Cours dlectromagntisme de deuxime anne de DEUG Sciences et Techniques mention MIAS Facult des Sciences de Limoges. Enseignant responsable : Frdric LOURADOUR

Chapitre 2

Champ magntique cr par des courants permanents dbut du cours le 26 septembre 2002 Prambule : Dans ce chapitre nous tudions le lien entre les courants lectriques et le champ magntique dont ils sont la source (courants lectriques champ magntique). Au chapitre suivant nous tudierons les effets produits par un champ magntique sur des courants lectriques (champ magntique courants lectriques). Plan du chapitre 2

A Circuits lectriques filiformes sources de champ magntique : I Loi de Biot et Savart : II Exemples de calcul de champ magntique avec Biot et Savart : III Thorme dAmpre : IV Exemples de calcul de champ magntique avec le thorme dAmpre :

B Rpartitions volumiques de courants lectriques sources de champ magntique : I Courants lectriques volumiques : II Loi de Biot et Savart pour les rpartitions volumiques de courant lectrique :

A Circuits lectriques filiformes sources de champ magntique : I Loi de Biot et Savart : Soit un circuit filiforme de contour orient C, parcouru par un courant lectrique permanent dintensit I. (Dans ce qui suit on ne dessinera pas les gnrateurs qui assurent lexistence de I comme cest dj le cas sur la figure 1.) Nous nous intressons au champ magntique cr par ce circuit C en un point de lespace quelconque M. Lespace est suppos vide. Pour dterminer ce champ il est utile de

dcomposer le circuit C en petits lments Pdl

au voisinage des points P qui composent C

(voir figure 1). Les points P jouent le rle de points sources. Pdl

est tangent C et est orient dans le sens de C :

On dfinit galement PMPMu MP

= le vecteur unitaire dirig du point source P vers le point

M o on calcule le champ. Le champ magntique en M impos par C est alors gal :

p

m=

CP2

MPPo

PM

udlI4

)M(B

avec 7o 10.4-p=m H.m-1

(HHenry) Cette expression porte le nom de loi de Biot et Savart. om porte le nom de permabilit absolue du vide. (rappel : oe qui a t introduit en lectrostatique porte le nom de permittivit absolue du vide

et sexprime en farad par mtre (F.m-1) ; 19o m.F10361 -

+pe (FFarad)).

Expression condense : On utilise aussi r=PM et la notation condense suivante :

pm

=C

2o

rudlI

4B

Autre formulation :

Lemploi du vecteur unitaire MPu

nest pas obligatoire dans la formule de Biot et Savart :

PMPMu MP

= ; ainsi on peut crire :

pm

=CP

3Po

PM

PMdlI4

)M(B

Un des avantages de la premire formulation est quelle met en vidence lvolution en 1/r2 du champ. Dcomposition en contributions lmentaires :

Sous l'intgrale prcdente apparat le petit champ MPdB

associ llment Pdl

au voisinage de P :

2

MPPoMP PM

udlI4)M(dB

pm

=

On a alors

=CP

MPdB)M(B

II Exemples de calcul de champ magntique avec Biot et Savart :

1) Fil rectiligne infini : a) Position du problme : Un fil rectiligne suppos infini est parcouru par un courant lectrique dintensit I. Ce fil

impose en un point M quelconque de lespace suppos vide le champ magntique )M(B

.

On utilisera par la suite le repre cylindrique indiqu sur la figure 2. On utilisera galement le plan P contenant simultanment le fil et le point M. H dsigne la projection orthogonale de M sur le fil alors que r=HM. Nous allons calculer le champ en M l'aide de la loi de Biot et Savart :

p

m=

CP2

o

PMudlI

4)M(B

Soit donc P un point du fil au voisinage duquel on dfinit un tronon lmentaire du fil dl

orient dans le sens de I.

b) Direction de )M(B

:

Les figures 3 et 4 dfinissent les angles a et b .

La loi de Biot et Savart nous enseigne que le champ cr par le voisinage de P en M vrifie :

2o

PMudlI

4dB

p

m=

dB , qui est parallle

udl , est par consquent orthogonal la fois

dl et

u (proprit du

produit vectoriel) ; il est donc orthoradial comme lindiquent les figures 3 et 4 : q

= e.dBdB .

