CHAPITRE 8. NOTION DE STABILITÉ : FLAMBEMENT

CHAPITRE 8. NOTION DE STABILITÉ : FLAMBEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.1 -8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.1 -8.2. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.1 -8.3. Formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.4 -8.4. Contraintes critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.6 -8.5. Conditions d’utilisation de la formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.8 -8.6. Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.9 -

8.6.1. Dimensionnement et vérification par “Euler - Rankine” . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.9 -8.6.2. Conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.9 -

A) Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.9 -B) Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.10 -

8.6.3. Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.10 -8.6.4. Choix de la forme de la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.11 -

8.7. Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 8.12 -

Version du 14 juin 2017 (0h15)

fig. 8.1. - Notion de stabilité.

fig. 8.2. - “CharlieChaplin”.

CHAPITRE 8. NOTION DE STABILITÉ : FLAMBEMENT

8.1. Introduction

L’objectif du présent chapitre est de permettre le dimensionnement ou la vérification desdimensions des barres élancées soumises à un effort de compression.

Après avoir précisé la notion de charge critique de flambement, celle-ci sera déterminée à partirde la théorie d’Euler et on en déduira la notion de contrainte critique.

Par référence à la méthode des contraintes admissibles, on pourra déterminer la charge decompression admissible en tenant compte d’un coefficient de réduction. On donnera pour terminer uneformule empirique utilisée pour le calcul des pièces moyennement ou faiblement élancées et/ou soumise àfatigue.

8.2. Définition

Pour un corps élastique, tout comme pour un corps rigide, on peut parler de stabilité oud’instabilité des positions d’équilibre.

Supposons que l’on ait un tant soi peu déplacé un certain système élastique à partir de sa positiond’équilibre. Si, une fois l’action extérieure disparue, le système retourne à sa position initiale, on dit quecette position est stable; si le système n’y retourne pas, elle est instable.

Le phénomène de perte de stabilité pour les corps élastiques peut-êtreobservé sur toute une série d’exemple. Le cas le plus simple est la perte de stabilitéd’une tige comprimée de manière axiale.

Nous connaissons tous les premiers film de Charlie Chaplin dans lesquelson le voyait souvent appuyé sur une canne constituée par une mince tige debambou : chaque fois que le comédien pèse de tout son poids sur la canne, celle-cise courbe vers l’extérieur. Tous les éléments de structure longs et minces ont uncomportement similaire en compression. Lorsque la charge de compressionaugmente lentement, on atteint une valeur pour laquelle l’élément mince, au lieu desimplement se raccourcir, s’infléchit, et d’ordinaire se rompt. Cette valeur critiqueest appelée : charge de flambement. Elle devient un facteur fondamental dedimensionnement lorsque le matériau possède une résistance à la compression

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flambement Page - 8.1 -

Le phénomène d’instabilité transversale sous un effort de compression porte lenom de flambement.

fig. 8.3. - Flambement d’ensemble de la membrure supérieure des poutres en treillisd’un pont de chemin de fer (Russie, vers 1890).

suffisante pour permettre l’emploi d’une faible section, ce qui conduit à utilisé des éléments élancés.

Mise en garde

Monsieur Vierendeel (1) attire l’attention sur le danger des pièces comprimées dans lesconstructions métalliques. Il écrit “On peut dire que sur dix écroulements survenus dans lesconstructions métalliques, il y en a huit dus au flambage.”

La particularité éminemment dangereuse des pièces comprimées est qu’elles cèdent brusquementsans que leur faiblesse ne se dévoile à l’oeil par aucun indice, aucun signe avant coureur évident.

Il faut employer les formules de flambage avec prudence, c’est-à-dire en prenant un coefficientde sécurité très grand. Les pièces soumises au flambage doivent impérativement être droite et ne doiventpas avoir subit des déformations précédemment.

Le danger d’instabilité existe donc dans toute structure comprimée. Nous en avons de 3 sortes :flambement (compression pure)• déversement (flexion)• voilement (torsion)

et les phénomènes d’instabilité peuvent être de 2 types, soit :• locaux (barres de treillis, voilement, …)• globaux (flambement d’ensemble, ...)

(1) Vierendeel Arthur (1852 - 1940) : ingénieur belge.


fig. 8.4. - Divers flambements.

fig. 8.5. - Autres formes d’instabilité.


fig. 8.6. -“Euler”

8.3. Formule d’Euler

Expérimentalement on constate que la forme rectiligne d’équilibre d’une tige comprimée n’eststable que dans le cas ou la force de compression est inférieure à une valeur déterminée dite critique.

