d i a h a s d i s t i n c t c o n s e q u e n c e s .

3 . 3 . 1 E n e r g y o f s t a t i o n a r y c u r r e n t d i s t r i b u t i o n sT h e s i t u a t io n w e a r e g o i n g t o c o n s i d e r i s s h o w n i n F ig . 3 .6 . W e h a v e ac e r ta i n d i s t r i b u t i o n o f c u r r e n t s i n a r e g i o n o f s p ac e w h e r e m a g n e t i c m a t e r i-a ls a re p r e s en t . W e i m a g i n e t o s lo w l y b u i l d u p t h is d i s t r ib u t i o n b y g r a d u -a l l y i nc r e a s i ng t h e c u r r e n t s f r o m z e r o t o t he i r f ina l va l ue s . D ue t o i n t e r na lp r o c e s s e s t a k i n g p l a c e i n s i d e t h e m a t e r i a l s w h e n w e s w i t c h o n t h e c u r -r e n t s , t h e w o r k n e c e s s a r y t o b u i l d u p t h e c o n f i g u r a t i o n w i l l i n g e n e r a ld e p e n d o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e m a g n e t i c m e d i a p r e s e n t i n t h e r e g i o n .W e w a n t t o e x p r e s s t h is f a ct i n q u a n t i ta t i v e t e r m s . L e t u s a s s u m e t o h a v ea c e r t a i n s e t o f c u r r e n t - c a r r y i n g l o o p s L k. W e i n d i c a t e b y Ik t h e c u r r e n tf l o w i n g i n t h e k t h l o o p , b y R k t h e l oop e l e c t r i c r e s i s t a nc e , a nd by V k th e


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92 CHA PTER 3 M axwell 's Equations in Magnetic M edia

FIGURE 3.6 . Cu rrent-carry ing loops in the presence of magnetic media.v o l t a g e p r o v i d e d b y t h e e n e r g y s o u r c e t h a t k e e p s t h e c u r r e n t f l o w i n g i nt h e lo o p . N o w s u p p o s e t h a t t h e c u r r e n t s a n d t h e m a g n e t i c f ie ld s p r o d u c e db y t h e m a r e sl o w l y c h a n g i n g o v e r ti m e . O w i n g t o F a r a d a y ' s l a w , t h is w i l li n d u c e e .m . f . s i n e a c h c u r r e n t l o o p . L e t u s i n t ro d u c e t h e m a g n e t i c f l u xq~k l in ke d to th e kth loo p:

= ~ B - d a = ~ A . d l (3.55),JSk Lkw h e r e S k i s a n o p e n s u r f a c e b o u n d e d b y L k. F o r e a c h l o o p , t h e v o l t a g eb a l a n c e e q u a t i o n h o l d s :

V k = R k I k + d ~ k (3.56)d tI f w e m u l t i p l y t h is e q u a t i o n b y I k a n d w e s u m o v e r k, w e o b t a in t h e t o ta le n e r g y s u p p l i e d p e r u n i t t im e b y t h e v o l t a g e so u rc e s . P a r t o f t h is e n e rg y ,~,k Rklk 2, i s d i s s i p a t e d b y Jo u l e h e a t i n g i n t h e c u r r e n t l o o p s . Th i s p ro c e s sh a s n o t h i n g t o d o w i t h t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i c m e d i a a n d w e s i m p l yi g n o re i t. Th e r e m a i n i n g p a r t , ~k I d (TPk/dt, i s t he re l ev an t one . I t rep rese n t st h e r a t e a t w h i c h e n e rg y i s s t o r e d i n t h e m a g n e t o s t a t i c c o n f i g u ra t i o n a sw e p ro g re s s i v e l y i n c re a se t h e c u r r e n t s f ro m z e ro t o t h e i r f i n a l v a l u e s . I fq~k va rie s b y 8 ~ k i n t h e t i m e s t e p ~ t , t h e c o r r e sp o n d i n g e n e rg y v a r i a t i o nwi l l be

8U = ~ , I k S ~ k (3.57)k

Th i s e x p re s s i o n c a n b e g e n e ra l i z e d t o a c o n t i n u o u s sp a c e d i s t r i b u t i o n o fs t a t i o n a ry c u r r e n t s o f d e n s i t y j b y c o n s i d e r i n g t h a t t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n ,b e i n g s o l en o i d al , c a n b e d e c o m p o s e d i n to e l e m e n t a r y n o n i n t e r s e c t in g


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3 .3 ENE RG Y RELATIONS 9 3

c u r r e n t t u be s , to e a c h of w h i c h w e c a n a p p l y t h e p re v i o u s c o n s i d e ra t io n s ,a n d b y t a k i n g a p p r o p r i a t e l im i t s . B y e x p r e s s i n g Ik in t e r m s o f j a n d b ym a k i n g u s e o f E q . ( 3 . 5 5 ) , o n e f i n d s