Autrement dit

dB est orthogonal P.

Il en va de mme de B :

q

q

q

==== e).M(BdB.e)edB(dB)M(B

CPMP

CPMP

CPMP

Le sens de B , qui est conditionn par le sens des

dB , est obtenu par application de la rgle

du tire-bouchon

udl .

Les lignes de champ de B sont des cercles centrs sur le fil et contenus dans des plans

orthogonaux au fil :

Rappelons la dfinition dune ligne de champ :

Soit L une ligne de champ de B . Quelque soit le point M de L, le vecteur

)M(B est tangent

L.

c) Norme de )M(B

:

Nous venons de dterminer le vecteur directeur des

)M(dB :

q

= e.dBdB

Reste calculer la norme de

dB : 2

o

PM

udl.I

4dB

pm= . Dans cette expression

udl et PM sont

calculer :

)u,dlsin(.dludl

=

b-p=

)u,dl( (voir figure 4) ; ainsi b=

sin)u,dlsin( ; or a-p=b 2 de telle sorte que

a=b=

cossin)u,dlsin( .

Par consquent a=

cos.dludl (i).

Nous ne connaissons pas dl : dl=dz. z=HM en prenant lorigine de laxe des z en H.

a==a rtgzrztg ;

aa=a== 2cos

dr)tg(rddzdl do aa=

cosdrudl (ii)

Calculons maintenant PM : PMrcos =a do a=cos

rPM et donc 22

2 rcos

PM1 a= (iii).

En combinant les rsultas i), ii) et iii) on obtient : 22o

rcos.cos

dr.4I

dB aaa

pm

=

Do aapm

= dcosr4I

dB o

Le champ total sobtient en faisant la somme de tous les champs crs par tous les points P du fil :

r2

I))1(1(

r4

I][sin

r4

Idcos

r4

I)M(B oo2

2

o2

2

op

m=--p

m=ap

m=aap

m=

p+p-

p+=a

p-=a

d) Expression finale de )M(B

: Soit enfin :

q

pm

= er2I

)M(B o

2) Spire circulaire ; champ sur laxe : Soit une spire circulaire C de rayon R daxe z parcourue par un courant lectrique dintensit I. Nous allons calculer le champ magntique en un point M de laxe de la spire.

Le champ en un point M de laxe est donn par :

p

m=p

m=

CP3

o

CP3

o PMdlPM

I4PM

PMdlI4

B (*)

car la distance PM est constante sur tout le domaine dintgration (ce qui nest pas le cas du

vecteur

PM !).

+= OMPOPM conduit

+=+= OMdlPOdlOMdlPOdlPMdl

CPCPCPCPCP

car

OM est

constant.

Montrons que

= 0dl

CP

(i)

Soit deux points de C, P et P, symtriques par rapport O. Les lments dl et 'dl

dfinis en

ces points sont galement symtriques comme latteste la figure 8 :

-= 'dldl

==+=+= 00)'dldl('dldldl

'ABAP'ABAPA'B'A'P'ABAPCP

Intressons nous maintenant

CP

POdl :

Conformment la figure 9 : p=q

=q

q

q=-q=

2

0z2

CPr

CP

deR)eR(eRdPOdl

On sest servi de

q

q +=--=-=- zzrr e)e(ee)e(e Produits vectoriels entre vecteurs de bases: Rsultats utiles relatifs aux produits vectoriels entre vecteurs de bases dun tridre direct :

q

= zr eee

q = rz eee

q

= eee rz

Ces trois rsultats correspondent la permutation indique dans la partie droite de la figure 9 ; si le produit vectoriel calculer tourne en sens inverse il faut rajouter un signe dans le

rsultat (outil mnmotechnique).; exemple :

q

-= rz eee

Il vient

p= z2

CP

eR2POdl (ii)

En combinant (i) et (ii) dans (*) : m=pp

m= z32

oz

23

o ePMR

2I

eR2PM

I4

B . Ce rsultat se simplifie en

introduisant langle a :