Parallèlement aux études expérimentales, certains auteurs ont essayé de rechercher analytiquementl’expression de la charge critique. Euler (2) est le premier à avoir résolu le problème à la fin du XVIIIe

siècle. C’est pourquoi, en parlant de la stabilité d’une tige comprimée, on dit souvent “Problème d’Euler”.

Considérons une barre verticale de longueur l encastrée à sa base. En supposant :

[H1] la section constante,[H2] le poids propre de la barre négligeable,[H3] le matériau homogène,[H4] le raccourcissement de la barre négligeable vis-à-vis de la déformation

due à la flexion,

Euler en déduisit la charge critique Ncrit :

NE I

lcrit

2

24

min(éq. 8.1.)

Notations : EImin

lEI

le module d’élasticité du matériaul’inertie minimum de la barrelongueur de la barremodule de rigidité à la flexion

N/mm2

mm4

mmNmm2

On étend assez facilement la solution obtenue à d’autres cas de fixation. Et en généralisant, on peutécrire l’expression générale de la charge critique (suivant Euler) pour une tige comprimée sous laforme :

NE I

lcrit Euler

f

2

2

min(éq. 8.2.)

Notations : lf longueur de flambement donné par :

l k lf f (éq. 8.3.)

mm

kf

lcoefficient de réduction de la longueur (Tableau 8.1.)longueur de la barre

-mm

Ce coefficient kf montre par combien il faut multiplier la longueur d’une tige articulée pour quesa charge critique soit égale à celle de la tige de longueur l dans des conditions de fixations envisagées.

(2) Paul Euler Leonhard (1707 [Bâle] - 1783 [Saint-Pétersbourg] : mathématicien et physicien suisse.


On appelle colonne une barre longue et fine. Le terme de colonne est fréquemmentutilisé pour désigner une membrure verticale, tandis que le terme de poutrelle l’estplutôt pour les barres inclinées.

Coefficient de réduction de lalongueur kf (Flambement)

Barre bi-articulée 1

Barre simplement encastrée 2

Barre articulée et encastrée 0.7

Barre doublement encastrée 0.5

Tableau 8.1. - Coefficient de réduction.

Nous parlerons plus facilement de “colonne” plutôt que de “tige comprimée”.

Le problème est de savoir si un appui peut être considéré comme libre, comme articulé ou commeencastré. Les quelques considérations suivantes permettent d’opérer un choix dans des cas pratiques.

- au pied d’une colonne solidement ancrée au massif de fondation au moyen de boulons d’ancragepar l’intermédiaire d’un plaque épaisse soudée, on peut considérer qu’il y a encastrement;

- si en tête de cette colonne, il n’y a rien d’autre que la force de compression N, on peut bienévidemment considérer cette tête de colonne comme absolument libre au point de vue moded’appui;

- dans le cas d’une colonne qui soutient, et y est donc fixée, une structure de plancher qu’onpourrait qualifier de “souple”, c’est plus ou moins le cas des planchers métalliques, il estprudent de considérer cette fixation comme une articulation;

- si ce même plancher est rigide, épais et monolithique, c’est plus ou moins le cas des plancherspleins en béton armé, la fixation pourrait à la rigueur être considérée comme un encastrement,une colonne de façade d’un bâtiment sera considérée comme moins rigidement fixée qu’uncolonne intérieure; elle sera donc considérée plutôt comme bi-articulée que comme bi-encastréeou mixte,

- dans le doute, il est toujours plus prudent de considérer la colonne comme bi-articulée, à moinsque l’extrémité supérieure soit libre; la colonne ainsi calculée avec un élancement λ plusimportant offre davantage de sécurité.

fig. 8.7. - Appuis.


8.4. Contraintes critiques

Par définition, la contrainte critique due à la compression dans une barre est donnée par :

critcritN

A (éq. 8.4.)

Notation : A l’aire de la section droite mm2

D’où, en remplaçant (éq. 8.2.) dans l’équation ci-dessus nous obtenons :

crit Euler

f

E I

l A

2

2

min(éq. 8.5.)

et si, de plus, nous nous souvenons de la définition du rayon de giration (voir Chapitre 4.) :

iI

Ag min

min (éq. 8.6.)

ig min étant le rayon de giration minimum de la section droite correspondant au plan de flambement, nousobtenons :

crit Euler

g

f

E i

l

2 2

2

min(éq. 8.7.)

