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Chap. 3 - Systèmes optiques centrés dans les conditions de Gauss: définitions Système centré dioptrique : ne contenant que des dioptres. Système centré catadioptrique : contenant des dioptres et des miroirs. Système centré catoptrique : ne contenant que des miroirs. Un système centré est dit : à foyers : les foyers principaux objet et image sont à distance finie; afocal : les foyers principaux objet et image sont rejetés à l’infini. Chapitre 3 : systèmes optiques centrés 1 Un système centré est un ensemble de milieux transparents séparés par des surfaces (planes ou sphériques) réfringentes et/ou réfléchissantes.

Chapitre 3 Systèmes optiques centrés

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Text of Chapitre 3 Systèmes optiques centrés

  • Chap. 3 - Systmes optiques centrs dans les conditions de Gauss: dfinitions

    Systme centr dioptrique : ne contenant que des dioptres.

    Systme centr catadioptrique : contenant des dioptres et des

    miroirs.

    Systme centr catoptrique : ne contenant que des miroirs.

    Un systme centr est dit :

    foyers : les foyers principaux objet et image sont distance finie;

    afocal : les foyers principaux objet et image sont rejets linfini.

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    1

    Un systme centr est un ensemble de milieux transparents spars par

    des surfaces (planes ou sphriques) rfringentes et/ou rflchissantes.

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  • Systmes centrs dioptriques - Introduction

    2

    ''

    )' ,(

    22

    )' ,(

    11

    )' ,( 222111 BABABAAB jjFFSjFFSFFS

    '' )F' (F,

    BAABcentroptiqueSystme

    (S1) (S2) (S3)

    (E) (S)

    A

    B

    A

    B

    n n

    (P) (P)

    A

    B

    A

    B

    n n'

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  • Points et plans principaux dun

    systme centr dioptrique

    Les plans principaux objet (P) et image (P) sont deux

    plans conjugus tels que le grandissement linaire =1.

    B B

    (P)

    H F H F

    (P)

    A A

    E S

    Les points principaux objet H et image H sont deux points

    conjugus, intersection de laxe optique avec les plans

    principal objet (P) et image (P) respectivement, et tels que :

    Les distances focales objet f et

    image f sont donnes par :

    ''' FHfetHFf

    (F et F ont mme dfinition que

    pour un systme optique simple)

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    3

    1''

    HB

    BH

    1 / '

    HHcentrSystme

    La nature de F et F dpend de leur position /

    E et S et non pas par rapport P et P.

    n n

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  • Construction des plans principaux

    (P) et (P)

    Le plan principal image (P) est le lieu des K intersection des incidents

    parallles laxe et des mergents correspondants passant par F

    Le plan principal objet (P) est le lieu des K intersection des incidents

    passant par F et des mergents correspondants parallles laxe.

    4

    (P)

    H H F

    (P)

    F

    K K

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  • La donne des lments cardinaux du systme centr (F, F, H et H) dfinie

    compltement le systme optique.

    La construction de limage dun objet se fait grce aux deux rayons

    particuliers ( // laxe et passant par F).

    B

    A

    F

    H H

    F A

    B

    I I

    J J

    Construction de limage dun objet Formule de conjugaison/vergence

    u u '

    ''''

    f

    AF

    FA

    f

    AB

    BA

    1''

    '

    AH

    f

    HA

    f

    Relation de Descartes

    Grandissement avec

    origine aux foyers

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    5

    n n

    (P) (P)

    En considrant les triangles semblables (BIJ) et

    (FHJ) dune part, (BIJ) et (FHI) dautre part, on

    montre que :

    En calculant tg u et tg u,

    on montre que :

    Remarque: n et n sont les indices des milieux avant E et aprs S respectivement.

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  • '''' n

    n

    f

    f

    FH

    HF

    HFFHnnidentiques

    sontextrmesmilieuxlesLorsque

    ''' :

    HF

    n

    FH

    nV

    ''

    ' :est foyers centr systmeun d' vergenceLa

    Relation entre les distances focales

    Vergence

    di 0

    0

    vergentsystmeV

    convergentsystmeV

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    6

    H H

    ''''.. ' ''' BAABununuBAnuABn

    Formule de Lagrange-Helmoltz :

    ''''

    ''''

    FH

    AB

    FH

    BAutgu

    HF

    AB

    HF

    FFutgu s

    Indpendamment de la nature des foyers.

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  • HA

    AH

    n

    n

    AB

    BA ''

    '

    ''

    Vf

    n

    HA

    n

    AH

    n

    '

    '

    ''

    '

    Autres formulations de la relation de conjugaison

    et de grandissement transversal

    Relation de conjugaison avec

    origine aux points principaux

    ''' . ffAFFA

    Formule de Newton

    Remarque :

    Dans le cas dun dioptre sphrique : H S H

    Le grandissement linaire avec origine

    aux points principaux scrit :

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    7

    1''

    '

    AH

    f

    HA

    f

    '

    '

    n

    n

    f

    f

    La relation de conjugaison avec

    origine aux foyers est :

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  • s

    K

    K

    N N

    J

    J

    Points nodaux N et N et

    grandissement angulaire G

    Les points nodaux N et N sont deux points conjugus sur laxe tels qu tout incident passant par N correspond un mergent passant par N et parallle lincident.

