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Licence Science de la Mer et de l’Environnement

Physique Générale

Chapitre 9 :Dilatation des gaz

1 – Rappels mathématiques : les dérivées partiellesQuand une fonction dépend de plusieurs variables, par exemple ),...,,( 321 nxxxxf la différentielletotale est donnée par :

nxf

xf

xfdx

xfdf

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂= ...

321

Où les ixf

∂∂ sont les dérivées partielles de la fonction f par rapport à la variable ix , les autres

variables étant considérées comme des constantes.

Exemple :Variation du volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur hLe volume est donné par la formule : hrV 2π=

dhhVdrr

VdV∂∂+

∂∂=

avec : rhrV π2=∂∂ et 2rh

V π=∂∂

D’où dhrrhdrdV 22 ππ +=

2 – Echauffement d’un gaz-loi de Gay-LussacEn coordonnées de Clapeyron, on représente deux isothermes aux températures t et t’.

v

p

v

p H

K

M

tt’

2

MH est le tracé à pression constanteMK est le tracé à volume constant

2.1 Coefficient de dilatation thermique à pression constanteSoit 0v le volume à t=0°C, et v le volume à la température t.Le coefficient de dilatation thermique du gaz à pression constante t

0α quand latempérature passe de 0°C à t°C, par degré est donnée par :

tvv

vvvv

tt 0

00

00

11 −=−=α

De même entre t et t’, on peut écrire :

ttvv

vtt −

−= ''1'α

Si ttt Δ+=' et vvv Δ+=' , alors :

tv

vtt

t ΔΔ=Δ+ 1α

Le cas limite lorsque 0→Δt sera :

( )p

t tv

v ∂∂=1α

( )pt

v∂∂ est la dérivée partielle du volume v par rapport à la température t , la pression p ,

l’autre variable restant constante. En thermodynamique, on indique la ou les variables restantconstantes, ce qui ne se fait pas en général en mathématiques, comme nous l’avons vu auparagraphe précédent.

2.2 Coefficient de dilatation thermique à volume constantSoit 0p la pression à t=0°C, et p la pression à la température t.Le coefficient de dilatation thermique du gaz à volume constant t

0β quand latempérature passe de 0°C à t°C, par degré est donnée par :

tvv

vvvv

tt 0

00

00

11 −=−=α

De même entre t et t’, on peut écrire :

ttpp

ptt −

−= ''1'β

Si ttt Δ+=' et ppp Δ+=' , alors :

tp

pttt Δ

Δ=Δ+ 1β

Le cas limite lorsque 0→Δt sera :

vt t

pp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂=1β

3

vtp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ est la dérivée partielle de la pression p par rapport à la température t , le volume

v l’autre variable restant constante.

2.3 Loi de Gay-LussacLes coefficients de dilatation thermique à volume constant: t

0α et à pressionconstante : t

0β sont égaux et valent :

2731

00 == tt βα

Cette loi est d’autant plus vraie que la pression est faible.

3 – Interprétation graphique des coefficients t0α et t

0β

On trace deux isothermes à t=0 et t. qui dans ce type de diagramme sontapproximativement des droites.

0

001vvv

tt −=α

On multiplie numérateur et dénominateur par 0p , ce qui donne :

00

00001

vpvpvp

tt −=α

vp0 est l’ordonnée de H, donc : HHvp 00 =

De même : 0000 MHvp =

v0=Cte

p

pv

0

A

0A

0p p

t

0

MH

K

M0

H0 H’

4

Donc : 00

00001

MHMHHH

tt −=α ,

00

001

MHHM

tt=α

HM0 représente sur le graphique l’échauffement à pression constante.La droite 0OM est l’échauffement à Ctev =0 donc :

0

001ppp

tt −=β

On multiplie numérateur et dénominateur par 0v , ce qui donne :

00

00001

vpvppv

tt −=β

KHMHpv 00 '== et 0000 MHvp =

Donc : 00

00001

MHMHKH

tt −=β

00

001

MHKM

tt=β

Lorsque la pression devient proche de zéro, la relation devient :

