تزد “ لم إذا

على شيئا

كنت الدنيا،

عليها “ زائدا

الرافعي

1

بسـم الله الرحمـن الرحيـم

Présenté par : Dr. SAMAI DJAMEL2

CHAPITRE I : ANALYSE TEMPORELLE DES

SYSTEMES LINEAIRES

Université Kasdi Merbah – Ouargla

Faculté Des Nouvelles Technologies

de l’Information et de la Communication

Département de l’ Electronique et de Télécommunications

impulsion t0

x

I. IntroductionI.1. Réponse impulsionnelle

3

4

I.2. Réponse indicielle

t

e

ee1

e0

0 t0

t

S

SSf

S0

0 t0

entrée

t0

x

Système suiveur

entrée

t0

x

Système ne suit pas

I.3. Réponse en vitesse

5

t

ee1

e00 t0

t

S90%

10%0 t0 tm

Temps de montée

I.4. Temps de montée

6

t

ee1

e0

0 t0

t

S90%

10%

0 t0 tmTemps de montée

Tuyau des 5 %

Temps de réponse

I.5. Temps de réponse

7

tR

8

II. Réponses temporelles des systèmes élémentaires

II.1. Introduction

l

j

k

i

mm

mm

dpcppp

bpbpbpbpF

1

2

1

011

1

11

...

avec + k = 2l = n

9

II. Réponses temporelles des systèmes élémentaires

Dans ces conditions on distinguera 3 types de processus

élémentaires :

• le processus à constante de temps ou processus du 1er

ordre;

• le processus en 1/p qu’on appelle intégrateur, car diviser

par p la transformée de Laplace d’une fonction f revient à

prendre la transformée de l’intégrale de f. Ce processus est

aussi du premier ordre;

• le processus du second ordre.

tektsdt

ds

p

k

pE

pSpF

1

k est le gain statique et la constante de temps

II.2. Processus à constante de temps du 1er ordre

10

t

ekts 1

t

s(t))

k

0

0,63k

0,95k0,86k

2 3 4

II.2.1. réponse indicielle

11

12

• le temps de réponse : la valeur finale (régime permanent)

étant k; on voit tout de suite que le temps de réponse (±5%

de la valeur finale) est :

• Le temps de réponse (±2% de la valeur finale) est :

• si est petite, alors tr est faible et le système est rapide.

• plus est élevée, plus le système est lent.

• le temps de montée : est le temps entre 10% et 90% de la

valeur finale, ce que nous écrivons sous la forme :

3rt

4rt

2.211.031.2 mt

tetkts

pppk

pp

kpS

11

1 22

2

1

ppE

13

II.2.2. réponse en vitesse

0 t

s(t)

r(t)

k

2

14

Un système du premier ordre ne suit pas en vitesse

0 t

s(t)

2 3

k/

33%

5%

1pE 1

p

kpS

t

ek

ts

Un système du premier ordre est donc stable.

II.2.3. réponse impulsionnelle

15

tekdt

ds

p

k

pE

pSpF

Exemple : Condensateur pur

V C

I

CppI

pV 1

II.3. Processus intégrateur

16

k

tsp

kpS 1pE

II.3.1. réponse impulsionnelle

17

p

pE1

tk

ts

II.3.2. réponse indicielle

18

tebsadt

dsa

dt

sda 0012

2

2

2

0

2

0

10

0

1

1

pa

ap

a

aa

bpF

0

0

a

bk

le gain statique2

0

a

an

la pulsation propre non amortie

20

1 1

2 aa

a

le coefficient d'amortissement

II.4. Processus du second ordre

19

II.4.1. Forme canonique

La forme canonique de F(p) s'écrit alors :

2

221

nn

pp

kpF

22

2

2 nn

n

pp

kpF

ou

20

Exemple : Circuit RLC

e s

R L

C

I

1

12

pRCpLCpE

pS

LCn

1

la pulsation propre

CL

R

2

le facteur d'amortissement

21

AN :

