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Irwin/McGraw-Hill The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999 INVESTMENTS Fourth Edition Bodie Kane Marcus 8- 8-1 Portefeuilles Portefeuilles Risqués Optimaux Risqués Optimaux Chapitre Chapitre 8 8

Chapitre 8

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Chapitre 8. Portefeuilles Risqués Optimaux. Ecart-type. Risque total. Risque non diversifiable. Nombre de titres. Réduction du Risque par Diversification. Portefeuille de deux titres: Return. r p = W 1 r 1 + W 2 r 2 W 1 = Proportion dans l’actif 1 W 2 = Proportion dans l’actif 2 - PowerPoint PPT Presentation

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Irwin/McGraw-Hill

The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

INVESTMENTSFourth Edition

Bodie Kane Marcus

8-8-11

Portefeuilles Risqués Portefeuilles Risqués OptimauxOptimaux

Chapitre 8Chapitre 8

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The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999

INVESTMENTSFourth Edition

Bodie Kane Marcus

8-8-22

Réduction du Risque par DiversificationRéduction du Risque par Diversification

Nombre de titres

Ecart-type

Risque non diversifiable

Risque total

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Bodie Kane Marcus

8-8-33

rp = W1r1 + W2r2

W1 = Proportion dans l’actif 1W2 = Proportion dans l’actif 2r1 = Rendement de l’actif 1r2 = Rendement de l’actif 2

1

n

1iiw

Portefeuille de deux titres: ReturnPortefeuille de deux titres: Return

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8-8-44

E(rp ) = W1 E(r1 ) + W2 E(r2 ) W1 = Proportion dans l’actif 1W2 = Proportion dans l’actif 2E(r1 ) = Rendement espéré de l’actif 1E(r2 ) = Rendement espéré de l’actif 2

1

n

1iiw

Portefeuille de deux titres: Portefeuille de deux titres: Rendement espéréRendement espéré

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Bodie Kane Marcus

8-8-55

p2 = w1

212 + w2

222 + 2w1w2 Cov(r1r2)

12 = Variance du rendement de l’actif 1

22 = Variance du rendement de l’actif 2

Cov(r1r2) = Covariance du rendement de l’actif 1 et de l’actif 2

Portefeuille de deux titres: RisquePortefeuille de deux titres: Risque

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8-8-66

1,2 = coefficient de corrélation des rendements

Cov(r1r2) = 12

1 = Ecart-type des rendement de l’actif 1

2 = Ecart-type des rendement de l’actif 2

CovarianceCovariance

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8-8-77

Valeurs possibles pour

+ 1.0 > > -1.0

Si = 1.0, les actifs sont parfaitement positivement corrélés

If = - 1.0, les actifs sont parfaitement négativement corrélés

Coefficients de Corrélation : Coefficients de Corrélation : Valeurs Possibles Valeurs Possibles

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8-8-88

2p = W1

212 + W2

2

+ 2W1W2

rp = W1r1 + W2r2 + W3r3

Cov(r1r2)

+ W323

2

Cov(r1r3)+ 2W1W3

Cov(r2r3)+ 2W2W3

Portefeuille de trois titres Portefeuille de trois titres

E(rp ) = W1 E(r1 ) + W2 E(r2 ) + W3 E(r3 )

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8-8-99

rp = Rendement pondéré des rendementsdes titres individuels

(vaut aussi pour les rendements espérés)

p2 = (Considérer toutes les paires

de covariances)

Portefeuille de n titresPortefeuille de n titres

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8-8-1010

E(rp) = w1E(r1 )+ w2E(r2) avec w2 = 1- w1

p2 = w1

212 + w2

222 + 2w1w2 Cov(r1r2)

p = [w1

212 + w2

222 + 2w1w2 Cov(r1r2)]1/2

Portefeuille de 2 titresPortefeuille de 2 titres

L ’ensemble des combinaisons possibles correspond à une branche d ’hyperbole

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8-8-1111

Portefeuille de 2 titres avecPortefeuille de 2 titres avecDifférentes CorrélationsDifférentes Corrélations

