PHYSQ 126: Champ magnétique induit–1

CHAMP MAGNÉTIQUE INDUIT

1 But

Cette expérience1 a pour but d’étudier le champ magnétique créé par un courant électrique, tel que décritpar la loi de Biot-Savart2. Vous avez vu qu’un courant électrique qui passe dans un fil conducteur génère unchamp magnétique dans le voisinage de ce conducteur. Cette expérience porte sur deux types de conducteursenroulés : les bobines de Helmholtz et le solénöıde. La première partie concerne la relation entre le champmagnétique et le courant pour des bobines de Helmholtz. La seconde partie porte sur la relation entre lechamp magnétique et la position pour des bobines de Helmholtz et pour un solénöıde. On demande un calculd’erreur seulement pour la première partie (section 3.1, ci-dessous).

2 Théorie

2.1 Bobines de Helmholtz

Considérez la bobine représentée à la Figure 1, ci-dessous. En un point situé sur l’axe central de la bobine,l’intégrale de la loi de Biot-Savart (voir l’annexe à la fin) montre que le champ magnétique B est parallèle àl’axe central et sa grandeur est

B =12µ0NR

2I

(R2 + (x− xc)2)3/2. (1)

Le symbole N représente le nombre d’enroulements, R est le rayon de la bobine, I le courant dans la bobine,x la position où l’on calcule B, et xc la position du centre de la bobine.

Si une seconde bobine, semblable à la première, est placée parallèment à la première, le long du mêmeaxe (voir Figure 2, ci-dessous) et qu’une distance R (égale au rayon de chaque bobine) sépare les deuxbobines, on appelle cette paire bobines de Helmholtz. À la question 1 de la section 5, vous montrerez à l’aidede l’équation (1) que le champ magnétique le long de l’axe et à mi-chemin entre ces bobines est donné par

BH =8√125

µ0NI

R. (2)

1Traduction et adaptation de: Experiment 18 - Magnetic Fields, Physics Laboratory Manual- Phys 124/126, Departmentof Physics, University of Alberta.

2La loi de Biot-Savart, décrite dans l’annexe, n’est utilisée que dans cette expérience; vous n’avez pas besoin de la connâıtrepour le cours. C’est cette loi qu’il faut utiliser pour obtenir les expressions du champ magnétique que nous avons vues pour lesboucles, les solénöıdes, etc.

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2.2 Champ magnétique le long de l’axe central d’un solénöıde

Un solénöıde est un autre système qui peut générer un champ magnétique. Pour un point P le longde l’axe central du solénöıde (Figure 3), le champ magnétique est parallèle à l’axe central et sa grandeur estdonnée par

B =1

2µ0n(cosβ2 − cosβ1), (3)

où n = N/L est le nombre de tours par unité de longueur de la bobine et β1, β2 sont les angles indiqués àla Figure 3. Ces angles β1 et β2 sont compris entre 0

◦ et 180◦, et on a toujours β1 ≥ β2. Si x est la positionde la sonde, xc la position du centre du solénöıde, L la longueur du solénöıde et R son rayon (voir Figure3), alors on peut écrire l’équation (3) sous la forme

B =µ0NI

2L

(x− xc) + L/2√((x− xc) + L/2)2 +R2

− (x− xc)− L/2√((x− xc)− L/2)2 +R2

(4)Si le point P est situé vers le milieu d’un solénöıde tel que L � R, c.-à-d. loin des extrémités, alors

β1 ≈ 180◦ et β2 ≈ 0◦. En substituant ces angles dans l’équation (3), on vous demande de montrer à laquestion 2 de la section 5 que la grandeur du champ B à l’intérieur d’un long solénöıde est

B = µ0nI. (5)

3 Manipulations

3.1 Partie I : Champ B en fonction de I dans des bobines de Helmholtz

1. Chaque bobine a le même nombre d’enroulements N . Le but de la partie I est de déterminer la valeurde N en mesurant BH en fonction de I et en linéarisant l’équation (2); la pente nous permettra decalculer N et de le comparer avec la valeur donnée par le fabricant (voir question 3 de la section 5).

PHYSQ 126: Champ magnétique induit–3

2. Placez les deux bobines en position parallèle et séparées d’une distance égale au rayon des bobines R.Pour ce faire, assurez-vous que les bobines soient bien au centre des rectangles blancs dessinés sur labase métallique.

3. Il y a deux types de bobines que vous pouvez utiliser pour cette expérience: 200 enroulements et 500enroulements.

Bobine avec 200 enroulements (Figure 4, ci-dessous). On trouve sur chaque bobine trois prises decourants: deux blanches et une noire. Branchez ensemble les prises blanches externes respectives desdeux bobines par un fil conducteur. Branchez ensuite la source de courant à la prise blanche internede chacune des bobines, c.-à-d. branchez le + à une bobine et le − à la seconde bobine. La prise noiren’est pas utilisée.