8U = f j 9 8A d3r (3.58)N o t i c e t h a t t h i s r e s u l t d e p e n d s o n t h e a s s u m p t i o n t h a t j i s s o l e n o i d a l ,w h i c h m e a n s t h a t t he c u r r e n t s m u s t v a r y i n t im e s o s l o w l y t h at , t o a g o o da p p r o x i m a t i o n , t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a s s ta t i o n a r y a t a n y t i m e . I f o n es l o w l y p a s s e s f r o m s o m e i n it ia l r e fe r e n c e s t a t e, S O w h e r e a ll c u r r e n t s a r ez e r o , t o th e f i n a l s t a te o f i n te r e s t , S , t h e t o t a l e n e r g y s p e n t b y t h e v o l t a g es o u r c e s w i l l b e

SU = fd3r f j . 3A (3.59)SoE q u a t i o n (3 .5 9) i s o f g e n e r a l v a l i d i t y , a n d i t d o e s n o t i m p l y a n y s p e c if ic

a s s u m p t i o n a b o u t t h e c o n s ti tu t i ve l a w o f t h e m a g n e t i c m e d i a . I n p a r ti c u -la r, w h e n n o s u c h m e d i a a re p re s e n t , A is d e t e r m i n e d b y t h e c o n d u c t i o nc u r r e n t s j t h r o u g h E q . ( 3 . 1 8 ) . I n t h i s c a s e , t h e r e c i p r o c i t y t h e o r e m o fA p p e n d i x C s h o w s t h a t t h e s p a c e i n t e g r a l o f j .S A i s e q u a l t o t h a t o fA . 3 j , s o t h a t e a c h o f t h e m i s e q u a l t o t h e s p a c e i n t e g r a l o f 8 ( A . j ) / 2 . T h ei n t e g r a t i o n o v e r t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m So t o S t h e n g i v e s

I f= ~ j " A a3r (3.60)T h i s e x p r e s s i o n i s n o l o n g e r v a l i d w h e n m a g n e t i c b o d i e s a r e p r e s e n t ,b e c a u s e t h e r e l a t i o n s h i p o f A t o j is a lt e r e d b y t h e p r e s e n c e o f m a g n e t i z a -t i o n c u r r e n t s jM - I n t h is m o r e g e n e r a l c a se , a c o n v e n i e n t e n e r g y e q u a t i o ni s o b t a i n e d b y e x p r e s s i n g E q . (3 .5 9) i n t e r m s o f t h e H a n d B fi e ld s . R e c a l l i n gt h a t V 8 A = 613 a n d j = V H , a n d b y m a k i n g u s e o f t h e v e c t o rr e l a t i o n V 9 (a b) = (V x a) 9 b - a . (V x b ) , o n e f in d s

j . 8 A = V . ( H x 8 A) + H . 813 ( 3.6 1)W h e n w e i n t e g r a t e E q . ( 3 . 6 1 ) o v e r a l l s p a c e , t h e d i v e r g e n c e t e r m c a n b et r a n s f o r m e d , b y t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m , i n t o a f l u x c o n t r i b u t i o n a c r o s st h e o u t e r s u r f a c e o f t h e v o l u m e o f i n t e g r a t io n , w h i c h g i v e s n o c o n t r i b u t i o ni f w e i n t e g r a t e o v e r a l l s p a c e a n d t h e c u r r e n t s o u r c e s a r e l o c a li z e d i n al i m i t e d r e g i o n . W e t h u s o b t a i n

su = f a i r f . . a 3 (3.62)Sow h e r e t h e s p a c e i n t e g r a l m u s t b e c a r r i e d o u t o v e r a l l s p a c e .


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94 CHAPTER 3 M axwel l ' s Equat ions in M agnet ic M edia

E q u a t i o n (3 .6 2) e x p r e s s e s th e w o r k s p e n t t o b u i l d u p a c e r t a in c u r r e n tc o n f i g u r a t i o n i n t e r m s o f t h e m a g n e t i c m o d i f i c a t i o n s t h a t t h i s p r o d u c e si n t h e m a g n e t i c m e d i a . I n p a r t i c u l a r , w e s e e t h a t w e c a n e s t i m a t e t h i sw o r k i f w e k n o w t h e c o n s t i t u t iv e l a w B ( H ). T h e r o le o f t h e r e f er e n c e s t a teS O m a y b e n o n t r i v ia l w h e n f e r ro m a g n e t i c b o d i e s a r e p r e s e n t. I n f ac t,b e c a u s e o f h y s te r e si s, f e r ro m a g n e t i c b o d i e s m a y b e a l r e a d y m a g n e t i z e d a tt h e b e g i n n i n g o f t h e p r o c e ss , e v e n i f a ll c u r r e n t s a r e z e ro , a n d c o n s e q u e n t l ys o m e e n e r g y m a y a l r e a d y b e s t o r e d i n t h e s y s t e m . T h i s e n e r g y i s n o ti n c l u d e d i n E q . ( 3 . 6 2 ) a n d m u s t b e s e p a r a t e l y e v a l u a t e d .