La figure 10 nous indique que PMRsin =a

Il vient donc finalement :

am

= z3o

circulairespire esinR2

IB

Fin du cours du 26 septembre 2002 12h30 Dbut du cours du jeudi 3 octobre 2002 11h

III Thorme dAmpre :

1) Introduction : Nous venons de voir (I et II) que la loi de Biot et Savart permet de faire des calculs de champs magntiques crs par des circuits lectriques (1re mthode). Il se trouve quune autre possibilit existe pour cela ; la deuxime mthode que nous allons prsenter (III et IV) sappuie sur le thorme dAmpre (2me mthode). On montre que ce thorme est quivalent la loi de Biot et Savart. On peut dmontrer lun partir de lautre et rciproquement. Le dtail de la dmonstration de cette quivalence dpasse malheureusement le volume imparti ce cours. Nous nous contenterons de vrifier sur le cas particulier du fil rectiligne que ces deux approches donnent le mme rsultat.

2) Thorme dAmpre : Thorme : La circulation du vecteur champ magntique le long dune courbe hypothtique ferme oriente G quelconque est gale au produit de mo par lintensit totale des courants lectriques sources qui traversent toute surface ouverte S oriente sappuyant sur G.

m=G

So Idl.B

[Dtails de lapplication du thorme dAmpre : Membre de gauche du thorme : Rappel concernant la dfinition mathmatique de la notion de circulation dun champ de vecteurs le long dune courbe ferme quelconque G (voir lectrostatique de DEUG 1re anne) :

Dfinition mathmatique : G

G

=

M

Mdl).M(Bdl.B

Mdldl

= reprsente un lment de longueur dcoup sur G au voisinage de M ; Mdldl

= est orient par G. Attention ! le calcul de la circulation ncessite davoir choisit une orientation sur G ; ce choix

conditionne alors le sens des dl et par voie de consquence le signe de cette circulation.

Membre de droite du thorme : Soit une surface ouverte quelconque S sappuyant sur le contour ferm G prcdent :

Remarquons que lorientation de G conditionne l'orientation de la surface S conformment la rgle du trie-bouchon. Mise en vidence de lintensit totale des courants lectriques qui traversent la surface S sappuyant sur G ; exemple de comptabilisation de lintensit totale des courants traversant une surface S oriente : Soit le cas particulier suivant :

Dans le cas de la figure 14b : 42143321

S

I2III2IIIII +-=+-+-= On montre que le dcompte prcdent fonctionne de la mme manire lorsque S et/ou G ne sont pas plans .

3) Remarque concernant lutilisation du thorme dAmpre lors dun calcul de champ magntique : Lapplication du thorme dAmpre conduit comme nous allons le voir au calcul de la

circulation G

dl.B o G est une courbe ferme arbitraire dont vous devrez faire le choix

suivant le type de circuit qui se prsente vous. Le choix de GG est alors fondamental. Si lon veut que lemploi du thorme dAmpre soit avantageux par rapport Biot et Savart il est ncessaire que ce calcul de circulation soit relativement simple. Ceci se produit lorsque le

produit scalaire dl.B se trouvant sous lintgrale est simple. Deux cas lmentaires se

prsentent alors : i) 0dl.B =

ou bien ii) Bdldl.B =

. La situation ii), correspond au cas o B et

dl sont colinaires ; ceci revient dire que GG contient une ligne de champ de

B . Le

cas i) se produit lorsque G G est orthogonal aux lignes de champ de B . Ainsi le choix de

G est conditionn par la connaissance des lignes de champ de B ; cest pourquoi comme

nous le verrons dans le paragraphe suivant tout exercice utilisant le thorme dAmpre

commence par la dtermination gomtrique des lignes de champ de B qui sappuie elle-

mme souvent sur des considrations de symtrie (voir Chapitre 1). ___________________________________________________________________________ Etapes dapplication du thorme dAmpre :

- Dtermination des proprits gomtriques de B .