128

12)(

2

pppG

168

16)(

2

pppG

208

20)(

2

pppG

12n

16n

20n

15.1

1

89.0

22

Cas où 1

212121

11

11

11

pp

k

pp

kpS

21

21

tt

eek

ts

1pE

1

1

1

1

22

21

n

n

II.4.2. réponse impulsionnelle

23

Le système revient au repos, il est donc stable

24

Cas où < 1

tekts n

tn

n

2

21sin

1

25

Cas où 1

2

1

ppE

221

22

121

2121

2 11

111

pppp

kpS

21 2

221

2121

1

tt

eetkts

II.4.3. réponse en vitesse

26

27

Cas où < 1

222

2

2

222

2

1

142

21

2

nn

n

n

nn

n

p

p

ppk

ppp

kpS

22

212arctan1cos

1

2

te

tkts n

n

t

n

n

28

29

Cas où 1

p

pE1

221

2

121

1

21

11

111

11

pppk

ppp

kpS

21

21

2

21

11

tt

eekts

II.4.4. réponse indicielle

30

31

Cas où < 1

22

22

2

2

21

2

nn

n

nn

n

pp

p

pk

ppp

kpS

2

2

2

1arctan avec

1cos1

1

te

kts n

tn

32

33

34

•Calcul du temps de montée

01cos1

1cos1

1

2

2

2

2

mn

t

mn

t

te

kte

k

mn

mn

nt

t

mn

mn

21

01cos

2

2

22 1arctan

21

1

n

mt

35

•Calcul du temps du premier maximum

tte

kdt

dsnn

t

n

n222

21sin11cos

1

01sin11cos 222 tt nn

tgttg n

2

2

11

2

2

11

n

kn

ntnt

21

n

pict

36

•Calcul du dépassement max

211

ekkSD MAX

21100%

eD

•Calcul du temps de réponse (2%)

02,0 rnte 4rnt

nrt

4

37

•Calcul du temps de réponse (5%)

3rnt

nrt

3

38

39

40

Exemple :

Trouver : , , , et le dépassement max

pour le système suivant:

n

mt %2

rt

36116

361)(

2

pppG

421,0 19n

stm

1723,0

%D

str

5,0%2

%3,23% D

Solution :

II.5. Processus d’ordre élevé

41

II.5.1. Pôles dominants

• L’ influence des pôles proche de l’origine (pôles dominants)

dure le plus longtemps et ce sont eux qui fixent la forme de

la réponse, tandis que les pôles les plus éloignés ne jouent

que sur la forme du début du régime transitoire.

• Un système d’ordre élevé a, sauf exception, un ou deux

pôles dominants et se comporte donc comme un système

du 1er ou du 2ème ordre.

• Un pôle peut être négligé dès qu’il est 3 ou 4 fois supérieur

au précédent.

42

43

clear, close all, clc;

f = figure;h = uicontrol('Position',[0 0 80 40],'String','Continue',... 'Callback','uiresume(gcbf)'); k = 1; z = [ ]; a = 0;for a = 1 : 4 : 20 k = a * a + 16; p1 = - a - 4 * j; p2 = - a + 4 * j; p = [p1, p2]; g = zpk(z,p,k); hold on, step(g); uiwait(gcf); endclose(f);

Exemple 1

44

clear, close all, clc;f = figure;h = uicontrol('Position',[0 0 80 40],'String','Continue',... 'Callback','uiresume(gcbf)');k=17; z = [ ]; p1 = - 1 – 4 * j; p2 = - 1 + 4 * j; p = [p1, p2];g1 = zpk(z,p,k); step(g1, 'r')for a = 1 : 4 : 40 k = 17 * a * (a * a + 4); p1 = - 1 - 4 * j; p2 = - 1 + 4 * j; p3 = - a; p4 = - a - j; p5 = - a + j; p = [p1, p2, p3, p4, p5]; g2 = zpk(z,p,k) hold on, step(g2); uiwait(gcf); endclose(f);

Exemple 2

45

III.Rapidité

La rapidité d’un système asservi est déterminée par la durée

de son régime transitoire, que l’on caractérise par le temps de

réponse à 2% ou 5%.

46

47

IV.Précision statique

ppt pt 0limlim

L’erreur permanente : est l’écart (erreur

statique) qui subsiste en régime

permanent.

Le rôle des systèmes asservis est de faire suivre

à la sortie s(t) une loi fixée par e(t), avec pour idéal

(t) = e(t) - s(t) = 0.

48

G1(p)+

G2(p)

P(p)

+ S(p)E(p) ε(p)+

-

Le cas général d’un système asservi est :

pSpSpS PE

pPpEpG

pGpG

pGpS

1

21

2

1

49

pSpEp

pPpGpEpGpG

p 2211

1

(t) = e(t) + p(t)

•e(t) : signal d’erreur dû aux variations de l’entrée,

•p(t) : signal d’erreur dû à la perturbation.

ppp PE

50

pP

pGpG

ppGpE

pGpG

p

ppt

pp

p

21

2

021

0

0

1lim

1lim

lim

Pour trouver la valeur globale de l’erreur, nous appliquons le

théorème de la valeur finale, nous obtenons :

Où pEpGpG

pt

pE

210 1

lim

Et pP

pGpG

ppGst

pP

21

2

0 1lim

51

IV.1. Système sans perturbation et à entrée variable

On a P(p) = 0, et en posant G(p) = G1(p).G2(p), il vient:

(p) = E(p) - G(p).(p)

FTBO

pEp

1D'où :

Ainsi, l'écart est lié d'une part à la forme du signal

d'entrée E(p) et d'autre part à la forme de la FTBO.

52

•Si l'entrée est un échelon, l'écart est appelé écart de

position et est noté P.

•Si l'entrée est une rampe, l'écart est appelé écart de

vitesse (traînage) et est noté v ou t.

•Si l'entrée est une parabole, l'écart est appelé écart en

accélération et est noté a.