I f t h e r e l a t i o n b e t w e e n B a n d H i s l i n e a r a n d i s o t ro p i c , B = k ~H , E q .( 3 . 6 2 ) c a n b e i n t e g r a t e d . W e o b t a i n

f B2 f ] z s 2= ~ d3r = ~ d3r (3.63)T h i s r e s u l t a p p l i e s a l s o t o e m p t y s p a c e , w i t h / ~ = ~ 0 . T h e f a c t t h a t E q .( 3 . 6 3 ) e x p r e s s e s t h e e n e r g y a s a s p a c e i n t e g r a l n a t u r a l l y s u g g e s t s o n e t oi n t e r p r e t B2/2/~ a s t h e d e n s i t y o f t h e e n e r g y l o c a l l y s t o r e d i n t h e v o l u m ed 3r. T h i s l o ca l in t e r p r e t a t i o n i s n o t t h e d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e m a t h e m a t -i c a l d e r i v a t i o n w e h a v e d e s c r i b e d , b u t r a t h e r a n a d d i t i o n a l p h y s i c a l a s -s u m p t i o n . I n f a ct , E q . (3 .6 2) w a s o b t a i n e d b y m a k i n g u s e o f t h e d i v e r g e n c et h e o r e m a n d b y e x p l o i ti n g t h e f ac t t h a t c e r ta i n c o n t r i b u ti o n s v a n i s h a f te ri n t e g r a t i o n o v e r a l l s p a c e .

3 .3 .2 E n e r g y o f i n d i v i d u a l m a g n e t ic m o m e n t sL e t u s c o n s i d e r t h e f o l lo w i n g p a r t i c u l a r c u r r e n t d i s t ri b u t io n , m a d e u p o ft w o c o n t r i b u t i o n s , jm a n d ja, w h i c h w e s h a l l c a l l m o m e n t c u r r e n t a n ds o u r c e c u r r e n t . T h e m o m e n t c u r r e n t jm i s c o n f i n e d t o a s p a c e r e g i o n f~ o fd i m e n s i o n s m u c h s m a l l e r t h a n t h e s c a le w e a r e in t e r e s te d i n . T h e s o u r c ec u r r e n t ja f l o w s i n r e g io n s d i s t a n t f r o m jm a n d p r o d u c e s a fi e ld B a t h a t i sn e a r l y u n i f o r m i n f ~ . B a w i l l b e c a l l e d t h e applied ield (Fig. 3.7) . We aren o t i n t e r e s t e d i n jm d e t a i ls i n s i d e f~, a n d w e w a n t t o d e s c r ib e t h e p r o b l e mu n i q u e l y i n t er m s o f t he m a g n e t i c m o m e n t m o f jm, g iven by Eq . (3 .21 ) .L e t A m a n d A a b e t h e v e c t o r p o t e n t i a l s c r e a t e d b y jm a n d ja" T h e e n e r g yo f t h e c u r r e n t c o n f i g u r a t i o n i s g i v e n b y E q . ( 3 . 6 0 ) :

i f= ~ (jm + ja)" (Am + Aa) d3r (3.64)_ 1 1 1- ~ f j m . A m d g r + ~ f j ~ ' A a d 3 r + ~ f ( jm " A a + ja 'Am) d3r


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96 CHAP TER 3 M axwel l 's Equa t ions i n M agne ti c M ed iaS e c o n d , g i v e n a n a r b i t r a r y c o n s t a n t v e c t o r a , t h e i d e n t i t y h o l d s

a ' f r j m i d g r = - [ a x [ r X j m d g r ] = - [ a x m ] i ( 3.6 8 )a 2 iw h e r e a c c o u n t h a s b e e n t a k e n o f E q . ( 3 . 2 1 ) . B y a p p l y i n g E q . ( 3 . 6 7 ) a n dEq. (3 .68) to Eq. (3 .66) , wi th V A a i ( O i n t h e p l a c e o f a , o n e o b t a i n sU m = ~ i [ m X ( V A a i ) r = O ] .. 9 9 = m ' ( V X A a ) r = 0 q - . . . (3.69)

it ha t i s ,

U m = m 9 Ba(0 ) + . . . (3 .70 )w h e r e B a(0 ) is j u s t th e a p p l i e d f ie l d v a l u e a t th e p o i n t w h e r e m i s l o c a t e d .