Et si nous définissons la notion “d’élancement” λ d’une colonne par :

colf

g

l

i (éq. 8.8.)

Remarque :L’élancement caractérise la flexibilité d’une poutre.

et que nous remplaçons dans (éq. 8.7.), nous obtenons une autre manière d’écrire la contrainte critiquesuivant Euler σcrit Euler :

crit Euler

col

E

2

2 (éq. 8.9.)

Définissons deux paramètres :

a) Elancement limite d’Euler (λlim Euler)

Dans le dimensionnement nous ne pouvons en aucun cas dépasser la limite élastique Re et dece fait la plus grande valeur que peut prendre la contrainte critique d’Euler est cette limiteélastique. Si nous remplaçons celle ci dans la formule ci-dessus, nous pouvons définir“l’élancement limite d’Euler”, l’élancement λ devenant λlim Euler, soit :


fig. 8.8. - Domaine d’utilisation de la formule d’Euler.

lim Euler E

Re

(éq. 8.10.)

Le graphe proposé ci-dessous donne la représentation de σcrit Euler en fonction de λ pour un acier

usuel ( et ) et pour un alliage d’aluminium courantE N mm 200000 2 R N mme 240 2

( et ) .E N mm 70000 2 R N mme 180 2

L’allure des courbes est hyperbolique et celles-ci ne sont valables que si . En crit eR

conséquence, pour l’acier indiqué, la formule d’Euler n’est utilisable que lorsque

. lim Euler 91

b) Notion d’élancement réduit ( )

L’élancement réduit , nombre pur, à pour expression :

col

lim Euler(éq. 8.19.)

L’utilisation de ce nombre permettra une simplification des calculs ainsi que du formalismemathématique.

Nous pouvons maintenant exprimer la contrainte critique et la charge critique d’Euler sous laforme :

Contrainte critique :

crit Euler

col

eeR

R

lim Euler2

2 2(éq. 8.20.)

Charge critique :

NR A

crit Eulere 2

(éq. 8.21.)


8.5. Conditions d’utilisation de la formule d’Euler

Comme la théorie développée ci-dessus suppose le matériau élastique linéaire, on peut montrer quela formule d’Euler cesse d’être applicable pour des élancements inférieurs à λlim Euler.

Quelques valeurs de l’élancement limited’Euler λlim Euler

AE 235 - AE 355 94 - 76

Fonte ... 80 ...

Bois 100 ... 110

Tableau 8.2. - Elancement limite Euler.

Le problème de la stabilité d’une barre dont l’élancement est inférieur à l’élancement limitedemande une étude particulière.

C’est pourquoi dans le cas de pièces courtes ( ), on utilise des formules empiriques. col Euler lim

En pratique on utilisera la formule de Rankine (3) . Celle-ci s’énonce de la manière suivante :

Contrainte critique :

crit Rankine

eR

1 2 (éq. 8.23.)

La charge critique suivant Rankine s’écrira, quant à elle :

N

R Acrit Rankine

e1 2

(éq. 8.24.)

(3) Rankine William John Macquorn (1820 - 1872) : ingénieur et physicien écossais.


8.6. Dimensionnement

8.6.1. Dimensionnement et vérification par “Euler - Rankine”

Pour le calcul de vérification de pièce soumise à flambement, il faudra comparer la contrainteexistante dans le matériau (contrainte de compression), avec la contrainte admissible au flambement de cematériau. Celle-ci étant définie par :

adm flambement

crit flambement

S

N

A (éq. 8.25.)

Notation : S coefficient de sécurité -

Si nous remplaçons σcrit les valeur trouvées précédemment, nous pouvons en déduire les différentesformules de dimensionnement.

Si nous sommes dans les conditions de Rankine, nous trouvons :

adm flambement

crit Rankine e eadm compression

S

RS

N

A

R

S

N

A

11

2

2

Si nous effectuons le même raisonnement avec les formules de Euler, nous trouvons :

adm flambement

crit Euler e eadm compression

S

RS

N

A

R

S

N

A

2

2

Il reste le problème du coefficient de sécurité. De part les différentes incertitudes qui existent (deformules, de calculs, d’hypothèses et surtout d’inhomogénéité du matériau) nous devons prendre uncoefficient de sécurité supérieur au 1.5 classique que l’on prendrait pour de la compression.

Pour la formule de Rankine, nous devrions prendre :

SRankine 17 2 2. ... .

Pour la formule de Euler :

SEuler 2 5 35. ... .