0

001OAAA

tt=β

Si les gaz sont parfaits, les droites sont parallèles à l’axe des pressions. Si les gaz nesont pas parfaits, les droites ne sont pas parallèles, et tt

00 βα ≠ .A basse pression, les isothermes sont une pente négative, donc :

KMHM 00 > donc : tt00 βα >

Exemple :A une pression de 1 Torr (1mm de mercure)

1000

510 α 1000

510 β1000

1α 100

0

1β

O2 367,49 367,39 272,12 272,19CO2 374,09 372,41 267,34 268,52

Contrairement aux autres gaz, l’hydrogène et l’hélium on une pente positive donc :1000

1000 βα <

v0=Cte

p

pv

0

A

0A

0p p

t

0

M

H

K

M0

H0 H’

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4 – Loi limite de Gay-LussacLorsque la pression tend vers zéro, le point 00 AM → et les points, AMKH →,,Donc, HM0 et KM0 AA0→

Ce qui fait que aux faibles pressions, tt00 βε =

15,27310036609,000 === tt βε

5 – Echelle des gaz parafaitsAux basses pressions, tous les gaz tendent vers une même limite appelée l’état parfait.

En pratique, c’est celui où les dimensions moléculaires constituant le gaz sont négligeablespar rapport aux distances moyennes entre molécules.

On peut donc utiliser un gaz quelconque pour définir l’échelle Celcius.

0

001ppp

t−=β

D’où )1( 00 tpp β+= avec 15,2731

0=β

6 – Echelle des températures absoluesNous venons de voir que )1( 00 tpp β+= . Nous pouvons ré-écrire cette relation sous la

forme : )1(0

0 β+= tpp

Si on pose : 15,27310

+=+= ttTβ

,

on obtient : Tpp 00β=La pression p étant toujours positive, il faut que T le soit aussi. En conséquence, la

température t en degrés Celcius, ne peut pas être inférieure à 15,273− qui est le zéro absolu.

v=v0

p

pv

0

A

0A

t

0°C

M

100A

K

M0

H

M100K100

100°C

0p 100pp

6

Nous avons vu que à la température t : )1( 00 tpp β+= ,que l’on peut ré-écrire : tppp 000 β=−

On en déduit 00

0

βpppt −=

De même à 100°C, on aura :00

0100100βppp −=

En faisant le rapport de ces deux dernières relations, on obtient :

000100

000

0100

0

100 vpvpvppv

ppppt

−−=

−−=

Sur la figure précédente, on voit que :HKpv =0 000 HMvp = 1000100 HKvp =

D’où, 0100

0

0100

0100 MK

KMHMHKHMHKt =−−=

Lorsque 0→p

0100

0100 AA

AAt =

Que l’on ré-écrit : 01000 100 AAtAA =

Nous avons vu au paragraphe 3 que : 0

001OAAA

tt=β ,

or pour un gaz parfait 010000 βββ ==t

Donc à 100°C, 0

10000 1001OAAA=β , on en déduit : 001000 100 βOAAA =

De même à la température t , 000 βtOAAA =Que l’on peut ré-écrire :

000 βtOAOAOA =− )1( 00 tOAOA β+= )1(0

00 ββ += tOAOA

Or nous avons posé : 0

1β

+=tT

Donc : TOAOA 00β=

Pour la glace 0=t , donc 15,27310

0 ==β

T

00TTOAOA=

On peut écrire : rTOA

TOA ==

0

0

Les coordonnées à l’origine OA sont proportionnelles aux températures absolues.Or pvOA= et rTOA=D’où la relation

rTpv=

La constante r ne dépend que de la quantité de gaz, pas de sa nature

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7 – Hypothèse d’AbogadroAbogadro a fait l’hypothèse suivante :Des volumes égaux de gaz mesurés dans les mêmes conditions de température et de

pression contiennent le même nombre de molécules ;

Le volume molaire, est la quantité de molécules occupant un volume de 22,4 litres dansles conditions habituelles de température et de pression : 2310.023,6=N

Pour une mole, la relation rTpv= devient RTpv= avec R=8,315 Joules

Pour n moles, nRTpv=