I t i s i n s t r u c t i v e n o w t o c a l c u l a t e t h e i n t e r a c t i o n e n e r g y i n a d i f f e r e n tw a y , b y c o n s i d e r i n g t h e m e c h a n i c a l f o rc e s a c ti n g o n t h e c u r r e n t d i s t r i b u -t i o n jm w h e n a m a g n e t i c f i e ld i s p r e s e n t . W e a s s u m e t h a t jm i s s t a t i o n a r yi n a r e f e r e n c e f r a m e f i x e d w i t h r e s p e c t t o f ~, b u t t h a t f ~ c a n f r e e l y m o v eo r r o ta t e a s a w h o l e . T h i s m e a n s t h a t m b e h a v e s l ik e a v e c t o r o f c o n s t a n tm o d u l u s , w h i c h c a n m o d i f y i t s p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n i n s p a c e . W eb u i l d u p t h e c o n f i g u r a t i o n w e a r e in t e r e s t e d i n b y f ir st s w i t c h i n g o n jma n d ja w h e n 12 i s f a r a w a y f r o m j a , a n d t h e n m o v i n g m t o i t s f in a l p o s i t i o na n d o r i e n t a t i o n . T h e f i r s t o p e r a t i o n e n t a i l s a n e n e r g y c o s t i d e n t i c a l t o t h ef i r s t t w o t e r m s o f E q . ( 3 . 6 4 ) . T h e r e m a i n i n g w o r k g i v e s t h e i n t e r a c t i o ne n e r g y . I n t h i s c o n t e x t , t h e f u n d a m e n t a l e q u a t i o n t o c o n s i d e r i s L o r e n t zfo rce ex p re s s io n , Eq . (3.8 ). Th e t o t a l fo rce a c t i n g o n f~ i s

F m = S j m X B a d 3 r (3.71)f~

a n d t h e t o t a l t o r q u e a b o u t t h e f~ c e n t e r o f g r a v i ty , w h i c h w e t a k e a s t h eo r ig in , i s

Nm = S r x (jm X Ba)d3r (3.72)H e r e a l s o o n e c a n m a k e a T a yl o r e x p a n s i o n o f t h e a p p l i e d f ie ld . F o r th ef or ce C a r te s i a n c o m p o n e n t F m i o n e f i n d s

(3.73)

w h e r e e i j i s t h e f u l l y a n t i s y m m e t r i c u n i t t e n s o r . A s b e f o r e , w e c a n t r a n s -


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3.3 ENERGY RELATIONS 9 7f o r m t h i s e x p r e s s i o n b y m a k i n g u s e o f E q . (3 .6 7) a n d E q . (3 .6 8). T h e r e s u l tis

F m i= [ O ( m " Ba) - m i ( V . B a ) ] + . . . (3.74)CgXi r = 0

w h e r e m h a s b e e n t r e a t e d a s a c o n s t a n t v e c t o r i n t h e s p a c e d e r i v a t i v e s .B e c a u s e V 9 B a = 0 , w e c o n c l u d e t h a t

F m - - [ V ( m " B a ) ] r = 0 q - 9 9 9 ( 3 . 7 5 )A n a l o g o u s l y , w e f i n d f r o m E q . ( 3 . 7 2 ) t h a t t h e t o r q u e i s , t o l o w e s t o r d e r ,e q u a l t o

N m ~ - m B a(0 ) + . . . (3.76)T h e f o r c e a n d t o r q u e e x p r e s s i o n s g i v e n b y E q . ( 3 . 7 5 ) a n d E q . ( 3 . 7 6 ) s h o wt h a t t h e m o m e n t p o s s e s s e s t h e p o t e n t i a l e n e r g y

Um = - m . B a(0) + . . . ( 3.7 7)I n f ac t, l et u s a s s u m e t h a t t h e m o m e n t m h a s t h e e n e r g y - m . B a(r) w h e ni t i s l o c a t e d a t t h e p o s i t i o n r . L e t u s c o n s i d e r a s m a l l a r b i t r a r y c o n f i g u r a t i o nc h a n g e c o n s i s t e n t w i t h t h e c o n s t r a i n t o f f i x e d I mJ . T h e c h a n g e w i l l c o n s i s to f t w o p a r t s , a c h a n g e & in th e m o m e n t p o s i t i o n a n d a c h a n g e 8 m =m 8 0 i n t h e m o m e n t o r i e n t a ti o n , w h e r e 3 0 p o i n t s a l o n g a c e r ta i n a x isa n d h a s a s t r e n g t h e q u a l t o t h e a n g l e b y w h i c h m i s r o t a t e d a r o u n d t h a ta x i s . T h e c h a n g e i n e n e r g y c o n s e q u e n t t o t h e v a r i a t i o n i s-r m - - - - m . oC'Ba+ ( ~ 1 1 9 B a - - m . ( & - V ) B a + ( m X 3 0 ) . B a (3 .7 8)L e t u s a s s u m e t h a t V x B a - - 0 , t h a t i s , n o j a c u r r e n t s a r e p r e s e n t i n t h er e g i o n w h e r e m i s l o c a t e d . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , i t c a n b e v e r i f i e d t h a t( & " V ) B a = V ( & " B a ) a n d m . V ( & . B a) = & " V ( m - B a ) . E q u a t i o n (3 .7 8)c a n t h u s b e t r a n s f o r m e d i n t o t h e e q u i v a l e n t f o r m

- a U m = & . V ( m . Ba) + 3 0 " ( m x Ba) ( 3.7 9)B y d e f i n i t i o n , t h e v e c t o r s m u l t i p l y i n g & a n d 3 0 r e p r e s e n t t h e f o r c e F ma n d t h e t o r q u e N m a c t i n g o n m . T h e p r e d i c t i o n o f E q. ( 3.7 9) c o i n c i d e swi th Eq . ( 3 .7 5 ) an d Eq . ( 3 .7 6 ) , wh ich co n f i r m s th a t Eq . ( 3 .7 7 ) i n d eedr e p r e s e n t s t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e s y s t e m .