8.6.2. Conception

A) Euler

avec :NR A

Sadm Euler

e

Euler

2

l i

E

R

l I A

E

R

f g

e

f

e

min min

2 2

d’où :

NE I

S ladm Euler

Euler f

2

2

min

IN S l

E

Euler f

min 2

2(éq. 8.33.)


B) Rankine

et en remplaçant par sa valeur :

N

R A

Sadm Rankine

e

Rankine

1 2

2

NA E

SE

R

A l

I

adm Rankine

Rankine

e

f

2

2 2

min

Dans ce cas nous avons 2 inconnues : la section A et l’inertie minimale Imin. Il faut commencer parla formule d’Euler et, ensuite, vérifier par Rankine.

8.6.3. Résumé

Méthode de Rankine - Euler

0 20 col20 col Eulerlim lim ...Euler col 180 200

Compression simple Rankine Euler

N

Aadm comp

N

Aadm Rankine1 2

N

Aadm Euler

2

adm compe

comp

R

S

( )Scomp 15.

adm Rankinee

Rankine

R

S

( )SRankine 17 2 2 2. ... ... .

adm Eulere

Euler

R

S

( )SEuler 2 5 3 35. ... ... .

N A

R A

S

adm adm comp

e

comp

NA

R A

S

E A

SA l

I

adm

adm Rankine

e

Rankine

Rankine Euler

f

1

1

2

2

2

2

2

lim

min

NA

R A

S

E I

S l

adm

adm Euler

e

Euler

Euler f

2

2

2

2

min

Conception

AN S

R

N

comp

e

adm

min

Par approximation successive :

il

A

N

g

f

Euleradm

min

lim

2

2 1

IN S l

E

N l

E

R

Euler f

f e

adm

min

2

2

2

2

Remarques :1) Cette méthode, ainsi que la formule d’Euler n’est pas applicable aux poteaux et butons

en béton armé, en raison de la fissuration du béton ce qui a comme conséquence que l’inertie varie sur la longueur.


2) Lorsque l’on a le choix entre 2 profilés, car le moment d’inertie convient, il fauttoujours prendre celui qui possède le rayon de giration le plus grand. En effet, voir §4.5. Rayon de giration, le rayon de giration étant le rapport entre la rigidité à laflexion et la rigidité à la traction-compression, il vaut mieux, dans le cas duflambement, privilégier la rigidité à la flexion.Autrement dit, pour le flambement, à même moment d’inertie, le profilé qui aura unrayon de giration supérieur résistera mieux au flambement.

8.6.4. Choix de la forme de la section

Afin de comparer un certain nombre de sections, on a introduit le rapport sans dimension wfb :

wI

A

i

Afb

g

min min(éq. 8.55.)

Notations : Aig min

section critique de flambagerayon de giration minimum

mm2

mm

Les valeurs de wfb pour différentes formes de sections sont consignées au Tableau 8.3. Comme onpouvait s’y attendre, on constate que les sections les plus désavantageuses sont les sections rectangulaires,les plus favorables étant les sections circulaires, les profils à larges ailes et tout particulièrement lessections annulaires.

Comparaison, du point de vue résistance / poids,de différentes sections flambement wfb

Section wI

Afb

min

Circulaire 0.282

Annulaire dint/dext = 0.70.80.9

0.4820.6020.871

Rectangulaire b/h = 32

(carré). . . . . . . . 11/21/3

0.1670.2040.2890.2040.167

HEA 100 450 0.55 ... 0.73

IPE 0.37 ... 0.46

IPN 0.27 ... 0.33

Tableau 8.3. - Comparaison résistance/poids.


Application 8.1. Calculez la charge critique (sans appliquer le coefficient de sécurité) et la charge desécurité au flambage d’une colonne constitué par une poutrelle IPN 160 de 4 m de hauteur encastrée aux

deux extrémités si le coefficient de sécurité est de 3.5. ( ). Dans ces conditionsE N mm 210 000 2

quelle est la contrainte dans cette colonne ?

8.7. Applications et exemples

Solution :Les caractéristiques de la poutrelle IPN 160 sont (catalogue) :

160 x 74 x 6.3 x 9.5

A cm 22 8 2.

i cmg min . 155

I cmmin . 54 7 4

Vérifions si la théorie d’Euler est applicablel k l mmf f 0 5 4 000 2 000.

lim Euler E

R

e

210000

235939.

col

f

g

l

iEuler

min ..

2000

155129 939

Elancement réduit

col

lim Euler

129

9391374

..