- Dduction de la forme des lignes de champ. - Choix de la forme de G qui doit tre soit parallle une ligne de champ ou orthogonale

une ligne de champ. - Orientation de G dans un sens quelconque ce qui fixe galement lorientation de S. - Application du thorme dAmpre :

o Calcul du membre de droite : G

dl.B

o Calcul du membre de gauche S

I

o Obtention de B

___________________________________________________________________________

IV Exemples de calcul de champ magntique avec le thorme dAmpre :

1) Fil rectiligne infini : a) Position du problme : Nous reprenons le cas dj envisag au II1) dun fil rectiligne infini parcouru par un courant lectrique dintensit I. Le champ magntique cr par cette source a dj t calcul par la loi de Biot et Savart au II1). Nous allons tudier nouveau ce problme mais en le traitant cette fois laide du thorme dAmpre . Oublions donc cette premire tude et repartons de zro !! Nous utilisons nouveau le repre cylindrique daxe le fil :

b) Gomtrie du champ / dtermination des lignes de champ : (voir galement TD n1 exercice1) Soit donc un fil rectiligne infini daxe z parcouru par un courant dintensit I. On cherche le

champ magntique

)M(B en un point M quelconque de lespace vide (le fil exclu). 1re proprit gomtrique du champ : soit P le plan contenant le fil et le point M.

P est plan de symtrie pour la source de champ que constitue le fil. Conformment la proprit dmontre au chapitre 1 on en dduit que

)M(B est orthogonal P en M. En

utilisant le systme de coordonnes cylindriques (

re ,

qe ,

ze ), on peut alors en dduire que

)M(B est port par le vecteur

qe :

Ainsi priori

q

q= e)z,,r(B)M(B . Ceci correspond un champ orthoradial.

Les lignes de champ sont des cercles centrs sur le fil et appartenant des plans orthogonaux celui-ci :

2me proprit gomtrique du champ : Soit un point M possdant la mme abscisse z que M et la mme coordonne r :

A cause de linvariance par rotation du systme, M est dans la mme situation physique que M ; on en dduit que la norme du champ magntique est la mme en ces deux points ce qui veut dire que la fonction )z,,r(B q ne dpend en fait pas de q (invariance par rotation). 3me proprit gomtrique du champ Soit M un point correspondant aux mmes coordonnes r et q que M :

Le fil est infini ; la situation de M est donc identique celle de M ; on en dduit que

)z,,r(B q ne dpend pas non plus de z.

Ainsi )r(B)z,,r(B =q et donc

q

= e)r(B)M(B (idem TD1 ex1)

Fin des proprits gomtrique. Choix de GG :

Le choix de G est directement cond itionn par lallure des lignes de champ (voir III3) ); pour un calcul simple de la circulation intervenant dans le thorme dAmpre nous allons faire ne sorte que G soit confondu avec une ligne de champ :

G cercle centr sur le fil, contenu dans un plan orthogonal au fil et passant par le point M o on souhaite dterminer le champ (voir figure 21). De plus nous choisissons arbitrairement

dorienter G dans le sens de

qe cest dire dans le sens de I (rgle du tire-bouchon). Ce choix

nest pas du tout obligatoire ; il est tout fait possible de traiter le problme de la mme manire en faisant le choix inverse. La situation est ici particulirement avantageuse puisque sur cette ligne de champ la norme de champ est constante ce qui nest pas une gnralit. c) Calcul du champ : Appliquons maintenant le thorme dAmpre :

m=G

So Idl.B

Il sagit donc de calculer sparment les deux membres de cette galit puis den dduire la

valeur de B correspondante.

K Calcul de G

dl.B :

avecq

q

q== erddlet e)r(BB on obtient :

p

G

q

q

G

q=q=

2

0d)r(rBerd.e)r(Bdl.B B(r) sort de lintgrale car en effet sur G , qui est

un cercle, r et par voie de consquence B(r) sont constants.

De telle sorte que : )r(rB2dl.B p=G

K Calcul de

S

I :

Soit S une surface quelconque sappuyant sur G : le choix pour S qui vient naturellement lesprit est le disque de rayon r de primtre G :

Cette surface est oriente par lorientation choisie arbitrairement sur G conformment la rgle du tire-bouchon.

Il vient trs simplement : IIS

+= car seul le fil transperce S ceci dans le sens positif.