Eq u a t io n ( 3.77 ) i s j u s t t h e o p p o s i t e o f Eq . ( 3.69 ). Th i s d i f f e r en ce h asa n i m p o r t a n t p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e . I n f a c t , E q . ( 3 . 7 7 ) d o e s n o t r e p r e s e n tt h e t o t a l i n t e r a c t i o n e n e r g y b e t w e e n j m a n d Ja" I t d e s c r i b e s t h e m e c h a n i c a lw o r k m a d e b y t h e f o r c e s a c t i n g o n t h e m a g n e t i c m o m e n t , b u t n o t t h ee n e r g y s u p p l i e d b y t h e e n e r g y s o u r c e s t h a t k e e p j m a n d ja f ix e d i n m a g n i -


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98 CHA PTER 3 M axwel l 's Equat ions in Magnet ic Mediat u d e w h i l e t h e m o m e n t i s m o v e d i n t h e f i e l d . W h e t h e r E q . ( 3 . 7 0 ) o r E q .(3 .7 7) s h o u l d b e u s e d d e p e n d s o n w h a t w e c o n s i d e r t o b e t h e s y s t e m a n dw h a t t h e e x t e r n a l w o r l d . I n p a r t i c u l a r , t h e m a g n e t i z a t i o n c u r r e n t s i n s i d em a g n e t i c m e d i a a r e , i n a s e n s e , c o n t r o l l e d b y t h e v e r y l a w s o f q u a n t u mm e c h a n i c s a n d t h e e n e r g y s u p p l i e d b y t he " q u a n t u m s o u r ce s " s h o u l dn e v e r c o m e d i r e c t l y i n t o p l a y . T h e e l e m e n t a r y m a g n e t i c m o m e n t s b yw h i c h w e d e s c r i b e s p i n c u r r e n t s a re b y d e f i n i t io n p e r m a n e n t , a n d E q .( 3 . 7 7 ) i s t h e a p p r o p r i a t e e n e r g y e x p r e s s i o n .

I n s u m m a r y , a n e l e m e n t a r y m a g n e t i c m o m e n t i s d e f in e d b y t h e fo l lo w -i n g p r o p e r t i e s :

( i ) I t c r ea t e s t h e d ip o la r B f i e ld g iv en b y Eq . ( 3 .2 3 ) .( i i ) I t s B f i e l d s a t i s f i e s e v e r y w h e r e t h e e q u a t i o n V 9 B = 0 . W ith the

r e m a r k s m a d e a f t e r E q . ( 3 . 2 5 ) , t h i s a m o u n t s t o a d d i n g t o E q .( 3 .2 3 ) t h e s in g u la r t e r m o f Eq . ( 3 .2 5 ) .

( ii i) I t s p o ten t i a l en e r g y in th e e x te r n a l f i e ld B a i s g iv en b y E q . ( 3 .7 7 ).

3 . 3 . 3 P o y n t i n g t h e o r e mA g e n e r a l e n e r g y b a la n c e e q u a t i o n , k n o w n a s t h e P o y n t i n g t h e o r e m a n dr e p r e s e n t i n g i n a s e n s e a g e n e r a l i z a t i o n o f E q . (3 .6 2) , c a n b e d e r i v e d f r o mM a x w e l l ' s e q u a t i o n s i n t h e f o l l o w i n g w a y . O n e c o n s i d e r s t h a t , w h a t e v e rt h e f o r m o f t h e b a l a n c e e q u a t i o n , i t w i l l c e r ta i n l y i n c l u d e t h e t e r m j 9 E,w h i c h r e p r e s e n ts t h e w o r k p e r f o r m e d p e r u n i t t im e b y t h e e l e c tr o m a g n e t i cf i e l d o n c o n d u c t i o n c u r r e n t s . T h i s t e r m a p p e a r s w h e n w e t a k e t h e s c a l a rp r o d u c t b e t w e e n E a n d t h e j e x p r e s s i o n i n E q . (3 .3 1):

3 DE - ( V x H ) - E - 0t = j ' E (3.8 0)O n t h e o t h e r h a n d , E q . ( 3 . 6 2 ) s u g g e s t s t h a t t h e p r o d u c t H 9 OB/Ot sh o u lda l s o b e i n v o l v e d i n t h e b a l a n c e . T h i s t e r m a p p e a r s w h e n w e t a k e t h es c a l a r p r o d u c t b e t w e e n H a n d ( E q . 3 . 3 ) :