La charge critique d’Euler sera :La charge critique c’est la charge admissible maximale et donc on prendra .SEuler 1

NR A

N kNcrit Eulere

2 2

235 2280

1374283811 284

.

La charge de sécurité sera :

NN

SNadm

crit Euler

284 000

3581100

.Remarque :On aurait pu aussi utiliser la formule :

NE I

S ladm Euler

Euler f

2

2

min

La tension de travail sera de :

N

AN mm2 2 281100

2 2801374 67 1. .


Application 8.2. Quelle sera la charge critique et la charge de sécurité que l’on pourra appliquer sur unecolonne en fonte de diamètre 120 mm et de 2 m de longueur ? La résistance pratique est de 60 N/mm2

et les extrémités sont articulées. Quel est le coefficient de sécurité appliqué ?Les caractéristiques de cette fonte (MES 45-7) sont :

; ; .R N mmm 450 2 R N mme 255 2 E N mm 180 000 2

Solution :Vérifions si la théorie d’Euler est applicable :

Longueur de flambement (extrémités bi-articulées) :l k l mmf f 1 2 000 2 000

Elancement de la colonne.La colonne étant un cylindre les inerties seront égales quel que soit l’axe considéré et le rayon degiration vaudra :

iI

A

d d dmmg min

min 4 2

64 4 430

lim Euler E

R

e

180000

255835.

col

f

g

l

iRankine

min

. .2 000

3066 7 835

La charge critique de Rankine sera :

Ad

mm

2 2

2

4

120

411310

N

R ANcrit Rankine

e

1

255 11310

166 7

835

17610002 2 .

.

La charge de sécurité (admissible) sera :

N

ANadm

adm Rankine

1

60 11310

166 7

835

4140002 2

.

.

Le coefficient de sécurité est :

ou :SN

N

crit Euler

adm

1761000

414 0004 25. S

Re

adm

255

604 25.

Remarque :On aurait pu aussi utiliser la formule :

N

R A

SS

R A

Nadm

e

Rankine

Rankinee

adm

1 12 2


Application 8.3. Quelle section doit-on donner à une cornière “L” à branche égale, en AE 235, enposition verticale, si celle-ci supporte un effort de 41000 N en bout ? Cette cornière est articulée auxdeux extrémités et sa longueur est de 2.25 m.

Solution :Prenons les équations d’Euler

NR A

S

E I

S ladm

e

Euler Euler f

2

2

2

min

Longueur de flambement (extrémités bi-articulées) :

l k l mmf f 1 2 250 2 250

Le coefficient de sécurité SEuler est compris entre 2.5 et 3.5, prenons : .SEuler 3

Et l’inertie minimale à obtenir sera de :

IN S l

Ecm

Euler f

min

2

2

2

2

441000 3 2250

210000435 30

300 mm4

Recherche du “L” approprié

“L” de 80 x 80 x 9 A cm 13 7 2.

i cmg min . 155

I cmmin . 3301 4

“L” de 80 x 80 x 10 A cm 151 2.

i cmg min . 155

I cmmin . 36 24 4

“L” de 90 x 90 x 6 A cm 105 2.

i cmg min . 177

I cmmin . 3316 4

Le choix se portera sur le “L” qui aura le rayon de giration le plus grand, soit dans ce cas-ci le “L”de 90 x 90 x 6.

Vérifions si nous pouvions utiliser Euler

col

f

g

l

i

min .

1 225

177127

lim Euler E

R

e

210000

23594

col Ok Euler lim Euler


Application 8.4. Une vis à billes de diamètre à fond de filet est guidée à une seule extrémitéd mm 32

par deux roulement à billes. Elle est soumise de la part de l’écrou à une charge axiale de compression.L’écrou est au maximum à mm du palier. L’élancement critique de l’acier XC48 est :l mm 1000

, sa résistance admissible de compression vaut . Calculer la charge lim Euler 60 adm comp MPa 150

admissible sur la vis pour éviter le risque de flambage.

!

Solution :Hypothèses :

La vis est encastrée par rapport au bâti côté roulement, libre côté écrou (monté flottant).

Calcul de l’aire de la section droite :

A d

. mm

2 2

2

4

32

4804 2

Calcul du moment d’inertie de flexion :

I d

. mmx

4 2

4 4

64

32

64514710

Calcul du rayon de giration :

iI

A

dmmg

48

Calcul de l’élancement de la visDans notre cas la barre est simplement encastré : k f 2

col

f

g

f

g

l

i

k l

iEuler

2 1000

8250 60

Remarque :Un élancement de plus de 180 ... 200 est critique et donc il faudrait revoir la conceptiondu montage.