    F H H

    F

    fHFNFfFHFN ''et ''' '''et '' ffNHHNHHNN

    Si les milieux extrmes sont identiques (f = - f) : H N et H N

    PFO

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    8

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  • Points nodaux N et N et

    grandissement angulaire G

    N et N sont tels que le grandissement angulaire G = 1 :

    N N / G = 1

    Daprs la relation de Lagrange-Helmholtz : 'n

    nG

    'n

    nGOn a alors pour N et N (G = 1) :

    Si en plus les milieux extrmes sont identiques (n = n) alors : = 1

    dans ce cas : N H et N H

    Exemple : Pour le dioptre sphrique : H H S et comme

    HN = HN = f + f = SF + SF = R =SC = HC, alors N C N

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    9

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  • Construction de limage dun objet

    Systme centr divergent

    B

    A F H H F A

    B

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    10

    P P

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  • Association de deux systmes

    centrs

    Position du problme:

    (S) : (H, H, F, F) ? (S1) : (H1, H1, F1, F1)

    (S2) : (H2, H2, F2, F2)

    (S) systmedu optique intervalle appelest '

    systmedu paisseur l'ou optique intersticel'est '

    21

    21

    FF

    HHe

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    11

    H1 H1 H2 H2 H H

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  • Construction gomtrique des points

    cardinaux du systme quivalent

    1 Foyer image F et point principal image H

    (PF2)

    s2

    F

    (P)

    H H2

    F2

    n

    F1 F2

    N

    H1

    F1

    H1

    n

    (S1) (S2)

    (P1) (P1)

    (P2) (P2)

    H2

    '' 21 1 FFA

    SS

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    12

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  • Construction gomtrique des

    points cardinaux

    2 Foyer objet F et point principal objet H

    (PF1)

    s1

    F

    (P)

    H

    F2

    n

    F1 F2

    N

    H1

    F1

    H1

    n (S1) (S2)

    (P1) (P1)

    (P2) (P2)

    H2 H2

    '21 2 AFFA

    SS

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

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  • Dtermination analytique des

    points cardinaux

    '' 21 1 FFA

    SS

    '21 2 AFFA

    SSDaprs les deux constructions

    prcdentes on a :

    En appliquant la formule de Newton aux couples de points

    conjugus (F, F2) par (S1) et (F1, F) par (S2), on montre que :

    '

    '' 222

    ff

    FF

    En utilisant les deux constructions prcdentes et les proprits

    des triangles semblables, on montre que :

    ''

    ''' 21

    fffFH

    111

    '

    ffFFet

    21

    fffHFet

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    14

    ' 21 FFO

    ).(S centr systmedu imageet objet focales distances lessont 'et

    );(S centr systmedu imageet objet focales distances lessont 'et

    222

    111

    ff

    ff

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  • Vergence du systme (S) et

    formule de Gullstrand

    La vergence Vs (ou C) du systme centr quivalent est le

    rapport de son indice de sortie sa distance focale image : '

    'V s

    f

    n

    Compte tenu de lexpression de f du systme centr, Vs scrit :

    ''

    '

    '

    'V

    21s

    ff

    n

    f

    n fe f' -' avec 2121 FF

    En remplaant par son expression et en dveloppant Vs, on trouve :

    V 2121s ssss

    VVN

    eVV

    Formule de Gullstrand 2s

    1s

    '

    'V

    'V

    2

    1

    f

    n

    f

    N

    n'

    N-

    '

    N

    n-

    '

    2

    2

    1

    1

    f

    f

    f

    f

    o et

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    15

    N tant lindice du milieu intermdiaire

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  • Systmes centrs afocaux

    Une association de deux systmes centrs est afocale si le foyer

    image du premier systme est confondu avec le foyer objet du

    second systme. Dans ce cas lintervalle optique est nul ( ). 0

    Systme centr afocal ses foyers objet et image sont linfini.

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

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    P1 P1

    P2 P2

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  • Systmes catadioptriques Ces systmes sont forms par des dioptres et limits

    par au moins un miroir. Ils sont quivalents un miroir

    sphrique (M) unique de centre et de sommet tels

    que :

    (Sd) (M1)

    C S

    (M)

    est limage du sommet S du miroir rel travers le (Sd) dans le sens de la lumire rflchie.

    est limage du centre C du miroir rel travers le systme dioptrique (Sd), dans le sens de la lumire rflchie;

    SdC

    SdS

    Chapitre 3 : systmes optiques centrs

    17

    Un tel systme catadioptrique foyers est identique un miroir

    sphrique, en ce qui concerne la position et la grandeur des images, non

    en ce qui concerne leur nature relle ou virtuelle.

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  • Exemple:

    18

    D(S1, C1) M(S2, C2)

    C1 S2 C2

    n n'

    S1

    n n

    MS (, )

    (n) )'(

    ),(

    211

    n

    CSDC et

    (n) )'(

    ),(

    211

    n

    CSDS

    21111121

    1

    11211

    ''

    .

    ''

    SSnnCSn

    CSSSnS

    CS

    nn

    SS

    n

    S

    n

    21111121

    1

    11211

    ''

    .

    ''

    CSnnCSn

    CSCSnS

    CS

    nn

    CS

    n

    S

    n

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