H . (V x E ) + H - 3 B = 0 ( 3. 81 )3 tB y c o m b i n i n g E q . ( 3 . 8 0 ) a n d E q . ( 3 . 8 1 ) , a n d b y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h ev e c t o r r e l a t i o n V 9 (a x b) = (V x a) 9 b - a 9 (V x b ) , one f ind s

j . E + E - 3 1 3 + H . 0--B-B= - V - ( E x H ) (3 .8 2)3t 3tL e t u s a n a l y z e t h e c o n s e q u e n c e s o f t h is r e la t i o n w h e n t h e c u r r e n t d e n s i t y

j o b e y s t h e c o n s t i t u t i v e l a wj = cr(E + E ') (3 .83)


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3.3 ENER GY RELATIONS 99an d ~r i s the e l ec tr i c conduc t iv i ty . Eq ua t io n (3.83) desc r ibe s Ohm's law,w i t h t h e a d d i t i o n o f t h e f i el d E ' , o f n o n e l e c t r ic o r i g in , b y w h i c h w ec h a ra c t e r i z e t h e so u rc e s t h a t d r i v e t h e c u r r e n t f l o w a n d a c t a s e n e rg ysu p p l i e r s . B y e x p re s s i n g t h e e l ec t ri c f ie l d a s E = j / ~ r - E ' a n d b y i n te g -r a t i n g Eq . (3.8 2) o v e r a g e n e r ic v o l u m e f~ b o u n d e d b y t h e su r f a c e ~ , w eob ta in

f 3D f 3 B f j2E 9 ~ d3r + H 9 --3-f d3r + - d3rfl fl ~l O

= - ~ d a . (E X H ) + f j ' E ' d3r(3.84)

Th i s r e su l t is k n o w n a s t h e Poynting theorem a n d i s i n t e rp re t e d a s fol lo w s .Th e l a s t t e rm t o th e r i g h t r e p re se n t s t h e e n e rg y su p p l i e d t o f~ b y e x t e rn a le n e rg y so u rc e s , a n d t h e t e rm c o n t a i n i n g t h e v e c t o r S = E H , k n o w nas the Poynting vector , r e p re se n t s t h e e n e rg y f l o w i n g p e r u n i t t i m e i n t o f~th rough ~ . The l e f t -hand s ide o f Eq . (3 .84) wi l l t hus rep resen t t he ra t e a tw h i c h t h e e n e rg y s t o r e d i n f~ i n c re a se s . 7 Th e v a r i o u s t e rm s g i v e a d e sc r i p -t i o n o f h o w t h e e n e rg y s t o r a g e m a y t a k e p l a c e . Th e i n te g ra l o f j 2 / c rr e p re se n t s t h e e n e rg y i r r e v e r s i b l y t r a n s fo rm e d i n t o h e a t b e c a u se o f Jouledissipation. On t h e o th e r h a n d , t h e i n te g r a l d e p e n d i n g o n H 9 3B/Ot repr e-sen t s , i n ana logy wi th Eq . (3 .62) , t he energy s to red as magne t i c f i e lde n e r g y o r as i n te r n a l e n e r g y o f m a g n e t i c m e d i a . A n a n a l o g o u s i n te r p r e ta -t i o n a p p l i e s t o t h e t e rm c o n t a i n i n g E 9 OD/Ot , assoc ia t ed wi th e l ec t r i ce n e rg y fo rm s . B e c a u se w e a r e n o t i n t e r e s t e d i n e l e c t r i c p h e n o m e n a , w esh a l l s i m p l y i g n o re t h i s t e rm a n d w r i t e t h e P o y n t i n g t h e o re m i n t h es i m p l i f i e d fo rm

f H . O--BB 3r + ! J ~ d3 r = - ~ d a . ( E x H ) + f j - E ' d 3 r (3.85)a 3t ~ a

3.3.4 Eddy-current dissipationA s i t u a t i o n t h a t i s o f t e n e n c o u n t e r e d i s t h a t o f a s i n g l e m a g n e t i c b o d y o fv o l u m e V a n d b o u n d a r y s u r fa c e S , a c t ed o n b y e n e r g y s o u r c e s, li kecur ren t -ca r ry ing so leno ids and so on , a l l ex te rna l t o i t (F ig . 3 .8 ) . Bya p p l y i n g Eq . (3 .8 5 ) t o t h e b o d y v o l u m e , a n d b y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h a tno E ' f i e lds a re p resen t i n s ide the body , one f inds

3B j2 ( E x H) (3.86)v v s

7 W e a s s u m e t h a t n o h e a t e x c h a n g e t a k e s p l a c e b e t w e e n 1~ a n d t h e o u t s i d e w o r l d .


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1 0 0 CHAPTER 3 M axwel l's Equat ions in M agnet ic M edia

FIGURE 3.8 . E ne rg y erm s involved in the Poynting theorem (Eq. 3.86).