= 1

13%

%8E(r)

Ecart-type12% 20%

= -1

= -1

= 0.3

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8-8-1212

La relation rendement/risque dépend du coefficient de corrélation

-1.0 < < +1.0 Plus la corrélation est faible, plus la réduction

de risque est importante Si= +1.0, pas d’effet diversification Si= -1.0, effet diversification maximal

(risque éliminable)

Portefeuille de 2 titres avecPortefeuille de 2 titres avecDifférentes CorrélationsDifférentes Corrélations

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8-8-1313

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale

),cov(2

),cov(

)1(0

)(1

),cov(2

2122

21

2122

1

1

2

12

12

212122

22

21

21

2

rr

rrw

ordredeconditiondw

d

wfww

rrwwww

erp

p

p

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8-8-1414

1

2E(r2) = .14 = .20Actif 212 = .2

E(r1) = .10 = .15Actif 1

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale

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8-8-1515

W1=

(.2)2 - (.2)(.15)(.2)

(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)

W1 = .6733

W2 = (1 - .6733) = .3267

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale

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8-8-1616

rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131

p = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +

2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)] 1/2

p = [.0171] 1/2 = .1308

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale = 0.2 = 0.2

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8-8-1717

W1=

(.2)2 - (.2)(.15)(-.3)

(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(-.3)

W1 = .6087

W2 = (1 - .6087) = .3913

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale = -.3 = -.3

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8-8-1818

rp = .6087(.10) + .3913(.14) = .1157

p = [(.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 +

2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3)] 1/2

p= [.0102] 1/2 = .1009

Portefeuille de Variance MinimalePortefeuille de Variance Minimale = -.3 = -.3

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8-8-1919

Les combinaisons optimales consistent en portefeuilles de variance minimale pour un risque donné

Portefeuille de n titres Portefeuille de n titres

1

),,(..

),,(

1

*1

12

,,1

n

nP

nPww

ww

rwwrEcs

wwMinn

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8-8-2020

Les combinaisons optimales consistent en portefeuilles de variance minimale pour un risque donné

L’ensemble des combinaisons optimales constitue la frontière efficiente

Les portefeuilles de la frontière efficiente sont dominants

Portefeuille de n titres Portefeuille de n titres

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8-8-2121

La frontière efficiente des titres risquésLa frontière efficiente des titres risquésE(r)

frontière efficiente

Portefeuillede varianceminimalglobal Portefeuilles

de variance min. pourun risque donné

Actifs individuels

Ecart-type

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INVESTMENTSFourth Edition

Bodie Kane Marcus

8-8-2222

Les combinaisons optimales en terme de rendement et de risque deviennent linéaires

Un seul ensemble de combinaisons possibles va dominer tous les autres

Introduction d’un actif sans risqueIntroduction d’un actif sans risque

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INVESTMENTSFourth Edition

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8-8-2323

Capital Market LineCapital Market Line

M

E(r)

Comb.(variance minimum)

Comb. (A)CML

P

A

F

P P&F M

A

G

P

M

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INVESTMENTSFourth Edition

Bodie Kane Marcus

8-8-2424

Sélection de Portefeuilles & Sélection de Portefeuilles & Aversion au Risque Aversion au Risque

E(r)

Frontière efficientedes titres risqués

Investisseurplusrisque-averse

U’’’ U’’ U’

Q

PS

Ecart-type

Investisseurmoins risk-averse

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INVESTMENTSFourth Edition

Bodie Kane Marcus

8-8-2525

Sélection de Portefeuilles &Sélection de Portefeuilles &Placement/Emprunt sans risquePlacement/Emprunt sans risqueE(r)

Frf

A

P

Q

B

CML

Ecart- type