Calcul de la charge admissibleOn nous donne une contrainte admissible en compression simple. Pour le flambement suivantEuler, le coefficient de sécurité est environ 2x plus élevé que pour la compression simple, d’où :

adm Euler

adm compMPa

275

La charge admissible sera :

NA

Nadm

adm Euler

2 2

75 804 2

250

60

3474.


Application 8.5. Calculez la charge critique et la charge de sécurité d’une colonne HEB 200 de 4 m dehauteur, encastrée aux deux extrémités. Le coefficient de sécurité sera pris égal à 1.7.

Solution :Les caractéristiques de la poutrelle HEB 200 sont (catalogue) :

A cm 781 2.

i i cmg g ymin . 5 07

I I cmymin 200 4

La longueur de flambement :

l k l mmf f 0 5 4 000 2 000.

Elancement limite d’Euler :

lim Euler E

R

e

210000

23593.9

col

f

g

l

iRankine

min .. .

2 000

50 739 4 939

La charge critique de Rankine sera :

col

Eulerlim

.

..

39 4

9390 420

N

R ANcrit Rankine

e

1

235 7810

1 0 4202 2 ..156106

La charge admissible de sécurité sera :

NN

SNadm

crit Rankine

Rankine

15610

17

6.

.917.6103


Application 8.6. Une barre de charpente est formée par deux cornières à branches égales accolées “-.”en AE 235. Elle a une longueur de 1.7 m et supporte un effort axial de 57.5 kN. Quelles dimensions decornières faut-il adopter si on considère que la barre est articulée au deux extrémités ?

Solution :Prenons les équations d’Euler

Nous vérifierons le bien fondé de cette hypothèse a posteriori.Longueur de flambement (extrémités bi-articulées) :

l k l mmf f 1 1700 1700

Le coefficient de sécurité SEuler est compris entre 2.5 et 3.5, prenons : .SEuler 3

Et l’inertie minimale à obtenir sera de :

IN S l

E

Euler f

min

.

2

2

3 2

2

357 510 3 1700

21000024010

mm4

C’est l’inertie minimale à obtenir pour les 2 cornières.L’inertie minimales de 2 cornières accolées est celle par rapport à un axe horizontale, passant parleur centre de gravité, et dans ce cas l’inertie d’une cornière est la moitié du total, soit 12 cm4.

Recherche de la cornière appropriée

Soit une 50 x 50 x 6 avec un moment d’inertie et .I cmhorizontal 12 84 4. i cmg 150.

Vérification de l’hypothèse “Euler”

lim Euler E

R

e

210000

23593.9

col

f

g

l

iEuler

1 1700

1501133 939

.. .

Remarque importante :Pour le rayon de giration de 2 cornières “- .” il ne faut pas prendre 2 fois le rayon degiration d’une seule cornière “.” ! En effet :

iI

A

I

Ai

g Lx x

g L2

2

2


Application 8.7. Une colonne constituée d’unIPN 280 a une hauteur de 6 m. Il est entretoiséeà mi-hauteur dans le sens du moment d’inertiele plus faible. Quelle charge peut-ellesupporter, en supposant que les extrémités sontarticulées ?

Solution :Plans de flambage

Il y a deux hypothèses de calcul, car la colonne peut flamber de deux façons :Entre A et C dans le sens du Imin

Entre A et B dans le sens du Imax

Caractéristiques du IPN 280

;I cmmax 7590 4 I cmmin 364 4

;i cmg max . 111 i cmg min . 2 45

A cm 610 2.

a) Flambage entre A et C (axe faible)

lim Euler E

R

e

210000

23593.9

col axe faible

f

g

l

iEuler

min .. .

1 3000

24 5122 4 93 9

La charge admissible sera, en considérant un coefficient de sécurité :SEuler 3

NE I

S lkNadm Euler

Euler f

2

2

2 4

2

210000 364 10

3 3000279 4min .

b) Flambage entre A et B (axe fort)

col axe fort

f

g

l

iRankine

max

.1 6000

11154 939

La charge admissible sera, en considérant un coefficient de sécurité :SRankine 2

N

R AkNcrit Rankine

e

2 1

255 11310

2 154

939

5392 2

.

La charge admissible sera de 279.4 kN, on aurait pu s’en rendre compte en comparant les élancements.

fig. 8.10. - Application 8.7.


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CHAPITRE 8. NOTION DE STABILITÉ : FLAMBEMENT