Bobine avec 500 enroulements (non illustrée). Chaque bobine compte deux prises de courants, uneblanche et une noire. Branchez ensemble les prises blanches des deux bobines par un fil conducteur.Branchez ensuite la source de courant à la prise noire de chaque bobine, c.-à-d. branchez le + à unebobine et le − à l’autre bobine.

4. Avant d’allumer la source de courant, assurez-vous que les deux boutons du voltage soient en positiondu voltage le plus élevé, c’est-à-dire tournés vers la droite (ces boutons sont situés sur le côté droitde l’appareil, #3 et #4 à la Figure 5, ci-dessous). Vérifiez aussi que l’appareil soit ajusté à la petiteéchelle du courant en vous assurant que le bouton #14 soit à la position enfoncée.

5. Branchez la source de courant et appuyez sur le commutateur vert (#13 à la Figure 5) pour mettrel’appareil en marche. Vérifiez que l’affichage soit au mode AMPS (#12 à la Figure 5).

6. Ajustez le courant I à environ 0.000 A en utilisant les boutons pour le courant qui sont situés sur lecôté gauche de l’appareil (#5 pour les grands ajustements et #6 pour les petits).

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7. Branchez le dispositif bleu Pasport au détecteur de champ magnétique qui est un autre dispositif bleu(Figure 6, ci-dessous). Placez l’extrémité de la sonde de Hall au centre des bobines aussi précisémentque possible.

8. L’image illustrée à la Figure 7 apparâıtra à l’ordinateur (elle sera plus claire qu’ici!). Cliquez sur l’icôneEZscreen et l’image illustrée à la Figure 8 apparâıtra. Cliquez sur l’icône en bas à droite jusqu’à ceque les unités qui apparaissent dans la fenêtre en bas à gauche soient des mT.

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9. Cliquez sur la flèche en haut à gauche de l’écran de la Figure 8. La mesure de l’intensité du champmagnétique BH apparâıtra dans la fenêtre en bas à gauche. Si la valeur de BH est négative, inversezles fils branchés à la source de courant. Prenez en note BH ± ∆BH ainsi que la mesure du courantI ±∆I. Cliquez de nouveau sur la flèche en haut à gauche pour arrêter de mesurer BH .

10. Bobines avec 200 enroulements. Faites varier le courant I par sauts de 0.100 A jusqu’à 1.000 A.

Bobines avec 500 enroulements. Faites varier le courant I par sauts de 0.050 A jusqu’à 0.500 A.

Peut importe le type de bobines, prenez les mesures du courant I ± ∆I et du champ magnétiqueBH ±∆BH à chaque fois. Gardez votre montage des bobines de Helmholtz, car vous l’utiliserez à lapartie II de ce laboratoire.

3.2 Partie II.A: Champ B en fonction de x pour des bobines de Helmholtz

1. Placez la base du support de la sonde de Hall sur un banc optique. Ajustez la sonde de sorte que sonaxe corresponde à l’axe central des bobines.

2. Ajustez la source de courant à 1.000 A. Notez la mesure du champ magnétique et sa position à unedistance de 5.0 cm à l’extérieur d’une bobine.

3. Ensuite, déplacez la sonde vers les bobines et, par sauts de 1.0 cm, répétez les mesures jusqu’à ce quela position soit 5.0 cm à l’extérieur de l’autre bobine, tout en notant à chaque saut la valeur du champmagnétique et la position. Un exemple est décrit au tableau ci-dessous pour expliquer les différentespositions des mesures du champ magnétique.

Position (cm) Signification

30.0 Première mesure du champ magnétique (à 5.0 cm de la première bobine)

35.0 Début de la première bobine

40.0 Centre des deux bobines

45.0 Fin de la deuxième bobine

50.0 Dernière mesure du champ magnétique (à 5.0 cm de la deuxième bobine)

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3.3 Partie II.B: Champ B en fonction de x pour un solénöıde

1. Répétez les trois étapes la section 3.2 en remplaçant les bobines de Helmholtz par un solénöıde.

2. Vous pouvez modifier la longueur des sauts et la position de départ par rapport à l’extrémité dusolénöıde.

3. Mesurez les valeurs de L, R et I qui apparaissent dans l’équation (4).

4 Analyse des résultats

4.1 Partie I : B en fonction de I

À partir des résultats obtenus dans la section 3.1, tracez le graphique de BH en fonction de I. Avec l’équation(2), déduisez-en la valeur du nombre d’enroulements N ±∆N , en prenant le rayon des bobines indiqué surcelles-ci. Comparez votre valeur expérimentale de N à la valeur théorique du fabricant, indiquée sur lesbobines.