KK Lcriture du thorme dAmpre donne donc : II)r(rB2dl.B oS

o m=m=p= G

do

r2I

)r(B opm=

Soit finalement :

q

pm

= er2I

)M(B o

Ce rsultat correspond bien au rsultat dj obtenu avec la loi de Biot et Savart ( II1) ); ces deux approches sont cohrentes entre elles ! Sur cette exemple les deux approches sont quivalentes en terme de rapidit et de complexit. Nous allons voir maintenant un exemple o lemploi du thorme dAmpre est particulirement avantageux. Fin du cours du jeudi 3 octobre 12h15 Dbut du cours du lundi 7 octobre 13h30

2) Solnode rectiligne infini ; champ dans tout lespace : a) Position du problme : Un solnode rectiligne est obtenu en bobinant rgulirement un fil conducteur fin sur un cylindre (de section priori circulaire mais cela nest pas indispensable ; voir fin du paragraphe). Le circuit est parcouru par un courant lectrique dintensit I.

On utilise n nombre de spires par unit de longueur (nb.m-1). Attention ! nous nous intressons au solnode rectiligne infini qui va tre tudi partout dans lespace environnant, aussi bien lintrieur qu lextrieur du volume du solnode et pas seulement sur laxe.

b) Dtermination des lignes de champ : ( Nous reprenons ici des considrations dj vues en Travaux Dirigs (srie 1 exercice 1 ).)

1re proprit gomtrique du champ

Soit M un point quelconque de lespace. Soit P le plan passant par M et orthogonal laxe du solnode :

Le plan P est un plan de symtrie du systme ; on en dduit (voir Chapitre 1) que le champ en M est orthogonal ce plan ce qui revient dire que le champ magntique est parallle laxe

du solnode :

= ze)M(B)M(B . Le lignes de champ sont par consquent des lignes parallles laxe Oz (ceci aussi bien lintrieur qu lextrieur du solnode) :

2me proprit gomtrique du champ Soit un point M dduit du point M par translation le long de laxe Oz :

Le solnode tant infini il est invariant par translation le long de laxe Oz de telle sorte que

la situation du point M est identique celle du point M

= )'M(B)M(B . On en dduit que le champ magntique ne dpend pas de z. 3me proprit gomtrique du champ Soit le point M dduit du point M par rotation autour de laxe Oz ; M et M se situent donc la mme distance r de laxe et appartiennent au mme plan orthogonal laxe Oz :

Le solnode est invariant par rotation autour de laxe Oz de telle sorte que la situation du

point M est identique celle du point M

= )''M(B)M(B . On en dduit que le champ magntique ne dpend pas de qq. Bilan de cette tude gomtrique :

-

= ze)r(B)M(B (idem TD srie 1 ex 1) - les lignes de champ sont des droites parallles Oz.

c) Application du thorme dAmpre et calcul du champ : i) Proprit du champ lextrieur du solnode : Soit deux point M et M quelconque lextrieur du solnode. Soit un contour orient G contenant M et M et constitu de quatre portions rectilignes parallles ou orthogonales Oz :

A, B, C et D sont les cts de ce paralllpipde qui est orient dans le sens ABCDA. Remarque : les points M et M ne sont pas forcment contenus dans un plan contenant galement laxe Oz comme cest le cas de la figure prcdente. Ce choix a t effectu pour simplifier le dessin. La dmonstration que nous menons sapplique galement au cas de la figure 27.

Appliquons le thorme dAmpre : m=G

So Idl.B

K Calcul de G

dl.B :

G

+++=

A

D DAD

C CDC

B BCB

A ABdl.Bdl.Bdl.Bdl.Bdl.B

Sur les tronons BC et DA les lments de longueur BCdl

et DAdl

de G son orthogonaux au champ magntique de telle sorte que le produit scalaire correspondant intervenant dans la

circulation de B est nul : 0dl.Bdl.B

A

D DAC

B BC==

Sur les tronons AB et CD dl est parallle

B de telle sorte que BdzBdldl.B ==

Il vient :

+=G

D

C

B

ABdzBdzdl.B

Remarque : - sur AB dz>0 car le point courant qui sert intgrer voit son abscisse augmenter lors de lintgration. - sur CD dz

Ce changement de signe est quivalent au changement de sens entre ABdl et CDd

l visible

sur la figure 29.