IV.1.1. Influence de l'entrée

53

La forme de la FTBO dépend du nombre d'intégrateurs

qu'elle contient. D'une manière générale :

pDp

pNkFTBO

avec N(0) = D(0) = 1, α est appelé classe du système.

IV.1.2. Influence de la FTBO

54

a) Système de classe 0 (pas

d’intégrateur) pD

pNkFTBO

pkNpD

pDpEp

donc

1) Ecart de

position

2) Ecart de vitesse

3) Ecart d’accélération

k

Ep

1

v

a

Conclusion : Un système de classe 0 ne suit ni en vitesse, ni en accélération.

55

b) Système de classe 1 (un

intégrateur)

1) Ecart de

position

2) Ecart de vitesse

3) Ecart d’accélération

0p

a

Conclusion : un intégrateur annule l'écart de position et rend fini l'écart de traînage.

pkNppD

ppDpEp

ppD

pNkFTBO

k

Ev

56

c) Système de classe 2 (deux

intégrateurs)

1) Ecart de

position 2) Ecart de vitesse

3) Ecart d’accélération

0p

Conclusion : Dans un système de classe 2, les écarts de position et de traînage sont nuls et l'écart en accélération devient fini.

pkNpDp

pDppEp

pDp

pNkFTBO

²²

2

0v

k

Ea

57

d)Dilemme stabilité précision

précision Classe 0 Classe 1 Classe 2

p 0 0

v 0

a

k

E

1

k

E

k

E

On constate que plus k est grand, plus la précision s'améliore.

Mais par ailleurs, l'accroissement du gain en boucle ouverte

finit par provoquer le pompage et déstabiliser

l'asservissement.

58

e)Exemple :

Calculer les écarts de position, de vitesse et d’accélération

pour le système à retour unitaire dont sa FTBO est donnée

par :

Solution :

4

2

ppFTBO

2

1

41

21

kp

pFTBO

59

•Ecart de position : (entrée échelon)

p

pE1

01

.lim0

FTBO

pEp

pp

•Ecart de vitesse : (entrée rampe)

•Ecart d’accélération : (entrée parabole)

2

1

ppE

2

1.lim

0

FTBO

pEp

pv

3

1

ppE

FTBO

pEp

pa 1

.lim0

60

IV.2. Système avec perturbation seules

L’erreur due à une perturbation p(t) est donnée

précédemment par :

pGpG

pG

pP

pS

21

2

1

)(lim

1lim

0

21

2

0

ppS

pPpGpG

ppGst

p

pP

La fonction de transfert de la perturbation s'écrit :

61

a) Perturbation fugitive

pNkpNkpDpD

pDpNkpPpS

221121

122

b) Perturbation

permanente

0)( PpP 01

limlim21

2000

kk

kpPppSs pp

La perturbation fugitive est annulée.

p

PpP 0

21

20

1 kk

kPs

IV.2.1. Système de classe 0

62

t

p(t)

0

P0

Perturbation fugitive

Perturbation en échelon

t

s(t)

Sf

S'fs Régime final

0

influence des perturbations (système de classe 0)

63

a) Intégrateur en aval de la

perturbation

ppD

pNpG

2

22

pNpNkkpDppD

pDpNkpPpS

212121

122

La perturbation fugitive est bien sûr annulée. Dans le cas

d'une perturbation permanente:

21

2000 limlim

kk

k

p

PpppSs pp

soit : 1

0

k

Ps

IV.2.2. Système de classe 1

64

b) Intégrateur en amont de la

perturbation

ppD

pNkpG

1

111

pNpNkkpDppD

pDpNpkpPpS

212121

122

0limlim21

2000 kk

pk

p

PpppSs pp

conclusion : Un intégrateur placé en amont d'une perturbation annule ses effets.

Comme précédemment, la perturbation fugitive est annulée,

mais la perturbation permanente aussi. En effet :

65

t

p(t)

0

P0

Perturbation fugitive

Perturbation en échelon

t

s(t)

Sf

S'f

effacement de l'effet des perturbations

0

66

Exemple :

Soit le système donné par le schéma suivant :

1) Trouver l’écart de position ainsi que l’erreur due à une

perturbation en échelon. Déduire l’erreur globale.

2) Que devient l’erreur due à la perturbation lorsqu’on insert

un intégrateur en amont de la perturbation.

5

1

p 2

100

p

pE pS

pP

67

p

pE1

Solution :

1) L’écart de position : ,

11

1

1.lim

0

FTBO

pEp

pp

52

100

ppFTBO

11

50

1lim

21

2

0

pP

pGpG

ppGs

p

L’erreur due à une perturbation en échelon est :

L’erreur globale est :

11

49

11

50

11

1

68

2) Lorsqu’on insert un intégrateur en amont de la

perturbation, on le multiplie par G1(p). L’erreur devient :

01

2100

2100

2100

lim

lim1

1lim

2

0

21

22

0

21

2

0

ppp

p

pp

pPpGpGp

pGppP

pGpGp

ppGs

p

pp