T he r i g h t - h and s i de o f E q . (3 . 86) d i r ec t ly g i ves t he r a t e a t w h i ch ene r gyis i n jec t ed i n t o t he body , and t he t w o t e r ms t o the l e ft de s c ri be ho w ene r gyi s s t o r ed i n t he body . I n t h is con t ex t, j r ep r e s en t s t he c u r r en t s i nd uc ed i nt h e b o d y b y t h e e x t e r n a l a c t i o n s . T h e s e c u r r e n t s a r e c o m m o n l y t e r m e deddy currents. T he e n e r g y a s s o c ia t e d w i t h t h e t e r m H 9 B /Ot i s in gen era lp a r t l y s t o r e d t h r o u g h r e v e rs ib l e m e c h a n i s m s a n d p a r t l y i rr e v e r si b ly t r a n s -f o r med i n t o t he r ma l ene r gy becaus e o f hys t e r e s i s e f f ec t s . T h i s occu r sw heneve r t he cons t i t u t i ve l aw B ( H ) exh i b i t s hys t e r e s i s i n t he s ens e d i s -c u s s e d i n C h a p t e r 2 . T h e e n e r g y d i s s i p a t i o n e n t a i l e d b y H 9 OB/Ot ist e r m e d hysteresis loss, w h e r e a s t h e d i s s i p a t i o n c o m i n g f r o m t h e t e r mj 2 /o - i s cal led eddy-current loss. In th i s s ense , Eq . (3 .86) g ives a f i rs t exa m pleo f loss separation ( see Sec ti on 1 . 3 ). W e s hou l d r em ar k , ho w e ve r , t ha t t h i ss e p a r a t i o n h a s n o a b s o l u t e s i g n i f i c a n c e , a n d m a y d e p e n d o n t h e s p a t i a lr e s o l u ti o n a d o p t e d f or th e d e s c r i p t io n o f t h e s y s te m . S u p p o s e t h a t w e a r ed e a l i n g w i t h a f e r r o m a g n e t i c b o d y a n d w e d e c i d e t o t r e a t t h e p r o b l e mo n a s c a le l a rg e r t h a n t h a t o f m a g n e t i c d o m a i n s , b y c h o o s i n g a c c o r d i n g l yt h e s iz e o f t h e e l e m e n t a r y p h y s i c a l v o l u m e s & V m e n t i o n e d a t th e b e g i n -n i ng o f t h i s chap t e r . O n t h i s s ca l e , t he body w i l l appea r t o be homoge-n e o u s , b e c a u s e w e h a v e s m o o t h e d o u t a ll m a g n e t i c d o m a i n c o m p l e xi ti e s.Y et, w h e n t h is s m o o t h i n g p r o c e d u r e is a p p l i e d t o th e e d d y - c u r r e n t d e n s i t yj , i n f o r ma t i on i s l o s t on t he s ho r t - s ca l e j pa t t e r n s accompany i ng mov i ngd o m a i n w a l ls a n d o n th e e n e r g y d i s si p a t io n a s s o c i a te d w i t h t h e m . W h e nt h i s i s t he ca s e , a co r r ec t de s c r i p t i on o f t he p r ob l em may be r e s t o r ed byl umpi ng t he e f f ec t o f t he s ho r t - r ange eddy cu r r en t s i n t o t he ma t e r i a lcons t i t u t ive l aw , t ha t is , by i n t r od uc i n g a B ( H ) r e l a t ions h i p en do w ed w i t hhys t e r e s i s . T h i s exampl e s how s t ha t t he cho i ce o f t he r e l evan t s pa t i a lr e s o l u t i on may a f f ec t t he f o r m o f t he ma t e r i a l cons t i t u t i ve l aw and t he


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3.3 ENE RG Y RELATIONS 101s e p a ra t i o n o f t h e e n e rg y d i s s ip a t i o n i n to th e h y s t e r e s is a n d e d d y -c u r r e n tcon t r ibu t ions . W e sha ll see in chap te rs 9 and 12 tha t in meta l l i c fe r rom ag-n e t ic ma te r i a l s, t o a g o o d a p p ro x im a t io n , t h e wh o le e n e rg y d i s s ip a t i o n i se v e n tu a l l y d u e t o e d d y c u r r e n ts , d i s t r i b u t e d o v e r a b ro a d r a n g e o f d i f fe r e n ts p a t i a l a n d t e mp o ra l s c a l e s .In o rde r to t rea t eddy-cur ren t e f fec t s , i t i s he lp fu l to decompose theto ta l H f ie ld as

H = Ha + HM 4- Heady (3.87)H a i s the app l ied f ield p rod uc ed by the ex te rna l cu r ren ts ja an d obeys thee q u a t i o n s

V ' H a - 0 (3.88)V X H a = j a

H M is the m agn e tos ta t ic f ield , ob ta ine d by so lv ing Eq . (3 .40) . F rom Eq .(3 .87) and the eq ua t ion s fo r Ha and H M, one conc lud es tha t the edd y-cur ren t f i e ld Heddy wi l l obey the eq ua t ions