Sur les tronons AB et CD le champ magntique est constant en vertu de linvariance par translation ; sur le tronon AB on retrouve alors uniformment B(M) ; sur le tronon CD on retrouve alors uniformment B(M). Il vient :

+=G

D

C

B

Adz)'M(Bdz)M(Bdl.B

)l)('M(B)l)(M(B)zz)('M(B)zz)(M(B]z)['M(B]z)[M(Bdl.B CDABzz

zz

D

C

B

A

-++=-+-=+=G

On remarquera en effet que zD

La situation est tout fait la mme du point de vue du calcul de la circulation et du dcompte des courants franchissant G de telle sorte que le rsultat est le mme que prcdemment : B(M)=B(M) ; le champ est uniforme lintrieur du solnode ! iii) Calcul du champ : Soit un point M quelconque se trouvant lintrieur du solnode ; soit un point M quelconque se trouvant lextrieur du solnode :

K Calcul de G

dl.B :

Le calcul de la circulation de B sur le contour G dfini sur la figure 31 est identique celui

effectu au i) de telle sorte que )BB.(l'))M(B)M(B(ldl.Bextint

-=-=G

Ainsi :

)BB.(ldl.B extint -=G

K Calcul de

S

I :

Comme lindique la figure 31 des courants traversent cette fois la surface S sappuyant sur G. Ces courants franchissent S dans le sens positif dfini par G (sens s'enfonant dans le plan de la figure : symbole sur la figure 31) ; ils seront donc comptabiliss positivement. Reste dterminer leur nombre : il y a n spires par unit de longueur ; le rectangle G a pour cot l ; on compte donc N=nl spires lintrieur de G. Ainsi :

nlINIIS

+== KK Lcriture du thorme dAmpre donne donc :

nlI)BB.(lIdl.B oextintS

o m=-m= G

(*)

nIBBoextint

m=-

Champ lextrieur du solnode : Si lon rflchit maintenant ce qui se passe trs loin du solnode dans une direction orthogonale laxe Oz on peut penser que le champ y est trs faible puisquon est loin de la source ; lextrme, linfini lextrieur du solnode le champ est nul ; comme le champ

est uniforme dans ce domaine on en dduit que le champ B est nul lextrieur du

solnode :

0Bext

=

Champ lintrieur du solnode : Il vient alors grce (*)

nIBoint

m=

et donc finalement pour un point M se situant lintrieur du solnode :

m= zo enI)M(B

B Rpartitions volumiques de courants lectriques sources de champ magntique : I Courants lectriques volumiques : 1) Dfinition gnrale : Dfinition : On appelle courant lectrique tout mouvement densemble dans lespace de charges lectriques en grand nombre. Ce dplacement na pas forcment lieu sur une trajectoire

unique comme dans le cas des circuits filiformes ; de faon gnrale il sinscrit en volume dans lespace comme dans le ferait un fluide. Ordres de grandeur : Dans les circuits lectriques, les vitesses moyennes de dplacement densemble sont gnralement faibles, de lordre du millimtre par seconde ; par contre le nombre de charges mises en jeu est souvent colossal ; ainsi dans un conducteur mtallique en cuivre n 10+28 charges par m3 peuvent participer au courant lectrique. Enfin noublions pas que la charge lectrique transporte par chaque particule est faible : -1,6.10-19 C dans le cas o le courant est assur par des lectrons ce qui est le cas des conducteurs mtalliques. 2) Lignes et tubes de courant : Dfinition : Soit une ligne de courant. Soit M un point quelconque de cette ligne de courant. Par

dfinition le vecteur vitesse de dplacement des charges en M,

)M(v , est tangent en M la ligne de courant.

En rgime stationnaire, ce qui est systmatiquement le cas de la magntostatique tudie ici, les lignes de courant se confondent avec les trajectoires des particules. Pour un courant de charges lectriques ayant lieu dans un conducteur lectrique filiforme la seule ligne de courant existante est confondue avec le fil conducteur lui mme. Dfinition : Soit un contour hypothtique C. Lensemble des lignes de courant sappuyant sur C dfinissent ce que lon appelle un tube de courant :

La notion de tube de courant sapparente la notion usuelle de filet deau dans une rivire.