4.2 Partie II.A : B en fonction de x pour les bobines de Helmholtz

1. Tracez le graphique du champ magnétique en fonction de la position sur l’axe central des bobines. Survotre graphique, identifiez aussi la position des bobines.

2. Facultatif: tracez la courbe théorique en utilisant votre réponse à la question 4 de la section 5, etcomparez-la à votre graphique expérimental.

4.3 Partie II.B : B en fonction de x pour le solénöıde

1. Tracez le graphique du champ magnétique en fonction de la position sur l’axe central du solénöıde.Sur votre graphique, identifiez aussi la position des extrémités du solénöıde.

2. On vous demande ici de tracer la courbe théorique en utilisant l’équation (4), avec les valeurs mesuréesde L, I et R. Comparez-la à votre graphique expérimental pour en déduire la valeur de N .

5 Questions

1. Montrez comment l’équation (2) est obtenue à partir de l’équation (1).

2. Montrez comment l’équation (5) est obtenue à partir de l’équation (3). (N’oubliez pas que cos(180o) =−1.)

3. Si le courant I est modifié tout en ayant une sonde de Hall au point milieu de bobines de Helmholtz,comment pouvez-vous linéariser l’équation (2) à l’aide d’un graphique? À quoi sont égales la pente etl’ordonnée à l’origine?

4. À l’aide de l’équation (1), trouvez une expression analogue à l’équation (4) pour le champ magnétique Ben fonction de la position x entre deux bobines de Helmholtz qui ont les mêmes N , I et R, et parcouruespar le courant dans le même sens, de sorte que B pointe dans le même sens. Votre expression contiendraun xc1 pour une bobine et xc2 pour la seconde bobine.

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ANNEXE: Loi de Biot-Savart

En 1820, Hans Christian Oersted enseignait le cours “Électricité, galvanisme et magnétisme” à l’universitéde Copenhague. Cherchant à mettre en évidence son hypothèse selon laquelle le magnétisme est une “formecachée” de l’électricité, il essaya devant ses étudiants de faire passer un courant à travers un fil tendu au-dessus et à angle droit d’une aiguille aimantée. Aucun effet ne fut observé. Après le cours, il recommencal’expérience, mais en mettant cette fois le fil parallèle à l’aiguille aimantée. Cette fois-ci l’aiguille dévialargement; et quand il inversa le courant, elle dévia dans l’autre sens! Il avait démontré expérimentalementqu’un courant électrique produit un champ magnétique.

La Figure 9 représente une boucle de fil conducteur reposant dans le plan de la page, et par lequelpasse un courant I (sens anti-horaire à la Figure 9). Si on décompose ce fil en un très grand nombre desegments infinitésimaux de longueur ∆l, on peut doter ces segments d’une nature vectorielle, la direction duvecteur ∆l étant déterminée par le sens du courant électrique I (c.-à-d. à la Figure 9, ∆l pointe vers le hautde la page). La loi de Biot-Savart stipule qu’en un point donné de l’espace, situé à la position r du segment∆l (autrement dit, r part de l’élément de courant ∆l jusqu’au point où on calcule ∆B), la contribution dece petit segment au champ magnétique ∆B à ce point dans l’espace est donnée par

∆B =µ04π

I∆l sin θ

r2(6)

où θ est l’angle entre les vecteurs du segment ∆l et du déplacement r, µ0 est la constante de la perméabilitédu vide

(µ0 = 4π × 10−7T ·m/A

). La direction du vecteur ∆B est donnée par la règle de la main droite:

initialement avec votre main droite ouverte, alignez vos quatre doigts (sans le pouce) dans la direction dusegment ∆l, puis enroulez ces doigts vers le vecteur r. Votre pouce pointe alors dans la direction du vecteur∆B. (À la Figure 1, votre pouce, et la direction de ∆B, entre dans la page.) À titre d’information personnelle,l’équation (6) peut être écrite sous la forme vectorielle suivante:

∆B =µ04π

I∆l× rr3

.

Il est à remarquer que la relation (6) n’est valide que pour des segments de longueur infinitésimale∆l. Pour un conducteur de forme quelconque, et décomposé en une suite de petits éléments de longueurs∆l1, ∆l2,..., ∆lN , contribuant chacun des champs magnétiques ∆B1,..., ∆BN , le champ magnétique totalest obtenu en faisant la somme de ces champs magnétiques, c.-à-d. B = ∆B1+...+∆BN . Autrement dit,dans la limite où chaque ∆l tend vers zéro, et que N tend vers l’infini, le champ magnétique total est donnépar une intégrale. Nous ne considérerons pas ce type de problème dans ce cours.