V " H e d d y = 0 (3.89)V X Heady = jeddy

w h e r e jeddy i s the e dd y-c ur re n t dens i ty . The to ta l cu r ren t den s i ty i s thusj = ja 4- jeddy" In wr i t in g these equa t ions , w e h ave ass um ed tha t , in sp iteo f t h e t ime -d e p e n d e n t n a tu r e o f t h e p ro b l e m, t ime d e p e n d e n c i e s a r e s os lo w th a t d i s p l a c e m e n t c u r r e n t s c a n b e n e g l e c t e d i n Eq. ( 3 .3 1 ) a n d w ec a n k e e p o n u s in g ma g n e to s t a t i c e q u a t io n s t o d e s c r ib e t h e p ro b l e m. Th edesc r ip t ion i s com ple ted by c om bin in g Eq . (3 .87) th ro ug h Eq . (3 .89) w i thFa rad ay ' s l aw, Eq . (3 .3 ) . By tak ing the cu r l o f the se cond equ a t ion in Eq.(3.89) , w e f ind th a t ins ide the body , w here ja = 0 a n d j = jeddy, t h e e d d y -cur ren t f i e ld obeys the equa t ion :

aB (3.90)V 2 H e d d y = O " 3"-Tor equ iva len t ly , cons ide r ing tha t B = / z 0 ( H + M ) ,

+ H M)cgHeddy - - c r ~ 0 ~ 4 - c r l ~ ~ a tV 2 H e d d y - O ' ~ 0 3 t (3.91)In so f t me ta l l i c ma te r ia l s , where eddy-cur ren t e f fec t s a re pa r t icu la r ly im-p o r t a n t , t h e a p p l i e d a n d ma g n e to s t a fi c f ie lds i n v o lv e d i n t h e p ro b l e m a r eu s u a l ly m u c h s ma l l e r t h a n t h e ma g n e t i z a t i o n . A s a c o n s e q u e n c e , t h e l a stte rm of Eq . (3 .91) can be neg lec ted , and one a r r ives a t the ap prox im atee q u a t io n


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1 0 2 CHAPTER 3 M axwell 's Equations in M agnetic M edia

cgHeddy 3M (3.92)V2Heddy- CrY0 3t = cr /~o 3tW h e n t h i s a p p ro x i m a t i o n h o l d s , t h e e d d y -c u r r e n t f i e l d i s d i r e c t l y c o n -t ro l l e d b y t h e sp a c e - t i m e b e h a v i o r o f t h e m a g n e t i z a t i o n r a t e o f c h a n g e i nthe body .

3 .4 B I B L I O G R A P H I C A L N O T E S

T h e t e x t s o n e l e c t r o m a g n e t i s m a r e n u m e r o u s . I n o u r p r e s e n t a t i o n w efo l lowe d , i n pa r t i cu la r , [B .4 , B .6 , B .9] . A de ta i l ed d i scus s ion o f t he p rob lem se n c o u n t e r e d w h e n o n e i n t ro d u c e s & V -a v e ra g e d q u a n t i t i e s , i n t h e s e n sed i s c u s se d a t th e b e g i n n i n g o f t h e c h a p t e r, i s g i v e n i n [ B .4, C h a p t e r 6 ] a n dlB.10, Chapter 5] .M a g n e t o s t a t i c s , w i t h p a r t i c u l a r a t t e n t i o n t o m a g n e t i c m e d i a , i s a n a -

lyze d in [B .55, B .63, B .64] . Co ns id e ra t io ns on the re l a t ions h ip be tw ee n thec o n c ep t o f e l e m e n t a r y m a g n e ti c m o m e n t a n d q u a n t u m m e c h a n ic s a r em a d e i n [ B .8 , C h a p t e r 1 5] a n d [ B .1 0 , C h a p t e r 4 ]. Tab le s a n d e x p re s s i o n sfo r d e m a g n e t i z i n g f a c to r s o f e l l ip so i d s a r e r e p o r t e d i n [ B .6 0, C h a p t e r 1 9],[B.67, C ha pte r 2], [B.71, C ha pte r 2], Ref. 3 .1 , and Ref . 3.2.

A v a l u a b l e i n t ro d u c t o ry p re se n t a t i o n o f e n e rg y r e l a ti o n s i n e l e ct ro -m a g n e t i sm c a n b e fo u n d i n lB .3 , V o l . 2 ]. En e rg y r e l a t io n s a r e e x a m i n e din de ta i l i n [B .6, Ch ap te r 4 ] an d [B .9 , C ha p te r 2 ].3.1 J.A . Osborne , " Dem agne tizing Factors of the G eneral Ellipsoid," Phys . Rev .67 (1945), 351-357.3.2 D .C. Cronemeyer, "Dem agn etizing Factors for General E llipsoids," J . App l .

Phys . 70 (1991), 2911-2914.

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Chapter 3 -Magnetic Media in mechanical