Remarque : La surface S dfinie par C nest pas forcment une section droite du tube cest dire quelle nest pas forcment orthogonale aux lignes de courant comme semblent lindiquer la figure prcdente.

3) Intensit travers une surface : Soit un milieu homogne (cest dire uniforme) sige dune mouvement stationnaire de charges lectriques. Soit une surface hypothtique fixe S plonge dans ce milieu. Soit dQS la quantit de charge lectrique franchissant la surface hypothtique S pendant lintervalle de temps dt.

Par dfinition lintensit du courant de charge travers S note IS est gale : dtdQ

I SS= . IS

est exprim en coulomb par seconde (Cb/s) cest dire en ampres (A). IS intgre toutes les charges franchissant la surface S ; il ne sagit dune grandeur moyenne sur toute la surface S. Pour tudier finement le problme nous allons maintenant dfinir une grandeur qui caractrise localement, cest dire en tout point de lespace, le courant de charges lectriques tudi. Fin du cours du lundi 7 octobre 15h30 Dbut du cours du jeudi 10 octobre 11h

4) Vecteur densit de courant )M(j

: a) Intensit travers une surface lmentaire: Afin de caractriser localement le courant de charges nous allons comptabiliser le nombre de charges qui traversent une surface hypothtique infiniment petite dS entre les instants t et t+dt (comme on pourrait le faire pour un ban de poissons avec une petite puisette). Cette procdure va nous donner une information sur ce qui se passe au niveau du point sur lequel est centr dS (l o se trouve lpuisette). Pour simplifier, les charges qui assurent lexistence dun courant lectrique sont supposes identiques, cest dire quelles possdent au voisinage de dS toutes la mme charge q et se

dplacent la mme vitesse dans la mme direction avec la vitesse v . Cette hypothse est

dautant plus vraie que dS est petit. Soit donc dS une surface plane hypothtique :

Note : dS est immobile.

On dit quil y a un flux de particules travers dS car des charges traversent en permanence dS. A partir de linstant t, un certain nombre de charges vont traverser la surface dS mais pas toutes comme lindique la figure suivante :

La particule n1 traversera dS entre t et t+dt. La particule n2 ne traversera pas dS car elle est trop loigne de dS linstant t. La particule n3 ne traversera pas dS car elle nest pas dans laxe de dS. La particule n4 ne traversera pas dS entre t et t+dt car elle a dj travers dS un instant antrieur. Ainsi seules les charges se trouvant linstant t lintrieur du cylindre de base dS et de

gnratrice dt.v

traverseront dS entre t et t+dt. Dterminer le nombre de particules d2N qui traverseront dS entre t et t+dt revient donc compter combien de charges se trouvent lintrieur de ce cylindre. Le milieu est homogne et possde une densit volumiques de particules gale n, exprime en nombre de particules par mtre cube (nb/m3).

Soit d2V le volume du cylindre de base dS et de gnratrice dt.v

: Vd.nNd 22 = . Rappel de gomtrie :

Soit le cylindre dont la base a pour vecteur surface X et dont la gnratrice est le vecteur

Y .

Le cylindre est engendr partir de la base par une translation de vecteur Y . g dsigne

langle entre X et

Y (par exemple pour un cylindre droit g=0).

Soit V le volume de ce cylindre.

On montre que :

= Y.XV Ceci sexprime galement par : XYcosV g= . Fin du rappel .

Soit dS le vecteur surface de dS.

Ainsi par application du rsultat de gomtrie prcdent : dtv.dSVd2

=

Il vient

== v.dS ndtdtv.dS nNd 2 Il est maintenant facile den dduire la quantit de charge lectrique franchissant dS, note

d2QdS, simplement en multipliant par la charge q de chaque particule :

= v.dSnqdtQd dS2 .

Apparat dans lexpression prcdente la quantit nq qui nest autre que la densit volumique de charges mobiles prsentent dans le milieu note r : rr : r=nq (voir lectrostatique de 1re anne).

Il vient alors : dtdS.vv.dSdtQd dS2 r=r= . Lintensit franchissant dS est alors gale :

r== dS.vdtQd

dI dS2

dS

b) Dfinition du vecteur densit de courant : Dfinition : Posons :

= vj

Ce vecteur qui caractrise localement le mouvement de charges porte le nom de vecteur densit de courant.

Il sagit comme B dun champ de vecteur cest dire quil est dfini en tout point M de

lespace (o existe un courant de charges) et dpend de la position de ce point :

= )M(jj ;

en effet aussi bien

= )M(vv que )M(r=r dpendent de M. Proprit:

On a donc lexpression simple :

= dS.jdIdS

Envisageons maintenan le cas dune surface macroscopique S constitue de lassemblage de petites surfaces lmentaires jointives dS : =

S

dSS .

Le nombre total de charges franchissant S est gal la somme des charges franchissant chacune des surfaces lmentaires dS de telle sorte que : =

SdSS dII et donc :

=S

S dS.jI

Cette intgrale est la dfinition mathmatique du flux du vecteur densit de courant j

travers la surface oriente S. Proprit :

=S

S dS.jI

Lintensit du courant lectrique qui traverse une surface S est gale au flux du vecteur densit de courant travers cette surface.

5) Proprit relative une portion de tube de courant lmentaire : Nous allons dans ce paragraphe dmontrer une proprit relativement simple qui nous sera utile deux fois par la suite ventuellement dans dautres chapitres de ce cours. On dsigne par tube de courant lmentaire un tube de courant sappuyant sur une surface lmentaire dS. Proprit : Soit I=IdS lintensit du courant qui traverse dS. Considrons la portion de tube de courant lmentaire sappuyant sur dS et limite la longueur dl :

On montre que :

t=

djdlI

o td dsigne le petit volume de la portion de tube de courant lmentaire de section dS et de

longueur dl . Dans cette expression

dl dsigne le vecteur de norme dl, tangent au tube et

dirig dans le sens du courant lectrique. Dmonstration :

=t dl.dSd do )dl.dS(jdj

=t .

dl et

j sont colinaires de telle sorte que dans lexpression de prcdente on peut les

changer : dSIdl)dS.j(dl)j.dS(dl)dl.dS(jdj

====t

cest dire :

=t dlIdj dS fin de la dmonstration.

II Loi de Biot et Savart pour les rpartitions volumiques de courant lectrique : Soit une distribution volumique de courant caractrise par la densit volumique de courant

)P(j

. Soit V le volume de cette rpartition vo lumique de courant. La distribution volumique de courant est constitue dune infinit de tubes de courant

lmentaires qui permettent de dfinir des petits volumes dt sources de champ. Soit

dB le champ magntique cr par le volume dt de longueur dl se situant au voisinage du point P :

On assimile alors chaque portion lmentaire de tube de courant de volume dt de vecteur

densit de courant j un tronon filiforme de longueur

dl parcouru par un courant

dintensit I tel que : t=

djdlI conformment au rsultat du paragraphe prcdent. La contribution de ce petit lment au champ magntique sobtient alors en reprenant la loi de Biot et Savart pour les circuits filiformes :

2o

rudlI

4Bd

pm

=

On remplace maintenant dlI par t

dj :

2o

r

udj4

Bd

t

pm

=

Aprs sommation de toutes les contributions on obtient lexpression suivante :

tp

m=

V2

o

r

udj4

B

Ceci constitue la Loi de Biot et Savart pour une source volumique de volume V. Remarquons que lintgrale simple du cas filiforme est remplace ici par une intgrale triple en volume sur tout le volume o existent des courants. Remarque : Comme pour le cas filiforme nous pouvons donner une expression dtaille de cette loi :

tp

m=

VP2

MPPoMV

PM

ud)P(j4

)M(B

dtP est le petit volume entourant le point source P. Lors de lutilisation de cette formule il nest pas ncessaire que dtP ait exactement la forme dune portion de tube de courant comme ctait le cas dans la dmonstration prcdente. Il lui suffit dtre infiniment petit.

)P(j est la densit volumique de courant au voisinage du point source P.

Les autres grandeurs reoivent la mme dfinition que dans le cas filiforme. fin du cours le 10 octobre 2002 11h15

Fin du chapitre 2